CBSE Class 10 Mathematics Coordinate Geometry Assignment Set 10

अध्याय 6

रचनाएँ

महत्त्वपूर्ण बिन्दु

1. रचनाएँ साफ सुथरी, स्पष्ट तथा निर्देशननुसार होनी चाहिए।
2. रचना के पद केवल वहीं लिखें जहाँ निर्देश दिए हों।

प्रश्न

Question 1. एक रेखाखण्ड \(AB = 7\) सेमी खींचिए। \(AB\) पर एक बिन्दु \(P\) इस प्रकार लीजिए कि \(AP : PB = 3 : 4\) हो।
Answer: रचना के पद:
1. \(AB = 7\) सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिन्दु \(A\) पर नीचे की ओर एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण \(AX\) खींचिए।
3. किरण \(AX\) पर \(3 + 4 = 7\) समान भाग (\(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7\)) अंकित कीजिए।
4. बिन्दु \(A_7\) को \(B\) से मिलाइए।
5. बिन्दु \(A_3\) से \(A_7B\) के समान्तर रेखा खींचिए जो \(AB\) को बिन्दु \(P\) पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार \(AP : PB = 3 : 4\) प्राप्त होता है।
In simple words: दिए गए अनुपात 3:4 के अनुसार रेखाखण्ड को विभाजित करने के लिए कुल 7 भाग बनाकर समान्तर रेखा खींची जाती है।

Exam Tip: रचना के चरणों को संक्षिप्त और स्पष्ट भाषा में लिखें।

Question 2. एक रेखाखण्ड \(PQ = 10\) सेमी खींचिए। \(PQ\) पर एक बिन्दु \(A\) इस प्रकार लीजिए कि \(\frac{PA}{PQ} = \frac{2}{5}\) हो। \(PA\) और \(AQ\) की लम्बाई मापिए।
Answer: रचना के पद:
1. \(PQ = 10\) सेमी का रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिन्दु \(P\) पर एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण \(PX\) खींचिए।
3. किरण \(PX\) पर 5 समान भाग (\(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5\)) अंकित कीजिए।
4. \(P_5\) को \(Q\) से मिलाइए।
5. बिन्दु \(P_2\) से \(P_5Q\) के समान्तर रेखा खींचिए जो \(PQ\) को \(A\) पर काटे।
लम्बाई मापने पर: \(PA = 4\) सेमी तथा \(AQ = 6\) सेमी प्राप्त होता है।
In simple words: 5 भागों में से 2 भाग पर बिन्दु \(A\) लेकर रेखाखण्ड को विभाजित किया गया है।

Exam Tip: माप लेते समय स्केल का सही उपयोग करें।

Question 3. एक \(\Delta ABC\) की रचना कीजिए जिसमें \(BC = 6.5\) सेमी, \(AB = 4.5\) सेमी तथा \(\angle ACB = 60^\circ\)। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जो \(\Delta ABC\) के समरूप हो तथा जिसकी प्रत्येक भुजा \(\Delta ABC\) की संगत भुजा का \(\frac{4}{5}\) हो।
Answer: रचना के पद:
1. \(BC = 6.5\) सेमी का रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिन्दु \(C\) पर \(\angle C = 60^\circ\) बनाती हुई किरण खींचिए और \(4.5\) सेमी चाप काटकर \(A\) बिन्दु प्राप्त कीजिए।
3. \(A\) को \(B\) से मिलाइए जिससे \(\Delta ABC\) बन जाए।
4. नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई किरण \(BX\) खींचिए और उस पर 5 समान बिन्दु अंकित कीजिए।
5. \(B_5\) को \(C\) से मिलाइए तथा \(B_4\) से \(B_5C\) के समान्तर रेखा खींचकर \(C'\) प्राप्त कीजिए।
6. इसी प्रकार \(C'\) से \(AC\) के समान्तर रेखा खींचकर \(A'\) प्राप्त कीजिए। \(\Delta A'BC'\) अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।
In simple words: पहले मूल त्रिभुज बनाकर \(\frac{4}{5}\) अनुपात वाला छोटा समरूप त्रिभुज बनाया जाता है।

Exam Tip: समान्तर रेखाएँ खींचते समय संगत कोणों का विशेष ध्यान रखें।

Question 4. \(\Delta XYZ\) की रचना कीजिए जिसमें \(XY = 5\) सेमी, \(YZ = 7\) सेमी तथा \(\angle XYZ = 75^\circ\)। \(\Delta X'YZ'\) बनाइए जिसकी प्रत्येक भुजा की संगत भुजा के \(\frac{3}{2}\) भाग के बराबर हो।
Answer: रचना के पद:
1. \(YZ = 7\) सेमी का रेखाखण्ड खींचिए।
2. बिन्दु \(Y\) पर \(75^\circ\) का कोण बनाती हुई किरण खींचिए और \(5\) सेमी चाप काटकर \(X\) बिन्दु प्राप्त कीजिए।
3. \(X\) को \(Z\) से मिलाइए।
4. किरण \(YX\) पर 3 समान भाग खींचिए और \(\frac{3}{2}\) के अनुपात के अनुसार \(\Delta X'YZ'\) की रचना कीजिए।
In simple words: यहाँ \(\frac{3}{2} > 1\) है, अतः नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बड़ा बनेगा।

