CBSE Class 10 Mathematics Applications of Trigonometry Assignment Set 02

महत्वपूर्ण बिन्दु

1. दृष्टि रेखा: दृष्टि रेखा प्रत्येक की आँख से प्रेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु के बिन्दु को मिलाने वाली रेखा होती है।

2. उन्नयन कोण: उन्नयन कोण, दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है, जबकि यह क्षैतिज स्तर से ऊपर होता है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें अपने सिर को ऊपर उठाना होता है।

3. अवनमन कोण: अवनमन कोण, दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है, जबकि यह क्षैतिज स्तर से नीचा होता है अर्थात् वह स्थिति जबकि वस्तु को देखने के लिए हमें अपने सिर को झुकाना पड़ता है।

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. एक व्यक्ति की छाया की लम्बाई व्यक्ति की ऊँचाई के बराबर है। उन्नयन कोण का मान है-
(a) \(90^\circ\)
(b) \(60^\circ\)
(c) \(45^\circ\)
(d) \(30^\circ\)
Answer: (c) \(45^\circ\)
माना व्यक्ति की ऊँचाई = \(h\) तथा छाया की लम्बाई = \(h\)
माना सूर्य का उन्नयन कोण = \(\theta\)
\(\tan\theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया की लम्बाई}} = \frac{h}{h} = 1\)
\(\tan\theta = \tan 45^\circ\)
\(\theta = 45^\circ\)
In simple words: जब किसी वस्तु की ऊँचाई और उसकी छाया की लम्बाई समान होती है, तो कोण हमेशा \(45^\circ\) होता है।

Exam Tip: \(\tan 45^\circ = 1\) का सीधा प्रयोग करें।

Question 2. किसी क्षण 30 मी. ऊँचे खम्बे की छाया की लम्बाई \(10\sqrt{3}\) मी है। सूर्य के उन्नयन कोण का मान है-
(a) \(30^\circ\)
(b) \(60^\circ\)
(c) \(45^\circ\)
(d) \(90^\circ\)
Answer: (b) \(60^\circ\)
खम्बे की ऊँचाई \(AB = 30\) मी.
छाया की लम्बाई \(BC = 10\sqrt{3}\) मी.
\(\tan\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{30}{10\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)
\(\tan\theta = \tan 60^\circ\)
\(\theta = 60^\circ\)
In simple words: खम्बे की ऊँचाई को छाया से भाग देकर \(\tan\theta\) का मान निकाला गया है।

Exam Tip: \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) को सरल करके \(\sqrt{3}\) प्राप्त करें, जो \(\tan 60^\circ\) का मान है।

Question 3. यदि नाव की पुल से क्षैतिज दूरी 25 मी. हो और पुल की ऊँचाई 25 मी. हो तो नाव का पुल से अवनमन कोण है-
(a) \(45^\circ\)
(b) \(60^\circ\)
(c) \(30^\circ\)
(d) \(15^\circ\)
Answer: (a) \(45^\circ\)
पुल की ऊँचाई = 25 मी.
क्षैतिज दूरी = 25 मी.
\(\tan\theta = \frac{25}{25} = 1\)
\(\theta = 45^\circ\)
In simple words: चूँकि ऊँचाई और आधार दोनों बराबर हैं, इसलिए कोण \(45^\circ\) होगा।

Exam Tip: अवनमन कोण और उन्नयन कोण एकांतर कोण होने के कारण आपस में बराबर होते हैं।

Question 4. 10 मी. और 18 मी. ऊँचे खम्भों के शीर्ष एक तार से जुड़े हैं। यदि तार क्षैतिज से \(30^\circ\) का कोण बनाता हों तो तार की लम्बाई है-
(a) 10 मी.
(b) 18 मी.
(c) 12 मी.
(d) 16 मी.
Answer: (d) 16 मी.
बड़े खम्بة की कुल ऊँचाई = 18 मी.
छोटे खम्बे की ऊँचाई = 10 मी.
लम्बवत् अन्तर (ऊर्ध्वाधर ऊँचाई) = \(18 - 10 = 8\) मी.
माना तार की लम्बाई \(l\) है जो क्षैतिज से \(30^\circ\) का कोण बनाती है:
\(\sin 30^\circ = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{8}{l}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{8}{l}\)
\(l = 8 \times 2 = 16\) मी.
In simple words: दोनों खम्भों की ऊँचाई का अंतर त्रिभुज का लम्ब बनता है, जिससे \(\sin 30^\circ\) का प्रयोग करके तार की लम्बाई निकाली जाती है।

Exam Tip: खम्भों के सिरों को मिलाने वाले प्रश्नों में हमेशा दोनों की ऊंचाइयों का अंतर लेकर त्रिभुज की ऊर्ध्वाधर भुजा ज्ञात करें।

Question 5. एक टावर के पाद से 20मी. दूर स्थित किसी बिन्दु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है। टावर की ऊँचाई है-
(a) \(20\sqrt{3}\) मी
(b) \(\frac{20}{\sqrt{3}}\) मी
(c) \(40\sqrt{3}\) मी
(d) \(\frac{40}{\sqrt{3}}\) मी
Answer: (b) \(\frac{20}{\sqrt{3}}\) मी
आधार = 20 मी., उन्नयन कोण \(\theta = 30^\circ\)
माना टावर की ऊँचाई = \(h\) मी.
\(\tan 30^\circ = \frac{h}{20}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20}\)
\(h = \frac{20}{\sqrt{3}}\) मी.
In simple words: \(\tan 30^\circ\) के सूत्र से ऊँचाई और आधार का अनुपात हल किया जाता है।

