UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.1

Ex 5.1 Polynomial And Their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. निम्न में से कौन बहुपद नही है?
(a) \(x^2 + 3x + 5\)
(b) \(x^2 +6x\)
(c) \(\sqrt{x} +5x\)
(d) \(x + 5\)
Answer: (c) \(\sqrt{x} +5x\)
(c) \(\sqrt{x}+5 x=x^{\frac{1}{2}}+5 x\) एक बहुपद नहीं है। क्योंकि \(x^{1/2}\) में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है जो ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।
In simple words: A polynomial requires all variable exponents to be non-negative integers. In option (c), the term \(\sqrt{x}\) has an exponent of \(1/2\), which is not an integer, making it not a polynomial.

🎯 Exam Tip: Identify terms with fractional or negative exponents in variables; these prevent an expression from being classified as a polynomial.

Question 2. निम्न में से कौन बहुपद नही है?
(a) \(x^5 + 3x + 5\)
(b) 7
(c)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक भिन्न को दर्शाता है जिसमें अंश में एक द्विघात बहुपद \(x^2 + 5x + 3\) है और हर में एक रैखिक बहुपद \(3x + 5\) है। यह एक परिमेय व्यंजक है, न कि केवल एक साधारण बहुपद।
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक भिन्न को दर्शाता है जिसमें अंश में एक द्विघात बहुपद \(x^2 + 5x + 3\) है और हर में एक रैखिक बहुपद \(3x + 5\) है। यह एक परिमेय व्यंजक है, न कि केवल एक साधारण बहुपद।
एक बहुपद नहीं है। क्योंकि \(x\) की प्रत्येक घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।
In simple words: Option (c) is a rational expression (a fraction with polynomials in the numerator and denominator), not a polynomial itself, because the variable \(x\) in the denominator implies a negative exponent if brought to the numerator.

🎯 Exam Tip: Remember that division by a variable term (like \(3x+5\)) generally means the expression is not a polynomial, as it leads to negative exponents when simplified.

Question 3. निम्न में से कौन एकपदीय बहुपद है?
(a) \(x^2 + 5x\)
(b) \(5x\)
(c) \(x + 5\)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) \(5x\)
(b) \(5x\) एकपदीय बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।
In simple words: A monomial (एकपदीय बहुपद) is a polynomial with exactly one term. Out of the given options, \(5x\) is the only expression consisting of a single term.

🎯 Exam Tip: To identify a monomial, simply count the number of terms. Terms are separated by addition or subtraction signs.

Question 4. निम्न में से कौन एकपदीय बहुपद है?
(a) \(x^2 + 4x +5\)
(b) \(x^2 + 5x\)
(c) \(4x^5\)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) \(4x^5\)
(c) \(4x^5\) एकपदी बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।
In simple words: A monomial has only one term. In this question, \(4x^5\) is the only option that contains a single term, making it a monomial.

🎯 Exam Tip: Polynomials are classified by the number of terms (monomial-1, binomial-2, trinomial-3) and the degree (highest exponent of the variable).

Question 5. निम्न में से कौन द्विपदीय बहुपद है?
(a) \(x^2 + 5\)
(b) \(x^2 + 5x\)
(c) \(x^3 + x\)
(d) सभी सत्य है।
Answer: (d) सभी सत्य है।
(d) \(x^2 + 5\), \(x^2 + 5x\) तथा \(x^3 + x\) तीनों द्विपदी बहुपद है क्योंकि इनमें दो पद है।
In simple words: A binomial (द्विपदीय बहुपद) is a polynomial with exactly two terms. All the given options (a), (b), and (c) have two terms, hence all are binomials.

🎯 Exam Tip: Binomials are characterized by having two distinct terms separated by an addition or subtraction operation.

Question 6. निम्न में से कौन त्रिपद बहुपद है?
(a) \(x^3 + 3x^2\)
(b) \(x^2 + x + 5\)
(c) \(x^3 + 7x\)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) \(x^2 + x + 5\)
(b) \(x^2 + x + 5\) त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
In simple words: A trinomial (त्रिपद बहुपद) is a polynomial that consists of exactly three terms. Option (b) has three terms, making it a trinomial.

🎯 Exam Tip: Count the terms in an expression to classify it as a monomial, binomial, or trinomial. Terms are separated by \(+\) or \(-\) signs.

Question 7. बहुपद. \(2x^3 + 6 + x^2 - x + 6x\) का आरोही क्रम क्या है?
(a) \(6 + 6x + x^2 + 2x^3 - x^5\)
(b) \(x^2 + 6 + 6x + 2x^3 - x^5\)
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है
(d) इनमें से कोई नहीं .
Answer: (a) \(6 + 6x + x^2 + 2x^3 - x^5\)
(a) बहुपद \(6 + 6x + x x^2 + 2x^3 - x^5\) आरोही क्रम में है। क्योंकि इसमें \(x\) को बढ़ती घात के क्रम में रखा गया है।
In simple words: Arranging a polynomial in ascending order means writing its terms such that the powers of the variable increase from left to right.

🎯 Exam Tip: For ascending order, start with the constant term (power \(x^0\)), followed by terms with increasing powers of the variable.

Question 8. बहुपद \(x^3 - x + x^2 - 2\sqrt{2}\) का अवरोही क्रम क्या है? .
(a) \(x^3 + x^2 - x - 2\sqrt{2}\)
(b) \(-2\sqrt{2} - x + x^2 + x^3\)
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है।
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) \(x^3 + x^2 - x - 2\sqrt{2}\)
(a) बहुपद \(x^3 + x^2 -x - 2\sqrt{2}\) अवरोही क्रम में है क्योंकि इसमें \(x\) को घटती घात के क्रम में रखा गया है।
In simple words: Arranging a polynomial in descending order means writing its terms so that the powers of the variable decrease from left to right.

🎯 Exam Tip: For descending order, start with the term having the highest power of the variable, and proceed to terms with successively lower powers, ending with the constant term.

Question 9. एक बहुपद जिसके प्रत्येक पद का गुणांक शून्य हो वह कहलाता है?
(a) अचर बहुपद
(b) शून्य बहुपद
(c) (a) व (b) दोनों सत्य है
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) शून्य बहुपद
हलः (b) शून्य बहुपद, क्योंकि इसके सभी पदों के गुणांक शून्य होते है।
In simple words: A polynomial where every coefficient is zero is called a zero polynomial.

🎯 Exam Tip: The degree of a zero polynomial is undefined or sometimes taken as negative infinity, distinguishing it from a constant polynomial (whose degree is 0).

Question 10. एक बहुपद में जाँचिये, क्या एक बहुपद में चर की घात ऋणात्मक नहीं होती?
Answer: बहुपद में किसी चर की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
In simple words: For an expression to be a polynomial, the exponents of all its variables must be non-negative integers.

🎯 Exam Tip: Always check that all variable powers are whole numbers (\(0, 1, 2, ...\)) to confirm if an expression is a polynomial.

Question 11. एक बहुपद जिसमें केवल वास्तविक संख्या का एक पद होता है, उस बहुपद का नाम बताइये ।
Answer: अचर बहुपद, क्योंकि अचर बहुपद में वास्तविक संख्या का एक ही पद होता है।
In simple words: A polynomial with only a constant real number as its single term is called a constant polynomial.

🎯 Exam Tip: A constant polynomial, like 7 or -5, has a degree of zero, as it can be written as \(7x^0\).

