GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 15 સંભાવના Exercise 15.1

Question 1. નીચેના વિધાનો પૂર્ણ કરોઃ
(i) ઘટના E ની સંભાવના + ઘટના 'E નહીં' ની સંભાવના = .................
(ii) ઉદ્ભવી ન શકે તેવી ઘટનાની સંભાવના ................. છે. આવી ઘટનાને ................. કહે છે.
(iii) ચોક્કસપણે ઉદ્ભવતી ઘટનાની સંભાવના ................. છે. આવી ઘટનાને ................. કહે છે.
(iv) પ્રયોગની તમામ મૂળભૂત (પ્રાથમિક) ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો ................. છે.
(v) સંભાવના ................. થી મોટી અથવા તેના જેટલી અને એથી નાની અથવા તેના જેટલી હોય છે.
Answer:
(i) 1
(ii) 0, અશક્ય ઘટના
(iii) 1, ચોક્કસ ઘટના અથવા નિશ્ચિત ઘટના
(iv) 1
(v) 0 અને 1
In simple words: સંભાવના હંમેશા 0 અને 1 વચ્ચે હોય છે. અશક્ય ઘટનાની સંભાવના 0 હોય છે, જ્યારે ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના 1 હોય છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે સંભાવના ક્યારેય ઋણ કે 1 થી વધુ હોઈ શકે નહીં. સંભાવના હંમેશા 0 અને 1 વચ્ચેનો નંબર હોય છે.

 

Question 2. નીચે આપેલ પૈકી કયા પ્રયોગનાં પરિણામો સમસંભાવી છે? સમજાવો.
(i) પ્રયોગઃ ડ્રાઇવર કાર ચાલુ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
પરિણામઃ કાર ચાલુ થાય છે અથવા ચાલુ નથી થતી.
(ii) પ્રયોગઃ ખેલાડી બાસ્કેટબૉલને તાકીને મારવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
પરિણામઃ તે બૉલને બાસ્કેટમાં નાખે છે અથવા ચૂકી જાય છે.
(iii) પ્રયોગઃ ખરા-ખોટ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની કસોટી આપવામાં આવી છે.
પરિણામઃ જવાબ સત્ય છે કે અસત્ય.
(iv) પ્રયોગ: બાળક જન્મે છે.
પરિણામઃ તે બાબો છે કે બેબી.
Answer:
(i) આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી નથી. અહીં, કારની હાલત જાણીતી હોતી નથી. જો કાર સારી હાલતમાં હોય, તો તે તરત શરૂ થાય, પરંતુ જો કારમાં કોઈ સમસ્યા હોય, તો તે શરૂ ન પણ થાય. આથી આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી નથી.
(ii) આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી નથી. અહીં, ખેલાડી બાસ્કેટબૉલને બાસ્કેટમાં નાખે છે અથવા ચૂકી જાય છે, તેનો આધાર ખેલાડી કુશળ છે કે શિખાઉ છે તેના પર નિર્ભર છે. તે વિશેની કોઈ માહિતી પ્રશ્નમાં આપવામાં આવેલી ન હોવાથી, આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી નથી.
(iii) આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી છે. જ્યારે સાચા-ખોટા પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં આવે છે, ત્યારે ફક્ત બે જ સંભાવના હોય છે: જવાબ સાચો હોય અથવા જવાબ ખોટો હોય. આ પ્રકારના પ્રશ્નમાં કોઈ ગણતરી કે વિવરણની જરૂર પડતી ન હોવાથી, આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી છે.
(iv) આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી છે. જ્યારે બાળક જન્મે ત્યારે તે છોકરો હોય કે છોકરી એ બે જ શક્યતા છે અને તે પૈકીની કોઈ શક્યતા બીજી શક્યતાથી વધુ હોતી નથી. આથી આપેલા પ્રયોગના પરિણામો સમસંભાવી છે.
In simple words: સમસંભાવી પરિણામો એટલે એવી ઘટનાઓ જેમાં દરેક પરિણામની શક્યતા સરખી હોય. કાર સ્ટાર્ટ કરવી કે બાસ્કેટબોલ શૉટ એ ખેલાડીની કુશળતા પર આધાર રાખે છે, તેથી તે સમસંભાવી નથી. જ્યારે સાચું-ખોટું કે બાળકના જન્મ જેવા પરિણામો સમસંભાવી હોય છે કારણ કે દરેકની શક્યતા સમાન હોય છે.

Exam Tip: સમસંભાવી પરિણામો નક્કી કરતી વખતે, ખાતરી કરો કે દરેક શક્ય પરિણામને સમાન તક મળે છે અને કોઈ પૂર્વગ્રહ નથી.

 

Question 3. ફૂટબૉલની રમતની શરૂઆતમાં કઈ ટુકડીને બૉલ મળવો જોઈએ તે નક્કી કરવા, સિક્કાને ઉછાળવો નિષ્પક્ષ ક્રિયા છે એવું વિચારાય છે?
Answer: સિક્કો ઉછાળવાના પ્રયોગના બંને પરિણામો – છાપ અને કાંટો – સમસંભાવી હોય છે. આથી સિક્કો ઉછાળતી વખતે છાપ આવશે કે કાંટો આવશે તેની આગાહી કરી શકાતી નથી. તેથી, ફૂટબૉલની રમતની શરૂઆતમાં કઈ ટુકડીને બૉલ મળવો જોઈએ તે નક્કી કરવા માટે સિક્કો ઉછાળવો એ એક નિષ્પક્ષ ક્રિયા છે.
In simple words: હા, સિક્કો ઉછાળવો એક નિષ્પક્ષ ક્રિયા છે. કારણ કે છાપ કે કાંટો આવવાની શક્યતા સરખી હોય છે, અને પરિણામની આગાહી કરી શકાતી નથી.

Exam Tip: નિષ્પક્ષ ક્રિયા હંમેશા એવું પરિણામ આપે છે જેમાં દરેક શક્યતાને સમાન તક મળે.

 

Question 4. નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ ઘટનાની સંભાવના ન હોઈ શકે?
(a) \( \frac{2}{3} \)
(b) - 1.5
(c) 15%
(d) 0.7
Answer: (b) - 1.5
In simple words: કોઈ પણ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા 0 અને 1 ની વચ્ચે જ હોય છે. સંભાવના ક્યારેય ઋણ સંખ્યા હોઈ શકતી નથી.

Exam Tip: સંભાવનાની કિંમત હંમેશા 0 (અશક્ય ઘટના) અને 1 (ચોક્કસ ઘટના) ની વચ્ચે હોય છે. ઋણ સંખ્યા અથવા 1 થી મોટી સંખ્યા સંભાવના હોઈ શકતી નથી.

 

Question 5. જો \( P(E) = 0.05 \) હોય, તો "E નહીં"ની સંભાવના શું છે?
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈ પણ ઘટના E માટે,
\( P(E) + P(\overline{E}) = 1 \)
\( P(\overline{E}) = 1 - P(E) \)
\( P(\overline{E}) = 1 - 0.05 \)
\( P(\overline{E}) = 0.95 \)
આમ, 'E નહીં' ની સંભાવના 0.95 છે.
In simple words: જો કોઈ ઘટના બનવાની સંભાવના P(E) હોય, તો તે ઘટના ન બનવાની સંભાવના \( 1 - P(E) \) હોય છે. અહીં, તે \( 1 - 0.05 = 0.95 \) થશે.

Exam Tip: ઘટના E અને ઘટના 'E નહીં' એકબીજાની પૂરક ઘટનાઓ છે, અને તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા 1 હોય છે.

 

Question 6. એક થેલામાં લીંબુના સ્વાદની જ મીઠાઈઓ છે. માલિની થેલામાં જોયા વગર એક મીઠાઈ બહાર કાઢે છે.
(i) નારંગીના સ્વાદની મીઠાઈ હોય
(ii) લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈ હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: એક થેલામાં ફક્ત લીંબુના સ્વાદની જ મીઠાઈઓ છે. ધારો કે, થેલામાં કુલ \( n \) મીઠાઈઓ છે. તેથી થેલામાંથી એક મીઠાઈ પસંદ કરવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( n \) થાય છે. થેલામાં ફક્ત લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈઓ જ છે.
આથી લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈઓની સંખ્યા \( = n \)
નારંગીના સ્વાદની મીઠાઈઓની સંખ્યા \( = 0 \)
(i) ધારો કે, ઘટના A: પસંદ કરેલી મીઠાઈ નારંગીના સ્વાદની હોય. થેલામાં નારંગીના સ્વાદની 0 મીઠાઈઓ હોવાથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 0 થાય.
\( P(A) = \frac{0}{n} = 0 \)
(ii) ધારો કે, ઘટના B: પસંદ કરેલી મીઠાઈ લીંબુના સ્વાદની હોય. થેલામાં \( n \) લીંબુના સ્વાદની મીઠાઈઓ હોવાથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા \( n \) થાય.
\( P(B) = \frac{n}{n} = 1 \)
નોંધ: અહીં, ઘટના A એ અશક્ય ઘટના છે અને ઘટના B ચોક્કસ ઘટના છે.
\( P(A) = 0 \) અને \( P(B) = 1 \).
In simple words: જો થેલામાં ફક્ત લીંબુની મીઠાઈઓ હોય, તો નારંગીની મીઠાઈ મળવાની સંભાવના 0 છે. અને લીંબુની મીઠાઈ મળવાની સંભાવના 1 છે.

Exam Tip: જો ઘટના અશક્ય હોય, તો તેની સંભાવના 0 હોય છે, અને જો ઘટના ચોક્કસ હોય, તો તેની સંભાવના 1 હોય છે.

 

Question 7. આપેલ છે કે, 3 વિદ્યાર્થીઓના સમૂહમાં બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન ન હોય તેની સંભાવના 0.992 છે. બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: ધારો કે, ઘટના E: બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન હોય.
આથી, ઘટના \( \overline{E} \): બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન ન હોય.
હવે, \( P(\overline{E}) = 0.992 \) (આપેલ છે.)
કોઈ પણ ઘટના E માટે,
\( P(E) + P(\overline{E}) = 1 \)
\( P(E) = 1 - P(\overline{E}) \)
\( P(E) = 1 - 0.992 \)
\( P(E) = 0.008 \)
આમ, બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મદિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના 0.008 છે.
In simple words: બે વિદ્યાર્થીઓના જન્મદિવસ સમાન ન હોવાની સંભાવના 0.992 છે. તો તેમના જન્મદિવસ સમાન હોવાની સંભાવના \( 1 - 0.992 = 0.008 \) થશે.

Exam Tip: જ્યારે તમે "ન હોય" સંભાવના જાણો છો અને "હોય" સંભાવના શોધવાની હોય, ત્યારે હંમેશા 1 માંથી આપેલી સંભાવના બાદ કરો.

 

Question 8. એક થેલામાં 3 લાલ અને 5 કાળા દડા છે. થેલામાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. બહાર
(i) લાલ હોય
(ii) લાલ ન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: થેલામાં રહેલા દડાઓની કુલ સંખ્યા \( = 3 + 5 = 8 \).
તેથી, થેલામાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 8 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: બહાર કાઢેલો દડો લાલ હોય. થેલામાં 3 લાલ દડા છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 થાય.
\( P(A) = \frac{3}{8} \)
(ii) ધારો કે, ઘટના B: બહાર કાઢેલો દડો લાલ ન હોય.
અહીં, ઘટના B એ ઘટના A ની પૂરક ઘટના છે. તેથી \( P(B) = P(\overline{A}) \)
\( P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \).
In simple words: કુલ 8 દડામાંથી 3 લાલ છે, તો લાલ દડો મળવાની સંભાવના \( \frac{3}{8} \) છે. લાલ ન હોય એટલે કાળો હોય, તેની સંભાવના \( \frac{5}{8} \) છે.

Exam Tip: સંભાવના ગણતી વખતે, કુલ શક્ય પરિણામો અને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાને યોગ્ય રીતે ઓળખો.

