GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Exercise 4.1

Question 1. નીચે આપેલા સમીકરણો દ્વિઘાત સમીકરણો છે કે કેમ તે ચકાસોઃ
(i) \( (x + 1)^2 = 2(x - 3) \)
(ii) \( x^2 - 2x = (-2)(3 - x) \)
(iii) \( (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) \)
(iv) \( (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5) \)
(v) \( (2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1) \)
(vi) \( x^2 + 3x + 1 = (x - 2)^2 \)
(vii) \( (x + 2)^3 = 2x(x^2 - 1) \)
(viii) \( x^3 - 4x^2 - x + 1 = (x - 2)^3 \)
Answer:
(i) અહીં, ડાબી બાજુ = \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \) અને જમણી બાજુ = \( 2(x - 3) = 2x - 6 \).
તેથી, સમીકરણ \( (x + 1)^2 = 2(x - 3) \) ને \( x^2 + 2x + 1 - 2x + 6 = 0 \) તરીકે દર્શાવી શકાય.
આથી, \( x^2 + 7 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) જેવા સ્વરૂપનું છે. (જ્યાં \( a = 1, b = 0, c = 7 \)).
આ રીતે, આપેલું સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ ગણાય છે.
In simple words: પહેલા ડાબી અને જમણી બાજુની ગણતરી કરો. પછી બધા પદોને એક બાજુ લાવો અને સરળ બનાવો. જો તમને \( x^2 \) વાળું પદ મળે અને તેની સૌથી મોટી ઘાત 2 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

Exam Tip: દ્વિઘાત સમીકરણને હંમેશા \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ગોઠવીને પછી જ તેનો પ્રકાર નક્કી કરો.

(ii) Answer:
અહીં, જમણી બાજુ = \( (-2)(3 - x) = -6 + 2x \).
તેથી, સમીકરણ \( x^2 - 2x = (-2)(3 - x) \) ને \( x^2 - 2x = -6 + 2x \) તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આથી, \( x^2 - 4x + 6 = 0 \) પ્રાપ્ત થાય છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના રૂપમાં છે. (જ્યાં \( a = 1, b = -4, c = 6 \)).
આ મુજબ, આપેલું સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
In simple words: સમીકરણની બંને બાજુનો વિસ્તાર કરો. બધા પદોને ડાબી બાજુ લઈ જઈને \( x^2 - 4x + 6 = 0 \) જેવું સ્વરૂપ મેળવો. જો તે \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના રૂપમાં હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ ગણાય છે.

Exam Tip: કૌંસ ખોલતી વખતે ગુણાકારના નિયમો અને ચિહ્નો (જેમ કે ઓછા ગુણ્યા ઓછા બરાબર વત્તા) વિશે સાવચેત રહો.

(iii) Answer:
અહીં, ડાબી બાજુ = \( (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 \) અને જમણી બાજુ = \( (x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3 \).
તેથી, સમીકરણ \( (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) \) ને \( x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3 \) તરીકે નોંધી શકાય.
આથી, \( -3x + 1 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના રૂપમાં નથી.
આમ, આપેલું સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
In simple words: બંને બાજુ કૌંસ ખોલીને સાદુરૂપ આપો. જો \( x^2 \) વાળા પદો રદ થઈ જાય અને સમીકરણમાં \( x^2 \) ન રહે, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

Exam Tip: જ્યારે તમે બંને બાજુ સમાન પદોને રદ કરો, ત્યારે ખાતરી કરો કે તમે કોઈ ભૂલ નથી કરી.

(iv) Answer:
અહીં, ડાબી બાજુ = \( (x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3 \) અને જમણી બાજુ = \( x(x + 5) = x^2 + 5x \).
તેથી, આપેલા સમીકરણને \( 2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x \) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
આથી, \( x^2 - 10x - 3 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના સ્વરૂપમાં છે. (જ્યાં \( a = 1, b = -10, c = -3 \)).
આમ, આપેલું સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
In simple words: પહેલા બંને બાજુના કૌંસને ગુણીને સાદું બનાવો. પછી બધા પદોને એક તરફ લાવો અને જો સૌથી મોટી ઘાત \( x^2 \) હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

Exam Tip: કૌંસ ખોલતી વખતે દરેક પદનો ગુણાકાર કરવાનું યાદ રાખો.

(v) Answer:
અહીં, ડાબી બાજુ = \( (2x - 1)(x - 3) = 2x^2 - 7x + 3 \) અને જમણી બાજુ = \( (x + 5)(x - 1) = x^2 + 4x - 5 \).
તેથી, આપેલા સમીકરણને \( 2x^2 - 7x + 3 = x^2 + 4x - 5 \) તરીકે લખી શકીએ.
આથી, \( x^2 - 11x + 8 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના રૂપમાં છે. (જ્યાં \( a = 1, b = -11, c = 8 \)).
આથી, આપેલું સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
In simple words: બંને બાજુના કૌંસને ગુણીને સમીકરણને સરળ બનાવો. બધા પદોને એક બાજુ લાવ્યા પછી, જો સમીકરણ \( x^2 \) પદ સાથે શરૂ થાય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

Exam Tip: સાદું કરતી વખતે સમાન પદોને યોગ્ય રીતે ભેગા કરવાનું ભૂલશો નહીં.

(vi) Answer:
અહીં, જમણી બાજુ = \( (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \).
તેથી, આપેલા સમીકરણને \( x^2 + 3x + 1 = x^2 - 4x + 4 \) તરીકે દર્શાવી શકાય.
આથી, \( 7x - 3 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના ફોર્મેટમાં નથી.
આમ, આપેલું સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
In simple words: જમણી બાજુનો વર્ગ કરો. પછી બંને બાજુના \( x^2 \) પદો રદ થઈ જશે. જો \( x^2 \) પદ અદૃશ્ય થઈ જાય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી, પરંતુ રૈખિક સમીકરણ છે.

Exam Tip: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) જેવા સૂત્રો યાદ રાખો અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

(vii) Answer:
અહીં, ડાબી બાજુ = \( (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \) અને જમણી બાજુ = \( 2x(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x \).
તેથી, આપેલા સમીકરણને \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 - 2x \) તરીકે ગોઠવી શકાય.
આથી, \( -x^3 + 6x^2 + 10x + 8 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના સ્વરૂપમાં નથી.
આમ, આપેલું સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
In simple words: બંને બાજુનું વિસ્તરણ કરો. જો સમીકરણમાં \( x^3 \) જેવું પદ હોય અને તે રદ ન થાય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી, કારણ કે તેની સૌથી મોટી ઘાત 3 છે.

Exam Tip: \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) જેવા ઘન સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેનો ઉપયોગ કરવો અગત્યનું છે.

(viii) Answer:
અહીં, જમણી બાજુ = \( (x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \).
તેથી, આપેલા સમીકરણને \( x^3 - 4x^2 - x + 1 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \) તરીકે ગોઠવી શકાય.
આથી, \( 2x^2 - 13x + 9 = 0 \) મળે છે.
આ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના સ્વરૂપમાં છે. (જ્યાં \( a = 2, b = -13, c = 9 \)).
આમ, આપેલું સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
In simple words: બંને બાજુને સરળ બનાવ્યા પછી, જો \( x^3 \) પદો રદ થઈ જાય અને સૌથી મોટી ઘાત 2 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

Exam Tip: જ્યારે \( x^3 \) જેવા ઉચ્ચ ઘાતવાળા પદો રદ થઈ જાય, ત્યારે તે સમીકરણ દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ફેરવાઈ શકે છે. ધ્યાનપૂર્વક ગણતરી કરો.

Question 2. નીચે આપેલ પરિસ્થિતિઓને દ્વિઘાત સમીકરણ સ્વરૂપે દર્શાવોઃ
(i) જમીનના એક લંબચોરસ ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ 528 મીટ છે. તેની લંબાઈ (મીટરમાં), પહોળાઈ (મીટરમાં)ના બમણાથી એક મીટર જેટલી વધુ છે. આપણે જમીનના આ ટુકડાની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવી છે.
Answer:
ધારો કે, લંબચોરસ જમીનના ટુકડાની પહોળાઈ (મીટરમાં) \( x \) છે.
તેથી, તે ટુકડાની લંબાઈ (મીટરમાં) \( 2x + 1 \) થશે.
લંબચોરસ જમીનના ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ.
આથી, \( 528 = (2x + 1)x \).
\( 528 = 2x^2 + x \).
આમ, \( 2x^2 + x - 528 = 0 \) આપેલી પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણના રૂપમાં દર્શાવે છે, જેના સોલ્યુશનથી જમીનના પ્લોટની પહોળાઈ (મીટરમાં) અને લંબાઈ ( \( 2x + 1 \) મીટરમાં) શોધી શકાશે.
In simple words: પહોળાઈને \( x \) ધારો. પછી લંબાઈને \( 2x + 1 \) તરીકે લખો. ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર \( \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \) વાપરીને \( x \) માં સમીકરણ બનાવો.

Exam Tip: લંબાઈ અને પહોળાઈ જેવા પરિમાણો માટે ચલ (variable) ધારતી વખતે, આપેલા સંબંધોને યોગ્ય રીતે સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરો.

(ii) બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર 306 છે. આપણે આ પૂર્ણાકો શોધવા છે.
Answer:
ધારો કે, બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો \( x \) અને \( x + 1 \) છે.
તેથી, તેમનો ગુણાકાર \( = x(x + 1) = x^2 + x \) થશે.
આ ગુણાકાર \( 306 \) તરીકે આપેલો છે.
આમ, \( x^2 + x = 306 \).
આથી, \( x^2 + x - 306 = 0 \) આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં રજૂ કરે છે.
જેના સોલ્યુશનથી ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો \( x \) અને \( x + 1 \) શોધી શકાશે.
In simple words: બે ક્રમિક સંખ્યાઓ માટે \( x \) અને \( x+1 \) ધારો. તેમનો ગુણાકાર 306 ને બરાબર મૂકો. પછી સમીકરણને \( ax^2 + bx + c = 0 \) ના સ્વરૂપમાં ગોઠવો.

Exam Tip: "ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો" એટલે એક પછી એક આવતી ધન સંખ્યાઓ, જેમ કે 5 અને 6. તેમને \( x \) અને \( x+1 \) તરીકે દર્શાવો.

(iii) રોહનની માતા તેના કરતાં 26 વર્ષ મોટા છે. આજથી 3 વર્ષ પછી તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર (વર્ષમાં) 360 હશે. આપણે રોહનની હાલની ઉંમર શોધવી છે.
Answer:
ધારો કે, રોહનનો અત્યારનો સમય (વર્ષમાં) \( x \) છે.
તેથી, તેની માતાની અત્યારની ઉંમર (વર્ષમાં) \( x + 26 \) થશે.
ત્રણ વર્ષ પછી, રોહનનો સમય (વર્ષમાં) \( x + 3 \) થશે અને તેની માતાનો સમય (વર્ષમાં) \( x + 26 + 3 = x + 29 \) થશે.
ત્રણ વર્ષ પછીના તેમના સમયનો ગુણાકાર \( 360 \) આપેલો છે.
તેથી, \( (x + 3)(x + 29) = 360 \).
જેથી, \( x^2 + 32x + 87 = 360 \).
આમ, \( x^2 + 32x - 273 = 0 \) આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણના રૂપમાં રજૂ કરે છે, જેના સોલ્યુશનથી રોહન અને તેની માતાનો વર્તમાન સમય (વર્ષમાં) અનુક્રમે \( x \) અને \( x + 26 \) શોધી શકાશે.
In simple words: રોહન અને તેની માતાની વર્તમાન ઉંમરને \( x \) અને \( x+26 \) ધારો. ત્રણ વર્ષ પછી તેમની ઉંમર \( x+3 \) અને \( x+29 \) થશે. આ બંનેનો ગુણાકાર 360 ને બરાબર સેટ કરો અને સમીકરણ બનાવો.

Exam Tip: ઉંમર સંબંધિત પ્રશ્નોમાં, "કેટલા વર્ષ પછી" કે "કેટલા વર્ષ પહેલાં" જેવા શબ્દો પર ધ્યાન આપો અને તે મુજબ ઉંમરમાં ફેરફાર કરો.

(iv) એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચળ ઝડપથી કાપે છે. જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય, તો આટલું જ અંતર કાપવા તે 3 કલાક વધુ લે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
Answer:
ધારો કે, ટ્રેનની સમાન અને સ્થિર ગતિ \( x \) કિમી/કલાક છે.
સમય = \( \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} \).
તેથી, 480 કિમીનું અંતર કાપવા માટે સામાન્ય સ્થિર ગતિથી લાગતો સમય \( t_1 = \frac{480}{x} \) કલાક છે.
જો ટ્રેનની ગતિ 8 કિમી/કલાક ઓછી કરાય, તો નવી ગતિ \( (x - 8) \) કિમી/કલાક થશે.
તેથી, 480 કિમીનું અંતર કાપવા માટે નવી ગતિથી લાગતો સમય \( t_2 = \frac{480}{x-8} \) કલાક થશે.
હવે, નવી ગતિથી લાગતો સમય સામાન્ય ગતિથી લાગતા સમય કરતાં 3 કલાક વધારે છે.
આથી, \( t_2 = t_1 + 3 \).
જેથી, \( \frac{480}{x-8} = \frac{480}{x} + 3 \).
તેથી, \( 480x = 480(x - 8) + 3x(x - 8) \) ( \( x(x-8) \) વડે ગુણતા).
આથી, \( 480x = 480x - 3840 + 3x^2 - 24x \).
આમ, \( 0 = 3x^2 - 24x - 3840 \).
તેથી, \( x^2 - 8x - 1280 = 0 \) આપેલ પરિસ્થિતિને દ્વિઘાત સમીકરણના રૂપમાં રજૂ કરે છે. આના સોલ્યુશનથી ટ્રેનની સામાન્ય સ્થિર ગતિ ( \( x \) કિમી/કલાક) શોધી શકાશે.
In simple words: ટ્રેનની મૂળ ઝડપને \( x \) ધારો. સમયના સૂત્ર \( (\text{સમય} = \text{અંતર}/\text{ઝડપ}) \) નો ઉપયોગ કરીને બે અલગ-અલગ સમયના સમીકરણો બનાવો. પછી "નવો સમય = જૂનો સમય + 3" આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો.

Exam Tip: ઝડપ, અંતર અને સમયના દાખલાઓમાં એકમો સુસંગત રાખવા (કિમી અને કલાક) અને સમીકરણ બનાવતી વખતે "વધુ" કે "ઓછું" જેવા શબ્દોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો.