GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 11 રચના Exercise 11.1

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 11 रचना Ex 11.1

નીચેના પૈકી પ્રત્યેકની રચના કરી, તેની રચનાના મુદ્દા તથા તેની યથાર્થતા આપોઃ

Question 1. 7.6 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ દોરી, તેનું 5 : 8 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરો. બંને ભાગ માપો.
Answer:
પક્ષ: 7.6 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB આપેલો છે.
કૃત્ય: ABનું 5 : 8 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ C મેળવવું તથા AC અને BC માપવા.

રચનાના મુદ્દા:
(1) AB સાથે લઘુકોણ બનાવે તેવું કોઈ પણ કિરણ AX રચો.
(2) AX પર \( \text{AA}_1 = \text{A}_1\text{A}_2 = \text{A}_2\text{A}_3 = \dots = \text{A}_{12}\text{A}_{13} \) થાય તેવાં 13 (5 + 8) બિંદુઓ \( \text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3, \dots, \text{A}_{13} \) નાં સ્થાન નક્કી કરો.
(3) \( \text{BA}_{13} \) જોડો.
(4) બિંદુ \( \text{A}_5 \) માંથી \( \text{AB} \) ને સમાંતર હોય તેવી રેખા દોરો. જે \( \text{AB} \) ને \( \text{C} \) બિંદુમાં છેદે. આ માટે \( \angle \text{AA}_{13}\text{B} \) ને સમાન હોય તેવો \( \angle \text{AA}_5\text{C} \) રચો.
(5) આ રીતે મળતું બિંદુ \( \text{C} \) એ \( \text{AB} \) નું 5 : 8 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે. એટલે કે, \( \text{AC} : \text{CB} = 5 : 8 \). \( \text{AB} \) ના બે ભાગ માપતા આપણને \( \text{AC} = 2.9 \) સેમી અને \( \text{BC} = 4.7 \) સેમી મળે.

યથાર્થતા :
રચના મુજબ, \( \text{A}_5\text{C} || \text{A}_{13}\text{B} \).
આથી \( \triangle \text{AA}_{13}\text{B} \) માં મૂળભૂત પ્રમાણસરતાના પ્રમેય (BPT) મુજબ,
\( \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{13}} \)
પરંતુ રચના મુજબ, \( \frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{~A}_{5} \mathrm{~A}_{13}}=\frac{5}{8} \)
\( \implies \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{8} \)
આમ, બિંદુ \( \text{C} \) એ \( \text{AB} \) નું 5 : 8 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે.

વૈકલ્પિક રીતઃ
રચનાના મુદ્દા :
(1) \( \text{AB} \) ની સામસામેની (વિરુદ્ધ) બાજુઓમાં કિરણ \( \text{AX} \) અને \( \text{BY} \) દોરો કે, જેથી \( \angle \text{BAX} \) અને \( \angle \text{ABY} \) સમાન ખૂણા થાય. (સરળતા ખાતર \( \angle \text{BAX} = \angle \text{ABY} = 60^\circ \) થાય તેવાં કિરણ \( \text{AX} \) અને \( \text{BH} \) દોરો.)
(2) \( \text{AX} \) પર પાંચ બિંદુઓ \( \text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3, \text{A}_4 \) તથા \( \text{A}_5 \) અને \( \text{BY} \) પર આઠ બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3, \text{B}_4, \text{B}_5, \text{B}_6, \text{B}_7, \text{B}_8 \) નાં સ્થાન નક્કી કરો, જેથી \( \text{AA}_1 = \text{A}_1\text{A}_2 = \text{A}_2\text{A}_3 = \text{A}_3\text{A}_4 = \text{A}_4\text{A}_5 = \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 = \text{B}_3\text{B}_4 = \text{B}_4\text{B}_5 = \text{B}_5\text{B}_6 = \text{B}_6\text{B}_7 = \text{B}_7\text{B}_8 \) થાય.
(3) \( \text{B}_8\text{A}_5 \) દોરો જે \( \text{AB} \) ને \( \text{C} \) બિંદુમાં છેદે.
(4) આ રીતે મળતું બિંદુ \( \text{C} \) એ \( \text{AB} \) નું 5 : 8 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે. એટલે કે, \( \text{AC} : \text{CB} = 5 : 8 \).

યથાર્થતા:
\( \triangle \text{CAA}_5 \) અને \( \triangle \text{CBB}_8 \) માં, \( \angle \text{CAA}_5 = \angle \text{CBB}_8 \) (રચના મુજબ) અને \( \angle \text{ACA}_5 = \angle \text{BCB}_8 \).
\( \implies \) ખૂ ખૂ શરત મુજબ, \( \triangle \text{CAA}_5 \sim \triangle \text{CBB}_8 \).
\( \implies \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{BB}_{8}} \)
પરંતુ રચના મુજબ, \( \frac{\mathrm{AA}_{5}}{\mathrm{BB}_{8}}=\frac{5}{8} \)
\( \implies \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{5}{8} \)
\( \implies \text{AC}: \text{CB} = 5:8 \).
આમ, બિંદુ \( \text{C} \) એ \( \text{AB} \) નું 5: 8 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે.
In simple words: એક 7.6 સેમી લાંબી રેખા દોરો. તેને 5:8 ના ગુણોત્તરમાં બે ભાગમાં વહેંચો અને પછી તે ભાગોની લંબાઈ માપો. તમે કિરણો અને ચાપનો ઉપયોગ કરીને આ કરી શકો છો.

Exam Tip: જ્યારે રેખાખંડનું ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા હો, ત્યારે ગુણોત્તરના સરવાળા જેટલા બિંદુઓ કિરણ પર સમાન અંતરે અંકિત કરવાનું યાદ રાખો.

Question 2. 4 સેમી, 5 સેમી અને 6 સેમી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરો અને પછી આ ત્રિકોણની બાજુઓને અનુરૂપ તે બાજુઓથી \( \frac{2}{3} \) ગણી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરો.
Answer:
કૃત્ય: \( \text{AB} = 4 \) સેમી, \( \text{BC} = 6 \) સેમી અને \( \text{AC} = 5 \) સેમી હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) રચવો અને ત્યારબાદ \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો એક ત્રિકોણ રચવો, જેની અનુરૂપ બાજુઓનો ત્રિકોણ \( \text{ABC} \) ની બાજુઓ સાથેનો ગુણોત્તર \( \frac{2}{3} \) હોય.

રચનાના મુદ્દા :
(1) \( \triangle \text{ABC} \) રચો, જેમાં \( \text{AB} = 4 \) સેમી, \( \text{BC} = 6 \) સેમી અને \( \text{AC} = 5 \) સેમી હોય.
(2) \( \text{BC} \) ના જે અર્ધતલમાં બિંદુ \( \text{A} \) હોય તેનાથી વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં કિરણ \( \text{BX} \) દોરો, જેથી \( \angle \text{CBX} \) લઘુકોણ થાય.
(3) \( \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 \) થાય તેવાં ત્રણ બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2 \) અને \( \text{B}_3 \) ને \( \text{BX} \) પર અંકિત કરો.
(4) \( \text{B}_3\text{C} \) જોડો.
(5) \( \angle \text{BB}_2\text{C}' = \angle \text{BB}_3\text{C} \) રચીને \( \text{B}_2 \) માંથી \( \text{B}_3\text{C} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે \( \text{BC} \) ને \( \text{C}' \) માં છેદે. આ માટે \( \angle \text{BB}_3\text{C} \) ને સમાન હોય તેવો \( \angle \text{BB}_2\text{C}' \) રચો.
(6) \( \angle \text{BC}'\text{A}' = \angle \text{BCA} \) રચીને \( \text{C}' \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{CA} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BA} \) ને \( \text{A}' \) માં છેદે.
આથી \( \triangle \text{A}'\text{BC}' \) એ માગેલ માપ મુજબનો \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો ત્રિકોણ છે અને \( \triangle \text{A}'\text{BC}' \) ની બાજુઓ તથા \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર છે.

