GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 11 રચના Exercise 11.2

નીચેની પ્રત્યેક રચના કરી, તેની રચનાના મુદ્દા તથા તેની યથાર્થતા પણ આપો:

Question 1. 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના કેન્દ્રથી 10 સેમી દૂર આવેલા બિંદુમાંથી વર્તુળના સ્પર્શકની જોડીની રચના કરો અને તેની લંબાઈ માપો.
Answer: O કેન્દ્ર અને 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેની બહારના ભાગમાં બિંદુ P એવું લો જેથી OP = 10 સેમી થાય. પછી બિંદુ Pમાંથી વર્તુળને સ્પર્શકોની જોડી રચો અને તે સ્પર્શકોની લંબાઈ માપો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) OP જોડો અને તેનો લંબદ્વિભાજક દોરી તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(2) M કેન્દ્ર લઈને અને MO ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો, જે O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને R અને Qમાં છેદે છે.
(3) PQ અને PR જોડો.

PQ અને PR એ માંગેલ બિંદુ Pમાંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને દોરેલા બે સ્પર્શકો છે. દરેક સ્પર્શકની લંબાઈ 8 સેમી છે. એટલે કે, PQ = PR = 8 સેમી.

યથાર્થતા:
ત્રિજ્યાઓ OQ અને OR દોરો.
\( \angle OQP \) અને \( \angle ORP \) એ અર્ધવર્તુળમાં આવેલા ખૂણા છે.
\( \angle OQP = \angle ORP = 90^\circ \)
આથી \( OQ \perp PQ \) અને \( OR \perp PR \).
OQ અને OR એ O કેન્દ્રિત વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ હોવાથી, PQ અને PR એ O કેન્દ્રિત વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

Exam Tip: Remember to clearly state each step of the construction and provide a brief justification to show why your construction is correct.

Question 2. 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને સમકેન્દ્રી બીજા 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરના બિંદુમાંથી પ્રથમ વર્તુળના સ્પર્શકની રચના કરો અને તેની લંબાઈ માપો. વાસ્તવિક ગણતરીથી માપની ચકાસણી પણ કરો.
Answer: O કેન્દ્ર અને 4 સેમી ત્રિજ્યા તથા 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો દોરો. ત્યારબાદ મોટા વર્તુળ પર આવેલા બિંદુ Pમાંથી નાના વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો અને તે સ્પર્શકોની લંબાઈ માપો. વાસ્તવિક ગણતરીથી માપની ચકાસણી કરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) સમકેન્દ્રી વર્તુળોના કેન્દ્ર O તથા મોટા વર્તુળ પરના બિંદુ Pને જોડો.
(2) OPનો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(3) M કેન્દ્ર લઈને અને MO ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ દોરો, જે નાના વર્તુળને Q અને Rમાં છેદે છે.
(4) PQ અને PR દોરો.

PQ અને PR એ મોટા વર્તુળ પરના બિંદુ Pમાંથી નાના વર્તુળના માંગેલા સ્પર્શકો છે. દરેક સ્પર્શકની લંબાઈ 4.5 સેમી છે.

ગણતરી:
\( \triangle PQO \) માં, \( \angle Q = 90^\circ \),
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, \( OP^2 = OQ^2 + PQ^2 \)
\( PQ^2 = OP^2 - OQ^2 \)
\( = 6^2 - 4^2 \)
\( = 36 - 16 \)
\( = 20 \)
\( PQ = \sqrt{20} = 4.472 \) સેમી

યથાર્થતા:
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ OQ અને OR દોરો.
\( \angle OQP \) તથા \( \angle ORP \) એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલા ખૂણા છે.
\( \angle OQP = \angle ORP = 90^\circ \)
\( OQ \perp PQ \) તથા \( OR \perp PR \)
OQ અને OR એ નાના વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ હોવાથી, PQ અને PR એ નાના વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

Exam Tip: For concentric circle problems, always remember that the tangent from the outer circle to the inner circle will form a right-angled triangle with the radii of both circles and the line connecting the center to the tangent point on the outer circle.

