GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 10 વર્તુળ Exercise 10.2

Question 1. બિંદુ Q માંથી દોરેલા વર્તુળના સ્પર્શકની લંબાઈ 24 સેમી અને વર્તુળના કેન્દ્રથી તેનું અંતર 25 સેમી હોય, તો વર્તુળની ત્રિજ્યા ........ છે.
(A) 7 સેમી
(B) 12 સેમી
(C) 15 સેમી
(D) 24.5 સેમી
Answer: (A) 7 સેમી
ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર P છે તથા Qમાંથી દોરેલ સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ T છે. આથી PT એ સ્પર્શબિંદુમાંથી દોરેલ ત્રિજ્યા થાય તથા \( PQ = 25 \) સેમી અને \( QT = 24 \) સેમી થાય.
\( \triangle PTO \) માં \( \angle T = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( PT = \sqrt{PQ^2 - TQ^2} \) (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
\( PT = \sqrt{25^2 - 24^2} \)
\( PT = \sqrt{625 - 576} \)
\( PT = \sqrt{49} \)
\( PT = 7 \) સેમી
આમ, સાચો વિકલ્પ (A) 7 સેમી છે.
In simple words: જો એક વર્તુળના કેન્દ્રથી એક બિંદુનું અંતર 25 સેમી છે અને તે બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ 24 સેમી છે, તો વર્તુળની ત્રિજ્યા 7 સેમી થશે. આ શોધવા માટે પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

Exam Tip: સ્પર્શબિંદુ આગળ ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે, તેથી તે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે. આથી, પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત લંબાઈ શોધી શકાય છે.

Question 2. આપેલ આકૃતિમાં, જો TP અને TQ એ O કેન્દ્રવાળા વર્તુળના \( \angle POQ = 110^\circ \) બને એવા સ્પર્શકો છે, તો \( \angle PTQ = \) ........ છે.
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
Answer: (B) 70°
અહીં, ચતુષ્કોણ POQT માં,
\( \angle P + \angle O + \angle Q + \angle T = 360^\circ \)
\( 90^\circ + 110^\circ + 90^\circ + \angle T = 360^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( 290^\circ + \angle T = 360^\circ \)
\( \angle T = 360^\circ - 290^\circ \)
\( \angle T = 70^\circ \)
\( \angle PTQ = 70^\circ \)
આથી, વિકલ્પ (B) 70° છે.
In simple words: વર્તુળના કેન્દ્રમાં બનતો ખૂણો 110° છે. સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ખૂણા 90° હોય છે. ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાનો સરવાળો 360° હોય છે, તેથી ચોથો ખૂણો 70° થશે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે સ્પર્શબિંદુ આગળની ત્રિજ્યા સ્પર્શકને હંમેશા લંબ હોય છે (90°). આ નિયમ આવા પ્રશ્નો ઉકેલવામાં ખૂબ મદદરૂપ થાય છે.

Question 3. જો O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને બિંદુ P માંથી દોરેલા સ્પર્શકો PA અને PB વચ્ચે 80° નો ખૂણો રચાતો હોય, તો \( \angle POA = \) ........ છે.
(A) 50°
(B) 60°
(C) 70°
(D) 80°
Answer: (A) 50°

અહીં, \( \angle APB = 80^\circ \). ચતુષ્કોણ OAPB માં,
\( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle PBO = 360^\circ \)
\( \angle AOB + 90^\circ + 80^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( \angle AOB + 260^\circ = 360^\circ \)
\( \angle AOB = 360^\circ - 260^\circ \)
\( \angle AOB = 100^\circ \)
હવે, OP એ \( \angle AOB \) ને દુભાગે છે.
\( \angle POA = \angle POB = \frac{1}{2} \angle AOB \)
\( \angle POA = \frac{100^\circ}{2} \)
\( \angle POA = 50^\circ \)
આમ, સાચો વિકલ્પ (A) 50° છે.
In simple words: જો બે સ્પર્શકો વચ્ચે 80° નો ખૂણો બનતો હોય, તો કેન્દ્ર પરના ખૂણા અને તે સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણમાં, ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોય છે. આ રીતે, ખૂણો \( \angle AOB \) 100° મળે છે અને તેનો અડધો ભાગ \( \angle POA \) 50° થશે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શબિંદુ સુધી દોરેલી રેખા સ્પર્શકને લંબ હોય છે, અને બે સ્પર્શકોના છેદનબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીની રેખા સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ખૂણાને દુભાગે છે.

