CBSE Class 10 Mathematics Statistics Assignment Set 04

अध्याय 6

सांख्यिकी

महत्त्वपूर्ण बिन्दु

1. वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य निम्नलिखित विधियों से ज्ञात किया जा सकता है :
(i) प्रत्यक्ष विधि \(\overline{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
(ii) कल्पित माध्य विधि \(\overline{X} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\), जहाँ \(d_i = x_i - a\)
(iii) पग विचलन विधि \(\overline{X} = a + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h\), जहाँ \(u_i = \frac{x_i - a}{h}\)

2. वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है :
\(\text{बहुलक} = l + \left[ \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right] \times h\)
\(f_1 =\) बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
\(f_0 =\) बहुलक वर्ग की बारम्बारता
\(f_2 =\) बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारम्बारता
\(h =\) बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता या बहुलक वर्ग की माप

3. वर्गीकृत आँकड़ों की मध्यिका निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है :
\(\text{माध्यक} = l + \left[ \frac{\frac{n}{2} - Cf}{f} \right] \times h\)
\(l =\) माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
\(n =\) प्रेक्षणों की संख्या
\(Cf =\) माध्यक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की संचयी बारम्बारता
\(f =\) माध्यक वर्ग की बारम्बारता
\(h =\) माध्यक वर्ग की माप

4. \(\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यक} - 2 \times \text{माध्य}\)

5. संचयी बारम्बारता वक्र या तोरण, संचयी बारम्बारता का आलेख है :
(क) "कम प्रकार तोरण"
- एक संचयी बारम्बारता सारणी बनाएं
- वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा \(x\)-अक्ष पर अंकित कीजिए
(ख) "अधिक प्रकार तोरण"
- अवरोही क्रम में संचयी बारम्बारता सारणी बनाएं
- वर्ग अंतराल की निम्न सीमा \(x\)-अक्ष पर अंकित कीजिए
(ग) माध्यिका प्राप्त करने हेतु :
- कम प्रकार व अधिक प्रकार के तोरणों का प्रतिच्छेदी बिन्दु निर्धारित कीजिए
- इस बिन्दु से \(x\)-अक्ष पर लम्ब खींचिए
- यह लम्ब \(x\)-अक्ष को जिस बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा, वही माध्यिका का मान होगा।

बहुविकल्पीय प्रश्न

Question 1. प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का माध्य है।
(a) 5
(b) 6
(c) 5.5
(d) 6.5
Answer: (c) 5.5
प्रथम 10 प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 हैं।
इनका योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
माध्य = \(\frac{55}{10} = 5.5\)
In simple words: प्रथम 10 संख्याओं को जोड़कर 10 से भाग देने पर माध्य 5.5 प्राप्त होता है।

Exam Tip: प्रथम \(n\) प्राकृत संख्याओं का माध्य ज्ञात करने का सीधा सूत्र \(\frac{n + 1}{2}\) होता है।

Question 2. यदि 4, 6, 8, 10, \(x\), 14 और 16 का माध्य 10 है, तो \(x\) का मान है।
(a) 11
(b) 12
(c) 13
(d) 9
Answer: (b) 12
पदों का योग = 4 + 6 + 8 + 10 + \(x\) + 14 + 16 = 58 + \(x\)
पदों की संख्या = 7
माध्य = \(\frac{58 + x}{7} = 10\)
58 + \(x\) = 70
\(x\) = 70 - 58 = 12
In simple words: सभी संख्याओं के योग को उनकी कुल संख्या से भाग देकर माध्य के बराबर रखने पर \(x\) का मान 12 मिलता है।

Exam Tip: माध्य वाले प्रश्नों में कुल योग = माध्य \(\times\) कुल पदों की संख्या का उपयोग करें।

Question 3. \(x\), \(x + 1\), \(x + 2\), \(x + 3\), \(x + 4\), \(x + 5\) और \(x + 6\) का माध्य है।
(a) \(x\)
(b) \(x + 3\)
(c) \(x + 4\)
(d) 3
Answer: (b) x + 3
पदों का योग = \(x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) = 7x + 21\)
पदों की संख्या = 7
माध्य = \(\frac{7x + 21}{7} = x + 3\)
In simple words: सभी पदों को जोड़कर 7 से भाग देने पर \(x + 3\) प्राप्त होता है।

Exam Tip: समान अंतराल वाली संख्याओं में ठीक बीच वाली संख्या ही उनका माध्य होती है।

Question 4. 2, 3, 2, 5, 6, 9, 10, 12, 16, 18 और 20 की माध्यिका है।
(a) 9
(b) 20
(c) 10
(d) 9.5
Answer: (c) 10
आँकड़े पहले से आरोही क्रम में हैं। कुल पद (\(n\)) = 11 (विषम)
माध्यिका = \(\left(\frac{11 + 1}{2}\right)\) वाँ पद = छठा पद
छठा पद = 10
In simple words: दिए गए 11 पदों में से ठीक बीच वाला (छठा) पद 10 है।

Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करने से पहले आँकड़ों को हमेशा आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

Question 5. 2, 3, 6, 0, 1, 4, 8, 2, 5 की माध्यिका है।
(a) 1
(b) 3
(c) 4
(d) 92
Answer: (b) 3
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8
कुल पद (\(n\)) = 9 (विषम)
माध्यिका = \(\left(\frac{9 + 1}{2}\right)\) वाँ पद = पाँचवाँ पद
पाँचवाँ पद = 3
In simple words: संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में सजाने पर बीच की संख्या 3 है।

Exam Tip: विषम पदों की संख्या होने पर \(\frac{n + 1}{2}\) वाँ पद ही माध्यिका होता है।

Question 6. 1, 0, 2, 2, 3, 1, 4, 5, 1, 0 का बहुलक है।
(a) 5
(b) 0
(c) 1
(d) 2
Answer: (c) 1
विभिन्न संख्याओं की बारम्बारता:
0 की बारम्बारता = 2
1 की बारम्बारता = 3
2 की बारम्बारता = 2
3 की बारम्बारता = 1
4 की बारम्बारता = 1
5 की बारम्बारता = 1
चूँकि संख्या 1 सबसे अधिक 3 बार आई है, इसलिए बहुलक 1 है।
In simple words: जो संख्या सबसे अधिक बार (3 बार) आती है, वही बहुलक है।

Exam Tip: बहुलक वह प्रेक्षण है जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है।

Question 7. यदि 2, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 5, 5, 2 और \(x\) का बहुलक 2 है, तो \(x\) का मान है।
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
Answer: (a) 2
दी गई संख्याओं में 2 कुल 3 बार आया है और 5 भी 3 बार आया है। यदि बहुलक 2 होना है, तो संख्या 2 की बारम्बारता अन्य सभी से अधिक होनी चाहिए, अतः \(x\) का मान 2 होना चाहिए ताकि 2 कुल 4 बार आ जाए।
In simple words: बहुलक 2 होने के लिए 2 को सबसे अधिक बार आना होगा, इसलिए \(x = 2\)।

Exam Tip: बहुलक वही मान होता है जो दिए गए डेटा में अधिकतम बार दोहराया गया हो।

Question 8. निम्नलिखित बंटन का बहुलक वर्ग है।

(a) 30-35
(b) 20-25
(c) 25-30
(d) 15-20
Answer: (b) 20-25
अधिकतम बारम्बारता 12 है, जो वर्ग अंतराल 20-25 के अंतर्गत आती है।
In simple words: सबसे बड़ी बारम्बारता (12) वाला वर्ग अंतराल 20-25 है।

Exam Tip: बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है।

Question 9. एक कक्षा में अध्यापक, विद्यार्थियों से, गणित में अंकों का औसत पूछता है, विद्यार्थी ज्ञात करेंगे।
(a) माध्य
(b) माध्यिका
(c) बहुलक
(d) योगफल
Answer: (a) माध्य
औसत का तात्पर्य दिए गए प्रेक्षणों के माध्य से होता है।
In simple words: गणितीय औसत को ही सांख्यिकी में माध्य कहा जाता है।

Exam Tip: 'औसत' और 'माध्य' दोनों एक ही गणितीय अवधारणा को दर्शाते हैं।

Question 10. केन्द्रीय प्रवृत्ति की तीनों मापों में सम्बन्ध है।
(a) \(3 \text{ माध्य} = \text{बहुलक} + 2 \text{ माध्यिका}\)
(b) \(3 \text{ माध्यिका} = \text{बहुलक} + 2 \text{ माध्य}\)
(c) \(3 \text{ बहुलक} = \text{माध्य} + 2 \text{ माध्यिका}\)
(d) \(\text{माध्यिका} = 3 \text{ बहुलक} - 2 \text{ माध्य}\)
Answer: (b) 3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य
अनुभवजन्य संबंध के अनुसार: \(\text{बहुलक} = 3 \text{ माध्यिका} - 2 \text{ माध्य}\), जिसे पक्षांतर करने पर \(3 \text{ माध्यिका} = \text{बहुलक} + 2 \text{ माध्य}\) प्राप्त होता है।
In simple words: बहुलक, माध्य और माध्यिका के बीच का मुख्य सूत्र \(3 \text{ माध्यिका} = \text{बहुलक} + 2 \text{ माध्य}\) है।

Exam Tip: इस empirical relation को अच्छी तरह याद रखें, इस पर आधारित प्रश्न बोर्ड परीक्षा में अक्सर आते हैं।

Question 11. वर्ग 19.5 - 29.5 का वर्ग चिह्न है।
(a) 10
(b) 49
(c) 24.5
(d) 25
Answer: (c) 24.5
वर्ग चिह्न = \(\frac{\text{ऊपरी सीमा} + \text{निम्न सीमा}}{2} = \frac{29.5 + 19.5}{2} = \frac{49}{2} = 24.5\)
In simple words: वर्ग अंतराल की ऊपरी और निचली सीमा को जोड़कर आधा करने पर 24.5 आता है।

Exam Tip: वर्ग चिह्न (Midpoint) निकालने के लिए हमेशा (ऊपरी सीमा + निचली सीमा) / 2 का प्रयोग करें।

Question 12. 'से कम प्रकार' तथा 'से अधिक प्रकार' के तोरण के प्रतिच्छेद बिन्दु का भुज केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप दर्शाता है।
(a) माध्य
(b) माध्यिका
(c) बहुलक
(d) इनमें से कोई नहीं।
Answer: (b) माध्यिका
तोरणों के प्रतिच्छेद बिन्दु का \(x\)-निर्देशांक (भुज) दिए गए आँकड़ों की माध्यिका को निरूपित करता है।
In simple words: दोनों तोरण जहाँ एक-दूसरे को काटते हैं, उसका \(x\)-अक्ष पर मान माध्यिका बताता है।

Exam Bip: ग्राफ़ विधि से माध्यिका निकालने के लिए 'कम प्रकार' और 'अधिक प्रकार' के तोरण खींचे जाते हैं।

Question 13. निम्नलिखित बंटन का मध्यिका वर्ग है।

(a) 20-30
(b) 40-50
(c) 30-40
(d) 50-60
Answer: (c) 30-40
कुल बारम्बारता \(N\) = 4 + 4 + 8 + 10 + 12 + 8 + 4 = 50
\(\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
संचयी बारम्बारता सारणी:
0-10: 4
10-20: 8
20-30: 16
30-40: 16 + 10 = 26
25 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 26 है, जिसके संगत वर्ग अंतराल 30-40 है।
In simple words: \(N/2\) (यानि 25) से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता वाला वर्ग 30-40 है।

Exam Tip: माध्यक वर्ग निकालने के लिए सबसे पहले कुल बारम्बारता का आधा (\(N/2\)) ज्ञात करें।

Question 14. 20 संख्याओं का माध्य 17 है, यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाये तो नया माध्य है।
(a) 20
(b) 21
(c) 22
(d) 24
Answer: (a) 20
यदि प्रत्येक प्रेक्षण में \(k\) जोड़ा जाता है, तो नया माध्य भी \(k\) बढ़ जाता है।
नया माध्य = 17 + 3 = 20
In simple words: सभी संख्याओं में 3 जोड़ने पर माध्य भी सीधे 3 बढ़ जाता है।

Exam Tip: प्रत्येक प्रेक्षण में कुछ जोड़ने, घटाने, गुणा या भाग करने पर माध्य में भी वही परिवर्तन होता है।

Question 15. 5 संख्याओं का माध्य 18 है। यदि एक संख्या निकाल दी जाये, तो माध्य 16 हो जाता है। तो निकाली गयी संख्या है।
(a) 23
(b) 24
(c) 25
(d) 26
Answer: (d) 26
5 संख्याओं का योग = 5 \(\times\) 18 = 90
1 संख्या निकालने पर शेष 4 संख्याओं का योग = 4 \(\times\) 16 = 64
निकाली गई संख्या = 90 - 64 = 26
In simple words: 5 संख्याओं के कुल योग में से 4 संख्याओं का कुल योग घटाने पर निकाली गई संख्या 26 मिलती है।

Exam Tip: योग = (माध्य \(\times\) संख्या) के नियम से ऐसे प्रश्नों को आसानी से हल किया जा सकता है।

Question 16. प्रथम 5 अभाज्य संख्याओं का माध्य है।
(a) 5.5
(b) 5.6
(c) 5.7
(d) 5
Answer: (b) 5.6
प्रथम 5 अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।
योग = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
माध्य = \(\frac{28}{5} = 5.6\)
In simple words: पहली पाँच अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7, 11) का योग 28 है, जिसे 5 से भाग देने पर 5.6 आता है।

Exam Tip: 1 अभाज्य संख्या नहीं है; प्रथम अभाज्य संख्या 2 से शुरू होती है।

Question 17. संख्याओं 3, 4, 6, 8, 14 का माध्य से विचलनों का योगफल है।
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
Answer: (a) 0
माध्य (\(\overline{X}\)) = \(\frac{3 + 4 + 6 + 8 + 14}{5} = \frac{35}{5} = 7\)
माध्य से विचलनों का योग = \((3-7) + (4-7) + (6-7) + (8-7) + (14-7)\)
\(= -4 - 3 - 1 + 1 + 7 = -8 + 8 = 0\)
In simple words: किसी भी डेटा के माध्य से उसके सभी विचलनों (deviations) का बीजगणितीय योग हमेशा शून्य होता है।

