GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Exercise 3.1

Question 1. આફતાબ તેની દીકરીને કહે છે, “સાત વર્ષ પહેલાં મારી ઉંમર તે વખતની તારી ઉંમર કરતાં સાત ગણી હતી. હવે પછીના ત્રણ વર્ષ પછી મારી ઉંમર તારી તે વખતની ઉંમર કરતાં ત્રણ ગણી હશે.” (શું આ રસપ્રદ છે?) આ પરિસ્થિતિને બૈજિક રીતે અને આલેખની રીતે દર્શાવો.
Answer: ધારી લો કે, આફતાબની વર્તમાન ઉંમર \( x \) વર્ષ અને તેની પુત્રીની વર્તમાન ઉંમર \( y \) વર્ષ છે. તો સાત વર્ષ પહેલાં આફતાબની ઉંમર \( x - 7 \) વર્ષ હતી અને તેની દીકરીની ઉંમર \( y - 7 \) વર્ષ હતી. આપેલી માહિતી મુજબ,
\( x - 7 = 7(y - 7) \)
\( \implies x - 7 = 7y - 49 \)
\( \implies x - 7y + 42 = 0 \). (1)
તેવી જ રીતે, ત્રણ વર્ષ પછી આફતાબની ઉંમર \( x + 3 \) વર્ષ થશે અને તેની પુત્રીની ઉંમર \( y + 3 \) વર્ષ થશે. આપેલી માહિતી મુજબ,
\( x + 3 = 3(y + 3) \)
\( \implies x + 3 = 3y + 9 \)
\( \implies x - 3y - 6 = 0 \). (2)
સમીકરણો \( x - 7y + 42 = 0 \) અને \( x - 3y - 6 = 0 \) આ આપેલી પરિસ્થિતિને ગાણિતિક રીતે બતાવે છે. આ પરિસ્થિતિને આલેખ પર દર્શાવવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોના આલેખ એક જ આલેખપત્ર પર દોરવા પડશે.
આપણે રેખાઓ દોરીએ. સમીકરણ \( x - 7y + 42 = 0 \) માટે,
\( \implies 7y = x + 42 \)
\( \implies y = \frac{x + 42}{7} \)

સમીકરણ \( x - 3y - 6 = 0 \) માટે,
\( \implies 3y = x - 6 \)
\( \implies y = \frac{x - 6}{3} \)
ઉપરનો આલેખ આપેલી પરિસ્થિતિને ગ્રાફિકલ રીતે બતાવે છે. તમે જોઈ શકશો કે બંને રેખાઓ બિંદુ \( (42, 12) \) પર એકબીજાને છેદે છે.
In simple words: આફતાબની વર્તમાન ઉંમર \( x \) અને તેની પુત્રીની \( y \) છે. સાત વર્ષ પહેલાં, તેની ઉંમર પુત્રીની ઉંમર કરતાં 7 ગણી હતી. ત્રણ વર્ષ પછી, તેની ઉંમર પુત્રીની ઉંમર કરતાં 3 ગણી થશે. આ શરતોમાંથી બે સમીકરણો બને છે. જ્યારે આપણે આ સમીકરણોના આલેખ દોરીએ છીએ, ત્યારે રેખાઓ એક બિંદુ પર મળે છે, જે તેમની વર્તમાન ઉંમર દર્શાવે છે.

Exam Tip: હંમેશા સમીકરણો બનાવવા માટે આપેલી માહિતીનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરો અને આલેખ દોરવા માટે ઓછામાં ઓછા બે બિંદુઓ શોધો. છેદન બિંદુ (intersection point) ધ્યાનથી જુઓ કારણ કે તે ઉકેલ હોય છે.

 

Question 2. ક્રિકેટ-ટીમના પ્રશિક્ષક Rs 3900માં 3 બૅટ અને 6 દડા ખરીદે છે. પછી તે બીજું તે જ પ્રકારનું 1 બેટ અને તે જ. પ્રકારના વધુ 3 દડા Rs 1300માં ખરીદે છે. આ પરિસ્થિતિને ઐજિક અને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવો.
Answer: ધારી લો કે, એક બૅટનો ભાવ \( x \) રૂપિયા અને એક દડાનો ભાવ \( y \) રૂપિયા છે. આથી, 3 બૅટનો કુલ ભાવ \( 3x \) રૂપિયા અને 6 દડાનો ભાવ \( 6y \) રૂપિયા થશે. આપેલી માહિતી પ્રમાણે, 3 બૅટ અને 6 દડાનો કુલ ભાવ Rs 3900 થાય છે.
તેથી, \( 3x + 6y = 3900 \).
આને સરળ કરતા, \( x + 2y = 1300 \).
તે જ રીતે, એક બૅટનો ભાવ \( x \) રૂપિયા અને 3 દડાનો કુલ ભાવ \( 3y \) રૂપિયા થશે. આપેલી માહિતી મુજબ, 1 બૅટ અને 3 દડાનો કુલ ભાવ Rs 1300 છે.
આથી, \( x + 3y = 1300 \).
આમ, સમીકરણો \( x + 2y = 1300 \) અને \( x + 3y = 1300 \) આપેલી પરિસ્થિતિને ગાણિતિક રીતે દર્શાવે છે.
આપેલી પરિસ્થિતિને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોના આલેખ એક જ ગ્રાફ પેપર પર દોરવા પડશે. સમીકરણ \( x + 2y = 1300 \) માટે,

સમીકરણ \( x + 3y = 1300 \) માટે,
ઉપરનો આલેખ આપેલી પરિસ્થિતિને ગ્રાફિકલ રીતે બતાવે છે. તમે જોઈ શકશો કે બંને રેખાઓ બિંદુ \( (1300, 0) \) પર એકબીજાને છેદે છે.
In simple words: કોચે બેટ અને બોલ ખરીદ્યા, અને તેનાથી બે અલગ-અલગ ખરીદીના ભાવ આપ્યા. આ માહિતીમાંથી આપણે બે સમીકરણો બનાવ્યા. જ્યારે આપણે આ સમીકરણોના આલેખ દોરીએ છીએ, ત્યારે રેખાઓ એક બિંદુ પર મળે છે, જે બેટ અને બોલનો ભાવ દર્શાવે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, ચલો (variables) ને કાળજીપૂર્વક વ્યાખ્યાયિત કરો અને આપેલી શરતોમાંથી સાચા સમીકરણો બનાવો. આલેખ પર બિંદુઓ પ્લોટ કરવા માટે કોષ્ટક બનાવવું ખુબ મદદરૂપ થાય છે.

 

Question 3. એક દિવસે 2 કિગ્રા સફરજન અને 1 કિગ્રા દ્રાક્ષની કિંમત Rs 160 હતી. એક મહિના પછી 4 કિગ્રા સફરજન અને 2 કિગ્રા દ્રાક્ષની કિંમત Rs 300 હતી. આ પરિસ્થિતિને બૈજિક રીતે અને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવો.
Answer: ધારી લો કે, 1 કિલોગ્રામ સફરજનનો ભાવ \( x \) રૂપિયા અને 1 કિલોગ્રામ દ્રાક્ષનો ભાવ \( y \) રૂપિયા છે. આપેલી માહિતી પ્રમાણે, \( 2x + y = 160 \) અને \( 4x + 2y = 300 \).
આમ, સમીકરણો \( 2x + y = 160 \) અને \( 4x + 2y = 300 \) આ આપેલી પરિસ્થિતિને ગાણિતિક રીતે દર્શાવે છે.
આપેલી પરિસ્થિતિને ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવા માટે, આપણે બંને સમીકરણોના આલેખ એક જ ગ્રાફ પેપર પર દોરવા પડશે. સમીકરણ \( 2x + y = 160 \) માટે,

સમીકરણ \( 4x + 2y = 300 \) માટે,
ઉપરનો આલેખ આપેલી પરિસ્થિતિને ગ્રાફિકલ રીતે બતાવે છે. તમે જોઈ શકશો કે બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
In simple words: સફરજન અને દ્રાક્ષના ભાવ વિશે બે અલગ-અલગ દિવસની માહિતી આપવામાં આવી છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને આપણે બે સમીકરણો બનાવ્યા. જ્યારે આ સમીકરણોના આલેખ દોરીએ છીએ, ત્યારે રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર રહે છે, એટલે કે તે ક્યારેય એકબીજાને મળતી નથી.

Exam Tip: સમીકરણોને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો. જો \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) હોય તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. આને ચકાસવાથી ગ્રાફ દોરતા પહેલા જ ખબર પડી શકે છે કે રેખાઓ કેવી હશે.