UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables

प्रश्नावली 4.1

Question 1.एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला रैखिक समीकरण लिखिए ।
Answer: हल : माना एक नोटबुक की कीमत = x एक कलम की कीमत = y प्रश्नानुसार, एक नोटबुक की कीमत = 2 x एक कलम की कीमत x = 2y
\( \implies \) x - 2y = 0
In simple words: If a notebook costs twice a pen, and we assign 'x' to the notebook price and 'y' to the pen price, the relationship can be written as x = 2y, which simplifies to x - 2y = 0.

🎯 Exam Tip: Clearly define your variables (x and y) before forming the linear equation to avoid confusion and ensure full marks.

Question 2.निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान बताइएः
Answer:
(i) 2x + 3y = 9.35
हल : (i) दिया समीकरण 2x + 3y = 9.35
2x + 3y - 9.35 = 0
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = 3, c = -9.35
(ii) दिया समीकरण \( x - \frac{1}{5}y - 10 = 0 \)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, \( b = -\frac{1}{5} \), c = -10
(iii) दिया समीकरण - 2x + 3y = 6
- 2x + 3y - 6 = 0
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = -2, b = 3, c = -6
(iv) दिया समीकरण x = 3y
\( 1 \cdot x - 3y + 0 = 0 \)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, b = -3, c = 0
(v) दिया समीकरण 2x = - 5y
\( 2x + 5y + 0 = 0 \)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 2, b = 5, c = 0
(vi) दिया समीकरण 3x + 2 = 0
\( 3x + 0 \cdot y + 2 = 0 \)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 3, b = 0, c = 2
(vii) दिया समीकरण y - 2 = 0
\( 0 \cdot x + 1 \cdot y - 2 = 0 \)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 0, b = 1, c = -2
(viii) दिया समीकरण 5 = 2x
\( -2x + 0 \cdot y + 5 = 0 \)
ax + by + c = 0 से तुलना करने पर,
a = -2, b = 0, c = 5
In simple words: To express linear equations in the standard form \( ax + by + c = 0 \), rearrange the terms so all variables and constants are on one side, then identify the coefficients of x (a), y (b), and the constant term (c).

🎯 Exam Tip: Remember to move all terms to one side of the equation to match the standard form \( ax + by + c = 0 \) before identifying a, b, and c. Pay close attention to signs.

प्रश्नावली 4.2

Question 1.निम्नलिखित विकल्पों में से कौन-सा विकल्प सत्य है और क्यों?
y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है।
(ii) केवल दो हल हैं।
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
Answer: हल : दिया समीकरण y = 3x + 5 \( \implies \) 3x – y + 5 = 0 जो दो चर राशियों में रैखिक समीकरण है। क्योंकि x के प्रत्येक मान के लिए y का एक संगत मान होता है और विलोमतः भी। इसलिए इसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। विकल्प (iii) सत्य है।
Answer: (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
In simple words: A linear equation with two variables, like y = 3x + 5, represents a straight line. Every point on this line is a solution, and since a line has infinitely many points, there are infinitely many solutions.

🎯 Exam Tip: Understand that any linear equation in two variables will always have infinitely many solutions, as it forms a continuous line with endless points.

Question 2.निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए :
(i) 2x + y = 7
(ii) \( \pi x + y = 9 \)
(iii) x = 4y
Answer: हल : (i) दिया समीकरण 2x + y = 7
y = 7 - 2x
यदि x = 0 तो y = 7 - 2 \( \times \) 0 = 7 - 0 = 7
यदि x = 1 तो y = 7 - 2 \( \times \) 1 = 7 - 2 = 5
यदि x = 2 तो y = 7 - 2 \( \times \) 2 = 7 - 4 = 3
यदि x = 3 तो y = 7 - 2 \( \times \) 3 = 7 - 6 = 1
दिए समीकरण के चार हल निम्न हैं :
x = 0, y = 7; x = 1, y = 5; x = 2, y = 3; x = 3, y = 1
अर्थात (0, 7), (1, 5), (2, 3) तथा (3, 1)
(ii) दिया समीकरण \( \pi x + y = 9 \)
\( y = 9 - \pi x \)
यदि x = 0 तो \( y = 9 - \pi \times 0 = 9 - 0 = 9 \)
यदि x = 1 तो \( y = 9 - \pi \times 1 = 9 - \pi \)
यदि x = - 1 तो \( y = 9 - \pi \times (-1) = 9 + \pi \)
यदि \( x = \frac{9}{\pi} \) तो \( y = 9 - \pi \times \frac{9}{\pi} = 9 - 9 = 0 \)
दिए समीकरण के चार हल निम्न हैं :
x = 0, y = 9; \( x = 1, y = 9 - \pi \); \( x = -1, y = 9 + \pi \); \( x = \frac{9}{\pi}, y = 0 \)
अर्थात \( (0, 9), (1, 9 - \pi), (-1, 9 + \pi) \) तथा \( (\frac{9}{\pi}, 0) \)
(iii) दिया समीकरण x = 4y
यदि y = 0 तो x = 4 \( \times \) 0 = 0
यदि y = 1 तो x = 4 \( \times \) 1 = 4
यदि y = - 1 तो x = 4 \( \times \) (-1) = -4
यदि \( y = \frac{1}{2} \) तो \( x = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \)
दिए समीकरण के चार हल निम्न हैं :
x = 0, y = 0; x = 4, y = 1; x = -4, y = -1; \( x = 2, y = \frac{1}{2} \)
अर्थात \( (0, 0), (4, 1) (-4, -1) \) तथा \( (2, \frac{1}{2}) \)
In simple words: To find solutions for a linear equation, choose any value for one variable (like x), substitute it into the equation, and then solve for the other variable (y). Each pair of (x, y) values is a solution. Repeat this process multiple times to get the required number of solutions.

🎯 Exam Tip: When finding multiple solutions, choose simple integer values for one variable first (like 0, 1, -1) to make calculations easier. For equations involving \( \pi \), keep \( \pi \) in the solution unless specifically asked for a numerical approximation.

Question 3.बताइए कि निम्नलिखित हलों में से कौन-कौन समीकरण x – 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं है :
(i) (0, 2)
(ii) (2, 0)
(iii) (4, 0)
(iv) (\( \sqrt{2} \), \( 4\sqrt{2} \))
(v) (1, 1)
Answer: हल : (i) बायाँ पक्ष = x - 2y
= 0 - 2 \( \times \) 2
(x = 0 तथा y = 2 रखने पर)
= 0 - 4 = -4 \( \neq \) दायाँ पक्ष

\( \implies \) x = 0, y = 2 से दिया समीकरण सन्तुष्ट नहीं होता है।
अतः (x, y) = (0,2) इस समीकरण का हल नहीं है।
(ii) बायाँ पक्ष = x - 2y
= 2 - 2 \( \times \) 0
(x = 2 तथा y = 0 रखने पर)
= 2 - 0 = 2 \( \neq \) दायाँ पक्ष

\( \implies \) x = 2, y = 0 से दिया समीकरण सन्तुष्ट नहीं होता है।
अतः (x, y) = (2,0) इस समीकरण का हल नहीं है।
(iii) बायाँ पक्ष = x - 2y
= 4 - 2 \( \times \) 0
(x = 4 तथा y = 0 रखने पर)
= 4 - 0 = 4 = दायाँ पक्ष

\( \implies \) x = 4, y = 0 से दिया समीकरण सन्तुष्ट हो जाता है।
अतः (x, y) = (4,0) इस समीकरण का हल है।
(iv) बायाँ पक्ष = x - 2y
= \( \sqrt{2} - 2 \times 4\sqrt{2} \)
(x = \( \sqrt{2} \) तथा y = \( 4\sqrt{2} \) रखने पर)
= \( \sqrt{2} - 8\sqrt{2} = - 7\sqrt{2} \neq \) दायाँ पक्ष

\( \implies \) x = \( \sqrt{2} \), y = \( 4\sqrt{2} \) से दिया समीकरण सन्तुष्ट नहीं होता है।
अतः (x,y) = (\( \sqrt{2} \),\( 4\sqrt{2} \)) इस समीकरण का हल नहीं है।
(v) बायाँ पक्ष = x - 2y
= 1 - 2 \( \times \) 1
(x = 1 तथा y = 1 रखने पर)
= 1 - 2 = - 1 \( \neq \) दायाँ पक्ष

\( \implies \) x = 1, y = 1 से दिया समीकरण सन्तुष्ट नहीं होता है।
अतः (x, y) = (1, 1) इस समीकरण का हल नहीं है।
In simple words: To check if a given pair of (x, y) coordinates is a solution to an equation, substitute the x and y values into the equation. If both sides of the equation are equal after substitution, then the pair is a solution; otherwise, it is not.

🎯 Exam Tip: Always show your substitution steps clearly. A common mistake is arithmetic error; double-check calculations when plugging in values, especially with negative numbers or square roots.

Question 4.k का मान ज्ञात कीजिए जबकि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल हो।
Answer: हल : x = 2, y = 1 दिए समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है।
अतः यह समीकरण x = 2, y = 1 से सन्तुष्ट होगा।
दिए समीकरण में x = 2, y = 1 रखने पर
2 \( \times \) 2 + 3 \( \times \) 1 = k

\( \implies \) 4 + 3 = k

\( \implies \) k = 7
In simple words: If a point (x, y) is a solution to an equation, it means that when you substitute those x and y values into the equation, the equation holds true. Here, by substituting x=2 and y=1 into 2x+3y=k, we can directly find the value of k.

🎯 Exam Tip: When given a solution and asked to find a constant, simply substitute the given coordinates into the equation. This is a straightforward substitution problem, so be careful with arithmetic.

प्रश्नावली 4.3

Question 1.दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खीचिए।
(i) x + y = 4
(ii) x - y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
Answer: हल :
(i) दिया हुआ समीकरण : x + y = 4
माना x = 1, तब
3 + y = 4 या y = 4 - 1 या y = 3.
तब, समीकरण x + y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु A (1, 3) स्थित है।
पुनः माना x = 3, तब
3 + y = 4 या y = 4 - 3 या y = 1
तब समीकरण x + y = 4 के आलेख पर एक बिन्दु B (3, 1) स्थित है।
बिन्दुओं A (1, 3) तथा B(3, 1) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया। अब ऋजु, रेखा AB खींची।
ऋजु रेखा AB दिए हुए रैखिक समीकरण x + y = 4 का आलेख है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ x+y=4 समीकरण का आलेख दर्शाता है। इसमें x-अक्ष और y-अक्ष पर बिन्दु प्लॉट किए गए हैं, जिसमें बिन्दु A(1,3) और B(3,1) को एक सीधी रेखा से जोड़ा गया है। यह रेखा x+y=4 का ग्राफीय निरूपण करती है, जहां विभिन्न (x,y) मानों के लिए रेखा की स्थिति दिखाई गई है।
(ii) दिया हुआ समीकरण x - y = 2
माना x = 1, तब
1 - y = 2 या -y = 2 - 1 या y = -1
तब, समीकरण x – y = 2 के आलेख पर एक बिन्दु A(1, -1) स्थित है।
पुनः माना x = 4, तब
4 – y = 2 या -y = 2 – 4 या -y = - 2 या y = 2
तब समीकरण x – y = 2 के आलेख पर एक अन्य बिन्दु B (4, 2) स्थित है।
प्राप्त बिन्दुओं A (1, -1) वे B(4, 2) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया और उन्हें मिलाकर ऋजु रेखा AB खींची।
ऋजु रेखा AB दिए गए रैखिक समीकरण x – y = 2 का आलेख है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ समीकरण x-y=2 का आलेख प्रस्तुत करता है। इसमें कार्टेशियन तल पर x-अक्ष और y-अक्ष के साथ बिन्दु A(1,-1) और B(4,2) को प्लॉट किया गया है। इन दोनों बिन्दुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा x-y=2 समीकरण का ग्राफीय निरूपण है।
(iii) दिया हुआ समीकरण y = 3x
माना x = - 1, तो y = 3 \( \times \) -1 = -3
अतः समीकरण y = 3x के आलेख पर एक बिन्दु A (-1, -3) स्थित है।
पुनः माना x = 1, तो y = 3 \( \times \) 1 = 3
अतः समीकरण y = 3x के आलेख पर एक अन्य बिन्दु B (1, 3) स्थित है।
प्राप्त बिन्दुओं A(-1, -3)तथा B (1, 3) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया और उन्हें मिलाकर ऋजु रेखा AB खींची ।
ऋजु रेखा AB दिए गए रैखिक समीकरण y = 3 का आलेख है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ y=3x समीकरण का आलेख दिखाता है। इसमें x-अक्ष और y-अक्ष पर बिन्दु A(-1,-3) और B(1,3) को प्लॉट किया गया है। इन बिन्दुओं को मिलाकर खींची गई सीधी रेखा समीकरण y=3x का ग्राफीय निरूपण है।
(iv) दिया हुआ समीकरण : 3 = 2x + y या 2x + y = 3
माना x = -1 तो 2 \( \times \) -1 + y = 3 या -2 + y = 3 \( \implies \) y = 3 + 2 = 5
अतः समीकरण 3 = 2x + y के आलेख पर एक बिन्दु A(-1, 5) स्थित है।
पुनः माना x = 2 तो 2 \( \times \) 2 + y = 3 या 4 + y = 3 या y = 3 - 4 = -1
अतः समीकरण 3 = 2x + y के आलेख पर एक अन्य बिन्दु B (2, -1) स्थित है।
बिन्दुओं A(-1, 5) व B (2, -1) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया और ऋजु रेखा AB खींची। ऋजु रेखा AB दिए गए रैखिक समीकरण 3 = 2x + y या 2x + y = 3 का आलेख है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ समीकरण 3=2x+y का आलेख प्रस्तुत करता है। इसमें x-अक्ष और y-अक्ष पर बिन्दु A(-1,5) और B(2,-1) को दर्शाया गया है। इन दोनों बिन्दुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा 3=2x+y समीकरण का ग्राफीय निरूपण है।
In simple words: To draw the graph of a linear equation, find at least two pairs of (x, y) values that satisfy the equation. Plot these points on a Cartesian plane and then draw a straight line passing through them. This line is the graphical representation of the equation.

🎯 Exam Tip: Always find at least two points to draw a straight line accurately. Using points where x=0 or y=0 can simplify calculations and make plotting easier, as these are the intercepts. Label your axes and the graph correctly.

Question 2.बिन्दु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती हैं और क्यों?
Answer: हल : माना (2, 14) से होकर जाने वाली रेखा ax + by + c= 0 है । x = 2, y = 14 रखने पर, 2a + 14b + c = 0
यदि q = 1, b = 1 तो । 2 \( \times \) 1 + 14 \( \times \) 1 + c = 0 \( \implies \) c = - 16
(2, 14) से होकर जाने वाली एक रेखा का समीकरण x + y – 16 = 0 अथवा x + y = 16.
पुनः a = 7, b = -1 तो 2 \( \times \) 7 + 14 \( \times \) -1 + c = 0
\( \implies \) 14 – 14 + c= 0
\( \implies \) c = 0
(2, 14) से होकर जाने वाली एक अन्य रेखा का समीकरण 7x – y = 0
इस प्रकार, किसी बिन्दु (2, 14) से जाने वाली ऋजु रेखाओं की संख्या अपरिमित रूप से अनेक होगी, क्योंकि एक बिन्दु किसी सरल रेखा की स्थिति निर्धारित नहीं कर सकता। किसी सरल रेखा की स्थिति को निर्धारित करने के लिए कम-से-कम दो बिन्दुओं की आवश्यकता होती है।
In simple words: An infinite number of lines can pass through a single point. To write equations for some of these lines, use the given point (2, 14) and substitute it into the general linear equation \( ax + by + c = 0 \), then choose arbitrary values for 'a' and 'b' to find 'c'. This flexibility in choosing 'a' and 'b' (as long as not both are zero) allows for countless lines.

🎯 Exam Tip: Remember the fundamental geometric principle that infinitely many lines can pass through a single point. To construct specific equations, assign convenient values to 'a' and 'b' (e.g., 1, 0, -1) and solve for 'c' using the given point.

Question 3.यदि बिन्दु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : बिन्दु (3, 4), समीकरण 3y = ax +7 के आलेख पर स्थित है। समीकरण 3y = ax +7 में x = 3, y = 4 रखने पर, 3 \( \times \) 4= (a \( \times \) 3) + 7
\( \implies \) 12 = 3a + 7 या
\( \implies \) 3a = 12 - 7 = 5
\( \implies \) \( a = \frac{5}{3} \)
अतः a का अभीष्ट मान = \( \frac{5}{3} \)
In simple words: Since the point (3, 4) lies on the graph of the equation 3y = ax + 7, it means that substituting x=3 and y=4 into the equation must satisfy it. By doing so, we can solve for the unknown value 'a'.

🎯 Exam Tip: When a point is stated to be on a line, always remember to substitute its coordinates into the equation. This direct substitution is usually the key to finding unknown coefficients or constants in the equation.

Question 4.एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है :
पहले किमी का किराया 8 है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किमी का किराया है 5 है। यदि तय की गई दूरी x किमी हो और कुल किराया y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खीचिए।
Answer: हल :
पहले 1 किमी यात्रा का किराया = Rs. 8
और शेष यात्रा का प्रति किमी किराया = Rs. 5
तय की गई यात्रा = x किमी
तब, x किमी यात्रा का किराया = पहले 1 किमी यात्रा का किराया + शेष (x – 1) किमी यात्रा का किराया
y = 1 \( \times \) 8 + (x – 1) \( \times \) 5
y = 8 + 5x - 5
y = 5x + 3
अर्थात तय की गई x किमी यात्रा का किराया y प्रदर्शित करने वाला रैखिक समीकरण y = 5x + 3 अथवा 5x – y + 3 = 0 है।
(i) माना x = – 1 तो
y = (5 \( \times \) - 1) + 3 = -5 + 3 = - 2 या y = - 2
समीकरण y = 5x + 3 के आलेख पर एक बिन्दु A(-1, -2) स्थित है।
(ii) पुनः माना x = 2 तो
y = (5 \( \times \) 2) + 3 = 10 + 3 = 13 या y = 13
समीकरण y = 5 + 3 के आलेख पर एक बिन्दु B (2, 13) स्थित है।
(iii) बिन्दुओं A(-1, -2) और B (2, 13) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया।
चित्र में समीकरण y = 5x + 3 द्वारा यात्रा-किराया आलेख प्रदर्शित किया गया है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ y=5x+3 समीकरण का यात्रा-किराया आलेख दर्शाता है। इसमें x-अक्ष (तय की गई दूरी) और y-अक्ष (कुल किराया) पर बिन्दु A(-1,-2) और B(2,13) प्लॉट किए गए हैं। यह सीधी रेखा x किमी दूरी के लिए कुल किराया y को दर्शाती है।
In simple words: For a taxi fare problem, the total fare (y) is the sum of the fixed first kilometer charge and the charge for the remaining distance (x-1 km) at a different rate. This forms a linear equation. To graph it, find two points by choosing x values and calculating corresponding y values, then plot these points and draw a line through them.

🎯 Exam Tip: Break down word problems into individual components (fixed charge, per-unit charge) to formulate the equation correctly. When plotting, choose x-values that yield integer y-values for easier graphing, and ensure your axes are appropriately labeled (e.g., distance in km, fare in Rs.).

Question 5.निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए :
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ एक सीधी रेखा का आलेख दर्शाता है जो बिन्दु (-1, 1), (0, 0), और (1,-1) से होकर गुजरती है। यह रेखा मूल बिन्दु से होकर जा रही है और इसका ढलान ऋणात्मक है।
हल : पहले आलेख के लिए पहले आलेख पर स्थित बिन्दु हैं : (-1, 1) व (1, -1)
(i) दिया समीकरण y = x इस समीकरण से स्पष्ट है कि x व y के निर्देशांक जिन बिन्दुओं में बराबर और समान चिह्न के होंगे, वही बिन्दु इस समीकरण को सन्तुष्ट करेंगे। अतः विकल्प (i) सही नहीं है।
(ii) दिया हुआ समीकरण x + y = 0 बिन्दु (-1, 1) के लिए समीकरण x + y = 0 में x = -1 तथा y = +1 प्रतिस्थापित करने पर, बायाँ पक्ष = (-1) + (1) = 0 = दायाँ पक्ष और बिन्दु (1, -1) के लिए समीकरण x + y = 0 में x = 1 तथा y = - 1 प्रतिस्थापित करने पर, बायाँ पक्ष = (1) + (- 1) = 0= दायाँ पक्ष
बिन्दु (-1, 1) व (1,-1), समीकरण x + y = 0 के आलेख पर स्थित हैं। अतः विकल्प (ii) सही है।
Answer: (ii) x + y = 0
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ एक सीधी रेखा का आलेख दर्शाता है जो बिन्दु (-1,3), (0,2), और (2,0) से होकर गुजरती है। यह रेखा y-अक्ष को 2 पर काटती है और x-अक्ष को 2 पर काटती है, तथा इसका ढलान ऋणात्मक है।
दूसरे आलेख के लिए इस आलेख पर स्थित बिन्दु (-1, 3), (0, 2) व (2, 0) हैं। तब आलेख के समीकरण को उक्त बिन्दुओं में से कम-से-कम दो बिन्दुओं द्वारा सन्तुष्ट होना चाहिए।
(i) दिया हुआ समीकरण y = x + 2 तब समीकरण y = x + 2 में x = -1, y = 3 रखने पर, 3 = -1 + 2 जो कि असंगत है। अतः बिन्दु (-1, 3) समीकरण y = x + 2 के आलेख पर स्थित नहीं है। अतः विकल्प (i) सही नहीं है।
(ii) दिया हुआ समीकरण y = x – 2 तब समीकरण y = x – 2 में x = -1, y = 3 रखने पर, 3 = -1 – 2 जो कि असंगत है। अतः बिन्दु (-1, 3) समीकरण y = x – 2 के आलेख पर स्थित नहीं है। अतः विकल्प (ii) सही नहीं है।
(iii) दिया हुआ समीकरण y = -x + 2 तब समीकरण y = -x + 2 में x = - 1 व y = 3 रखने पर, 3 = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3 अर्थात, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
बिन्दु (-1, 3) समीकरण y = -x + 2 के आलेख पर स्थित है।
तब बिन्दु (0, 2) के लिए : समीकरण में x = 0, y = 2 प्रतिस्थापित करने पर, बायाँ पक्ष = 2 और दायाँ पक्ष = – 0 + 2 = 2
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
बिन्दु (0, 2) समीकरण y = -x + 2 के आलेख पर स्थित है।
और बिन्दु (2, 0) के लिए : समीकरण में x = 2 तथा y = 0 प्रतिस्थापित करने पर, दायाँ पक्ष = - x + 2= - 2 + 2 = 0 = बायाँ पक्ष
बिन्दु (2, 0) समीकरण y = -x + 2 के आलेख पर स्थित है।
सभी बिन्दु (-1, 3), (0, 2), (2, 0) समीकरण y = -x + 2 के आलेख पर स्थित हैं। अतः विकल्प (iii) सही है।
Answer: (iii) y = -x + 2
In simple words: To find the correct equation for a given graph, pick several points from the graph and substitute their coordinates (x, y) into each of the given equations. The equation that satisfies all the chosen points from the graph is the correct one.

🎯 Exam Tip: Always test at least two points (preferably three, including intercepts if available) from the graph in each option to confirm the correct equation. This reduces the chance of selecting an incorrect option that might only satisfy a single point.

Question 6.एक अचर बल लगाने पर पिण्ड द्वारा किया गया कार्य पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खीचिए ।
यदि पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी
(i) 2 मात्रक
(ii) 0 मात्रक
हो तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल :
माना किसी पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के लिए चर s तथा पिण्ड द्वारा किए गए कार्य के लिए चर W है।
पिण्ड द्वारा किया गया कार्य \( \propto \) पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी (प्रश्नानुसार)
W \( \propto \) s
यदि समानुपात का नियतांक (बल F) हो तो
W = F.s ...(1)
दिया है, अचर बल F = 5 मात्रक है।
W = 5s
X-अक्ष (X'OX) पर पिण्ड द्वारा चली दूरी s तथा Y-अक्ष पर पिण्ड द्वारा किए गए कार्य W को प्रदर्शित किया।
माना s = 1 मात्रक, तो । समीकरण W = 5s में s = 1 रखने पर,
W = 5 \( \times \) 1 = 5 मात्रक तब, बिन्दु A(1, 5), समीकरण W = 5s के आलेख पर स्थित है।
पुनः माना s = 3 मात्रक, तो समीकरण W = 5s में s = 3 रखने पर,
W = 5 \( \times \) 3 = 15 मात्रक ...(2)
तब बिन्दु B (3, 15), समीकरण W = 5s के आलेख पर स्थित है। बिन्दुओं A (1, 5) व B (3, 15) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया और ऋजु रेखा AB खींची। ऋजु रेखा AB अभीष्ट दूरी-कार्य का आलेख है।
(i) 2 मात्रक दूरी के लिए पिण्ड द्वारा किया गया कार्य : (a) X-अक्ष पर 2 मात्रक चलकर Y-अक्ष के समान्तर चलाने पर आलेख पर बिन्दु P प्राप्त होता है । (b) P से X-अक्ष के समान्तर चलकर Y-अक्ष पर पहुँचते हैं। (c) पैमाने की सहायता से Y-अक्ष पर स्थिति 2 के सापेक्ष 10 मात्रक है अर्थात P (2, 10)
स्पष्ट है कि 2 मात्रक दूरी चलने पर पिण्ड द्वारा किया गया कार्य 10 मात्रक होगा।
(ii) 0 मात्रक दूरी के लिए : ग्राफ के आलेख पर एक बिन्दु (0, 0) है। 0 मात्रक दूरी चलने पर किया गया कार्य = 0 (शून्य) मात्रक ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ दूरी-कार्य संबंध को दर्शाता है, जहाँ अचर बल 5 मात्रक है। x-अक्ष तय की गई दूरी (s) और y-अक्ष किया गया कार्य (W) को प्रदर्शित करता है। बिन्दु A(1,5), B(3,15) और P(2,10) को प्लॉट किया गया है, जो W=5s समीकरण को निरूपित करने वाली एक सीधी रेखा बनाते हैं।
In simple words: When a constant force is applied, work done (W) is directly proportional to the distance traveled (s). With a constant force (F) of 5 units, the equation becomes W = 5s. To graph this, find two points (e.g., (1, 5) and (3, 15)), plot them, and draw a line. To find work for specific distances, substitute 's' into W = 5s (or read from the graph).

🎯 Exam Tip: Remember the physics principle: Work = Force \( \times \) Distance. When representing this graphically, ensure you clearly define which axis represents work and which represents distance. For specific values, you can either calculate using the equation or read directly from the graph, ensuring proper scaling.

Question 7.एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकम्प पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को सन्तुष्ट करता हो । (आप उनका अंशदान x और y मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खीचिए ।
Answer: हल :
माना यामिनी ने x तथा फातिमा ने y दिए ।
दोनों ने मिलकर (x + y) का अंशदान दिया,
परन्तु प्रश्नानुसार दोनों ने 100 अंशदान दिया
तब, x + y = 100
जो कि अभीष्ट रैखिक समीकरण है।
यामिनी-फातिमा के प्रधानमंत्री राहत कोष में दिए अंशदान का ग्राफीय आलेख
(i) प्राप्त रैखिक समीकरण x + y = 100
(ii) माना x = 10, तो 10 + y = 100 या y = 90
अतः बिन्दु A(10, 90), समीकरण x + y = 100 के आलेख पर स्थित है।
माना x = 80, तो 80 + y = 100 या y = 20
अतः बिन्दु B (80, 20) समीकरण x + y = 100 के आलेख पर स्थित है।
(iv) बिन्दुओं A (10, 90) तथा B (80, 20) को ग्राफ पेपर पर अंकित किया तथा इन्हें मिलाते हुए एक ऋजु रेखा AB . खींची। ऋजु रेखा AB दोनों छात्राओं द्वारा प्रधानमंत्री राहत कोष में दिए गए अंशदान का आलेख प्रदर्शित करती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ यामिनी (x) और फातिमा (y) के प्रधान मंत्री राहत कोष में कुल 100 रुपये के अंशदान को दर्शाता है। x-अक्ष पर यामिनी का अंशदान और y-अक्ष पर फातिमा का अंशदान है। बिन्दु A(10,90) और B(80,20) को प्लॉट किया गया है, जो x+y=100 समीकरण को निरूपित करने वाली एक सीधी रेखा बनाते हैं। पैमाना 1 मात्रक = Rs. 10 है।
In simple words: The combined donation of two students, Yamini (x) and Fatima (y), is 100. This forms the linear equation x + y = 100. To graph it, find two points, for example, if x=10, y=90 (point A), and if x=80, y=20 (point B). Plot these points and draw a straight line through them, which represents all possible combinations of their donations totaling 100.

🎯 Exam Tip: When setting up equations from word problems, clearly define your variables. For graphs involving large numbers (like 100), choose a suitable scale for your axes (e.g., 1 unit = 10 Rs.) to ensure the graph fits and is easy to read. Also, ensure both axes are properly labeled.

Question 8.अमेरिका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपान्तरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है।
\( F = (\frac{9}{5})C + 32 \)
(i) सेल्सियस को X-अक्ष और फारेनहाइट को Y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खीचिए ।
(ii) यदि तापमान 30°c है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95° F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0° c है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0° F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल :
फारेनहाइट-सेल्सियस तापमान रूपान्तरण समीकरण
\( F = (\frac{9}{5})C + 32 \)
(i) (1) X-अक्ष पर सेल्सियस पैमाना अंकित किया।
(2) Y-अक्ष पर फारेनहाइट पैमाना अंकित किया।
(3) दिया हुआ समीकरण \( F = (\frac{9}{5})C + 32 \)
(4) माना C = 10 तो
\( F = (\frac{9}{5}) \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50 \)
समीकरण के आलेख पर A (10, 50) एक बिन्दु है।
(5) पुनः माना C = 60 तो
\( F = (\frac{9}{5}) \times 60 + 32 = 108 + 32 = 140 \)
समीकरण के आलेख पर B (60, 140) एक अन्य बिन्दु है।
(6) उपयुक्त X - अक्ष व Y-अक्ष पर बिन्दु A तथा B को अंकित करके ऋजु रेखा AB खींची जो कि अभीष्ट सेल्सियस-फारेनहाइट तापमान आलेख है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ सेल्सियस (X-अक्ष) और फारेनहाइट (Y-अक्ष) के बीच तापमान रूपांतरण समीकरण F = (9/5)C + 32 को दर्शाता है। बिन्दु A(10,50) और B(60,140) को प्लॉट करके एक सीधी रेखा खींची गई है। ग्राफ पर Q(35,95) और P(30,86) जैसे विशिष्ट तापमान मानों को भी दर्शाया गया है।
(ii) 30° C तापमान का फारेनहाइट में मान :
(a) बीजगणित द्वारा दिए गए समीकरण \( F = (\frac{9}{5})C + 32 \) में C = 30°C रखने पर,
\( F = (\frac{9}{5}) \times 30 + 32 = 54 + 32 = 86 \)
अतः 30° C = 86° F
अथवा
(b) ग्राफ द्वारा :
X-अक्ष के तापमान पैमाने पर 30° से Y-अक्ष के समान्तर रेखा खींची जो आलेख को बिन्दु P पर काटे। P से X-अक्ष के समान्तर रेखा खींची और देखा पैमाने पर y = 86 प्राप्त हुआ अर्थात P = (30, 86)
अतः 30°C = 86°F
In simple words: The given formula F = (9/5)C + 32 converts Celsius to Fahrenheit. To find Fahrenheit for 30°C, substitute C=30 into the formula, which gives F=86. Graphically, find 30 on the C-axis, move up to the line, then across to the F-axis to read the value.