Exam Tip: यह सांख्यिकी का एक सार्वभौमिक गुण है: \(\sum (x_i - \overline{X}) = 0\)।

Question 18. यदि माध्यिका = 15 और माध्य = 16 तो बहुलक है।
(a) 10
(b) 11
(c) 12
(d) 13
Answer: (d) 13
सूत्र: \(\text{बहुलक} = 3 \text{ माध्यिका} - 2 \text{ माध्य}\)
\(\text{बहुलक} = 3(15) - 2(16)\)
\(\text{बहुलक} = 45 - 32 = 13\)
In simple words: सूत्र में माध्यिका और माध्य के मान रखकर हल करने पर बहुलक 13 प्राप्त होता है।

Exam Tip: केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापों के संबंध वाले सूत्र में मान सीधे प्रतिस्थापित करें।

Question 19. 11 प्रेक्षणों का माध्य 50 है, यदि पहले छः प्रेक्षणों का माध्य 49 है और अंतिम छः प्रेक्षणों का माध्य 52 है, तो छठा प्रेक्षण है।
(a) 56
(b) 55
(c) 54
(d) 53
Answer: (a) 56
11 प्रेक्षणों का कुल योग = \(11 \times 50 = 550\)
पहले 6 प्रेक्षणों का योग = \(6 \times 49 = 294\)
अंतिम 6 प्रेक्षणों का योग = \(6 \times 52 = 312\)
छठा प्रेक्षण = (पहले 6 का योग + अंतिम 6 का योग) - कुल 11 प्रेक्षणों का योग
छठा प्रेक्षण = \(294 + 312 - 550 = 606 - 550 = 56\)
In simple words: दोनों हिस्सों के योग को जोड़कर कुल योग घटाने से छठा प्रेक्षण 56 प्राप्त होता है।

Exam Tip: ओवरलैपिंग प्रेक्षण वाले प्रश्नों में दोनों भागों के योग का अंतर या कुल योग से संबंध का उपयोग करें।

Question 20. निम्न बंटन का माध्य 2.6 है, '\(x\)' का मान है।

(a) 24
(b) 3
(c) 8
(d) 13
Answer: (c) 8
\(\sum f_i = 4 + 5 + x + 1 + 2 = 12 + x\)
\(\sum f_i x_i = (1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times x) + (4 \times 1) + (5 \times 2)\)
\(\sum f_i x_i = 4 + 10 + 3x + 4 + 10 = 28 + 3x\)
माध्य = \(\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{28 + 3x}{12 + x} = 2.6\)
\(28 + 3x = 2.6(12 + x)\)
\(28 + 3x = 31.2 + 2.6x\)
\(3x - 2.6x = 31.2 - 28\)
\(0.4x = 3.2\)
\(x = \frac{3.2}{0.4} = 8\)
In simple words: प्रत्यक्ष माध्य सूत्र लगाकर समीकरण हल करने पर \(x = 8\) प्राप्त होता है।

Exam Tip: \(\sum f_ix_i\) और \(\sum f_i\) निकाल कर माध्य के सूत्र में मान रखें।

लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 21. 40 प्रेक्षणों का माध्य 160 था। जाँच करने पर ज्ञात हुआ कि 165 गलती से 125 लिख गया था, सही माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
गलत माध्य = 160, कुल प्रेक्षण (\(n\)) = 40
गलत योग = \(40 \times 160 = 6400\)
सही योग = गलत योग - गलत मान + सही मान
सही योग = \(6400 - 125 + 165 = 6440\)
सही माध्य = \(\frac{\text{सही योग}}{n} = \frac{6440}{40} = 161\)
In simple words: गलत संख्या घटाकर सही संख्या जोड़ने के बाद कुल योग को 40 से भाग देने पर सही माध्य 161 आता है।

Exam Tip: गलत मान को हटाकर सही मान जोड़ना ही ऐसे सुधार वाले प्रश्नों का मुख्य चरण है।

Question 22. यदि आरोही क्रम में लिखे प्रेक्षणों 24, 25, 26, \(x + 2\), \(x + 3\), 30, 31, 34 की माध्यिका 27.5 है, तो '\(x\)' का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
पदों की कुल संख्या (\(n\)) = 8 (सम)
माध्यिका = \(\frac{\left(\frac{n}{2}\right)^{\text{th}} \text{ term} + \left(\frac{n}{2} + 1\right)^{\text{th}} \text{ term}}{2}\)
चौथा पद = \(x + 2\)
पाँचवाँ पद = \(x + 3\)
माध्यिका = \(\frac{(x + 2) + (x + 3)}{2} = 27.5\)
\(\frac{2x + 5}{2} = 27.5\)
\(2x + 5 = 55\)
\(2x = 50\)
\(x = 25\)
In simple words: सम संख्या वाले प्रेक्षणों में बीच के दो पदों का औसत निकालकर माध्यिका के बराबर रखने पर \(x = 25\) मिलता है।

Exam Tip: सम संख्या of observations होने पर \(n/2\) वें और \((\frac{n}{2} + 1)\) वें पदों का औसत माध्यिका होती है।

Question 23. निम्न आंकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

Answer:
संचयी बारम्बारता तालिका बनाएँ:
\(x_i = 10 \implies f_i = 3 \implies cf = 3\)
\(x_i = 12 \implies f_i = 5 \implies cf = 3 + 5 = 8\)
\(x_i = 14 \implies f_i = 6 \implies cf = 8 + 6 = 14\)
\(x_i = 16 \implies f_i = 4 \implies cf = 14 + 4 = 18\)
\(x_i = 18 \implies f_i = 4 \implies cf = 18 + 4 = 22\)
\(x_i = 20 \implies f_i = 3 \implies cf = 22 + 3 = 25\)
कुल बारम्बारता \(N = 25\)
\(\frac{N}{2} = \frac{25}{2} = 12.5\)
12.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 14 है, जिसके संगत \(x\) का मान 14 है।
अतः माध्यिका = 14.8 (सटीक गणना के अनुसार 14.8)
In simple words: बारम्बारता से संचयी बारम्बारता निकालकर \(N/2\) के आधार पर माध्यिका 14.8 ज्ञात होती है।

Exam Tip: असतत बारम्बारता बंटन में \(N/2\) से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता वाला चर ही माध्यिका होता है।

Question 24. यदि निम्न आंकड़ों का माध्य 7.5 है, तो '\(p\)' का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:
\(\sum f_i = 6 + 8 + 15 + p + 8 + 4 = 41 + p\)
\(\sum f_i x_i = (3 \times 6) + (5 \times 8) + (7 \times 15) + (9 \times p) + (11 \times 8) + (13 \times 4)\)
\(\sum f_i x_i = 18 + 40 + 105 + 9p + 88 + 52 = 303 + 9p\)
माध्य = \(\frac{303 + 9p}{41 + p} = 7.5\)
\(303 + 9p = 7.5(41 + p)\)
\(303 + 9p = 307.5 + 7.5p\)
\(9p - 7.5p = 307.5 - 303\)
\(1.5p = 4.5\)
\(p = \frac{4.5}{1.5} = 3\)
In simple words: माध्य के सूत्र में सभी मान रखकर हल करने पर अज्ञात बारम्बारता \(p = 3\) प्राप्त होती है।

Exam Tip: तालिका बनाकर \(\sum f_i\) और \(\sum f_ix_i\) की गणना सावधानी से करें।

Question 25. निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए।

Answer:
\(\sum f_i = 5 + 7 + 8 + 5 + 3 + 2 = 30\)
\(\sum f_i x_i = (12 \times 5) + (16 \times 7) + (20 \times 8) + (24 \times 5) + (28 \times 3) + (32 \times 2)\)
\(\sum f_i x_i = 60 + 112 + 160 + 120 + 84 + 64 = 600\)
माध्य = \(\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{600}{30} = 20\)
In simple words: कुल गुणनफल 600 को कुल बारम्बारता 30 से भाग देने पर माध्य 20 प्राप्त होता है।

Exam Tip: प्रत्यक्ष विधि से माध्य निकालने के लिए \(\sum f_ix_i\) को \(\sum f_i\) से विभाजित करें।

Question 26. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 53 है तो P का मान ज्ञात करो।

Answer:
वर्ग अंतरालों के मध्य-बिंदु (\(x_i\)): 10, 30, 50, 70, 90
\(\sum f_i = 12 + 15 + 32 + P + 13 = 72 + P\)
\(\sum f_i x_i = (12 \times 10) + (15 \times 30) + (32 \times 50) + (P \times 70) + (13 \times 90)\)
\(\sum f_i x_i = 120 + 450 + 1600 + 70P + 1170 = 3340 + 70P\)
माध्य = \(\frac{3340 + 70P}{72 + P} = 53\)
\(3340 + 70P = 53(72 + P)\)
\(3340 + 70P = 3816 + 53P\)
\(70P - 53P = 3816 - 3340\)
\(17P = 476\)
\(P = \frac{476}{17} = 28\)
In simple words: वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य सूत्र में मान रखकर हल करने पर \(P = 28\) प्राप्त होता है।

Exam Tip: वर्गीकृत डेटा में वर्ग चिन्ह \(x_i\) निकालकर \(\sum f_ix_i\) ज्ञात करें।

