UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2

वास्तविक संख्याएँ

Question 1. निम्न प्रत्येक सात दशमलव को पूर्णांकों के भागफल में व्यक्त कीजिए। (i) 0.9 (ii) -0.67 (iii) -0.35 (iv)
Answer:
(i) \(x = 0.9 = \frac{9}{10}\)
(ii) \(x = -0.67 = \frac{-67}{100}\)
(iii) \(x = -0.35 = \frac{-35}{100} = \frac{-7}{20}\)
(iv) \(x = 1.075 = \frac{1075}{1000} = \frac{43}{40}\)
In simple words: दशमलव संख्याओं को भिन्न में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या के आधार पर 10, 100, 1000 आदि से भाग देते हैं और फिर भिन्न को सरल करते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप भिन्न को उसके सबसे सरल रूप में व्यक्त करते हैं। नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

Question 2. निम्न प्रत्येक आवर्ती दशमलव को पूर्णांकों के भागफल के रूप में व्यक्त कीजिए। (i) \(0 . \overline{7}\) (ii) \(0 . \overline{57}\) (iii) \(0 . \overline{134}\) (iv) \(0 . \overline{2341}\) (v) \(5 . \overline{317}\) हलः
Answer:
(i) \(x = 0.\overline{7} = \frac{7}{9}\)
(ii) \(x = 0.\overline{57} = \frac{57}{99}\)
(iii) \(x = 0.\overline{134} = 0.134134134...\) ... (1)
\(1000x = 134.134134...\) ... (2)
समीकरण (2)- (1) करने पर
\(999x = 134\)
\(x = \frac{134}{999}\)
(iv) \(x = 0.\overline{2341} = \frac{2341}{9999}\)
(v) \(x = 5.\overline{317} = 5 + 0.\overline{317} = 5 + \frac{317}{999} = \frac{5 \times 999 + 317}{999} = \frac{4995+317}{999} = \frac{5312}{999}\)
In simple words: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, आवर्तक अंकों को एक चर \(x\) के बराबर मानकर समीकरण बनाते हैं, फिर आवर्तक भाग को दशमलव के बाईं ओर ले जाने के लिए 10 की घात से गुणा करते हैं, और समीकरणों को घटाकर \(x\) का मान निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: जितने अंक आवर्ती होते हैं, उतने ही 9 हर में आते हैं। यदि कुछ अंक आवर्ती नहीं हैं, तो उन्हें हटाकर 10 की घातों से गुणा करके घटाने की प्रक्रिया में ध्यान रखें।

Question 3. 5 और 6 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए। हलः
Answer:
5 और 6 के बीच पहली परिमेय संख्या \( = \frac{5+6}{2} = \frac{11}{2} = 5.5\)
5 और 5.5 के बीच दूसरी परिमेय संख्या \( = \frac{5+5.5}{2} = \frac{10.5}{2} = 5.25\)
5.5 और 6 के बीच तीसरी परिमेय संख्या \( = \frac{5.5+6}{2} = \frac{11.5}{2} = 5.75\)
In simple words: दो परिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, उन दोनों को जोड़कर 2 से भाग देते हैं। इस प्रक्रिया को दोहराकर और अधिक संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं।

🎯 Exam Tip: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। आप किन्हीं भी दो संख्याओं का औसत लेकर नई संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

Question 4. 0.5 और 0.6 के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ लिखिए। हलः
Answer:
0.5 व 0.6 के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ = \(0.515115111...\) \(=\) \(0.535335333...\) \(=\) \(0.575775777...\)
In simple words: दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ बनाने के लिए, आप दशमलव के बाद गैर-आवर्ती और गैर-समाप्त होने वाले पैटर्न बना सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय संख्याओं की पहचान गैर-समाप्त होने वाले और गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव प्रसार से होती है। इन संख्याओं को दशमलव में लिखकर पैटर्न बनाना एक अच्छा तरीका है।

Question 5. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{7}\) के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ लिखिए। हलः
Answer:
\(\sqrt{2}, \sqrt{7}\) के बीच अपरिमेय संख्या = \(\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\)
In simple words: किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं के बीच अन्य अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उन संख्याओं के बीच स्थित पूर्णांकों के वर्गमूल ले सकते हैं, बशर्ते वे पूर्णांक पूर्ण वर्ग न हों।

🎯 Exam Tip: किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। आप वर्गमूलों का उपयोग करके या दशमलव प्रसार बनाकर अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

Question 6. \(\sqrt{2}\) का दशमलव के दो स्थानों तक परिमेय सन्निकटन ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
\(\sqrt{2} = 1.4142135\) से \(1.4142136\)
दशमलव के दो स्थानों तक परिमेय सन्निकटन = \(1.41\)
In simple words: वर्गमूल 2 का दशमलव प्रसार लगभग 1.414 है। दशमलव के दो स्थानों तक सन्निकटन करने पर यह 1.41 होगा।

🎯 Exam Tip: सन्निकटन करते समय, अगले अंक को देखकर यह निर्धारित करें कि पिछले अंक को राउंड अप करना है या नहीं। यदि अगला अंक 5 या उससे अधिक है, तो राउंड अप करें, अन्यथा छोड़ दें।

Question 7. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ परिमेय है या अपरिमैय हलः
Answer:
(i) \((2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = (2)^2 - (\sqrt{2})^2 = 4-2 = 2\) जो परिमेय संख्या है।
(ii) \((\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}\) = अपरिमेय संख्या
(iii) \(\frac{6}{3\sqrt{2}}\) का हर का परिमेयकरण करने पर
\(\frac{6}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}\) = अपरिमेय संख्या
In simple words: परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं और \(q \neq 0\)। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें इस रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जैसे वर्गमूल जिनमें पूर्ण वर्ग नहीं होता है।

🎯 Exam Tip: \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) और \((a+b)^2 = a^2+b^2+2ab\) जैसी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अपरिमेय संख्याओं को सरल करें। हर का परिमेयकरण करने से अक्सर यह निर्धारित करने में मदद मिलती है कि संख्या परिमेय है या अपरिमेय।

Question 8. कारण सहित बताइये कि किसी संख्या p के लिए, \(3 + \sqrt{p}\) एक अपरिमेय संख्या है। हलः
Answer:
माना, \(x = 3 + \sqrt{p}\) एक अपरिमेय संख्या है। \(X - 3 = \sqrt{p}\) वर्ग करने पर,
\(x^2 + 9 - 6x = p\) .................(1)
यदि \(p\) एक अपरिमेय संख्या है, तो \(\sqrt{p}\) भी अपरिमेय होगी। यदि \(x\) एक परिमेय संख्या होती, तो \((x-3)\) भी परिमेय होता, और उसका वर्ग \((x-3)^2\) यानी \(x^2 - 6x + 9\) भी परिमेय होता। लेकिन समीकरण (1) के अनुसार, \(x^2 - 6x + 9 = p\)। यदि \(p\) अपरिमेय है, तो यह समीकरण तभी मान्य होगा जब बाईं ओर का पद भी अपरिमेय हो, जिसका अर्थ है कि \(x\) अपरिमेय है। इसलिए, यदि \(p\) एक अपरिमेय संख्या है, तो \(3 + \sqrt{p}\) अपरिमेय होगा।
In simple words: एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। यदि \(\sqrt{p}\) अपरिमेय है, तो \(3 + \sqrt{p}\) भी अपरिमेय होगा क्योंकि 3 एक परिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: यह सिद्ध करने के लिए कि एक संख्या अपरिमेय है, अक्सर विरोधाभास द्वारा प्रमाण विधि का उपयोग किया जाता है, जहाँ आप पहले यह मानते हैं कि संख्या परिमेय है और फिर एक विरोधाभास पर पहुंचते हैं।

Question 9. सिद्ध कीजिए कि \((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) अपरिमेय है। हलः
Answer:
माना, \((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) एक परिमेय संख्या है। माना \(x = \sqrt{3}-\sqrt{2}\)
वर्ग करने पर
\(x^2 = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\)
\(x^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2}\)
\(x^2 = 3+2-2\sqrt{6}\)
\(x^2-5 = -2\sqrt{6}\)
\(\frac{5-x^2}{2} = \sqrt{6}\)
अब, यदि \(x\) एक परिमेय संख्या है, तो \(x^2\) भी परिमेय संख्या होगी।
तो \((5-x^2)\) भी परिमेय होगा, और \(\frac{5-x^2}{2}\) भी परिमेय संख्या होगी।
\(\implies \sqrt{6}\) परिमेय संख्या है।
परन्तु \(\sqrt{6}\) अपरिमेय संख्या होती है।
अतः हमारी परिकल्पना कि \((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) एक परिमेय संख्या है, गलत है इसलिए
\((\sqrt{3}-\sqrt{2})\) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: यदि दो अपरिमेय संख्याओं का अंतर एक परिमेय संख्या माना जाता है, तो वर्ग करने पर हम एक और अपरिमेय संख्या को परिमेय सिद्ध करते हैं, जो एक विरोधाभास है। इसलिए, अंतर भी अपरिमेय होता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रमाण में, यह पहचानना महत्वपूर्ण है कि \(\sqrt{6}\) जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं और यह निष्कर्ष निकालना कि आपकी प्रारंभिक धारणा गलत थी।

Question 10. सिद्ध कीजिए कि 7, एक परिमेय संख्या का घन नहीं हैं। हलः
Answer:
माना 7, एक परिमेय संख्या \(x\) का घन है।
\(7 = x^3\)
यदि \(x\) एक परिमेय संख्या है, तो उसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं, और \(q \neq 0\)।
तब \(7 = \left(\frac{p}{q}\right)^3\)
\(7 = \frac{p^3}{q^3}\)
\(7q^3 = p^3\)
इसका मतलब है कि \(p^3\) 7 से विभाज्य है। अगर \(p^3\) 7 से विभाज्य है, तो \(p\) भी 7 से विभाज्य होना चाहिए (क्योंकि 7 एक अभाज्य संख्या है)।
माना \(p = 7k\) किसी पूर्णांक \(k\) के लिए।
तब \(7q^3 = (7k)^3\)
\(7q^3 = 343k^3\)
\(q^3 = 49k^3\)
इसका मतलब है कि \(q^3\) 49 से विभाज्य है, और इसलिए \(q^3\) 7 से भी विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि \(q\) भी 7 से विभाज्य होना चाहिए।
चूंकि \(p\) और \(q\) दोनों 7 से विभाज्य हैं, इसका मतलब है कि \(p\) और \(q\) में 7 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो हमारी प्रारंभिक धारणा के विपरीत है कि \(x = \frac{p}{q}\) एक सरलतम परिमेय संख्या है (यानी, \(p\) और \(q\) में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है)।
अतः, हमारी परिकल्पना कि 7 एक परिमेय संख्या का घन है, गलत है।
इसलिए, 7 एक परिमेय संख्या का घन नहीं है।
In simple words: हम यह सिद्ध करने के लिए विरोधाभास का उपयोग करते हैं कि यदि 7 किसी परिमेय संख्या \(x\) का घन है, तो \(x\) के अंश और हर दोनों में 7 का गुणनखंड होना चाहिए, जो एक विरोधाभास है, क्योंकि परिमेय संख्या को हमेशा उसके सरलतम रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके विरोधाभास स्थापित करें। यदि \(a^n\) किसी अभाज्य संख्या \(p\) से विभाज्य है, तो \(a\) भी \(p\) से विभाज्य होगा।

Ex 1.2 Real Numbers अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. निम्न संख्याओं का दशमलव रूप में प्रसार कीजिए । [NCERT] \(\frac{7}{8}\) हलः
Answer:
\(\frac{7}{8} = 0.875\)
In simple words: 7 को 8 से भाग देने पर हमें 0.875 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को दशमलव में बदलने के लिए आप भाग विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि दशमलव प्रसार शांत होगा, हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और/या 5 होने चाहिए।

Question 2. \(\frac{2157}{625}\) हलः
Answer:
\(\frac{2157}{625} = 3.4512\)
In simple words: 2157 को 625 से भाग देने पर हमें 3.4512 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं के भाग में सावधानी बरतें। दशमलव स्थानों को सही ढंग से बनाए रखें और गणनाएँ सटीक होनी चाहिए।

Question 3. \(\frac{8}{3}\) हलः
Answer:
\(\frac{8}{3} = 2.666... = 2.\overline{6}\)
In simple words: 8 को 3 से भाग देने पर हमें 2.666... प्राप्त होता है, जहाँ 6 दोहराया जाता है।

🎯 Exam Tip: आवर्ती दशमलव को लिखने के लिए, दोहराए जाने वाले अंक या अंकों के समूह के ऊपर एक बार लगाएँ।

Question 4. \(\frac{15}{4}\) हलः
Answer:
\(\frac{15}{4} = 3.75\)
In simple words: 15 को 4 से भाग देने पर हमें 3.75 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यह एक शांत दशमलव प्रसार है क्योंकि हर (4) में केवल 2 के गुणनखंड हैं \((4 = 2^2)\)।

Question 5. \(\frac{-22}{13}\) हलः
Answer:
\(\frac{-22}{13} = -1.692307...\)
In simple words: -22 को 13 से भाग देने पर हमें एक नकारात्मक, गैर-शांत और आवर्ती दशमलव प्राप्त होता है, जो लगभग -1.692307 है।

🎯 Exam Tip: नकारात्मक भिन्नों के दशमलव प्रसार भी नकारात्मक होते हैं। इस तरह के भाग में एक निश्चित पैटर्न की तलाश करें ताकि आवर्ती भाग की पहचान की जा सके, हालांकि यहां इसे पूरा नहीं दिखाया गया है।

निम्न संख्याओं को \(\frac{m}{n}\) के रूप में व्यक्त कीजिए। (प्रश्न 6-13)

Question 6. \(0 . \overline{3}\) हलः
Answer:
माना \(x = 0.\overline{3} = 0.33333...\) ... (1)
10 से गुणा करने पर,
\(10x = 3.3333...\) ... (2)
समीकरण (2)- (1) करने पर
\(10x - x = 3.3333... - 0.3333...\)
\(9x = 3\)
\(x = \frac{3}{9}\)
\(0.\overline{3} = \frac{3}{9}\) (जो \(\frac{1}{3}\) के बराबर है)
In simple words: 0.3 आवर्ती को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर 10 से गुणा करते हैं, फिर मूल समीकरण को नए समीकरण से घटाते हैं ताकि आवर्ती भाग हट जाए, जिससे \(x\) का मान \(\frac{3}{9}\) मिलता है।

🎯 Exam Tip: जितने अंकों पर बार होता है, उतने ही 9 हर में आते हैं जब दशमलव बिंदु के तुरंत बाद आवर्ती भाग शुरू होता है।

Question 7. \(0 . \overline{1}\) हलः
Answer:
माना \(x = 0.\overline{1} = 0.11111...\) ... (1)
10 से गुणा करने पर,
\(10x = 1.1111...\) ... (2)
समीकरण (2) - समीकरण (1) करने पर
\(10x-x=1\)
\(9x = 1\)
\(x = \frac{1}{9}\)
\(0.\overline{1}=\frac{1}{9}\)
In simple words: 0.1 आवर्ती को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर 10 से गुणा करते हैं, फिर मूल समीकरण को नए समीकरण से घटाते हैं ताकि आवर्ती भाग हट जाए, जिससे \(x\) का मान \(\frac{1}{9}\) मिलता है।

🎯 Exam Tip: यह विधि उन सभी आवर्ती दशमलव संख्याओं पर लागू होती है जिनमें आवर्ती अंक सीधे दशमलव बिंदु के बाद शुरू होते हैं।

Question 8. \(0 . \overline{585}\) हलः
Answer:
माना \(x = 0.\overline{585} = 0.585585585......\) ... (1)
1000 से गुणा करने पर,
\(1000x = 585.585585.....\) ... (2)
समीकरण (2) - समीकरण (1) करने पर
\(1000x-x = 585.585585... - 0.585585...\)
\(999x = 585\)
\(x = \frac{585}{999}\)
\(0.\overline{585} = \frac{585}{999}\) (जिसे \(\frac{65}{111}\) तक सरल किया जा सकता है)
In simple words: 0.585 आवर्ती को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर 1000 से गुणा करते हैं क्योंकि तीन अंक दोहराए जा रहे हैं, फिर मूल समीकरण को घटाने पर \(x = \frac{585}{999}\) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: आवर्ती अंकों की संख्या के आधार पर 10 की उचित घात से गुणा करें। यदि \(n\) अंक दोहराए जा रहे हैं, तो \(10^n\) से गुणा करें।

Question 9. \(23 . \overline{43}\) हलः
Answer:
माना \(x = 23.\overline{43} = 23.434343....\) (1)
100 से गुणा करने पर,
\(100x = 2343.434343.....\) (2)
समीकरण (2)- समीकरण (1) करने पर
\(100x - x = 2343.434343... - 23.434343...\)
\(99x = 2320\)
\(x = \frac{2320}{99}\)
In simple words: \(23.\overline{43}\) को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर 100 से गुणा करते हैं, फिर मूल समीकरण को घटाते हैं, जिससे \(x = \frac{2320}{99}\) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: दशमलव बिंदु से पहले पूर्णांक भाग को अलग से संभाला जा सकता है या पूरी संख्या को एक साथ संसाधित किया जा सकता है जैसा कि यहाँ किया गया है।

Question 10. \(0 . \overline{23}\) हलः
Answer:
(नोट: प्रश्न में \(0.\overline{23}\) दिया है, लेकिन समाधान \(0.3\overline{2}\) के लिए प्रस्तुत किया गया है। मैं दिए गए समाधान का पालन करूँगा।)
माना \(x = 0.3\overline{2} = 0.32222....\) ... (1)
10 से गुणा करने पर, (आवर्ती भाग से पहले अंक को दशमलव के बाईं ओर लाने के लिए)
\(10x = 3.2222...\) ... (2)
अब, आवर्ती भाग को दशमलव के बाईं ओर लाने के लिए फिर से 10 से गुणा करें (समीकरण 2 को)
\(100x = 32.2222...\) ... (3)
समीकरण (3) - समीकरण (2) करने पर:
\(100x - 10x = 32.2222... - 3.2222...\)
\(90x = 29\)
\(x = \frac{29}{90}\)
यदि प्रश्न \(0.\overline{23}\) के लिए होता, तो \(x = \frac{23}{99}\) होता।
In simple words: \(0.3\overline{2}\) जैसे मिश्रित आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, पहले गैर-आवर्ती अंक को दशमलव के बाईं ओर लाने के लिए गुणा करें, फिर पूरे आवर्ती भाग को बाईं ओर लाने के लिए फिर से गुणा करें। दो उपयुक्त समीकरणों को घटाकर \(x\) का मान प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: जब दशमलव बिंदु के ठीक बाद आवर्ती भाग शुरू नहीं होता है, तो पहले दशमलव को आवर्ती भाग के पास लाने के लिए गुणा करें, फिर आवर्ती भाग को हटाने के लिए उपयुक्त समीकरणों को घटाएँ।

Question 11. \(4 . \overline{32}\) हलः
Answer:
माना \(x = 4.\overline{32} = 4.323232...\) ... (1)
100 से गुणा करने पर (क्योंकि दो अंक दोहराए जा रहे हैं):
\(100x = 432.323232...\) ... (2)
समीकरण (2) - समीकरण (1) करने पर:
\(100x - x = 432.323232... - 4.323232...\)
\(99x = 428\)
\(x = \frac{428}{99}\)
(वैकल्पिक विधि, जैसा कि OCR द्वारा प्रस्तुत आंशिक समाधान में है, जो \(4.3\overline{2}\) के लिए है):
माना \(x = 4.3\overline{2} = 4.322222...\)
10 से गुणा, \(10x = 43.2222...\)
\(10x = 43 + 0.\overline{2}\)
\(10x = 43 + \frac{2}{9}\)
\(10x = \frac{43 \times 9 + 2}{9} = \frac{387+2}{9}\)
\(10x = \frac{389}{9}\)
\(x = \frac{389}{90}\)
In simple words: \(4.\overline{32}\) को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर 100 से गुणा करते हैं (दो आवर्ती अंकों के लिए), फिर मूल समीकरण को घटाकर \(x = \frac{428}{99}\) प्राप्त करते हैं। यदि प्रश्न \(4.3\overline{2}\) होता, तो विधि थोड़ी अलग होती, जिसमें पहले गैर-आवर्ती अंक को अलग किया जाता और फिर आवर्ती भाग को भिन्न में बदला जाता।

🎯 Exam Tip: प्रश्न की सटीक आवर्ती दशमलव पहचानना महत्वपूर्ण है। \(4.\overline{32}\) का अर्थ है 32 दोहराया जाता है, जबकि \(4.3\overline{2}\) का अर्थ है केवल 2 दोहराया जाता है। दोनों के लिए हल की प्रक्रिया अलग-अलग होगी।

Question 12. 7.010 हलः
Answer:
\[\text{यह प्रश्न अधूरा प्रतीत होता है या पिछले प्रश्न 11 के समाधान का एक गलत प्लेसमेंट है।}\]
\[\text{यदि प्रश्न का तात्पर्य 7.010 को } \frac{m}{n} \text{ के रूप में व्यक्त करना है, तो}\]
\(7.010 = \frac{7010}{1000} = \frac{701}{100}\)
In simple words: 7.010 एक शांत दशमलव संख्या है, जिसे सीधे 7010 को 1000 से भाग देकर भिन्न में बदला जा सकता है और फिर सरल किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: शांत दशमलव संख्याओं को उनके हर में 10 की घातों के साथ भिन्नों में बदलने के लिए दशमलव के बाद के अंकों की संख्या का उपयोग करें।

Question 13. \(0 . \overline{621}\) हलः
Answer:
माना \(x=0.\overline{621} = 0.621621621...\) ... (1)
1000 से गुणा करने पर,
\(1000x = 621.621621...\) ... (2)
समीकरण (2) - समीकरण (1) करने पर
\(1000x - x = 621.621621... - 0.621621...\)
\(999x = 621\)
\(x = \frac{621}{999}\)
सरल करने पर (दोनों को 27 से विभाजित करने पर):
\(x = \frac{621 \div 27}{999 \div 27} = \frac{23}{37}\)
In simple words: \(0.\overline{621}\) को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर 1000 से गुणा करते हैं क्योंकि तीन अंक दोहराए जा रहे हैं, फिर मूल समीकरण को घटाकर \(x = \frac{621}{999}\) प्राप्त होता है, जिसे \(\frac{23}{37}\) तक सरल किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: हमेशा भिन्न को उसके सरलतम रूप में व्यक्त करें। यह आपके अंतिम उत्तर को स्पष्ट और सटीक बनाता है।

Question 14. 0.1 और 0.12 के बीच दो अपरिमेय संख्याओं को ज्ञात करें। हलः
Answer:
0.1 और 0.12 के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ =
\(0.1010010001...\)
\(0.1101001000100001...\)
In simple words: दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, आप दशमलव प्रसार बना सकते हैं जो गैर-आवर्ती (नॉन-रिपीटिंग) और गैर-समाप्त (नॉन-टर्मिनेटिंग) हों और दी गई सीमाओं के भीतर हों।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि संख्याएँ अपरिमेय हैं, दशमलव अंकों का एक पैटर्न बनाएँ जो कभी समाप्त न हो और कभी दोहराया न जाए (जैसे 01, 001, 0001, आदि)।

Question 15. \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{1}{2}\) के बीच तीन परिमेय संख्याओं को ज्ञात करें । हलः
Answer:
\(\frac{1}{3}\) और \(\frac{1}{2}\) के बीच पहली परिमेय संख्या \( = \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{2+3}{6}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12}\)
\(\frac{1}{3}\) और \(\frac{5}{12}\) के बीच दूसरी परिमेय संख्या \( = \frac{\frac{1}{3}+\frac{5}{12}}{2} = \frac{\frac{4+5}{12}}{2} = \frac{\frac{9}{12}}{2} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}\)
\(\frac{5}{12}\) और \(\frac{1}{2}\) के बीच तीसरी परिमेय संख्या \( = \frac{\frac{5}{12}+\frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5+6}{12}}{2} = \frac{\frac{11}{12}}{2} = \frac{11}{24}\)
तीन परिमेय संख्याएँ \(= \frac{3}{8}, \frac{5}{12}, \frac{11}{24}\)
In simple words: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अन्य परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, आप उनका औसत ले सकते हैं। इस प्रक्रिया को दोहराकर आप जितनी चाहें उतनी संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: किन्हीं भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। भिन्न को जोड़ने और सरल करने में सावधानी बरतें।

Question 16. \(\frac{1}{5}\) और \(\frac{1}{4}\) के बीच तीन परिमेय संख्याओं को ज्ञात करें। [NCERT Exemplar] हलः
Answer:
\(\frac{1}{5}\) तथा \(\frac{1}{4}\) के बीच पहली परिमेय संख्या \( = \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{4+5}{20}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} = \frac{9}{40}\)
\(\frac{1}{5}\) व \(\frac{9}{40}\) के बीच दूसरी परिमेय संख्या \( = \frac{\frac{1}{5}+\frac{9}{40}}{2} = \frac{\frac{8+9}{40}}{2} = \frac{\frac{17}{40}}{2} = \frac{17}{80}\)
\(\frac{9}{40}\) व \(\frac{1}{4}\) के बीच तीसरी परिमेय संख्या \( = \frac{\frac{9}{40}+\frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{9+10}{40}}{2} = \frac{\frac{19}{40}}{2} = \frac{19}{80}\)
\(\therefore\) \(\frac{1}{5}\) और \(\frac{1}{4}\) के बीच तीन परिमेय संख्याएँ \(= \frac{17}{80}, \frac{9}{40}, \frac{19}{80}\)
In simple words: दो भिन्नों के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, आप उनके औसत की गणना कर सकते हैं। इस विधि को बार-बार लागू करके आपको अभीष्ट संख्याएँ मिल जाएँगी।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते समय और उनका औसत लेते समय, समान हर का उपयोग करना सुनिश्चित करें। उत्तर को सरलतम रूप में प्रस्तुत करें।

Question 17. \(3 \frac{1}{8}\) का दशमलव रूप में प्रसार करें। हलः
Answer:
\(3 \frac{1}{8} = \frac{3 \times 8 + 1}{8} = \frac{24+1}{8} = \frac{25}{8}\)
\(\frac{25}{8} = 3.125\)
In simple words: मिश्रित भिन्न को पहले विषम भिन्न में बदलें, फिर अंश को हर से भाग देकर दशमलव रूप में बदलें।

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को दशमलव में बदलने के लिए, पहले उन्हें विषम भिन्नों में परिवर्तित करें, फिर भाग विधि का उपयोग करें।

Question 18. \(0.2 \overline{45}\) को एक साधारण भिन्न के रूप में व्यक्त करें। हलः
Answer:
माना \(x = 0.2\overline{45} = 0.2454545...\) ... (1)
10 से गुणा करने पर (गैर-आवर्ती अंक को दशमलव के बाईं ओर लाने के लिए):
\(10x = 2.454545...\) ... (2)
1000 से गुणा करने पर (पूरे आवर्ती भाग को दशमलव के बाईं ओर लाने के लिए):
\(1000x = 245.454545...\) ... (3)
समीकरण (3) - समीकरण (2) करने पर:
\(1000x - 10x = 245.454545... - 2.454545...\)
\(990x = 243\)
\(x = \frac{243}{990}\)
सरल करने पर (दोनों को 9 से विभाजित करने पर):
\(x = \frac{243 \div 9}{990 \div 9} = \frac{27}{110}\)
In simple words: मिश्रित आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, इसे \(x\) मानकर दो समीकरण बनाते हैं: एक जिसमें आवर्ती भाग दशमलव के दाईं ओर होता है और दूसरा जिसमें आवर्ती भाग दशमलव के बाईं ओर होता है। फिर इन समीकरणों को घटाकर \(x\) का मान निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: जब आवर्ती भाग दशमलव के तुरंत बाद शुरू नहीं होता है, तो पहले दशमलव बिंदु को आवर्ती भाग के सामने ले जाने के लिए 10 की घात से गुणा करें, फिर आवर्ती भाग को बाहर करने के लिए दो समीकरणों को घटाएँ।

Question 19. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या एक अपरिमेय संख्या है? (a) \(\sqrt{\frac{25}{49}}\) (b) \(\sqrt{5}\) (c) \(\sqrt{36}\) (d) इनमें से कोई नहीं हल:
Answer: (b) \(\sqrt{5}\)
In simple words: अपरिमेय संख्या वह होती है जिसे भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता और जिसका दशमलव प्रसार गैर-शांत और गैर-आवर्ती होता है। \(\sqrt{25/49} = 5/7\) और \(\sqrt{36} = 6\) परिमेय संख्याएँ हैं, जबकि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।

🎯 Exam Tip: उन वर्गमूलों को पहचानें जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं; वे आम तौर पर अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। एक भिन्न का वर्गमूल परिमेय होगा यदि अंश और हर दोनों पूर्ण वर्ग हों।

Question 20. निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?
(a) \(\pi\) और \(\frac{22}{7}\) दोनों परिमेय हैं।
(b) \(\pi\) और \(\frac{22}{7}\) दोनों अपरिमेय हैं।
(c) \(\pi\) अपरिमेय है और \(\frac{22}{7}\) परिमेय है।
(d) \(\pi\) परिमेय है और \(\frac{22}{7}\) अपरिमेय है। हल:
Answer: (c) \(\pi\) अपरिमेय है और \(\frac{22}{7}\) परिमेय है।
In simple words: \(\pi\) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार गैर-शांत और गैर-आवर्ती होता है। \(\frac{22}{7}\) एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा गया है।

🎯 Exam Tip: \(\pi\) का मान अक्सर \(\frac{22}{7}\) या 3.14 के रूप में सन्निकटित किया जाता है, लेकिन यह जानना महत्वपूर्ण है कि \(\pi\) स्वयं एक अपरिमेय संख्या है, जबकि इसके सन्निकटन परिमेय संख्याएँ हैं।

Question 21. निम्न में से कौन-सा एक कथन सत्य नहीं है? (a) एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी (असांत) और अनावर्ती है। (b) दो अपरिमेय संख्याओं का योग, एक परिमेय या एक अपरिमेय संख्या होना चाहिए। (c) एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है । (d) सभी सत्य है। हलः
Answer: (d) सभी सत्य है।
In simple words: सभी दिए गए कथन गणितीय रूप से सत्य हैं। अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार हमेशा गैर-शांत और गैर-आवर्ती होता है। दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय या अपरिमेय हो सकता है (जैसे \((2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4\)), और एक परिमेय व एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है।

🎯 Exam Tip: वास्तविक संख्याओं के गुणों को समझना महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से, अपरिमेय संख्याओं के साथ संक्रियाएँ (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) अक्सर उनके अपरिमेय स्वरूप को बनाए रखती हैं, लेकिन कुछ अपवादों पर ध्यान दें।

Question 22. निम्नलिखित में परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए । (a) \(\pi\) (b) 0 (c) \(\sqrt{2}\) (d) इनमें से कोई नहीं हल:
Answer: (b) 0
In simple words: परिमेय संख्या वह होती है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं और \(q \neq 0\)। शून्य को \(\frac{0}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। \(\pi\) और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय संख्याएँ हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि 0 एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 0/1, 0/2 आदि के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पूर्णांक और प्राकृतिक संख्याएँ सभी परिमेय संख्याएँ होती हैं।

Ex 1.2 Real Numbers लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 23. \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{11}\) के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
\(\sqrt{3} \approx 1.732\)
\(\sqrt{11} \approx 3.316\)
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{11}\) के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों संख्याओं के दशमलव मानों के बीच एक परिमेय संख्या चुन सकते हैं।
एक परिमेय संख्या \( = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2} = \frac{1.732+3.316}{2} = \frac{5.048}{2} = 2.524\)
In simple words: दो अपरिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, आप उन संख्याओं के दशमलव मानों का अनुमान लगा सकते हैं और फिर उनके बीच की एक सरल दशमलव संख्या को चुन सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि चुनी गई परिमेय संख्या दी गई अपरिमेय संख्याओं के दशमलव मानों के बीच में आती हो। अक्सर, दोनों अपरिमेय संख्याओं का औसत एक अच्छा विकल्प होता है।

Question 24. संख्या \(\sqrt{5}\) का दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
\(\sqrt{5} = 2.23606797749...\)
यह एक अनवसानी (असांत) और अनावर्ती दशमलव प्रसार है।
In simple words: वर्गमूल 5 का दशमलव प्रसार एक ऐसी संख्या है जो कभी समाप्त नहीं होती और दशमलव के बाद के अंक कभी दोहराए नहीं जाते, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं होते हैं (जैसे \(\sqrt{5}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\)) हमेशा अपरिमेय संख्याएँ होती हैं और उनका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है।

Question 25. दो वास्तविक संख्याओं के बीच कितनी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं? हलः
Answer:
अनन्त
In simple words: किन्हीं भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनगिनत (अनंत) परिमेय संख्याएँ और अनगिनत (अनंत) अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

🎯 Exam Tip: वास्तविक संख्याओं का घनत्व गुण कहता है कि किन्हीं भी दो अलग-अलग वास्तविक संख्याओं के बीच हमेशा एक और वास्तविक संख्या होती है, और यह परिमेय और अपरिमेय दोनों पर लागू होता है।

Question 26. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है? (a) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है। (b) एक वास्तविक संख्या या तो परिमेय होती है या अपरिमेय । हलः
Answer:
(a) सत्य
(b) सत्य
In simple words: पूर्णांकों को \(\frac{p}{q}\) रूप में व्यक्त किया जा सकता है (जैसे \(3 = \frac{3}{1}\)), इसलिए वे परिमेय हैं। वास्तविक संख्याएँ या तो परिमेय होती हैं या अपरिमेय, और कोई तीसरा प्रकार नहीं होता।

🎯 Exam Tip: वास्तविक संख्या प्रणाली परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के मिलन से बनी है। प्रत्येक वास्तविक संख्या इन दोनों श्रेणियों में से किसी एक में आती है।

Question 27. दो अपरिमेय संख्याओं की गुणा की प्रकृति ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
दो अपरिमेय संख्याओं की गुणा परिमेय भी हो सकती है तथा अपरिमेय भी हो सकती है।
उदाहरण:
\(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) (परिमेय संख्या)
\(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\) (अपरिमेय संख्या)
In simple words: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल कभी परिमेय (जैसे \(\sqrt{2} \times \sqrt{2}\)) और कभी अपरिमेय (जैसे \(\sqrt{2} \times \sqrt{3}\)) हो सकता है।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय संख्याओं के साथ गुणनफल के परिणामों में विविधता को समझने के लिए विभिन्न उदाहरणों का अभ्यास करें।

Question 28. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
\(\sqrt{2} \approx 1.414...\)
\(\sqrt{3} \approx 1.732...\)
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के बीच एक परिमेय संख्या \( = \frac{1.414+1.732}{2} = \frac{3.146}{2} = 1.573\)
(हम कोई भी शांत दशमलव संख्या जैसे 1.5, 1.6, 1.7 आदि चुन सकते हैं जो \(1.414\) और \(1.732\) के बीच आती हो।)
In simple words: \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के दशमलव मानों के बीच की कोई भी दशमलव संख्या जो शांत हो, एक परिमेय संख्या होगी। उदाहरण के लिए, 1.573 एक ऐसी संख्या है।

🎯 Exam Tip: दो अपरिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। एक सरल विधि उनके दशमलव मानों का औसत लेना है।

Question 29. संख्या \((3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})\) का प्रकार ज्ञात कीजिए । हलः
Answer:
\((3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})\)
यह \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) के रूप में है, जहाँ \(a=3\) और \(b=\sqrt{7}\)।
\(= (3)^2 - (\sqrt{7})^2\)
\(= 9 - 7\)
\(= 2\)
चूंकि 2 को \(\frac{2}{1}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है।
In simple words: \((3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})\) का गुणनफल 2 है। चूँकि 2 एक पूर्णांक है जिसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: \((a-b)(a+b)\) जैसी बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ अपरिमेय पदों को समाप्त करके एक परिमेय परिणाम दे सकती हैं।

Question 30. [NCERT] \(\frac{36}{100}\) का दशमलव रूप ज्ञात कीजिए । हलः
Answer:
\(\frac{36}{100} = 0.36\)
In simple words: 36 को 100 से भाग देने पर हमें 0.36 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: जब हर 10 की घात हो, तो दशमलव बिंदु को अंश में हर में शून्य की संख्या के बराबर स्थान बाईं ओर ले जाएँ।

Question 31. सिद्ध कीजिए कि एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण या तो सांत होता है या आवर्ती । हलः
Answer:
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण करने पर दशमलव के बाद अंकों की संख्या सीमित है जैसे- \(\frac{3}{4} = 0.75\) या \(\frac{5}{8} = 0.625\)। ये शांत दशमलव प्रसार के उदाहरण हैं।
परन्तु यदि अंकों की संख्या सीमित नहीं है और अंकों के एक समूह की क्रमानुसार पुनरावृत्ति हो तो उसे आवर्ती दशमलव कहते हैं। जैसे-
\(\frac{1}{3} = 0.3333........ = 0.\overline{3}\)
\(\frac{2}{9} = 0.222...... = 0.\overline{2}\)
जब हम एक परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) को दशमलव रूप में बदलते हैं, तो भाग की प्रक्रिया में शेषफल दोहराना शुरू हो जाता है। शेषफल की एक सीमित संख्या ही संभव है (\(q-1\) तक)। इसलिए, दशमलव प्रसार या तो समाप्त हो जाता है (शेष 0 हो जाता है) या दोहराना शुरू कर देता है (शेषफल का एक पैटर्न दोहराता है), जिसके परिणामस्वरूप एक आवर्ती दशमलव होता है।
In simple words: एक परिमेय संख्या का दशमलव रूप हमेशा या तो एक निश्चित स्थान पर समाप्त हो जाता है (शांत दशमलव) या एक पैटर्न में दोहराना शुरू कर देता है (आवर्ती दशमलव)।

🎯 Exam Tip: यह अवधारणा परिमेय संख्याओं की मौलिक परिभाषा का हिस्सा है। शांत दशमलव वे होते हैं जिनके हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और 5 होते हैं।

Question 32. सिद्ध कीजिए कि एक अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण न तो सांत होता है और न ही आवर्ती । हलः
Answer:
अपरिमेय संख्या, जिसे \(\frac{p}{q}\) (जहाँ \(p\) व \(q\) पूर्णांक तथा \(q \neq 0\)) है, के रूप में व्यक्त नही किया जा सकता है।
परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण सांत तथा आवर्ती होता है। इसके विपरीत अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण न तो सांत और ना ही आवर्ती होते हैं। जैसे- \(\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}\) आदि अपरिमेय संख्याएँ जो परिमेय नहीं है, दशमलव के रूप में प्रदर्शित करने पर वे न तो सांत होती हैं और न ही आवर्ती ।
यदि एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत या आवर्ती होता, तो उसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता था, जो अपरिमेय संख्या की परिभाषा का खंडन करता है। इसलिए, एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार हमेशा गैर-समाप्त और गैर-दोहराव वाला होता है।
In simple words: एक अपरिमेय संख्या का दशमलव रूप कभी समाप्त नहीं होता (अनवसानी) और कभी भी एक पैटर्न में दोहराया नहीं जाता (अनावर्ती)। यही कारण है कि उन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।

🎯 Exam Tip: यह अपरिमेय संख्याओं की पहचान करने का एक निश्चित तरीका है। \(\pi\), \(\sqrt{2}\), और \(e\) जैसे उदाहरणों में हमेशा गैर-शांत और गैर-आवर्ती दशमलव प्रसार होते हैं।

Question 33. सिद्ध कीजिए कि एक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिन्दु, एक एकल वास्तविक संख्या निरूपित करता है। हलः
Answer:
सभी परिमेय संख्याएँ तथा अपरिमेय संख्याएँ साथ ली गई हैं जो वास्तविक संख्याओं से ली गई है सभी परिमेय एवं अपरिमेय संख्या, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। सभी परिमेय व अपरिमेय संख्या, संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याएं निरूपित है इसलिए इसे संख्या रेखा के स्थान पर वास्तविक संख्या रेखा कहते हैं।
वास्तविक संख्याएँ उन सभी बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं जो एक संख्या रेखा पर स्थित हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या (चाहे वह परिमेय हो या अपरिमेय) संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु से मेल खाती है, और संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या से मेल खाता है। इस एक-से-एक पत्राचार को पूरा करने के लिए परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं की आवश्यकता होती है। यदि हम केवल परिमेय संख्याओं का उपयोग करते हैं, तो संख्या रेखा में "अंतराल" होंगे। इन अंतरालों को अपरिमेय संख्याओं द्वारा भरा जाता है, जिससे एक निरंतर रेखा बनती है।
In simple words: संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या को दर्शाता है। वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं दोनों से बनी होती हैं, जो संख्या रेखा पर सभी बिंदुओं को पूरी तरह से भर देती हैं, जिससे कोई खाली स्थान नहीं बचता।

🎯 Exam Tip: यह अवधारणा "वास्तविक संख्याओं के पूर्णता गुण" को दर्शाती है। संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु का एक अद्वितीय निर्देशांक होता है जो एक वास्तविक संख्या होती है।

Ex 1.2 Real Numbers स्वमल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. क्या शून्य (0) एक परिमेय संख्या है? क्या इसे \(\frac{p}{q}\), p, q ∈ Z, \(q \neq 0\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता हलः
Answer:
हाँ 0 को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
\(0 = \frac{\mathbf{0}}{\mathbf{1}} = \frac{\mathbf{0}}{\mathbf{2}} = \frac{\mathbf{p}}{\mathbf{q}}\)
In simple words: हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे \(\frac{0}{1}\) जैसे भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ अंश और हर पूर्णांक हैं और हर शून्य नहीं है।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्या की परिभाषा के लिए हर शून्य नहीं होना चाहिए, अंश शून्य हो सकता है। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

Question 2. निम्न में सही (T) व गलत (F) छाटियें । (i) प्रत्येक प्राकृत संख्या, पूर्ण संख्या होती है। (ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।। (iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है हलः
Answer:
(i) T (सत्य)
(ii) F (गलत) (जैसे -2 एक पूर्णांक है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है)
(iii) F (गलत) (जैसे \(\frac{1}{2}\) एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्ण संख्या नहीं है)
In simple words: प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3...) पूर्ण संख्याओं (0, 1, 2, 3...) का हिस्सा हैं। पूर्णांकों में नकारात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं, जो पूर्ण संख्याएँ नहीं होतीं। परिमेय संख्याओं में भिन्न और दशमलव शामिल होते हैं, जो हमेशा पूर्ण संख्याएँ नहीं होते।

🎯 Exam Tip: विभिन्न संख्या प्रणालियों (प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय) के बीच संबंधों को याद रखना महत्वपूर्ण है। पूर्ण संख्याएँ \(\mathbb{W} = \{0, 1, 2, ...\}\), प्राकृत संख्याएँ \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\), पूर्णांक \(\mathbb{Z} = \{..., -1, 0, 1, ...\}\)।

Question 3. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक संख्याओं का वर्गमूल अपरिमेय संख्या नही होती । हलः
Answer:
(i) यदि \(n\) कोई पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है तो \(\sqrt{n}\) परिमेय संख्या नहीं होती है।
\(\therefore \sqrt{n} \neq \frac{p}{q}\) जहाँ \(p\) व \(q\) पूर्णांक है तथा \(q \neq 0\) जैसे- \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) आदि। यह कथन सत्य है।
(ii) यदि \(n\) कोई पूर्ण वर्ग संख्या है तो \(\sqrt{n}\) एक परिमेय संख्या होती है।
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) जहाँ \(p\) व \(q\) पूर्णांक है तथा \(q \neq 0\) जैसे- \(\sqrt{4} (=2), \sqrt{9} (=3), \sqrt{16} (=4), \sqrt{25} (=5)\) आदि। यह कथन सत्य है।
अतः, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल अपरिमेय संख्या नहीं होता है। यह या तो परिमेय (यदि पूर्णांक एक पूर्ण वर्ग है) या अपरिमेय (यदि पूर्णांक पूर्ण वर्ग नहीं है) होता है।
In simple words: किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी अपरिमेय होता है जब वह पूर्णांक एक पूर्ण वर्ग न हो। यदि वह एक पूर्ण वर्ग है, तो उसका वर्गमूल एक परिमेय संख्या होगी।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा को याद रखें। \(\sqrt{4}\) जैसे पूर्ण वर्ग के वर्गमूल परिमेय होते हैं, जबकि \(\sqrt{2}\) जैसे गैर-पूर्ण वर्ग के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं।

Question 4. सिद्ध कीजिए कि 3.142678 एक परिमेय संख्या है। . हलः
Answer:
\(3.142678 = \frac{3142678}{1000000}\)
जिसे सरल करने पर
\(\frac{1571339}{500000}\)
जिसे \(\frac{p}{q}\) लिखा जा सकता है। जहाँ \(p = 1571339\) और \(q = 500000\) पूर्णांक हैं और \(q \neq 0\)। अतः, यह एक परिमेय संख्या है।
In simple words: 3.142678 एक शांत दशमलव संख्या है, इसलिए इसे दो पूर्णांकों के अनुपात (\(\frac{1571339}{500000}\)) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे यह एक परिमेय संख्या बन जाती है।

🎯 Exam Tip: सभी शांत दशमलव संख्याएँ परिमेय होती हैं क्योंकि उन्हें हमेशा \(p/q\) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(q\) 10 की घात होती है।

Question 5. हम जानते हैं कि प्रत्येक परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) (p, q ∈ Z, \(q \neq 0\)) के रूप की होती है। जहाँ p व 4 में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं होता तथा इसका दशमलव प्रसार सांत होता है। किस गुण को संतुष्ट करेगा? हलः
Answer:
q एक अभाज्य गुणनखण्ड होगा।
(सही उत्तर होगा: \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने चाहिए।)
एक परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि (और केवल यदि) \(q\) के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और 5 हों। यदि \(q\) के गुणनखंड में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य संख्या है, तो दशमलव प्रसार आवर्ती होगा।
In simple words: एक भिन्न का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि उसके हर (सरलतम रूप में) के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और 5 शामिल हों।

🎯 Exam Tip: दशमलव प्रसार की प्रकृति (शांत या आवर्ती) हर के अभाज्य गुणनखंडों पर निर्भर करती है, विशेष रूप से जब भिन्न सरलतम रूप में हो।