Question 4. સાબિત કરો કે, વર્તુળના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓએ દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર સમાંતર હોય છે.
Answer:
પક્ષ: P કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં MN વ્યાસ છે. AB અને CD એ વર્તુળના સ્પર્શક છે, જે વર્તુળને અનુક્રમે M અને N માં સ્પર્શે છે.
સાધ્ય: \( AB \parallel CD \)
સાબિતી: AB એ વર્તુળને M બિંદુએ સ્પર્શક છે અને PM એ સ્પર્શબિંદુ M માંથી દોરેલ ત્રિજ્યા છે.
\( \angle PMA = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( \angle NMA = 90^\circ \) (કારણ કે MN એ વ્યાસ છે.) .......... (1)
તે જ રીતે, CD એ વર્તુળને N બિંદુએ સ્પર્શક છે અને PN એ સ્પર્શબિંદુ N માંથી દોરેલ ત્રિજ્યા છે.
\( \angle DNP = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( \angle MND = 90^\circ \) .......... (2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \angle NMA = \angle MND \)
પરંતુ, આ બે ખૂણાઓ રેખા AB અને CD ની છેદિકા દ્વારા બનતા યુગ્મકોણ છે અને તેઓ સમાન છે.
\( \implies AB \parallel CD \)
In simple words: વર્તુળના વ્યાસના બંને છેડા પર જે રેખાઓ સ્પર્શક તરીકે દોરવામાં આવે છે, તે રેખાઓ હંમેશા એકબીજાને સમાંતર હોય છે. આનું કારણ એ છે કે સ્પર્શક ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે, અને આથી બનતા યુગ્મકોણ સમાન થાય છે.

Exam Tip: આ પ્રમેય સમજાવવા માટે, સ્પષ્ટપણે દર્શાવો કે ત્રિજ્યા અને સ્પર્શક હંમેશા સ્પર્શબિંદુએ 90° નો ખૂણો બનાવે છે, અને પછી યુગ્મકોણનો ખ્યાલ લાગુ કરો.

Question 5. સાબિત કરો કે, વર્તુળના સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુમાંથી દોરેલો લંબ એ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
Answer:
અહીં, PT એ O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને T બિંદુમાં સ્પર્શતો સ્પર્શક છે અને બિંદુ M વર્તુળના અંદરના ભાગનું એવું બિંદુ છે, જેથી \( MT \perp PT \) થાય.
ધારો કે, TM એ કેન્દ્ર O માંથી પસાર નથી થતી.
આથી, \( \angle MTP = 90^\circ \) (કારણ કે \( MT \perp PT \))
પરંતુ, પ્રમેય 10.1 મુજબ, ત્રિજ્યા OT સ્પર્શક PT ને લંબ છે.
\( \implies \angle OTP = 90^\circ \)
આમ, \( \angle MTP = \angle OTP \)
આ ત્યારે જ શક્ય બને જ્યારે OT અને MT સંપાતી હોય. આથી MT કેન્દ્ર O માંથી પસાર થાય છે. આમ, વર્તુળના સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુમાંથી દોરેલો લંબ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
In simple words: જો તમે વર્તુળના સ્પર્શક પર સ્પર્શબિંદુએથી એક સીધી લાઇન દોરો જે સ્પર્શકને 90 ડિગ્રી પર મળે, તો તે લાઇન હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થશે. આનો અર્થ છે કે તે લાઇન વર્તુળની ત્રિજ્યાનો એક ભાગ હશે.