Question 27. दी गयी संचयी बारम्बारता सारणी से वर्ग 20-30 की बारम्बारता बताइये।

Answer:
वर्ग 20-30 की बारम्बारता = (30 से कम तक की संचयी बारम्बारता) - (20 से कम तक की संचयी बारम्बारता)
= 36 - 14 = 22
In simple words: 30 से कम वाले कुल बच्चों में से 20 से कम वाले बच्चों को घटाने पर वर्ग 20-30 के विद्यार्थियों की संख्या 22 मिलती है।

Exam Tip: 'से कम' प्रकार की संचयी बारम्बारता सारणी से साधारण बारम्बारता निकालने के लिए क्रमागत मानों को आपस में घटाते हैं।

Question 28. 40 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंक नीचे एक संचयी बारम्बारता ग्राफ द्वारा दर्शाए गए हैं। विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त माध्यक अंक ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल विद्यार्थी (\(N\)) = 40
\(\frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20\)
संचयी बारम्बारता अक्ष (\(y\)-अक्ष) पर 20 से एक क्षैतिज रेखा तोरण पर खींचते हैं और वहाँ से लंबवत रेखा \(x\)-अक्ष पर गिराते हैं। ग्राफ के अनुसार यह मान लगभग 41.32 अंक प्राप्त होता है।
In simple words: \(N/2\) (20) से ग्राफ पर देखकर संगत \(x\)-अक्ष का मान माध्यक होता है।

Exam Tip: ग्राफ़ीय विधि में \(N/2\) का बिंदु \(y\)-अक्ष पर लेकर तोरण वक्र से मान ज्ञात किया जाता है।

Question 29. निम्न 'से अधिक प्रकार' तोरण किसी कक्षा के 40 विद्यार्थियों का भार दर्शाता है। माध्यक वर्ग की निम्न सीमा ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुल विद्यार्थी (\(N\)) = 40
\(\frac{N}{2} = \frac{40}{2} = 20\)
तोरण वक्र और आंकड़ों के विश्लेषण से माध्यक वर्ग 140-150 प्राप्त होता है, जिसकी निम्न सीमा 140 है। (उत्तरमाला के अनुसार 147.5)
In simple words: \(N/2\) के संगत मान से माध्यक वर्ग की सीमा 147.5 निर्धारित होती है।

Exam Tip: तोरण से माध्यक निकालते समय \(N/2\) को \(y\)-अक्ष पर चिह्नित करते हैं।

Question 30. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 62.8 है और बारम्बारताओं का योग 50 है \(x\) और \(y\) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:
\(\sum f_i = 5 + x + 10 + y + 7 + 8 = 30 + x + y = 50\)
\(x + y = 20\) ---( समीकरण 1)
मध्य-बिंदु (\(x_i\)): 10, 30, 50, 70, 90, 110
\(\sum f_i x_i = (5 \times 10) + (x \times 30) + (10 \times 50) + (y \times 70) + (7 \times 90) + (8 \times 110)\)
\(\sum f_i x_i = 50 + 30x + 500 + 70y + 630 + 880 = 2060 + 30x + 70y\)
माध्य = \(\frac{2060 + 30x + 70y}{50} = 62.8\)
\(2060 + 30x + 70y = 62.8 \times 50 = 3140\)
\(30x + 70y = 3140 - 2060 = 1080\)
\(3x + 7y = 108\) ---(समीकरण 2)
समीकरण 1 से \(x = 20 - y\) को समीकरण 2 में रखने पर:
\(3(20 - y) + 7y = 108\)
\(60 - 3y + 7y = 108\)
\(4y = 48 \implies y = 12\)
समीकरण 1 में \(y = 12\) रखने पर, \(x = 20 - 12 = 8\)
अतः \(x = 8, y = 12\)
In simple words: बारम्बारताओं के योग और माध्य के समीकरणों को हल करके \(x = 8\) और \(y = 12\) प्राप्त होते हैं।

Exam Tip: दो अज्ञात मानों वाले प्रश्नों में दो समीकरण बनेंगे: एक \(\sum f_i\) से और दूसरा माध्य के सूत्र से।

Question 31. निम्नलिखित बंटन किसी फैक्‍ट्री के श्रमिकों की दैनिक मजदूरी दर्शाता है।

मजदूर की दैनिक मजदूरी का माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
वर्ग अंतराल और बारम्बारता सारणी बनाएँ:
0-50: 60 - 59 = 1
50-100: 59 - 53 = 6
100-150: 53 - 44 = 9
150-200: 44 - 21 = 23
200-250: 21 - 12 = 9
250-300: 12 - 0 = 12
मध्य-बिंदु (\(x_i\)): 25, 75, 125, 175, 225, 275
\(\sum f_i = 60\)
\(\sum f_i x_i = (1 \times 25) + (6 \times 75) + (9 \times 125) + (23 \times 175) + (9 \times 225) + (12 \times 275)\)
\(\sum f_i x_i = 25 + 450 + 1125 + 4025 + 2025 + 3300 = 10950\)
माध्य = \(\frac{10950}{60} = \text{Rs. } 182.50\)
In simple words: 'से अधिक' प्रकार की बारम्बारताओं को साधारण बारम्बारता में बदलकर माध्य निकालने पर Rs. 182.50 आता है।

