GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 6 ત્રિકોણ Exercise 6.5

 

Question 1. નીચે ત્રિકોણની બાજુઓ આપેલી છે. તે પૈકી કયા ત્રિકોણો કાટકોણ ત્રિકોણો છે, તે નક્કી કરો. જે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય, તેના કર્ણની લંબાઈ શોધોઃ
(i) 7 સેમી, 24 સેમી, 25 સેમી
(ii) 3 સેમી, 8 સેમી, 6 સેમી
(iii) 50 સેમી, 80 સેમી, 100 સેમી
(iv) 13 સેમી, 12 સેમી, 5 સેમી
Answer:
(i) 7 સેમી, 24 સેમી, 25 સેમી
અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 25 સેમી છે.
\( 25^2 = 625 \) અને \( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \)
\( \therefore 25^2 = 7^2 + 24^2 \)
અહીં, સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે. આથી 7 સેમી, 24 સેમી અને 25 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેના કર્ણની લંબાઈ 25 સેમી છે.
In simple words: આપણે સૌથી લાંબી બાજુનો વર્ગ શોધીએ છીએ. પછી, બીજી બે બાજુઓના વર્ગનો સરવાળો કરીએ છીએ. જો બંને સરખા હોય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને સૌથી લાંબી બાજુ કર્ણ છે.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણ નક્કી કરવા માટે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો: સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ, બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા બરાબર હોવો જોઈએ.

 

(ii) 3 સેમી, 8 સેમી, 6 સેમી
Answer:અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 8 સેમી છે.
\( 8^2 = 64 \) અને \( 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \)
\( \therefore 8^2 \neq 3^2 + 6^2 \)
આથી 3 સેમી, 8 સેમી અને 6 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
In simple words: અહીં, સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો થતો નથી. તેથી, આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

Exam Tip: જો પાયથાગોરસ પ્રમેય સંતોષાતું નથી, તો ત્રિકોણ કાટકોણ નથી. હંમેશા સૌથી મોટી બાજુને કર્ણ તરીકે લો અને ગણતરી કરો.

 

(iii) 50 સેમી, 80 સેમી, 100 સેમી
Answer:અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 100 સેમી છે.
\( 100^2 = 10000 \)
અને \( 50^2 + 80^2 = 2500 + 6400 = 8900 \)
\( \therefore 100^2 \neq 50^2 + 80^2 \)
આથી 50 સેમી, 80 સેમી અને 100 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.
In simple words: આ કિસ્સામાં પણ, સૌથી લાંબી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો નથી. તેથી, આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

Exam Tip: ધ્યાન રાખો કે ત્રિકોણની બાજુઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનવા માટે પાયથાગોરસ પ્રમેયનું પાલન કરવું જોઈએ. ભૂલથી ગણતરીમાં કોઈ ભૂલ ન થાય તેનું ધ્યાન રાખો.

 

(iv) 13 સેમી, 12 સેમી, 5 સેમી
Answer:અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 13 સેમી છે.
\( 13^2 = 169 \)
અને \( 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \)
\( \therefore 13^2 = 12^2 + 5^2 \)
અહીં, સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે. આથી 13 સેમી, 12 સેમી અને 5 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેના કર્ણની લંબાઈ 13 સેમી છે.
In simple words: અહીં, સૌથી લાંબી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે. તેથી, આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેનો કર્ણ 13 સેમી છે.

Exam Tip: હંમેશા સૌથી મોટી બાજુને કર્ણ તરીકે ઓળખો અને પછી પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તપાસ કરો. જો તે સંતોષાય, તો ત્રિકોણ કાટકોણ છે.

 

Question 2. ત્રિકોણ PQR માં \( \angle P \) કાટખૂણો છે અને M એ QR પરનું એવું બિંદુ છે કે, \( PM \perp QR \). બિંદુ છે કે, \( PM^2 = QM \cdot MR \).
Answer:

ત્રિકોણ PQR માં \( \angle P \) કાટખૂણો છે અને M એ QR પરનું એવું બિંદુ છે કે \( PM \perp QR \).
\( \triangle RMP \sim \triangle PMQ \sim \triangle RPQ \) (પ્રમેય 6.7)
હવે, \( \triangle RMP \sim \triangle PMQ \)
\( \implies \frac{PM}{QM} = \frac{RM}{PM} \)
\( \implies PM^2 = QM \cdot MR \)
In simple words: જ્યારે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે છે, ત્યારે બનતા નાના ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણ સાથે અને એકબીજા સાથે સમરૂપ હોય છે. આ સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( PM^2 = QM \cdot MR \) સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર દોરેલા વેધને કારણે બનતા સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મો યાદ રાખો. આ પ્રમેય ઘણા ભૂમિતિના દાખલાઓમાં ઉપયોગી છે.