Exam Tip: यदि अंश बड़ा हो, तो त्रिभुज बाहर की ओर बनता है।

Question 5. एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाइए जिसका आधार \(8\) सेमी तथा शीर्षलम्बा \(5\) सेमी हो। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं के \(\frac{3}{4}\) गुने के बराबर हो।
Answer: रचना के पद:
1. \(8\) सेमी का आधार \(BC\) खींचिए।
2. \(BC\) का लम्ब समद्विभाजक खींचिए और उस पर \(5\) सेमी ऊँचाई काटकर शीर्ष \(A\) प्राप्त कीजिए।
3. \(AB\) और \(AC\) को मिलाइए।
4. \(\frac{3}{4}\) अनुपात के अनुसार समरूप त्रिभुज की रचना कीजिए।
In simple words: लम्ब समद्विभाजक की सहायता से समद्विबाहु त्रिभुज बनाकर फिर समरूप त्रिभुज बनाते हैं।

Exam Tip: लम्ब समद्विभाजक बिल्कुल सटीक होना चाहिए।

Question 6. एक समद्विबाहु \(\Delta ABC\) की रचना कीजिए जिसमें \(AB = AC\) तथा आधार \(BC = 7\) सेमी और शीर्ष कोण \(120^\circ\) हो। \(\Delta A'B'C' \sim \Delta ABC\) की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ \(\Delta ABC\) की संगत भुजाओं की \(1\frac{1}{3}\) गुनी हो।
Answer: रचना के पद:
1. \(BC = 7\) सेमी खींचिए।
2. बिन्दु \(B\) और \(C\) पर \(30^\circ - 30^\circ\) के कोण बनाकर शीर्ष \(A\) प्राप्त कीजिए (\(\because 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), \(60^\circ \div 2 = 30^\circ\))।
3. \(\Delta ABC\) पूरा कीजिए।
4. \(1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\) अनुपात के अनुसार बड़ा समरूप त्रिभुज बनाइए।
In simple words: मिश्र भिन्न \(1\frac{1}{3}\) को \(\frac{4}{3}\) में बदलकर समरूप त्रिभुज बनाते हैं।

Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) नियम का प्रयोग करें।

Question 7. \(\Delta PQR\) की रचना जिसमें \(\angle Q = 90^\circ\), \(PQ = 6\) सेमी, \(QR = 8\) सेमी, \(\Delta P'Q'R' \sim \Delta PQR\) की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ \(\Delta PQR\) की संगत भुजाओं के \(\frac{2}{3}\) भाग के बराबर हो।
Answer: रचना के पद:
1. आधार \(QR = 8\) सेमी खींचिए।
2. बिन्दु \(Q\) पर \(90^\circ\) का कोण बनाइए और \(PQ = 6\) सेमी काटिए।
3. \(P\) को \(R\) से मिलाइए।
4. \(\frac{2}{3}\) अनुपात के लिए \(Q\) से न्यूनकोण रेखा खींचकर समरूप त्रिभुज बनाइए।
In simple words: समकोण त्रिभुज बनाकर उसके अन्दर \(\frac{2}{3}\) माप का छोटा समरूप त्रिभुज बनाते हैं।

Exam Tip: समकोण बनाने के लिए परकार का उपयोग करें।

Question 8. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार शीर्षलम्ब का दुगुना हो। इस त्रिभुज के समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार दिए हुए त्रिभुज के आधार का \(1.5\) गुना हो।
Answer: रचना के पद:
1. मान लीजिए शीर्षलम्ब \(h = 4\) सेमी है, तो आधार \(8\) सेमी होगा।
2. आधार \(8\) सेमी खींचकर उसका लम्ब समद्विभाजक खींचें और \(4\) सेमी ऊँचाई लेकर समकोण त्रिभुज बनाएँ।
3. \(1.5\) (\(\frac{3}{2}\)) गुने माप का समरूप त्रिभुज बनाएँ।
In simple words: आधार को शीर्षलम्ब से दोगुना मानकर त्रिभुज की रचना की जाती है।