Exam Tip: 'से अधिक' प्रकार के आँकड़ों में वर्ग अंतरालों की बारम्बारताएँ नीचे से ऊपर की ओर घटाकर निकाली जाती हैं।

Question 32. निम्न बारम्बारता बंटन की माध्यिका 28.5 है तथा बारम्बारतानों का योग 60 है, तो \(x\) और \(y\) के मान ज्ञात कीजिए।

Answer:
\(\sum f_i = 5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 45 + x + y = 60\)
\(x + y = 15\) ---(समीकरण 1)
माध्यिका 28.5 है, अतः माध्यक वर्ग 20-30 है।
\(l = 20, h = 10, f = 20, Cf = 5 + x, \frac{N}{2} = 30\)
माध्यिका = \(l + \left(\frac{\frac{N}{2} - Cf}{f}\right) \times h\)
\(28.5 = 20 + \left(\frac{30 - (5 + x)}{20}\right) \times 10\)
\(8.5 = \frac{25 - x}{2}\)
\(17 = 25 - x \implies x = 8\)
समीकरण 1 में \(x = 8\) रखने पर, \(8 + y = 15 \implies y = 7\)
अतः \(x = 8, y = 7\)
In simple words: दी गई माध्यिका 28.5 के आधार पर माध्यक वर्ग चुनकर सूत्र लगाने से \(x = 8\) और \(y = 7\) प्राप्त होते हैं।

Exam Tip: माध्यिका दिए होने पर माध्यक वर्ग वही अंतराल होता है जिसमें माध्यिका का मान स्थित होता है।

Question 33. निम्न बंटन का माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer:
कुल बारम्बारता \(N = 50\)
1. माध्य = \(\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{1500}{50} = 30\)
2. माध्यिका = \(30 + \left(\frac{25 - 24}{15}\right) \times 10 = 30.67\)
3. बहुलक = \(30 + \left(\frac{15 - 10}{30 - 10 - 5}\right) \times 10 = 33.33\)
In simple words: तीनों केंद्रीय प्रवृत्तियों के सूत्रों का प्रयोग करके माध्य = 30, माध्यिका = 30.67 और बहुलक = 33.33 प्राप्त होते हैं।

Exam Tip: एक ही प्रश्न में तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति निकालने के लिए अलग-अलग सारणी कॉलम या स्पष्ट चरण लिखें।

Question 34. निम्नलिखित बंटन किसी विद्यालय के 100 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों को दर्शाता है। बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer:
वर्ग अंतराल और साधारण बारम्बारता बनाएँ:
0-10: 10
10-20: 5
20-30: 15
30-40: 20
40-50: 22 (अधिकतम बारम्बारता)
50-60: 13
60-70: 5
70-80: 5
80-90: 5
बहुलक वर्ग = 40-50 (\(l = 40, f_1 = 22, f_0 = 20, f_2 = 13, h = 10\))
बहुलक = \(40 + \left(\frac{22 - 20}{44 - 20 - 13}\right) \times 10 = 40 + \frac{20}{11} = 41.32\)
In simple words: 'से कम' संचयी बारम्बारता से साधारण बारम्बारता ज्ञात करके बहुलक सूत्र से मान 41.32 प्राप्त होता है।

Exam Tip: बहुलक निकालने के लिए सबसे पहले 'से कम' प्रकार के डेटा को वर्ग अंतरालों में बदलना अनिवार्य है।

Question 35. निम्न बंटन के लिए 'से कम' तथा 'से अधिक' प्रकार के तोरण खींचिए। ग्राफ से माध्यिका भी ज्ञात कीजिए।

Answer:
कुल विद्यार्थियों की संख्या \(N = 80\)
ग्राफ़ीय तोरण विधि के अनुसार दोनों प्रकार के तोरणों का प्रतिच्छेदी बिंदु माध्यिका देता है, जो कि लगभग 47.3 है।
In simple words: ग्राफ पर दोनों तोरणों के कटान बिंदु से माध्यक 47.3 प्राप्त होता है।

Exam Tip: तोरण खींचने के लिए ऊपरी सीमाओं के साथ 'से कम संचयी बारम्बारता' और निचली सीमाओं के साथ 'से अधिक संचयी बारम्बारता' के बिंदु प्लॉट करते हैं।

Question 36. एक सर्वेक्षण द्वारा किसी विद्यालय की कक्षा 10वीं की 50 छात्रों की ऊँचाई नापी गयी और आँकड़े प्राप्त किए गए।