 

Question 3. આપેલ આકૃતિમાં, ત્રિકોણ ABD માં \( \angle A \) કાટખૂણો છે અને \( AC \perp BD \). સાબિત કરો કે,
(i) \( AB^2 = BC \cdot BD \)
(ii) \( AC^2 = BC \cdot DC \)
(iii) \( AD^2 = BD \cdot CD \)
Answer:

\( \triangle ABD \) માં \( \angle A \) કાટખૂણો છે અને \( AC \perp BD \).
\( \therefore \triangle BCA \sim \triangle ACD \sim \triangle BAD \) (પ્રમેય 6.7)
(i) \( \triangle BCA \sim \triangle BAD \)
\( \implies \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{AB} \)
\( \implies AB^2 = BC \cdot BD \)
In simple words: જ્યારે કાટકોણ ત્રિકોણના કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે છે, ત્યારે તે બે નાના ત્રિકોણમાં વિભાજિત થાય છે જે મૂળ ત્રિકોણ અને એકબીજા સાથે સમરૂપ હોય છે. આ સમરૂપતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આપણે \( AB^2 = BC \cdot BD \) સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણમાં વેધ સંબંધિત પ્રમેય (પ્રમેય 6.7) ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તેની સમરૂપતાની શરતો અને ગુણોત્તરો યાદ રાખો.

 

(ii) \( \triangle BCA \sim \triangle ACD \)
Answer:\( \implies \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{AC} \)
\( \implies AC^2 = BC \cdot DC \)
In simple words: સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( \triangle BCA \) અને \( \triangle ACD \) વચ્ચેની સમરૂપતામાંથી \( AC^2 = BC \cdot DC \) સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમરૂપ ત્રિકોણોમાં અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સમાન હોય છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ સંબંધો સાબિત કરી શકાય છે.

 

(iii) \( \triangle ACD \sim \triangle BAD \)
Answer:\( \implies \frac{AD}{BD} = \frac{CD}{AD} \)
\( \implies AD^2 = BD \cdot CD \)
In simple words: \( \triangle ACD \) અને \( \triangle BAD \) વચ્ચેની સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( AD^2 = BD \cdot CD \) સંબંધ મેળવી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમરૂપતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અનુરૂપ બાજુઓને યોગ્ય ક્રમમાં લેવાની ખાતરી કરો. આ ભૂલો ટાળવામાં મદદ કરશે.

 

Question 4. સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં \( \angle C \) કાટખૂણો છે. સાબિત કરો કે, \( AB^2 = 2AC^2 \).
Answer:

\( \triangle ABC \) માં \( AB \) કર્ણ છે અને બાકીની બે બાજુઓ સમાન છે, એટલે કે, \( BC = AC \).
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle C = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AB^2 = BC^2 + AC^2 \)
\( \implies AB^2 = AC^2 + AC^2 \) (કારણ કે \( BC = AC \))
\( \implies AB^2 = 2AC^2 \)
In simple words: જો ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય અને \( \angle C \) કાટખૂણો હોય, તો \( AC \) અને \( BC \) સમાન હોય છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સરળતાથી \( AB^2 = 2AC^2 \) સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કાટખૂણો બનાવતી બંને બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે. આ હકીકતનો ઉપયોગ પાયથાગોરસ પ્રમેય સાથે કરો.

 

Question 5. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં \( AC = BC \). જો \( AB^2 = 2AC^2 \) હોય, તો સાબિત કરો કે ABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
Answer:\( \triangle ABC \) માં, \( AC = BC \) અને \( AB^2 = 2AC^2 \).
આપણને \( AB^2 = 2AC^2 \) આપેલું છે.
\( \implies AB^2 = AC^2 + AC^2 \)
\( \implies AB^2 = AC^2 + BC^2 \) (કારણ કે \( AC = BC \))
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેયના પ્રતીપ મુજબ, \( \triangle ABC \) કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં \( \angle C \) કાટખૂણો છે.
In simple words: જો ત્રિકોણની એક બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો હોય, તો તે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય છે. અહીં \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) છે, તેથી \( \triangle ABC \) કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને \( \angle C \) કાટખૂણો છે.

Exam Tip: પાયથાગોરસ પ્રમેયનો પ્રતીપ યાદ રાખો. તે તમને આપેલ બાજુઓ પરથી ત્રિકોણ કાટકોણ છે કે નહીં તે નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

 

Question 6. સમબાજુ ત્રિકોણ ABCની બાજુ 2a છે. તેના દરેક વેધ શોધો.
Answer:

\( \triangle ABC \) માં, \( AB = BC = CA = 2a \).
AD એ \( \triangle ABC \) નો વેધ છે.
\( \implies \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \).
\( \triangle ADB \) અને \( \triangle ADC \) માં,
\( \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \)
\( AB = AC \)
\( AD = AD \)
\( \therefore \) એકરૂપતાની કાકબા શરત મુજબ, \( \triangle ADB \cong \triangle ADC \)
\( \implies BD = CD \)
પરંતુ, \( BD + CD = BC \)
\( \implies BD = CD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (2a) = a \)
હવે, \( \triangle ADB \) માં \( \angle D = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)
\( \implies (2a)^2 = AD^2 + (a)^2 \)
\( \implies 4a^2 - a^2 = AD^2 \)
\( \implies AD^2 = 3a^2 \)
\( \implies AD = \sqrt{3}a \)
સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક વેધ સમાન હોય છે. આમ, 2a બાજુ ધરાવતા સમબાજુ \( \triangle ABC \) નો દરેક વેધ \( \sqrt{3}a \) છે.
In simple words: સમબાજુ ત્રિકોણમાં, દરેક વેધ મધ્યગા પણ હોય છે અને તે આધારને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે વેધની લંબાઈ \( \sqrt{3}a \) શોધી શકીએ છીએ, જ્યાં 'a' એ અડધી બાજુની લંબાઈ છે.

Exam Tip: સમબાજુ ત્રિકોણમાં, વેધ, મધ્યગા અને શિરોલંબ એક જ હોય છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ ગણતરીઓને સરળ બનાવે છે.

 

Question 7. સાબિત કરો કે, સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો તેના વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો થાય છે.
Answer:

પક્ષ: ABCD સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાધ્ય: \( AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 \)
સાબિતી: ABCD સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
\( \therefore AB = BC = CD = DA \) (1)
ધારો કે, તેના વિકર્ણ AC અને BD, M માં છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
\( \therefore \angle AMB = \angle BMC = \angle CMD = \angle DMA = 90^\circ \)
\( AM = MC = \frac{1}{2} AC \)
અને \( BM = MD = \frac{1}{2} BD \)
\( \triangle AMB \) માં, \( \angle AMB = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AB^2 = MA^2 + MB^2 \)
\( \implies AB^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2 \)
\( \implies AB^2 = \frac{AC^2}{4} + \frac{BD^2}{4} \)
\( \implies 4AB^2 = AC^2 + BD^2 \)
\( \implies AB^2 + AB^2 + AB^2 + AB^2 = AC^2 + BD^2 \)
અને સમીકરણ (1) પરથી, \( AB = BC = CD = DA \).
\( \implies AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 \)
In simple words: સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં, વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. આ ગુણધર્મ અને પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે બધી બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો થાય છે.

Exam Tip: સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે. આ તમને ગણતરી માટે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવવામાં મદદ કરશે.

 

Question 8. આપેલ આકૃતિમાં, O ત્રિકોણ ABCની અંદરનું બિંદુ છે, \( OD \perp BC \), \( OE \perp AC \) અને \( OF \perp AB \). સાબિત કરો કે,
(i) \( OA^2 + OB^2 + OC^2 – OD^2 – OE^2 – OF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2 \)
(ii) \( AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + CD^2 + BF^2 \)
Answer:

OA, OB અને OC જોડો.
અહીં, \( \triangle OFA \) અને \( \triangle OFB \) માં \( \angle F = 90^\circ \), \( \triangle ODB \) અને \( \triangle ODC \) માં \( \angle D = 90^\circ \) તથા \( \triangle OEC \) અને \( \triangle OEA \) માં \( \angle E = 90^\circ \).
આથી દરેક ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય.
(i) \( \triangle OFA \) માં, \( \angle F = 90^\circ \)
\( OA^2 = OF^2 + AF^2 \)
\( \implies AF^2 = OA^2 – OF^2 \) .......... (1)
\( \triangle ODB \) માં \( \angle D = 90^\circ \)
\( OB^2 = OD^2 + BD^2 \)
\( \implies BD^2 = OB^2 – OD^2 \) .......... (2)
\( \triangle OEC \) માં, \( \angle E = 90^\circ \)
\( OC^2 = OE^2 + CE^2 \)
\( \implies CE^2 = OC^2 – OE^2 \) .......... (3)
(1), (2) અને (3)નો સરવાળો લેતાં,
\( AF^2 + BD^2 + CE^2 = (OA^2 – OF^2) + (OB^2 – OD^2) + (OC^2 – OE^2) \)
\( \implies AF^2 + BD^2 + CE^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 – OD^2 – OE^2 – OF^2 \)
In simple words: દરેક નાના કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય લાગુ પાડીને, આપણે \( AF^2 \), \( BD^2 \) અને \( CE^2 \) માટે સમીકરણો મેળવી શકીએ છીએ. આ સમીકરણોનો સરવાળો કરીને, આપણે પ્રથમ સંબંધ સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબ દોરવામાં આવે, ત્યારે બનતા નાના કાટકોણ ત્રિકોણોમાં પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાની પ્રેક્ટિસ કરો.

 

(ii) \( AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + CD^2 + BF^2 \)
Answer:આપણને પ્રથમ ભાગમાં \( OA^2 + OB^2 + OC^2 – OD^2 – OE^2 – OF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2 \) મળ્યું.
આપણે \( OA^2 + OB^2 + OC^2 – OD^2 – OE^2 – OF^2 = AE^2 + CD^2 + BF^2 \) સાબિત કરવું છે.
અગાઉના પગલાંઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અલગ રીતે ગોઠવીએ:
\( OA^2 – OE^2 = AE^2 \)
\( OB^2 – OF^2 = BF^2 \)
\( OC^2 – OD^2 = CD^2 \)
તેથી,
\( AF^2 + BD^2 + CE^2 = (OA^2 – OE^2) + (OB^2 – OF^2) + (OC^2 – OD^2) \)
\( \implies AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + BF^2 + CD^2 \) ( \( \triangle OAE \), \( \triangle OBF \) અને \( \triangle OCD \) કાટકોણ ત્રિકોણો છે.)
In simple words: પહેલા ભાગમાં સાબિત કરેલા સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીને અને જુદા જુદા કાટકોણ ત્રિકોણોમાંથી પાયથાગોરસના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બીજા સંબંધને સરળતાથી સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: એક જ પ્રશ્નના જુદા જુદા ભાગો એકબીજા સાથે સંબંધિત હોય છે. પહેલા ભાગનું પરિણામ બીજા ભાગને ઉકેલવામાં મદદ કરી શકે છે.

 

Question 9. 10 મીટર લાંબી એક નિસરણી જમીનથી 8 મીટર ઊંચે આવેલી એક બારીને અડકે છે. નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના તળિયેથી અંતર શોધો.
Answer:

અહીં, AB દીવાલ છે તથા A બારી છે અને AC નિસરણી છે.
આથી \( AC = 10 \) મી અને \( AB = 8 \) મી.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( 10^2 = 8^2 + BC^2 \)
\( BC^2 = 10^2 - 8^2 \)
\( BC^2 = 100 - 64 \)
\( BC^2 = 36 \)
\( BC = \sqrt{36} \)
\( BC = 6 \) મી
આમ, નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના તળિયેથી અંતર 6 મી છે.
In simple words: નિસરણી, દીવાલ અને જમીન કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. નિસરણી કર્ણ છે અને દીવાલ એક બાજુ છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દીવાલના તળિયેથી નિસરણીના છેડા સુધીનું અંતર શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: નિસરણી, દીવાલ અને જમીન જેવા વ્યવહારિક પ્રશ્નોમાં હંમેશા કાટકોણ ત્રિકોણની કલ્પના કરો. લંબાઈઓને યોગ્ય રીતે કર્ણ અને બાજુઓ તરીકે ઓળખો.

 

Question 10. 18 મીટર ઊંચા શિરોલંબ થાંભલાના ઉપરના છેડાથી 24 મીટર લાંબા તારનો એક છેડો જોડાયેલો છે. તે તારનો બીજો છેડો એક ખીલા સાથે જોડાયેલો છે. થાંભલાના આધારથી કેટલા અંતરે ખીલો લગાડવામાં આવે, તો તાર તંગ રહે?
Answer:

અહીં, AB એ 18 મીટર ઊંચો થાંભલો છે. જેના ઉપરના છેડા A થી 24 મીટર લાંબા તાર AC નો એક છેડો જોડાયેલ છે. તારનો બીજો છેડો C એ એક ખીલા સાથે જોડાયેલ છે.
હવે, \( AC = 24 \) મી અને \( AB = 18 \) મી.
\( \triangle ABC \) માં, \( \angle B = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
\( 24^2 = 18^2 + BC^2 \)
\( BC^2 = 576 - 324 \)
\( BC^2 = 252 \)
\( BC = \sqrt{252} \)
\( BC = \sqrt{36 \times 7} \)
\( BC = 6\sqrt{7} \) મી
આમ, થાંભલાના આધારથી \( 6\sqrt{7} \) મી અંતરે ખીલો લગાડવામાં આવે, તો તાર તંગ રહે.
In simple words: થાંભલો, જમીન અને તાર એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. તાર કર્ણ છે અને થાંભલો એક બાજુ છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે થાંભલાના આધારથી ખીલા સુધીનું અંતર શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, થાંભલો હંમેશા જમીન સાથે કાટખૂણો બનાવે છે. આનાથી કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે, જ્યાં તમે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

 

Question 11. એક વિમાન એક વિમાનમથકની ઉત્તર દિશામાં 1000 કિમી કલાકની ઝડપથી ઊડે છે. એ જ સમયે, બીજું એક વિમાન એ જ વિમાનમથકની પશ્ચિમ દિશામાં 1200 કિમી / કલાકની ઝડપે ઊડે છે. \( 1\frac{1}{2} \) કલાક પછી આ વિમાનો એકબીજાથી કેટલા દૂર હશે?
Answer:

અહીં, A વિમાનમથક છે. B એ 1000 કિમી / કલાકની ઝડપે ઉત્તર દિશામાં ઉડતા પ્રથમ વિમાનનું \( 1\frac{1}{2} \) કલાક પછીનું સ્થાન તથા C એ 1200 કિમી કલાકની ઝડપે પશ્ચિમ દિશામાં ઉડતા દ્વિતીય વિમાનનું \( 1\frac{1}{2} \) કલાક પછીનું સ્થાન છે.
હવે, AB = પ્રથમ વિમાને \( 1\frac{1}{2} \) કલાકમાં કાપેલ અંતર
\( = \) ઝડપ \( \times \) સમય \( = 1000 \times \frac{3}{2} = 1500 \) કિમી
તે જ રીતે, AC = દ્વિતીય વિમાને \( 1\frac{1}{2} \) કલાકમાં કાપેલ અંતર
\( = \) ઝડપ \( \times \) સમય \( = 1200 \times \frac{3}{2} = 1800 \) કિમી
વળી, \( \angle BAC \) એ ઉત્તર દિશા અને પશ્ચિમ દિશા દ્વારા બનતો ખૂણો છે.
આથી \( \angle BAC = 90^\circ \).
હવે, \( \triangle ABC \) માં, \( \angle A = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
\( BC^2 = (1500)^2 + (1800)^2 \)
\( BC^2 = 2250000 + 3240000 \)
\( BC^2 = 5490000 \)
\( BC = \sqrt{5490000} \)
\( BC = \sqrt{90000 \times 61} \)
\( BC = 300\sqrt{61} \) કિમી
આમ, \( 1\frac{1}{2} \) કલાક પછી આ વિમાનો એકબીજાથી \( 300\sqrt{61} \) કિમી દૂર હશે.
In simple words: વિમાનો એકબીજાથી કાટખૂણે ઉડે છે, તેથી તેમની ગતિ અને સમયનો ઉપયોગ કરીને કાપેલું અંતર શોધી શકાય છે. આ અંતર કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ બનશે અને વિમાનો વચ્ચેનું અંતર કર્ણ હશે.

Exam Tip: દિશા સંબંધિત પ્રશ્નોમાં, ઉત્તર-દક્ષિણ અને પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશાઓ હંમેશા એકબીજાને કાટખૂણે હોય છે. આને ધ્યાનમાં રાખીને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો.

 

Question 12. 6 મીટર અને 11 મીટર ઊંચાઈના બે થાંભલા સમતલ જમીન પર આવેલા છે. જો થાંભલાના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર 12 મીટર હોય, તો તેમના ઉપરના છેડા વચ્ચેનું અંતર શોધો.
Answer:

અહીં, AB અને CD એ અનુક્રમે 6 મી અને 11 મી ઊંચાઈ ધરાવતા બે થાંભલા છે. જેમના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર 12 મી છે.
આથી \( AB = 6 \) મી, \( BD = 12 \) મી, \( CD = 11 \) મી, \( \angle B = 90^\circ \) અને \( \angle D = 90^\circ \).
AE || BC દોરો.
હવે, ચતુષ્કોણ ABDE માં,
\( \angle B = \angle D = \angle E = \angle A = 90^\circ \)
માટે, ABDE લંબચોરસ છે.
\( ED = AB = 6 \) મી અને \( AE = BD = 12 \) મી.
આથી \( CE = CD – DE = 11 – 6 = 5 \) મી.
હવે, \( \triangle AEC \) માં, \( \angle E = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AC^2 = AE^2 + CE^2 \)
\( AC^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( AC^2 = 144 + 25 \)
\( AC^2 = 169 \)
\( AC = \sqrt{169} \)
\( AC = 13 \) મી
આમ, થાંભલાઓના ઉપરના છેડા વચ્ચેનું અંતર 13 મી થાય.
In simple words: બે થાંભલાઓ અને તેમની વચ્ચેનું અંતર એક લંબચોરસ અને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. એક થાંભલાના ઉપરના છેડાથી બીજા થાંભલાના તળિયાને સમાંતર રેખા દોરીને, આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ. પછી પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉપરના છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સમાંતર રેખા દોરીને લંબચોરસ અને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવવાની પદ્ધતિને યાદ રાખો. આનાથી ગણતરી સરળ બને છે.

 

Question 13. \( \triangle ABC \) માં \( \angle C \) કાટખૂણો છે અને D અને E અનુક્રમે તેની બાજુઓ CA અને CB પરનાં બિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે, \( AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2 \).
Answer:

\( \triangle ABC \) માં, \( \angle C \) કાટખૂણો છે અને D અને E અનુક્રમે બાજુઓ CA અને CB પરનાં બિંદુઓ છે.
આથી \( \triangle ECA \), \( \triangle BCD \), \( \triangle BCA \), \( \triangle ECD \) કાટકોણ ત્રિકોણ થાય જે દરેકમાં \( \angle C \) કાટખૂણો છે.
આથી દરેક ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ થઈ શકે.
\( \triangle ECA \) માં, \( AE^2 = EC^2 + CA^2 \) ..........(1)
\( \triangle BCD \) માં, \( BD^2 = BC^2 + CD^2 \) ..........(2)
\( \triangle BCA \) માં, \( AB^2 = BC^2 + CA^2 \) ..........(3)
\( \triangle ECD \) માં, \( DE^2 = EC^2 + CD^2 \) ..........(4)
(1) અને (2)નો સરવાળો લેતાં,
\( AE^2 + BD^2 = EC^2 + CA^2 + BC^2 + CD^2 \)
\( AE^2 + BD^2 = (BC^2 + CA^2) + (EC^2 + CD^2) \)
\( \implies AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2 \) ((3) અને (4) પરથી)
આમ, \( AE^2 + BD^2 = AB^2 + DE^2 \)
In simple words: \( \triangle ABC \) માં \( \angle C \) કાટખૂણો હોવાથી, આપણે જુદા જુદા નાના કાટકોણ ત્રિકોણો બનાવી શકીએ છીએ. દરેક કાટકોણ ત્રિકોણ પર પાયથાગોરસ પ્રમેય લાગુ પાડીને અને પછી સમીકરણોનો સરવાળો કરીને, આપણે માંગેલું પરિણામ સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જટિલ ભૂમિતિના દાખલાઓમાં, નાના કાટકોણ ત્રિકોણોને ઓળખો અને દરેક પર પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો. પછી સમીકરણોનો સરવાળો અથવા બાદબાકી કરીને સંબંધો મેળવો.

 

Question 14. Aમાંથી \( \triangle ABC \) ની બાજુ BC પર દોરેલો લંબ BC ને D માં એવી રીતે છેદે છે કે \( DB = 3CD \). (જુઓ આપેલ આકૃતિ). સાબિત કરો કે, \( 2AB^2 = 2AC^2 + BC^2 \).
Answer:

આપેલ છે: \( DB = 3CD \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( BC = BD + CD \)
\( \implies BC = 3CD + CD \)
\( \implies BC = 4CD \)
\( \implies CD = \frac{1}{4} BC \)
અને \( BD = 3CD = 3 \left(\frac{1}{4} BC\right) = \frac{3}{4} BC \).
\( \triangle ADB \) માં, \( \angle D = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AB^2 = AD^2 + DB^2 \) ..........(2)
\( \triangle ADC \) માં, \( \angle D = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AC^2 = AD^2 + CD^2 \) ..........(3)
(2) માંથી (3) બાદ કરતાં,
\( AB^2 – AC^2 = (AD^2 + DB^2) – (AD^2 + CD^2) \)
\( \implies AB^2 – AC^2 = DB^2 – CD^2 \)
\( \implies AB^2 – AC^2 = (DB + CD) (DB – CD) \)
\( \implies AB^2 – AC^2 = (BC) (3CD – CD) \)
\( \implies AB^2 – AC^2 = (BC) (2CD) \)
\( \implies AB^2 – AC^2 = BC \left(2 \cdot \frac{1}{4} BC\right) \) (કારણ કે \( CD = \frac{1}{4} BC \))
\( \implies AB^2 – AC^2 = BC \left(\frac{1}{2} BC\right) \)
\( \implies AB^2 – AC^2 = \frac{1}{2} BC^2 \)
સમીકરણને 2 વડે ગુણતાં,
\( \implies 2AB^2 – 2AC^2 = BC^2 \)
\( \implies 2AB^2 = 2AC^2 + BC^2 \)
In simple words: પહેલા, \( CD \) અને \( BD \) ને \( BC \) ના સંદર્ભમાં શોધો. પછી, \( \triangle ADB \) અને \( \triangle ADC \) માં પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો. બંને સમીકરણોને બાદ કરીને અને \( CD \) અને \( BD \) ની કિંમતો મૂકીને, આપણે આપેલ સંબંધ સાબિત કરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે આવા સંબંધો સાબિત કરવાના હોય, ત્યારે બધા સંબંધિત કાટકોણ ત્રિકોણોમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય લાગુ પાડો. પછી સમીકરણોને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને અને અવેજી કરીને પરિણામ મેળવો.

 

Question 15. સમબાજુ ત્રિકોણ ABCની બાજુ BC પર D એવું બિંદુ છે કે જેથી \( BD = \frac{1}{3} BC \). સાબિત કરો કે, \( 9AD^2 = 7AB^2 \).
Answer:

પક્ષ: સમબાજુ ત્રિકોણ ABCની બાજુ BC પર D એવું બિંદુ છે કે જેથી \( BD = \frac{1}{3} BC \).
રચના: AM \( \perp \) BC દોરો, જ્યાં M એ BC પર હોય.
સાબિતી: \( \triangle ABC \) સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે, \( AB = BC = AC = a \) એકમ.
સમબાજુ \( \triangle ABC \) માં AM વેધ છે, તેથી AM મધ્યગા પણ છે.
\( \implies BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}a \).
આપણને આપેલ છે કે \( BD = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3}a \).
હવે, \( DM = BM – BD = \frac{1}{2}a – \frac{1}{3}a = \frac{3a - 2a}{6} = \frac{a}{6} \).
\( \triangle AMB \) માં, \( \angle M = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AB^2 = AM^2 + BM^2 \)
\( a^2 = AM^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \)
\( a^2 = AM^2 + \frac{a^2}{4} \)
\( AM^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \).
\( \triangle AMD \) માં, \( \angle M = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AD^2 = AM^2 + DM^2 \)
\( AD^2 = \frac{3a^2}{4} + \left(\frac{a}{6}\right)^2 \)
\( AD^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{36} \)
\( AD^2 = \frac{27a^2 + a^2}{36} \)
\( AD^2 = \frac{28a^2}{36} \)
\( AD^2 = \frac{7a^2}{9} \)
\( \implies 9AD^2 = 7a^2 \)
પરંતુ, \( a = AB \).
\( \implies 9AD^2 = 7AB^2 \).
In simple words: સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ દોરો, જે મધ્યગા પણ છે. આપેલ શરતનો ઉપયોગ કરીને \( DM \) નું મૂલ્ય શોધો. પછી, \( \triangle AMB \) માંથી \( AM^2 \) અને \( \triangle AMD \) માંથી \( AD^2 \) શોધવા માટે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો અને સમીકરણોને ગોઠવીને અંતિમ સંબંધ મેળવો.

Exam Tip: સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ મધ્યગા હોય છે, આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો. \( BM \) અને \( DM \) ના મૂલ્યોને કાળજીપૂર્વક ગણો અને પાયથાગોરસ પ્રમેયનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

 

Question 16. સમબાજુ ત્રિકોણમાં સાબિત કરો કે, કોઈ પણ બાજુના વર્ગના 3 ગણા એ તેના કોઈ પણ વેધના વર્ગના 4 ગણા બરાબર છે.
Answer:

\( \triangle ABC \) એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે, જેમાં AD વેધ છે.
ધારો કે, \( AB = BC = CA = a \) એકમ.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ એ મધ્યગા પણ છે.
\( \therefore AD \) મધ્યગા છે.
\( \implies BD = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2} \) એકમ.
\( \triangle ADB \) માં, \( \angle D = 90^\circ \).
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)
\( a^2 = AD^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \)
\( a^2 = AD^2 + \frac{a^2}{4} \)
\( AD^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} \)
\( AD^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} \)
\( AD^2 = \frac{3a^2}{4} \)
\( \implies 4AD^2 = 3a^2 \)
\( \implies 4 \) (વેધ)\(^2 = 3 \) (બાજુ)\(^2 \).
In simple words: સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ મધ્યગા હોય છે અને આધારને દુભાગે છે. પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે વેધ અને બાજુ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકીએ છીએ, જે સાબિત કરે છે કે બાજુના વર્ગના 3 ગણા વેધના વર્ગના 4 ગણા બરાબર છે.

Exam Tip: સમબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો કે વેધ એ મધ્યગા પણ છે અને તે બાજુને દુભાગે છે. આ તમને પાયથાગોરસ પ્રમેય લાગુ કરવા માટે યોગ્ય લંબાઈઓ આપવામાં મદદ કરશે.

 

Question 17. સાચો જવાબ જણાવો અને ચકાસો. \( \triangle ABC \) માં, \( AB = 6\sqrt{3} \) સેમી, \( AC = 12 \) સેમી અને \( BC = 6 \) સેમી હોય, તો ખૂણો B =
(A) \( 120^\circ \)
(B) \( 60^\circ \)
(C) \( 90^\circ \)
(D) \( 45^\circ \)
Answer: (C) \( 90^\circ \)
\( \triangle ABC \) માં, \( AB = 6\sqrt{3} \) સેમી, \( AC = 12 \) સેમી અને \( BC = 6 \) સેમી.
અહીં, AC એ સૌથી મોટી બાજુ છે.
હવે, \( AC^2 = 12^2 = 144 \).
અને \( AB^2 + BC^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6)^2 = (36 \times 3) + 36 = 108 + 36 = 144 \).
આમ, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેયના પ્રતીપ અનુસાર, \( \triangle ABC \) એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
જેમાં AC કર્ણ છે અને તેની સામેનો ખૂણો B કાટખૂણો છે. આમ, \( \angle B = 90^\circ \).
In simple words: ત્રિકોણની બાજુઓના વર્ગનો સરવાળો કરીને પાયથાગોરસ પ્રમેયનો પ્રતીપ ચકાસો. જો સૌથી લાંબી બાજુનો વર્ગ અન્ય બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો હોય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને સૌથી લાંબી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.

Exam Tip: MCQ પ્રશ્નોમાં, બધા વિકલ્પો તપાસવાને બદલે, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો પ્રતીપ સીધો લાગુ પાડીને સાચો જવાબ ઝડપથી મેળવી શકાય છે. સૌથી મોટી બાજુ ઓળખો અને તેની સામેના ખૂણા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો.