GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 15 સંભાવના Exercise 15.2

 

Question 1. બે વ્યક્તિ શ્યામ અને એકતા એક જ અઠવાડિયામાં (મંગળવારથી શનિવાર) કોઈ ચોક્કસ દુકાનની મુલાકાત લે છે. દરેક વ્યક્તિ કોઈ પણ દિવસે દુકાનની મુલાકાત, અન્ય દિવસની જેમ જ લે છે. તો બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત
(i) એક જ દિવસે
(ii) ક્રમિક દ્ર એક પછી એક દિવસોએ
(iii) જુદા જુદા દિવસોએ લેશે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer:
ઉપરના કોષ્ટકમાં (શુ, બુ) એમ દર્શાવે છે કે, એકતા શુક્રવારે અને શ્યામ બુધવારે ચોક્કસ દુકાનની મુલાકાત લે છે. તે જ રીતે, (મં, ગુ) દર્શાવે છે કે એકતા મંગળવારે અને શ્યામ ગુરુવારે દુકાનની મુલાકાત લે છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 5 \times 5 = 25 \)

(i) ધારો કે, ઘટના A: બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત એક જ દિવસે લેશે. આ ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામો છે: (મં, મં), (બુ, બુ), (ગુ, ગુ), (શુ, શુ) અને (શ, શ). આથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 છે.
\( P(A) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)

(ii) ધારો કે, ઘટના B: બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત ક્રમિક દિવસે લેશે. આ ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામો છે: (મં, બુ), (બુ, મં), (બુ, ગુ), (ગુ, બુ), (ગુ, શુ), (શુ, ગુ), (શુ, શ) અને (શ, શુ). આમ, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 8 છે.
\( P(B) = \frac{8}{25} \)

(iii) ધારો કે, ઘટના C: બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત જુદા જુદા દિવસોએ લેશે તેની સંભાવના શોધવી છે. અહીં, ઘટના \( \overline{\mathrm{C}} \) (C નો પૂરક) એટલે કે બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત એક જ દિવસે લેશે. આપણે (i) માં જોયું તેમ, ઘટના A એ \( \overline{\mathrm{C}} \) છે, એટલે કે \( \overline{\mathrm{C}} = A \).
\( P(\overline{\mathrm{C}}) = P(A) = \frac{1}{5} \)
તેથી, \( P(C) = 1 - P(\overline{\mathrm{C}}) \)
\( = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)
In simple words: પહેલા, બધા શક્ય દિવસોના જોડાણ શોધો, જે \(5 \times 5 = 25\) છે. (i) એક જ દિવસે મુલાકાત લેવાની સંભાવના શોધવા માટે, એવા દિવસો જુઓ જ્યાં બંને એક જ દિવસે જાય. (ii) ક્રમિક દિવસોએ મુલાકાત લેવાની સંભાવના માટે, એવા જોડાણો ગણો જ્યાં એક બીજાના તરત પછીના દિવસે જાય. (iii) જુદા જુદા દિવસોએ મુલાકાત લેવાની સંભાવના શોધવા માટે, કુલ સંભાવનામાંથી એક જ દિવસે મુલાકાત લેવાની સંભાવના બાદ કરો.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, દૈનિક સમયપત્રકને કાળજીપૂર્વક વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવું અને શક્ય પરિણામોની સૂચિ બનાવવા માટે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવો તે મદદરૂપ થાય છે.

 

Question 2. પાસા પર સંખ્યાઓ એ રીતે લખવામાં આવી છે કે તેનાં પૃષ્ઠ, સંખ્યાઓ 1, 2, 2, 3, 4, 6 દર્શાવે છે. તે પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે અને બંને પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કોષ્ટકમાં નોંધી, તે પૂર્ણ કરો:
(i) કુલ સરવાળો યુગ્મ મળે
(ii) કુલ સરવાળો 6 મળે
(iii) કુલ સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6 મળે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer:

અહીં, કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 6 \times 6 = 36 \)

(i) ધારો કે, ઘટના A: કુલ સરવાળો યુગ્મ મળે. કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો યુગ્મ એટલે કે 2, 4, 6, 8 અથવા 12 હોય તેવાં 18 પરિણામો છે. દરેક હારમાં ત્રણ અથવા દરેક સ્તંભમાં ત્રણ છે. આથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( = 18 \).
\( P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)

(ii) ધારો કે, ઘટના B: કુલ સરવાળો 6 મળે. કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો 6 મળે તેવાં 4 પરિણામો છે. આથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( = 4 \).
\( P(B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)

(iii) ધારો કે, ઘટના C: કુલ સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6 મળે. કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6, એટલે કે 6, 7, 8, 9, 12 હોય તેવાં 15 પરિણામો છે. આથી, ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( = 15 \).
\( P(C) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \)
In simple words: પહેલા, 6 બાજુવાળા બે પાસાઓના બધા શક્ય સરવાળાને કોષ્ટકમાં લખીને ભરો. કુલ 36 શક્ય પરિણામો મળે છે. (i) યુગ્મ સરવાળા માટે, કોષ્ટકમાંથી બધી યુગ્મ સંખ્યાઓ શોધો અને ગણો. (ii) સરવાળો 6 હોય તેવા પરિણામો માટે, ફક્ત 6 હોય તેવા સરવાળા ગણો. (iii) ઓછામાં ઓછો 6 સરવાળો હોય તેવા પરિણામો માટે, 6 કે તેથી વધુ હોય તેવા બધા સરવાળા ગણો. પછી, દરેક ઘટનાના અનુકૂળ પરિણામોને કુલ પરિણામો વડે ભાગીને સંભાવના શોધો.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, કોષ્ટકને કાળજીપૂર્વક ભરવું ખૂબ જ અગત્યનું છે, કારણ કે એક નાની ભૂલ પણ બધા સંભાવનાના ગણતરીઓમાં ભૂલ કરી શકે છે.

 

Question 3. એક થેલામાં 5 લાલ દડા અને કેટલાક વાદળી (ભૂરા) દડા છે. જો ભૂરો દડો નીકળવાની સંભાવના લાલ દડો નીકળે તેની સંભાવના કરતાં બમણી હોય, તો થેલામાં રહેલા ભૂરા દડાઓની સંખ્યા શોધો.
Answer:
ધારો કે, ભૂરા દડાની સંખ્યા \( x \) છે.
તેથી, થેલામાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા \( = 5 + x \).
આમ, લાલ દડાની સંખ્યા \( = 5 \) છે, ભૂરા દડાની સંખ્યા \( = x \) છે અને કુલ દડાની સંખ્યા \( = 5 + x \) છે.
આથી, એક દડો નીકાળવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 5 + x \).
ભૂરો દડો નીકાળવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( = x \).
લાલ દડો નીકાળવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( = 5 \).
હવે, ભૂરો દડો નીકાળવાની સંભાવના \( = 2 \times \) લાલ દડો નીકાળવાની સંભાવના
\( \frac{x}{5+x} = 2 \times \frac{5}{5+x} \)
\( \frac{x}{5+x} = \frac{10}{5+x} \)
બંને બાજુ \( (5+x) \) વડે ગુણતા,
\( x = 10 \)
આમ, થેલામાં રહેલા ભૂરા દડાની સંખ્યા 10 છે.
In simple words: પહેલા, ભૂરા દડાની સંખ્યાને \(x\) ધારો. પછી, કુલ દડાની સંખ્યા \(5+x\) છે. લાલ દડા અને ભૂરા દડાની સંભાવનાઓના સૂત્રો લખો. પ્રશ્નમાં આપેલ શરતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ બનાવો કે ભૂરા દડાની સંભાવના લાલ દડાની સંભાવના કરતાં બમણી છે. આ સમીકરણને ઉકેલીને \(x\) ની કિંમત શોધો.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સંભાવનાના સૂત્રોને યોગ્ય રીતે લાગુ કરવા અને આપેલ શરતોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ બનાવવું તે મુખ્ય પગલાં છે. સમીકરણ ઉકેલવામાં કાળજી રાખવી.

 

Question 4. એક પેટીમાં 12 દડા છે, જેમાંથી \( x \) દડા કાળા છે. જો પેટીમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે, તો તે કાળો દડો હોય તેની સંભાવના કેટલી? જો બીજા 6 કાળા દડા પેટીમાં મૂકવામાં આવે, તો કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના હવે પહેલાં હતી તેનાથી બમણી થાય છે, તો \( x \) શોધો.
Answer:
પેટીમાંના કુલ દડાની સંખ્યા \( = 12 \) અને કાળા દડાની સંખ્યા \( = x \).
આથી, પેટીમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામો \( = 12 \).
કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામો \( = x \) થાય.
તેથી, કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો હોય તેની સંભાવના \( = \frac{x}{12} \).

હવે, જો બીજા 6 કાળા દડા પેટીમાં મૂકવામાં આવે, તો પેટીમાંના કુલ દડાની સંખ્યા \( = 12 + 6 = 18 \).
અને કાળા દડાની સંખ્યા \( = x + 6 \) થાય.
હવે, કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો હોય તેની સંભાવના \( = \frac{x+6}{18} \).

આપેલ માહિતી મુજબ, આ નવી સંભાવના પહેલાં હતી તે સંભાવનાથી બમણી થાય છે.
\( \implies \frac{x+6}{18} = 2 \times \frac{x}{12} \)
\( \implies \frac{x+6}{18} = \frac{2x}{12} \)
\( \implies \frac{x+6}{18} = \frac{x}{6} \)
\( \implies 6(x+6) = 18x \)
\( \implies 6x + 36 = 18x \)
\( \implies 36 = 18x - 6x \)
\( \implies 36 = 12x \)
\( \implies x = \frac{36}{12} \)
\( \implies x = 3 \)
આમ, કાળા દડાની શરૂઆતની સંખ્યા 3 છે.
In simple words: પહેલા, પેટીમાંના કાળા દડાની સંખ્યા \(x\) ધારો. પછી, પ્રારંભિક સંભાવના ગણો કે કાળો દડો નીકળશે. ત્યારબાદ, 6 વધુ કાળા દડા ઉમેર્યા પછી કુલ દડા અને કાળા દડાની નવી સંખ્યા શોધો અને નવી સંભાવના ગણો. પ્રશ્નમાં આપેલ શરતનો ઉપયોગ કરો કે નવી સંભાવના જૂની સંભાવના કરતાં બમણી છે અને \(x\) માટે સમીકરણ ઉકેલો.

Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, શરૂઆતની અને નવી પરિસ્થિતિઓ માટે કુલ પરિણામો અને સાનુકૂળ પરિણામોને સ્પષ્ટ રીતે ઓળખવા અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. સમીકરણ ઉકેલવામાં ગુણાકાર અને ભાગાકારનું યોગ્ય રીતે પાલન કરવું.

 

Question 5. એક બરણીમાં 24 લખોટીઓ છે. કેટલીક લીલી છે અને બાકીની ભૂરી છે. બરણીમાંથી જો એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે, તો તે લીલી હોય તેની સંભાવના \( \frac{2}{3} \) છે. બરણીમાંથી ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા શોધો.
Answer:
ધારો કે, બરણીમાં \( x \) ભૂરી લખોટીઓ છે.
બરણીમાં કુલ લખોટીઓની સંખ્યા 24 છે.
તેથી, લીલી લખોટીઓની સંખ્યા \( = 24 - x \).
બરણીમાંથી યાદચ્છિક રીતે કાઢેલી લખોટી લીલી હોય તેની સંભાવના \( = \frac{\text{લીલી લખોટીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ લખોટીઓની સંખ્યા}} = \frac{24-x}{24} \).
પરંતુ આ સંભાવના પ્રશ્નમાં \( \frac{2}{3} \) આપેલ છે.
\( \implies \frac{24-x}{24} = \frac{2}{3} \)
\( \implies 24-x = \frac{2}{3} \times 24 \)
\( \implies 24-x = 2 \times 8 \)
\( \implies 24-x = 16 \)
\( \implies x = 24 - 16 \)
\( \implies x = 8 \)
આમ, બરણીમાંની ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા 8 છે.
In simple words: પહેલા, ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યાને \(x\) ધારો. કુલ લખોટીઓ 24 હોવાથી, લીલી લખોટીઓ \(24-x\) થશે. લીલી લખોટીઓ નીકળવાની સંભાવનાનું સૂત્ર બનાવો. પ્રશ્નમાં આપેલ સંભાવના \( \frac{2}{3} \) સાથે સમીકરણને સરખાવો અને \(x\) ની કિંમત શોધવા માટે સમીકરણ ઉકેલો.

Exam Tip: સંભાવનાના પ્રશ્નોમાં, "બાકીની" જેવી શરતોને ધ્યાનથી સમજવી અને કુલ સંખ્યામાંથી બાદબાકી કરીને બીજી વસ્તુઓની સંખ્યા શોધવી જરૂરી છે. સમીકરણોને સાચા પગલાંઓ સાથે ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરો.