GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 1 ગણ Exercise 1.1

Question 1. નીચેનામાંથી કયા સમૂહ ગણ દર્શાવે છે? તમારો જવાબ ચકાસો.
(1) J અક્ષરથી શરૂ થતા અંગ્રેજી કૅલેન્ડરના વર્ષના તમામ મહિનાઓનો સમૂહ
(2) ભારતના દસ અતિ પ્રતિભાશાળી લેખકોનો સમૂહ
(3) દુનિયાના ક્રિકેટના ઉત્તમ અગિયાર બૅટ્સમૅનોની ટીમ
(4) તમારા વર્ગના બધા જ છોકરાઓનો સમૂહ
(5) 100થી નાની બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ
(6) લેખક મુન્શી પ્રેમચંદે લખેલી બધી જ નવલકથાઓનો સમૂહ
(7) બધા જ યુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ
(8) આ પ્રકરણના બધા પ્રશ્નોનો સમૂહ
(9) દુનિયાનાં ખૂબ જ ભયાનક પ્રાણીઓનો સમૂહ
Answer:
(1) J અક્ષરથી શરૂ થતા અંગ્રેજી કેલેન્ડરના મહિનાઓ January, June, July છે. આથી ત્રણ સ્પષ્ટ સભ્યોનો સમૂહ બને છે. પરિણામે, આ સમૂહ ગણ ગણાય છે.
(2) ભારતના દસ સૌથી પ્રતિભાશાળી લેખકોનો સમૂહ અહીં, કયા લેખકને પ્રતિભાશાળી ગણવા તે અંગેનો મત વ્યક્તિએ-વ્યક્તિએ બદલાઈ શકે છે. આથી, આ સમૂહ સ્પષ્ટ રીતે નિર્ધારિત થશે નહીં. તેથી, આ સમૂહ ગણ બનાવતો નથી.
(3) ક્રિકેટના શ્રેષ્ઠ અગિયાર બેટ્સમેનોની ટીમમાં કયા ખેલાડીઓને શ્રેષ્ઠ માનવા તે વ્યક્તિગત મંતવ્ય પર આધાર રાખે છે. પરિણામે, આ સમૂહ સુનિશ્ચિત બનશે નહીં. આમ, આ સમૂહ ગણ દર્શાવતો નથી.
(4) તમારા વર્ગના બધા છોકરાઓનો સમૂહ એટલે કે, તમારા વર્ગમાં હાજર તમામ છોકરાઓ (જેમ કે, પરેશ, નરેશ, વગેરે) એ ચોક્કસ સભ્યોનો સમૂહ છે. આથી, આ સમૂહ એક ગણ તરીકે ગણાય છે.
(5) 100થી નાની બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ અહીં, \( 1, 2, 3, ... \) થી \( 99 \) સુધીની નિશ્ચિત સંખ્યાઓનો સમૂહ છે. આથી, આ સમૂહ એક ગણ ગણાય છે.
(6) લેખક મુન્શી પ્રેમચંદે લખેલી બધી નવલકથાઓનો સમૂહ એટલે કે, મુન્શી પ્રેમચંદ દ્વારા રચાયેલી તમામ કૃતિઓ. તેથી, આ એક સ્પષ્ટ સભ્યોનો સમૂહ છે. આથી, આ સમૂહ ગણ દર્શાવે છે.
(7) બધા જ યુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ અહીં, જેવા કે \( ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... \) એ ચોક્કસ સભ્યોનો સમૂહ છે. (ભલે આ સમૂહમાં અગણિત સભ્યો હોય.) આથી, આ એક સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરેલો સમૂહ છે. આમ, આ સમૂહ ગણ રજૂ કરે છે.
(8) આ પ્રકરણના બધા પ્રશ્નોનો સમૂહ અહીં, આ પ્રકરણમાંના પ્રશ્નો ચોક્કસ સભ્યોનો સમૂહ રચે છે. આથી, આ સમૂહ ગણ દર્શાવે છે.
(9) દુનિયાના સૌથી ભયાનક પ્રાણીઓનો સમૂહ અહીં, કયા પ્રાણીને 'ખૂબ ભયાનક' ગણવું તે અંગેનો અભિપ્રાય વ્યક્તિ-વ્યક્તિએ બદલાઈ શકે છે. આથી, આ સમૂહ સ્પષ્ટ રીતે નિર્ધારિત નથી. તેથી, આ સમૂહ ગણ દર્શાવતો નથી.
In simple words: ગણ એટલે વસ્તુઓનો એક સમૂહ જ્યાં દરેક સભ્ય કોણ છે તે સ્પષ્ટપણે જાણી શકાય છે. જો કોઈ સમૂહમાં સભ્યો વિશે મતભેદ હોય, તો તે ગણ નથી.

Exam Tip: To determine if a collection is a set, check if its members are well-defined and distinct. If there's any ambiguity in defining the members, it's not a set.

Question 2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} લો. ખાલી જગ્યામાં યોગ્ય સંજ્ઞા \( \in \) અથવા \( \notin \) મૂકો.
(1) 5 ......... A
(2) 8 ......... A
(3) 0 ......... A
(4) 4 ......... A
(5) 2 ......... A
(6) 10 ......... A
Answer:
(1) અહીં, '5' એ ગણ Aનો એક ઘટક છે. તેથી, \( 5 \in A \)
(2) અહીં, '8' એ ગણ Aનો ઘટક નથી. તેથી, \( 8 \notin A \)
(3) અહીં, '0' એ ગણ Aનો ઘટક નથી. તેથી, \( 0 \notin A \)
(4) અહીં, '4' એ ગણ Aનો એક ઘટક છે. તેથી, \( 4 \in A \)
(5) અહીં, '2' એ ગણ Aનો એક ઘટક છે. તેથી, \( 2 \in A \)
(6) અહીં, '10' એ ગણ Aનો ઘટક નથી. તેથી, \( 10 \notin A \)
In simple words: જો કોઈ વસ્તુ ગણનો ભાગ હોય, તો \( \in \) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. જો તે ગણનો ભાગ ન હોય, તો \( \notin \) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો.

Exam Tip: Remember that the symbol \( \in \) means 'is an element of' and \( \notin \) means 'is not an element of'. Always clearly identify the elements in the given set before deciding.

Question 3. નીચેના ગણોને યાદીની રીતે લખો :
(1) A = {x : એ પૂર્ણાંક છે અને \( -3 < x < 7 \)}
(2) B = {x:xએ 6 કરતાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(3) C = {x:x એ જેના અંકોનો સરવાળો 8 થતો હોય તેવી બે અંકોની સંખ્યા છે.}
(4) D = {x: x એ 60નો ધન અવયવ હોય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
(5) E = TRIGONOMETRY શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ગણ
(6) F = BETTER શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ગણ
Answer:
(1) અહીં, \( x \) એ \( -3 \) અને \( 7 \) વચ્ચેનો પૂર્ણાંક છે. તેથી, A = { \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) }
(2) 6 કરતાં નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. તેથી, B = { \( 1, 2, 3, 4, 5 \) }
(3) બે અંકોનો સરવાળો 8 થવા માટે, 1 અને 7, 2 અને 6, ... 8 અને 0 જેવી જોડીઓ બને છે. પરિણામે, C = { \( 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80 \) }
(4) 60ના ગુણાંક છે \( 1 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \). તેથી, તેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ D = { \( 2, 3, 5 \) }
(5) E = { \( T, R, I, G, O, N, M, E, Y \) } (નોંધ: ગણમાં સભ્યોનું પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર નથી.)
(6) BETTER શબ્દના મૂળાક્ષરો B, E, T, R છે. તેથી, F = { \( B, E, T, R \) }
In simple words: યાદીની રીતે લખતી વખતે, ગણના દરેક ઘટકને અલ્પવિરામથી અલગ કરીને curly braces \( \{\} \) માં લખો. યાદ રાખો કે એક જ ઘટકને એકથી વધુ વખત લખવામાં આવતો નથી.

Exam Tip: When writing sets in roster form, ensure all unique elements are listed exactly once and enclosed within curly braces. Order does not matter, but distinctness is key.

Question 4. નીચેના ગણોને ગુણધર્મની રીતે લખોઃ
(1) {3, 6, 9, 12}
(2) {2, 4, 8, 16, 32}
(3) {5, 25, 125, 625}
(4) {2, 4, 6, ...}
(5) {1, 4, 9, ... 100}
Answer:
(1) આપેલા ગણનું ગુણધર્મ સ્વરૂપ છે: {x : x એ 13થી નાનો 3નો ગુણક છે.} અથવા {x : x = \( 3n \), જ્યાં \( n \in N \) અને \( 1 \le n \le 4 \) }
(2) આપેલા ગણનું ગુણધર્મ સ્વરૂપ છે: {x : x = \( 2^n \), જ્યાં \( n \in N \) અને \( 1 \le n \le 5 \) }
(3) આપેલા ગણનું ગુણધર્મ સ્વરૂપ છે: {x : x = \( 5^n \), જ્યાં \( n \in N \) અને \( 1 \le n \le 4 \) }
(4) આપેલા ગણનું ગુણધર્મ સ્વરૂપ છે: {x : x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} અથવા {x : x = \( 2n \), જ્યાં \( n \in N \) }
(5) આપેલા ગણનું ગુણધર્મ સ્વરૂપ છે: {x : x એ પ્રથમ દસ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો વર્ગ છે.} અથવા {x : x = \( n^2 \), જ્યાં \( n \in N \) અને \( 1 \le n \le 10 \) }
In simple words: ગુણધર્મની રીતે લખતી વખતે, એક નિયમ બનાવો જે ગણના દરેક ઘટકને વર્ણવે છે, પરંતુ ગણની બહારના કોઈ ઘટકને નહીં.

Exam Tip: When writing in set-builder form, clearly define the variable, state the type of numbers it belongs to (e.g., natural, integer), and specify any conditions or properties it must satisfy.

Question 5. નીચેના ગણોના બધા જ ઘટકો લખો :
(1) A = {x: xએ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક}
(2) B = {x : x સે पूर्णा छे, \( -\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2} \)}
(3) C = {x:x એ પૂર્ણાંક છે, \( x^2 < 4 \)}
(4) D = {x: x એ “LOYA” શબ્દનો મૂળાક્ષર છે.}
(5) E = {x : x એ વર્ષનો 31 દિવસનો ન હોય તેવો મહિનો છે.}
(6) F = {x : x એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોની ક્રમાનુસાર યાદીમાં x પહેલાંનો વ્યંજન છે.}
Answer:
(1) અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( 1, 3, 5, ... \) છે. તેથી, આપેલ ગણનું યાદી સ્વરૂપ છે: A = { \( 1, 3, 5, ... \) }
(2) અહીં, \( x \) એ \( -\frac{1}{2} \) થી \( \frac{9}{2} \) વચ્ચેનો એટલે કે \( x \) એ \( -0.5 \) થી \( 4.5 \) વચ્ચેનો પૂર્ણાંક છે. જે \( 0, 1, 2, 3, 4 \) થશે. તેથી, આપેલ ગણનું યાદી સ્વરૂપ છે: B = { \( 0, 1, 2, 3, 4 \) }
(3) જેનો વર્ગ 4 અથવા 4થી ઓછો હોય તેવા પૂર્ણાંકો \( -2, -1, 0, 1, 2 \) છે. તેથી, આપેલ ગણનું યાદી સ્વરૂપ છે: C = { \( -2, -1, 0, 1, 2 \) }
(4) “LOYA” શબ્દના મૂળાક્ષરો \( L, O, Y, A \) છે. તેથી, આપેલ ગણનું યાદી સ્વરૂપ છે: D = { \( L, O, Y, A \) }
(5) અહીં, વર્ષના જે મહિનાઓમાં 31 દિવસ નથી તેવા મહિનાઓ છે: ફેબ્રુઆરી (28 કે 29 દિવસ), એપ્રિલ (30 દિવસ), જૂન (30 દિવસ), સપ્ટેમ્બર (30 દિવસ) અને નવેમ્બર (30 દિવસ). તેથી, આપેલ ગણનું યાદી સ્વરૂપ છે: E = {ફેબ્રુઆરી, એપ્રિલ, જૂન, સપ્ટેમ્બર, નવેમ્બર}
(6) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોની ક્રમાનુસાર યાદીમાં 'x' પહેલાંના વ્યંજનો \( b, c, d, f, g, h, j \) છે. (નોંધ: \( a, e, i \) એ સ્વર છે.) તેથી, આપેલ ગણનું યાદી સ્વરૂપ છે: F = { \( b, c, d, f, g, h, j \) }
In simple words: આ પ્રશ્નમાં, તમારે આપેલા નિયમોનું પાલન કરીને ગણના દરેક ઘટકને સૂચિબદ્ધ કરવાનો છે.

Exam Tip: Carefully read the conditions for each set. For numerical sets, list all integers or natural numbers that satisfy the given inequality or property. For word-based sets, extract unique letters without repetition.

Question 6. ડાબી બાજુએ યાદીની રીતે દર્શાવેલ ગણોને જમણી બાજુએ તેના જ ગુણધર્મની રીતે દર્શાવેલા ગણો સાથે સાંકળોઃ
(1) {1, 2, 3, 6}
(2) {2, 3}
(3) {M, A, T, H, E, I, C, S}
(4) {1, 3, 5, 7, 9}
Answer:
(1) 1, 2, 3, 6 એ 6ના અવયવો છે. તેથી, (1) \( \to \) (c)
(2) 2 અને 3 એ 6ના અવિભાજ્ય અવયવો છે. તેથી, (2) \( \to \) (a)
(3) M, A, T, H, E, I, C, S એ MATHEMATICS શબ્દના મૂળાક્ષરો છે. તેથી, (3) \( \to \) (d)
(4) 1, 3, 5, 7, 9 એ 10 કરતાં નાની અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. તેથી, (4) \( \to \) (b)
In simple words: તમારે ડાબી બાજુના દરેક ગણને તેના ગુણધર્મ મુજબ જમણી બાજુના યોગ્ય વર્ણન સાથે જોડવાનો છે.

Exam Tip: For matching questions, carefully examine both lists. For sets, either list out the elements implied by the rule or define the rule for the given elements to find the correct match.