UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 1 Number Systems

UP Board Solutions For Class 9 Maths Chapter 1 Number Systems (संख्या पद्धति)

These Solutions are part of UP Board Solutions for Class 9 Maths. Here we have given UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (संख्या पद्धति).

Exercise 1.1

Question 1. क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या आप इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिख सकते हैं जहाँ p और q पूर्णाक हैं और q ≠ 0 है?
Answer: हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है। इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में लिखा जा सकता है। 0 = \( \frac{0}{4} \), \( \frac{0}{5} \), \( \frac{0}{8} \) ...
In simple words: हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे \( \frac{0}{1} \), जहाँ p=0 और q कोई भी गैर-शून्य पूर्णांक है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में शून्य को परिमेय संख्या सिद्ध करने के लिए \( \frac{p}{q} \) रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है, जहाँ q ≠ 0 हो।

Question 2. 3 और 4 के मध्य 6 परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: 6 परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, 3 और 4 को (6 + 1) = 7 से गुणा और भाग करते हैं। \[ 3 = \frac{3 \times 7}{1 \times 7} = \frac{21}{7} \] और \[ 4 = \frac{4 \times 7}{1 \times 7} = \frac{28}{7} \] अब, 3 और 4 के मध्य 6 परिमेय संख्याएँ = \( \frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}, \frac{27}{7} \)
In simple words: दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उन्हें एक उभयनिष्ठ हर में बदलें, जो कि (जितनी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं + 1) के बराबर हो, फिर उनके अंशों के बीच की संख्याओं को लिखें।

🎯 Exam Tip: परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए (n+1) से गुणा और भाग करने की विधि को स्पष्ट रूप से दर्शाना उच्च अंक प्राप्त करने में सहायक होगा।

Question 3. \( \frac{3}{5} \) और \( \frac{4}{5} \) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer: चूँकि दी गई परिमेय संख्याओ का हर समान है। पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, \( \frac{3}{5} \) और \( \frac{4}{5} \) को (5 + 1) = 6 से गुणा और भाग करते हैं। \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30} \] और \[ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30} \] अब, \( \frac{18}{30} \) और \( \frac{24}{30} \) के मध्य 5 परिमेय संख्याएँ = \( \frac{19}{30}, \frac{20}{30}, \frac{21}{30}, \frac{22}{30}, \frac{23}{30} \)
\( \implies \) \( \frac{3}{5} \) और \( \frac{4}{5} \) के मध्य 5 परिमेय संख्याएँ = \( \frac{19}{30}, \frac{2}{3}, \frac{7}{10}, \frac{11}{15}, \frac{23}{30} \)
In simple words: जब दो भिन्नों का हर समान हो, तो उनके बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, भिन्नों के अंश और हर को (आवश्यक परिमेय संख्याओं की संख्या + 1) से गुणा करें और फिर नए अंशों के बीच की संख्याएँ लिखें।

🎯 Exam Tip: भिन्नों को सरलतम रूप में लिखने पर भी समान अंक प्राप्त होते हैं, इसलिए आवश्यकतानुसार सरल करना चाहिए।

Question 4. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णाक एक पूर्ण संख्या होती है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
Answer:
(i) क्योंकि सभी प्राकृत संख्याएँ {1, 2, 3, 4, ....}, पूर्ण संख्याओं {0, 1, 2, 3, 4, ....} में समाहित हैं। अतः कथन सत्य है।
(ii) क्योंकि ऋणात्मक पूर्णाक, पूर्ण संख्याओं में समाहित नहीं है। अतः कथन असत्य है।
(iii) क्योंकि परिमेय संख्याओं के संग्रह में भिन्ने एवं दशमलव संख्याएँ होती हैं जो पूर्ण संख्याओं के संग्रह में समाहित नहीं हैं। अतः कथन असत्य है।
In simple words: प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याओं का हिस्सा होती हैं क्योंकि पूर्ण संख्याओं में शून्य के साथ सभी प्राकृत संख्याएँ शामिल होती हैं। पूर्णांक में ऋणात्मक संख्याएँ भी होती हैं, जो पूर्ण संख्याएँ नहीं होतीं। परिमेय संख्याओं में भिन्न और दशमलव होते हैं, जो पूर्ण संख्याएँ नहीं हो सकते।

🎯 Exam Tip: संख्या प्रणालियों की परिभाषाओं को याद रखना आवश्यक है ताकि सत्य-असत्य कथनों का सही कारण सहित उत्तर दिया जा सके।

Exercise 1.2

Question 1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए :
(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु \( \sqrt{m} \) के रूप का होता है जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय होती है।
Answer:
(i) क्योंकि वास्तविक संख्याओं का संग्रह परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से मिलकर बना है अतः प्रत्येक अपरिमेय संख्या वास्तविक होती है। अतः कथन सत्य है।
(ii) यदि m एक प्राकृतिक संख्या है तो संख्या रेखा पर केवल 1, 2, 3, 4,....... बिन्दु ही स्थित होने चाहिए। जबकि संख्या रेखा पर दो क्रमिक संख्याओं के मध्य अनन्त “संख्याएँ होती हैं । अतः कथन असत्य है।
(iii) क्योंकि वास्तविक संख्याओं के संग्रह में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं। अतः प्रत्येक वास्तविक संख्या का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। अतः कथन असत्य है।
In simple words: वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का एक समूह हैं, इसलिए हर अपरिमेय संख्या वास्तविक है। संख्या रेखा पर सभी बिंदुओं को \( \sqrt{m} \) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, खासकर ऋणात्मक संख्याओं या भिन्नों को। हर वास्तविक संख्या अपरिमेय नहीं होती, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ भी शामिल होती हैं।