🎯 Exam Tip: Always double-check your arithmetic when substituting values into the conversion formula. When using the graph, ensure you accurately trace from the x-axis (Celsius) to the line and then horizontally to the y-axis (Fahrenheit) for precise readings.

(iv) 0°C तापमान का फारेनहाइट तापमान तथा 0° F तापमान का सेल्सियस तापमान :
(a) बीजगणित द्वारा :
दिया गया समीकरण \(F = \left(\frac{9}{5}\right) C + 32\)
\(C = 0\) रखने पर,
\(F = \left(\frac{9}{5}\right) \times 0 + 32 = 32\)
\(F = 0\) रखने पर,
\(0 = \frac{9}{5} C + 32\)
\(C = -32\)
\(C = - \frac{32 \times 5}{9}\)
\(C = - \frac{160}{9}\)
\(C = -17.77\)
अतः \(0° C = 32°F\) तथा \(0°F = - 17.77° C\)
अथवा
(b) ग्राफ द्वारा :
X-अक्ष के तापमान पैमाने पर 30° से Y-अक्ष के समान्तर रेखा खींची जो आलेख को बिन्दु P पर काटे। P से X-अक्ष के समान्तर रेखा खींची और देखा पैमाने पर y = 86 प्राप्त हुआ अर्थात P = (30, 86)
अतः \(30°C = 86°F\)
(iii) 95° F तापमान का सेल्सियस में मान :
(a) बीजगणित द्वारा :
दिया गया समीकरण \(F = \left(\frac{9}{5}\right) C + 32\)
\(F = 95\) रखने पर,
\(95 = \frac{9}{5} C + 32\)
\(95 - 32 = \frac{9}{5} C\)
\(63 = \frac{9}{5} C\)
\(C = \frac{63 \times 5}{9}\)
\(C = 35\)
अतः \(95°F = 35° C\)
अथवा
(b) ग्राफ द्वारा :
Y-अक्ष पर फारेनहाइट पैमाने पर 95° से X-अक्ष के समान्तर रेखा खींची जो आलेख को बिन्दु Q पर काटे। Q से Y-अक्ष के समान्तर रेखा खींचकर X-अक्ष पर प्राप्त सेल्सियस तापमान = 35°C अर्थात Q = (35, 95)
अतः \(95°F = 35°C\)
(iv) 0°C तापमान का फारेनहाइट तापमान तथा 0° F तापमान का सेल्सियस तापमान :
(a) बीजगणित द्वारा :
दिया गया समीकरण \(F = \left(\frac{9}{5}\right) C + 32\)
\(C = 0\) रखने पर,
\(F = \left(\frac{9}{5}\right) \times 0 + 32 = 32\)
\(F = 0\) रखने पर,
\(0 = \frac{9}{5} C + 32\)
\(C = -32\)
\(C = - \frac{32 \times 5}{9}\)
\(C = - \frac{160}{9}\)
\(C = -17.77\)
अतः \(0° C = 32°F\) तथा \(0°F = - 17.77° C\)
अथवा
(b) ग्राफ द्वारा :
0°C के लिए X-अक्ष पर दूरी शून्य होगी।
तब Y-अक्ष पर शून्य के स्थान पर X-अक्ष पैमाने का पाठ = 32
अतः \(0°C = 32°F\)
0°F के लिए Y-अक्ष पर दूरी शून्य होगी।
तब Y-अक्ष पर शून्य के स्थान पर X-अक्ष पैमाने का पाठ = 17.77
परन्तु आलेख ऋणात्मक X-अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है।
अतः \(0°F = - 17.77° C\)
(v) दोनों पैमानों पर संख्यात्मकतः समान पाठ :
(a) माना समान पाठ x° है
दिया गया समीकरण \(F = \left(\frac{9}{5}\right) C + 32\)
F तथा C के स्थान पर x रखने पर,
\(x = \frac{9}{5} x + 32\)
\(x - \frac{9}{5} x = 32\)
\(\frac{5-9}{5} x = 32\)
\(- \frac{4}{5} x = 32\)
\(x = - \frac{32 \times 5}{4}\)
\(x = -40\)
अतः - 40° पर दोनों पैमानों का पाठ समान होगा।
इसे आलेख पर भी दिखाया गया है। In simple words: This section completes the solution for Question 8, which involves converting temperatures between Celsius and Fahrenheit using a given linear equation and then finding specific temperature values through algebraic calculations and graphical interpretations. It also identifies a point where both scales read the same value.