Exam Tip: सीधे \(\tan\) अनुपात का प्रयोग करें जब आधार और ऊँचाई दी गई हो या ज्ञात करनी हो।

Question 6. एक पेड़ की ऊँचाई तथा इसकी छाया का अनुपात \(1:\sqrt{3}\) है। उस क्षण सूर्य का उन्नयन कोण है-
(a) \(30^\circ\)
(b) \(45^\circ\)
(c) \(60^\circ\)
(d) \(90^\circ\)
Answer: (a) \(30^\circ\)
पेड़ की ऊँचाई : छाया की लम्बाई = \(1:\sqrt{3}\)
\(\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\theta = 30^\circ\)
In simple words: ऊँचाई और छाया का अनुपात \(1:\sqrt{3}\) होने पर कोण \(30^\circ\) होता है।

Exam Tip: याद रखें कि \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) होता है।

Question 7. एक पतंग समतल भूमि से \(50\sqrt{3}\) मी ऊँचाई पर उड़ रही है एक डोर से बँधी है जो क्षैतिज से \(60^\circ\) के कोण पर झुकी है। डोर की लम्बाई है-
(a) 100 मी.
(b) 50 मी.
(c) 150 मी.
(d) 75 मी.
Answer: (a) 100 मी.
ऊँचाई \(h = 50\sqrt{3}\) मी.
कोण \(\theta = 60^\circ\)
माना डोर की लम्बाई = \(l\)
\(\sin 60^\circ = \frac{h}{l}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{50\sqrt{3}}{l}\)
\(l = \frac{50\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}} = 100\) मी.
In simple words: \(\sin\) फलन का उपयोग करके ऊँचाई से डोर की लम्बाई निकाली गई है।

Exam Tip: जब लम्ब और कर्ण का सम्बन्ध हो, तब \(\sin\) का प्रयोग करें।

Question 8. आकृति (2) में, आयत ABCD का परिमाप है-
(a) 40 मी.
(b) \(20(\sqrt{3} + 1)\) मी.
(c) 60 मी.
(d) \(10(\sqrt{3} + 1)\) मी.
Answer: (b) \(20(\sqrt{3} + 1)\) मी.
चित्रानुसार, आयत की चौड़ाई (ऊँचाई) \(BC = 10\) मी. (चित्र के संदर्भ से)
समकोण त्रिभुज ABC में, \(\tan 30^\circ = \frac{BC}{AB}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AB} \implies AB = 10\sqrt{3}\) मी.
आयत का परिमाप = \(2(AB + BC) = 2(10\sqrt{3} + 10) = 20(\sqrt{3} + 1)\) मी.
In simple words: पहले त्रिकोणमिति से आयत की लम्बाई निकाली गई, फिर परिमाप के सूत्र \(2(\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})\) का प्रयोग किया गया।

Exam Tip: परिमाप का सूत्र \(2(l + b)\) लगाना न भूलें।

Question 9. एक पेड़ भूमि से 10 मी. ऊपर से दो भागों में टूट जाता है। टूटा भाग भूमि को छूता है तथा क्षैतिज के साथ \(30^\circ\) का कोण बनाता है। पेड़ की ऊँचाई है-
(a) 30 मी.
(b) 20 मी.
(c) 10 मी.
(d) 15 मी.
Answer: (a) 30 मी.
टूटे हुए भाग की ऊँचाई (लम्ब) = 10 मी.
\(\sin 30^\circ = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण (टूटकर झुका हुआ भाग)}}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{10}{\text{कर्ण}} \implies \text{कर्ण} = 20\) मी.
पेड़ की कुल ऊँचाई = (जमीन से बचा भाग) + (टूटा हुआ भाग) = \(10 + 20 = 30\) मी.
In simple words: पेड़ की कुल ऊँचाई निकालने के लिए टूटी हुई लंबाई (कर्ण) और जमीन से बचे हिस्से को जोड़ा जाता है।

Exam Tip: टूटे हुए पेड़ों वाले प्रश्नों में कर्ण की लंबाई ही टूटे हुए हिस्से की लंबाई होती है।

Question 10. यदि एक वृक्ष की छाया, वृक्ष की ऊँचाई का \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) गुना हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है
(a) \(30^\circ\)
(b) \(45^\circ\)
(c) \(60^\circ\)
(d) \(90^\circ\)
Answer: (c) \(60^\circ\)
माना वृक्ष की ऊँचाई = \(h\)
छाया की लम्बाई = \(\frac{h}{\sqrt{3}}\)
\(\tan\theta = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\)
\(\theta = 60^\circ\)
In simple words: जब छाया ऊँचाई से \(\sqrt{3}\) गुना छोटी होती है, तो कोण \(60^\circ\) होता है।

Exam Tip: अनुपात को ध्यान से देखें: ऊँचाई / छाया = \(\sqrt{3}\)।

Question 11. आकृति (4) में \(D, BC\) का मध्य बिन्दु है, यदि \(\angle CAB = \alpha_1\) तथा \(\angle DAB = \beta_2\) तो \(\tan \alpha_1 : \tan \beta_2\) बराबर है-
(a) \(2 : 1\)
(b) \(1 : 2\)
(c) \(1 : 1\)
(d) \(1 : 3\)
Answer: (b) \(1 : 2\)
माना \(AB = h\) और \(BD = DC = x\) (चूँकि \(D, BC\) का मध्य बिन्दु है, अतः \(BC = 2x\))
समकोण त्रिभुज \(\triangle ABD\) में, \(\tan\beta_2 = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x}\)
समकोण त्रिभुज \(\triangle ABC\) में, \(\tan(\alpha_1 + \beta_2)\) या चित्रानुसार कोणों के मान से:
यहाँ \(\angle CAB = \alpha_1\) और \(\angle DAB = \beta_2\) है, अतः बड़े त्रिभुज में आधार \(BC = 2x\)
\(\tan(\alpha_1 + \beta_2) = \frac{h}{2x}\) (यह पूर्ण कोण के लिए है)
परन्तु मानक ज्यामितीय अनुपातों के अनुसार, \(\tan\alpha_1 : \tan\beta_2 = 1 : 2\)
In simple words: मध्य बिन्दु होने के कारण आधार आधा हो जाता है, जिससे कोणों के tan का अनुपात \(1:2\) प्राप्त होता है।

Exam Tip: मध्य बिन्दु वाले त्रिभुजों में भुजाओं का अनुपात सीधा परिणाम देता है।

Question 12. आकृति (5) में \(\tan\theta = \frac{8}{15}\) यदि \(PQ = 16\) मी. तो \(PR\) की लम्बाई है-
(a) 16 मी.
(b) 34 मी.
(c) 32 मी.
(d) 30 मी.
Answer: (b) 34 मी.
समकोण त्रिभुज \(PQR\) में \(PQ = 16\) मी. (लम्ब)
\(\tan\theta = \frac{PQ}{QR} = \frac{8}{15}\)
\(\frac{16}{QR} = \frac{8}{15} \implies QR = \frac{16 \times 15}{8} = 30\) मी.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \(PR\):
\(PR^2 = PQ^2 + QR^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156\)
\(PR = \sqrt{1156} = 34\) मी.
In simple words: पहले आधार \(QR\) निकाला गया, फिर पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \(PR\) ज्ञात किया गया।

Exam Tip: \(8:15:17\) त्रिक (triplet) का उपयोग करके सीधे \(17 \times 2 = 34\) प्राप्त किया जा सकता है।

Question 13. एक टावर की ऊँचाई 50 मी. है। जब उन्नयन कोण का मान \(45^\circ\) से \(30^\circ\) हो जाता हैं तो टावर की छाया की लम्बाई \(x\) मी अधिक हो जाती है \(x\) का मान है-
(a) 50 मी.
(b) \(50(\sqrt{3} - 1)\) मी.
(c) \(50\sqrt{3}\) मी.
(d) \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) मी.
Answer: (b) \(50(\sqrt{3} - 1)\) मी.
टावर की ऊँचाई \(AB = 50\) मी.
जब कोण \(45^\circ\) है, आधार \(y = \frac{50}{\tan 45^\circ} = 50\) मी.
जब कोण \(30^\circ\) है, कुल आधार \(y + x = \frac{50}{\tan 30^\circ} = 50\sqrt{3}\) मी.
\(50 + x = 50\sqrt{3}\)
\(x = 50\sqrt{3} - 50 = 50(\sqrt{3} - 1)\) मी.
In simple words: दोनों कोणों के लिए अलग-अलग आधार निकालकर बड़े आधार में से छोटा आधार घटाया गया है।

Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में \(h(\cot\theta_1 - \cot\theta_2)\) या सीधे \(h(\sqrt{3}-1)\) का सूत्र बनता है।

Question 14. किसी मीनार के पाद से 9 मी. और 16 मी. दूर स्थित भूमि पर किन्हीं दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक दूसरे के पूरक पाए जाते हैं। मीनार की ऊँचाई है-
(a) 18 मी.
(b) 16 मी.
(c) 10 मी.
(d) 12 मी.
Answer: (d) 12 मी.
दूरियाँ \(a = 9\) मी. तथा \(b = 16\) मी.
पूरक कोणों के लिए मीनार की ऊँचाई का सूत्र होता है:
\(h = \sqrt{a \times b}\)
\(h = \sqrt{9 \times 16} = \sqrt{144} = 12\) मी.
In simple words: जब उन्नयन कोण पूरक हों, तो ऊँचाई दोनों दूरियों के गुणनफल का वर्गमूल होती है।

Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण मानक परिणाम है: \(h = \sqrt{xy}\)।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Question 15. 5 मी. ऊँचा एक खम्भा एक टावर के शिखर के पर लगा है। धरती के एक बिन्दु A से खम्به के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है तथा टावर के शिखर से बिन्दु A का अवनमन कोण \(45^\circ\) है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (\(\sqrt{3} = 1.732\))
Answer:
माना टावर की ऊँचाई = \(h\) मी.
खम्बे की ऊँचाई = 5 मी.
बिन्दु A से टावर के शिखर का अवनमन कोण \(45^\circ\) है, अतः टावर के शीर्ष पर उन्नयन कोण भी \(45^\circ\) होगा।
माना टावर के पाد से बिन्दु A की दूरी = \(x\) मी.
समकोण त्रिभुज (टावर के शीर्ष तक) में:
\(\tan 45^\circ = \frac{h}{x} \implies 1 = \frac{h}{x} \implies x = h\)
अब पूरे खम्बे सहित टावर के शीर्ष के लिए:
\(\tan 60^\circ = \frac{h + 5}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{h + 5}{h} \quad (\क्योंकि x = h)\)
\(h\sqrt{3} = h + 5\)
\(h(\sqrt{3} - 1) = 5\)
\(h = \frac{5}{\sqrt{3} - 1} = \frac{5(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{5(1.732 + 1)}{2} = \frac{5 \times 2.732}{2} = 5 \times 1.366 = 6.83\) मी.
In simple words: दो अलग-अलग समकोण त्रिभुजों का उपयोग करके समीकरण बनाया गया और हल किया गया।

Exam Tip: हर का परिमेयकरण (Rationalization) सावधानी से करें।

Question 16. भूमि पर स्थित एक बिन्दु से 30 मीटर ऊँची मीनार के ऊपर रखे पानी के टैंक के तल तथा शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः \(45^\circ\) तथा \(60^\circ\) है। पानी के टैंक की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
मीनार की ऊँचाई \(AB = 30\) मी.
माना पानी के टैंक की ऊँचाई \(BC = h\) मी.
मीनार के पाद से बिन्दु की दूरी = \(x\) मी.
टैंक के तल (बिन्दु B) का उन्नयन कोण = \(45^\circ\):
\(\tan 45^\circ = \frac{AB}{x} \implies 1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) मी.
टैंक के शीर्ष (बिन्दु C) का उन्नयन कोण = \(60^\circ\):
\(\tan 60^\circ = \frac{AB + BC}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30 + h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30 + h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3} - 1)\) मी.
In simple words: पहले मीनार की ऊँचाई से आधार निकाला गया, फिर पूरे टैंक सहित ऊँचाई लेकर टैंक की ऊँचाई ज्ञात की गई।

Exam Tip: उभयनिष्ठ आधार \(x\) को दोनों त्रिभुजों में काम में लें।

Question 17. एक समतल भूमि पर स्थित टावर की छाया की लम्बाई 60 मी. कम हो जाता है जब सूर्य का उन्नतांश \(30^\circ\) से बदलकर \(60^\circ\) हो जाता है, टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना टावर की ऊँचाई = \(h\) मी.
जब कोण \(30^\circ\) है, छाया की लम्बाई = \(y + 60\)
जब कोण \(60^\circ\) है, छाया की लम्बाई = \(y\)
\(\tan 60^\circ = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\sqrt{3}}\)
\(\tan 30^\circ = \frac{h}{y + 60} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 60}\)
\(\frac{h}{\sqrt{3}} + 60 = h\sqrt{3}\)
\(60 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left(\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}\)
\(2h = 60\sqrt{3} \implies h = 30\sqrt{3}\) मी.
In simple words: छाया घटने वाले प्रश्नों में समीकरण बनाकर ऊँचाई \(h\) हल की जाती है।

Exam Tip: \(h = \frac{d}{\cot\theta_1 - \cot\theta_2}\) सूत्र का प्रत्यक्ष प्रयोग भी कर सकते हैं।

Question 18. एक झील से \(h\) मी. ऊँचाई पर स्थित एक बिन्दु से एक बादल का उन्नयन कोण \(\alpha\) है और बादल से उस बिन्दु की प्रतिबिंब का अवनमन कोण \(\beta\) है। सिद्ध कीजिए कि बादल की प्रेक्षक से दूरी \(\frac{2h \sec\alpha}{\tan\beta - \tan\alpha\) है।
Answer:
मान लीजिए झील के जल स्तर से बिन्दु की ऊँचाई \(h\) है।
झील के तल से बादल की कुल ऊँचाई = \(H\)
बिन्दु से बादल की ऊँचाई = \(H - h\)
झील में बादल के प्रतिबिंब की जल स्तर से गहराई = \(H\)
अतः जल स्तर से प्रतिबिंब की कुल दूरी नीचे की ओर = \(H + h\)
माना बिन्दु से बादल की क्षैतिज दूरी = \(x\)
\(\tan\alpha = \frac{H - h}{x} \implies x = \frac{H - h}{\tan\alpha}\) -- (1)
अवनमन कोण \(\beta\) से (प्रतिबिंब के लिए):
\(\tan\beta = \frac{H + h}{x} \implies x = \frac{H + h}{\tan\beta}\) -- (2)
समीकरण (1) और (2) से:
\(\frac{H - h}{\tan\alpha} = \frac{H + h}{\tan\beta}\)
\((H - h)\tan\beta = (H + h)\tan\alpha\)
\(H(\tan\beta - \tan\alpha) = h(\tan\beta + \tan\alpha)\)
\(H = \frac{h(\tan\beta + \tan\alpha)}{\tan\beta - \tan\alpha}\)
अब बादल से प्रेक्षक की सीधी दूरी (कर्ण) \(d = \frac{x}{\cos\alpha} = x \sec\alpha\)
मान रखने पर अभीष्ट दूरी \(= \frac{2h \sec\alpha}{\tan\beta - \tan\alpha}\) सिद्ध होती है।
In simple words: झील वाले प्रश्नों में बादल की ऊँचाई और उसका पानी में प्रतिबिंब समान दूरी पर होते हैं, इस तथ्य का उपयोग किया जाता है।

Exam Tip: प्रतिबिंब की कुल दूरी \(H + h\) होती है, इसे अच्छे से समझें।

Question 19. भूमि पर स्थित एक बिन्दु से एक चिड़िया का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है तथा 50 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात् उन्नयन कोण बदलकर \(30^\circ\) हो जाता है। यदि चिड़िया \(500\sqrt{3}\) मी की नियत ऊँचाई पर उड़ रही हो तो चिड़िया की गति ज्ञात कीजिए।
Answer:
चिड़िया की ऊँचाई \(h = 500\sqrt{3}\) मी. (नियत)
प्रारंभिक स्थिति में क्षैतिज दूरी \(x_1\):
\(\tan 60^\circ = \frac{500\sqrt{3}}{x_1} \implies \sqrt{3} = \frac{500\sqrt{3}}{x_1} \implies x_1 = 500\) मी.
50 सेकण्ड पश्चात क्षैतिज दूरी \(x_2\):
\(\tan 30^\circ = \frac{500\sqrt{3}}{x_2} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{500\sqrt{3}}{x_2} \implies x_2 = 500\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 1500\) मी.
चिड़िया द्वारा तय की गई दूरी \(d = x_2 - x_1 = 1500 - 500 = 1000\) मी.
समय \(t = 50\) सेकण्ड
गति = \(\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{1000}{50} = 20\) मी./सेकण्ड।
In simple words: दोनों स्थितियों में क्षैतिज दूरियाँ निकालकर उनके अंतर से तय की गई दूरी निकाली गई, फिर चाल का सूत्र लगाया गया।

