GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Exercise 3.2

Question 1. નીચેની સમસ્યાઓ પરથી સુરેખ સમીકરણયુગ્મ બનાવો અને તેમનો ઉકેલ આલેખની રીતે શોધો:
(i) ધોરણ Xના દસ વિદ્યાર્થીઓ ગણિતના કોયડાની સ્પર્ધામાં ભાગ લે છે. જો ભાગ લેનાર છોકરીઓની સંખ્યા છોકરાઓની સંખ્યા કરતાં 4 વધારે હોય, તો કેટલા છોકરાઓએ અને કેટલી છોકરીઓએ કોયડાની સ્પર્ધામાં ભાગ લીધો હશે તે શોધો.
(ii) 5 પેન્સિલ અને 7 પેનની કુલ કિંમત Rs 50 છે અને તે જ કિંમતવાળી 7 પેન્સિલ અને 5 પેનની કુલ કિંમત Rs 46 છે, તો એક પેન્સિલ અને એક પેનની કિંમત શોધો.
Answer:
(i) માની લો કે, \( x \) છોકરાઓ અને \( y \) છોકરીઓ સ્પર્ધામાં ભાગ લે છે. આથી, આપેલી માહિતીના આધારે નીચે મુજબના બે સમીકરણ મળે છે:
\( x + y = 10 \) (સમીકરણ 1)
અને \( y = x + 4 \) (સમીકરણ 2)

આ સમીકરણો માટે ગ્રાફ બનાવવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોના બે-બે ઉકેલ શોધીને તેને કોષ્ટકમાં બતાવીએ. સમીકરણ (1) એટલે કે \( x + y = 10 \) પરથી, \( y = 10 - x \) મળે છે.

સમીકરણ (2) એટલે કે \( y - x = 4 \) પરથી, \( y = x + 4 \) મળે છે.

ઉપરના ગ્રાફમાં બંને રેખાઓ એકબીજાને બિંદુ \( (3, 7) \) પર કાપે છે. આથી, \( x = 3 \) અને \( y = 7 \) એ આપણે શોધેલ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ છે. આમ, સ્પર્ધામાં 3 છોકરાઓએ અને 7 છોકરીઓએ ભાગ લીધો હશે. ચકાસણી કરતા, \( x = 3 \) અને \( y = 7 \) પ્રશ્નમાં આપેલી બંને શરતોને પૂર્ણ કરે છે.
(ii) માની લો કે, એક પેન્સિલની કિંમત \( x \) રૂપિયા અને એક પેનની કિંમત \( y \) રૂપિયા છે. આપેલી માહિતીના આધારે, નીચેના બે સમીકરણો મળે છે:
\( 5x + 7y = 50 \) (સમીકરણ 1)
અને \( 7x + 5y = 46 \) (સમીકરણ 2)

આ સમીકરણોના ગ્રાફ દોરવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોના બે-બે ઉકેલ મેળવીને કોષ્ટકમાં બતાવીએ. સમીકરણ (1) એટલે કે \( 5x + 7y = 50 \) પરથી, \( y = \frac{50-5x}{7} \) મળે છે.

સમીકરણ (2) એટલે કે \( 7x + 5y = 46 \) પરથી, \( y = \frac{46-7x}{5} \) મળે છે.

ઉપરના ગ્રાફમાં, બંને રેખાઓ બિંદુ \( (3, 5) \) પર એકબીજાને કાપે છે. આથી, \( x = 3 \) અને \( y = 5 \) એ આપણા સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ છે. તેથી, એક પેન્સિલની કિંમત Rs 3 અને એક પેનની કિંમત Rs 5 છે. ચકાસણી કરતા, \( x = 3 \) અને \( y = 5 \) બંને સમીકરણો \( 5x + 7y = 50 \) અને \( 7x + 5y = 46 \) ને સંતોષે છે.
In simple words: પહેલા, આપણે છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યા માટે બે સમીકરણ બનાવ્યા અને પછી ગ્રાફ પર જોઈને ઉકેલ શોધ્યો. બીજા ભાગમાં, પેન્સિલ અને પેનની કિંમત માટે બે સમીકરણ બનાવ્યા અને તેનો પણ ગ્રાફ દ્વારા ઉકેલ મેળવ્યો.

Exam Tip: આલેખની રીતથી ઉકેલ શોધતી વખતે, ઓછામાં ઓછા બે પોઈન્ટ્સ શોધીને જ રેખા દોરો અને છેદન બિંદુને ચોકસાઈથી ઓળખો.

Question 2. નીચેનાં સુરેખ સમીકરણયુગ્મથી બનતી રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદે છે કે સમાંતર છે અથવા સંપાતી છે, તેમ \(\frac{a_1}{a_2}\), \(\frac{b_1}{b_2}\) અને \(\frac{c_1}{c_2}\) ગુણોત્તરોની તુલના કરીને નક્કી કરો:
(i) \( 5x - 4y + 8 = 0; 7x + 6y - 9 = 0 \)
(ii) \( 9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0 \)
(iii) \( 6x - 3y + 10 = 0; 2x - y + 9 = 0 \)
Answer:
(i) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 5, b_1 = -4, c_1 = 8 \), અને \( a_2 = 7, b_2 = 6, c_2 = -9 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{-9} = -\frac{8}{9} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મથી બનતી રેખાઓ એક જ બિંદુમાં એકબીજાને કાપે છે.

(ii) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 9, b_1 = 3, c_1 = 12 \), અને \( a_2 = 18, b_2 = 6, c_2 = 24 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મથી બનતી રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી રેખાઓ છે.

(iii) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10 \), અને \( a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3 \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3 \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મથી બનતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
In simple words: સમીકરણોના ગુણોત્તરો \( \frac{a_1}{a_2} \), \( \frac{b_1}{b_2} \) અને \( \frac{c_1}{c_2} \) ની સરખામણી કરીને આપણે રેખાઓ કેવી છે તે શોધી શકીએ. જો પહેલા બે ગુણોત્તર સરખા ન હોય તો રેખાઓ છેદે છે. જો પહેલા બે સરખા હોય પણ ત્રીજો અલગ હોય તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. અને જો ત્રણેય ગુણોત્તર સરખા હોય તો રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી હોય છે.

Exam Tip: ગુણોત્તરોની તુલના કરતી વખતે, સમીકરણોને હંમેશા પ્રમાણિત સ્વરૂપ \( ax + by + c = 0 \) માં ગોઠવો.

Question 3. નીચેનાં સુરેખ સમીકરણયુગ્મ સુસંગત છે કે સુસંગત નથી તે ગુણોત્તર \(\frac{a_1}{a_2}\), \(\frac{b_1}{b_2}\) અને \(\frac{c_1}{c_2}\) ની કિંમત પરથી નક્કી કરો:
(i) \( 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7 \)
(ii) \( 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9 \)
(iii) \( \frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7; 9x - 10y = 14 \)
(iv) \( 5x - 3y = 11; -10x + 6y = -22 \)
(v) \( \frac{4}{3}x + 2y = 8; 2x + 3y = 12 \)
Answer:
(i) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 3, b_1 = 2, c_1 = -5 \), અને \( a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -7 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત છે.

(ii) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -8 \), અને \( a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -9 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત નથી.

(iii) પ્રથમ સમીકરણને 6 વડે ગુણ્યા પછી, બંને સમીકરણોને પ્રમાણિત ફોર્મમાં દર્શાવતા આપણને નીચેના સમીકરણો મળે છે:
\( 9x + 10y - 42 = 0 \)
\( 9x - 10y - 14 = 0 \)
આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 9, b_1 = 10, c_1 = -42 \), અને \( a_2 = 9, b_2 = -10, c_2 = -14 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{9} = 1 \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{10}{-10} = -1 \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-42}{-14} = 3 \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત છે.

(iv) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 5, b_1 = -3, c_1 = -11 \), અને \( a_2 = -10, b_2 = 6, c_2 = 22 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{22} = -\frac{1}{2} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત અને આધારિત છે.

(v) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = \frac{4}{3}, b_1 = 2, c_1 = -8 \), અને \( a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -12 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત અને આધારિત છે.
In simple words: ગુણોત્તરોની સરખામણી કરીને આપણે સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત છે કે નહીં તે શોધી શકીએ. જો \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) હોય તો સુસંગત, અને જો \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) હોય તો પણ સુસંગત અને અવલંબી. પણ જો \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) હોય તો તે સુસંગત નથી.

Exam Tip: સુસંગતતા તપાસતી વખતે, 'c' અચળ પદને સમીકરણની એક બાજુએ ગોઠવીને પ્રમાણિત સ્વરૂપ \( ax + by + c = 0 \) માં લખવું ખૂબ જરૂરી છે.

Question 4. નીચેનાં સુરેખ સમીકરણયુગ્મ સુસંગત છે કે સુસંગત નથી, તે જણાવો. જો સુસંગત હોય, તો ભૌમિતિક રીતે ઉકેલ શોધો:
(i) \( x + y = 5; 2x + 2y = 10 \)
(ii) \( x - y = 8; 3x - 3y = 16 \)
(iii) \( 2x + y - 6 = 0; 4x - 2y - 4 = 0 \)
(iv) \( 2x - 2y - 2 = 0; 4x - 4y - 5 = 0 \)
Answer:
(i) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = -5 \), અને \( a_2 = 2, b_2 = 2, c_2 = -10 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત અને આધારિત છે.