 

Question 9. એક પેટીમાં 5 લાલ લખોટીઓ, 8 સફેદ લખોટીઓ અને 4 લીલી લખોટીઓ છે. પેટીમાંથી એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે બહાર કાઢવામાં આવે છે. બહાર કાઢેલ લખોટી
(i) લાલ હોય
(ii) સફેદ હોય
(iii) લીલી ન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: પેટીમાં રહેલી લખોટીઓની કુલ સંખ્યા \( = 5 + 8 + 4 = 17 \).
તેથી, પેટીમાંથી એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે બહાર કાઢવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 17 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: બહાર કાઢેલી લખોટી લાલ હોય. પેટીમાં 5 લાલ લખોટીઓ છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 થાય.
\( P(A) = \frac{5}{17} \)
(ii) ધારો કે, ઘટના B: બહાર કાઢેલી લખોટી સફેદ હોય. પેટીમાં 8 સફેદ લખોટીઓ છે.
ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 8 થાય.
\( P(B) = \frac{8}{17} \).
(iii) ધારો કે, ઘટના C: બહાર કાઢેલી લખોટી લીલી હોય. પેટીમાં 4 લીલી લખોટીઓ છે.
તેથી, ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 4 થાય.
\( P(C) = \frac{4}{17} \).
હવે, આપણે લીલી ન હોય તેવી લખોટીની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \( P(\overline{C}) \).
\( P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{13}{17} \).
In simple words: કુલ 17 લખોટીઓ છે. લાલ, સફેદ અને લીલી લખોટીઓની સંભાવનાઓ શોધી શકાય છે. લીલી ન હોય તેવી લખોટીની સંભાવના શોધવા માટે, લીલી લખોટીની સંભાવનાને 1 માંથી બાદ કરવી પડશે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુ "ન હોય" તેની સંભાવના શોધવી હોય, ત્યારે તે વસ્તુ "હોય" તેની સંભાવના શોધીને તેને 1 માંથી બાદ કરો.

 

Question 10. એક ગલ્લામાં 50 p ના સો સિક્કા, Rs 1ના પચાસ સિક્કા, Rs 2ના વીસ સિક્કા અને Rs 5ના દસ સિક્કા છે. જ્યારે આ ગલ્લાને ઊંધો કરવામાં આવે ત્યારે ગલ્લામાંથી કોઈ એક સિક્કો બહાર પડે, તે સમસંભાવી હોય, તો સિક્કો
(1) 50 p નો સિક્કો હશે
(2) Rs 5 નો સિક્કો નહીં હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: ગલ્લામાં રહેલા સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા \( = 100 + 50 + 20 + 10 = 180 \).
તેથી, ગલ્લામાંથી એક સિક્કો બહાર પડે તે પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 180 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: બહાર પડેલો સિક્કો 50 p નો સિક્કો છે. ગલ્લામાં 50 p ના 100 સિક્કા છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 100 થાય.
\( P(A) = \frac{100}{180}=\frac{5}{9} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: બહાર પડેલો સિક્કો Rs 5 નો સિક્કો નથી.
આથી, ધારો કે ઘટના \( \overline{B} \): બહાર પડેલો સિક્કો Rs 5 નો સિક્કો છે.
ગલ્લામાં Rs 5 ના 10 સિક્કા છે.
તેથી, ઘટના \( \overline{B} \) ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 10 થાય.
\( P(\overline{B}) = \frac{10}{180}=\frac{1}{18} \).
હવે, \( P(B) = 1 - P(\overline{B}) \)
\( = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18} \).
In simple words: કુલ 180 સિક્કાઓ છે. 50 પૈસાના 100 સિક્કા હોવાથી, તેની સંભાવના \( \frac{100}{180} \) થશે. Rs 5 ના 10 સિક્કા છે, તેથી Rs 5 નો સિક્કો ન હોવાની સંભાવના \( 1 - \frac{10}{180} \) થશે.

Exam Tip: કુલ સિક્કાઓની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખો અને પ્રત્યેક ઘટના માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ચોકસાઈપૂર્વક નક્કી કરો.

 

Question 11. ગોપી પોતાના માછલીઘર માટે દુકાનમાંથી માછલી ખરીદે છે. દુકાનદાર મોટી ટાંકીમાંથી યાદચ્છિક રીતે એક માછલી બહાર કાઢે છે. આ ટાંકીમાં 5 નર માછલી અને 8 માદા માછલી છે. બહાર કાઢેલ માછલી નર માછલી હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: મોટી ટાંકીમાં રહેલી માછલીઓની કુલ સંખ્યા \( = 5 + 8 = 13 \).
તેથી, મોટી ટાંકીમાંથી એક માછલી બહાર કાઢવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 13 \).
ધારો કે, ઘટના A: બહાર કાઢેલી માછલી નર માછલી છે. મોટી ટાંકીમાં 5 નર માછલીઓ છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 થાય.
\( P(A) = \frac{5}{13} \).
In simple words: ટાંકીમાં કુલ 13 માછલીઓ છે. તેમાંથી 5 નર માછલીઓ હોવાથી, નર માછલી નીકળવાની સંભાવના \( \frac{5}{13} \) છે.

Exam Tip: સંભાવનાના પ્રશ્નોમાં, કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા અને નિર્દિષ્ટ પ્રકારની વસ્તુઓની સંખ્યા ધ્યાનપૂર્વક ગણો.

 

Question 12. તકની એક રમતમાં ગોળ ફરતું એક તીર (Arrow) હોય છે. તે 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 માંથી કોઇ એક સંખ્યા પાસે નિર્દેશ કરતું અટકે છે અને આ સમસંભાવી પરિણામો છે.
(i) તે 8 તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
(ii) અયુગ્મ સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
(iii) 2 કરતાં મોટી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
(iv) 9 કરતાં નાની સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: પાટિયા પર કુલ 8 સંખ્યાઓ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) છે અને ગોળ ફરતું તીર આ 8 સંખ્યાઓ પૈકી કોઈ એક પાસે નિર્દેશ કરતું અટકી શકે છે.
તેથી, તકની રમતના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 8 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: તીર 8 તરફ નિર્દેશ કરે છે. પાટિયા પર ફક્ત એક જ 8 છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 થાય.
\( P(A) = \frac{1}{8} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: તીર અયુગ્મ સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે. પાટિયા પર 1, 3, 5, 7 એમ 4 અયુગ્મ સંખ્યાઓ છે.
તેથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 4 થાય.
\( P(B) = \frac{4}{8}=\frac{1}{2} \).
(iii) ધારો કે, ઘટના C: તીર 2 કરતાં મોટી સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે. પાટિયા પર 2 કરતાં મોટી હોય તેવી 6 સંખ્યાઓ (3, 4, 5, 6, 7, 8) છે.
તેથી, ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 6 થાય.
\( P(C) = \frac{6}{8}=\frac{3}{4} \).
(iv) ધારો કે, ઘટના D: તીર 9 કરતાં નાની સંખ્યા તરફ નિર્દેશ કરે છે. પાટિયા પરની બધી જ 8 સંખ્યાઓ 9 કરતાં નાની છે.
તેથી, ઘટના D ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 8 થાય.
\( P(D) = \frac{8}{8} = 1 \).
In simple words: કુલ 8 શક્યતાઓ છે. (i) 8 એક જ વાર આવે છે, તેથી સંભાવના \( \frac{1}{8} \). (ii) અયુગ્મ સંખ્યાઓ (1, 3, 5, 7) 4 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{4}{8} \). (iii) 2 થી મોટી સંખ્યાઓ (3, 4, 5, 6, 7, 8) 6 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{6}{8} \). (iv) 9 થી નાની બધી જ સંખ્યાઓ છે (1 થી 8), તેથી સંભાવના \( \frac{8}{8} = 1 \).

Exam Tip: સ્પિનર ​​જેવી રમતોમાં, કુલ શક્ય પરિણામો અને દરેક ચોક્કસ ઘટના માટેના સાનુકૂળ પરિણામોને ઓળખવા મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 13. પાસાને એક વાર ફેંકવામાં આવે છે, તો
(i) અવિભાજ્ય સંખ્યા
(ii) 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા
(iii) અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના શોધો.
Answer: પાસાને એક વાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 6 \) (એટલે કે, 1, 2, 3, 4, 5, 6).
(i) ધારો કે, ઘટના A: અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે છે. પાસા પર ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (2, 3, 5) હોય છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 થાય.
\( P(A) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા મળે છે. પાસા પર 2 અને 6 ની વચ્ચેની ત્રણ સંખ્યાઓ (3, 4, 5) હોય છે.
તેથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 છે.
\( P(B) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \).
(iii) ધારો કે, ઘટના C: અયુગ્મ સંખ્યા મળે છે. પાસા પર ત્રણ અયુગ્મ સંખ્યાઓ (1, 3, 5) હોય છે.
તેથી, ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 3 છે.
\( P(C) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2} \).
In simple words: પાસો ફેંકવાથી 6 પરિણામો મળે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (2, 3, 5) 3 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{3}{6} \). 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યાઓ (3, 4, 5) 3 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{3}{6} \). અયુગ્મ સંખ્યાઓ (1, 3, 5) 3 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{3}{6} \).

Exam Tip: પાસાના પ્રશ્નોમાં, શક્ય પરિણામોની યાદી બનાવવાથી અવિભાજ્ય, યુગ્મ, અયુગ્મ અથવા ચોક્કસ રેન્જમાં સંખ્યાઓ ઓળખવામાં મદદ મળે છે.

 

Question 14. સરખી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પતું કાઢવામાં આવે છે, તો
(i) લાલ રંગનો રાજા
(ii) મુખમુદ્રાવાળું પતું
(iii) લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પતું
(iv) લાલનો ગુલામ
(v) કાળીનું પતું
(vi) ચોકટની રાણી મળવાની સંભાવના શોધો.
Answer: સરખી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાની થોકડીમાંથી એક પતું કાઢવાના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 52 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: લાલ રંગનો રાજા મળે છે. થોકડીમાં લાલ રંગના બે રાજા હોય છે (લાલનો રાજા અને ચોકટનો રાજા).
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે.
\( P(A) = \frac{2}{52}=\frac{1}{26} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: મુખમુદ્રાવાળું પતું મળે છે. થોકડીમાં કુલ 12 મુખમુદ્રાવાળા પત્તાં હોય છે (ચાર રાજા, ચાર રાણી અને ચાર ગુલામ).
તેથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 12 છે.
\( P(B) = \frac{12}{52}=\frac{3}{13} \).
(iii) ધારો કે, ઘટના C: લાલ રંગનું મુખમુદ્રાવાળું પતું મળે છે. લાલ રંગના 6 મુખમુદ્રાવાળા પત્તાં હોય છે: લાલ અને ચોકટ દરેકના રાજા, રાણી અને ગુલામ (2+2+2=6).
તેથી, ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 6 છે.
\( P(C) = \frac{6}{52}=\frac{3}{26} \).
(iv) ધારો કે, ઘટના D: લાલનો ગુલામ મળે છે. થોકડીમાં લાલ રંગના બે ગુલામ હોય છે (લાલનો ગુલામ અને ચોકટનો ગુલામ).
તેથી, ઘટના D ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે.
\( P(D) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \).
(v) ધારો કે, ઘટના E: કાળીનું પતું મળે છે. થોકડીમાં કાળીનાં 13 પત્તાં હોય છે.
તેથી, ઘટના E ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 13 છે.
\( P(E) = \frac{13}{52}=\frac{1}{4} \).
(vi) ધારો કે, ઘટના F: ચોકટની રાણી મળે છે. થોકડીમાં ચોકટની રાણી ફક્ત એક જ હોય છે.
તેથી, ઘટના F ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
\( P(F) = \frac{1}{52} \).
In simple words: 52 પત્તાના ડેકમાંથી વિવિધ પ્રકારના પત્તા મળવાની સંભાવના શોધવામાં આવી છે. લાલ રાજા 2, મુખમુદ્રાવાળા પત્તા 12, લાલ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા 6, લાલ ગુલામ 2, કાળીના પત્તા 13, અને ચોકટની રાણી 1 હોય છે.

Exam Tip: પત્તાના પ્રશ્નોમાં, વિવિધ સૂટ (લાલ, કાળી, ચોકટ, ફૂલ્લી), રંગો અને મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની સંખ્યાને યાદ રાખો.

 

Question 15. પાંચ ચોકટનાં પત્તાં – દસ્સો, ગુલામ, રાણી, રાજા અને એક્કો એ તમામના મુખ નીચે તરફ રાખીને સરખી રીતે ચિપેલાં છે, પછી એક પતું યાદચ્છિક રીતે ખેચવામાં આવે છે.
(i) પતું રાણીનું હશે તેની સંભાવના શું છે?
(ii) જો રાણીને કાઢીને એક બાજુએ મૂકવામાં આવે અને બીજું પતું ખેંચવામાં આવે તે
(a) એક્કો હોય
(b) રાણી હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: આપેલા પ્રયોગમાં ચોકટના પાંચ પત્તાં (દસ્સો, ગુલામ, રાણી, રાજા અને એક્કો) સરખી રીતે ચીપેલાં છે અને પછી એક પતું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે.
તેથી, પ્રયોગના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 5 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: ખેંચેલું પતું રાણીનું છે. પાંચ પત્તામાંથી રાણીનું પતું ફક્ત એક જ છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
\( P(A) = \frac{1}{5} \).
(ii) જો રાણીને કાઢીને એક બાજુએ મૂકવામાં આવે, તો બાકીના ચાર પત્તાં રહે છે: દસ્સો, ગુલામ, રાજા અને એક્કો. હવે, એક પતું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવાના પ્રયોગમાં કુલ પરિણામોની સંખ્યા 4 થાય.
(a) ધારો કે, ઘટના B: ખેંચેલું પતું એક્કો હોય. પ્રયોગમાં રહેલાં ચાર પત્તામાં એક્કો ફક્ત એક જ છે.
તેથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
\( P(B) = \frac{1}{4} \).
(b) ધારો કે, ઘટના C: ખેંચેલું પતું રાણી હોય. પ્રયોગમાં રહેલાં ચાર પત્તામાં એક પણ રાણી નથી.
તેથી, ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 0 છે.
\( P(C) = \frac{0}{4} = 0 \).
In simple words: શરૂઆતમાં 5 પત્તા છે. રાણી આવવાની સંભાવના \( \frac{1}{5} \). જો રાણીને કાઢી નાખવામાં આવે, તો 4 પત્તા રહે છે. હવે એક્કો આવવાની સંભાવના \( \frac{1}{4} \) અને રાણી આવવાની સંભાવના 0 છે કારણ કે રાણીને પહેલા જ કાઢી નાખી છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુને ફરીથી મૂકવામાં ન આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા બદલાય છે, જે સંભાવનાને પણ અસર કરે છે.

 

Question 16. ખામીવાળી 12 પેન આકસ્મિક રીતે 132 સારી પેનની સાથે ભળી ગઈ છે. એવું શક્ય નથી કે કેવળ પેનને જોઈને જ કહી શકાય કે પેન ખામીયુક્ત છે કે નહીં. આ જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. કાઢવામાં આવેલી પેન ખામી રહિત છે, તેની સંભાવના શોધો.
Answer: જથ્થામાં રહેલી કુલ પેનની સંખ્યા \( = 132 + 12 = 144 \).
આ જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.
તેથી, એક પેન કાઢવાના પ્રયોગના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 144 \).
ધારો કે, ઘટના A: કાઢવામાં આવેલી પેન ખામી રહિત છે.
જથ્થામાં ખામી રહિત પેનની સંખ્યા 132 છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 132 છે.
\( P(A) = \frac{132}{144}=\frac{11}{12} \).
In simple words: કુલ 144 પેન છે, જેમાં 132 સારી છે. જો એક પેન પસંદ કરવામાં આવે, તો તે પેન સારી હોવાની સંભાવના \( \frac{132}{144} \) છે.

Exam Tip: જ્યારે વિવિધ પ્રકારની વસ્તુઓ મિશ્રિત હોય, ત્યારે દરેક પ્રકારની વસ્તુઓની સંખ્યાને ઓળખીને કુલ સંખ્યા અને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા નક્કી કરો.

 

Question 17.
(i) 20 વીજળીના ગોળાઓનો જથ્થો 4 ખામીયુક્ત ગોળા ધરાવે છે. આ જથ્થામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ ગોળો ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના કેટલી?
(ii) હવે, બાકીના ગોળામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ ગોળો ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer:
(i) જથ્થામાં રહેલા ગોળાઓની કુલ સંખ્યા \( = 20 \).
ખામીયુક્ત ગોળાઓની સંખ્યા \( = 4 \).
ખામી રહિત ગોળાઓની કુલ સંખ્યા \( = 20 - 4 = 16 \).
જથ્થામાંથી એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.
તેથી, એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 20 \).
ધારો કે, ઘટના A: કાઢેલો ગોળો ખામીયુક્ત છે.
જથ્થામાં કુલ 4 ગોળા ખામીયુક્ત છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 4 છે.
\( P(A) = \frac{4}{20}=\frac{1}{5} \).
(ii) આપેલ માહિતી મુજબ, (i) માં કાઢેલો ગોળો ખામીયુક્ત નથી (ખામી રહિત છે), અને તેને પાછો મૂકવામાં નથી આવ્યો. આથી હવે જથ્થામાં 15 ખામી રહિત અને 4 ખામીયુક્ત એમ કુલ 19 ગોળા છે.
તેથી, એક ગોળો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 19 \).
ધારો કે, ઘટના B: કાઢેલો ગોળો ખામીયુક્ત નથી, એટલે કે, ખામી રહિત છે.
જથ્થામાં હવે 15 ગોળા ખામી રહિત છે.
તેથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 15 છે.
\( P(B) = \frac{15}{19} \).
In simple words: (i) કુલ 20 ગોળામાંથી 4 ખામીવાળા હોય તો ખામીવાળો ગોળો મળવાની સંભાવના \( \frac{4}{20} \) છે. (ii) જો એક સારો ગોળો કાઢી લેવામાં આવે, તો 19 ગોળા બાકી રહે, જેમાં 15 સારા હોય છે. તેથી, સારો ગોળો મળવાની સંભાવના \( \frac{15}{19} \) છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુને પાછી મૂકવામાં આવતી નથી, ત્યારે કુલ પરિણામો અને સાનુકૂળ પરિણામો બંને બદલાઈ શકે છે.

