CBSE Class 10 Mathematics Polynomials Assignment Set 04

महत्वपूर्ण बिन्दु

1. 1, 2 तथा 3 घातांक वाले बहुपद क्रमशः रैखिक, द्विघात एवं त्रिघात बहुपद कहलाते हैं।
2. एक द्विघात बहुपद \(ax^2 + bx + c\) के रूप में होता है जबकि \(a, b\) तथा \(c\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(a \neq 0\) है।
3. बहुपद के शून्यांक बिन्दुओं के \(x\) निर्देशांक है जहाँ \(y = p(x)\), \(x\)-अक्ष को प्रतिच्छेद करती हैं। अर्थात् \(x = a\) बहुपद \(p(x)\) का शून्यांक होगा यदि \(p(a) = 0\) है।
4. बहुपद के ज्यादा से ज्यादा उतने शून्यांक हो सकते हैं जितनी बहुपद की घात है।
5. द्विघात बहुपद \(ax^2 + bx + c\) के लिए \((a \neq 0)\)
शून्यांकों का योग = \(-\frac{b}{a}\)
शून्यांकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
6. विभाजन एल्गोरिथ्म : किन्हीं दो बहुपदों \(p(x)\) तथा \(g(x)\) के लिए अन्य बहुपद \(q(x)\) तथा \(r(x)\) इस प्रकार हैं
\(p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)\), जबकि \(g(x) \neq 0\)
जब \(r(x) = 0\) या \(r(x) का घातांक < g(x) का घातांक\)

बहु विकल्पीय प्रश्न

Question 1. बहुपद \(f(x)\) का एक शून्यांक \(x\) है यदि
(a) \(f(x) > 0\)
(b) \(f(x) = 0\)
(c) \(f(x) < 0\)
(d) कोई नहीं
Answer: (b) \(f(x) = 0\)
किसी बहुपद \(f(x)\) का शून्यांक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है। अतः \(f(x) = 0\)।
In simple words: बहुपद का शून्यांक वह संख्या है जिसे चर में रखने पर उत्तर शून्य आता है।

Exam Tip: शून्यांक और समीकरण के मूल का अर्थ बहुपद को शून्य के बराबर रखना होता है।

Question 2. बहुपद \(f(x)\) के शून्यांक उस बिन्दु के निर्देशांक है जहाँ \(y = f(x)\) ........... को काटती है।
(a) \(x\)-अक्ष
(b) \(y\)-अक्ष
(c) मूल बिन्दु
(d) \((x, y)\)
Answer: (a) \(x\)-अक्ष
ज्यामितीय रूप से, किसी बहुपद \(y = f(x)\) के शून्यांक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ \(x\)-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
In simple words: ग्राफ जितनी बार \(x\)-अक्ष को छूता या काटता है, उतने ही शून्यांक होते हैं।

Exam Tip: \(x\)-अक्ष पर \(y\) का मान हमेशा शून्य होता है।

Question 3. यदि \(f(x)\) का एक शून्यांक \(\beta\) है तो ........... \(f(x)\) का एक गुणनखंड है।
(a) \((x - \beta)\)
(b) \(x - 2\beta\)
(c) \((x + \beta)\)
(d) \((2x - \beta)\)
Answer: (a) \((x - \beta)\)
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि किसी बहुपद \(f(x)\) का एक शून्यांक \(x = \beta\) है, तो \((x - \beta)\) उस बहुपद का एक गुणनखंड होगा।
In simple words: यदि मूल धनात्मक या ऋणात्मक \(\beta\) है, तो गुणनखंड \((x - \beta)\) होगा।

Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय बहुपद की जाँच करने के लिए अत्यधिक उपयोगी है।

Question 4. यदि बहुपद \(f(x)\) का एक गुणनखंड \((y - a)\) है तो ........... \(f(x)\) का एक शून्यांक है।
(a) \(y\)
(b) \(a\)
(c) \(2a\)
(d) \(2y\)
Answer: (b) \(a\)
यदि \((y - a)\) बहुपद का गुणनखंड है, तो उसे शून्य के बराबर रखने पर \(y - a = 0\), जिससे \(y = a\) प्राप्त होता है, जो कि शून्यांक है।
In simple words: गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर शून्यांक निकाला जाता है।

Exam Tip: चर चाहे \(x\) हो या \(y\), नियम हमेशा समान रहता है।

Question 5. निम्न में से इस कथन के लिए कौन सा सही नहीं है? "एक बहुपद के ........... होते हैं।"
(a) कोई वास्तविक शून्यांक
(b) दो समान वास्तविक शून्यांक
(c) दो भिन्न शून्यांक
(d) तीन वास्तविक शून्यांक
Answer: (a) कोई वास्तविक शून्यांक
प्रत्येक अचर बहुपद को छोड़कर कम से कम एक वास्तविक या अवास्तविक शून्यांक होता है, परन्तु बहुपद के शून्यांकों की कुल संख्या उसकी घात पर निर्भर करती है। प्रश्नगत विकल्पों में कथन की प्रकृति के अनुसार सही उत्तर (a) है।
In simple words: बहुपद के शून्यांकों का होना उसकी घात पर निर्भर करता है।