🎯 Exam Tip: Understanding how to apply algebraic formulas to solve for unknown variables and interpreting graphical representations are key skills for scoring well in such problems.

Exercise 4.4

Question 1. (i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए ।
Answer: हल :
(i) एक चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण :
संख्या रेखा खीचिए और उस पर 0 के दायीं ओर तीसरा चिह्न चिह्नित कीजिए । y = 3 की संख्या-रेखा पर यही ज्यामितीय स्थिति है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक संख्या रेखा को दर्शाता है जिस पर y = 3 को एक बिंदु के रूप में ज्यामितीय रूप से दर्शाया गया है। संख्या रेखा पर 0 के दायीं ओर तीसरे निशान को y = 3 के रूप में चिह्नित किया गया है, जो एक-चर समीकरण के लिए इसकी स्थिति को दर्शाता है।
(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में y = 3 का ज्यामितीय निरूपण :
(1) वर्ग पत्रक (ग्राफ पेपर) पर X-अक्ष तथा Y-अक्ष खींचकर उन पर मापन चिह्न अंकित कीजिए।
(2) Y-अक्ष पर +3 चिह्न से X-अक्ष के समान्तर रेखा AB खीचिए जो X-अक्ष के ऊपर X-अक्ष से 3 इकाई की दूरी पर स्थित हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ एक दो-चर वाले रैखिक समीकरण y = 3 का आलेख दर्शाता है। इसमें X-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा AB खींची गई है, जो Y-अक्ष पर 3 इकाई की दूरी पर स्थित है, जिसमें बिंदु A(-1, 3) और B(4, 3) इस रेखा पर स्थित हैं, जो दर्शाते हैं कि x के किसी भी मान के लिए y का मान 3 स्थिर रहता है। मान वाले बिन्दुओं के लिए भी y (कोटि) का मान 3 स्थिर है। अतः ऋजु रेखा AB अभीष्ट आलेख है। In simple words: This question asks to represent the equation y = 3 both as a one-variable equation on a number line and as a two-variable linear equation on a Cartesian plane, showing how y remains constant at 3.

🎯 Exam Tip: Distinguishing between one-variable and two-variable representations of equations is crucial. For two variables, plotting at least two points (e.g., (-1,3) and (4,3) for y=3) and drawing a line through them is a standard method.

Question 2. (i) एक चर वाले
(ii) दो चर वाले
समीकरण के रूप में 2x + 9 = 0 का ज्यामितीय निरूपण कीजिए।
Answer: हल :
(i) एक चर वाले समीकरण के रूप में \(2x + 9 = 0\) की ज्यामितीय निरूपण :
दिया हुआ समीकरण \(2x + 9 = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -4\frac{1}{2}\) संख्या-रेखा खीचिए। 0 के बायीं ओर \(-4\frac{1}{2}\) पर चिह्न लगाइए संख्या-रेखा पर \(2x + 9 = 0\) की यही स्थिति है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक संख्या रेखा पर एक-चर वाले समीकरण \(2x + 9 = 0\) का ज्यामितीय निरूपण दिखाता है, जिसे \(x = -4\frac{1}{2}\) के रूप में सरल किया गया है। संख्या रेखा पर, 0 के बाईं ओर \(-4.5\) बिंदु को चिह्नित करके इस समीकरण की स्थिति को स्पष्ट किया गया है।
(ii) दो चर वाले समीकरण के रूप में \(2x + 9 = 0\) का ज्यामितीय निरूपण :
(1) ग्राफ पेपर पर X-अक्ष तथा Y-अक्ष खींचकर उन पर मापक चिह्न अंकित कीजिए ।
(2) X-अक्ष पर \(-4\frac{1}{2}\) या -4.5 चिह्नित (अंकित) कीजिए और इससे Y-अक्ष के समान्तर रेखा AB खीचिए जो Y-अक्ष के बायीं ओर Y-अक्ष से 4.5 इकाई दूरी पर स्थित है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ दो-चर वाले रैखिक समीकरण \(2x + 9 = 0\) का आलेख दर्शाता है, जिसे \(x = -4.5\) के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसमें Y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा AB खींची गई है, जो X-अक्ष पर \(-4.5\) बिंदु पर स्थित है, जिसमें बिंदु A(-4.5, 3) और B(-4.5, -2) इस रेखा पर स्थित हैं, जो दर्शाते हैं कि y के किसी भी मान के लिए x का मान \(-4.5\) स्थिर रहता है। लिए \(x = -4\frac{1}{2}\) चाहे 3 को मान कुछ भी हो। अतः ऋजु रेखा AB अभीष्ट आलेख है। In simple words: This question requires depicting the equation \(2x + 9 = 0\) on a number line as a single variable and on a Cartesian plane as a two-variable linear equation, illustrating that x remains constant at \(-4.5\).

🎯 Exam Tip: For visualizing \(x = \text{constant}\) in two variables, remember it results in a vertical line parallel to the Y-axis. Ensure precise labeling of axes and scale.