 

Question 18. એક ખોખામાં 1થી 90 સુધીની સંખ્યાઓ લખેલી 90 ગોળ તકતીઓ છે. જો ખોખામાંથી એક ગોળ તકતી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે તો તેના પર
(i) બે અંકની સંખ્યા,
(ii) પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા
(iii) 3 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા હોય તેની સંભાવના શોધો.
Answer: 1 થી 90 સુધીની સંખ્યાઓ લખેલી 90 તકતીઓ જે ખોખામાં ભરેલી છે, તેમાંથી એક તકતી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે છે.
તેથી, 1 તકતી કાઢવાના પ્રયોગના કુલ પરિણામોની સંખ્યા \( = 90 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: કાઢેલી તકતી પર બે અંકની સંખ્યા હોય. 1 થી 90 સુધીની સંખ્યામાં બે અંકની 81 સંખ્યાઓ છે (10, 11, ..., 90).
ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 81 છે.
\( P(A) = \frac{81}{90}=\frac{9}{10} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: કાઢેલી તકતી પર પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય. 1 થી 90 સુધીની સંખ્યામાં 9 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ છે (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81).
તેથી, ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 9 છે.
\( P(B) = \frac{9}{90}=\frac{1}{10} \).
(iii) ધારો કે, ઘટના C: કાઢેલી તકતી પર 3 વડે વિભાજ્ય સંખ્યા હોય. 1 થી 90 સુધીની સંખ્યામાં 3 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી 30 સંખ્યાઓ છે (3, 6, 9, ..., 90).
ઘટના C ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 30 છે.
\( P(C) = \frac{30}{90}=\frac{1}{3} \).
In simple words: કુલ 90 તકતીઓ છે. (i) 10 થી 90 સુધીની 81 સંખ્યાઓ બે અંકની છે, તેથી સંભાવના \( \frac{81}{90} \). (ii) પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ (1, 4, ..., 81) 9 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{9}{90} \). (iii) 3 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ (3, 6, ..., 90) 30 છે, તેથી સંભાવના \( \frac{30}{90} \).

Exam Tip: સંખ્યા સંબંધિત સંભાવનાના પ્રશ્નોમાં, આપેલી શરતોને સંતોષતી સંખ્યાઓની ગણતરી કરતી વખતે સાવચેત રહો.

 

Question 19. એક બાળક પાસે એક એવો પાસો છે, જેની છ સપાટીઓ નીચે આપેલા અક્ષરો બતાવે છે: A B C D E A. આ પાસાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. પાસા પર (i) A મળે (ii) D મળે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: પાસાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે તો તેની છ સપાટીઓ પૈકી કોઈ પણ એક સપાટી મળે છે.
પાસો ઉછાળવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 6 \) (કારણ કે સપાટીઓ A, B, C, D, E, A છે).
(i) ધારો કે, ઘટના X: પાસા પર અક્ષર A મળે છે. પાસાની બે સપાટીઓ અક્ષર A બતાવે છે.
ઘટના X ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે.
\( P(X) = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના Y: પાસા પર અક્ષર D મળે છે. પાસાની એક સપાટી અક્ષર D બતાવે છે.
તેથી, ઘટના Y ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 1 છે.
\( P(Y) = \frac{1}{6} \).
In simple words: આ પાસાની કુલ 6 બાજુઓ છે. A બે વાર આવે છે, તેથી A મળવાની સંભાવના \( \frac{2}{6} \). D એક વાર આવે છે, તેથી D મળવાની સંભાવના \( \frac{1}{6} \).

Exam Tip: જ્યારે કોઈ વસ્તુની પુનરાવૃત્તિ થાય ત્યારે, સાનુકૂળ પરિણામોની ગણતરીમાં તેની પુનરાવૃત્તિની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો.

 

Question 20. ધારો કે, એક પાસાને તમે યાદચ્છિક રીતે આપેલ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે લંબચોરસ ક્ષેત્ર પર ફેકો છો. તે 1 મી વ્યાસના વર્તુળની અંદર પડશે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: પાસો લંબચોરસ ક્ષેત્રમાં કોઈ પણ સ્થળે પડે તે સમસંભાવી ઘટના છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = (3 \times 2) \text{ m}^2 = 6 \text{ m}^2 \).
વર્તુળનો વ્યાસ 1 m છે, તેથી ત્રિજ્યા \( r = \frac{1}{2} \) m.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1}{2} \right)^2 \text{ m}^2 = \frac{\pi}{4} \text{ m}^2 \).
માટે, \( P(\text{પાસો વર્તુળની અંદર પડશે}) = \frac{\text{વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ}} \)
\( = \frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)}{6} = \frac{\pi}{24} \).
In simple words: પહેલા લંબચોરસ અને વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી વર્તુળના ક્ષેત્રફળને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળથી ભાગવાથી પાસો વર્તુળમાં પડવાની સંભાવના મળે.

Exam Tip: ભૌમિતિક સંભાવનાના પ્રશ્નોમાં, કુલ ક્ષેત્રફળ અને સાનુકૂળ ક્ષેત્રફળ શોધીને ગુણોત્તર લો.