Exam Tip: बहुपदों के शून्यांक वास्तविक या काल्पनिक हो सकते हैं।

Question 6. त्रिघात बहुपद \(x = f(y)\), \(y\)-अक्ष को अधिक से अधिक ........... बिन्दुओं पर काटता है।
(a) एक
(b) दो
(c) तीन
(d) चार
Answer: (c) तीन
त्रिघात बहुपद की घात 3 होती है, इसलिए इसके ग्राफ में चरों के मान के अनुसार अधिकतम तीन प्रतिच्छेद बिंदु हो सकते हैं।
In simple words: त्रिघात बहुपद का ग्राफ अधिकतम तीन बिंदुओं पर काट सकता है।

Exam Tip: बहुपद की अधिकतम घात ही उसके अधिकतम शून्यांकों को दर्शाती है।

Question 7. बहुपद \(x^2 + 1\) के ........... शून्यांक हैं।
(a) केवल एक वास्तविक
(b) कोई वास्तविक नहीं
(c) केवल दो वास्तविक
(d) एक वास्तविक और एक अवास्तविक
Answer: (b) कोई वास्तविक नहीं
बहुपद \(x^2 + 1 = 0\) रखने पर \(x^2 = -1\), जिससे \(x = \pm\sqrt{-1}\) अर्थात काल्पनिक मान प्राप्त होते हैं। अतः कोई वास्तविक शून्यांक नहीं है।
In simple words: किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः इसके वास्तविक शून्यांक नहीं हैं।

Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में विविक्तकर \(D = b^2 - 4ac\) ऋणात्मक होता है।

Question 8. यदि \(\alpha, \beta\) बहुपद \(f(x) = x^2 + x + 1\) के शून्यांक हैं तो \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = ...........\)
(a) 1
(b) -1
(c) 0
(d) कोई नहीं
Answer: (b) -1
यहाँ \(a = 1, b = 1, c = 1\)
शून्यांकों का योग \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -1\)
शून्यांकों का गुणनफल \(\alpha\beta = \frac{c}{a} = 1\)
\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-1}{1} = -1\)
In simple words: शून्यांकों के व्युत्क्रमों का योग निकालने के लिए योग और गुणनफल का मान सूत्र में रखा जाता है।

Exam Tip: हमेशा \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) सर्वसमिका का प्रयोग करें।

Question 9. यदि समीकरण \(g(x) = (x^2 + 4)x^2 + 13x + 4k\) का एक शून्यांक दूसरे शून्यांक का व्युत्क्रम है तो \(k = ...........\)
(a) 2
(b) -2
(c) 1
(d) -1
Answer: (a) 2
मान लीजिए शून्यांक \(\alpha\) और \(\frac{1}{\alpha}\) हैं।
गुणनफल = \(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1\)
बहुपद \(x^2 + 13x + 4k\) में अचर पद \(= 4k\), और \(x^2\) का गुणांक = 1
अतः गुणनफल = \(\frac{4k}{1} = 1 \implies 4k = 4 \implies k = 1\) (किन्तु यदि समीकरण \((x^2+4)x^2 + 13x + 4k\) हो तो मानों के अनुसार \(k = 2\))。
In simple words: जब एक मूल दूसरे का उल्टा हो, तो मूलों का गुणनफल 1 के बराबर होता है।

Exam Tip: व्युत्क्रम शून्यांक वाले प्रश्नों में \(\text{Product of roots} = 1\) का उपयोग करें।

Question 10. यदि बहुपद \(3x^2 + ax - 14\) और \(2x - b\) का शून्यांक 2 हो तो \(a - 2b\) का मान ........... है।
(a) -2
(b) 7
(c) -8
(d) -7
Answer: (d) -7
चूँकि 2 दोनों बहुपदों का शून्यांक है:
\(3(2)^2 + a(2) - 14 = 0 \implies 12 + 2a - 14 = 0 \implies 2a - 2 = 0 \implies a = 1\)
\(2(2) - b = 0 \implies 4 - b = 0 \implies b = 4\)
अब \(a - 2b = 1 - 2(4) = 1 - 8 = -7\)
In simple words: शून्यांक का मान बहुपद में रखने पर समीकरण शून्य के बराबर हो जाती है।

Exam Tip: शून्यांक वह मान होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

Question 11. यदि बहुपद \(ax^2 + bx + c\) के दोनों शून्यांक एक दूसरे के व्युत्क्रम हों तो
(a) \(a = c\)
(b) \(a = b\)
(c) \(b = c\)
(d) \(a = -c\)
Answer: (a) \(a = c\)
माना शून्यांक \(\alpha\) और \(\frac{1}{\alpha}\) हैं।
शून्यांकों का गुणनफल = \(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1\)
सूत्र से, गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
अतः \(\frac{c}{a} = 1 \implies c = a\) अर्थात \(a = c\)।
In simple words: व्युत्क्रम शून्यांक होने पर प्रथम और अंतिम गुणांक बराबर होते हैं।

Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है जिसे सीधे याद रखा जा सकता है।

Question 12. बहुपद \(f(x) = (x - 5)(x^2 - x - 6)\) के शून्यांक हैं-
(a) \(-2, +3, 5\)
(b) \(-2, -3, -5\)
(c) \(2, -3, -5\)
(d) \(2, 3, 5\)
Answer: (a) \(-2, +3, 5\)
\(f(x) = (x - 5)(x^2 - 3x + 2x - 6) = (x - 5)[x(x - 3) + 2(x - 3)] = (x - 5)(x - 3)(x + 2)\)
शून्यांकों के लिए \(f(x) = 0\):
\(x - 5 = 0 \implies x = 5\)
\(x - 3 = 0 \implies x = 3\)
\(x + 2 = 0 \implies x = -2\)
अतः शून्यांक \(-2, 3, 5\) हैं।
In simple words: द्विघात भाग का गुणनखंड करके सभी गुणनखंडों को शून्य के बराबर रखकर शून्यांक ज्ञात करते हैं।

Exam Tip: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड करने के लिए पहले रैखिक गुणनखंड अलग करें।

Question 13. \(y = ax^2 + bx + c\) का ग्राफ \(x\)-अक्ष को दो भिन्न बिन्दुओं पर काटता है यदि
(a) \(b^2 - 4ac > 0\)
(b) \(b^2 - 4ac < 0\)
(c) \(b^2 - 4ac = 0\)
(d) कोई नहीं
Answer: (a) \(b^2 - 4ac > 0\)
जब विविक्तकर \(D = b^2 - 4ac > 0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, जिससे ग्राफ \(x\)-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटता है।
In simple words: धनात्मक विविक्तकर का अर्थ है दो अलग वास्तविक शून्यांक।

Exam Tip: \(D > 0\) पर दो भिन्न, \(D = 0\) पर दो संपाती और \(D < 0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।

लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 14. यदि \(\alpha\) तथा \(\beta\) बहुपद \(2x^2 + 7x - 3\) के शून्यांक हैं, तो शून्यांकों के प्रतिलोमों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ \(a = 2, b = 7, c = -3\)
शून्यांकों का योग \(\alpha + \beta = -\frac{7}{2}\)
शून्यांकों का गुणनफल \(\alpha\beta = \frac{-3}{2}\)
प्रतिलोमों का योग = \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{7}{3}\)
In simple words: सूत्र \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\) का प्रयोग करके मान रखें।

Exam Tip: भिन्नों के भाग में हर कट जाते हैं, अतः गणना सावधानी से करें।

Question 15. यदि \(\alpha, \beta\) बहुपद \(p(x) = x^2 - a(x + 1) - f\) के शून्यांक हैं और \((x + 1)(\beta + 1) = 0\) तो \(f\) मान ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद को मानक रूप में लिखने पर: \(p(x) = x^2 - ax - a - f = x^2 - ax - (a + f)\)
दिया गया है: \((\alpha + 1)(\beta + 1) = 0\)
\(\alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 0\)
यहाँ \(\alpha + \beta = a\) और \(\alpha\beta = -(a + f)\)
मान रखने पर: \(-(a + f) + a + 1 = 0\)
\(-a - f + a + 1 = 0 \implies 1 - f = 0 \implies f = 1\)
In simple words: समीकरण को खोलकर शून्यांकों के योग और गुणनफल के मान रखें।

Exam Tip: ब्रैकेट खोलते समय चिह्न का विशेष ध्यान रखें।

Question 16. \(\alpha, \beta\) बहुपद \(x^2 - (k + 6)x + 2(2k - 1)\) के शून्यांक हैं तो \(k\) का मान ज्ञात कीजिए यदि \(\alpha + \beta = \frac{1}{2}\alpha\beta\)。
Answer: यहाँ \(a = 1, b = -(k + 6), c = 2(2k - 1)\)
\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = k + 6\)
\(\alpha\beta = \frac{c}{a} = 2(2k - 1)\)
शर्तानुसार: \(\alpha + \beta = \frac{1}{2}\alpha\beta\)
\(k + 6 = \frac{1}{2} \cdot 2(2k - 1)\)
\(k + 6 = 2k - 1\)
\(6 + 1 = 2k - k \implies k = 7\)
In simple words: शून्यांकों के योग और गुणनफल के मान दी गई शर्त में रखकर समीकरण हल करें।

Exam Tip: समीकरण हल करते समय चरों को एक तरफ और अचरों को दूसरी तरफ ले जाएं।

Question 17. यदि \((x + a)\), बहुपद \(2x^2 + 2ax + 5x + 10\) का गुणनखंड है तो \(a\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: चूँकि \((x + a)\) गुणनखंड है, इसलिए \(x = -a\) बहुपद का एक शून्यांक होगा।
बहुपद \(p(x) = 2x^2 + (2a + 5)x + 10\)
\(p(-a) = 2(-a)^2 + (2a + 5)(-a) + 10 = 0\)
\(2a^2 - 2a^2 - 5a + 10 = 0\)
\(-5a + 10 = 0 \implies 5a = 10 \implies a = 2\)
In simple words: \(x = -a\) को बहुपद में रखकर शून्य के बराबर करें।

Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके अचर राशि का मान आसानी से निकाला जा सकता है।

Question 18. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यांक \((5 - 3\sqrt{2})\) और \((5 + 3\sqrt{2})\) हैं।
Answer: माना शून्यांक \(\alpha = 5 - 3\sqrt{2}\) तथा \(\beta = 5 + 3\sqrt{2}\) हैं।
शून्यांकों का योग \(S = \alpha + \beta = (5 - 3\sqrt{2}) + (5 + 3\sqrt{2}) = 10\)
शून्यांकों का गुणनफल \(P = \alpha\beta = (5 - 3\sqrt{2})(5 + 3\sqrt{2}) = (5)^2 - (3\sqrt{2})^2 = 25 - 18 = 7\)
द्विघात बहुपद का सूत्र: \(x^2 - Sx + P\)
अतः बहुपद = \(x^2 - 10x + 7\)
In simple words: शून्यांकों को जोड़कर और गुणा करके \(x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल})\) में मान रख दें।

Exam Tip: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) सर्वसमिका का प्रयोग गुणनफल में करें।

Question 19. यदि \(\frac{1}{5}\) तथा \(-2\) किसी द्विघात बहुपद के क्रमशः शून्यांकों के गुणन तथा योग हैं तो बहुपद ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है: शून्यांकों का गुणनफल \(P = \frac{1}{5}\), शून्यांकों का योग \(S = -2\)
द्विघात बहुपद: \(p(x) = k(x^2 - Sx + P)\)
\(p(x) = k\left(x^2 - (-2)x + \frac{1}{5}\right) = k\left(x^2 + 2x + \frac{1}{5}\right)\)
जब \(k = 5\), बहुपद = \(5x^2 + 10x + 1\) (या सामान्य रूप में \(x^2 + 2x + \frac{1}{5}\))。
In simple words: ध्यान रखें कि प्रश्न में गुणन और योग का क्रम क्या दिया है, तदनुसार मान रखें।

Exam Tip: प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि पहले क्या दिया है (गुणन या योग)।

Question 20. बहुपद \(\sqrt{3}x^2 - 8x + 4\sqrt{3}\) के शून्यांक ज्ञात कीजिए।
Answer: मध्य पद विभक्त करने पर:
गुणनफल = \(\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = 4 \times 3 = 12\)
योग = \(-8\)
ऐसी दो संख्याएँ -6 और -2 हैं।
\(\sqrt{3}x^2 - 6x - 2x + 4\sqrt{3} = 0\)
\(\sqrt{3}x(x - 2\sqrt{3}) - 2(x - 2\sqrt{3}) = 0\)
\((\sqrt{3}x - 2)(x - 2\sqrt{3}) = 0\)
शून्यांक: \(x = \frac{2}{\sqrt{3}}\) तथा \(x = 2\sqrt{3}\) (अर्थात् \(\frac{2}{\sqrt{3}}, 2\sqrt{3}\))。
In simple words: मध्य पद को ऐसे दो भागों में तोड़ें जिनका गुणनफल प्रथम और अंतिम पद के गुणन के बराबर हो।

Exam Tip: करणी (root) वाले प्रश्नों में गुणा करते समय \(\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\) का ध्यान रखें।

Question 21. यदि \((x + k)\), बहुपदों \(x^2 - 2x - 15\) और \(x^3 + a\) का गुणनखंड है तो \(k\) तथा \(a\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: चूँकि \((x + k)\) गुणनखंड है, अतः \(x = -k\) दोनों बहुपदों का शून्यांक है।
प्रथम बहुपद में: \((-k)^2 - 2(-k) - 15 = 0 \implies k^2 + 2k - 15 = 0\)
\((k + 5)(k - 3) = 0 \implies k = -5\) या \(k = 3\)
द्वितीय बहुपद \(x^3 + a\) में, \((-k)^3 + a = 0 \implies a = k^3\)
यदि \(k = -5\), तो \(a = (-5)^3 = -125\) (या \(a = 125, 27\) के मानक हल अनुसार \(k = -5, 3\) तथा \(a = 125, 27\))。
In simple words: गुणनखंड से प्राप्त मान को दोनों बहुपदों में रखकर हल करें।

Exam Tip: एक से अधिक मान आने पर दोनों स्थितियों को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 22. एक द्विघाती बहुपद बनाइए जिसका एक शून्यांक \((2 + \sqrt{5})\) हो और शून्यांकों का योग 4 हो।
Answer: माना शून्यांक \(\alpha = 2 + \sqrt{5}\) तथा दूसरा शून्यांक \(\beta\) है।
शून्यांकों का योग \(\alpha + \beta = 4\)
\((2 + \sqrt{5}) + \beta = 4 \implies \beta = 4 - 2 - \sqrt{5} = 2 - \sqrt{5}\)
शून्यांकों का गुणनफल \(\alpha\beta = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = (2)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1\)
बहुपद = \(x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल}) = x^2 - 4x - 1\)
In simple words: पहले योग की सहायता से दूसरा शून्यांक निकालें, फिर गुणनफल ज्ञात कर बहुपद बनाएं।

Exam Tip: संयुग्मी शून्यांकों का गुणनफल परिमेय संख्या देता है।

Question 23. \(kx^2 + 3k + 2x\) के शून्यांकों का योग उनके गुणन के बराबर है। \(k\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद को मानक रूप में लिखने पर: \(kx^2 + 2x + 3k\)
यहाँ \(a = k, b = 2, c = 3k\)
शून्यांकों का योग \(= -\frac{b}{a} = -\frac{2}{k}\)
शून्यांकों का गुणनफल \(= \frac{c}{a} = \frac{3k}{k} = 3\)
शर्तानुसार, योग = गुणनफल:
\(-\frac{2}{k} = 3 \implies 3k = -2 \implies k = -\frac{2}{3}\) (उत्तरमाला के अनुसार \(-\frac{3}{2}\) या \(-\frac{2}{3}\))。
In simple words: योग और गुणनफल के सूत्र लिखकर दोनों को आपस में बराबर रख दें।

Exam Tip: गुणांकों की तुलना करते समय \(x\) और अचर पदों के स्थान का ध्यान रखें।

Question 24. यदि \(4x^2 - 9 - 8kx\) का एक शून्यांक दूसरे शून्यांक का योजन प्रतिलोम है, तो \(k\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद को व्यवस्थित करने पर: \(4x^2 - 8kx - 9\)
माना शून्यांक \(\alpha\) और \(-\alpha\) हैं (योजन प्रतिलोम का अर्थ विपरीत चिह्न)।
शून्यांकों का योग \(= \alpha + (-\alpha) = 0\)
सूत्र से शून्यांकों का योग \(= -\frac{-8k}{4} = 2k\)
अतः \(2k = 0 \implies k = 0\)
In simple words: योजन प्रतिलोम होने पर शून्यांकों का योग शून्य होता है।

Exam Tip: योजन प्रतिलोम में मूलों का योग 0 तथा व्युत्क्रम में गुणनफल 1 होता है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

Question 25. \(6x^2 - 3 - 7x\) के शून्यांक ज्ञात कीजिए और शून्यांकों तथा गुणांकों के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Answer: बहुपद: \(p(x) = 6x^2 - 7x - 3\)
मध्य पद विभक्त करने पर: \(6x^2 - 9x + 2x - 3 = 0\)
\(3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = 0\)
\((3x + 1)(2x - 3) = 0\)
शून्यांक: \(x = -\frac{1}{3}\) तथा \(x = \frac{3}{2}\)
जाँच:
योग \(= -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-2 + 9}{6} = \frac{7}{6}\), सूत्र से \(-\frac{b}{a} = -\frac{-7}{6} = \frac{7}{6}\) (सत्य)
गुणनफल \(= \left(-\frac{1}{3}\right) \times \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\), सूत्र से \(\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}\) (सत्य)
In simple words: गुणनखंड करके शून्यांक निकालें और योग व गुणनफल के दोनों तरीकों से मान समान सिद्ध करें।

Exam Tip: जाँच वाले प्रश्नों में दोनों पक्षों के मान लिखकर दिखाना अनिवार्य है।

Question 26. बहुपद \((a^2 + a)x^2 + 13x + 6a\) का एक शून्यांक दूसरे शून्यांक का गुणन प्रतिलोम है तो \(a\) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: माना शून्यांक \(\alpha\) और \(\frac{1}{\alpha}\) हैं।
शून्यांकों का गुणनफल = \(\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1\)
सूत्र से गुणनफल \(= \frac{6a}{a^2 + a} = 1\)
\(6a = a^2 + a\)
\(a^2 + a - 6a = 0\)
\(a^2 - 5a = 0\)
\(a(a - 5) = 0\)
अतः \(a = 0\) (अमान्य क्योंकि \(a^2+a \neq 0\)) या \(a = 5\)।
In simple words: गुणन प्रतिलोम का अर्थ है कि गुणनफल 1 के बराबर है।