Question 3. 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના કેન્દ્રથી લંબાવેલા વ્યાસ પર દરેકનું અંતર 7 સેમી થાય તે રીતે બિંદુઓ P અને Q લો. બિંદુઓ P અને Q માંથી વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.
Answer: O કેન્દ્ર અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેનો એક વ્યાસ XY ને લંબાવી તેના પર બિંદુ P અને Q લો, જે દરેકનું કેન્દ્ર O થી અંતર 7 સેમી હોય. ત્યારબાદ P અને Q માંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) OPનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(2) M કેન્દ્ર અને OM ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ દોરો, જે O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને A અને Bમાં છેદે છે.
(3) PA અને PB દોરો.
PA અને PB એ બિંદુ Pમાંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળના માંગેલા સ્પર્શકો છે.
(4) OQનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ N મેળવો.
(5) N કેન્દ્ર અને ON ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ દોરો, જે O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને C અને Dમાં છેદે છે.
(6) QC અને QD દોરો.
QC અને QD એ બિંદુ Qમાંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળના માંગેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
અહીં, \( \angle PAO \) અને \( \angle PBO \) એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલા ખૂણા છે.
તે જ રીતે, \( \angle QCO \) અને \( \angle QDO \) એ N કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલા ખૂણા છે.
\( PA \perp OA \), \( PB \perp OB \), \( QC \perp OC \) અને \( QD \perp OD \).
આથી PA અને PB એ બિંદુ Pમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે તથા QC અને QD એ બિંદુ Q માંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

Exam Tip: When constructing tangents from two points on an extended diameter, remember to perform the midpoint and auxiliary circle construction for each point independently.

Question 4. 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના જેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° થાય તેવા સ્પર્શકો રચો.
Answer: O કેન્દ્ર અને 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. ત્યારબાદ તે વર્તુળના એવા બે સ્પર્શકો દોરો, જેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° થાય.

રચનાના મુદ્દા:
(1) O કેન્દ્ર અને 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
(2) તે વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ OA અને OB એવી રીતે દોરો જેથી \( \angle AOB = 120^\circ \) (જે \( 180^\circ - 60^\circ \) થાય).
(3) A અને B બિંદુએ અનુક્રમે ત્રિજ્યા OA અને OB ને લંબ દોરો, જે એકબીજાને C બિંદુમાં છેદે છે.
આથી CA અને CB એ માંગેલા સ્પર્શકો છે, જેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° છે.

યથાર્થતા:
રચના મુજબ, OA ત્રિજ્યા છે તથા \( AC \perp OA \).
\( \implies \) CA એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને \( \angle OAC = 90^\circ \).
રચના મુજબ, OB ત્રિજ્યા છે તથા \( BC \perp OB \).
\( \implies \) CB એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને \( \angle OBC = 90^\circ \).
ચતુષ્કોણ OACB માં,
\( \angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ \)
\( \implies 120^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ \)
\( \implies \angle ACB = 60^\circ \)
આમ, સ્પર્શકો CA અને CBની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° છે.

Exam Tip: Remember that the angle between the two tangents from an external point and the angle subtended by the radii at the center are supplementary (add up to 180°).

Question 5. 8 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. A ને કેન્દ્ર લઈ 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો. B ને કેન્દ્ર લઈ બીજું 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. પ્રત્યેક વર્તુળને બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શકો દોરો.
Answer: 8 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. A કેન્દ્ર અને 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ તથા B કેન્દ્ર અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. પ્રત્યેક વર્તુળને બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શકો દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) 8 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. A કેન્દ્ર અને 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ તથા B કેન્દ્ર અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો.
(2) ABનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(3) M કેન્દ્ર અને MA (MB) ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે B કેન્દ્રવાળા વર્તુળને R તથા Sમાં છેદે છે અને A કેન્દ્રવાળા વર્તુળને P તથા Qમાં છેદે છે.
(4) AR તથા AS જોડો. BP અને BQ પણ જોડો.

આથી AR તથા AS એ બિંદુ Aમાંથી B કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે તથા BP અને BQ એ બિંદુ Bમાંથી A કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
B કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ BR અને BS દોરો.
\( \angle ARB \) અને \( \angle ASB \) એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલા ખૂણા છે.
\( \angle ARB = \angle ASB = 90^\circ \)
\( AR \perp BR \) અને \( AS \perp BS \)
આથી AR અને AS એ બિંદુ Aમાંથી B કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે.
A કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ AP અને AQ દોરો.
\( \angle APB \) અને \( \angle AQB \) એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલા ખૂણા છે.
\( \angle APB = \angle AQB = 90^\circ \)
\( BP \perp AP \) અને \( BQ \perp AQ \)
આથી BP અને BQ એ બિંદુ Bમાંથી A કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

Exam Tip: Remember that the key to constructing tangents from an external point to a circle is to draw a perpendicular bisector of the line segment joining the center of the circle to the external point.

Question 6. AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને \( \angle B = 90^\circ \) થાય તેવો કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લો. Bમાંથી AC પરનો લંબ BD છે. B, C, D માંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરેલું છે. માંથી આ વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.
Answer: AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને \( \angle B = 90^\circ \) હોય તેવો \( \triangle ABC \) દોરો. B માંથી AC પરનો વેધ BD દોરો. B, C અને D માંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરો. ત્યારબાદ A માંથી આ વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને \( \angle B = 90^\circ \) હોય તેવો \( \triangle ABC \) દોરો. Bમાંથી AC પરનો વેધ BD દોરો.
(2) BCનો લંબદ્વિભાજક રચી તેનું મધ્યબિંદુ O મેળવો. BC વ્યાસ હોય તેવું વર્તુળ દોરો. \( \angle BDC \) કાટખૂણો હોવાથી આ વર્તુળ Dમાંથી પસાર થશે જ.
(3) AO જોડો અને તેનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(4) M કેન્દ્ર અને MA ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે BC વ્યાસવાળા વર્તુળને B અને Eમાં છેદે છે.
(5) AE જોડો.
આથી AB અને AE એ માંગ્યા મુજબ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળને બિંદુ Aમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
OB એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને \( \angle ABO \) (એટલે કે \( \angle ABC \)) = \( 90^\circ \).
આથી \( AB \perp OB \).
આમ, AB એ સ્પર્શક છે.
હવે, AB = AE = A કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યા અને બિંદુ E એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પરનું બિંદુ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની બહારના ભાગમાં આવેલ બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોય છે. આમ, AE એ સ્પર્શક છે.

વૈકલ્પિક રીત:

રચનાના મુદ્દા:
(1) AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને \( \angle B = 90^\circ \) હોય તેવો \( \triangle ABC \) દોરો. Bમાંથી AC પરનો વેધ BD દોરો.
(2) BCનો લંબદ્વિભાજક રચી તેનું મધ્યબિંદુ O મેળવો.
BC વ્યાસ હોય તેવું વર્તુળ દોરો. \( \angle BDC \) કાટખૂણો હોવાથી આ વર્તુળ Dમાંથી પસાર થશે જ.
(3) A કેન્દ્ર અને AB ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે BC વ્યાસવાળા વર્તુળને Eમાં છેદે.
(4) AE જોડો.

આથી AB અને AE એ માંગ્યા મુજબ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળને બિંદુ Aમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
OB એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને \( \angle ABO \) (એટલે કે \( \angle ABC \)) = \( 90^\circ \).
આથી \( AB \perp OB \).
આમ, AB એ સ્પર્શક છે.
હવે, AB = AE = A કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યા અને બિંદુ E એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પરનું બિંદુ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની બહારના ભાગમાં આવેલ બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોય છે. આમ, AE એ સ્પર્શક છે.

Exam Tip: Remember that a circle passing through B, C, and D, where BD is an altitude in \( \triangle ABC \) with \( \angle B = 90^\circ \), will have BC as its diameter. This is a crucial property for such constructions.

Question 7. બંગડીની મદદ લઈ એક વર્તુળ દોરો. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ લો. આ બિંદમાંથી વર્તુળના સ્પર્શકોની જોડ દોરો.
Answer: બંગડીની મદદ લઈ એક વર્તુળ દોરો. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ P લો. ત્યારબાદ P માંથી વર્તુળને સ્પર્શકોની જોડ દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) બંગડીની મદદથી એક વર્તુળ દોરો અને તેની બહાર એક બિંદુ P લો. વર્તુળમાં સમાંતર ન હોય તેવી બે જીવાઓ AB અને CD દોરો.
(2) AB અને CDના લંબદ્વિભાજકો દોરો, જે એકબીજાને O બિંદુમાં છેદે છે. આ બિંદુ O એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
(3) OP જોડો અને તેનો લંબદ્વિભાજક રચી તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(4) M કેન્દ્ર અને MP ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે પહેલા દોરેલા વર્તુળને R અને Qમાં છેદે છે.
(5) PR અને PQ દોરો.
આમ, PR અને PQ એ બંગડીની મદદથી દોરેલ વર્તુળને બિંદુ Pમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
બિંદુ O એ જીવા AB તેમજ જીવા CDના લંબદ્વિભાજક પરનું બિંદુ હોવાથી O એ A, B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
OR અને OQ દોરો.
\( \angle PRO = 90^\circ \)
\( \implies PR \perp OR \)
આમ, PR એ સ્પર્શક છે.
\( \angle PQO \) એ અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણો છે.
\( \implies \angle PQO = 90^\circ \)
\( \implies PQ \perp OQ \)
આમ, PQ એ સ્પર્શક છે.

Exam Tip: The critical first step for drawing tangents to a circle without a known center is to locate the center by drawing perpendicular bisectors of two non-parallel chords.