 

Question 21. એક જથ્થો 144 બૉલપેન ધરાવે છે. તેમાંથી 20 ખામીયુક્ત અને બાકીની સારી છે. જો પેને સારી હશે, તો નૂરી પેન ખરીદશે, પરંતુ જો તે ખામીયુક્ત હશે તો ખરીદશે નહીં. દુકાનદાર યાદચ્છિક રીતે એક પેન કાઢે છે અને તેને આપે છે.
(i) તે પેન ખરીદશે તેની સંભાવના કેટલી?
(ii) તે પેન નહીં ખરીદે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: જથ્થામાં કુલ 144 બૉલપેન છે. જેમાંની 20 પેન ખામીયુક્ત છે.
ખામી રહિત (સારી) પેનની સંખ્યા \( = 144 - 20 = 124 \).
દુકાનદાર 144 પેનના જથ્થામાંથી એક પેન યાદચ્છિક રીતે કાઢે છે.
તેથી, એક પેન કાઢવાના પ્રયોગના કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( = 144 \).
(i) ધારો કે, ઘટના A: નૂરી પેન ખરીદશે. નૂરી પેન ત્યારે જ ખરીદશે જ્યારે પેન સારી હશે. સારી પેનની સંખ્યા 124 છે.
તેથી, ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 124 છે.
\( P(A) = \frac{124}{144}=\frac{31}{36} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: નૂરી પેન નહીં ખરીદે. નૂરી પેન ત્યારે જ નહીં ખરીદે જ્યારે પેન ખામીયુક્ત હશે. ખામીયુક્ત પેનની સંખ્યા 20 છે.
ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 20 છે.
\( P(B) = \frac{20}{144}=\frac{5}{36} \).
નોંધ: અહીં, ઘટના B એ ઘટના A ની પૂરક ઘટના છે.
એટલે કે, \( B = \overline{A} \).
આથી \( P(B) = P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
\( = 1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36} \).
In simple words: કુલ 144 પેન છે, જેમાં 124 સારી અને 20 ખામીવાળી છે. નૂરી સારી પેન જ ખરીદશે, તેથી તેની સંભાવના \( \frac{124}{144} \) છે. તે ખામીવાળી પેન નહીં ખરીદે, તેથી તેની સંભાવના \( \frac{20}{144} \) છે.

Exam Tip: "ખરીદશે" અને "નહીં ખરીદે" જેવી ઘટનાઓ એકબીજાની પૂરક હોય છે. એકની સંભાવના શોધીને બીજીની સંભાવના 1 માંથી બાદ કરીને શોધી શકાય છે.

 

Question 22. ઉદાહરણ 13ના સંદર્ભમાં (i) નીચે આપેલ કોષ્ટક પૂરું કરો:
(ii) એક વિદ્યાર્થી દલીલ કરે છે કે, 1 શક્ય પરિણામો 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 અને 12 છે. તેમાંના પ્રત્યેકની સંભાવના \( \frac{1}{11} \) છે. શું આપ આ દલીલ સાથે સહમત છો? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
Answer:
(i) બે પાસા ફેંકવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા 36 છે. પાસા પરના સરવાળા અને તેના સાનુકૂળ પરિણામો નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવ્યા છે:

આ માહિતીના આધારે, નીચે આપેલ કોષ્ટક પૂર્ણ થાય છે:

(ii) ના, વિદ્યાર્થીની દલીલ સાચી નથી. પ્રથમ તો, પાસા પરનો સરવાળો 2, 3, 4, ..., 12 હોવો એ પ્રાથમિક ઘટનાઓ (પરિણામો) નથી, પરંતુ ઘટનાઓ છે. હકીકતમાં, આ પ્રયોગની પ્રાથમિક ઘટનાઓની (પરિણામો) સંખ્યા 36 છે. વધુમાં, પ્રયોગની 36 પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમસંભાવી હોવા છતાં, આ ઘટનાઓ પૈકીની બધી જ ઘટનાઓ સમસંભાવી નથી.
In simple words: બે પાસા ફેંકવાના કુલ 36 શક્ય પરિણામો હોય છે. પ્રત્યેક સરવાળાની સંભાવના કોષ્ટકમાં દર્શાવ્યા મુજબ અલગ હોય છે, તેથી વિદ્યાર્થીનો દાવો કે દરેક પરિણામની સંભાવના \( \frac{1}{11} \) છે તે ખોટો છે.

Exam Tip: જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામો 36 હોય છે. દરેક સંભવિત સરવાળા માટેના અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અલગ-અલગ હોય છે, તેથી તેમની સંભાવના પણ અલગ હોય છે. આવી દલીલોને તર્કબદ્ધ રીતે સમજાવવા માટે કુલ શક્ય પરિણામો અને અનુકૂળ પરિણામોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

 

Question 23. એક રમતમાં એક રૂપિયાના સિક્કાને 3 વાર ઉછાળવાનો છે અને તેના પરિણામ દરેક વખતે નોંધવાના છે. જો તમામ વખત સિક્કો ઉછાળતાં સરખું પરિણામ મળે, એટલે કે ત્રણ છાપ અથવા ત્રણ કાંટા, તો હનિફ રમત જીતી જાય છે અન્યથા હારે છે, તો હનિફ રમત હારે તેની સંભાવનાની ગણતરી કરો.
Answer:
એક રૂપિયાના સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા 8 છે. આ પરિણામો નીચે મુજબ છે: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
હનિફ રમત જીતી જાય છે જો તેને ત્રણેય છાપ (HHH) અથવા ત્રણેય કાંટા (TTT) મળે. આ અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 2 છે.
હનિફ રમત હારે છે જો તેને આ સિવાયના કોઈ પણ પરિણામો મળે. આ પરિણામો HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH છે, જેની સંખ્યા 6 છે.
ઘટના A: હનિફ રમત હારે છે.
ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 6.
તેથી, હનિફ રમત હારે તેની સંભાવના \( P(A) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).
In simple words: ત્રણ સિક્કા ઉછાળવાથી 8 અલગ-અલગ પરિણામો મળી શકે છે. જો ત્રણેય સરખાં (ત્રણ છાપ અથવા ત્રણ કાંટા) ન હોય તો હનિફ હારે. આવા 6 પરિણામો છે, તેથી હારવાની સંભાવના \( \frac{6}{8} \) એટલે કે \( \frac{3}{4} \) છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સૌ પ્રથમ કુલ શક્ય પરિણામોની યાદી બનાવો. પછી જીતવા અથવા હારવા માટેના અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા નક્કી કરો. સંભાવના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાને કુલ પરિણામોની સંખ્યા વડે ભાગો.

 

Question 24. પાસાને બે વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) એક પણ વખત ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે નહીં.
(ii) ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે તેની સંભાવના કેટલી?
Answer:
જ્યારે એક પાસાને બે વખત ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા \( 6 \times 6 = 36 \) હોય છે. આ જ રીતે, બે પાસાને એકસાથે ઉછાળવા એ પણ સમાન પ્રયોગ છે, જેમાં કુલ 36 પરિણામો મળે છે.
(i) ધારો કે, ઘટના A: એક પણ વખત પાસાના ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 ન મળે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર 5 આવે તેવા પરિણામોની યાદી નીચે મુજબ છે:
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5).
આવા કુલ 11 પરિણામો છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક 5 હોય છે.
તેથી, એક પણ વખત 5 ન મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા \( 36 - 11 = 25 \) છે.
ઘટના A ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 25.
આથી, \( P(A) = \frac{25}{36} \).
(ii) ધારો કે, ઘટના B: ઓછામાં ઓછી એક વાર પાસાના ઉપરના પૃષ્ઠ પર 5 મળે.
ભાગ (i) માં દર્શાવ્યા મુજબ, ઓછામાં ઓછી એક વાર 5 મળે તેવાં 11 પરિણામો છે.
ઘટના B ને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 11.
આથી, \( P(B) = \frac{11}{36} \).
વૈકલ્પિક રીતે, ઘટના B એ ઘટના A ની પૂરક ઘટના છે (\( B = \overline{A} \)).
તેથી, \( P(B) = P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36} \).
In simple words: બે પાસા ઉછાળીએ તો કુલ 36 શક્યતાઓ હોય. (i) જો એક પણ વાર 5 ન મળે, તો આવા 25 પરિણામો મળે છે, તેથી સંભાવના \( \frac{25}{36} \) થાય. (ii) જો ઓછામાં ઓછો એક વાર 5 મળે, તો આવા 11 પરિણામો મળે છે, તેથી સંભાવના \( \frac{11}{36} \) થાય. તમે આને \( 1 - P(\text{કોઈ 5 નહીં}) \) કરીને પણ શોધી શકો.

Exam Tip: પાસાને બે વાર ઉછાળવાના પ્રશ્નોમાં, હંમેશા કુલ 36 શક્ય પરિણામોનો વિચાર કરો. 'ઓછામાં ઓછું એક' જેવી શરતો માટે, પૂરક ઘટનાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવી ઘણીવાર સરળ બને છે.

 

Question 25. નીચેનામાંથી કઈ દલીલો સાચી છે અને કઈ સાચી નથી? તમારા જવાબ માટે કારણો આપોઃ
(i) જો બે સિક્કાને એકસાથે ઉછાળવામાં આવે, તો ત્રણ શક્યતાઓ મળે છે – બે છાપ અથવા બે કાંટા અથવા પ્રત્યેકનો એક. તેથી આ પ્રત્યેક પરિણામની સંભાવના \( \frac{1}{3} \) છે.
(ii) જો પાસાને ઉછાળવામાં આવે, તો બે શક્ય પરિણામો મળે છે યુગ્મ સંખ્યા અથવા યુગ્મ સંખ્યા. તેથી અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના \( \frac{1}{2} \) છે.
Answer:
(i) આપેલ દલીલ સાચી નથી. જ્યારે બે સિક્કાને ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો 4 છે: {HH, HT, TH, TT}. દલીલમાં જણાવેલ 'બે છાપ' (HH), 'બે કાંટા' (TT) અને 'એક છાપ તથા એક કાંટો' (HT અથવા TH) એ ઘટનાઓ છે, પરિણામો નથી. 'એક છાપ અને એક કાંટો' ઘટના (HT અથવા TH) માટે અનુકૂળ પરિણામો 2 છે, જ્યારે બાકીની ઘટનાઓ માટે 1-1 પરિણામ છે. તેથી, તેમની સંભાવના અનુક્રમે \( P(HH) = \frac{1}{4} \), \( P(TT) = \frac{1}{4} \) અને \( P(\text{એક છાપ, એક કાંટો}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) છે. આથી, પ્રત્યેકની સંભાવના \( \frac{1}{3} \) હોવાની દલીલ ખોટી છે.
(ii) આપેલ દલીલ સાચી છે. જ્યારે એક પાસાને ઉછાળવામાં આવે, ત્યારે કુલ 6 શક્ય પરિણામો {1, 2, 3, 4, 5, 6} મળે છે. આમાંથી, અયુગ્મ સંખ્યાઓ {1, 3, 5} છે જેની સંખ્યા 3 છે. યુગ્મ સંખ્યાઓ {2, 4, 6} છે જેની સંખ્યા પણ 3 છે. તેથી, અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) છે.
In simple words: (i) દલીલ ખોટી છે, કારણ કે બે સિક્કા ઉછાળવાથી 4 પરિણામો મળે છે, અને "એક છાપ, એક કાંટો" માટે 2 પરિણામો હોવાથી, સંભાવના \( \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \) થાય, નહીં કે \( \frac{1}{3} \). (ii) દલીલ સાચી છે, કારણ કે પાસા પર 6માંથી 3 સંખ્યાઓ અયુગ્મ હોય છે, તેથી સંભાવના \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) થાય.

Exam Tip: સંભાવનાના પ્રશ્નોમાં, સૌ પ્રથમ કુલ શક્ય પરિણામોની સ્પષ્ટ યાદી બનાવો. 'પરિણામો' અને 'ઘટનાઓ' વચ્ચેનો તફાવત સમજો. દરેક ઘટના માટે અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધીને સંભાવનાની ગણતરી કરો.