Exam Tip: \(1.5\) को भिन्न \(\frac{3}{2}\) के रूप में हल करें।

Question 9. एक समबाहु \(\Delta PQR\) की रचना कीजिए जिसकी भुजा \(5\) सेमी हो। \(\Delta P'Q'R'\) की रचना इस प्रकार कीजिए कि \(\frac{PQ}{P'Q'} = \frac{1}{2}\)। \(P'Q'\) की लम्बाई मापिए।
Answer: रचना के पद:
1. \(5\) सेमी भुजा का समबाहु त्रिभुज \(PQR\) बनाइए।
2. \(\frac{PQ}{P'Q'} = \frac{1}{2}\) के अनुसार \(P'Q' = 2 \times PQ = 2 \times 5 = 10\) सेमी होगा।
3. माप ने पर \(P'Q' = 10\) सेमी प्राप्त होता है।
In simple words: अनुपात से स्पष्ट है कि नया त्रिभुज दोगुना बड़ा होगा।

Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं।

Question 10. \(4\) सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र \(O\) है। एक बिन्दु \(P\) इस प्रकार लीजिए कि \(OP = 6\) सेमी हो। बिन्दु \(P\) से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ \(PA\) और \(PB\) खींचिए। \(PA\) और \(PB\) की लम्बाई मापिए।
Answer: रचना के पद:
1. \(4\) सेमी त्रिज्या और केन्द्र \(O\) वाला वृत्त खींचिए।
2. \(OP = 6\) सेमी की दूरी पर बिन्दु \(P\) लीजिए।
3. \(OP\) का लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो \(OP\) को \(M\) पर काटे।
4. \(M\) को केन्द्र मानकर और \(MO\) त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए जो पहले वृत्त को \(A\) और \(B\) पर काटे।
5. \(P\) को \(A\) और \(B\) से मिलाइए।
माप: \(PA = PB \approx 4.47\) सेमी।
In simple words: बाह्य बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचने के लिए मध्य-बिन्दु मानकर सहायक वृत्त बनाया जाता है।

Exam Tip: बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लम्बाई में बराबर होती हैं।

Question 11. एक रेखाखण्ड \(AB = 8\) सेमी खींचिए। \(AB\) को व्यास मानकर एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र \(O\) हो। \(OP \perp AB\) खींचिए। \(P\) से वृत्त की स्पर्श रेखा खींचिए।
Answer: रचना के पद:
1. \(AB = 8\) सेमी खींचकर इसका मध्य-बिन्दु \(O\) ज्ञात कीजिए।
2. \(O\) को केन्द्र तथा \(4\) सेमी त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए।
3. \(O\) पर लम्ब रेखा खींचिए जो वृत्त को \(P\) पर काटे।
4. बिन्दु \(P\) पर त्रिज्या \(OP\) के लम्बवत् रेखा खींचिए जो अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
In simple words: त्रिज्या के अन्त्य बिन्दु पर लम्ब खींचकर स्पर्श रेखा प्राप्त की जाती है।

Exam Tip: त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण \(90^\circ\) होता है।

Question 12. एक वृत्त जिसकी त्रिज्या \(OP = 3\) सेमी हो खींचिए। \(\angle PQR = 45^\circ\) इस प्रकार बनाइए कि \(OQ = 5\) सेमी हो। बिन्दु \(Q\) से इस वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
Answer: रचना के पद:
1. \(3\) सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
2. केन्द्र \(O\) से \(OQ = 5\) सेमी की दूरी पर बिन्दु \(Q\) लीजिए।
3. \(OQ\) का लम्ब समद्विभाजक खींचकर सहायक वृत्त बनाइए जो मूल वृत्त को स्पर्श बिन्दुओं पर काटे।
4. \(Q\) से स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
In simple words: केन्द्र से 5 सेमी दूर स्थित बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना की जाती है।

Exam Tip: रचना के सभी चरण क्रमानुसार लिखें।

Question 13. \(3.5\) सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र \(O\) हो। बाह्य बिन्दु \(P\) से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ \(PA\) और \(PB\) इस प्रकार खींचिए कि \(\angle APB = 45^\circ\), \(\angle AOB + \angle APB\) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल:
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \(180^\circ\) होता है:
\(\angle AOB + \angle APB = 180^\circ\)
दिया है: \(\angle APB = 45^\circ\)
अतः \(\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)
कुल योग \(\angle AOB + \angle APB = 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ\)
In simple words: वृत्त के बाह्य बिन्दु से बनी स्पर्श रेखाओं और त्रिज्याओं द्वारा बने चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

