GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.3

Question 1. સાબિત કરો કે, \( \sqrt{5} \) અસંમેય છે.
Answer: ધારો કે, \( \sqrt{5} \) સંમેય સંખ્યા છે. તેથી, આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો \( a \) અને \( b \) (જ્યાં \( b \neq 0 \)) એવા શોધી શકીએ છીએ કે \( \sqrt{5} = \frac{a}{b} \).
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,
\( (\sqrt{5})^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 \)
\( 5 = \frac{a^2}{b^2} \)
\( 5b^2 = a^2 \)
આમ, \( 5 \) એ \( a^2 \) નો અવયવ છે. પરંતુ \( 5 \) અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ \( 5 \) એ \( a \) નો પણ અવયવ છે.
ધારો કે, \( a = 5c \) જ્યાં, \( c \) કોઈ પૂર્ણાંક છે. આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,
\( (5c)^2 = 5b^2 \)
\( 25c^2 = 5b^2 \)
\( 5c^2 = b^2 \)
આમ, \( 5 \) એ \( b^2 \) નો અવયવ છે. પરંતુ \( 5 \) અવિભાજ્ય હોવાથી, પ્રમેય 1.3 મુજબ \( 5 \) એ \( b \) નો પણ અવયવ છે.
આમ, \( a \) અને \( b \) નો સામાન્ય અવયવ \( 5 \) છે. પરંતુ આ વિધાન એ \( a \) અને \( b \) પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તે આપણી ધારણાથી વિરુદ્ધ છે.
તેથી, આપણી ધારણા કે \( \sqrt{5} \) સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટી છે. આથી સાબિત થાય છે કે \( \sqrt{5} \) અસંમેય છે.
In simple words: આપણે ધારીએ છીએ કે \( \sqrt{5} \) સંમેય છે, તેથી તેને \( \frac{a}{b} \) તરીકે લખી શકાય. બંને બાજુનો વર્ગ કરતા \( 5b^2 = a^2 \) મળે છે. આ દર્શાવે છે કે \( 5 \) એ \( a \) નો અવયવ છે. પછી, \( a = 5c \) મૂકતા, આપણને \( b^2 = 5c^2 \) મળે છે, જે દર્શાવે છે કે \( 5 \) એ \( b \) નો પણ અવયવ છે. જો \( 5 \) એ \( a \) અને \( b \) બંનેનો સામાન્ય અવયવ હોય, તો તે આપણી મૂળ ધારણાનો વિરોધ કરે છે કે \( a \) અને \( b \) સહ-અવિભાજ્ય છે. તેથી, \( \sqrt{5} \) અસંમેય હોવું જ જોઈએ.

Exam Tip: Proofs by contradiction are common for irrational numbers. Clearly state your initial assumption, show the contradiction, and conclude by disproving the assumption.

Question 2. સાબિત કરો કે, \( 3 + 2\sqrt{5} \) અસંમેય છે.
Answer: ધારો કે, \( 3 + 2\sqrt{5} \) સંમેય સંખ્યા છે. તેથી, આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો \( a \) અને \( b \) (જ્યાં \( b \neq 0 \)) એવા શોધી શકીએ છીએ કે \( 3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b} \).
હવે, \( \sqrt{5} \) ને અલગ કરતા,
\( 2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 \)
\( 2\sqrt{5} = \frac{a - 3b}{b} \)
\( \sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b} \)
કારણ કે \( a, b \) અને \( 3 \) પૂર્ણાંકો છે, તેથી \( \frac{a - 3b}{2b} \) એક સંમેય સંખ્યા છે. આના કારણે \( \sqrt{5} \) પણ સંમેય સંખ્યા બને છે.
પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{5} \) એક અસંમેય સંખ્યા છે. આમ, અહીં વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે.
માટે આપણી શરૂઆતની ધારણા કે \( 3 + 2\sqrt{5} \) સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટી છે. આથી સાબિત થાય છે કે \( 3 + 2\sqrt{5} \) અસંમેય છે.
In simple words: આપણે ધારીએ છીએ કે \( 3 + 2\sqrt{5} \) સંમેય છે. તેથી, આપણે તેને \( \frac{a}{b} \) તરીકે લખી શકીએ. \( \sqrt{5} \) ને એકલું પાડીએ, તો \( \sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b} \) મળે છે. કારણ કે \( a \) અને \( b \) પૂર્ણાંકો છે, જમણી બાજુ સંમેય છે, જેનો અર્થ છે કે \( \sqrt{5} \) પણ સંમેય હોવું જોઈએ. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{5} \) અસંમેય છે, તેથી આ વિરોધાભાસ છે. આથી આપણી ધારણા ખોટી છે, અને \( 3 + 2\sqrt{5} \) અસંમેય છે.

Exam Tip: For expressions like \( a + b\sqrt{c} \), isolate the irrational part (\( \sqrt{c} \)). If the rational operations on \( a \) and \( b \) result in a rational number, it implies \( \sqrt{c} \) is rational, leading to a contradiction.

Question 3. નીચે દર્શાવેલ સંખ્યાઓ અસંમેય છે તેમ સાબિત કરો:
(i) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(ii) \( 7 + \sqrt{5} \)
(iii) \( 6 + \sqrt{2} \)
Answer:
(i) ધારો કે, \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) સંમેય સંખ્યા છે. તેથી, આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો \( a \) અને \( b \) (જ્યાં \( b \neq 0 \)) એવા શોધી શકીએ છીએ કે \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \).
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને \( \sqrt{2} = \frac{b}{a} \) મળે છે.
કારણ કે \( a \) અને \( b \) પૂર્ણાંકો છે, તેથી \( \frac{b}{a} \) એક સંમેય સંખ્યા છે. આનો અર્થ છે કે \( \sqrt{2} \) પણ સંમેય સંખ્યા બને છે.
પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{2} \) એક અસંમેય સંખ્યા છે. આમ, અહીં વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે.
આથી \( a \) અને \( b \) પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી, માટે આપણી ધારણા ખોટી છે. આમ, સાબિત થાય છે કે \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) અસંમેય છે.

(ii) ધારો કે, \( 7 + \sqrt{5} \) સંમેય સંખ્યા છે. તેથી, આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો \( a \) અને \( b \) (જ્યાં \( b \neq 0 \)) એવા શોધી શકીએ છીએ કે \( 7 + \sqrt{5} = \frac{a}{b} \).
\( \sqrt{5} \) ને અલગ કરતા,
\( \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 7 \)
\( \sqrt{5} = \frac{a - 7b}{b} \)
કારણ કે \( a, b \) અને \( 7 \) પૂર્ણાંકો છે, તેથી \( \frac{a - 7b}{b} \) એક સંમેય સંખ્યા છે. આના કારણે \( \sqrt{5} \) પણ સંમેય સંખ્યા બને છે.
પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{5} \) એક અસંમેય સંખ્યા છે. આમ, અહીં વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે.
માટે આપણી શરૂઆતની ધારણા કે \( 7 + \sqrt{5} \) સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટી છે. આથી સાબિત થાય છે કે \( 7 + \sqrt{5} \) અસંમેય છે.

(iii) ધારો કે, \( 6 + \sqrt{2} \) સંમેય સંખ્યા છે. તેથી, આપણે પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો \( a \) અને \( b \) (જ્યાં \( b \neq 0 \)) એવા શોધી શકીએ છીએ કે \( 6 + \sqrt{2} = \frac{a}{b} \).
\( \sqrt{2} \) ને અલગ કરતા,
\( \sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6 \)
\( \sqrt{2} = \frac{a - 6b}{b} \)
કારણ કે \( a, b \) અને \( 6 \) પૂર્ણાંકો છે, તેથી \( \frac{a - 6b}{b} \) એક સંમેય સંખ્યા છે. આના કારણે \( \sqrt{2} \) પણ સંમેય સંખ્યા બને છે.
પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{2} \) એક અસંમેય સંખ્યા છે. આમ, અહીં વિરોધાભાસ ઊભો થાય છે.
માટે આપણી શરૂઆતની ધારણા કે \( 6 + \sqrt{2} \) સંમેય સંખ્યા છે તે ખોટી છે. આથી સાબિત થાય છે કે \( 6 + \sqrt{2} \) અસંમેય છે.
In simple words: દરેક કિસ્સામાં, આપણે ધારીએ છીએ કે આપેલી સંખ્યા સંમેય છે, અને તેને \( \frac{a}{b} \) તરીકે દર્શાવીએ છીએ. પછી આપણે વર્ગમૂળ વાળા પદને અલગ કરીએ છીએ. જો વર્ગમૂળવાળા પદને સંમેય સંખ્યા તરીકે દર્શાવી શકાય, તો તે વિરોધાભાસ છે, કારણ કે આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sqrt{2} \) અને \( \sqrt{5} \) અસંમેય છે. આ વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે આપણી મૂળ ધારણા ખોટી હતી, અને તેથી આપેલી સંખ્યાઓ અસંમેય છે.

Exam Tip: For parts (ii) and (iii), the method is to isolate the irrational part (\( \sqrt{5} \) or \( \sqrt{2} \)) and show that if the original expression were rational, then the isolated irrational part would also have to be rational, which contradicts known facts.