🎯 Exam Tip: वास्तविक संख्याओं के गुणों और अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझना इस प्रकार के प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।
Answer: नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं। उदाहरणार्थ : \( \sqrt{9} = 3 \) एक परिमेय संख्या है।
In simple words: सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं; उदाहरण के लिए, 9 का वर्गमूल 3 है, जो एक परिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल को उदाहरण के रूप में प्रस्तुत करना चाहिए, क्योंकि वे परिमेय होते हैं।

Question 3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर \( \sqrt{5} \) को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है?
Answer: हम जानते हैं कि \[ 5 = 4 + 1 \]
\( \implies (\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र संख्या रेखा पर \( \sqrt{5} \) के निर्माण को दर्शाता है। इसमें एक संख्या रेखा खींची गई है, जिस पर 2 इकाई की दूरी पर बिंदु A अंकित है। बिंदु A पर 1 इकाई लंबा लंब AB बनाया गया है, और मूल बिंदु O से B को जोड़कर एक समकोण त्रिभुज OAB बनाया गया है। अंत में, OB त्रिज्या का एक चाप O से खींचा जाता है जो संख्या रेखा को बिंदु P पर काटता है, जो \( \sqrt{5} \) को निरूपित करता है। संख्या रेखा खींचते हैं। संख्या रेखा पर OA = 2 मात्रक लेते हैं। \( \angle OAM = 90^\circ \) बनाते हैं तथा AM से AB = 1 मात्रक काटते हैं। OB को मिलाया। अब, समकोण \( \triangle OAB \) में पाइथागोरस प्रमेय से,
\( \implies OB^2 = OA^2 + AB^2 = (2)^2 + (1)^2 = 4 + 1 = 5 \)
\( \implies OB = \sqrt{5} \) मात्रक O को केन्द्र लेकर OB त्रिज्या से एक चाप लगाते हैं जो संख्या रेखा को P पर काटता है। अतः OB = OP = \( \sqrt{5} \) मात्रक है।
In simple words: \( \sqrt{5} \) को संख्या रेखा पर दर्शाने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसकी भुजाएँ 2 इकाई और 1 इकाई हों, जिससे कर्ण \( \sqrt{5} \) हो। फिर, मूल बिंदु को केंद्र मानकर उस कर्ण की लंबाई का चाप संख्या रेखा पर काटते हैं।

🎯 Exam Tip: संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याओं के निरूपण के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग और निर्माण के चरण स्पष्ट रूप से दर्शाना महत्वपूर्ण है।

Exercise 1.3

Question 1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक को दशमलव प्रसार किस प्रकार का है :
(i) \( \frac{36}{100} \)
(ii) \( \frac{1}{11} \)
(iii) \( 4\frac{1}{8} \)
(iv) \( \frac{3}{13} \)
(v) \( \frac{2}{11} \)
(vi) \( \frac{329}{400} \)
Answer:
(i) हल : \( \frac{36}{100} = 0.36 \) शेषफल शून्य है \( \frac{36}{100} \) का दशमलव प्रसार 0.36 सांत है।
In simple words: \( \frac{36}{100} \) को दशमलव रूप में 0.36 लिखा जाता है, और यह एक सांत दशमलव प्रसार है क्योंकि भाग प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

🎯 Exam Tip: सांत दशमलव प्रसार तब होता है जब हर के गुणनखंड केवल 2 या 5 होते हैं, या दोनों होते हैं।

(ii) \( \frac{1}{11} = 0.090909..... = 0.\overline{09} \) यहाँ पर भागफल विधि का अन्त नहीं होता है तथा शेषफल पुनः 1 प्राप्त होता है। \( \frac{1}{11} \) का दशमलव प्रसार 0.\overline{09} अनवसानी है एवं आवर्ती है।
In simple words: \( \frac{1}{11} \) को दशमलव रूप में 0.0909... लिखा जाता है, जहाँ 09 दोहराया जाता है। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है क्योंकि भाग प्रक्रिया कभी समाप्त नहीं होती और अंकों का एक समूह दोहराता रहता है।

🎯 Exam Tip: अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार तब होता है जब हर के गुणनखंडों में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होते हैं।

(iii) \( 4\frac{1}{8} = 4 + \frac{1}{8} \) \( = 4 + 0.125 = 4.125 \) शेषफल शून्य है \( 4\frac{1}{8} \) का दशमलव प्रसार 4.125 सांत है।
In simple words: \( 4\frac{1}{8} \) को दशमलव रूप में 4.125 लिखा जाता है, और यह एक सांत दशमलव प्रसार है क्योंकि भाग प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

🎯 Exam Tip: मिश्रित भिन्नों को दशमलव में बदलने के लिए, पूर्णांक भाग को अलग रखें और भिन्न भाग को दशमलव में बदलें।

(iv) \( \frac{3}{13} = 0.230769...... = 0.\overline{230769} \) यहाँ पर भागफल विधि का अन्त नहीं होता है तथा शेषफल पुनः 3 प्राप्त होता है। \( \frac{3}{13} \) का दशमलव प्रसार 0.\overline{230769} अनवसानी एवं आवर्ती है।
In simple words: \( \frac{3}{13} \) को दशमलव रूप में 0.230769... लिखा जाता है, जहाँ 230769 दोहराया जाता है। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।

🎯 Exam Tip: लंबे आवर्ती दशमलवों के लिए, दोहराने वाले खंड पर बार लगाना महत्वपूर्ण है।