Ex 5.1 Polynomial And Their Factors लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 12. निम्न व्यंजकों में से कौन बहुपद है?
(i) \(2x^2 + 5x + 6\)
(ii) \(x^2 + 6x\)
(iii) \(\sqrt{2} x^2 + \sqrt{3} x\)
(iv) \(2x+\frac{1}{x^2}\)
(v) \(x^2 + \sqrt{2x} + 6\)
Answer:
(i) \(2x^2 + 5x + 6\) एक बहुपद है।
(ii) \(x^2 + 6x\) एक बहुपद है ।
(iii) \(\sqrt{2} x^2 + \sqrt{3} x\) एक बहुपद है।
(iv) \(2x+\frac{1}{x^2}= 2x + x^{-2}\) एक बहुपद नहीं है क्योंकि \(x\) की सभी घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।
(v) \(x^2 + \sqrt{2x} + 6 = x^2 + \sqrt{2} x^{\frac{1}{2}} + 6\) एक बहुपद नहीं है क्योंकि \(x\) की सभी घात ऋणेत्तर पूर्णांक नहीं है।
In simple words: Expressions are polynomials if all variable exponents are non-negative integers. (i), (ii), and (iii) satisfy this, while (iv) has a negative exponent (\(x^{-2}\)) and (v) has a fractional exponent (\(x^{1/2}\)), making them not polynomials.

🎯 Exam Tip: When evaluating if an expression is a polynomial, ensure variables are not under a radical sign (unless it resolves to an integer exponent) or in the denominator of a fraction.

Question 13. निम्न व्यंजको में से एकपदी, द्विपदी व त्रिपदी ज्ञात कीजिए।
(i) \(6x^2 +5\)
(ii) \(6x\)
(iii) \(x^3 + 3x^2 + 1\)
(iv) \(x^3 + 6x^2 + 5x\)
(v) \(x^2 + 1\)
Answer:
(i) \(6x^2 + 5\) द्विपदी बहुपद है क्योंकि इसमें दो पद है।
(ii) \(6x\) एकपदी बहुपद है क्योंकि इसमें एक पद है।
(iii) \(x^3 + 3x^2 + 1\) त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
(iv) \(x^3 + 6x^2 + 5x\) त्रिपदी बहुपद है क्योंकि इसमें तीन पद है।
(v) \(x^2 +1\) द्विपदी बहुपद है क्योंकि इसमें दो पद है।
In simple words: Polynomials are categorized by the number of terms: monomials have one term, binomials have two, and trinomials have three.

🎯 Exam Tip: Count the terms carefully; each term is a product of numbers and variables, separated by addition or subtraction operations.

Question 14. निम्न बहुपदों को उनके मानक रूप में लिखिये ।
(i) \(x^6 - 3x^4 + \sqrt{2} x + 5x^2 - 2x^5 + 4\)
(ii) \(x^7 - 3x^5 + \sqrt{2} x+\frac{4}{3} x^{2} - 2x^6 + 4\)
(iii) \(2x^3 + 3 + x^2 - 3x^5 - x\)
(iv) \(1 + x^3 - 2x^2 - 7x^5\)
Answer:
(i) \(x\) को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 5x^2 + \sqrt{2} x + 4\)
\(x\) को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(4 + \sqrt{2} x + 5x^2 - 3x^4 - 2x^5 + x^6\)
(ii) \(x\) को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(x^7 - 2x^6 - 3x^5 + \frac{4}{3} x^{2}+\sqrt{2} x +4\)
\(x\) को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(4 + \sqrt{2} x+\frac{4}{3} x^{2} - 3x^5 - 2x^6 + x^7\)
(iii) \(x\) को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(-3x^5 + 2x^3 + x^2 - x + 3\)
\(x\) को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(3 - x + x^2 + 2x^3 - 3x^5\)
(iv) \(x\) को अवरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(-7x^5 + x^3 - 2x^2 + 1\)
\(x\) को आरोही घात के क्रम में रखने पर मानक रूप
\(1 - 2x^2 + x^3 - 7x^5\)
In simple words: The standard form of a polynomial involves arranging its terms in either descending order (highest exponent first) or ascending order (lowest exponent first) of the variable's powers.

🎯 Exam Tip: Be meticulous with signs when rearranging terms; each term's sign belongs to it. For standard form, either descending or ascending order is acceptable, but consistently apply one.

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