યથાર્થતાઃ
\( \text{BB}_3\text{C} \) માં, \( \text{B}_2\text{C}' || \text{B}_3\text{C} \).
\( \implies \triangle \text{BB}_2\text{C}' \sim \triangle \text{BB}_3\text{C} \) (ખૂ ખૂ શરત મુજબ)
\( \implies \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BB}_{2}}{\mathrm{BB}_{3}}=\frac{2}{3} \)..........(1)
\( \triangle \text{BAC} \) માં, \( \text{A}'\text{C}' || \text{AC} \)
\( \implies \triangle \text{BAC} \sim \triangle \text{BA}'\text{C}' \)
\( \implies \frac{\mathrm{BA}^{\prime}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}} \)..........(2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\mathrm{BA}^{\prime}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3} \).
In simple words: પહેલાં 4, 5 અને 6 સેમી બાજુઓનો ત્રિકોણ બનાવો. પછી એક નવો ત્રિકોણ બનાવો જે મૂળ ત્રિકોણ જેવો જ દેખાય પણ તેની બાજુઓ મૂળ ત્રિકોણની બાજુઓ કરતાં \( \frac{2}{3} \) ગણી નાની હોય.

Exam Tip: જ્યારે ગુણોત્તર 1 કરતાં ઓછો હોય (જેમ કે \( \frac{2}{3} \)), ત્યારે નવો ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણની અંદર બનશે. આનાથી ખાતરી થશે કે તમારી રચના સાચી છે.

Question 3. 5 સેમી, 6 સેમી અને 7 સેમી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરો અને પછી ત્રિકોણ રચો, જેની બાજુઓ પ્રથમ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ કરતાં \( \frac{7}{5} \) ગણી હોય.
Answer:
કૃત્ય : \( \text{AB} = 5 \) સેમી, \( \text{BC} = 7 \) સેમી અને \( \text{AC} = 6 \) સેમી હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) રચવો અને ત્યારબાદ \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો એક ત્રિકોણ રચવો, જેની અનુરૂપ બાજુઓનો \( \triangle \text{ABC} \) ની બાજુઓ સાથેનો ગુણોત્તર \( \frac{7}{5} \) હોય.

રચનાના મુદ્દા:
(1) \( \triangle \text{ABC} \) રચો, જેમાં \( \text{AB} = 5 \) સેમી, \( \text{BC} = 7 \) સેમી અને \( \text{AC} = 6 \) સેમી હોય.
(2) \( \text{BC} \) ના જે અર્ધતલમાં બિંદુ \( \text{A} \) હોય તેનાથી વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં કિરણ \( \text{BX} \) દોરો, જેથી \( \angle \text{CBX} \) લઘુકોણ થાય.
(3) \( \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 = \dots = \text{B}_6\text{B}_7 \) થાય તેવાં સાત બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3, \dots, \text{B}_7 \) ને \( \text{BX} \) પર અંકિત કરો.
(4) \( \text{B}_5\text{C} \) જોડો.
(5) \( \angle \text{BB}_7\text{C}' = \angle \text{BB}_5\text{C} \) રચીને \( \text{B}_7 \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{B}_5\text{C} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BC} \) ને \( \text{C}' \) માં છેદે.
(6) \( \angle \text{BC}'\text{A}' = \angle \text{BCA} \) રચીને \( \text{C}' \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{CA} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BA} \) ને \( \text{A}' \) માં છેદે.
આથી \( \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}' \) એ માગેલ માપ મુજબનો \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો ત્રિકોણ છે અને \( \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}' \) ની બાજુઓ તથા \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર છે.