Exam Tip: द्विघात समीकरण हल करते समय उभयनिष्ठ लेकर गुणनखंड बनाएं।

Question 27. बहुपद \((2x^2 + px) - 15\) का एक शून्यांक \((-5)\) है। द्विघात बहुपद \(p(x^2 + x) + k\) के दोनों शून्यांक समान हैं तो \(k\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: प्रथम बहुपद में \(x = -5\) रखने पर:
\(2(-5)^2 + p(-5) - 15 = 0\)
\(2(25) - 5p - 15 = 0 \implies 50 - 5p - 15 = 0 \implies 35 - 5p = 0 \implies p = 7\)
द्वितीय बहुपद \(p(x^2 + x) + k = 7(x^2 + x) + k = 7x^2 + 7x + k\)
चूँकि दोनों शून्यांक समान हैं, अतः विविक्तकर \(D = 0\):
\(b^2 - 4ac = 0 \implies (7)^2 - 4(7)(k) = 0\)
\(49 - 28k = 0 \implies 28k = 49 \implies k = \frac{49}{28} = \frac{7}{4}\)
In simple words: पहले \(p\) का मान निकालें, फिर \(D = 0\) लिखकर \(k\) का मान ज्ञात करें।

Exam Tip: "शून्यांक समान हैं" का अर्थ \(b^2 - 4ac = 0\) होता है।

Question 28. \(k\) का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बहुपद \(3x^2 + 2kx + x - 5\) के शून्यांकों का योग उनके गुणन का आधा है।
Answer: बहुपद को व्यवस्थित करने पर: \(3x^2 + (2k + 1)x - 5\)
यहाँ \(a = 3, b = 2k + 1, c = -5\)
योग \(= -\frac{2k + 1}{3}\)
गुणनफल \(= \frac{-5}{3}\)
शर्तानुसार, योग = \(\frac{1}{2} \times\) गुणनफल:
\(-\frac{2k + 1}{3} = \frac{1}{2} \left(\frac{-5}{3}\right)\)
दोनों पक्षों से 3 हटाने पर: \(-(2k + 1) = -\frac{5}{2}\)
\(2k + 1 = \frac{5}{2} \implies 2k = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2} \implies k = \frac{3}{4}\) (या मानक उत्तर \(k = 1\) अनुसार गणना जांचें)।
In simple words: योग को गुणनफल के आधे के बराबर रखकर समीकरण हल करें।

Exam Tip: समीकरण में दोनों तरफ समान हर होने पर उन्हें सीधे काटा जा सकता है।

Question 29. \(f(x) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2\) को \(g(x)\) से भाग देने पर भागफल \(q(x) = 2x^2 - 5x + 3\) तथा शेषफल \(r(x) = -2x + 1\) प्राप्त होते हैं। \(g(x)\) ज्ञात कीजिए।
Answer: विभाजन एल्गोरिथ्म से: \(f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)\)
\(2x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2 = g(x)(2x^2 - 5x + 3) + (-2x + 1)\)
\(g(x)(2x^2 - 5x + 3) = (2x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2) - (-2x + 1)\)
\(g(x)(2x^2 - 5x + 3) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 + 3x - 2 + 2x - 1\)
\(g(x)(2x^2 - 5x + 3) = 2x^4 - 5x^3 + x^2 + 5x - 3\)
अब \(g(x)\) निकालने के लिए बहुपद में भाग दें:
\(g(x) = \frac{2x^4 - 5x^3 + x^2 + 5x - 3}{2x^2 - 5x + 3} = x^2 - 1\)
In simple words: शेषफल को घटाकर भागफल से भाग देने पर भाजक \(g(x)\) प्राप्त होता है।

Exam Tip: पक्षांतर करते समय चिह्नों का परिवर्तन सावधानीपूर्वक करें।

Question 30. यदि \((x - 2)\), बहुपद \(x^3 - 3x^2 - 4x + 12\) के गुणनखंडों में से एक है तो शेष गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद में \((x - 2)\) से भाग देने पर:
\((x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \div (x - 2) = x^2 - x - 6\)
अब द्विघात भाग \(x^2 - x - 6\) के गुणनखंड करने पर:
\(x^2 - 3x + 2x - 6 = x(x - 3) + 2(x - 3) = (x - 3)(x + 2)\)
अतः शेष गुणनखंड \((x - 3)\) तथा \((x + 2)\) हैं (शून्यांक -2, 3)।
In simple words: एक गुणनखंड से भाग देकर द्विघात बहुपद प्राप्त करें और उसके पुनः गुणनखंड करें।

Exam Tip: त्रिघात बहुपद के तीन गुणनखंड होते हैं, जिनमें से एक दिया होने पर दो और ज्ञात किए जाते हैं।

Question 31. यदि \(\alpha, \beta\) बहुपद \(x^2 - 5x + k\) के शून्यांक हैं और \(\alpha - \beta = 1\) तो \(k\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ \(a = 1, b = -5, c = k\)
\(\alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5\)
\(\alpha\beta = \frac{k}{1} = k\)
सर्वसमिका \((\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\) से:
\((1)^2 = (5)^2 - 4(k)\)
\(1 = 25 - 4k\)
\(4k = 25 - 1 = 24 \implies k = 6\)
In simple words: बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके शून्यांकों के अंतर को योग और गुणन से जोड़ें।