Exam Tip: આ સાબિતીમાં, વિરોધાભાસનો ઉપયોગ કરીને સાબિતી આપવી એ એક સામાન્ય અને અસરકારક રીત છે. શરૂઆતમાં ધારી લો કે લંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતો નથી અને પછી દર્શાવો કે આ ધારણા વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે.

Question 6. વર્તુળના કેન્દ્રથી 5 સેમી અંતરે આવેલા બિંદુ થી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ 4 સેમી છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.
Answer:
અહીં, AB એ P કેન્દ્રવાળા વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને B સ્પર્શબિંદુ છે.
આથી \( PA = 5 \) સેમી અને \( AB = 4 \) સેમી.
\( \triangle PBA \) માં, \( \angle B = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( \implies PB = \sqrt{PA^2 - AB^2} \)
\( PB = \sqrt{5^2 - 4^2} \)
\( PB = \sqrt{25 - 16} \)
\( PB = \sqrt{9} \)
\( PB = 3 \) સેમી
આમ, વર્તુળની ત્રિજ્યા 3 સેમી થાય.
In simple words: વર્તુળના કેન્દ્રથી એક બિંદુ 5 સેમી દૂર છે. તે બિંદુથી વર્તુળ પર 4 સેમી લાંબો સ્પર્શક દોરવામાં આવ્યો છે. આપણે વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવા માટે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેનાથી ત્રિજ્યા 3 સેમી મળે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, કાટકોણ ત્રિકોણની રચનાને ઓળખવી અને પાયથાગોરસ પ્રમેયનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો તે મહત્વપૂર્ણ છે. ત્રિજ્યા હંમેશા સ્પર્શકને લંબ હોય છે.

Question 7. બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યા 5 સેમી અને 3 સેમી છે. મોટા વર્તુળની જીવા નાના વર્તુળને સ્પર્શે છે, તો તેની લંબાઈ શોધો.
Answer:
P કેન્દ્રવાળાં બે સમકેન્દ્રીય વર્તુળો \( C_1 \) અને \( C_2 \) માં \( C_1 \) ની ત્રિજ્યા 5 સેમી અને \( C_2 \) ની ત્રિજ્યા 3 સેમી છે. \( C_1 \) ની જીવા AB એ \( C_2 \) ને M બિંદુમાં સ્પર્શે છે.
આથી \( PA = 5 \) સેમી, \( PM = 3 \) સેમી, \( \angle PMA = 90^\circ \) અને \( AB = 2AM \).
\( \triangle PMA \) માં, \( \angle M = 90^\circ \).
\( \implies AM = \sqrt{PA^2 - PM^2} \)
\( AM = \sqrt{5^2 - 3^2} \)
\( AM = \sqrt{25 - 9} \)
\( AM = \sqrt{16} \)
\( AM = 4 \) સેમી
હવે, \( AB = 2 AM = 2 \times 4 = 8 \) સેમી
આમ, મોટા વર્તુળની જીવા કે જે નાના વર્તુળને સ્પર્શે છે તેની લંબાઈ 8 સેમી છે.
In simple words: બે વર્તુળો એક જ કેન્દ્રથી બનેલા છે. મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા 5 સેમી અને નાના વર્તુળની 3 સેમી છે. મોટા વર્તુળની એક રેખા નાના વર્તુળને સ્પર્શે છે. તે રેખાની લંબાઈ 8 સેમી છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે નાના વર્તુળને સ્પર્શતી જીવા મોટા વર્તુળ માટે જીવા છે. નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા જીવાને લંબ હોય છે અને જીવાને દુભાગે છે, જેનાથી પાયથાગોરસ ત્રિકોણ બને છે.

Question 8. ચતુષ્કોણ ABCD એક વર્તુળને પરિગત છે. (જુઓ આકૃતિ) સાબિત કરો, \( AB + CD = AD + BC \).
Answer:
પ્રમેય 10.2 મુજબ વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. આથી
\( AP = AS \) .............(1)
\( BP = BQ \) ............(2)
\( CR = CQ \) ............(3)
\( DR = DS \) ............(4)
ઉપરોક્ત બધાં જ પરિણામોનો સરવાળો લેતાં,
\( AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS \)
\( \implies (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ) \)
\( \implies AB + CD = AD + BC \)
In simple words: જો એક ચતુષ્કોણ વર્તુળને ચારેય બાજુઓથી સ્પર્શે છે, તો તેની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય છે. એટલે કે, AB અને CD નો સરવાળો AD અને BC ના સરવાળા જેટલો થશે.

Exam Tip: આ સાબિતીનો આધાર પ્રમેય 10.2 પર છે, જે દર્શાવે છે કે બહારના બિંદુથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. આને સ્પષ્ટપણે લખીને સમીકરણો બનાવી શકાય છે.

Question 9. આપેલ આકૃતિમાં, O કેન્દ્રવાળા વર્તુળના બે સ્પર્શકો XY અને X'Y' સમાંતર છે અને વર્તુળ પરના સ્પર્શબિંદુ C આગળ દોરેલો ત્રીજો સ્પર્શક XY ને A બિંદુએ અને X'Y' ને B બિંદુએ છેદે છે. સાબિત કરો કે, \( \angle AOB = 90^\circ \).
Answer:
અહીં, \( \angle OPA = \angle OCA = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
\( AP = AC \) (પ્રમેય 10.2)
\( AO = AO \) (એક જ રેખાખંડ)
આથી એકરૂપતાની કાસોટી શરત મુજબ,
\( \triangle OAP \cong \triangle OAC \)
\( \implies \angle OAP = \angle OAC \) (CPCT)
\( \implies \angle OAC = \frac{1}{2} \angle PAC \) ............. (1)
તે જ રીતે,
\( \triangle OBQ \cong \triangle OBC \)
\( \implies \angle OBQ = \angle OBC \)
\( \implies \angle OBC = \frac{1}{2} \angle QBC \) ............ (2)
(1) અને (2) નો સરવાળો લેતાં,
\( \angle OAC + \angle OBC = \frac{1}{2} \angle PAC + \frac{1}{2} \angle QBC \)
\( \implies \angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} (\angle XAB + \angle YBA) \) ............ (3)
પરંતુ, \( \angle XAB \) અને \( \angle YBA \) એ \( XY \parallel X'Y' \) ની છેદિકા AB દ્વારા બનતા છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણ છે.
\( \angle XAB + \angle YBA = 180^\circ \) ............(4)
(3) અને (4) પરથી,
\( \angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} (180^\circ) = 90^\circ \)
હવે, \( \triangle AOB \) માં,
\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ \)
\( \implies 90^\circ + \angle AOB = 180^\circ \)
\( \implies \angle AOB = 90^\circ \)
In simple words: જો બે સમાંતર સ્પર્શકો અને એક ત્રીજો સ્પર્શક વર્તુળને સ્પર્શે છે, તો કેન્દ્રથી સ્પર્શકોના છેદબિંદુઓ સુધીની રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોય છે. આ સાબિતી ત્રિકોણની એકરૂપતા અને સમાંતર રેખાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને થાય છે.

Exam Tip: આ સાબિતીમાં, પ્રમેય 10.1 (ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ) અને પ્રમેય 10.2 (બહારના બિંદુથી સ્પર્શકો સમાન) નો ઉપયોગ કરો. ઉપરાંત, સમાંતર રેખાઓ દ્વારા બનતા અંતઃકોણનો સરવાળો 180° હોય છે તે યાદ રાખો.

Question 10. સાબિત કરો કે, વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો અને સ્પર્શબિંદુઓને કેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડ વચ્ચેનો ખૂણો એકબીજાને પૂરક હોય છે.
Answer:
પક્ષ: બિંદુ P એ O કેન્દ્રિત વર્તુળના બહારના ભાગનું બિંદુ છે તથા P માંથી દોરેલા સ્પર્શકો PA અને PB વર્તુળને અનુક્રમે A અને B માં સ્પર્શે છે.
સાધ્ય: \( \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \)
સાબિતી: PA એ O કેન્દ્રિત વર્તુળનો સ્પર્શક છે તથા A સ્પર્શબિંદુ છે.
\( \implies \angle PAO = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
PB એ O કેન્દ્રિત વર્તુળનો સ્પર્શક છે તથા B સ્પર્શબિંદુ છે.
\( \implies \angle PBO = 90^\circ \) (પ્રમેય 10.1)
હવે, ચતુષ્કોણ PAOB માં,
\( \angle PAO + \angle AOB + \angle PBO + \angle APB = 360^\circ \)
\( \implies 90^\circ + \angle AOB + 90^\circ + \angle APB = 360^\circ \)
\( \implies 180^\circ + \angle AOB + \angle APB = 360^\circ \)
\( \implies \angle APB + \angle AOB = 360^\circ - 180^\circ \)
\( \implies \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \)
In simple words: જો તમે વર્તુળની બહારના કોઈ બિંદુથી બે સ્પર્શકો દોરો, તો તે સ્પર્શકો વચ્ચે બનતો ખૂણો અને કેન્દ્ર પર સ્પર્શબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ વચ્ચે બનતો ખૂણો એકબીજાના પૂરક હોય છે. એટલે કે, તેમનો સરવાળો હંમેશા 180 ડિગ્રી થાય છે.

Exam Tip: આ સાબિતી ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ પર આધારિત છે. યાદ રાખો કે ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોવાથી, બે ખૂણા 90° ના હોય છે, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Question 11. સાબિત કરો કે, વર્તુળને પરિગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
Answer:
અહીં, ABCD એ એક વર્તુળને પરિગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, જેની બાજુઓ AB, BC, CD અને DA વર્તુળને અનુક્રમે P, Q, R અને S માં સ્પર્શે છે.
પ્રમેય 10.2 મુજબ, બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોય છે. આથી,
\( AP = AS \)
\( BP = BQ \)
\( CR = CQ \)
\( DR = DS \)
આ બધાને ઉમેરતા,
\( AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS \)
\( (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ) \)
\( AB + CD = AD + BC \) .......... (1)
હવે, ABCD એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
\( AB = CD \) અને \( BC = DA \) .......... (2)
(1) અને (2) પરથી, સમીકરણ (1) માં \( CD \) ની જગ્યાએ \( AB \) અને \( DA \) ની જગ્યાએ \( BC \) મુકતા,
\( AB + AB = BC + BC \)
\( 2AB = 2BC \)
\( AB = BC \)
આમ, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD ની પાસપાસેની બાજુઓ AB અને BC સમાન છે.
આથી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD ની બધી જ બાજુઓ સમાન છે.
આથી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
In simple words: જો એક ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ હોય અને તે વર્તુળને ચારેય બાજુઓથી સ્પર્શતો હોય, તો તે ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે. એટલે કે, તેની બધી બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય છે. આ પ્રમેય સ્પર્શકની લંબાઈના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે.

Exam Tip: આ સાબિતીમાં, પ્રમેય 10.2 (બહારના બિંદુથી સ્પર્શકો સમાન હોય છે) અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મોનો સુયોજિત ઉપયોગ કરો. પગલું-દર-પગલાં સ્પષ્ટતાથી દર્શાવો કે કેવી રીતે સામસામેની બાજુઓનો સરવાળો સમાન થાય છે.

Question 12. ત્રિકોણ ABC એ 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને પરિગત છે. રેખાખંડ BD અને DC એ BC નું સ્પર્શબિંદુ D આગળ અનુક્રમે 8 સેમી અને 6 સેમી લંબાઈના રેખાખંડમાં વિભાજન કરે છે. (જુઓ આકૃતિ) બાજુઓ AB અને AC શોધો.
Answer:
ધારો કે, AB અને AC એ \( \triangle ABC \) ના અંત:વૃત્તને અનુક્રમે E અને F માં સ્પર્શે છે.
આથી \( OD = OE = OF = r = 4 \) સેમી,
\( CD = CF = 6 \) સેમી અને \( BD = BE = 8 \) સેમી. (પ્રમેય 10.2 મુજબ)
ધારો કે, \( AE = AF = x \) સેમી.
\( BC = BD + CD = 8 + 6 = 14 \) સેમી
\( AB = AE + BE = x + 8 \) સેમી
\( AC = AF + CF = x + 6 \) સેમી
\( \triangle ABC \) ની પરિમિતિ \( = AB + BC + CA \)
\( = (x + 8) + 14 + (x + 6) \)
\( = x + 8 + 14 + x + 6 \)
\( = (2x + 28) \) સેમી
\( \triangle ABC \) ની અર્ધપરિમિતિ \( s = \frac{2x + 28}{2} = (x + 14) \) સેમી
\( \triangle ABC \) નું ક્ષેત્રફળ હેરોનના સૂત્ર મુજબ \( = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
\( = \sqrt{(x+14)(x+14 - 14)(x+14 - (x+6))(x+14 - (x+8))} \)
\( = \sqrt{(x+14)(x)(x+14 - x - 6)(x+14 - x - 8)} \)
\( = \sqrt{x(x+14)(8)(6)} \)
\( = \sqrt{48x(x+14)} \) સેમી\(^2 \) ............ (1)
વળી, \( \triangle ABC \) નું ક્ષેત્રફળ \( = \triangle OAB \) નું ક્ષેત્રફળ \( + \triangle OBC \) નું ક્ષેત્રફળ \( + \triangle OCA \) નું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{1}{2} \times AB \times OE + \frac{1}{2} \times BC \times OD + \frac{1}{2} \times CA \times OF \)
\( = \frac{1}{2} \times AB \times 4 + \frac{1}{2} \times BC \times 4 + \frac{1}{2} \times CA \times 4 \)
\( = 2 (AB + BC + CA) \)
\( = 2 (2x + 28) \)
\( = (4x + 56) \) સેમી\(^2 \) ............ (2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \sqrt{48x(x+14)} = 4x + 56 \)
\( \sqrt{48x(x+14)} = 4(x+14) \)
બંને બાજુ વર્ગ લેતા,
\( 48x(x+14) = 16(x+14)^2 \)
\( 3x(x+14) = (x+14)^2 \)
\( 3x(x+14) - (x+14)^2 = 0 \)
\( (x+14)[3x - (x+14)] = 0 \)
\( (x+14)(3x - x - 14) = 0 \)
\( (x+14)(2x - 14) = 0 \)
કારણ કે લંબાઈ ધન હોય છે, \( x+14 \neq 0 \).
\( \implies 2x - 14 = 0 \)
\( 2x = 14 \)
\( x = 7 \)
હવે, \( AB = AE + BE = x + 8 = 7 + 8 = 15 \) સેમી
અને \( AC = AF + CF = x + 6 = 7 + 6 = 13 \) સેમી.
આમ, AB = 15 સેમી અને AC = 13 સેમી.
In simple words: એક ત્રિકોણની અંદર એક વર્તુળ છે જે તેની બાજુઓને સ્પર્શે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 4 સેમી છે. એક બાજુના ભાગો 8 સેમી અને 6 સેમી છે. આપણે બીજી બે બાજુઓની લંબાઈ શોધવાની છે. આ કરવા માટે, આપણે સ્પર્શકના ગુણધર્મો અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ, જેનાથી AB 15 સેમી અને AC 13 સેમી મળે છે.

Exam Tip: આ પ્રશ્નમાં હેરોનનું સૂત્ર અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર (\( \frac{1}{2} \times \) પાયો \( \times \) ઊંચાઈ) બંનેનો ઉપયોગ થાય છે. સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે તે નિયમ યાદ રાખવો ખૂબ જ મદદરૂપ છે.

Question 13. સાબિત કરો કે, વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓથી વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ રચાતા ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
Answer:
પક્ષ: ચતુષ્કોણ ABCD એ O કેન્દ્રિત વર્તુળને પરિગત છે તથા ચતુષ્કોણ ABCD ની બાજુઓ AB, BC, CD અને DA વર્તુળને અનુક્રમે P, Q, R અને S માં સ્પર્શે છે.
સાધ્ય: \( \angle AOB + \angle COD = 180^\circ \) અને \( \angle BOC + \angle DOA = 180^\circ \)
સાબિતી: વર્તુળની ત્રિજ્યા OP અને OS દોરો.
\( \triangle OAP \) અને \( \triangle OAS \) માં,
\( OA = OA \) (એક જ રેખાખંડ)
\( AP = AS \) (પ્રમેય 10.2)
\( OP = OS \) (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
બાજુ-બાજુ-બાજુ (SSS) એકરૂપતા શરત મુજબ, \( \triangle OAP \cong \triangle OAS \)
\( \implies \angle AOP = \angle AOS \) (CPCT)
તે જ રીતે,
\( \triangle OBP \cong \triangle OBQ \implies \angle BOP = \angle BOQ \)
\( \triangle OCQ \cong \triangle OCR \implies \angle COQ = \angle COR \)
\( \triangle ODR \cong \triangle ODS \implies \angle DOR = \angle DOS \)
હવે, એક બિંદુ આગળ બનતા બધા જ ખૂણાની સરવાળો \( 360^\circ \) થાય છે.
\( \angle AOP + \angle AOS + \angle BOP + \angle BOQ + \angle COQ + \angle COR + \angle DOR + \angle DOS = 360^\circ \)
ઉપરના સમાન ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરતા,
\( 2\angle AOP + 2\angle BOP + 2\angle COQ + 2\angle DOR = 360^\circ \)
\( 2(\angle AOP + \angle BOP + \angle COQ + \angle DOR) = 360^\circ \)
\( \angle AOB + \angle COD = (\angle AOP + \angle BOP) + (\angle COQ + \angle DOR) \)
\( = \angle AOB + \angle COD \)
એક બિંદુ O પરના બધા ખૂણાનો સરવાળો \( 360^\circ \) છે.
\( \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^\circ \)
ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ,
\( \angle AOP = \angle AOS \), \( \angle BOP = \angle BOQ \), \( \angle COQ = \angle COR \), \( \angle DOR = \angle DOS \)
આથી, \( \angle AOB = 2\angle AOP \) અને \( \angle COD = 2\angle COR \)
તેવી જ રીતે, \( \angle BOC = 2\angle BOQ \) અને \( \angle DOA = 2\angle DOS \)
\( 2\angle AOP + 2\angle BOQ + 2\angle COR + 2\angle DOS = 360^\circ \)
\( \angle AOP + \angle BOQ + \angle COR + \angle DOS = 180^\circ \)
અહીં, \( \angle AOP + \angle BOP + \angle COQ + \angle DOR = 180^\circ \)
\( \implies (\angle AOP + \angle BOP) + (\angle COQ + \angle DOR) = 180^\circ \)
\( \implies \angle AOB + \angle COD = 180^\circ \)
તેવી જ રીતે,
\( \angle BOC + \angle DOA = 180^\circ \)
આમ, વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓથી વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ રચાતા ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
In simple words: જો એક ચતુષ્કોણ વર્તુળને ચારેય બાજુઓથી સ્પર્શે છે, તો તેની સામસામેની બાજુઓ વર્તુળના કેન્દ્ર પર જે ખૂણા બનાવે છે, તે ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે તે ખૂણાઓ એકબીજાના પૂરક હોય છે.

Exam Tip: આ સાબિતીમાં, બહારના બિંદુથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે (પ્રમેય 10.2) અને કેન્દ્રથી સ્પર્શબિંદુને જોડતો રેખાખંડ સ્પર્શકને લંબ હોય છે (પ્રમેય 10.1) તે ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો. એક જ બિંદુ પર બનતા બધા ખૂણાનો સરવાળો 360° હોય છે તે પણ યાદ રાખો.