GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.4

Question 1. ભાગાકારની લાંબી પ્રક્રિયા કર્યા વગર, નીચે દર્શાવેલ સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે જણાવો:
(i) \( \frac{13}{3125} \)
(ii) \( \frac{17}{8} \)
(iii) \( \frac{64}{455} \)
(iv) \( \frac{15}{1600} \)
(v) \( \frac{29}{343} \)
(vi) \( \frac{23}{2^{3} 5^{2}} \)
(vii) \( \frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}} \)
(viii) \( \frac{6}{15} \)
(ix) \( \frac{35}{50} \)
(x) \( \frac{77}{210} \)
Answer:
(i) અહીં, છેદ \( q (5^5) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) (\( n = 0 \) અને \( m = 5 \)) પ્રકારનું છે. આ કારણે, \( \frac{13}{3125} \) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
(ii) અહીં, છેદ \( q (2^3) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) (\( n = 3 \) અને \( m = 0 \)) જેવું છે. તેથી, \( \frac{17}{8} \) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
(iii) અહીં, છેદ \( q (5 \times 7 \times 13) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) પ્રકારનું નથી. આ કારણે, \( \frac{64}{455} \) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત આવે છે.
(iv) અહીં, છેદ \( q (2^6 \times 5) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) (\( n = 6 \) અને \( m = 1 \)) પ્રકારનું છે. આથી, \( \frac{15}{1600} \) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
(v) અહીં, છેદ \( q (7^3) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) પ્રકારનું નથી. આનાથી, \( \frac{29}{343} \) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત બને છે.
(vi) અહીં, છેદ \( q (2^3 5^2) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) (\( n = 3 \) અને \( m = 2 \)) જેવું છે. પરિણામે, \( \frac{23}{2^3 5^2} \) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.
(vii) અહીં, છેદ \( q (2^2 5^7 7^5) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) પ્રકારનું નથી. તેથી, \( \frac{129}{2^2 5^7 7^5} \) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત મળે છે.
(viii) અહીં, છેદ \( q (5^1) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) (\( n = 0 \) અને \( m = 1 \)) જેવું છે. આના કારણે, \( \frac{6}{15} \) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત આવે છે.
(ix) અહીં, છેદ \( q (2^1 \times 5^1) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) (\( n = 1 \) અને \( m = 1 \)) પ્રકારનું છે. પરિણામે, \( \frac{35}{50} \) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત થાય છે.
(x) અહીં, છેદ \( q (2 \times 3 \times 5) \) નું સ્વરૂપ \( 2^n 5^m \) પ્રકારનું નથી. તેથી, \( \frac{77}{210} \) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત બને છે.
In simple words: સંખ્યાના છેદના અવયવો તપાસો. જો છેદના અવિભાજ્ય અવયવો ફક્ત 2 અથવા 5 અથવા બંને હોય, તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે. જો તેમાં 2 અને 5 સિવાયનો કોઈ બીજો અવિભાજ્ય અવયવ હોય, તો દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોય છે.

Exam Tip: દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત અને આવૃત્ત છે તે નક્કી કરવા માટે, અપૂર્ણાંકને તેના સરળતમ સ્વરૂપમાં લાવ્યા પછી તેના છેદના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસો.

Question 2. પ્રશ્ન 1માં જે સંમેય સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોય તેનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવો.
Answer:
(1) \( \frac{13}{3125}=\frac{13}{5^{5}}=\frac{13 \times 2^{5}}{2^{5} \times 5^{5}}=\frac{416}{100000} = 0.00416 \). આ તેનું દશાંશ સ્વરૂપ છે.
(2) \( \frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3}}=\frac{17 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{2125}{1000} = 2.125 \). આ દશાંશ નિરૂપણ છે.
(4) \( \frac{15}{1600}=\frac{3}{2^{6} \times 5}=\frac{3 \times 5^{5}}{2^{6} \times 5^{6}}=\frac{9375}{1000000} = 0.009375 \). આ તેનો દશાંશ વિસ્તાર છે.
(6) \( \frac{23}{2^{3} 5^{2}}=\frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{115}{1000} = 0.115 \). આ દશાંશ સંખ્યા છે.
(8) \( \frac{6}{15}=\frac{2}{5}=\frac{2 \times 2}{2 \times 5}=\frac{4}{10} = 0.4 \). આ તેનું દશાંશ રૂપ છે.
(9) \( \frac{35}{50}=\frac{7}{2 \times 5}=\frac{7}{10} = 0.7 \). આ તેનું દશાંશ મૂલ્ય છે.

Exam Tip: શાંત દશાંશ નિરૂપણ મેળવવા માટે, છેદને 10, 100, 1000 જેવી 10ની ઘાત બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 3. નીચેના વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું દશાંશ નિરૂપણ દર્શાવેલ છે. દરેક માટે જણાવો કે તે સંમેય છે કે નહીં. અને જો સંમેય હોય, તો તેના સ્વરૂપમાં qના અવિભાજ્ય અવયવો વિશે તમે શું કહી શકશો?
(i) \( 43.123456789 \)
(ii) \( 0.120120012000120000 \)
(iii) \( 43.\overline{123456789} \)
Answer:
(i) આપેલી સંખ્યા \(43.123456789\) નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે, તેથી તે સંમેય સંખ્યા ગણાય છે. આપેલી સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોવાથી, તેના \( \frac{p}{q} \) સ્વરૂપમાં છેદના અવિભાજ્ય અવયવો ફક્ત 2 અથવા 5 અથવા બંને જ હોય છે. (પ્રમેય 1.5 અનુસાર)
(ii) આપેલી સંખ્યા \(0.120120012000120000...\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોવાથી, તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
(iii) આપેલી સંખ્યા \(43.\overline{123456789}\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી, તે સંમેય સંખ્યા છે. આપેલી સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોવાથી, તેના \( \frac{p}{q} \) સ્વરૂપમાં છેદના અવિભાજ્ય અવયવોમાં 2 અને 5 સિવાયનો ઓછામાં ઓછો એક અવિભાજ્ય અવયવ હોવો અનિવાર્ય છે. (પ્રમેય 1.7નું પ્રતીપ)
In simple words: જો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય, તો તે સંમેય સંખ્યા છે અને છેદમાં ફક્ત 2 અને/અથવા 5 ના અવયવો હશે. જો દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોય, તો તે અસંમેય સંખ્યા છે. જો દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોય, તો તે સંમેય સંખ્યા છે અને છેદમાં 2 અને 5 સિવાયના અન્ય અવિભાજ્ય અવયવો હશે.

Exam Tip: સંમેય સંખ્યાઓ હંમેશા શાંત અથવા અનંત આવૃત્ત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે, જ્યારે અસંમેય સંખ્યાઓ અનંત અને અનાવૃત્ત દશાંશ નિરૂપણ ધરાવે છે. આ નિયમને યાદ રાખવાથી સરળતા રહેશે.