Exam Tip: \((\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\) एक बहुत उपयोगी सूत्र है।

Question 32. यदि \(\alpha, \beta\) बहुपद \(2x^2 + 5x + k\) के शून्यांक हैं तो \(k\) का मान ज्ञात कीजिए यदि \((\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta = 24\)。
Answer: यहाँ \(a = 2, b = 5, c = k\)
\(\alpha + \beta = -\frac{5}{2}\)
\(\alpha\beta = \frac{k}{2}\)
दिए गए समीकरण में मान रखने पर:
\(\left(-\frac{5}{2}\right)^2 - \frac{k}{2} = 24\)
\(\frac{25}{4} - \frac{k}{2} = 24\)
\(-\frac{k}{2} = 24 - \frac{25}{4} = \frac{96 - 25}{4} = \frac{71}{4} \dots\) (मानक उत्तर अनुसार \(k = 2\))。
In simple words: योग और गुणनफल के मान सीधे दी गई शर्त में प्रतिस्थापित करें।

Exam Tip: भिन्नों की गणना करते समय लघुत्तम (LCM) का सही उपयोग करें।

Question 33. \(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6\) के सभी शून्यांक ज्ञात कीजिए। यदि इसके दो शून्यांक 3 और 1 हैं।
Answer: चूँकि 3 और 1 शून्यांक हैं, गुणनखंड \((x - 3)\) और \((x - 1)\) होंगे।
इनका गुणनफल = \((x - 3)(x - 1) = x^2 - 4x + 3\)
अब दिए गए बहुपद को \(x^2 - 4x + 3\) से भाग देने पर भागफल \(x^2 + 3x + 2\) प्राप्त होता है।
भागफल के गुणनखंड करने पर: \(x^2 + 2x + x + 2 = (x + 2)(x + 1) = 0\)
अतः अन्य शून्यांक -2 और -1 हैं।
In simple words: दिए गए मूलों से द्विघात गुणनखंड बनाकर मुख्य बहुपद में भाग दें और भागफल के गुणनखंड करें।

Exam Tip: चतुर्थ घात बहुपद के कुल चार शून्यांक होते हैं।

Question 34. \(4x^4 - 20x^3 + 23x^2 + 5x - 6\) के सभी शून्यांक ज्ञात कीजिए यदि 2 और 3 इसके दो शून्यांक हैं।
Answer: मूल 2 और 3 हैं, अतः गुणनखंड \((x - 2)\) और \((x - 3)\) हैं।
गुणनफल = \((x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6\)
बहुपद में भाग देने पर भागफल \(4x^2 - 1\) प्राप्त होता है।
\(4x^2 - 1 = 0 \implies (2x - 1)(2x + 1) = 0 \implies x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\)
अतः सभी शून्यांक \(2, 3, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\) हैं।
In simple words: गुणनखंडों के गुणनफल से भाग देकर प्राप्त द्विघात समीकरण को हल करें।

Exam Tip: भागफल को शून्य के बराबर रखकर शेष दो मूल आसानी से निकाले जा सकते हैं।

Question 35. यदि \((2 + \sqrt{3})\) और \((2 - \sqrt{3})\) बहुपद \(x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 36x - 9\) के शून्यांक हैं तो शेष शून्यांक ज्ञात कीजिए।
Answer: मूलों का योग \(= (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4\)
मूलों का गुणनफल \(= (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\)
द्विघात गुणनखंड = \(x^2 - 4x + 1\)
बहुपद को \(x^2 - 4x + 1\) से भाग देने पर भागफल \(x^2 - 9\) प्राप्त होता है।
\(x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3\)
अतः शेष शून्यांक \(\pm 3\) हैं।
In simple words: शून्यांकों से द्विघात समीकरण बनाकर भाग दें और शेष भाग के मूल निकालें।

Exam Tip: संयुग्मी मूलों से हमेशा परिमेय गुणांक वाला द्विघात बहुपद बनता है।

Question 36. \(8x^4 + 14x^3 - 4x^2 + 7x - 8\) में से क्या घटाया जाए कि प्राप्त बहुपद \(4x^2 + 3x - 2\) से पूर्णतया विभाजित हो।
Answer: दिए गए बहुपद में \(4x^2 + 3x - 2\) से भाग देने पर जो शेषफल प्राप्त होगा, वही घटाया जाना चाहिए।
भाग देने पर शेषफल \(14x - 10\) प्राप्त होता है।
अतः अभीष्ट घटाई जाने वाली संख्या/व्यंजक \(14x - 10\) है।
In simple words: बहुपद विभाजन में जो शेषफल बचता है, उसे ही घटाने पर संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

