GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 10 વર્તુળ Exercise 10.1

Question 1. વર્તુળને કેટલા સ્પર્શક હોય?
Answer: વર્તુળને ઘણા બધા સ્પર્શક હોય છે. વર્તુળ એ સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી એકસરખા અંતરે (ત્રિજ્યા) આવેલા બિંદુઓનો સમુહ છે અને વર્તુળના પ્રત્યેક બિંદુમાંથી વર્તુળને એક સ્પર્શક મળે છે. આથી વર્તુળને ઘણા બધા સ્પર્શક હોય છે.
In simple words: વર્તુળની સપાટી પર ઘણા બધા નાના બિંદુઓ હોય છે. દરેક બિંદુ પર એક સ્પર્શક દોરી શકાય. તેથી, વર્તુળને કુલ ઘણા બધા સ્પર્શક હોય છે.

Exam Tip: સ્પર્શક એટલે વર્તુળને એક જ બિંદુમાં સ્પર્શતી રેખા. આથી વર્તુળના દરેક બિંદુએ એક સ્પર્શક દોરી શકાય છે.

Question 2. ખાલી જગ્યા પૂરોઃ
(i) સ્પર્શક વર્તુળને ................. જ બિંદુમાં છે.
(ii) વર્તુળને બે બિંદુમાં છેદતી રેખાને ................. કહે છે.
(iii) વર્તુળની છેદિકાને સમાંતર હોય તેવા વધુમાં વધુ .............. સમાંતર સ્પર્શક હોય.
(iv) વર્તુળ અને સ્પર્શકના સામાન્ય બિંદુને ................. કહે છે.
Answer:
(i) એક અને માત્ર એક
In simple words: સ્પર્શક રેખા વર્તુળને ફક્ત એક જ જગ્યાએ અડે છે.
(ii) છેદિકા
In simple words: જો કોઈ રેખા વર્તુળને બે જુદા જુદા બિંદુઓ પર કાપે, તો તેને છેદિકા કહેવાય છે.
(iii) બે
In simple words: એક છેદિકાને સમાંતર હોય તેવા વધુમાં વધુ બે સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.
(iv) સ્પર્શબિંદુ
In simple words: વર્તુળ અને સ્પર્શક જ્યાં એકબીજાને મળે છે તે બિંદુને સ્પર્શબિંદુ કહેવાય છે.

Exam Tip: સ્પર્શક વર્તુળને એક અને માત્ર એક બિંદુમાં છેદે છે, જેને સ્પર્શબિંદુ કહેવાય છે. છેદિકા વર્તુળને બે અલગ બિંદુઓમાં છેદે છે. કોઈપણ છેદિકાને સમાંતર, વર્તુળ પર ફક્ત બે જ સ્પર્શક દોરી શકાય છે, જે બંને એકબીજાથી વિરુદ્ધ બાજુએ હોય છે. સ્પર્શબિંદુ એ વર્તુળ અને સ્પર્શકનો એકમાત્ર સામાન્ય બિંદુ હોય છે.

Question 3. 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કોઈ બિંદુ P આગળ દોરેલ એક સ્પર્શક PQ, કેન્દ્ર 0માંથી પસાર થતી રેખાને બિંદુએ છેદે છે. = 12 સેમી હોય, તો P9ની લંબાઈ........... હોય.
(a) 12 સેમી
(b) 13 સેમી
(c) 8.5 સેમી
(d) 119 सेमी
Answer: (d) \( \sqrt{119} \) સેમીસમકોણ ત્રિકોણ \( \triangle OPQ \) માં, \( \angle P = 90^\circ \) હોય છે. (પ્રમેય 10.1 મુજબ)
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
\( OQ^2 = PQ^2 + OP^2 \)
અહીં, ત્રિજ્યા \( OP = 5 \) સેમી અને \( OQ = 12 \) સેમી છે.
\( 12^2 = PQ^2 + 5^2 \)
\( 144 = PQ^2 + 25 \)
\( 144 - 25 = PQ^2 \)
\( 119 = PQ^2 \)
\( PQ = \sqrt{119} \) સેમી
આમ, સાચો વિકલ્પ (d) \( \sqrt{119} \) સેમી છે.
In simple words: આ દાખલામાં, વર્તુળના કેન્દ્ર O થી સ્પર્શબિંદુ P સુધીનું અંતર (ત્રિજ્યા) 5 સેમી છે. કેન્દ્ર O થી સ્પર્શક પરના બિંદુ Q સુધીનું અંતર 12 સેમી છે. આપણે સ્પર્શક PQ ની લંબાઈ શોધવાની છે. આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે, જ્યાં P પર 90 ડિગ્રીનો ખૂણો છે. તેથી, પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને \( PQ = \sqrt{119} \) સેમી મળે છે. (P9 એ PQ ની ટાઈપોગ્રાફિકલ ભૂલ હોઈ શકે છે.)

Exam Tip: સ્પર્શક અને ત્રિજ્યા હંમેશા સ્પર્શબિંદુ પર કાટખૂણો બનાવે છે, તેથી આવા દાખલામાં પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરી શકાય છે.

Question 4. વર્તુળના સમતલમાં આપેલી કોઈ એક રેખાને સમાંતર હોય તેવી બે રેખાઓ દોરો, જે પૈકી એક વર્તુળનો સ્પર્શક હોય અને બીજી વર્તુળની છેદિકા હોય.
Answer:અહીં, રેખા \( l \) એ આપેલી રેખા છે. રેખા \( m \) અને રેખા \( n \) એ રેખા \( l \) ને સમાંતર રેખાઓ છે. રેખા \( m \) એ આપેલા વર્તુળને P બિંદુએ સ્પર્શે છે, તેથી તે સ્પર્શક છે. રેખા \( n \) એ આપેલા વર્તુળને બિંદુઓ A અને B માં કાપે છે, તેથી તે છેદિકા છે.
In simple words: આકૃતિમાં, રેખા \( l \) એ મુખ્ય રેખા છે. રેખા \( m \) એ રેખા \( l \) ને સમાંતર છે અને વર્તુળને ફક્ત એક બિંદુ P પર સ્પર્શે છે, તેથી તે સ્પર્શક છે. રેખા \( n \) પણ રેખા \( l \) ને સમાંતર છે, પરંતુ તે વર્તુળને A અને B એમ બે બિંદુઓ પર કાપે છે, તેથી તે છેદિકા છે.

Exam Tip: આકૃતિ દોરતી વખતે, સ્પર્શક અને છેદિકા બંને મૂળ રેખાને સમાંતર હોવા જોઈએ અને સ્પર્શક ફક્ત એક જ બિંદુએ વર્તુળને સ્પર્શવો જોઈએ.