Exam Tip: चाल ज्ञात करने के लिए दूरी को समय से भाग दें।

Question 20. भूमि पर स्थित एक बिन्दु A से जेट विमान का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात उन्नयन कोण बदलकर \(30^\circ\) हो जाता है। यदि जेट 720 किमी./घंटा की चाल से उड़ रहा हो तो जेट विमान के उड़ने की नियत ऊँचाई ज्ञात कीजिए (\(\sqrt{3} = 1.732\))
Answer:
जेट की चाल = \(720 \text{ किमी./घंटा} = 720 \times \frac{5}{18} = 200\) मी./सेकण्ड।
समय \(t = 15\) सेकण्ड
15 सेकण्ड में तय की गई दूरी \(d = \text{चाल} \times \text{समय} = 200 \times 15 = 3000\) मी.
माना जेट की नियत ऊँचाई = \(h\) मी.
प्रारंभिक स्थिति में आधार \(x_1 = \frac{h}{\tan 60^\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}\)
बाद की स्थिति में कुल आधार \(x_2 = \frac{h}{\tan 30^\circ} = h\sqrt{3}\)
तय की गई दूरी \(d = x_2 - x_1\):
\(h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = 3000\)
\(h \left(\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right) = 3000\)
\(\frac{2h}{\sqrt{3}} = 3000 \implies 2h = 3000\sqrt{3} \implies h = 1500\sqrt{3}\)
\(h = 1500 \times 1.732 = 2598\) मी.
In simple words: पहले चाल को मी./से. में बदलकर कुल दूरी निकाली गई, फिर त्रिकोणमिति समीकरण से ऊँचाई \(h\) ज्ञात की गई।

Exam Tip: किमी./घंटा को मी./सेकण्ड में बदलने के लिए \(\frac{5}{18}\) से गुणा करें।

Question 21. गली में स्थित, भूमि से 20 मीटर की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की से गली की दूसरी ओर स्थित एक मकान के शीर्ष तथा आधार के उन्नयन तथा अवनमन कोण क्रमशः \(60^\circ\) और \(45^\circ\) हैं। मकान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
खिड़की की ऊँचाई (सड़क से) = 20 मी.
अतः गली की चौड़ाई (आधार \(x\)) निकालने के लिए अवनमन कोण \(45^\circ\) का प्रयोग करें:
\(\tan 45^\circ = \frac{20}{x} \implies x = 20\) मी.
मकान का खिड़की से ऊपर का भाग \(h_1\):
\(\tan 60^\circ = \frac{h_1}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h_1}{20} \implies h_1 = 20\sqrt{3}\) मी.
मकान की कुल ऊँचाई = \(20 + h_1 = 20 + 20\sqrt{3} = 20(\sqrt{3} + 1)\) मी.
In simple words: खिड़की के नीचे की दूरी से चौड़ाई निकाली गई और ऊपर के भाग की ऊँचाई जोड़कर कुल ऊँचाई प्राप्त की गई।

Exam Tip: अवनमन कोण से सड़क की चौड़ाई सीधी ज्ञात हो जाती है जब खिड़की की ऊँचाई दी हो।

Question 22. एक हवाई जहाज 1800 मीटर की ऊँचाई पर उड़ते हुए नदी के विपरीत किनारों पर स्थित दो बिन्दुओं के अवनमन कोण \(60^\circ\) तथा \(45^\circ\) देखता है, नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
जहाज की ऊँचाई \(h = 1800\) मी.
माना नदी के दोनों किनारों की जहाज के पाद-बिन्दु से दूरियाँ \(x_1\) और \(x_2\) हैं।
\(\tan 45^\circ = \frac{1800}{x_1} \implies x_1 = 1800\) मी.
\(\tan 60^\circ = \frac{1800}{x_2} \implies \sqrt{3} = \frac{1800}{x_2} \implies x_2 = \frac{1800}{\sqrt{3}} = 600\sqrt{3}\) मी.
नदी की कुल चौड़ाई = \(x_1 + x_2 = 1800 + 600\sqrt{3} = 600(3 + \sqrt{3})\) मी.
In simple words: जहाज के दोनों तरफ के भागों की अलग-अलग दूरियाँ निकालकर उन्हें जोड़ा गया है।

Exam Tip: विपरीत किनारों के लिए दोनों दूरियों को आपस में जोड़ा जाता है।

Question 23. समतल भूमि पर एक टावर के एक ही ओर स्थित दो बिन्दुओं A और B जो एक दूसरे से 15 मीटर दूर हैं, से टावर के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः \(30^\circ\) और \(60^\circ\) हैं। टावर की ऊँचाई तथा टावर के आधार से बिन्दु B की दूरी ज्ञात कीजिए (\(\sqrt{3} = 1.732\))
Answer:
माना टावर की ऊँचाई = \(h\) मी.
बिन्दु B की टावर से दूरी = \(x\) मी.
बिन्दु A की टावर से दूरी = \(x + 15\) मी.
\(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3}\) -- (1)
\(\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 15} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 15} \implies x + 15 = h\sqrt{3}\) -- (2)
समीकरण (1) से \(h\) का मान (2) में रखने पर:
\(x + 15 = (x\sqrt{3})\sqrt{3}\)
\(x + 15 = 3x\)
\(2x = 15 \implies x = 7.5\) मी. (बिन्दु B की दूरी)
अब ऊँचाई \(h = 7.5\sqrt{3} = 7.5 \times 1.732 = 12.99\) मी. (लगभग 12.97 मी.)
In simple words: दो समीकरणों को हल करके आधार \(x\) और ऊँचाई \(h\) निकाली गई है।

Exam Tip: पास वाले बिन्दु का कोण बड़ा (\(60^\circ\)) और दूर वाले का छोटा (\(30^\circ\)) होता है।

Question 24. भूमि पर स्थित एक बिन्दु P से 10 मीटर ऊँची मानार के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है। मीनार के शिखर पर एक ध્વजदण्ड लगा है तथा बिन्दु P से ध્વजदण्ड के शीर्ष का उन्नयन कोण \(45^\circ\) है। ध્વजदण्ड की लम्बाई तथा मीनार के आधार से बिन्दु P की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
मीनार की ऊँचाई \(AB = 10\) मी.
माना ध્વजदण्ड की लम्बाई \(BC = h\) मी.
बिन्दु P की मीनार से दूरी = \(x\) मी.
मीनार के शिखर (B) के लिए बिन्दु P से:
\(\tan 30^\circ = \frac{AB}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x} \implies x = 10\sqrt{3}\) मी. (दूरी)
ध્વजदण्ड के शीर्ष (C) के लिए बिन्दु P से:
\(\tan 45^\circ = \frac{AB + BC}{x} \implies 1 = \frac{10 + h}{10\sqrt{3}}\)
\(10 + h = 10\sqrt{3}\)
\(h = 10\sqrt{3} - 10 = 10(\sqrt{3} - 1)\) मी. (ध્વजदण्ड की लम्बाई)
In simple words: पहले आधार \(x\) निकाला गया, फिर पूरे भाग की ऊँचाई लेकर ध્વजदण्ड की लम्बाई ज्ञात की गई।

Exam Tip: कॉमन आधार \(x\) को दूसरे त्रिभुज में रखकर आसानी से उत्तर प्राप्त करें।

Question 25. एक झील के तल से 12 मीटर ऊँवर स्थित एक बिन्दु से चिड़िया का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है तथा झील में चिड़िया के प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण \(60^\circ\) है। निरीक्षण बिन्दु से चिड़िया की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
झील के तल से बिन्दु की ऊँचाई = 12 मी.
माना बिन्दु से चिड़िया की ऊर्ध्वाधर दूरी = \(y\) मी.
अतः झील के जल स्तर से चिड़िया की कुल ऊँचाई = \(y + 12\)
प्रतिबिम्ब की जल स्तर से गहराई = \(y + 12\)
निरीक्षण बिन्दु से प्रतिबिम्ब की कुल ऊर्ध्वाधर दूरी = \((y + 12) + 12 = y + 24\)
माना क्षैतिज दूरी = \(x\)
चिड़िया के लिए: \(\tan 30^\circ = \frac{y}{x} \implies x = \frac{y}{\tan 30^\circ} = y\sqrt{3}\)
प्रतिबिम्ब के लिए: \(\tan 60^\circ = \frac{y + 24}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{y + 24}{y\sqrt{3}}\)
\(3y = y + 24 \implies 2y = 24 \implies y = 12\) मी.
अतः क्षैतिज दूरी \(x = 12\sqrt{3}\) मी.
निरीक्षण बिन्दु से चिड़िया की सीधी दूरी (कर्ण) = \(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(12\sqrt{3})^2 + 12^2} = \sqrt{432 + 144} = \sqrt{576} = 24\) मी.
(नोट: यदि सीधी दूरी पूछी गई है तो 24 मी., और यदि छाया/क्षैतिज दूरी है तो \(24\sqrt{3}\) मी.)
In simple words: झील के पानी में प्रतिबिम्ब की अवधारणा का उपयोग करके ऊँचाई \(y\) निकाली गई है।

Exam Tip: प्रतिबिम्ब की कुल दूरी मापते समय झील के तल की ऊँचाई को दो बार जोड़ना पड़ता है।

Question 26. सूर्य की नमनता \(45^\circ\) से \(30^\circ\) बदल जाने से एक ऊर्ध्वाधर टावर की क्षैतिज पर पड़ रही छाया 10 मी. और बढ़ जाती है। टावर की ऊँचाई (एक दशमलव स्थान तक) ज्ञात कीजिए (\(\sqrt{3} = 1.73\))
Answer:
माना टावर की ऊँचाई = \(h\) मी.
\(\tan 45^\circ = \frac{h}{y} \implies y = h\)
\(\tan 30^\circ = \frac{h}{y + 10} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 10}\)
\(h + 10 = h\sqrt{3}\)
\(h(\sqrt{3} - 1) = 10\)
\(h = \frac{10}{\sqrt{3} - 1} = \frac{10(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = 5(\sqrt{3} + 1) = 5(1.73 + 1) = 5 \times 2.73 = 13.65\) मी. \(\approx 13.6\) मी.
In simple words: छाया बढ़ने वाले मानक सूत्र से \(h\) का मान निकालकर दशमलव में बदला गया है।

Exam Tip: दशमलव के एक स्थान तक मान निकालने के लिए \(13.65\) को \(13.6\) लिखा गया है।

Question 27. एक मीनार पर खड़ा व्यक्ति एक नाव, जो किनारे पर स्थित एक बिन्दु A की ओर समान गति से आ रही है, का अवनमन कोण \(30^\circ\) देखता है। 12 मिनट पश्चात नाव का अवनमन कोण \(60^\circ\) हो जाता है। नाव द्वारा किनारे पर पहुँचने में लगा समय ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना मीनार की ऊँचाई = \(h\) मी. तथा नाव की चाल = \(v\) मी./मिनट।
12 मिनट में नाव द्वारा तय की गई दूरी = \(12v\)
\(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}}\) (जहाँ \(x\) बचे हुए स्थान की दूरी है)
\(\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 12v} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 12v}\)
\(\frac{h}{\sqrt{3}} + 12v = h\sqrt{3}\)
\(12v = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}\)
शेष दूरी \(x = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} (12v) = 6v\)
शेष दूरी को तय करने में लगा समय = \(\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{6v}{v} = 6\) मिनट।
कुल समय = \(12 + 6 = 18\) मिनट।
In simple words: दूरियों के अनुपात से यह स्पष्ट होता है कि शेष आधी दूरी तय करने में आधा समय (6 मिनट) लगेगा।

Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में दूरी आधी होने पर समय भी आधा हो जाता है।

Question 28. एक व्यक्ति जहाज के डैक पर खड़ा है जो समुद्र तल से 18 मीटर ऊपर है, वहाँ से एक मीनार के शिखर तथा आधार के उन्नयन तथा अवनमन कोण क्रमशः \(60^\circ\) तथा \(30^\circ\) हैं। जहाज से मीनार की दूरी तथा मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
डेक की ऊँचाई = 18 मी.
अवनमन कोण \(30^\circ\) से जहाज और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी \(x\):
\(\tan 30^\circ = \frac{18}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18}{x} \implies x = 18\sqrt{3}\) मी. (जहाज से दूरी)
मीनार की कुल ऊँचाई \(H = 18 + h\), जहाँ \(h\) डेक से ऊपर मीनार की ऊँचाई है:
\(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{18\sqrt{3}} \implies h = 18\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 54\) मी.
मीनार की कुल ऊँचाई \(H = 18 + 54 = 72\) मी.
In simple words: पहले अवनमन कोण से क्षैतिज दूरी निकाली गई, फिर उस दूरी का उपयोग करके मीनार की कुल ऊँचाई ज्ञात की गई।

Exam Tip: डेक की ऊँचाई मीनार के निचले हिस्से की सीध के बराबर होती है।

Question 29. एक व्यक्ति नदी के किनारे खड़ा होकर दूसरे किनारे पर स्थित एक पेड़ के शीर्ष का उन्नयन \(60^\circ\) है। जब वह किनारे से 40 मीटर दूर चला जाता है तो पेड़ के शीर्ष का उन्नयन \(30^\circ\) हो जाता है। पेड़ की ऊँचाई तथा नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना पेड़ की ऊँचाई = \(h\) मी. तथा नदी की चौड़ाई = \(y\) मी.
\(\tan 60^\circ = \frac{h}{y} \implies h = y\sqrt{3}\) -- (1)
\(\tan 30^\circ = \frac{h}{y + 40} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{y + 40} \implies y + 40 = h\sqrt{3}\) -- (2)
समीकरण (1) से मान (2) में रखने पर:
\(y + 40 = (y\sqrt{3})\sqrt{3} = 3y\)
\(2y = 40 \implies y = 20\) मी. (नदी की चौड़ाई)
ऊँचाई \(h = 20\sqrt{3} = 20 \times 1.732 = 34.64\) मी.
In simple words: समीकरण बनाकर नदी की चौड़ाई और पेड़ की ऊँचाई दोनों एक साथ ज्ञात की गई हैं।

Exam Tip: मानक विधियों से \(y = \frac{d}{\frac{\tan\theta_2}{\tan\theta_1} - 1}\) का प्रयोग कर सकते हैं।

Question 30. एक हवाई जहाज जब 3000 मीटर ऊँचाई पर होता है एक दूसरे जहाज के ऊपर से गुजरता है, इसी क्षण भूमि पर स्थित किसी बिन्दु से दोनों जहाजों के उन्नयन कोण क्रमशः \(60^\circ\) और \(45^\circ\) हैं। दोनों जहाजों के बीच की उर्ध्वाधर दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले जहाज की ऊँचाई \(H_1 = 3000\) मी.
माना दूसरे जहाज की ऊँचाई \(H_2\) है (जो नीचे है)।
बिन्दु से क्षैतिज दूरी \(x\):
ऊपर वाले जहाज के लिए (\(60^\circ\)):
\(\tan 60^\circ = \frac{3000}{x} \implies x = \frac{3000}{\sqrt{3}} = 1000\sqrt{3}\) मी.
नीचे वाले जहाज के लिए (\(45^\circ\)), मान लीजिए उसकी ऊँचाई \(H_2\):
\(\tan 45^\circ = \frac{H_2}{x} \implies 1 = \frac{H_2}{1000\sqrt{3}} \implies H_2 = 1000\sqrt{3}\) मी.
दोनों जहाजों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी = \(3000 - H_2 = 3000 - 1000\sqrt{3} = 1000(3 - \sqrt{3})\) मी.
In simple words: दोनों जहाजों के आधार की समान दूरी निकालकर नीचे वाले जहाज की ऊँचाई निकाली गई, फिर दोनों का अंतर ज्ञात किया गया।

Exam Tip: बड़े कोण वाला जहाज हमेशा ऊपर होता है।

Question 31. एक टावर के शिखर से एक 10 मीटर ऊँचे मीनार के शिखर तथा आधार के अवनमन कोण क्रमशः \(30^\circ\) और \(45^\circ\) हैं। टावर की ऊँचाई तथा टावर और मीनार के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना टावर की ऊँचाई = \(H\) मी. तथा मीनार की ऊँचाई = 10 मी.
दोनों के बीच की दूरी = \(x\) मी.
मीनार के आधार के लिए अवनमन कोण \(45^\circ\):
\(\tan 45^\circ = \frac{H}{x} \implies 1 = \frac{H}{x} \implies x = H\)
मीनार के शिखर के लिए अवनमन कोण \(30^\circ\) (ऊँचाई का अंतर \(H - 10\)):
\(\tan 30^\circ = \frac{H - 10}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H - 10}{H} \quad (\क्योंकि x = H)\)
\(H = \sqrt{3}(H - 10) = H\sqrt{3} - 10\sqrt{3}\)
\(H(\sqrt{3} - 1) = 10\sqrt{3}\)
\(H = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 5\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 5(3 + \sqrt{3})\) मी.
अतः ऊँचाई और दूरी दोनों \(5(3 + \sqrt{3})\) मी. होंगी।
In simple words: अवनमन कोणों का उपयोग करके टावर की ऊँचाई और दूरी दोनों समान प्राप्त होती हैं।

Exam Tip: \(\tan 45^\circ\) से यह सिद्ध होता है कि टावर की ऊँचाई और दोनों के बीच की दूरी आपस में बराबर हैं।

Question 32. एक व्यक्ति एक क्षैतिज तल पर खड़ा है, एक चिड़िया जो उससे 100 मीटर की दूरी पर उड़ रही है, का उन्नयन \(30^\circ\) पाता है। एक लड़की 20 मीटर ऊँची मीनार की छत पर खड़ी हैं, उसी चिड़िया का उन्नयन कोण \(45^\circ\) पाती है। वे दोनों चिड़िया के विपरीत दिशा में हैं। चिड़िया की लड़की से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
व्यक्ति से चिड़िया की सीधी दूरी = 100 मी., उन्नयन कोण = \(30^\circ\)
व्यक्ति से चिड़िया की क्षैतिज दूरी \(x_1 = 100 \cos 30^\circ = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\) मी.
चिड़िया की ऊँचाई \(y = 100 \sin 30^\circ = 100 \times \frac{1}{2} = 50\) मी.
लड़की की ऊँचाई = 20 मी., अतः लड़की के तल से चिड़िया की प्रभावी ऊँचाई = \(50 - 20 = 30\) मी.
लड़की से चिड़िया का उन्नयन कोण \(45^\circ\) है:
लड़की और चिड़िया के बीच की क्षैतिज दूरी \(x_2 = \frac{30}{\tan 45^\circ} = 30\) मी.
लड़की से चिड़िया की सीधी दूरी (कर्ण) = \(\sqrt{x_2^2 + 30^2} = \sqrt{30^2 + 30^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}\) मी. (या संदर्भानुसार 30 मी.)
In simple words: त्रिकोणमिति अनुपातों से व्यक्ति और लड़की के सापेक्ष दूरियाँ अलग-अलग निकाली गई हैं।

Exam Tip: \(\sin\) और \(\cos\) का प्रयोग करके सीधे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दूरियाँ निकालें।

Question 33. एक पानी के जहाज के डैक पर (जो जल स्तर से 10 मी. ऊँचाई है। एक व्यक्ति खड़ा है। वह पास के एक पहाड़ के शीर्ष का उन्नयन कोण \(60^\circ\) व पहाड़ के पाद तल का अवनमन कोण \(30^\circ\) मापते है। जहाज की पहाड़ से दूरी और पहाड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
डेक की ऊँचाई = 10 मी.
अवनमन कोण \(30^\circ\) से जहाज और पहाड़ के बीच की दूरी \(x\):
\(\tan 30^\circ = \frac{10}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x} \implies x = 10\sqrt{3}\) मी. (जहाज से दूरी)
पहाड़ के शीर्ष का उन्नयन कोण \(60^\circ\):
माना डेक से ऊपर पहाड़ की ऊँचाई = \(h\)
\(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{10\sqrt{3}} \implies h = 10\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 30\) मी.
पहाड़ की कुल ऊँचाई = \(10 + 30 = 40\) मी.
In simple words: अवनमन कोण से दूरी निकाली गई, फिर उस दूरी का उपयोग करके पहाड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात की गई।

Exam Tip: कुल ऊँचाई में डेक की ऊँचाई (10 मी.) जोड़ना आवश्यक है।

Question 34. समतल भूमि पर स्थित दो बिन्दुओं P और Q जो एक मीनार के एक ही ओर स्थित हैं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः \(36^\circ\) तथा \(54^\circ\) हैं। यदि P और Q की मीनार के आधार से दूरी क्रमशः 10 मीटर और 20 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (\(\sqrt{2} = 1.414\))
Answer:
माना मीनार की ऊँचाई = \(h\) मी.
बिन्दु P की दूरी = 10 मी., कोण = \(36^\circ\)
बिन्दु Q की दूरी = 20 मी., कोण = \(54^\circ\) (ध्यान दें: पास वाले बिन्दु का कोण बड़ा होता है, यहाँ मान लीजिए \(54^\circ\) और \(36^\circ\) दिए गए हैं)
पूरक कोणों के मानक नियम या सीधे संबंधों से: \(36^\circ\) और \(54^\circ\) एक दूसरे के पूरक कोण हैं (\(36^\circ + 54^\circ = 90^\circ\))।
अतः मीनार की ऊँचाई \(h = \sqrt{10 \times 20} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\) मी.
\(h = 10 \times 1.414 = 14.14\) मी.
In simple words: चूँकि दोनों कोण पूरक हैं, इसलिए ऊँचाई दोनों दूरियों के गुणनफल का वर्गमूल होगी।

Exam Tip: जब भी दो उन्नयन कोणों का योग \(90^\circ\) हो, तो \(h = \sqrt{ab}\) सूत्र का प्रत्यक्ष प्रयोग करें।