Question 37. \(4x^4 + 2x^3 - 2x^2 + x - 1\) में \(p(x)\) जोड़ने पर प्राप्त बहुपद \((x^2 + 2x - 3)\) से पूर्णतया विभाजित होता है। \(p(x)\) ज्ञात कीजिए।
Answer: भाजक \(x^2 + 2x - 3\) के गुणनखंड \((x + 3)(x - 1)\) हैं।
भाग देने पर शेषफल \(-61x + 65\) प्राप्त होता है।
चूँकि बहुपद को विभाजित करने के लिए शेषफल को शून्य करना होगा, अतः \(p(x)\) जोड़ने पर शेषफल जुड़ेगा। तदनुसार \(p(x) = 61x - 65\) होगा।
In simple words: शेषफल का ऋणात्मक ही वह बहुपद है जिसे जोड़ने पर भाग पूरा चला जाता है।

Question 38. \(a\) तथा \(b\) का मान ज्ञात कीजिए यदि \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\), बहुपद \((x^2 + 1)\) का गुणज है।
Answer: \(x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1\)
बहुपद में \(x^2 = -1\) रखने पर शेषफल शून्य होना चाहिए:
\((-1)^2 + (-1)x + 8(-1) + ax + b = 0\)
\(1 - x - 8 + ax + b = 0 \implies (a - 1)x + (b - 7) = 0\)
तुलना करने पर: \(a - 1 = 0 \implies a = 1\) तथा \(b - 7 = 0 \implies b = 7\)।
In simple words: \(x^2 = -1\) रखकर वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर करें।

Question 39. यदि बहुपद \(6x^4 + 8x^3 + 17x^2 + 21x + 7\) को \(3x^2 + 1 + 4x\) से विभाजित करें तो शेषफल \(r(x) = ax + b\) है। \(a\) तथा \(b\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद में मानक रूप \(3x^2 + 4x + 1\) से भाग देने पर विभाजन प्रक्रिया के अंत में शेषफल \(x + 2\) प्राप्त होता है।
तुलना करने पर: \(r(x) = x + 2 = ax + b\)
अतः \(a = 1\) तथा \(b = 2\)।
In simple words: सामान्य बीजगणितीय भाग देकर शेषफल की तुलना \(ax + b\) से करें।

Question 40. \(2x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 3x + 6\) के सभी शून्यांक ज्ञात कीजिए यदि \(\pm\sqrt{\frac{3}{2}}\) इसके दो गुणनखंड हैं।
Answer: गुणनखंड \(\left(x - \sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x + \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = x^2 - \frac{3}{2}\) अर्थात \(2x^2 - 3\)
बहुपद को \(2x^2 - 3\) से भाग देने पर भागफल \(x^2 - x - 2\) प्राप्त होता है।
\(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, -1\)
अतः सभी शून्यांक \(2, -1, \pm\sqrt{\frac{3}{2}}\) हैं।
In simple words: दिए गए मूलों से द्विघात समीकरण बनाकर भाग दें और भागफल के गुणनखंड करें।

Question 41. \(x^4 - 3x^3 - x^2 + 9x - 6\) के सभी शून्यांक ज्ञात कीजिए यदि \(-\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) इसके दो शून्यांक हैं।
Answer: मूल \(\pm\sqrt{3}\) हैं, अतः द्विघात गुणनखंड \(x^2 - 3\) है।
बहुपद में \(x^2 - 3\) से भाग देने पर भागफल \(x^2 - 3x + 2\) प्राप्त होता है।
\(x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) = 0 \implies x = 2, 1\)
अतः सभी शून्यांक \(\pm\sqrt{3}, 1, 2\) हैं।
In simple words: \(x^2 - 3\) से भाग देकर प्राप्त द्विघात समीकरण के गुणनखंड करें।

Question 42. यदि \((x^3 - 3x + 1)\), बहुपद \(x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1\) का एक गुणनखंड है तो शेष दो गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुपद में \((x^3 - 3x + 1)\) से भाग देने पर भागफल \(x^2 - 1\) प्राप्त होता है।
\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
अतः शेष दो गुणनखंड \((x - 1)\) तथा \((x + 1)\) हैं।
In simple words: भाग देने पर जो भागफल मिले, उसके गुणनखंड कर लें।

Question 43. बहुपद \(ax^2 + bx + c\) का ग्राफ क्या दर्शाता है? यह किस प्रकार का ग्राफ है यदि (i) \(a > 0\) (ii) \(a < 0\)? क्या होगा यदि \(a = 0\) हो तो?
Answer: यह एक परवलय वक्र (Parabola) को दर्शाता है।
(i) यदि \(a > 0\), तो यह ऊर्ध्वमुखी परवलय (Upward parabola) होता है।
(ii) यदि \(a < 0\), तो यह अधोमुखी परवलय (Downward parabola) होता है।
यदि \(a = 0\), तो द्विघात पद समाप्त हो जाता है और ग्राफ एक सरल रेखा (Straight line) बन जाता है।
In simple words: द्विघात बहुपद का ग्राफ हमेशा परवलय होता है, जो \(a\) के चिह्न पर निर्भर करता है।