GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ Exercise 6.6

Question 1. આપેલ આકૃતિમાં, PS એ \( \triangle PQR \) નો \( \angle QPR \) નો દ્વિભાજક છે. સાબિત કરો કે, \( \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}} \).
Answer:રચના: Q માંથી PS ને સમાંતર એક રેખા દોરો, જે લંબાવેલ RP ને M માં મળે છે.
સાબિતી: \( \triangle MOR \) માં બિંદુઓ P અને S ક્રમશઃ MR અને QR નાં બિંદુઓ છે તથા PS || MQ.
\( \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{PR}} \) (પ્રમેય 6.1) ........ (1)
હવે, PS || MQ અને PQ તેમની છેદતી રેખા છે.
\( \implies \angle SPQ = \angle PQM \) (યુગ્મકોણ) ........ (2)
તે જ રીતે, PS || MQ અને NR તેમની છેદતી રેખા છે.
\( \implies \angle RPS = \angle PMQ \) (અનુકોણ)............ (3)
PS એ \( \angle QPR \) નો દ્વિભાજક છે.
\( \implies \angle SPQ = \angle RPS \) ........ (4)
(2), (3) અને (4) પરથી,
\( \implies \angle PQM = \angle PMQ \)
\( \triangle PMQ \) માં, MP = PQ .......... (5)
(1) અને (5) વાપરતા,
\( \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}} \)
In simple words: એક ત્રિકોણ \( PQR \) માં, PS એ \( \angle PQR \) ને સરખા ભાગમાં વહેંચે છે. આપણે Q માંથી PS ને સમાંતર એક રેખા દોરીએ છીએ જે RP ને M પર મળે છે. થેલ્સના પ્રમેય અને સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}} \) સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેયના દાખલા ઉકેલતા હો ત્યારે, હંમેશા એક સહાયક સમાંતર રેખા દોરીને અને પછી સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને પ્રમેય લાગુ પાડો.

Question 2. આપેલ આકૃતિમાં \( \triangle ABC \) માં BD \( \perp \) AC, DM \( \perp \) BC અને DN \( \perp \) AB થાય તેવું બિંદુ D કર્ણ AC પર છે. સાબિત કરો કે,
(i) \( \mathrm{DM}^2 = \mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC} \)
(ii) \( \mathrm{DN}^2 = \mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN} \)
Answer:આકૃતિમાં, ચતુષ્કોણ DMBN માં, \( \angle B = \angle M = \angle N = 90^\circ \). આથી DMBN એક લંબચોરસ છે.
\( \implies \mathrm{DN} = \mathrm{MB} \) .............(1)
અને \( \mathrm{DM} = \mathrm{NB} \) .............(2)
હવે, BD \( \perp \) AC
\( \implies \angle BDC = 90^\circ \) અને \( \triangle BDC \) કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં DM એ કર્ણ BC પરનો વેધ છે.
આથી \( \triangle BMD \sim \triangle DMC \sim \triangle BDC \) (પ્રમેય 6.7)
\( \implies \frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{CM}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{DM}} \)
\( \implies \mathrm{DM}^2 = \mathrm{BM} \cdot \mathrm{CM} \)
\( \implies \mathrm{DM}^2 = \mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC} \) ((1) પરથી DN = MB) (પરિણામ 10)
તે જ રીતે, \( \triangle ADB \) કાટકોણ ત્રિકોણ છે. જેમાં DN એ કર્ણ AB પરનો વેધ છે.
\( \triangle AND \sim \triangle DNB \sim \triangle ADB \) (પ્રમેય 6.7)
\( \implies \frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}} \)
\( \implies \mathrm{DN}^2 = \mathrm{BN} \cdot \mathrm{AN} \)
\( \implies \mathrm{DN}^2 = \mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN} \) ((2) પરથી DM = NB) (પરિણામ 2)
In simple words: આપેલી આકૃતિમાં, DMBN એક લંબચોરસ છે કારણ કે તેના બધા ખૂણા 90 ડિગ્રીના છે. આથી, DN અને MB સમાન છે, અને DM અને NB સમાન છે. BD એ AC પર લંબ હોવાથી, આપણે સમરૂપ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને \( \mathrm{DM}^2 = \mathrm{DN} \cdot \mathrm{MC} \) અને \( \mathrm{DN}^2 = \mathrm{DM} \cdot \mathrm{AN} \) સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: વેધ દ્વારા બનેલા સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મોને યાદ રાખો. જો કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે, તો તે વેધ મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજા સાથે સમરૂપ બે નાના કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