યથાર્થતા:
\( \triangle \text{BB}_7\text{C}' \) માં, \( \text{B}_5\text{C} || \text{B}_7\text{C}' \).
\( \implies \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BB}_{7}}{\mathrm{BB}_{5}}=\frac{7}{5} \)...........(1)
\( \triangle \text{ABC}' \) માં \( \text{AC} || \text{A}'\text{C}' \)
\( \implies \triangle \text{ABC}' \sim \triangle \text{ABC} \)
\( \implies \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}} \).............(2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{5} \).
In simple words: પહેલાં 5, 6 અને 7 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ બનાવો. પછી એક મોટો ત્રિકોણ બનાવો, જે મૂળ ત્રિકોણ જેવો જ દેખાશે, પણ તેની બાજુઓ મૂળ ત્રિકોણની બાજુઓ કરતાં \( \frac{7}{5} \) ગણી લાંબી હશે.

Exam Tip: જ્યારે ગુણોત્તર 1 કરતાં વધુ હોય (જેમ કે \( \frac{7}{5} \)), ત્યારે નવો ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણની બહાર બનશે. આ રચનામાં, સાત બિંદુઓ અંકિત કરવા પડશે, અને પાંચમા બિંદુથી સમાંતર રેખા દોરવી પડશે.

Question 4. 8 સેમી આધાર અને 4 સેમી વેધવાળા સમઢિબાજુ ત્રિકોણની રચના કરો અને પછી બીજો એવો ત્રિકોણ રચો, જેની બાજુઓ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ કરતાં \( 1\frac{1}{2} \) ગણી હોય.
Answer:
કૃત્ય: સમદ્વિબાજુ \( \triangle \text{ABC} \) રચવો, જેમાં આધાર \( \text{BC} = 8 \) સેમી અને વેધ \( \text{AD} = 4 \) સેમી હોય. ત્યારબાદ \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો બીજો ત્રિકોણ રચવો, જેની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓ કરતાં \( 1\frac{1}{2} \) ગણી હોય.

રચનાના મુદ્દા :
(1) સમદ્વિબાજુ \( \triangle \text{ABC} \) રચો, જેમાં પાયો \( \text{BC} = 8 \) સેમી અને વેધ \( \text{AD} = 4 \) સેમી હોય.
(2) \( \text{BC} \) ના જે અર્ધતલમાં બિંદુ \( \text{A} \) હોય તેનાથી વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં કિરણ \( \text{BX} \) દોરો, જેથી \( \angle \text{CBX} \) લઘુકોણ થાય.
(3) \( \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 \) થાય તેવાં ત્રણ બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2 \) અને \( \text{B}_3 \) ને \( \text{BX} \) પર અંકિત કરો.
(4) \( \text{B}_2\text{C} \) જોડો.
(5) \( \angle \text{BB}_3\text{C}' = \angle \text{BB}_2\text{C} \) રચીને \( \text{B}_3 \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{B}_2\text{C} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BC} \) ને \( \text{C}' \) માં છેદે.
(6) \( \angle \text{BC}'\text{A}' = \angle \text{BCA} \) રચીને \( \text{C}' \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{CA} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BA} \) ને \( \text{A}' \) માં છેદે.
આથી \( \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}' \) એ માગેલ માપ મુજબનો \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો ત્રિકોણ છે અને \( \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}' \) ની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓ કરતાં \( 1\frac{1}{2} \) ગણી છે.