Question 6. यदि n एक अभाज्य संख्या है तो सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{n}\), परिमेय संख्या नहीं है। हलः
Answer:
माना \(n\) एक अभाज्य संख्या है।
माना इसके विपरीत \(\sqrt{n}\) एक परिमेय संख्या है।
तब \(\sqrt{n} = \frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं, \(q \neq 0\), और \(p\) तथा \(q\) का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (अर्थात, \(\frac{p}{q}\) अपने सरलतम रूप में है)।
दोनों ओर वर्ग करने पर:
\(n = \left(\frac{p}{q}\right)^2\)
\(n = \frac{p^2}{q^2}\)
\(\implies nq^2 = p^2\)
इसका अर्थ है कि \(p^2\), \(n\) से विभाज्य है। चूंकि \(n\) एक अभाज्य संख्या है, यदि \(n\) किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करता है, तो वह संख्या को भी विभाजित करेगा।
\(\implies p\), \(n\) से विभाज्य है।
तो, हम \(p = nk\) लिख सकते हैं, जहाँ \(k\) कोई पूर्णांक है।
\(p = nk\) को \(nq^2 = p^2\) में प्रतिस्थापित करने पर:
\(nq^2 = (nk)^2\)
\(nq^2 = n^2k^2\)
\(q^2 = nk^2\)
इसका अर्थ है कि \(q^2\), \(n\) से विभाज्य है।
\(\implies q\), \(n\) से विभाज्य है।
अतः, \(p\) और \(q\) दोनों \(n\) से विभाज्य हैं। इसका मतलब है कि \(n\), \(p\) और \(q\) का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
लेकिन हमने शुरू में यह माना था कि \(p\) और \(q\) का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह एक विरोधाभास है। हमारी प्रारंभिक परिकल्पना गलत थी।
\(\therefore \sqrt{n}\) एक परिमेय संख्या नहीं है (अर्थात, यह अपरिमेय संख्या है)।
In simple words: यह सिद्ध करने के लिए कि \(\sqrt{n}\) (जहाँ \(n\) अभाज्य है) अपरिमेय है, हम मानते हैं कि यह परिमेय है। यह हमें यह निष्कर्ष निकालने की ओर ले जाता है कि \(n\), \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है, जो इस धारणा का खंडन करता है कि \(p\) और \(q\) में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

🎯 Exam Tip: यह "विरोधाभास द्वारा प्रमाण" का एक मानक उदाहरण है। इस प्रमाण में अभाज्य संख्याओं का मौलिक गुण महत्वपूर्ण है: यदि एक अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करेगी।

Question 7. यदि \(a > b > 0\) तब सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{a b}\) सदैव a व b के बीच स्थित है। हलः
Answer:
यदि \(a\) और \(b\) दो भिन्न धनात्मक परिमेय संख्याएं इस प्रकार हैं कि \(ab\) किसी परिमेय संख्या का एक पूर्ण वर्ग नहीं है। तब \(\sqrt{a b}\) एक \(a\) व \(b\) के बीच स्थित अपरिमेय संख्या है।
हमें सिद्ध करना है कि \(a < \sqrt{ab} < b\) (यह मानते हुए कि \(a < b\))।
सबसे पहले, सिद्ध करें कि \(a < \sqrt{ab}\):
\(a < \sqrt{ab}\)
दोनों ओर वर्ग करने पर (चूँकि \(a > 0\) और \(\sqrt{ab} > 0\), असमानता का चिन्ह नहीं बदलेगा):
\(a^2 < ab\)
चूंकि \(a > 0\), हम \(a\) से भाग दे सकते हैं:
\(a < b\)
यह सत्य है क्योंकि हमने \(a < b\) माना है।
अब, सिद्ध करें कि \(\sqrt{ab} < b\):
\(\sqrt{ab} < b\)
दोनों ओर वर्ग करने पर (चूँकि \(b > 0\) और \(\sqrt{ab} > 0\)):
\(ab < b^2\)
चूंकि \(b > 0\), हम \(b\) से भाग दे सकते हैं:
\(a < b\)
यह भी सत्य है क्योंकि हमने \(a < b\) माना है।
अतः, \(a < \sqrt{ab} < b\) सिद्ध होता है।
In simple words: दो धनात्मक संख्याओं \(a\) और \(b\) के बीच उनका ज्यामितीय माध्य (\(\sqrt{ab}\)) हमेशा उन दोनों संख्याओं के बीच में स्थित होता है, बशर्ते \(a \neq b\)।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाणों में, असमानताओं को सिद्ध करने के लिए वर्गों का उपयोग करना एक सामान्य तकनीक है। यह सुनिश्चित करें कि आप वर्ग करते समय या भाग देते समय संख्याओं के चिन्हों पर ध्यान दें।

Question 8. माना \(m\) a \(n\) दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि \(m \ge 1, n \ge 1\) तथा \(m\) पूर्ण \(n\) वाँ घात नहीं है अर्थात् कोई ऐसा पूर्णांक \(p\) नहीं है जिसके लिए \(p^n = m\), सिद्ध कीजिए कि ऐसी कोई परिमेय संख्या \(a\) नहीं हैं जिसके लिए \(a^n = m\). हलः
Answer:
माना \(p\) एक पूर्णांक है जिसके लिए \(p^n = m\)
माना \(a\) एक परिमेय संख्या है जिसके लिए \(a^n = m\)
यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण है। मान लीजिए कि ऐसी एक परिमेय संख्या \(a\) है जिसके लिए \(a^n = m\)।
तो \(a = \frac{x}{y}\), जहाँ \(x\) और \(y\) पूर्णांक हैं, \(y \neq 0\), और \(x\) तथा \(y\) का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
तो, \(\left(\frac{x}{y}\right)^n = m\)
\(\frac{x^n}{y^n} = m\)
\(x^n = my^n\)
यदि \(y=1\), तो \(x^n = m\), जिसका अर्थ है कि \(x\) एक पूर्णांक है और \(m\) एक पूर्णांक \(x\) की \(n\)-वीं घात है। लेकिन प्रश्न में दिया गया है कि \(m\) एक पूर्ण \(n\)-वीं घात नहीं है। अतः, \(y \neq 1\)।
चूंकि \(y \neq 1\), \(y\) में कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड \(k\) होगा।
चूंकि \(x^n = my^n\), \(k\) को \(x^n\) को भी विभाजित करना होगा।
यदि \(k\) एक अभाज्य गुणनखंड है जो \(x^n\) को विभाजित करता है, तो \(k\) को \(x\) को भी विभाजित करना होगा (अंकगणित का मौलिक प्रमेय)।
तो, \(k\) \(x\) और \(y\) दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
यह हमारी प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है कि \(x\) और \(y\) का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
इसलिए, हमारी परिकल्पना कि \(a\) एक परिमेय संख्या है जिसके लिए \(a^n = m\), गलत है।
अतः, ऐसी कोई परिमेय संख्या \(a\) नहीं हैं जिसके लिए \(a^n = m\).
In simple words: यदि एक धनात्मक पूर्णांक \(m\) किसी पूर्णांक की \(n\)-वीं घात नहीं है, तो कोई भी परिमेय संख्या नहीं हो सकती जिसकी \(n\)-वीं घात \(m\) हो। यह सिद्ध करने के लिए विरोधाभास का उपयोग किया जाता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण \(\sqrt{n}\) के अपरिमेयता के प्रमाण के समान है। इसमें एक परिमेय संख्या की धारणा को लेकर एक विरोधाभास उत्पन्न किया जाता है, आमतौर पर यह दिखाकर कि अंश और हर का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।

Question 9. (i) सम अभाज्य संख्या लिखिये । (ii) 5 व 6 के बीच कितनी वास्तविक संख्याएँ हैं? (iii) वास्तविक संख्याओं के लिए धनात्मक तत्समक ज्ञात कीजिए । (iv) परिमेय संख्याओं के लिए गुणन तत्समक ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
(i) 2
(ii) अनन्त
(iii) 0
(iv) 1
In simple words: 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। किन्हीं भी दो संख्याओं के बीच अनंत वास्तविक संख्याएँ होती हैं। जोड़ के लिए 0 और गुणा के लिए 1 तत्समक अवयव होते हैं।

🎯 Exam Tip: परिभाषाओं को याद रखें: अभाज्य संख्याएँ (केवल 1 और स्वयं से विभाज्य), वास्तविक संख्याएँ (सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ), योज्य तत्समक (जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती), गुण्य तत्समक (गुणा करने पर संख्या नहीं बदलती)।

Question 10. \(\frac{1}{9}\) का दशमलव प्रसार लिखकर \(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{5}{9}\), के मान ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
\(\frac{1}{9} = 0.111111... = 0.\overline{1}\)
\(\frac{2}{9} = 0.222222... = 0.\overline{2}\)
\(\frac{4}{9} = 0.444444... = 0.\overline{4}\)
\(\frac{5}{9} = 0.55555... = 0.\overline{5}\)
In simple words: जब किसी एकल अंक को 9 से भाग दिया जाता है, तो परिणाम एक आवर्ती दशमलव होता है जिसमें वही अंक दोहराया जाता है।

🎯 Exam Tip: इस पैटर्न को याद रखें: \(\frac{k}{9}\) हमेशा \(0.\overline{k}\) के बराबर होता है, जहाँ \(k\) एक एकल अंक है (1 से 9 तक)।

Question 11. सिद्ध कीजिए कि एक अशून्य परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या होती है। हलः
Answer:
माना \(x\) एक अशून्य परिमेय संख्या है और \(y\) एक अपरिमेय संख्या है।
हमें सिद्ध करना है कि \((x + y)\) एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए, इसके विपरीत, \((x + y)\) एक परिमेय संख्या है। माना \((x + y) = r\), जहाँ \(r\) एक परिमेय संख्या है।
तब \(y = r - x\)
चूंकि \(r\) एक परिमेय संख्या है और \(x\) भी एक परिमेय संख्या है, दो परिमेय संख्याओं का अंतर भी एक परिमेय संख्या होता है।
\(\therefore y\) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि \(y\) एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक परिकल्पना के कारण उत्पन्न हुआ है कि \((x + y)\) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, हमारी परिकल्पना गलत है, और \((x + y)\) एक अपरिमेय संख्या ही होगी ।
In simple words: एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है। यदि यह परिमेय होता, तो हम अपरिमेय संख्या को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिख सकते थे, जो अपरिमेयता की परिभाषा का खंडन करता है।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक प्रमाण है जो संख्या प्रणालियों के गुणों को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग करके तर्क को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।

Question 12. सिद्ध कीजिए कि एक अशून्य परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या होती है। हलः
Answer:
माना \(x\) एक अशून्य परिमेय संख्या है और \(y\) एक अपरिमेय संख्या है।
हमें दर्शाना है कि \(xy\) एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए, इसके विपरीत, \(xy\) एक परिमेय संख्या है। माना \(xy = r\), जहाँ \(r\) एक परिमेय संख्या है।
चूंकि \(x\) एक अशून्य परिमेय संख्या है, \(x \neq 0\)।
हम \(xy = r\) को \(x\) से भाग दे सकते हैं:
\(\implies y = \frac{r}{x}\)
चूंकि \(r\) एक परिमेय संख्या है और \(x\) एक अशून्य परिमेय संख्या है, दो परिमेय संख्याओं का भागफल भी एक परिमेय संख्या होता है।
\(\therefore y\) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि \(y\) एक अपरिमेय संख्या है।
यह विरोधाभास हमारी प्रारंभिक परिकल्पना के कारण उत्पन्न हुआ है कि \(xy\) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, हमारी परिकल्पना गलत है, और \(xy\) एक अपरिमेय संख्या ही होगी ।
In simple words: एक अशून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। यदि यह परिमेय होता, तो अपरिमेय संख्या को दो परिमेय संख्याओं के भागफल के रूप में लिखा जा सकता था, जो अपरिमेयता की परिभाषा के विपरीत है।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण भी विरोधाभास विधि पर आधारित है। सुनिश्चित करें कि आप यह स्पष्ट करते हैं कि अशून्य परिमेय संख्या से भाग देने पर भी परिमेय संख्या बनी रहती है।

Question 13. \(0.232332333233332...\) व \(0.2525525552555552...\) के बीच दो परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। हलः
Answer:
माना \(a = 0.232332333233332........\)
\(b = 0.2525525552555552.......\)
\(a\) तथा \(b\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि उनका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।
\(a\) और \(b\) के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम इनके बीच में कोई भी शांत दशमलव संख्या ले सकते हैं।
दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद का पहला अंक 2 है।
\(a\) में दशमलव के बाद दूसरा अंक 3 है और \(b\) में दशमलव के बाद दूसरा अंक 5 है।
हम 0.23 और 0.25 के बीच की परिमेय संख्याएँ ले सकते हैं।
उदाहरण के लिए:
\(c = 0.24\) (जो कि \(0.24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25}\) है)
\(d = 0.245\) (जो कि \(0.245 = \frac{245}{1000} = \frac{49}{200}\) है)
यह सुनिश्चित करता है कि \(a < c < d < b\)
इस प्रकार, \(0.24\) और \(0.245\) (या कोई अन्य शांत दशमलव संख्या जैसे \(0.235, 0.241\) आदि) दो ऐसी परिमेय संख्याएँ हैं।
In simple words: दो अपरिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, आप उन अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार का अवलोकन करते हैं और उनके बीच आने वाले शांत दशमलव का चयन करते हैं।

🎯 Exam Tip: दो वास्तविक संख्याओं के बीच हमेशा अनंत परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। शांत दशमलव संख्याएँ चुनना उन्हें परिमेय के रूप में व्यक्त करने का एक आसान तरीका है।

Question 14. \(0 . \overline{1}\) व 0.1101 के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए । हलः
Answer:
\(0.\overline{1} = 0.111111.....\)
और दूसरी संख्या \(0.1101\) है।
हमें \(0.1101\) और \(0.111111...\) के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करनी है।
हम एक गैर-आवर्ती और गैर-समाप्त दशमलव प्रसार बना सकते हैं जो इन दो संख्याओं के बीच आता हो।
उदाहरण के लिए:
एक अपरिमेय संख्या \( = 0.1101001000100001...\)
(यह संख्या 0.1101 से बड़ी है और 0.111111... से छोटी है, और यह एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह गैर-आवर्ती और गैर-समाप्त है।)
In simple words: \(0.\overline{1}\) और \(0.1101\) के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, हम एक दशमलव पैटर्न बनाते हैं जो गैर-दोहराव वाला और गैर-समाप्त होने वाला हो, और दिए गए मानों के बीच में आता हो।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय संख्या बनाने के लिए, दशमलव के बाद के अंकों में एक ऐसा पैटर्न बनाएँ जो स्पष्ट रूप से आवर्ती न हो (जैसे बढ़ते हुए शून्य या अन्य गैर-दोहराव वाले अनुक्रम)।

Question 15. सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है। हलः
Answer:
माना \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
माना \(\sqrt{3}+\sqrt{5} = x\), जहाँ \(x\) एक परिमेय संख्या है।
वर्ग करने पर
\((\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = x^2\)
\((\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} = x^2\)
\(3 + 5 + 2\sqrt{15} = x^2\)
\(8 + 2\sqrt{15} = x^2\)
\(2\sqrt{15} = x^2 - 8\)
\(\sqrt{15} = \frac{x^2 - 8}{2}\)
चूंकि \(x\) एक परिमेय संख्या है, तो \(x^2\) भी परिमेय संख्या होगी।
तब \(x^2 - 8\) भी परिमेय संख्या होगी।
और \(\frac{x^2 - 8}{2}\) भी परिमेय संख्या होगी।
इसका अर्थ है कि \(\sqrt{15}\) एक परिमेय संख्या है।
परन्तु हम जानते हैं कि \(\sqrt{15}\) एक अपरिमेय संख्या है (क्योंकि 15 एक पूर्ण वर्ग नहीं है)।
यह एक विरोधाभास है।
\(\therefore\) हमारी परिकल्पना कि \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अतः \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या ही होगी ।
In simple words: हम \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर शुरू करते हैं और वर्ग करने पर, हमें एक अपरिमेय संख्या (\(\sqrt{15}\)) को दो परिमेय संख्याओं के भागफल के रूप में व्यक्त करना पड़ता है, जो कि असंभव है। यह विरोधाभास सिद्ध करता है कि हमारी प्रारंभिक धारणा गलत थी और \(\sqrt{3}+\sqrt{5}\) अपरिमेय है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रमाण में, वर्ग करने की प्रक्रिया अक्सर अपरिमेय पदों को अलग करने में मदद करती है, जिससे आप विरोधाभास तक पहुँच सकते हैं। याद रखें कि \(\sqrt{ab}\) अपरिमेय होगा यदि \(ab\) पूर्ण वर्ग नहीं है।