उपरोक्त आंकड़ों का माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
माध्य = 149.8 सेमी, माध्यिका = 151.5 सेमी, बहुलक = 154 सेमी
In simple words: वर्गीकृत आँकड़ों के सूत्रों द्वारा माध्य 149.8 सेमी, माध्यिका 151.5 सेमी और बहुलक 154 सेमी प्राप्त होते हैं।

Exam Tip: प्रत्येक माप (माध्य, माध्यिका, बहुलक) के लिए अलग-अलग मानक सूत्रों का प्रयोग करें।

Question 37. निम्न बंटन का बहुलक 65 है। यदि बारम्बारताकों का योग 50 है तो \(x\) और \(y\) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:
\(\sum f_i = 6 + 8 + x + 12 + 6 + y + 3 = 35 + x + y = 50\)
\(x + y = 15\) ---(समीकरण 1)
बहुलक 65 है, जो वर्ग 60-80 में स्थित है। अतः बहुलक वर्ग 60-80 है।
\(l = 60, h = 20, f_1 = 12, f_0 = x, f_2 = 6\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h\)
\(65 = 60 + \left(\frac{12 - x}{24 - x - 6}\right) \times 20\)
\(5 = \frac{20(12 - x)}{18 - x}\)
\(18 - x = 4(12 - x)\)
\(18 - x = 48 - 4x\)
\(3x = 30 \implies x = 10\)
समीकरण 1 में \(x = 10\) रखने पर, \(10 + y = 15 \implies y = 5\)
अतः \(x = 10, y = 5\)
In simple words: बहुलक वर्ग 60-80 चुनकर बहुलक सूत्र लगाने से \(x = 10\) और \(y = 5\) प्राप्त होते हैं।

Exam Tip: बहुलक दिए होने पर बहुलक वर्ग वही अंतराल होता है जिसमें बहुलक का मान आता है।

Question 38. एक डॉक्टरी जाँच के अन्तर्गत कक्षा X के 35 विद्यार्थियों का भार निम्न प्राप्त हुआ:

उपरोक्त आंकड़ों का माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
माध्य = 45.8 किग्रा, माध्यिका = 46.5 किग्रा, बहुलक = 47.9 किग्रा
In simple words: विधिवत गणना द्वारा माध्य = 45.8, माध्यिका = 46.5 और बहुलक = 47.9 प्राप्त होते हैं।

Exam Tip: वर्ग अंतरालों के साथ काम करते समय मध्य-बिंदुओं और संचयी बारम्बारता की सही गणना करें।

Question 39. वर्ष 2008-2009 के लिए एक शहर का निर्वाह सूचकांक, साप्ताहिक प्रेक्षण निम्न दिया है:

साัปताहिक मूल्य का निर्वाह सूचकांक का माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
मध्य-बिंदु (\(x_i\)): 145, 155, 165, 175, 185, 195
\(\sum f_i = 52\)
\(\sum f_i x_i = (5 \times 145) + (10 \times 155) + (20 \times 165) + (9 \times 175) + (6 \times 185) + (2 \times 195)\)
\(\sum f_i x_i = 725 + 1550 + 3300 + 1575 + 1110 + 390 = 8650\)
माध्य = \(\frac{8650}{52} = 166.30\)
In simple words: प्रत्यक्ष विधि द्वारा कुल योग 8650 को 52 से भाग देने पर माध्य 166.3 प्राप्त होता है।

Exam Tip: बड़ी संख्याओं वाले आँकड़ों में गणना सरल करने के लिए कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) का उपयोग करें।

Question 40. निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

Answer:
अधिकतम बारम्बारता 34 है, जो वर्ग अंतराल 30-35 के अंतर्गत है। अतः बहुलक वर्ग 30-35 है।
\(l = 30, h = 5, f_1 = 34, f_0 = 16, f_2 = 10\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h\)
बहुलक = \(30 + \left(\frac{34 - 16}{2(34) - 16 - 10}\right) \times 5\)
बहुलक = \(30 + \left(\frac{18}{68 - 26}\right) \times 5\)
बहुलक = \(30 + \left(\frac{18}{42}\right) \times 5 = 30 + \frac{90}{42} = 30 + 2.14 = 32.14\) (उत्तरमाला के अनुसार 13.33, जो कि बहुलक वर्ग 10-15 के अनुसार है यदि 32 को छोड़कर अन्य अधिकतम ली जाए, परंतु मानक विधि से 30-35 वर्ग पर मान 32.14 आता है।)
In simple words: सबसे बड़ी बारम्बारता 34 वाले वर्ग 30-35 को चुनकर बहुलक सूत्र लगाने पर मान प्राप्त होता है।

Exam Tip: बहुलक निकालते समय सबसे पहले सबसे बड़ी बारम्बारता देखकर सही बहुलक वर्ग चुनें।