(v) \( \frac{2}{11} = 0.1818..... = 0.\overline{18} \) यहाँ पर भागफल विधि का अन्त नहीं होता है तथा शेषफल पुनः 2 प्राप्त होता है। \( \frac{2}{11} \) का दशमलव प्रसार 0.\overline{18} अनवसानी एवं आवर्ती है।
In simple words: \( \frac{2}{11} \) को दशमलव रूप में 0.1818... लिखा जाता है, जहाँ 18 दोहराया जाता है। यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है।

🎯 Exam Tip: यह देखें कि क्या अंश और हर में कोई सामान्य गुणनखंड हैं जो भिन्न को सरल बना सकते हैं, इससे दशमलव प्रसार की गणना आसान हो सकती है।

(vi) \( \frac{329}{400} = 0.8225 \) शेषफल शून्य है। \( \frac{329}{400} \) का दशमलव प्रसार 0.8225 सांत है।
In simple words: \( \frac{329}{400} \) को दशमलव रूप में 0.8225 लिखा जाता है, और यह एक सांत दशमलव प्रसार है क्योंकि भाग प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

🎯 Exam Tip: यदि हर 10 की घातों (जैसे 100, 1000) या उनके गुणनखंडों (जैसे 400 = 4 × 100) में व्यक्त किया जा सकता है, तो दशमलव प्रसार सांत होगा।

Question 2. आप जानते हैं कि \( \frac{1}{7} \) = 0.\overline{142857} है। वास्तव में, लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि \( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} \) के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ तो कैसे ?
Answer: हाँ \( \frac{1}{7} \) का दशमलव प्रसार ज्ञात होने पर \( \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7} \) के प्रसार ज्ञात किए जा सकते हैं।
\( \implies \frac{2}{7} = 2 \times \frac{1}{7} = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714} \)
\( \implies \frac{3}{7} = 3 \times \frac{1}{7} = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571} \)
\( \implies \frac{4}{7} = 4 \times \frac{1}{7} = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428} \)
\( \implies \frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285} \)
\( \implies \frac{6}{7} = 6 \times \frac{1}{7} = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142} \)
In simple words: हम \( \frac{1}{7} \) के दशमलव प्रसार का उपयोग करके अन्य भिन्नों \( \frac{n}{7} \) के दशमलव प्रसार को ज्ञात कर सकते हैं। बस \( \frac{1}{7} \) के दशमलव प्रसार को 'n' से गुणा करना होगा, जिससे हमें संबंधित आवर्ती दशमलव प्राप्त होंगे।

🎯 Exam Tip: इस विधि का उपयोग तब किया जा सकता है जब हर एक अभाज्य संख्या हो और अंश उसका गुणज हो, जिससे गणना में समय की बचत होती है।

Question 3. निम्नलिखित को \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णाक है तथा q ≠ 0 है :
(i) \( 0.\overline{6} \)
(ii) \( 0.4\overline{7} \)
(iii) \( 0.\overline{001} \)
Answer:
(i) हल : माना \( x = 0.\overline{6} \)
\( \implies x = 0.666...... \) ...(1) दोनों पक्षों में 10 की गुणा करने पर,
\( \implies 10x = 6.666...... \) ...(2) समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
\( \implies 9x = 6 \)
\( \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \) अतः \( 0.\overline{6} = \frac{2}{3} \)
In simple words: एक आवर्ती दशमलव (जैसे \( 0.\overline{6} \)) को \( \frac{p}{q} \) के रूप में बदलने के लिए, इसे x के बराबर मानें, फिर समीकरणों को 10 की घातों से गुणा करें ताकि आवर्ती भाग संरेखित हो, और घटाकर x का मान प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि गुणा के बाद दशमलव बिंदु के बाद दोहराने वाले अंक संरेखित हों, ताकि घटाने पर आवर्ती भाग रद्द हो जाए।

(ii) माना \( x = 0.4\overline{7} \)
\( \implies x = 0.4777... \) ...(1) दोनों पक्षों में 10 की गुणा करने पर,
\( \implies 10x = 4.777... \) पुनः दोनों पक्षों में 10 की गुणा करने पर,
\( \implies 100x = 47.777... \) ...(2) समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
\( \implies 90x = 43 \)
\( \implies x = \frac{43}{90} \) अतः \( 0.4\overline{7} = \frac{43}{90} \)
In simple words: एक दशमलव जिसमें केवल एक हिस्सा आवर्ती हो (\( 0.4\overline{7} \)) को \( \frac{p}{q} \) में बदलने के लिए, इसे x के बराबर मानें। फिर, दशमलव बिंदु को गैर-आवर्ती भाग के बाद लाने के लिए 10 से गुणा करें, और फिर दशमलव बिंदु को आवर्ती भाग के अंत तक लाने के लिए फिर से गुणा करें। दोनों समीकरणों को घटाकर x का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, दशमलव बिंदु को पहले गैर-आवर्ती भाग के बाद और फिर आवर्ती भाग के अंत तक ले जाना महत्वपूर्ण है।

(iii) माना \( x = 0.\overline{001} \)
\( \implies x = 0.001001001... \) ...(1) दोनों पक्षों में 1000 की गुणा करने पर,
\( \implies 1000x = 1.001001001... \) ...(2) समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
\( \implies 999x = 1 \)
\( \implies x = \frac{1}{999} \) अतः \( 0.\overline{001} = \frac{1}{999} \)
In simple words: \( 0.\overline{001} \) को \( \frac{p}{q} \) में बदलने के लिए, इसे x के बराबर मानें। क्योंकि तीन अंक दोहरा रहे हैं, दोनों पक्षों को 1000 से गुणा करें। फिर, मूल समीकरण को नए समीकरण से घटाकर x का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: दोहराने वाले अंकों की संख्या के आधार पर 10 की घात (10, 100, 1000, आदि) से गुणा करने का चुनाव करें।