યથાર્થતા:
\( \triangle \text{BB}_3\text{C}' \) માં, \( \text{B}_2\text{C} || \text{B}_3\text{C}' \).
\( \implies \triangle \text{BB}_3\text{C}' \sim \triangle \text{BB}_2\text{C} \)
\( \implies \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BB}_{3}}{\mathrm{BB}_{2}}=\frac{3}{2} \).............(1)
\( \triangle \text{ABC}' \) માં \( \text{AC} || \text{A}'\text{C}' \)
\( \implies \triangle \text{ABC}' \sim \triangle \text{ABC} \)
\( \implies \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}} \)..........(2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{2}=1 \frac{1}{2} \).
In simple words: 8 સેમીનો આધાર અને 4 સેમીની ઊંચાઈ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવો. પછી એક નવો ત્રિકોણ બનાવો જે મૂળ ત્રિકોણ કરતાં \( 1\frac{1}{2} \) ગણો મોટો હોય.

Exam Tip: સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની રચના કરતી વખતે, ઊંચાઈ (વેધ) હંમેશા પાયાને દુભાગે છે. ગુણોત્તર \( 1\frac{1}{2} \) નો અર્થ \( \frac{3}{2} \) થાય છે, તેથી કિરણ પર ત્રણ બિંદુઓ લેવામાં આવશે.

Question 5. BC = 6 સેમી, AB = 3 સેમી અને \( \angle \text{ABC} = 60^\circ \) હોય તેવો ત્રિકોણ ABC દોરો. પછી \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓને તે પ્રમાણમાં હોય તેવી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરો.
Answer:
કૃત્ય BC = 6 સેમી, AB = 5 સેમી અને \( \angle \text{ABC} = 60^\circ \) હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) દોરવો. ત્યારબાદ \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો એક ત્રિકોણ રચવો જેની બાજુઓનો \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓ સાથેનો ગુણોત્તર \( \frac{3}{4} \) હોય.

રચનાના મુદ્દા :
(1) \( \triangle \text{ABC} \) રચો, જેમાં \( \text{BC} = 6 \) સેમી, \( \text{AB} = 5 \) સેમી અને \( \angle \text{ABC} = 60^\circ \) હોય.
(2) \( \text{BC} \) ના જે અર્ધતલમાં બિંદુ \( \text{A} \) હોય તેનાથી વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં કિરણ \( \text{BX} \) દોરો, જેથી \( \angle \text{CBX} \) લઘુકોણ થાય.
(3) \( \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 = \text{B}_3\text{B}_4 \) થાય તેવાં ચાર બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3 \) અને \( \text{B}_4 \) ને \( \text{BX} \) પર અંકિત કરો.
(4) \( \text{B}_4\text{C} \) જોડો.
(5) \( \angle \text{BB}_3\text{C}' = \angle \text{BB}_4\text{C} \) રચીને \( \text{B}_3 \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{B}_4\text{C} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે \( \text{BC} \) ને \( \text{C}' \) માં છેદે.
(6) \( \angle \text{BC}'\text{A}' = \angle \text{BCA} \) રચીને \( \text{C}' \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{CA} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે \( \text{BA} \) ને \( \text{A}' \) માં છેદે.
આથી \( \triangle \text{A}'\text{BC}' \) એ માગેલ માપ મુજબનો \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો ત્રિકોણ છે અને \( \triangle \text{A}'\text{BC}' \) ની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર \( \frac{3}{4} \) પ્રમાણમાં છે.

યથાર્થતા:
\( \triangle \text{BB}_4\text{C}' \) માં, \( \text{B}_3\text{C}' || \text{B}_4\text{C} \).
\( \implies \triangle \text{BB}_3\text{C}' \sim \triangle \text{BB}_4\text{C} \)
\( \implies \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BB}_{3}}{\mathrm{BB}_{4}}=\frac{3}{4} \)..........(1)
\( \triangle \text{BCA}' \) માં, \( \text{C}'\text{A}' || \text{CA} \)
\( \implies \triangle \text{BC}'\text{A}' \sim \triangle \text{BCA} \)
\( \implies \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}} \).............(2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{4} \).
In simple words: 6 સેમી, 5 સેમી અને 60° ના ખૂણાવાળો એક ત્રિકોણ બનાવો. પછી એક નાનો ત્રિકોણ બનાવો જે મૂળ ત્રિકોણ જેવો જ હોય, પણ તેની બાજુઓ \( \frac{3}{4} \) ગણી હોય.

Exam Tip: જ્યારે એક ખૂણો અને બે બાજુઓ આપેલી હોય, ત્યારે પહેલા આપેલી બાજુ દોરો, પછી ખૂણો બનાવો, અને છેલ્લે બીજી બાજુનો ચાપ દોરીને ત્રિકોણ પૂર્ણ કરો.

Question 6. BC = 7 સેમી, \( \angle B = 45^\circ \), \( \angle A = 105^\circ \) હોય તેવો ત્રિકોણ ABC દોરો. પછી એવા ત્રિકોણની રચના કરો કે જેની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓથી \( \frac{4}{3} \) ગણી હોય.
Answer:
કૃત્ય: \( \text{BC} = 7 \) સેમી, \( \angle B = 45^\circ \) અને \( \angle A = 105^\circ \) હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) રચવો. ત્યારબાદ \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો બીજો ત્રિકોણ રચવો, જેની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓથી \( \frac{4}{3} \) ગણી હોય.

રચનાના મુદ્દા :
(1) \( \text{BC} = 7 \) સેમી, \( \angle B = 45^\circ \) અને \( \angle C = 30^\circ \) (\( \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \)) હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) રચો.
(2) \( \text{BC} \) ના જે અર્ધતલમાં બિંદુ \( \text{A} \) હોય તેનાથી વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં કિરણ \( \text{BX} \) દોરો જેથી \( \angle \text{CBX} \) લઘુકોણ થાય.
(3) \( \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 = \text{B}_3\text{B}_4 \) થાય તેવાં ચારે બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3 \) અને \( \text{B}_4 \) ને \( \text{BX} \) પર અંકિત કરો.
(4) \( \text{B}_3\text{C} \) જોડો.
(5) \( \angle \text{BB}_4\text{C}' = \angle \text{BB}_3\text{C} \) રચીને \( \text{B}_4 \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{B}_3\text{C} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BC} \) ને \( \text{C}' \) માં છેદે.
(6) \( \angle \text{BC}'\text{A}' = \angle \text{BCA} \) રચીને \( \text{C}' \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{CA} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BA} \) ને \( \text{A}' \) માં છેદે.
આથી \( \triangle \text{A}'\text{BC}' \) એ માગેલ માપ મુજબનો \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો ત્રિકોણ છે અને \( \triangle \text{A}'\text{BC}' \) ની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓથી \( \frac{4}{3} \) ગણી છે.

યથાર્થતા:
\( \triangle \text{BB}_4\text{C}' \) માં, \( \text{B}_3\text{C} || \text{B}_4\text{C}' \).
\( \implies \triangle \text{BB}_4\text{C}' \sim \triangle \text{BB}_3\text{C} \)
\( \implies \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BB}_{4}}{\mathrm{BB}_{3}}=\frac{4}{3} \)..........(1)
\( \triangle \text{BCA}' \) માં, \( \text{C}'\text{A}' || \text{CA} \)
\( \implies \triangle \text{BC}'\text{A}' \sim \triangle \text{BCA} \)
\( \implies \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}} \).............(2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{3} \).
In simple words: 7 સેમીની બાજુ, 45° નો ખૂણો B અને 105° નો ખૂણો A ધરાવતો ત્રિકોણ બનાવો. પછી એક નવો ત્રિકોણ બનાવો જે મૂળ ત્રિકોણ જેવો જ દેખાતો હોય, પણ તેની બાજુઓ \( \frac{4}{3} \) ગણી લાંબી હોય.

Exam Tip: જ્યારે બે ખૂણા અને એક બાજુ આપેલી હોય, ત્યારે પહેલા ખૂણાના સરવાળાને 180° માંથી બાદ કરીને ત્રીજો ખૂણો શોધો. આનાથી રચના સરળ બને છે.