Exam Tip: प्रमेय का उपयोग करके मान सीधे निकाला जा सकता है।

Question 14. \(4\) सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। बाह्य बिन्दु \(P\) से दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि उनके बीच का कोण उनके स्पर्श बिन्दुओं द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा हो।
Answer: रचना के पद:
1. \(4\) सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
2. केन्द्र पर ऐसा कोण बनाइए जिसका आधा बाह्य बिन्दु पर बने (अर्थात केन्द्र पर \(120^\circ\) का कोण बनाने पर बाह्य कोण \(60^\circ\) बनेगा)।
3. स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
In simple words: केन्द्र पर \(120^\circ\) का कोण लेकर अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं।

Exam Tip: \(\angle APB + \angle AOB = 180^\circ\) संबंध का प्रयोग करें।

Question 15. रेखाखण्ड \(AB = 9\) सेमी खींचिए। \(A\) और \(B\) को केन्द्र लेकर दो वृत्तों की रचना कीजिए जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः \(5\) सेमी और \(3\) सेमी हो। प्रत्येक के केन्द्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
Answer: रचना के पद:
1. \(AB = 9\) सेमी रेखाखण्ड खींचिए।
2. \(A\) को केन्द्र मानकर \(5\) सेमी त्रिज्या का और \(B\) को केन्द्र मानकर \(3\) सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
3. \(AB\) का लम्ब समद्विभाजक खींचकर सहायक वृत्त बनाइए जो दोनों वृत्तों को काटे और स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
In simple words: दोनों केन्द्रों के बीच की दूरी को आधार मानकर पारस्परिक स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं।

Exam Tip: चित्र स्पष्ट और स्वच्छ होना चाहिए।

Question 16. \(3.5\) सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र \(O\) है। एक बिन्दु \(P\) इस प्रकार लीजिए कि \(OP = 6\) सेमी. \(OP\) वृत्त को बिन्दु \(T\) पर प्रतिच्छेद करती है। \(PQ\) और \(PR\) दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए। \(Q\) को \(R\) से मिलाइए। बिन्दु \(T\) से \(AB \parallel QR\) इस प्रकार बनाइए कि \(A\) तथा \(B\) क्रमशः \(PQ\) और \(PR\) पर स्थित हों।
Answer: रचना के पद:
1. \(3.5\) सेमी त्रिज्या और केन्द्र \(O\) का वृत्त खींचिए।
2. \(OP = 6\) सेमी लेकर स्पर्श रेखाएँ \(PQ\) और \(PR\) खींचिए।
3. \(Q\) को \(R\) से मिलाइए तथा \(T\) बिन्दु पर \(QR\) के समान्तर रेखा खींचिए।
In simple words: दिए गए निर्देशों के अनुसार स्पर्श रेखाओं और समान्तर रेखाओं की रचना की जाती है।

Exam Tip: समान्तर रेखा खींचने के लिए संगत कोण बराबर बनाएँ।

Question 17. \(7\) सेमी व्यास का एक वृत्त खींचिए। वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म इस प्रकार खींचिए कि दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण \(60^\circ\) हो।
\Answer: रचना के पद:
1. \(7\) सेमी व्यास (अर्थात \(3.5\) सेमी त्रिज्या) का वृत्त खींचिए।
2. केन्द्र पर \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) का कोण बनाने वाली दो त्रिज्याएँ खींचिए।
3. इन त्रिज्याओं के अन्त्य बिन्दुओं पर \(90^\circ\) के कोण बनाती हुई स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो \(60^\circ\) पर प्रतिच्छेद करेंगी।
In simple words: केन्द्र पर \(120^\circ\) का कोण बनाकर अभीष्ट स्पर्श रेखा युग्म प्राप्त होता है।

Exam Tip: स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केन्द्र पर बना कोण संपूरक होते हैं।

Question 18. केन्द्र \(O\) तथा त्रिज्या \(3.5\) सेमी का एक वृत्त खींचिए। एक क्षैतिज व्यास लीजिए। इसे दोनों ओर \(P\) तथा \(Q\) तक इस प्रकार बढ़ाइए कि \(OP = OQ = 7\) सेमी हो। \(PA\) तथा \(QB\) दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार खींचिए कि एक व्यास के ऊपर हो और दूसरी नीचे। क्या \(PQ \parallel AB\)?
Answer: रचना के पद:
1. \(3.5\) सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचकर क्षैतिज व्यास खींचिए।
2. व्यास को दोनों तरफ बढ़ाकर \(OP = OQ = 7\) सेमी अंकित कीजिए।
3. बिन्दुओं \(P\) और \(Q\) से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ \(PA\) और \(QB\) खींचिए।
निष्कर्ष: हाँ, रचना से स्पष्ट है कि \(PQ \parallel AB\) है।
In simple words: ज्यामितीय गुणों के आधार पर दोनों रेखाएँ एक-दूसरे के समान्तर सिद्ध होती हैं।

Exam Tip: एकांतर कोणों या संगत कोणों की समानता से समान्तरता की पुष्टि करें।