હવે, આપણે બંને સમીકરણોના ગ્રાફ બનાવીશું.
\( x + y = 5 \) પરથી, \( y = 5 - x \) મળે છે.

\( 2x + 2y = 10 \) પરથી, \( y = \frac{10-2x}{2} \) મળે છે.

અહીં, બંને સમીકરણોની રેખાઓ એકબીજા પર સંપાતી હોય છે. આથી, તે સામાન્ય રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ આપી શકે છે. આમ, \( y = 5 - x \), જ્યાં \( x \) એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, તે આપેલ સમીકરણ યુગ્મના ઉકેલો છે.

(ii) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8 \), અને \( a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત નથી.

(iii) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6 \), અને \( a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત છે. હવે, આપણે બંને સમીકરણોના ગ્રાફ બનાવીશું.
\( 2x + y - 6 = 0 \) પરથી, \( y = 6 - 2x \) મળે છે.

\( 4x - 2y - 4 = 0 \) પરથી, \( y = \frac{4x-4}{2} = 2x - 2 \) મળે છે.

ઉપરના ગ્રાફમાં બે રેખાઓ બિંદુ \( (2, 2) \) પર એકબીજાને કાપે છે. આથી, \( x = 2 \) અને \( y = 2 \) એ આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ છે.

(iv) આપેલા રેખીય સમીકરણ યુગ્મ માટે, \( a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2 \), અને \( a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5 \) છે.
અહીં, ગુણોત્તરો છે:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
અહીં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \). આથી, આપેલ રેખીય સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત નથી.
In simple words: પહેલા, આપણે ગુણોત્તરોની સરખામણી કરીને દરેક સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત છે કે નહીં તે જોયું. જો સુસંગત હોય, તો ગ્રાફ દોરીને તેનો ઉકેલ શોધ્યો. જો રેખાઓ સમાંતર હોય તો કોઈ ઉકેલ નથી, જો છેદતી હોય તો એક ઉકેલ મળે છે, અને જો સંપાતી હોય તો ઘણા ઉકેલ હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે ગુણોત્તર પદ્ધતિથી કોઈ સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત ન મળે, ત્યારે ભૌમિતિક ઉકેલ શોધવાની જરૂર નથી કારણ કે સમાંતર રેખાઓ ક્યારેય છેદતી નથી.

Question 5. એક લંબચોરસ બગીચાની અર્ધપરિમિતિ 36 મીટર છે તથા તેની લંબાઈ એ તેની પહોળાઈ કરતાં 4 મીટર વધુ છે, તો બગીચાની બાજુઓનાં માપ શોધો.
Answer:
ધારો કે, લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ \( x \) મીટર છે અને તેની પહોળાઈ \( y \) મીટર છે. તો, આપેલી માહિતીના આધારે નીચેના સમીકરણો બનાવી શકાય છે:
લંબાઈ એ પહોળાઈ કરતાં 4 મીટર વધુ છે,
\( x = y + 4 \)
અર્ધપરિમિતિ એટલે લંબચોરસની કુલ પરિમિતિનો અડધો ભાગ. આપણને આપેલ છે કે અર્ધપરિમિતિ 36 મીટર છે.
\( \implies 36 = \frac{1}{2} \times 2 (x + y) \)
\( \implies 36 = x + y \)
આમ, આપણને બે સમીકરણો મળે છે:
1. \( x = y + 4 \implies y = x - 4 \)
2. \( x + y = 36 \implies y = 36 - x \)

હવે, બંને સમીકરણોના ગ્રાફ બનાવવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોના બે-બે ઉકેલ શોધીશું.
સમીકરણ \( y = x - 4 \) માટે:

સમીકરણ \( y = 36 - x \) માટે:

ઉપરના ગ્રાફમાં, બે રેખાઓ એકબીજાને બિંદુ \( (20, 16) \) પર કાપે છે. આથી, \( x = 20 \) અને \( y = 16 \) એ આ સમીકરણ યુગ્મનો એકમાત્ર ઉકેલ છે. આમ, બગીચાની લંબાઈ 20 મીટર અને પહોળાઈ 16 મીટર છે.
In simple words: પહેલા, આપણે બગીચાની લંબાઈ અને પહોળાઈ માટે બે સમીકરણ બનાવ્યા. પછી, ગ્રાફ બનાવીને તે બંને રેખાઓ જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધ્યું. તે બિંદુના કો-ઓર્ડિનેટ્સ (20, 16) છે, જે બગીચાની લંબાઈ અને પહોળાઈ દર્શાવે છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, લંબાઈ અને પહોળાઈ જેવી ભૌમિતિક બાજુઓ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ, તેથી ગ્રાફના પ્રથમ ચરણ (first quadrant) પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું.

Question 6. સુરેખ સમીકરણ \( 2x + 3y - 8 = 0 \) આપેલ છે. એવું બીજું દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ લખો કે જેથી તે જોડીનું ભૌમિતિક નિરૂપણ નીચે પ્રમાણે હોય?
(i) છેદતી રેખાઓ
(ii) સમાંતર રેખાઓ
(iii) સંપાતી રેખાઓ
Answer:
આપેલ સમીકરણ છે: \( 2x + 3y - 8 = 0 \). (અહીં, \( a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -8 \))

(i) છેદતી રેખાઓ માટે શરત \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) ની શરત પૂરી થવી જોઈએ.
આપણે બીજા સમીકરણ તરીકે \( 3x + 4y - 24 = 0 \) લઈ શકીએ છીએ.
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \) અને \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{4} \) હોવાથી, \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) ની શરત સંતોષાય છે.

(ii) સમાંતર રેખાઓ માટે, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) ની શરત પૂરી થવી જોઈએ.
આપણે બીજા સમીકરણ તરીકે \( 6x + 9y - 10 = 0 \) લઈ શકીએ છીએ.
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \), અને \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5} \) હોવાથી, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) ની શરત સંતોષાય છે.

(iii) સંપાતી રેખાઓ માટે, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) ની શરત પૂરી થવી જોઈએ.
આપણે બીજા સમીકરણ તરીકે \( 10x + 15y - 40 = 0 \) લઈ શકીએ છીએ.
અહીં, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \), અને \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-40} = \frac{1}{5} \) હોવાથી, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) ની શરત સંતોષાય છે.
In simple words: આપણે આપેલ સમીકરણ સાથે નવા સમીકરણો બનાવ્યા. છેદતી રેખાઓ માટે, ગુણોત્તર \( \frac{a_1}{a_2} \) અને \( \frac{b_1}{b_2} \) સરખા ન હોવા જોઈએ. સમાંતર રેખાઓ માટે, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) હોવું જોઈએ પરંતુ \( \frac{c_1}{c_2} \) સરખો ન હોવો જોઈએ. સંપાતી રેખાઓ માટે, ત્રણેય ગુણોત્તર \( \frac{a_1}{a_2} \), \( \frac{b_1}{b_2} \), અને \( \frac{c_1}{c_2} \) સરખા હોવા જોઈએ.

Exam Tip: ગુણોત્તર શરતોને યાદ રાખવી મહત્વપૂર્ણ છે: \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) (છેદતી), \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) (સમાંતર), \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) (સંપાતી).

Question 7. સમીકરણો \( x - y + 1 = 0 \) અને \( 3x + 2y - 12 = 0 \) દ્વારા દર્શાવાતી રેખાઓના આલેખ દોરો. આ રેખાઓ અને x-અક્ષ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓના યામ દર્શાવો અને બનતા ત્રિકોણાકાર પ્રદેશને છાયાંકિત કરો.
Answer:
આપણે સમીકરણો \( x - y + 1 = 0 \) અને \( 3x + 2y - 12 = 0 \) થી બનેલી રેખાઓના ગ્રાફ બનાવીશું. આ રેખાઓ અને \( x \)-અક્ષ દ્વારા બનેલા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના કો-ઓર્ડિનેટ્સ બતાવીશું અને બનેલા ત્રિકોણાકાર ભાગને શેડ કરીશું.

સમીકરણ \( x - y + 1 = 0 \) પરથી, \( y = x + 1 \) મળે છે.

સમીકરણ \( 3x + 2y - 12 = 0 \) પરથી, \( y = \frac{12-3x}{2} \) મળે છે.

ઉપરના ગ્રાફમાં, રેખાઓ અને \( x \)-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ \( (-1, 0) \), \( (4, 0) \) અને \( (2, 3) \) છે.
In simple words: પહેલા, આપણે આપેલા સમીકરણોમાંથી દરેક માટે ગ્રાફ દોરવા માટે પોઈન્ટ્સ શોધ્યા. પછી, તે પોઈન્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને ગ્રાફ પર બે રેખાઓ દોરી. આ રેખાઓ અને \( x \)-અક્ષે મળીને એક ત્રિકોણ બનાવ્યો. આપણે તે ત્રિકોણના ખૂણા (શિરોબિંદુઓ) શોધીને તેને શેડ કર્યા.

Exam Tip: ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે, રેખાઓના છેદન બિંદુઓ અને \( x \)-અક્ષ સાથેના છેદન બિંદુઓ કાળજીપૂર્વક શોધો.