Question 7. 4 સેમી અને 3 સેમી લંબાઈની (કર્ણ સિવાયની) બાજુવાળા કાટકોણ ત્રિકોણની રચના કરો. પછી આ ત્રિકોણની બાજુઓને અનુરૂપ તે બાજુઓથી \( \frac{5}{3} \) ગણી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરો.
Answer:
કૃત્ય: \( \text{AB} = 3 \) સેમી, \( \angle B = 90^\circ \) અને \( \text{BC} = 4 \) સેમી હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) રચવો. ત્યારબાદ \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો બીજો ત્રિકોણ રચવો, જેની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની અનુરૂપ બાજુઓથી \( \frac{5}{3} \) ગણી હોય.

રચનાના મુદ્દા:
(1) \( \text{AB} = 3 \) સેમી, \( \angle B = 90^\circ \) અને \( \text{BC} = 4 \) સેમી હોય તેવો \( \triangle \text{ABC} \) રચો.
(2) \( \text{BC} \) ના જે અર્ધતલમાં બિંદુ \( \text{A} \) હોય તેનાથી વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં કિરણ \( \text{BX} \) દોરો, જેથી \( \angle \text{CBX} \) લઘુકોણ થાય.
(3) \( \text{BB}_1 = \text{B}_1\text{B}_2 = \text{B}_2\text{B}_3 = \text{B}_3\text{B}_4 = \text{B}_4\text{B}_5 \) થાય તેવાં પાંચ બિંદુઓ \( \text{B}_1, \text{B}_2, \text{B}_3, \text{B}_4 \) અને \( \text{B}_5 \) ને \( \text{BX} \) પર અંકિત કરો.
(4) \( \text{B}_3\text{C} \) જોડો.
(5) \( \angle \text{BB}_5\text{C}' = \angle \text{BB}_3\text{C} \) રચીને \( \text{B}_5 \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{B}_3\text{C} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BC} \) ને \( \text{C}' \) માં છેદે.
(6) \( \angle \text{BC}'\text{A}' = \angle \text{BCA} \) રચીને \( \text{C}' \) માંથી પસાર થતી અને \( \text{CA} \) ને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ \( \text{BA} \) ને \( \text{A}' \) માં છેદે.
આથી \( \triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}' \) માગેલ માપ મુજબનો \( \triangle \text{ABC} \) ને સમરૂપ હોય તેવો ત્રિકોણ છે અને \( \triangle \text{ABC} \) ની બાજુઓ \( \triangle \text{ABC} \) ની બાજુઓથી \( \frac{5}{3} \) ગણી છે.

યથાર્થતા :
\( \triangle \text{BB}_5\text{C}' \) માં, \( \text{B}_3\text{C} || \text{B}_5\text{C}' \).
\( \implies \triangle \text{BB}_5\text{C}' \sim \triangle \text{BB}_3\text{C} \)
\( \implies \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BB}_{5}}{\mathrm{BB}_{3}}=\frac{5}{3} \)..........(1)
\( \triangle \text{BCA}' \) માં, \( \text{C}'\text{A}' || \text{CA} \)
\( \implies \triangle \text{BC}'\text{A}' \sim \triangle \text{BCA} \)
\( \implies \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}} \)..........(2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{3} \).
In simple words: 3 સેમી અને 4 સેમી બાજુઓવાળો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો. પછી એક નવો ત્રિકોણ બનાવો જે મૂળ ત્રિકોણ જેવો જ દેખાતો હોય, પણ તેની બાજુઓ \( \frac{5}{3} \) ગણી લાંબી હોય.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણની રચના કરતી વખતે, 90° નો ખૂણો દોરવા માટે પરિકરનો ઉપયોગ કરો. ગુણોત્તર 1 કરતાં વધુ હોવાથી, નવો ત્રિકોણ મૂળ ત્રિકોણની બહારની તરફ બનશે.