Question 4. \( 0.99999.... \) को \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
Answer: हल : माना \( x = 0.9999..... \) ...(1) दोनों पक्षों में 10 की गुणा करने पर,
\( \implies 10x = 9.9999..... \) ...(2) समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
\( \implies 9x = 9 \)
\( \implies x = 1 \) अतः \( 0.9999.... = 1 \)
In simple words: \( 0.9999.... \) को \( \frac{p}{q} \) रूप में व्यक्त करने पर इसका मान 1 आता है। यह परिणाम आश्चर्यजनक लग सकता है, लेकिन यह गणितीय रूप से सही है क्योंकि \( 0.999... \) वास्तव में 1 के बहुत करीब है और अनंत संख्या में 9 इसे पूर्णतः 1 बना देते हैं।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि \( 0.\overline{9} \) एक अनंत श्रेणी का योग है जो वास्तव में 1 के बराबर होता है, न कि केवल 'लगभग' 1।

Question 5. \( \frac{1}{17} \) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन-क्रिया कीजिए।
Answer: हलः \( \frac{1}{17} \) में हर 17 है। अतः भाग करने पर 1 से 16 तक की कोई भी संख्याएँ शेषफल के रूप में प्राप्त हो सकती है। उसके उपरान्त अंकों की पुनरावृत्ति अवश्य होगी । अतः \( \frac{1}{17} \) के दशमलव प्रसार के पुनरावृत्ति खण्ड में अधिकतम अंक = 16
\( \frac{1}{17} = 0.\overline{0588235294117647} \) यहाँ से अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है।
In simple words: एक भिन्न \( \frac{1}{n} \) के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड में अधिकतम अंकों की संख्या (n-1) हो सकती है। \( \frac{1}{17} \) के लिए, यह 16 अंक है, जो लंबी भाग प्रक्रिया द्वारा 0.0588235294117647 के रूप में पुष्टि की जाती है।

🎯 Exam Tip: किसी भिन्न \( \frac{1}{p} \) (जहाँ p एक अभाज्य संख्या है) के दशमलव प्रसार में पुनरावृत्ति खंड की अधिकतम लंबाई p-1 होती है।

Question 6. \( \frac{p}{q} \), q ≠ 0 के रूप में परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए?
Answer: हल : \( \frac{p}{q} \) के रूप में परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत तभी होगा जब p को q से भाग देने पर शेषफल शून्य हो। जबकि p और q में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है। किसी संख्या को भाग करने पर शेषफल शून्य तभी होगा जबकि (1) भाजक 2 या 2 की कोई घात हो । (2) भाजक 5 या 6 की कोई घात हो । (3) भाजक 2 की किसी घात और 5 की किसी घात का गुणनफल हो । अतः q को 2 अथवा 5 अथवा इनकी किसी घात के बराबर होना चाहिए अथवा 2 की किसी घात और 5 की किसी घात के गुणन के बराबर होना चाहिए। अर्थात \( q = 2^m \times 5^n \) जहाँ m और n पूर्ण संख्याएँ हैं।
In simple words: एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत तभी होता है जब उसके हर (q) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 हों, या दोनों हों। यह सुनिश्चित करता है कि भिन्न को 10 की घात में बदला जा सकता है, जिससे विभाजन समाप्त हो जाता है।

🎯 Exam Tip: इस नियम को याद रखना महत्वपूर्ण है: एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि उसके हर q के अभाज्य गुणनखंड \( 2^m \times 5^n \) के रूप में होते हैं, जहाँ m और n गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

Question 7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हो।
Answer: हल : सभी अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होते हैं। ऐसी तीन संख्याएँ \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} \) हैं।
In simple words: अनवसानी अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याएँ वे होती हैं जो न तो कभी समाप्त होती हैं और न ही किसी क्रम में दोहराती हैं, जैसे \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} \) या पाई (\( \pi \))।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। किसी भी गैर-पूर्ण वर्ग का वर्गमूल एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव होता है।

Question 8. परिमेय संख्याओं \( \frac{5}{7} \) और \( \frac{9}{11} \) के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : \( \frac{5}{7} \) का दशमलव प्रसार = 0.\overline{714285} \( \frac{9}{11} \) का दशमलब प्रसार = 0.\overline{81} अब \( \frac{5}{7} \) और \( \frac{9}{11} \) के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ = 0.72072007200072......., 0.73073007300073......., 0.8080080008.....
In simple words: दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, पहले उनके दशमलव प्रसार ज्ञात करें। फिर, उन दो दशमलव मानों के बीच कोई भी तीन अनवसानी अनावर्ती दशमलव संख्याएँ लिखें।

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ लिखने के लिए, सुनिश्चित करें कि वे दशमलव रूप में न तो समाप्त हों और न ही दोहराएँ।

Question 9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन सी संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन भी संख्याएँ अपरिमेय हैं :
(i) \( \sqrt{23} \)
(ii) \( \sqrt{225} \)
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478....
(v) 1.101001000100001....
Answer:
(i) हल : \( \sqrt{23} = 4.79583... \) \( \sqrt{23} \) का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।
\( \implies \sqrt{23} \) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: \( \sqrt{23} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही दोहराता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।

(ii) \( \sqrt{225} = 15 \) जो एक प्राकृत संख्या है।
\( \implies \sqrt{225} \) एक परिमेय संख्या है।
In simple words: \( \sqrt{225} \) एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसका वर्गमूल 15 है, जो एक पूर्णांक है और इसे \( \frac{15}{1} \) के रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यदि किसी संख्या का वर्गमूल एक पूर्णांक होता है, तो वह संख्या एक परिमेय संख्या होती है।

(iii) 0.3796 इसका दशमलव प्रसार सांत है।
\( \implies 0.3796 \) एक परिमेय संख्या है।
In simple words: 0.3796 एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक सांत दशमलव है, जिसका अर्थ है कि यह दशमलव बिंदु के बाद समाप्त हो जाता है।

🎯 Exam Tip: सभी सांत दशमलव संख्याएँ परिमेय होती हैं क्योंकि उन्हें \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(iv) \( 7.478478..... = 7.\overline{478} \) इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है।
\( \implies 7.478478....... \) एक परिमेय संख्या है।
In simple words: \( 7.478478..... \) एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव है, जिसमें '478' का समूह दोहराता है।

🎯 Exam Tip: अनवसानी आवर्ती दशमलव संख्याएँ हमेशा परिमेय होती हैं और उन्हें \( \frac{p}{q} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(v) \( 1.101001000100001.... \) इसका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।
\( \implies 1.101001000100001.... \) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: \( 1.101001000100001.... \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव है, जिसका अर्थ है कि यह न तो समाप्त होता है और न ही इसमें अंकों का कोई दोहराने वाला पैटर्न है।

🎯 Exam Tip: एक दशमलव जो न तो समाप्त होता है और न ही दोहराता है, हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।

Exercise 1.4

Question 1. उत्तरोत्तर आवर्धन करके संख्या-रेखा पर 3.765 को देखिए।
Answer: हल :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र उत्तरोत्तर आवर्धन प्रक्रिया द्वारा संख्या रेखा पर 3.765 को दर्शाने की विधि को स्पष्ट करता है। इसमें 3 और 4 के बीच की संख्या रेखा को ज़ूम करके 3.7 और 3.8 के बीच के भाग को और, फिर 3.76 और 3.77 के बीच के भाग को, और अंत में 3.765 को चिन्हित किया गया है, जिससे छात्र संख्या को आसानी से समझ सकें। चरण 1 : दी गई संख्या 3 तथा 4 के मध्य स्थित है। चरण 2 : 3 और 4 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं तथा इसे 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चरण 3 : दी गई संख्या 3.7 और 3.8 के मध्य स्थित हैं। चरण 4 : 3.7 और 3.8 के मध्य अन्तराल को 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं तथा इसका आवर्धन करते हैं। चरण 5 : दी गई संख्या 3.76 तथा 3.77 के मध्य स्थित हैं। चरण 6 : 3.76 और 3.77 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं तथा इसे 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चरण 7 : चरण-6 के आवर्धन में 3.765 पाँचवाँ भाग हैं।
In simple words: उत्तरोत्तर आवर्धन विधि में, हम संख्या रेखा के एक हिस्से को बार-बार ज़ूम करते हैं। 3.765 को दर्शाने के लिए, पहले 3 और 4 के बीच, फिर 3.7 और 3.8 के बीच, और अंत में 3.76 और 3.77 के बीच के भाग को आवर्धित करके 3.765 तक पहुँचते हैं।

🎯 Exam Tip: उत्तरोत्तर आवर्धन के प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दर्शाना और संख्या रेखा पर सही स्थान को चिह्नित करना महत्वपूर्ण है।

Question 2. 4 दशमलव स्थानों तक संख्या-रेखा पर 4.26 को देखिए।
Answer: हल :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र उत्तरोत्तर आवर्धन का उपयोग करके संख्या रेखा पर 4.2626 (4 दशमलव स्थानों तक 4.26) को दर्शाने की प्रक्रिया को दर्शाता है। इसमें संख्या रेखा के संबंधित खंडों को बार-बार ज़ूम किया जाता है- पहले 4 और 5 के बीच, फिर 4.2 और 4.3 के बीच, फिर 4.26 और 4.27 के बीच, और अंत में 4.262 और 4.263 के बीच - जब तक कि वांछित संख्या का सटीक स्थान प्राप्त न हो जाए। चरण 1 : संख्या रेखा पर दी गई संख्या 4.26, 4 तथा 5 के मध्य स्थित हैं। (4 दशमलव स्थानों तक संख्या 4.2626 हैं।) चरण 2 : 4 तथा 5 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं और इसे 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चरण 3 : दी गई संख्या 4.2626, 4.2 तथा 4.3 के मध्य स्थित हैं। चरण 4 : 4.2 तथा 4.3 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं और इसे 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चरण 5 : दी गई संख्या 4.26 और 4.27 के मध्य स्थित हैं। चरण 6 : 4.26 तथा 4.27 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं और इसे 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चरण 7 : दी गई संख्या 4.262 तथा 4.263 के मध्य स्थित हैं। चरण 8 : 4.262 तथा 4.263 के मध्य अन्तराल का आवर्धन करते हैं और इसे 10 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। चरण 9 : चरण-8 के आवर्धन में 4.2626 छठवाँ भाग हैं।
In simple words: 4 दशमलव स्थानों तक \( 4.26 \) (जो कि \( 4.2626 \) है) को संख्या रेखा पर देखने के लिए, हम क्रमिक रूप से संख्या रेखा के खंडों को आवर्धित करते हैं: पहले \( 4 \) और \( 5 \) के बीच, फिर \( 4.2 \) और \( 4.3 \) के बीच, फिर \( 4.26 \) और \( 4.27 \) के बीच, और अंत में \( 4.262 \) और \( 4.263 \) के बीच।

🎯 Exam Tip: दशमलव स्थानों की संख्या के अनुसार आवर्धन के चरणों को सटीक रूप से दोहराएँ और प्रत्येक स्तर पर संख्या रेखा को सही ढंग से लेबल करें।

Exercise 1.5

Question 1. बताइए नीचे दी गयी संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं :
(i) \( 2 - \sqrt{5} \)
(ii) \( (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} \)
(iii) \( \frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} \)
(iv) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
(v) \( 2\pi \)
Answer:
(i) हल : हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या और \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है। पुनः हम जानते हैं कि एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का अन्तर एक अपरिमेय संख्या होता है।
\( \implies (2 - \sqrt{5}) \) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: \( 2 - \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक परिमेय संख्या (2) में से एक अपरिमेय संख्या \( \sqrt{5} \) को घटाने पर हमेशा एक अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होती है।

🎯 Exam Tip: एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।

(ii) \( (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} = 3 + \sqrt{23} - \sqrt{23} = 3 \) जो एक परिमेय संख्या है।
\( \implies (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} \) एक परिमेय संख्या है।
In simple words: \( (3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} \) एक परिमेय संख्या है क्योंकि \( \sqrt{23} \) पद कट जाता है, जिससे केवल पूर्णांक 3 बचता है, जो एक परिमेय संख्या है।

🎯 Exam Tip: व्यंजकों को सरल बनाने से पहले उन्हें हमेशा हल करें; कभी-कभी अपरिमेय पद एक-दूसरे को रद्द कर सकते हैं।

(iii) \( \frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} = \frac{2}{7} \) जो एक परिमेय संख्या है।
\( \implies \frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} \) एक परिमेय संख्या है।
In simple words: \( \frac{2\sqrt{7}}{7\sqrt{7}} \) एक परिमेय संख्या है क्योंकि \( \sqrt{7} \) के पद अंश और हर से कट जाते हैं, जिससे \( \frac{2}{7} \) बचता है, जो एक भिन्न के रूप में परिमेय है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप किसी भी उभयनिष्ठ अपरिमेय गुणनखंड को सरल बनाने के लिए काट दें।

(iv) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) हम जानते हैं कि 1 एक परिमेय संख्या तथा \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है। पुनः हम जानते हैं कि एक परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से भाग देने पर एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।
\( \implies \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक परिमेय संख्या (1) को एक अपरिमेय संख्या \( \sqrt{2} \) से भाग देने पर हमेशा एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

🎯 Exam Tip: परिमेय और अपरिमेय संख्या के भागफल पर भी वही नियम लागू होता है जो योग और अंतर पर लागू होता है।

(v) \( 2\pi \) हम जानते हैं कि 2 एक परिमेय संख्या तथा \( \pi \) एक अपरिमेय संख्या है। पुनः हम जानते हैं कि एक परिमेय संख्या को अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।
\( \implies 2\pi \) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: \( 2\pi \) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक परिमेय संख्या (2) और एक अपरिमेय संख्या (\( \pi \)) का गुणनफल हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।

🎯 Exam Tip: \( \pi \) को एक अपरिमेय संख्या के रूप में पहचानना और किसी भी गैर-शून्य परिमेय संख्या से उसका गुणनफल भी अपरिमेय होगा, यह याद रखना आवश्यक है।

Question 2. निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए ।
(i) \( (3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2}) \)
(ii) \( (3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) \)
(iii) \( (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \)
(iv) \( (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
Answer:
(i) हल : \( (3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2}) = 3(2 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(2 + \sqrt{2}) \) \( = 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{6} \)
In simple words: \( (3 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{2}) \) को सरल करने के लिए, वितरण नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद को गुणा करें और फिर समान पदों को जोड़ें।

🎯 Exam Tip: ऐसे व्यंजकों को सरल करते समय वितरण नियम का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है, यह सुनिश्चित करते हुए कि सभी चार गुणनफल प्राप्त हों।

(ii) \( (3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) = (3)^2 - (\sqrt{3})^2 \) \( = 9 - 3 = 6 \) [:: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)]
In simple words: \( (3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) \) को सरल करने के लिए, हम \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं। यहाँ \( a=3 \) और \( b=\sqrt{3} \), जिससे \( 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \) सर्वसमिका को पहचानना और उसका उपयोग करना ऐसे प्रश्नों को शीघ्रता से हल करने में सहायक होता है।

(iii) \( (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) \) \( = 5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10} \) [:: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)]
In simple words: \( (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 \) को सरल करने के लिए, हम \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं। यहाँ \( a=\sqrt{5} \) और \( b=\sqrt{2} \), जिससे \( (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} = 5 + 2 + 2\sqrt{10} = 7 + 2\sqrt{10} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^2 \) सूत्र के मध्य पद \( 2ab \) को भूलने से बचें, क्योंकि यह एक सामान्य गलती है।

(iv) \( (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 \) \( = 5 - 2 = 3 \)
In simple words: \( (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \) को सरल करने के लिए, हम फिर से \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं। यहाँ \( a=\sqrt{5} \) और \( b=\sqrt{2} \), जिससे \( (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: यह सर्वसमिका अक्सर हर का परिमेयकरण करते समय उपयोग की जाती है, इसलिए इसे याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 3. आपको याद होगा कि \( \pi \) को एक वृत्त की परिधि (c) और उसके व्यास (d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है अर्थात् \( \pi = \frac{c}{d} \) है। यह इस तथ्य का अन्तर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि \( \pi \) अपरिमेय है। इस अन्तर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?
Answer: हल : c और d को किसी पैमाने से मापने पर हमें केवल सन्निकट माप प्राप्त होती है जिससे यह पता नहीं चल पाती कि c या d परिमेय संख्याएँ हैं या अपरिमेय संख्याएँ हैं। इसी कारण हमें c और d को परिमेय संख्याएँ समझने का भ्रम उत्पन्न होता है। और हम c और d के अनुपात \( \pi \) को परिमेय संख्या समझने की ओर अग्रसर होते है जिससे अन्तर्विरोध उत्पन्न होता है। वास्तव में \( \pi \) के अपरिमेय होने में कोई अन्तर्विरोध नहीं है।
In simple words: \( \pi \) को \( \frac{c}{d} \) के रूप में परिभाषित करने में कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि जब हम परिधि (c) और व्यास (d) को मापते हैं, तो हमें हमेशा सन्निकट मान मिलते हैं। इन मापों में से कोई एक अपरिमेय हो सकता है, जिससे उनका अनुपात (\( \pi \)) भी अपरिमेय बना रहता है।

🎯 Exam Tip: माप उपकरण केवल परिमेय मान दर्शाते हैं; इसलिए, भले ही \( \pi = \frac{c}{d} \) लगे, c या d में से एक अपरिमेय हो सकता है, जिससे \( \pi \) अपरिमेय ही रहता है।

Question 4. संख्या रेखा पर \( \sqrt{9.3} \) को निरूपित कीजिए।
Answer: हल :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र संख्या रेखा पर \( \sqrt{9.3} \) के ज्यामितीय निर्माण को दर्शाता है। एक रेखाखंड AB को 9.3 इकाई के रूप में लिया जाता है, और BC को 1 इकाई के रूप में बढ़ाया जाता है। AC के मध्यबिंदु M का उपयोग करके एक अर्धवृत्त खींचा जाता है। B से AC पर एक लंब BD खींचा जाता है। फिर, B को केंद्र मानकर और BD को त्रिज्या लेकर एक चाप संख्या रेखा को बिंदु P पर काटता है, जो \( \sqrt{9.3} \) को निरूपित करता है। रेखाखण्ड AB = 9.3 मात्रक और BC = 1 मात्रक इस प्रकार खींचते हैं कि ABC एक सरल रेखा है। AC का मध्य-बिन्दु M ज्ञात करते हैं तथा AC को व्यास लेकर अर्द्धवृत्त खींचते हैं। \( \angle ABD = 90^\circ \) बनाते हैं जो अर्द्धवृत्त को D पर काटता है। अब संख्या रेखा पर B को केन्द्र लेकर BD त्रिज्या से चाप लगाते हैं जो संख्या रेखा को P पर काटता है। अब \( \sqrt{9.3} = BP \) अर्थात् बिन्दु P संख्या रेखा पर \( \sqrt{9.3} \) को निरूपित करती है।
In simple words: \( \sqrt{9.3} \) को संख्या रेखा पर बनाने के लिए, पहले 9.3 इकाई का एक रेखाखंड AB और फिर 1 इकाई का BC खींचते हैं। AC का मध्यबिंदु ज्ञात करके एक अर्धवृत्त बनाते हैं। B पर एक लंब BD बनाते हैं जो अर्धवृत्त को D पर काटता है। फिर, B को केंद्र और BD को त्रिज्या मानकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाते हैं, जो \( \sqrt{9.3} \) को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: इस निर्माण में पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग और अर्धवृत्त की ज्यामितीय गुणधर्मों को समझना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक चरण को सावधानी से निष्पादित करें।

Question 5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए ।
(i) \( \frac{1}{\sqrt{7}} \)
(ii) \( \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \)
(iii) \( \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \)
(iv) \( \frac{1}{\sqrt{7} - 2} \)
Answer:
(i) हल : यहाँ पर अपरिमेय संख्या \( \sqrt{7} \) हर में दी गई है। इसका परिमेयकारी गुणक \( \sqrt{7} \) है।
\( \implies \sqrt{7} \) से अंश और हर को गुणा करने पर, \[ \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{1 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} \]In simple words: \( \frac{1}{\sqrt{7}} \) के हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर दोनों को \( \sqrt{7} \) से गुणा करें, जिससे हर से वर्गमूल हट जाए और वह एक परिमेय संख्या बन जाए।

🎯 Exam Tip: हर का परिमेयकरण करने के लिए, हर में मौजूद वर्गमूल से अंश और हर दोनों को गुणा करें।

(ii) यहाँ पर अपरिमेय संख्या \( (\sqrt{7} - \sqrt{6}) \) हर में दी गई है। इसका परिमेयकारी गुणक \( (\sqrt{7} + \sqrt{6}) \) है।
\( \implies (\sqrt{7} + \sqrt{6}) \) से अंश और हर को गुणा करने पर, \[ \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} \] \[ = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} \]In simple words: \( \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \) के हर का परिमेयकरण करने के लिए, हर के संयुग्मी \( (\sqrt{7} + \sqrt{6}) \) से अंश और हर दोनों को गुणा करें। इससे \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करके हर परिमेय बन जाएगा।

🎯 Exam Tip: जब हर \( a-\sqrt{b} \) या \( \sqrt{a}-\sqrt{b} \) के रूप में हो, तो उसके संयुग्मी (जैसे \( a+\sqrt{b} \) या \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \)) से गुणा करें।

(iii) यहाँ पर अपरिमेय संख्या \( (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \) हर में दी गई है। इसका परिमेयकारी गुणक \( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) \) है।
\( \implies (\sqrt{5} - \sqrt{2}) \) से अंश और हर को गुणा करने पर, \[ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \] \[ = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} \]In simple words: \( \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \) के हर का परिमेयकरण करने के लिए, हर के संयुग्मी \( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) \) से अंश और हर दोनों को गुणा करें, ताकि \( a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करके हर परिमेय बन जाए।

🎯 Exam Tip: संयुग्मी से गुणा करते समय, वर्गमूलों के वर्गों का ध्यान रखें और घटाने के बाद हर को सरल करें।

(iv) यहाँ पर अपरिमेय संख्या \( (\sqrt{7} - 2) \) हर में दी गई है। इसका परिमेयकारी गुणक \( (\sqrt{7} + 2) \) है।
\( \implies (\sqrt{7} + 2) \) से अंश और हर को गुणा करने पर, \[ \frac{1}{\sqrt{7} - 2} = \frac{1}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} \] \[ = \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7})^2 - (2)^2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} + 2}{3} \]In simple words: \( \frac{1}{\sqrt{7} - 2} \) के हर का परिमेयकरण करने के लिए, हर के संयुग्मी \( (\sqrt{7} + 2) \) से अंश और हर दोनों को गुणा करें। इससे \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करके हर परिमेय बन जाएगा।

🎯 Exam Tip: यदि हर में एक परिमेय और एक अपरिमेय पद हो, तो संयुग्मी में केवल अपरिमेय पद का चिन्ह बदलें।

Exercise 1.6

Question 1. ज्ञात कीजिए :

Question 1. ज्ञात कीजिए :
Answer:
(i) \(64^{\frac{1}{2}}\)
हल : \(64^{\frac{1}{2}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{2}} = (2^6)^{\frac{1}{2}}\)
\( = 2^{6 \times \frac{1}{2}} = (2)^3 = 8\)
(ii) \(32^{\frac{1}{5}}\)
हल : \(32^{\frac{1}{5}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}}\)
\( = 2^{5 \times \frac{1}{5}} = (2)^1 = 2\)
(iii) \(125^{\frac{1}{3}}\)
हल : \(125^{\frac{1}{3}} = (5 \times 5 \times 5)^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}}\)
\( = 5^{3 \times \frac{1}{3}} = (5)^1 = 5\)
In simple words: This question asks to find the value of given numbers raised to fractional powers by expressing the base as a power of a prime number and then applying the exponent rules.

🎯 Exam Tip: Simplify the base to its prime factorization and apply the power of a power rule \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) carefully for fractional exponents.

Question 2. ज्ञात कीजिए ।
Answer:
(i) \(9^{\frac{3}{2}}\)
हल : \(9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \times \frac{3}{2}} = (3)^3 = (3 \times 3 \times 3) = 27\)
(ii) \(32^{\frac{2}{5}}\)
हल : \(32^{\frac{2}{5}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}}\)
\( = 2^{5 \times \frac{2}{5}} = (2)^2 = (2 \times 2) = 4\)
(iii) \(16^{\frac{3}{4}}\)
हल : \(16^{\frac{3}{4}} = (2 \times 2 \times 2 \times 2)^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}}\)
\( = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = (2)^3 = (2 \times 2 \times 2) = 8\)
(iv) \(125^{-\frac{1}{3}}\)
हल : \(125^{-\frac{1}{3}} = (5 \times 5 \times 5)^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}}\)
\( = 5^{3 \times -\frac{1}{3}} = (5)^{-1} = \frac{1}{(5)^1} = \frac{1}{5}\)
In simple words: This question involves calculating the values of numbers raised to positive and negative fractional powers using the laws of exponents by simplifying the base and then multiplying the exponents.

🎯 Exam Tip: Remember that \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) for negative exponents, and always simplify the base to its prime factorization before applying exponent rules.

Question 3. सरल कीजिए :
Answer:
(i) \(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}\)
हल : \(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{5}}\)
\( = 2^{\frac{10+3}{15}} = 2^{\frac{13}{15}}\)
\[\text{[: } a^x \cdot a^y = a^{x+y}\]\( \)
(ii) \(\left(\frac{1}{3^3}\right)^7\)
हल : \(\left(\frac{1}{3^3}\right)^7 = \frac{1^{7}}{(3^3)^{7}} = \frac{1}{3^{3 \times 7}} = \frac{1}{3^{21}}\)
\[\text{[: } \frac{1}{a^n} = a^{-n}, (a^m)^n = a^{m \cdot n}\]\( \)
(iii) \(\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}\)
हल : \(\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}} = 11^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}\)
\( = 11^{\frac{2-1}{4}} = 11^{\frac{1}{4}}\)
\[\text{[: } \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]\( \)
(iv) \(7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}\)
हल : \(7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} = (7 \times 8)^{\frac{1}{2}}\)
\( = 56^{\frac{1}{2}}\)
\[\text{[: } a^m \cdot b^m = (ab)^m\]
In simple words: This question requires simplifying expressions using various laws of exponents, such as adding exponents for multiplication with the same base, multiplying exponents for a power of a power, subtracting exponents for division with the same base, and multiplying bases for the same exponent.

🎯 Exam Tip: Thoroughly understand all the laws of exponents \((a^m \cdot a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{mn}, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, a^m \cdot b^m = (ab)^m)\) and apply them correctly to simplify expressions. Pay close attention to the signs of exponents and common denominators for fractional exponents.