Question 3. આપેલ આકૃતિમાં, \( \triangle ABC \) માં, \( \angle ABC > 90^\circ \) અને AD \( \perp \) લંબાવેલ CB. સાબિત કરો કે, \( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 + 2 \mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} \).
Answer:\( \triangle ADC \) માં, \( \angle D = 90^\circ \)
\( \implies \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{DC}^2 \)
\( \mathrm{DC} = \mathrm{DB} + \mathrm{BC} \) હોવાથી,
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + (\mathrm{DB} + \mathrm{BC})^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{DB}^2 + \mathrm{BC}^2 + 2 \mathrm{DB} \cdot \mathrm{BC} \) ........ (1)
\( \triangle ADB \) માં, \( \angle D = 90^\circ \)
\( \implies \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{DB}^2 \) ........ (2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 + 2 \mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} \)
In simple words: એક ત્રિકોણ \( ABC \) માં, જો \( \angle ABC \) 90 ડિગ્રીથી મોટો હોય અને AD એ CB ની વધારાની રેખા પર લંબ હોય, તો પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે \( \mathrm{AC}^2 \) એ \( \mathrm{AB}^2 \), \( \mathrm{BC}^2 \) અને 2 ગુણ્યા \( \mathrm{BC} \) ગુણ્યા \( \mathrm{BD} \) ના સરવાળા બરાબર છે.

Exam Tip: પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવા માટે હંમેશા કાટકોણ ત્રિકોણ શોધો. આ કિસ્સામાં, \( \triangle ADC \) અને \( \triangle ADB \) બંને કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જે ગણતરીમાં મદદ કરે છે.

Question 4. આપેલ આકૃતિમાં, \( \triangle ABC \) માં, \( \angle ABC < 90^\circ \) અને AD \( \perp \) BC છે. સાબિત કરો કે, \( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2 \mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} \).
Answer:\( \triangle ADC \) માં, \( \angle D = 90^\circ \)
\( \implies \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{CD}^2 \)
\( \implies \mathrm{AD}^2 = \mathrm{AC}^2 - \mathrm{CD}^2 \) ........ (1)
\( \triangle ADB \) માં, \( \angle D = 90^\circ \)
\( \implies \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{BD}^2 \)
\( \implies \mathrm{AD}^2 = \mathrm{AB}^2 - \mathrm{BD}^2 \) ........ (2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \mathrm{AC}^2 - \mathrm{CD}^2 = \mathrm{AB}^2 - \mathrm{BD}^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{CD}^2 - \mathrm{BD}^2 \)
\( \mathrm{CD} = \mathrm{BC} - \mathrm{BD} \) હોવાથી,
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + (\mathrm{BC} - \mathrm{BD})^2 - \mathrm{BD}^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2 \mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} + \mathrm{BD}^2 - \mathrm{BD}^2 \)
\( \implies \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 - 2 \mathrm{BC} \cdot \mathrm{BD} \)
In simple words: એક ત્રિકોણ \( ABC \) માં, જો \( \angle ABC \) 90 ડિગ્રીથી નાનો હોય અને AD એ BC પર લંબ હોય, તો પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે \( \mathrm{AC}^2 \) એ \( \mathrm{AB}^2 \), \( \mathrm{BC}^2 \) અને 2 ગુણ્યા \( \mathrm{BC} \) ગુણ્યા \( \mathrm{BD} \) ની બાદબાકીના સરવાળા બરાબર છે.

Exam Tip: જ્યારે \( \angle ABC \) લઘુકોણ હોય, ત્યારે \( \mathrm{CD} \) ને \( \mathrm{BC} - \mathrm{BD} \) તરીકે રજૂ કરવાનું યાદ રાખો. આ સુત્ર ખાસ કરીને લઘુકોણ ત્રિકોણ માટે છે અને ભૂલ ન થાય તે માટે ધ્યાન રાખવું.

Question 5. આપેલ આકૃતિમાં, AD એ \( \triangle ABC \) ની મધ્યગા અને AM \( \perp \) BC સાબિત કરો કે,
(i) \( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM} + \left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2} \)
(ii) \( \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AD}^2 - \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM} + \left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2} \)
(iii) \( \mathrm{AC}^2 + \mathrm{AB}^2 = 2 \mathrm{AD}^2 + \frac{1}{2} \mathrm{BC}^2 \)
Answer:અહીં, \( \triangle AMD \), \( \triangle AMC \) અને \( \triangle AMB \) કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વળી, AD મધ્યગા હોવાથી, D એ BC નું મધ્યબિંદુ છે.
\( \mathrm{CD} = \mathrm{BD} = \frac{\mathrm{BC}}{2} \)
વળી, \( \mathrm{DM} = \mathrm{CM} - \mathrm{CD} \) અને \( \mathrm{DM} = \mathrm{BD} - \mathrm{BM} \)
(i) \( \triangle AMC \) માં, \( \angle M = 90^\circ \)
\( \implies \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{CM}^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AM}^2 + (\mathrm{DM} + \mathrm{CD})^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{DM}^2 + 2 \mathrm{DM} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{CD}^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = (\mathrm{AM}^2 + \mathrm{DM}^2) + (2 \mathrm{CD}) (\mathrm{DM}) + \mathrm{CD}^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM} + \left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2} \)
(∵ \( \triangle AMD \) માં, \( \mathrm{AD}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{DM}^2 \))
(ii) \( \triangle AMB \) માં, \( \angle M = 90^\circ \)
\( \implies \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 \)
\( \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AM}^2 + (\mathrm{BD} - \mathrm{DM})^2 \)
\( \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{BD}^2 - 2 \cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DM} + \mathrm{DM}^2 \)
\( \mathrm{AB}^2 = (\mathrm{AM}^2 + \mathrm{DM}^2) - (2 \mathrm{BD}) (\mathrm{DM}) + \mathrm{BD}^2 \)
\( \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AD}^2 - \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM} + \left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2} \) (∵ \( \mathrm{AD}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{DM}^2 \))
(iii) વિભાગ (1) અને (2) નાં પરિણામોનો સરવાળો કરતા,
\( \mathrm{AC}^2 + \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AD}^2 + \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM} + \left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2} + \mathrm{AD}^2 - \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DM} + \left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2} \)
\( \mathrm{AC}^2 + \mathrm{AB}^2 = 2 \mathrm{AD}^2 + 2 \left(\frac{\mathrm{BC}^2}{4}\right) \)
\( \implies \mathrm{AC}^2 + \mathrm{AB}^2 = 2 \mathrm{AD}^2 + \frac{1}{2} \mathrm{BC}^2 \)
In simple words: એક ત્રિકોણ \( ABC \) માં, AD એ મધ્યગા છે અને AM એ BC પર લંબ છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ત્રણ જુદા જુદા સંબંધો સાબિત કરી શકીએ છીએ. પ્રથમ, \( \mathrm{AC}^2 \) માટેનો સંબંધ. બીજું, \( \mathrm{AB}^2 \) માટેનો સંબંધ. અને ત્રીજું, \( \mathrm{AC}^2 + \mathrm{AB}^2 \) નો સરવાળો \( 2 \mathrm{AD}^2 + \frac{1}{2} \mathrm{BC}^2 \) બરાબર છે. આ બધા સંબંધો ત્રિકોણની બાજુઓ અને મધ્યગા વચ્ચેના જોડાણને સમજાવે છે.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, મધ્યગા અને વેધના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો. ખાસ કરીને, પાયથાગોરસ પ્રમેયને યોગ્ય રીતે લાગુ પાડવાથી દરેક ભાગ સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

Question 6. સાબિત કરો કે, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે. સૌપ્રથમ આપણે ઍપોલોનિસ પ્રમેય સાબિત કરીએ.
Answer:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, \( \triangle ABC \) માં AD મધ્યગા અને AM વેધ છે.
\( \mathrm{AB}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 \) (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
\( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{CM}^2 \) (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
\( \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 + \mathrm{AM}^2 + \mathrm{CM}^2 \)
\( = 2 \mathrm{AM}^2 + (\mathrm{BD} - \mathrm{MD})^2 + (\mathrm{CD} + \mathrm{MD})^2 \)
\( = 2 \mathrm{AM}^2 + (\mathrm{BD}^2 - 2 \mathrm{BD} \cdot \mathrm{MD} + \mathrm{MD}^2) + (\mathrm{CD}^2 + 2 \mathrm{CD} \cdot \mathrm{MD} + \mathrm{MD}^2) \)
\( = 2 \mathrm{AM}^2 + 2 \mathrm{MD}^2 + \mathrm{BD}^2 + \mathrm{CD}^2 \) (∵ \( \mathrm{CD} = \mathrm{BD} \))
\( = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{MD}^2) + 2 \mathrm{BD}^2 \)
\( \implies \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = 2 \mathrm{AD}^2 + 2 \mathrm{BD}^2 \)
એપોલોનિસ પ્રમેય મુજબ, \( \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = 2 (\mathrm{AD}^2 + \mathrm{BD}^2) \).
હવે, એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ PQRS લો. તેના વિકર્ણો PR અને QS છે. તેઓ એકબીજાને O બિંદુએ દુભાગે છે.
\( \implies \mathrm{PO} = \mathrm{RO} = \frac{1}{2} \mathrm{PR} \) અને \( \mathrm{QO} = \mathrm{SO} = \frac{1}{2} \mathrm{QS} \)
\( \triangle PQR \) માં, QO એ મધ્યગા છે.
એપોલોનિસ પ્રમેય લાગુ પાડતા:
\( \mathrm{PQ}^2 + \mathrm{QR}^2 = 2(\mathrm{QO}^2 + \mathrm{PO}^2) \)
\( \mathrm{PQ}^2 + \mathrm{QR}^2 = 2\left\{\left(\frac{\mathrm{QS}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{PR}}{2}\right)^{2}\right\} \)
\( \mathrm{PQ}^2 + \mathrm{QR}^2 = \frac{1}{2} (\mathrm{QS}^2 + \mathrm{PR}^2) \) ........ (1)
તે જ રીતે,
\( \triangle QRS \) માં, RO એ મધ્યગા છે.
\( \mathrm{QR}^2 + \mathrm{RS}^2 = 2(\mathrm{RO}^2 + \mathrm{QO}^2) = 2\left\{\left(\frac{\mathrm{PR}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{QS}}{2}\right)^{2}\right\} \)
\( \mathrm{QR}^2 + \mathrm{RS}^2 = \frac{1}{2} (\mathrm{PR}^2 + \mathrm{QS}^2) \) ........ (2)
\( \triangle RSP \) માં, SO એ મધ્યગા છે.
\( \mathrm{RS}^2 + \mathrm{SP}^2 = 2(\mathrm{SO}^2 + \mathrm{PO}^2) = 2\left\{\left(\frac{\mathrm{QS}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{PR}}{2}\right)^{2}\right\} \)
\( \mathrm{RS}^2 + \mathrm{SP}^2 = \frac{1}{2} (\mathrm{QS}^2 + \mathrm{PR}^2) \) ........ (3)
\( \triangle SPQ \) માં, PO એ મધ્યગા છે.
\( \mathrm{SP}^2 + \mathrm{PQ}^2 = 2(\mathrm{PO}^2 + \mathrm{SO}^2) = 2\left\{\left(\frac{\mathrm{PR}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{QS}}{2}\right)^{2}\right\} \)
\( \mathrm{SP}^2 + \mathrm{PQ}^2 = \frac{1}{2} (\mathrm{PR}^2 + \mathrm{QS}^2) \) ........ (4)
(1), (2), (3) અને (4) નો સરવાળો કરતા,
\( 2 (\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{QR}^2 + \mathrm{RS}^2 + \mathrm{SP}^2) = 2 (\mathrm{QS}^2 + \mathrm{PR}^2 + \mathrm{PR}^2 + \mathrm{QS}^2) \)
\( 2 (\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{QR}^2 + \mathrm{RS}^2 + \mathrm{SP}^2) = 2 (2 \mathrm{QS}^2 + 2 \mathrm{PR}^2) \)
\( \mathrm{PQ}^2 + \mathrm{QR}^2 + \mathrm{RS}^2 + \mathrm{SP}^2 = \mathrm{QS}^2 + \mathrm{PR}^2 \)
આમ, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
In simple words: પહેલા આપણે એપોલોનિસ પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ, જે કહે છે કે ત્રિકોણની બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો મધ્યગાના વર્ગ અને મધ્યગા દ્વારા દુભાગેલ બાજુના અડધા ભાગના વર્ગના બમણાના સરવાળા બરાબર હોય છે. પછી, આ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની ચારેય બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો જ હોય છે.

Exam Tip: એપોલોનિસ પ્રમેય અને પાયથાગોરસ પ્રમેય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મોને સાબિત કરવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. યાદ રાખો કે વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે, જે પ્રમેય લાગુ પાડવામાં મદદ કરે છે.

Question 7. આપેલ આકૃતિમાં, બે જીવાઓ AB અને CD એકબીજાને બિંદુ Pમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે,
(i) \( \triangle ARC \sim \triangle DPB \)
(ii) \( \mathrm{AP} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{CP} \cdot \mathrm{DP} \).
Answer:(i) અહીં, \( \angle CAB = \angle CDB \) (એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા)
\( \implies \angle CAP = \angle BDP \)
તે જ રીતે, \( \angle ACD = \angle DBA \) (એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા)
\( \implies \angle ACP = \angle DBP \)
હવે, \( \triangle APC \) અને \( \triangle DPB \) માં,
\( \angle CAP = \angle BDP \) અને \( \angle ACP = \angle DBP \)
ખૂણા-ખૂણા (AA) શરત મુજબ, \( \triangle APC \sim \triangle DPB \) (પરિણામ 1)
(ii) સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ, બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
\( \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}} = \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}} \)
\( \implies \mathrm{AP} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{CP} \cdot \mathrm{DP} \) (પરિણામ 2)
In simple words: એક વર્તુળમાં, બે જીવાઓ AB અને CD એકબીજાને P બિંદુએ મળે છે. આપણે ખૂણા-ખૂણા નિયમનો ઉપયોગ કરીને બતાવી શકીએ છીએ કે \( \triangle APC \) અને \( \triangle DPB \) એકબીજાને મળતા ત્રિકોણ છે. આનો અર્થ એ થાય કે તેમની બાજુઓ સમાન પ્રમાણમાં છે, તેથી \( \mathrm{AP} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{CP} \cdot \mathrm{DP} \) સંબંધ સાચો છે.

Exam Tip: વર્તુળમાં છેદતી જીવાઓ સંબંધિત પ્રશ્નો માટે, એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા અને સમરૂપ ત્રિકોણના નિયમો યાદ રાખો. ખૂણા-ખૂણા સમરૂપતા માપદંડ આવા સાબિતીઓમાં વારંવાર ઉપયોગી છે.

Question 8. આપેલ આકૃતિમાં, એક વર્તુળની બે જીવાઓ AB અને CD (લંબાવીએ તો) વર્તુળના બહારના ભાગમાં એકબીજાને Pમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે,
(i) \( \triangle PAC \sim \triangle PDB \)
(ii) \( \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \)
Answer:(i) ચક્રીય ચતુષ્કોણ ACDB માં,
\( \angle ACD + \angle ABD = 180^\circ \)
પરંતુ \( \angle ABD + \angle PBD = 180^\circ \) (રૈખિક જોડના ખૂણા).
\( \implies \angle ACD = \angle PBD \)
હવે, \( \triangle PAC \) અને \( \triangle PDB \) માં,
\( \angle P = \angle P \) (સામાન્ય ખૂણો)
\( \angle PAC = \angle PBD \) (ચક્રીય ચતુષ્કોણના બાહ્ય ખૂણા તેના આંતરિક સંમુખ ખૂણા બરાબર હોય છે)
અથવા \( \angle PCA = \angle PDB \)
ખૂણા-ખૂણા (AA) શરત મુજબ, \( \triangle PAC \sim \triangle PDB \) (પરિણામ 1)
(ii) સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ, બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
\( \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}} = \frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}} \)
\( \implies \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \) (પરિણામ 2)
In simple words: એક વર્તુળમાં, AB અને CD જીવાઓને બહાર P બિંદુ સુધી લંબાવવામાં આવે છે. આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે \( \triangle PAC \) અને \( \triangle PDB \) સમરૂપ ત્રિકોણ છે કારણ કે તેમની પાસે સામાન્ય \( \angle P \) અને સમાન અનુરૂપ ખૂણા છે. આ સમરૂપતાને કારણે, તેમની બાજુઓ ગુણોત્તરમાં સમાન હોય છે, તેથી \( \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} \).

Exam Tip: જ્યારે બે જીવાઓ વર્તુળની બહાર છેદે છે, ત્યારે યાદ રાખો કે ચક્રીય ચતુષ્કોણના બાહ્ય ખૂણા તેના આંતરિક સંમુખ ખૂણા સમાન હોય છે. આ નિયમ સમરૂપતા સાબિત કરવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 9. આપેલ આકૃતિમાં, D એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ BC પરનું એવું બિંદુ છે કે \( \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{CD}}=\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AC}} \) સાબિત કરો કે, AD \( \angle BAC \) નો દ્વિભાજક છે.
Answer:B માંથી AD ને સમાંતર એક રેખા દોરો, જે લંબાવેલ CA ને P માં છેદે છે.
હવે, \( \triangle PBC \) માં, A અને D ક્રમશઃ PC અને BC પરનાં બિંદુઓ છે તથા PB || AD.
\( \implies \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}} \)
વળી, \( \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \) (આપેલ છે.)
\( \implies \mathrm{PA} = \mathrm{AB} \).
હવે, \( \triangle PAB \) માં, PA = AB
\( \implies \angle ABP = \angle APB \) ........ (1)
AD || BP અને AB તેમની છેદતી રેખા છે.
\( \implies \angle DAB = \angle ABP \) (યુગ્મકોણ) ........ (2)
AD || BP અને CP તેમની છેદતી રેખા છે.
\( \implies \angle APB = \angle CAD \) (અનુકોણ) ........ (3)
(1), (2) અને (3) પરથી,
\( \angle DAB = \angle CAD \)
વળી, \( \angle BAD + \angle CAD = \angle BAC \).
આથી AD એ \( \angle BAC \) નો દ્વિભાજક છે.
In simple words: \( \triangle ABC \) માં, D એ BC પર એક બિંદુ છે જ્યાં \( \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \). આપણે B માંથી AD ને સમાંતર એક રેખા દોરીએ છીએ જે લંબાવેલ CA ને P પર મળે છે. સમાંતર રેખાઓ અને સમરૂપ ત્રિકોણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે \( \angle DAB \) અને \( \angle CAD \) સમાન છે. આનો અર્થ એ થાય કે AD એ \( \angle BAC \) ને બે સરખા ભાગમાં વહેંચે છે.

Exam Tip: ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેયનો વ્યસ્ત સાબિત કરવા માટે, એક સહાયક સમાંતર રેખા દોરવી એ મુખ્ય પગલું છે. સમાંતર રેખાઓ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ અને અનુરૂપ ખૂણાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, તમે સરળતાથી સાબિતી પૂર્ણ કરી શકો છો.

Question 10. નાઝીમા પાણીના પ્રવાહમાં માછલીઓ પકડી રહી છે. તેનો માછલી પકડવાનો સળિયાનો હૂક પાણીની સપાટીથી 1.8 મીટર ઊંચે છે અને દોરીના નીચેના છેડા પરનો આંકડો પાણીની સપાટી પર એવી રીતે સ્થિર છે કે નાઝીમાથી તેનું અંતર 3.6 મીટર છે અને સળિયાના હૂક નીચેની પાણીની સપાટીથી તેનું અંતર 2.4 મીટર છે. એવું માની લઈએ કે (સળિયાના હૂકથી આંકડા સુધી) તેની દોરી તંગ છે, તો તેણે કેટલી દોરી બહાર કાઢી છે? (જુઓ આપેલ આકૃતિ) જો તે દોરીને 5 સેમી / સેના દરથી અંદર ખેંચે, તો 12 સેકન્ડ પછી નાઝીમાનું આંકડાથી સમક્ષિતિજ અંતર કેટલું હશે?
Answer:અહીં, \( \triangle ABC \) મૂળ સ્થિતિ દર્શાવે છે જેમાં A માછલી પકડવાના સળિયાનો હૂક છે, C દોરીના નીચેના છેડા પરનો આંકડો છે અને B સળિયાના હૂકની નીચેનું પાણી પરનું બિંદુ છે.
તો, \( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \), \( \mathrm{AB} = 1.8 \) મી અને \( \mathrm{BC} = 2.4 \) મી.
હવે, \( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 \) (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
\( \mathrm{AC}^2 = (1.8)^2 + (2.4)^2 \)
\( \mathrm{AC}^2 = 3.24 + 5.76 \)
\( \mathrm{AC}^2 = 9 \)
\( \mathrm{AC} = 3 \) મી
આમ, મૂળ સ્થિતિમાં તેણે 3 મીટર દોરી બહાર કાઢી છે.
1 સેકન્ડમાં અંદર ખેંચેલ દોરીની લંબાઈ = 5 સેમી
12 સેકન્ડમાં અંદર ખેંચેલ દોરીની લંબાઈ = \( 12 \times 5 = 60 \) સેમી = 0.6 મી.
હવે, બીજી સ્થિતિમાં, દોરીની લંબાઈ \( \mathrm{AC} = 3 \) મી \( - 0.6 \) મી \( = 2.4 \) મી
અને \( \mathrm{AB} = 1.8 \) મી.
ફરીથી, \( \mathrm{AC}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{BC}^2 \)
\( (2.4)^2 = (1.8)^2 + \mathrm{BC}^2 \)
\( \mathrm{BC}^2 = (2.4)^2 - (1.8)^2 \)
\( \mathrm{BC}^2 = (2.4 + 1.8) (2.4 - 1.8) \)
\( \mathrm{BC}^2 = 4.2 \times 0.6 \)
\( \mathrm{BC}^2 = 2.52 \)
\( \implies \mathrm{BC} = \sqrt{2.52} \)
\( \implies \mathrm{BC} \approx 1.59 \) મી (આશરે)
હવે, નાઝીમાનું આંકડાથી સમક્ષિતિજ અંતર = BC + 1.2 મી = \( (1.59 + 1.20) \) મી = \( 2.79 \) મી.
In simple words: નાઝીમા માછલી પકડે છે. સળિયાનો હૂક પાણીથી 1.8 મીટર ઉપર છે. આંકડો 3.6 મીટર દૂર છે અને હૂકથી પાણીમાં 2.4 મીટર દૂર છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ કે તેણે 3 મીટર દોરી બહાર કાઢી છે. જો તે દોરીને 5 સેમી પ્રતિ સેકન્ડના દરે ખેંચે, તો 12 સેકન્ડ પછી 0.6 મીટર દોરી અંદર ખેંચાઈ જશે. નવી દોરીની લંબાઈ 2.4 મીટર થશે. ફરીથી પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આંકડાથી નાઝીમાનું નવું આડું અંતર આશરે 2.79 મીટર હશે.

Exam Tip: આ પ્રકારના દાખલાઓમાં, આકૃતિને ધ્યાનથી જુઓ અને કાટકોણ ત્રિકોણ ઓળખો. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત લંબાઈ શોધો. સમય-આધારિત ફેરફારોને યોગ્ય રીતે ગણતરીમાં લેવાનું ભૂલશો નહીં અને એકમોનું રૂપાંતરણ કાળજીપૂર્વક કરો.