UP Board Solutions Class 12 Physics Chapter 11 Dual Nature of Radiation and Matter

UP Board Solutions for Class 12 Physics Chapter 11 Dual Nature of Radiation and Matter (विकिरण तथा द्रव्य की द्वैत प्रकृति)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

Question 1. 30 kV इलेक्ट्रॉनों के द्वारा उत्पन्न X-किरणों की
(a) उच्चतम आवृत्ति, तथा |
(b) निम्नतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त कीजिए ।
हलः
दिया है, \( V= 30 \text{ kV} = 30 \times 10^3 \text{v} \)
ऊर्जा \( E = eV = 1.6 \times 10^{-19} \times 30 \times 10^3 \text{ J} = 4.8 \times 10^{-15} \text{ J} \)
(a) उच्चतम आवृत्ति, \( \nu_{max} \) दी जाती है, \( E = h\nu_{max} \)

\( \implies \nu_{max} = \frac{E}{h} = \frac{4.8 \times 10^{-15} \text{ J}}{6.63 \times 10^{-34} \text{ J-s}} = 7.24 \times 10^{18} \text{ Hz} \)
(b) निम्नतम तरंगदैर्ध्य, \( \lambda_{min} = \frac{c}{\nu_{max}} = \frac{3 \times 10^8}{7.24 \times 10^{18}} \text{ m} \)

\( = 4.1 \times 10^{-11} \text{ m} = 0.041 \text{ nm } \) [ \( 1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{m} \) ]
In simple words: The highest frequency and lowest wavelength of X-rays produced by 30 kV electrons are calculated using the electron's kinetic energy and fundamental constants. Higher energy corresponds to higher frequency and shorter wavelength.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between energy, frequency, and wavelength \( (E=h\nu=hc/\lambda) \) to solve problems involving X-rays and electron acceleration.

Question 2. सीज़ियम धातु का कार्य-फलन 2.14eV है। जब \( 6 \times 10^{14} \text{ Hz} \) आवृत्ति का प्रकाश धातु-पृष्ठ पर आपतित होता है, इलेक्ट्रॉनों का प्रकाशिक उत्सर्जन होता है।
(a) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा
(b) निरोधी विभव, और
(c) उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम चाल कितनी है?
हलः
दिया है, सीजियम धातु का कार्य-फलन
\( W = 2.14 \text{ eV} \)
\( = 2.14 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ जूल} \)
आपतित प्रकाश की आवृत्ति
\( \nu = 6 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
प्लांक का नियतांक
\( h = 6.62 \times 10^{-34} \text{ जूल सेकण्ड} \)
आपतित फोटॉन की ऊर्जा
\( h\nu = 6.62 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14} \text{ जूल} \)
(a) यदि उत्सर्जित प्रकाश इलेक्ट्रॉन की उच्चतम गतिज ऊर्जा \( E_{max} \) हो तो
आइन्सटीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण \( h\nu = w + E_{max} \) से

\( \implies E_{max} = h\nu - W \)
\( = 6.62 \times 6 \times 10^{-20} - 2.14 \times 1.6 \times 10^{-19} \)
\( = 39.72 \times 10^{-20} - 34.24 \times 10^{-20} \text{ जूल} \)
\( = 5.48 \times 10^{-20} \text{ जूल} \)
\( = \frac{5.48 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 0.342 \text{ eV} \)
(b) यदि विरोधी विभव \( V_0 \) हो तो
\( eV_0 = E_{max} \)
या
\( V_0 = \frac{E_{max}}{e} = \frac{0.342 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \)

\( = 0.342 \text{ वोल्ट} \)
(c) यदि उत्सर्जित प्रकाश इलेक्ट्रॉन की अधिकतम चाल \( V_{max} \) हो तो
\( \frac{1}{2} m\nu_{max}^2 = E_{max} \)

\( \implies \nu_{max} = \sqrt{\frac{2E_{max}}{m_e}} \)
दिया है
\( m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ किग्रा} \)

\( \implies \nu_{max} = \sqrt{\frac{2 \times 5.48 \times 10^{-20}}{9.1 \times 10^{-31}}} \)
\( = 3.47 \times 10^5 \text{ मी/से} \)
In simple words: Using Einstein's photoelectric equation, we calculate the maximum kinetic energy of emitted electrons, the stopping potential, and their maximum speed based on the work function of Cesium and the incident light's frequency.

🎯 Exam Tip: Mastering the photoelectric effect formulas \( E_{max} = h\nu - W \), \( eV_0 = E_{max} \), and \( (1/2)mv^2 = E_{max} \) is crucial for solving numerical problems. Pay attention to unit conversions between Joules and electron volts.

Question 3. एक विशिष्ट प्रयोग में प्रकाश-विद्युत प्रभाव की अन्तक वोल्टता 1.5 v है। उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा कितनी है?
हलः
संस्तब्ध वोल्टेज, \( V_0 = 1.5 \text{ V} \)
प्रकाश इलेक्ट्रॉनों की उच्चतम गतिज ऊर्जा,
\( E_k = eV_0 = 1.5 \text{ ev} = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{J} = 2.4 \times 10^{-19} \text{J} \)
In simple words: The maximum kinetic energy of photoelectrons is directly related to the stopping potential. Given a stopping potential of 1.5 V, the maximum kinetic energy is calculated as 2.4 x 10^-19 Joules.

🎯 Exam Tip: The stopping potential is a direct measure of the maximum kinetic energy of the photoelectrons. Remember the conversion \( 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \).

Question 4. 632.8 nm तरंगदैर्ध्य का एकवर्णी प्रकाश एक हीलियम-नियॉन लेसर के द्वारा उत्पन्न किया जाता है। उत्सर्जित शक्ति 9.42mW है।
(a) प्रकाश के किरण-पुंज में प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा तथा संवेग प्राप्त कीजिए।
(b) इस किरण-पुंज के द्वारा विकिरित किसी लक्ष्य पर औसतन कितने फोटॉन प्रति सेकण्ड पहुँचेंगे? (यह मान लीजिए कि किरण-पुंज की अनुप्रस्थ काट एकसमान है जो लक्ष्य के क्षेत्रफल से कम है), तथा ।
(c) एक हाइड्रोजन परमाणु को फोटॉन के बराबर संवेग प्राप्त करने के लिए कितनी तेज चाल से चलना होगा?
हलः
दिया है, \( \lambda = 632.8 \text{ nm} = 6328 \times 10^{-10} \text{m} \)
शक्ति \( P = 9.42 \text{ mW} = 9.42 \times 10^{-3} \text{ W} \)
(a) प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा,
\( E = \frac{hc}{\lambda} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{632.8 \times 10^{-9}} \)
\( = 3.14 \times 10^{-19} \text{ J} \)
प्रत्येक फोटॉन का संवेग,
\( p = \frac{h\nu}{c} = \frac{E}{c} \)
\( = \frac{3.14 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8} \)
\( = 1.05 \times 10^{-27} \text{ kg ms}^{-1} \)
(b) शक्ति \( P = nE \), जिसमें \( n \) प्रति सेकण्ड लक्ष्य पर आपतित फोटॉनों की संख्या है।

\( \implies n = \frac{P}{E} = \frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.14 \times 10^{-19}} = 3 \times 10^{16} \text{ फोटॉन/सेकण्ड} \)
(c) यदि हाइड्रोजन का द्रव्यमान \( m_H \) तथा वेग \( v_H \) हो, तो हाइड्रोजन परमाणु का संवेग
\( P_H = m_H v_H \)
दिया है,
\( P_H = 1.05 \times 10^{-27} \text{ kg ms}^{-1} \)

\( \implies m_H v_H = 1.05 \times 10^{-27} \)
\( v_H = \frac{1.05 \times 10^{-27}}{m_H} = \frac{1.05 \times 10^{-27}}{1.66 \times 10^{-27}} = 0.63 \text{ ms}^{-1} \)
In simple words: For a given laser light's wavelength and power, we calculate the energy and momentum of each photon, the number of photons hitting a target per second, and the speed a hydrogen atom needs to match the photon's momentum.

🎯 Exam Tip: Remember to use the correct formulas for photon energy \( (E=hc/\lambda) \), momentum \( (p=E/c) \), and the relation between power and photon flux \( (P=nE) \). Keep unit conversions consistent.

Question 5. पृथ्वी के पृष्ठ पर पहुँचने वाला सूर्यप्रकाश का ऊर्जा-अभिवाह (फ्लक्स) \( 1.388 \times 10^3 \text{ W/m}^2 \) है। लगभग कितने फोटॉन प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकण्ड पृथ्वी पर आपतित होते हैं? यह मान लें कि सूर्य-प्रकाश में फोटॉन का औसत तरंगदैर्ध्य 550nm है।
हलः
प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा, \( E = \frac{hc}{\lambda} \)
यहाँ
\( \lambda = 550 \text{ nm} = 550 \times 10^{-9} \text{ m} \)

\( \implies E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{550 \times 10^{-9}} = 3.62 \times 10^{-19} \text{ J} \)
पृथ्वी के पृष्ठ पर प्रति सेकण्ड प्रति वर्ग मीटर आपाती फोटॉनों की संख्या
\( = \frac{\text{प्रति वर्ग मीटर प्रति सेकण्ड आपतित कुल ऊर्जा}}{\text{एक फोटॉन की ऊर्जा}} \)
\( = \frac{1.388 \times 10^3}{3.62 \times 10^{-19}} = 3.8 \times 10^{21} \)
In simple words: Given the solar energy flux and the average wavelength of sunlight, we calculate the energy of a single photon and then determine the total number of photons incident on Earth's surface per square meter per second.

🎯 Exam Tip: This problem involves understanding energy flux and photon energy. The key is to calculate the energy of one photon and then divide the total power per unit area by this individual photon energy to find the photon flux.

Question 6. प्रकाश-विद्युत प्रभाव के एक प्रयोग में, प्रकाश आवृत्ति के विरुद्ध अन्तक वोल्टता की ढलान \( 4.12 \times 10^{-15} \text{ Vs} \) प्राप्त होती है। प्लांक स्थिरांक का मान परिकलित कीजिए।
हलः
आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण है,
\( E_k = h\nu - \Phi_0 \)
अथवा
\( eV_0 = h\nu - \Phi_0 \)

\( \implies V_0 = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\Phi_0}{e} \)
स्पष्टतः \( V_0 - \nu \) ग्राफ का ढाल \( \frac{h}{e} \) है।
दिया है,
\( \frac{h}{e} = 4.12 \times 10^{-15} \text{ V-s} \)

\( \implies h = 4.12 \times 10^{-15} e \)
\( = 4.12 \times 10^{-15} \times 1.6 \times 10^{-19} = 6.59 \times 10^{-34} \text{ J-s} \)
In simple words: By using Einstein's photoelectric equation, the slope of the stopping potential versus frequency graph is \( h/e \). Given this slope, Planck's constant \( h \) is calculated by multiplying the slope by the elementary charge \( e \).

🎯 Exam Tip: The slope of the \( V_0 - \nu \) graph is a fundamental quantity \( (h/e) \) in the photoelectric effect. Remember the value of elementary charge \( e \) for such calculations.

Question 7. एक 100 w सोडियम बल्ब (लैम्प) सभी दिशाओं में एकसमान ऊर्जा विकिरित करता है। लैम्प को एक ऐसे बड़े गोले के केन्द्र पर रखा गया है जो इस पर आपतित सोडियम के सम्पूर्ण प्रकाश को अवशोषित करता है। सोडियम प्रकाश का तरंगदैर्ध्य 589 nm है।
(a) सोडियम प्रकाश से जुड़े प्रति फोटॉन की ऊर्जा कितनी है?
(b) गोले को किस दर से फोटॉन प्रदान किए जा रहे हैं?
हलः
दिया है, \( P = 100 \text{ W}, \lambda = 589 \text{ nm} = 589 \times 10^{-9} \text{ m} \)
(a) प्रति फोटॉन ऊर्जा,
\( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}} \)
\( = 3.38 \times 10^{-19} \text{ J} \)
(b) प्रति सेकण्ड गोले को दिए गए फोटॉनों की संख्या
\( P = nE \)

\( \implies n = \frac{P}{E} = \frac{100 \text{ W}}{3.38 \times 10^{-19} \text{ J}} \)
\( = 3.0 \times 10^{20} \text{ फोटॉन/सेकण्ड} \)
In simple words: For a sodium lamp with known power and wavelength, we first calculate the energy of a single photon. Then, by dividing the total power by the single photon energy, we determine the rate at which photons are emitted.

🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of photon energy and the relationship between power and photon emission rate. Use \( E=hc/\lambda \) for photon energy and \( P=nE \) for emission rate, ensuring proper unit conversions.

Question 8. किसी धातु की देहली आवृत्ति \( 3.3 \times 10^{14} \text{ Hz} \) है। यदि \( 8.2 \times 10^{14} \text{ Hz} \) आवृत्ति का प्रकाश धातु पर आपतित हो तो प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए अन्तक वोल्टता ज्ञात कीजिए।
हलः
आइन्सटीन का प्रकाश-वैद्युत समीकरण है।
\( h\nu = h\nu_0 + E_k \)
यदि अन्तक वोल्टता \( V_0 \) हो, तो \( E_k = eV_0 \)

\( \implies h\nu = h\nu_0 + eV_0 \)

\( \implies eV_0 = h(\nu - \nu_0) \)
\( V_0 = \frac{h}{e}(\nu - \nu_0) \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (8.2 \times 10^{14} - 3.3 \times 10^{14}) \)

\( \implies V_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 4.9 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}} \)
\( V_0 = 2.03 \text{ V} \)
अन्तक वोल्टता \( = 2.0 \text{ V} \)
In simple words: Given the threshold frequency and incident light frequency, the stopping potential for photoelectric emission is calculated using Einstein's equation, which relates the photon energy, work function, and kinetic energy of emitted electrons.

🎯 Exam Tip: The stopping potential can be found directly from Einstein's photoelectric equation \( eV_0 = h(\nu - \nu_0) \). Make sure to correctly substitute values for Planck's constant \( h \) and elementary charge \( e \).

Question 9. किसी धातु के लिए कार्य-फलन 4.2eV है। क्या यह धातु 330 nm तरंगदैर्ध्य के आपतित विकिरण के लिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन देगा?
हलः
आपतित विकिरण के फोटॉन की ऊर्जा,
\( E = \frac{hc}{\lambda} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{330 \times 10^{-9}} \)
\( = 6.03 \times 10^{-19} \text{ J} \)
\( = \frac{6.03 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \)
\( = 3.77 \text{ eV} \)
चूँकि प्रकाश धातु का कार्य-फलन, \( W = 4.2 \text{ eV} \) (दिया है) चूँकि आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य-फलन से कम है, अतः प्रकाश-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन सम्भव नहीं
In simple words: To determine if photoelectric emission will occur, we compare the energy of the incident photon with the metal's work function. If the photon energy is less than the work function, no emission will happen. In this case, the photon energy (3.77 eV) is less than the work function (4.2 eV), so no photoelectric emission occurs.

🎯 Exam Tip: The critical condition for photoelectric emission is \( h\nu \ge W \). Always convert all energy values to the same unit (e.g., eV or J) before comparison.

Question 10. \( 7.21 \times 10^{14} \text{ Hz} \) आवृत्ति का प्रकाश एक धातु-पृष्ठ पर आपतित है। इस पृष्ठ से \( 6.0 \times 10^5 \text{ m/s} \) की उच्चतम गति से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हो रहे हैं। इलेक्ट्रॉनों के प्रकाश उत्सर्जन के लिए देहली आवृत्ति क्या है?
हलः
दिया है, आवृत्ति \( \nu = 7.21 \times 10^{14} \text{ Hz} \),
\( v_{max} = 6.0 \times 10^5 \text{ ms}^{-1} \)
आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण से
\( E_k = h\nu - h\nu_0 \)
यहाँ गतिज ऊर्जा \( E_k = \frac{1}{2} mv_{max}^2 \)
\( = \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \times (6.0 \times 10^5)^2 \text{ J} \)
\( = 1.62 \times 10^{-19} \text{ J} \)
देहली आवृत्ति, \( \nu_0 = \nu - \frac{E_k}{h} \)
\( = 7.21 \times 10^{14} - \frac{1.62 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \)
\( = 7.21 \times 10^{14} - 2.44 \times 10^{14} \)
\( = 4.77 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
In simple words: Using the incident light frequency and the maximum speed of emitted electrons, we first calculate the kinetic energy of the electrons. Then, applying Einstein's photoelectric equation, we determine the threshold frequency required for emission.

🎯 Exam Tip: This problem combines kinetic energy with the photoelectric effect. Ensure you use the correct electron mass \( (m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) \) and Planck's constant \( (h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J-s}) \) for accurate calculations.

Question 11. 488 pm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश एक ऑर्गन लेसर से उत्पन्न किया जाता है, जिसे प्रकाश-विद्युत प्रभाव के उपयोग में लाया जाता है। जब इस स्पेक्ट्रमी-रेखा के प्रकाश को उत्सर्जक पर आपतित किया जाता है, तब प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों का निरोधी (अन्तक) विभव 0.38 V है । उत्सर्जक के पदार्थ का कार्य-फलन ज्ञात करें।
हलः
दिया है, \( \lambda = 488 \text{ nm} = 488 \times 10^{-9} \text{m}, V_0 = 0.38 \text{ V} \)
आपतित फोटॉन की ऊर्जा,
\( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{488 \times 10^{-9}} \)
\( = 4.08 \times 10^{-19} \text{ J} \)
आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण, \( E = \Phi_0 + eV_0 \) से

\( \implies \Phi_0 = E - eV_0 \)
\( = 4.08 \times 10^{-19} \text{ J} - (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (0.38 \text{ V}) \)
\( = 4.08 \times 10^{-19} - 0.608 \times 10^{-19} \text{ J} \)
\( = 3.472 \times 10^{-19} \text{ J} \)
कार्य-फलन, \( \Phi_0 = \frac{3.472 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 2.17 \text{ eV} \)
In simple words: To find the work function, we first calculate the energy of the incident photons from their wavelength. Then, using Einstein's photoelectric equation, we subtract the energy corresponding to the stopping potential from the photon energy to get the work function.

🎯 Exam Tip: Ensure all energy terms are in consistent units (Joules or eV) before applying Einstein's photoelectric equation \( (E = \Phi_0 + eV_0) \). Wavelength in pm needs to be converted to meters for calculations.

Question 12. 56V विभवान्तर के द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों का
(a) संवेग, और
(b) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए।
हलः
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान \( = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \)
(a) संवेग, \( p = \sqrt{2mE_k} \) (चूँकि गतिज ऊर्जा \( E_k = eV \))
\( = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 56} \)
\( = \sqrt{1.62 \times 10^{-48}} \)
\( = 4.04 \times 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1} \)
(b) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, \( \lambda = \frac{h}{p} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{-24}} \)
\( = 1.64 \times 10^{-10} \text{ m} = 1.64 \text{ Å} \)
In simple words: For electrons accelerated by a given potential difference, we calculate their momentum using the kinetic energy gained, and then determine their de-Broglie wavelength using Planck's constant and the calculated momentum.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between kinetic energy, potential difference \( (E_k=eV) \), momentum \( (p=\sqrt{2mE_k}) \), and de-Broglie wavelength \( (\lambda=h/p) \). Keep the electron's mass and charge values handy.

Question 13. एक इलेक्ट्रॉन जिसकी गतिज ऊर्जा 120 eV है, उसका
(a) संवेग,
(b) चाल, और
(c) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य क्या है?
हलः
गतिज ऊर्जा, \( E_k = 120 \text{ eV} = 120 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \)
\( = 1.92 \times 10^{-17} \text{ J} \)
(a) इलेक्ट्रॉन का संवेग, \( p = \sqrt{2 m_e E_k} \)
\( = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.92 \times 10^{-17}} \)
\( = \sqrt{3.4944 \times 10^{-47}} \)
\( = 5.91 \times 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1} \)
(b) इलेक्ट्रॉन की चाल,
\( \nu = \frac{p}{m_e} = \frac{5.91 \times 10^{-24}}{9.1 \times 10^{-31}} \)
\( = 6.5 \times 10^6 \text{ ms}^{-1} \)
(c) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य,
\( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.91 \times 10^{-24}} \)
\( = 1.12 \times 10^{-10} \text{ m} = 1.12 \text{ Å} \)
In simple words: For an electron with a given kinetic energy, we calculate its momentum, speed, and de-Broglie wavelength using the formulas that relate kinetic energy, momentum, and wavelength for a particle.

🎯 Exam Tip: This problem requires sequential calculations. First, convert kinetic energy to Joules. Then, calculate momentum using \( p=\sqrt{2mE_k} \), speed using \( \nu=p/m \), and finally de-Broglie wavelength using \( \lambda=h/p \).

Question 14. सोडियम के स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन रेखा के प्रकाश का तरंगदैर्ध्य 589 nm है। वह गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए जिस पर
(a) एक इलेक्ट्रॉन, और
(b) एक न्यूट्रॉन का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य समान होगा।
हलः
दिया है, \( \lambda = 589 \text{ nm} = 5.89 \times 10^{-7} \text{m} \) [ \( 1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{m} \) ]
डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} \)

\( \implies \lambda^2 = \frac{h^2}{2mE_k} \)
गतिज ऊर्जा, \( E_k = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \)
(a) इलेक्ट्रॉन के लिए,
\( m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}, \lambda = 5.89 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( E_k = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (5.89 \times 10^{-7})^2} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-67}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 34.6921 \times 10^{-14}} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-67}}{631.492 \times 10^{-45}} \)
\( = 6.96 \times 10^{-25} \text{ J} \)
(b) न्यूट्रॉन के लिए, \( m_n = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}, \lambda = 5.89 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( E_k = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (5.89 \times 10^{-7})^2} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-67}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 34.6921 \times 10^{-14}} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-67}}{115.86 \times 10^{-41}} \)
\( = 3.79 \times 10^{-28} \text{ J} \)
In simple words: To find the kinetic energy at which an electron and a neutron would have the same de-Broglie wavelength as sodium light, we use the de-Broglie wavelength formula rearranged for kinetic energy, considering their respective masses.

🎯 Exam Tip: This problem highlights how kinetic energy differs for particles with different masses but the same de-Broglie wavelength. Ensure correct mass values for the electron and neutron, and use Planck's constant accurately.

Question 15. (a) एक 0.040 kg द्रव्यमान का बुलेट जो 1.0 km/s की चाल से चल रहा है,
(b) एक 0.060 kg द्रव्यमान की गेंद जो 1.0m/s की चाल से चल रही है, और
(c) एक धूल-कण जिसका द्रव्यमान \( 1.0 \times 10^{-9} \text{kg} \) और जो 2.2m/s की चाल से अनुगमित हो रहा है, का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कितना होगा?
हलः
(a) \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1.0 \times 10^3} \)
\( = 1.66 \times 10^{-35} \text{ m} \)
(b) \( \lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1.0} \)
\( = 1.1 \times 10^{-32} \text{ m} \)
(c) \( \lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.0 \times 10^{-9} \times 2.2} \)
\( = 3.3 \times 10^{-25} \text{ m} \)
In simple words: For three different objects (a bullet, a ball, and a dust particle) with varying masses and speeds, we calculate their de-Broglie wavelengths using Planck's constant and their respective momenta.

🎯 Exam Tip: The de-Broglie wavelength \( (\lambda=h/mv) \) is inversely proportional to momentum. Notice that for macroscopic objects, the wavelength is extremely small and not observable, emphasizing the wave-particle duality primarily for microscopic particles.

Question 16. एक इलेक्ट्रॉन और एक फोटॉन प्रत्येक का तरंगदैर्ध्य 1.00 pm है।
(a) इनका संवेग,
(b) फोटॉन की ऊर्जा, और
(c) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, \( \lambda = 1.00 \text{ pm} = 1.00 \times 10^{-12} \text{m} \)
(a) इलेक्ट्रॉन तथा फोटॉन के संवेग होते हैं।
संवेग \( p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.00 \times 10^{-12}} = 6.63 \times 10^{-22} \text{ kg ms}^{-1} \)
(b) फोटॉन की ऊर्जा,
\( E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} = pc \)
\( = 6.63 \times 10^{-22} \times 3 \times 10^8 \text{ J} = 19.89 \times 10^{-14} \text{ J} \)
\( = \frac{19.89 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 1.24 \times 10^5 \text{ eV} \)
\( = 124 \text{ keV} \)
(c) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा,
\( E_k = \frac{p^2}{2m_e} = \frac{(6.63 \times 10^{-22})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \text{ J} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-43}}{1.82 \times 10^{-30}} \)
\( = 2.42 \times 10^{-13} \text{ J} \)
\( = \frac{2.42 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 1.51 \times 10^6 \text{ eV} = 1.51 \text{ MeV} \)
In simple words: For an electron and a photon with the same de-Broglie wavelength, we calculate their shared momentum. Then, using appropriate formulas, we find the photon's energy and the electron's kinetic energy, noting the significant difference due to their fundamental nature.

🎯 Exam Tip: Remember that momentum \( (p=h/\lambda) \) is the same for both, but energy calculations differ: \( E=pc \) for photons and \( E_k=p^2/(2m) \) for electrons. Always pay attention to unit conversions (e.g., pm to m, J to eV).

Question 17. (a) न्यूट्रॉन की किस गतिज ऊर्जा के लिए डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( 1.40 \times 10^{-10} \text{ m} \) होगा?
(b) एक न्यूट्रॉन, जो पदार्थ के साथ तापीय साम्य में है और जिसकी 300 K पर औसत गतिज ऊर्जा KT है, का भी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए।
हलः
(a) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य,
\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} \)
गतिज ऊर्जा, \( E_k = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \)
दिया है, \( \lambda = 1.40 \times 10^{-10} \text{ m} \), न्यूट्रॉन का द्रव्यमान,
\( m_n = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg} \)
गतिज ऊर्जा,
\( E_k = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (1.40 \times 10^{-10})^2} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-67}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.96 \times 10^{-20}} \)
\( = \frac{4.39569 \times 10^{-67}}{6.5464 \times 10^{-47}} \)
\( = 6.7 \times 10^{-21} \text{ J} \)
(b) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य,
\( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_k}} = \frac{h}{\sqrt{2m (\frac{3}{2}kT)}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{20.7396 \times 10^{-50}}} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4.554 \times 10^{-25}} \)
\( = 1.455 \times 10^{-10} \text{ m} \approx 1.46 \times 10^{-10} \text{ m} = 1.46 \text{ Å} \)
In simple words: For a given de-Broglie wavelength, we calculate the required kinetic energy of a neutron. Then, for a neutron in thermal equilibrium at a specific temperature, its average kinetic energy \( (\frac{3}{2}kT) \) is used to determine its de-Broglie wavelength.

🎯 Exam Tip: Remember the two forms of kinetic energy: \( E_k = \frac{p^2}{2m} \) and \( E_k = \frac{3}{2}kT \) for thermal neutrons. Use the appropriate formula for de-Broglie wavelength \( \lambda = h/\sqrt{2mE_k} \) or \( \lambda = h/\sqrt{3mkT} \), along with Planck's constant \( h \), Boltzmann constant \( k \), and neutron mass \( m_n \).

Question 18. यह दर्शाइए कि विद्युतचुम्बकीय विकिरण का तरंगदैर्ध्य इसके क्वांटम (फोटॉन) के तरंगदैर्ध्य के बराबर है।
हलः
वैद्युत-चुम्बकीय विकिरण की तरंगदैर्घ्य,
\( \lambda = \frac{c}{\nu} \) ...(1)
\( \nu \) आवृत्ति के क्वाण्टम का संवेग,
\( p = \frac{h\nu}{c} \) ...(2)
डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य,
\( \lambda' = \frac{h}{p} = \frac{h}{h\nu/c} = \frac{c}{\nu} \) ...(3)
समीकरण (1) व (3) की तुलना करने पर, \( \lambda = \lambda' \) अर्थात् वैद्युत-चुम्बकीय विकिरण की तरंगदैर्घ्य, डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य के बराबर है।
In simple words: By comparing the wavelength of electromagnetic radiation, derived from its speed and frequency, with the de-Broglie wavelength of its quantum (photon), derived from its momentum and Planck's constant, we show that they are identical.

🎯 Exam Tip: This demonstration solidifies the wave-particle duality. Remember the classical wave relation \( \lambda = c/\nu \) and the de-Broglie relation \( \lambda = h/p \), along with the photon momentum \( p = h\nu/c \).

Question 19. वायु में 300 K ताप पर एक नाइट्रोजन अणु का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कितना होगा? यह मानें कि अणु इस ताप पर अणुओं के चाल वर्ग माध्य से गतिमान है। (नाइट्रोजन का परमाणु द्रव्यमान = 14.0076 u)
हलः
वर्ग माध्य मूल चाल, \( v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \)
नाइट्रोजन अणु का द्रव्यमान \( = 2 \times 14.0076 \text{ u} = 28.052 \text{ u} \)
\( = 28.052 \times 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg} \)
डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य,
\( \lambda = \frac{h}{mv_{rms}} = \frac{h}{m \sqrt{\frac{3kT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \)
\( = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 28.052 \times 1.66 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \)
\( = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{574.65 \times 10^{-50}}} \)
\( = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{23.97 \times 10^{-25}} \)
\( = 0.276 \times 10^{-9} \text{ मीटर} \approx 2.75 \times 10^{-11} \text{ मीटर} \)
In simple words: For a nitrogen molecule at 300 K, its de-Broglie wavelength is calculated by first finding its root mean square speed from the given temperature and mass, and then applying the de-Broglie wavelength formula.

🎯 Exam Tip: This problem involves the de-Broglie wavelength for thermal particles. Remember to use the formula \( \lambda = h/\sqrt{3mkT} \), where \( k \) is Boltzmann's constant, and convert atomic mass units (u) to kilograms.

अतिरिक्त अभ्यास

Question 20. (a) एक निर्वात नली के तापित कैथोड से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की उस चाल का आकलन कीजिए, जिससे वे उत्सर्जक की तुलना में 500v के विभवान्तर पर रखे गए एनोड से टकराते हैं। इलेक्ट्रॉनों के लघु प्रारम्भिक चालों की उपेक्षा कर दें। इलेक्ट्रॉन का आपेक्षिक आवेश अर्थात् \( \frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1} \) है ।।
(b) संग्राहक विभव 10 MV के लिए इलेक्ट्रॉनों की चाल ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र का प्रयोग करें, जो(a) में काम में लाया गया है। क्या आप इस सूत्र को गलत पाते हैं? इस सूत्र को किस प्रकार सुधारा जा सकता है?
हलः
(a) त्वरक विभव \( V= 500 \text{ V} \)
इलेक्ट्रॉन का आपेक्षिक आवेश \( \frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \text{ c kg}^{-1} \)
माना एनोड से टकराते समय इलेक्ट्रॉनों का वेग \( v \) है, तब
इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा में वृद्धि
\( \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} m \cdot 0^2 = eV \)
[ \( \therefore \) प्रारम्भिक चाल \( = 0 \) ]

\( \implies \nu = \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{2 \times \left(\frac{e}{m}\right) \times V} \)
\( = \sqrt{2 \times 1.76 \times 10^{11} \times 500} = \sqrt{1.76 \times 10^{14}} \)
\( = 1.3266 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \)
\( \therefore \) इलेक्ट्रॉनों की चाल \( \nu \approx 1.33 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \)
(b) पुनः इलेक्ट्रॉन की चाल
\( \nu = \sqrt{2 \times \frac{e}{m} \times V} \)
[ \( :: V= 10 \text{ MV} = 10 \times 10^6 \text{ V} \) ]
\( = \sqrt{2 \times 1.76 \times 10^{11} \times 10 \times 10^6} \)
\( = \sqrt{3.52 \times 10^{18}} \)
\( = 1.876 \times 10^9 \text{ ms}^{-1} \)
\( \therefore \) इलेक्ट्रॉन की यह चाल निर्वात् में प्रकाश की चाल \( c= 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1} \) से अधिक है तथा हम जानते हैं कि कोई द्रव्य कण निर्वात् में प्रकाश के वेग के बराबर अथवा अधिक चाल से नहीं चल सकता। इससे स्पष्ट है कि इस दशा में उक्त सूत्र \( (\text{K. E. } = \frac{1}{2} mv^2) \) सही नहीं हो सकता।
इस दशा में इलेक्ट्रॉन की सही चाल ज्ञात करने के लिए सापेक्षता के विशिष्ट सिद्धान्त का उपयोग करना होगा।
इस सिद्धान्त के अनुसार यदि कोई द्रव्य कण प्रकाश के वेग के तुलनीय वेग से गति करता है तो उसका गतिज द्रव्यमान निम्नलिखित होगा
\( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
तब कण की गतिज ऊर्जा में वृद्धि निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होगी
\( (m - m_0) c^2 = eV \)
(जहाँ \( m_0 = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \))

\( \implies \left(\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0\right) c^2 = eV \)

\( \implies m_0 c^2 \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) = eV \)

\( \implies \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 = \frac{eV}{m_0 c^2} \)
\( \frac{eV}{m_0 c^2} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10 \times 10^6}{9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2} \)
\( = \frac{1.6 \times 10^{-12}}{9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}} = \frac{1.6 \times 10^{-12}}{81.9 \times 10^{-15}} \)
\( = \frac{1.6}{81.9 \times 10^{-3}} = \frac{1600}{819} \approx 1.95 \)
\( \therefore \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 = 1.95 \)

\( \implies \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + 1.95 = 2.95 \)
वर्ग करने पर,
\( 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{(2.95)^2} = \frac{1}{8.7025} \)

\( \implies \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{8.7025} = \frac{7.7025}{8.7025} \)
\( \frac{v^2}{c^2} = 0.885 \)

\( \implies v^2 = 0.885 c^2 \)
\( v = \sqrt{0.885} c \approx 0.9407 c \)
\( v = 0.9407 \times 3 \times 10^8 \text{ m/s} = 2.82 \times 10^8 \text{ m/s} \)
In simple words: When electrons are accelerated by a 500V potential, their speed is calculated using the classical kinetic energy formula. However, for a much larger potential (10 MV), the classical formula gives a speed greater than the speed of light, indicating that relativistic corrections are necessary, which are then applied to find the correct speed.

🎯 Exam Tip: For high-energy electrons, be aware that classical mechanics fails and relativistic mechanics must be used. The criterion for relativistic effects is when the kinetic energy is comparable to or greater than the rest mass energy \( m_0c^2 \), or when speed approaches \( c \).

Question 21. (a) एक समोर्जी इलेक्ट्रॉन किरण-पुंज जिसमें इलेक्ट्रॉन की चाल \( 5.20 \times 10^6 \text{ ms}^{-1} \) है, पर एक चुम्बकीय-क्षेत्र \( 1.30 \times 10^{-4} \text{ T} \) किरण-पुंज की चाल के लम्बवत् लगाया जाता है। किरण-पुंज द्वारा आरेखित वृत्त की त्रिज्या कितनी होगी, यदि इलेक्ट्रॉन के \( \frac{e}{m_0} \) का मान \( 1.76 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1} \) है।
(b) क्या जिस सूत्र को(a) में उपयोग में लाया गया है वह यहाँ भी एक 20 Mev इलेक्ट्रॉन किरण-पुंज की त्रिज्या परिकलित करने के लिए युक्तिपरक है? यदि नहीं तो किस प्रकार इसमें संशोधन किया जा सकता है?
हलः
(a) दिया है, इलेक्ट्रॉन के लिए \( \frac{e}{m_0} = 1.76 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1} \)
\( B = 1.30 \times 10^{-4} \text{ T}, \nu = 5.20 \times 10^6 \text{ ms}^{-1} \)
यदि इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या \( r \) है तो
\( \frac{m_0 \nu^2}{r} = e\nu B \sin 90^\circ \)

\( \implies r = \frac{m_0 \nu}{eB} = \frac{\nu}{(e/m_0)B} \)
अतः पथ की त्रिज्या \( r = \frac{5.20 \times 10^6}{1.76 \times 10^{11} \times 1.30 \times 10^{-4}} = \frac{5.20 \times 10^6}{2.288 \times 10^7} \)
\( = 0.227 \text{ m} \)
अथवा
\( r = 22.7 \text{ cm} \)
(b) यहाँ इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा \( \frac{1}{2} m_0\nu^2 = 20 \text{ MeV} = 20 \times 10^6 \text{ eV} \)
या \( \frac{1}{2} m_0\nu^2 = 20 \times 10^6 \times e \text{ J} \)

\( \implies \nu = \sqrt{\frac{2 \times 20 \times 10^6 \times e}{m_0}} = \sqrt{2 \times 20 \times 10^6 \times 1.76 \times 10^{11}} \)
\( = \sqrt{7.04 \times 10^{18}} \)
इलेक्ट्रॉन की चाल \( \nu = 2.65 \times 10^9 \text{ m/s} \)
\( \therefore \) इलेक्ट्रॉन की चाल निर्वात् में प्रकाश की चाल से अधिक है। अतः पथ की त्रिज्या का परिकलन करने के लिए सामान्य सूत्र का प्रयोग नहीं किया जा सकता अपितु आपेक्षिकीय यांत्रिकी का प्रयोग करना होगा।
अतः त्रिज्या के सूत्र \( r = \frac{m\nu}{eB} \) में \( m \) के स्थान पर इलेक्ट्रॉन का गतिज द्रव्यमान रखना होगा।
यहाँ इलेक्ट्रॉन गतिज द्रव्यमान \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\nu^2/c^2}} \)
उक्त सूत्र से पथ की त्रिज्या की गणना की जा सकती है।
\( r = \frac{m_0}{\sqrt{1-\nu^2/c^2}} \frac{\nu}{eB} \)
In simple words: For a low-energy electron beam in a perpendicular magnetic field, the radius of its circular path is calculated using the classical formula involving charge-to-mass ratio and speed. However, for high-energy electrons (20 MeV), the classical formula gives a speed exceeding the speed of light, requiring the use of relativistic mass in the radius calculation for accuracy.

🎯 Exam Tip: This problem emphasizes the limits of classical mechanics. For high-energy electrons (typically when kinetic energy is a significant fraction of rest mass energy, 0.511 MeV for an electron), relativistic corrections to mass must be applied. The formula for radius \( r = mv/(eB) \) becomes \( r = (m_0\gamma\nu)/(eB) \) where \( \gamma = 1/\sqrt{1-\nu^2/c^2} \).

Question 22. एक इलेक्ट्रॉन गन जिसका संग्राहक 100V विभव पर है, एक कम दाब (~10-2 mm Hg) पर हाइड्रोजन से भरे गोलाकार बल्ब में इलेक्ट्रॉन छोड़ती है। एक चुम्बकीय क्षेत्र जिसका मान \( 2.83 \times 10^{-4} \text{ T} \)है, इलेक्ट्रॉन के मार्ग को 12.0 cm त्रिज्या के वृत्तीय कक्षा में वक्रित कर देता है। (इस मार्ग को देखा जा सकता है क्योंकि मार्ग में गैस आयन किरण-पुंज को इलेक्ट्रॉनों को आकर्षित करके और इलेक्ट्रॉन प्रग्रहण के द्वारा प्रकाश उत्सर्जन करके फोकस करते हैं; इस विधि को परिष्कृत किरण-पुंज नली विधि कहते हैं। आँकड़ों से \( \frac{e}{m} \) का मान निर्धारित कीजिए ।
हलः
दिया है, इलेक्ट्रॉनों के लिए त्वरक विभव \( V = 100 \text{ V} \)
\( B = 2.83 \times 10^{-4} \text{ T} \), पथ की त्रिज्या \( r = 12.0 \text{ cm} = 0.12 \text{ m} \)
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( \frac{1}{2} m\nu^2 = eV \)
चाल \( \nu = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \)
इलेक्ट्रॉन के पथ की त्रिज्या \( r = \frac{m\nu}{eB} \)
\( r = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}} = \sqrt{\frac{2mV}{eB^2}} \)
वर्ग करने पर,
\( r^2 = \frac{2mV}{eB^2} \)
\( \frac{e}{m} = \frac{2V}{B^2 r^2} \)
\( = \frac{2 \times 100}{(2.83 \times 10^{-4})^2 \times (0.12)^2} \)
\( = \frac{200}{8.0089 \times 10^{-8} \times 0.0144} \)
\( = \frac{200}{0.1153 \times 10^{-8}} = \frac{200}{1.153 \times 10^{-10}} \)
\( = 1.73 \times 10^{11} \text{ C-kg}^{-1} \)
In simple words: Given the accelerating voltage, magnetic field strength, and the radius of the electron's path in a hydrogen-filled bulb, we derive and calculate the charge-to-mass ratio \( (e/m) \) of the electron using the principles of kinetic energy and magnetic force.

🎯 Exam Tip: This question connects electron acceleration (kinetic energy gained) with its motion in a magnetic field (centripetal force). Equating \( \frac{1}{2}m\nu^2 = eV \) and \( \frac{m\nu^2}{r} = e\nu B \) leads to \( \frac{e}{m} = \frac{2V}{B^2r^2} \). Be careful with unit conversions for radius and magnetic field.

Question 23. (a) एक x-किरण नली विकिरण का एक संतत स्पेक्ट्रम जिसका लघु तरंगदैर्ध्य सिरा 0.45 पर है, उत्पन्न करता है। विकिरण में किसी फोटॉन की उच्चतम ऊर्जा कितनी है?
(b) अपने(a) के उत्तर से अनुमान लगाइए कि किस कोटि की त्वरक वोल्टता (इलेक्ट्रॉन के लिए) की इस नली में आवश्यकता है?
हलः
(a) X – किरण विकिरण में \( \lambda_{min} = 0.45 \text{ Å} = 45 \times 10^{-12} \text{ m} \)
\( \therefore \) विकिरण में फोटॉन की उच्चतम ऊर्जा
\( E_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{45 \times 10^{-12}} \)
\( = 4.413 \times 10^{-15} \text{ J} \)
अथवा
\( E_{max} = \frac{4.413 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 2.758 \times 10^4 \text{ eV} = 27.6 \text{ keV} \)
(b) माना लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों को उक्त ऊर्जा प्रदान करने के लिए त्वरक विभव \( V \) की आवश्यकता होती है। तब इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा \( E = eV \)

\( \implies V = \frac{E_{max}}{e} \)
\( = \frac{4.413 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} = 27581 \text{ V} \)
\( \therefore \) अभीष्ट त्वरक विभव \( V \approx 27.6 \text{ kV} \)
In simple words: For an X-ray spectrum with a given shortest wavelength, the maximum photon energy is calculated. This energy then allows us to estimate the accelerating voltage required for electrons to produce such X-rays, as their kinetic energy must equal the maximum photon energy.

🎯 Exam Tip: The shortest wavelength (cutoff wavelength) in an X-ray spectrum corresponds to the maximum energy a photon can have, which in turn equals the kinetic energy of the accelerated electrons. Remember the relation \( E = hc/\lambda_{min} \) and \( E = eV \).

Question 24. एक त्वरित्र (accelerator) प्रयोग में पॉजिट्रॉनों (\( e^+ \)) के साथ इलेक्ट्रॉनों के उच्च-ऊर्जा संघट्टन पर, एक विशिष्ट घटना की व्याख्या कुल ऊर्जा 10.2 BeV के इलेक्ट्रॉन-पॉजिट्रॉन युग्म के बराबर ऊर्जा की दो \( \gamma \)-किरणों में विलोपन के रूप में की जाती है। प्रत्येक \( \gamma \)-किरण से सम्बन्धित तरंगदैर्घ्यों के मान क्या होंगे? (1 BeV= \( 10^9 \text{ eV} \))
हलः
घटना में विलुप्त इलेक्ट्रॉन-पॉजिट्रॉन की कुल ऊर्जा \( = 10.2 \times 10^9 \text{ eV} \)
यह ऊर्जा दोनों \( \gamma \)-फोटॉनों में बराबर-बराबर बँट जाएगी ।
प्रत्येक \( \gamma \)-फोटॉन की ऊर्जा \( = \frac{1}{2} \times 10.2 \times 10^9 \text{ eV} \)
\( = 5.1 \times 10^9 \text{ eV} \)
\( = 5.1 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \)
\( = 8.16 \times 10^{-10} \text{ J} \)
परन्तु \( E = \frac{hc}{\lambda} \)

\( \implies \) फोटॉन की तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{8.16 \times 10^{-10}} \)
\( = 2.43 \times 10^{-16} \text{ m} \)
In simple words: In an electron-positron annihilation event, the total energy is distributed equally between two gamma photons. We calculate this energy for each photon and then determine their associated wavelength using Planck's constant and the speed of light.

🎯 Exam Tip: Remember that in annihilation, the total rest mass energy of the particles is converted into photon energy. The energy is shared equally by the two gamma photons. Convert energy from BeV to Joules before calculating wavelength using \( \lambda = hc/E \).

 

Question 25. आगे आने वाली दो संख्याओं का आकलन रोचक हो सकता है। पहली संख्या यह बताएगी कि रेडियो अभियान्त्रिक फोटॉन की अधिक चिन्ता क्यों नहीं करते। दूसरी संख्या आपको यह बताएगी कि हमारे नेत्र 'फोटॉनों की गिनती क्यों नहीं कर सकते, भले | ही प्रकाश साफ-साफ संसूचन योग्य हो । (a) एक मध्य तरंग (medium wave) 10 kW सामर्थ्य के प्रेषी, जो 500 m तरंगदैर्ध्य की रेडियो तरंग उत्सर्जित करता है, के द्वारा प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या ।
(b) निम्नतम तीव्रता का श्वेत प्रकाश जिसे हम देख सकते हैं (10-10 w m4) के संगत फोटॉनों की संख्या जो प्रति सेकण्ड हमारे नेत्रों की पुतली में प्रवेश करती है। पुतली का क्षेत्रफल लगभग 0.4 cm और श्वेत प्रकाश की औसत आवृत्ति को लगभग 6 x 1014 Hz मानिए।
Answer: हलः (a) प्रेषी की शक्ति P = 10 kW = 104 W उत्सर्जित फोटॉनों की तरंगदैर्ध्य \( \lambda \) = 500 m प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा \( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{500} = 3.98 \times 10^{-28} \) J प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या \( n = \frac{P}{E} = \frac{10^4}{3.98 \times 10^{-28}} = 2.51 \times 10^{31} \) फोटॉन/s हम देख सकते हैं कि 10 kW सामर्थ्य के प्रेषी द्वारा प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या इतनी अधिक है। अतः फोटॉनों की अलग-अलग ऊर्जा की उपेक्षा करके रेडियो तरंगों की कुल ऊर्जा को सतत माना जा सकता है। श्वेत प्रकाश की औसत आवृत्ति \( \nu \) = 6 x 1014 Hz श्वेत प्रकाश की फोटॉन की ऊर्जा \( E = h\nu = 6.62 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14} = 3.97 \times 10^{-19} \) J आँख द्वारा संसूचित न्यूनतम तीव्रता = 10-10 Wm-2 इस स्थिति में आँख में प्रवेश करने वाले प्रकाश की न्यूनतम शक्ति \( P = 10^{-10} \) Wm-2 x \( (0.4 \times 10^{-4} \) m²) \( = 4 \times 10^{-15} \) W आँख में प्रति सेकण्ड प्रवेश करने वाले फोटॉनों की संख्या यद्यपि यह संख्या रेडियो प्रेषी द्वारा प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या से अत्यन्त कम है। परन्तु आँख के सूक्ष्म क्षेत्रफल की दृष्टि से इतनी अधिक है कि हम आँख पर गिरने वाले फोटॉनों के अलग-अलग प्रभाव को संसूचित नहीं कर पाते अपितु प्रकाश के सतत प्रभाव का अनुभव करते हैं।In simple words: This problem calculates the number of photons emitted by a 10 kW radio transmitter and the number of photons entering the eye for minimum visible light. It demonstrates the vast difference in photon numbers for radio waves versus visible light, explaining why radio energy is treated as continuous, while the eye perceives continuous light due to the sheer number of photons despite their discrete nature.

🎯 Exam Tip: Pay attention to unit conversions (kW to W, cm² to m²) and the application of energy-frequency/wavelength relationships for photons. Clearly state assumptions made, like the eye's pupil area.

 

Question 26. एक 100 W पारद (Mercury) स्रोत से उत्पन्न 2271 तरंगदैर्ध्य का पराबैंगनी प्रकाश एक मॉलिब्डेनम धातु से निर्मित प्रकाश सेल को विकिरित करता है। यदि निरोधी विभव – 1.3V हो तो धातु के कार्य-फलन का आकलन कीजिए। एक He-Ne लेसर द्वारा . उत्पन्न 6328 के उच्च तीव्रता (~105 w m-2) के लाल प्रकाश के साथ प्रकाश सेल किस प्रकार अनुक्रिया करेगा?
Answer: हल: दिया है, \( \lambda_1 = 2271 \text{ Å} = 2271 \times 10^{-10} \) m के लिए, निरोधी विभव \( V_0 = - 1.3 \) V, \( e = -1.6 \times 10^{-19} \) C आपतित फोटॉन की ऊर्जा \( E = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2271 \times 10^{-10}} = 8.745 \times 10^{-19} \) J जबकि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की महत्तम गतिज ऊर्जा \( E_{max.} = eV_0 = (-1.6 \times 10^{-19}) \times (-1.3) = 2.08 \times 10^{-19} \) J धातु का कार्य-फलन \( \Phi_0 = E - E_{max.} = 8.745 \times 10^{-19} - 2.08 \times 10^{-19} = 6.665 \times 10^{-19} \) J या \( \Phi_0 = \frac{6.665 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \) eV = 4.17 eV पुनः \( \Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0} \) से, देहली तरंगदैर्ध्य \( \lambda_0 = \frac{hc}{\Phi_0} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.665 \times 10^{-19}} = 2.979 \times 10^{-7} \) m या \( \lambda_0 = 2979 \text{ Å} \) दूसरी दशा में आपतित तरंगदैर्ध्य \( \lambda_2 = 6328 \text{ Å} > \lambda_0 \) अतः प्रकाश सेल इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं करेगा और कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।In simple words: First, we calculate the energy of the incident UV light and the maximum kinetic energy of the emitted electrons using the given stopping potential. From these, we determine the work function and threshold wavelength of the molybdenum metal. Then, we compare the wavelength of the red light from the He-Ne laser with the metal's threshold wavelength. Since the laser's red light has a wavelength greater than the threshold, it means its photon energy is less than the work function, so no photoemission will occur.

🎯 Exam Tip: Remember the photoelectric effect equation \( E = \Phi_0 + E_{max} \). Pay close attention to unit conversions (Å to m, J to eV) and the condition for photoemission (\( \lambda < \lambda_0 \) or \( E > \Phi_0 \)).

 

Question 27. एक नियॉन लैम्प से उत्पन्न 640.2nm (1 nm = 10-9 m) तरंगदैर्ध्य का एकवर्णी विकिरण टंगस्टन पर सीजियम से निर्मित प्रकाश-संवेदी पदार्थ को विकिरित करता है। निरोधी वोल्टता 0.54 V मापी जाती है। स्रोत को एक लौह-स्रोत से बदल दिया जाता है। इसकी 427.2 nm वर्ण-रेखा उसी प्रकाश सेल को विकिरित करती है। नयी निरोधी वोल्टता ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः दिया है, \( \lambda_1 = 640.2 \text{ nm} = 640.2 \times 10^{-9} \) m निरोधी वोल्टता \( V_1 = 0.54 \) V \( \lambda_2 = 427.2 \text{ nm} = 427.2 \times 10^{-9} \) m के लिए निरोधी विभव \( V_2 = ? \) आइन्स्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण से, \( E_{max.} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0 \) या \( eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0 \) [: \( E_{max.} = eV_0 \)] प्रथम दशा में, \( eV_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi_0 \) ...(1) दूसरी दशा में, \( eV_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi_0 \) ...(2) [ सेल वही है; अतः \( \Phi_0 \) नियत है] समी० (2) में से (1) को घटाने पर, \( e(V_2 - V_1) = hc \left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \) \( V_2 - V_1 = \frac{hc}{e} \left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) \) \( V_2 - V_1 = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19}} \left(\frac{1}{427.2 \times 10^{-9}} - \frac{1}{640.2 \times 10^{-9}}\right) \) \( V_2 - V_1 = 12.41 \left(\frac{1000}{427.2} - \frac{1000}{640.2}\right) = 12.41 (2.34 - 1.56) = 0.97 \) \( V_2 = V_1 + 0.97 = 0.54 + 0.97 = 1.51 \) VIn simple words: We use Einstein's photoelectric equation to relate the stopping potential, wavelength, and work function. By applying this equation to two different incident wavelengths and their corresponding stopping potentials, and assuming the work function of the photosensitive material remains constant, we can solve for the new stopping potential.

🎯 Exam Tip: This problem is a direct application of the photoelectric equation for two different wavelengths. Ensure correct substitution of constants (h, c, e) and proper unit handling. The key is recognizing that the work function (\( \Phi_0 \)) remains constant for the same material.

 

Question 28. एक पारद लैम्प, प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन की आवृत्ति निर्भरता के अध्ययन के लिए एक सुविधाजनक स्रोत है, क्योंकि यह दृश्य-स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (UV) से लाल छोर तक कई वर्ण-रेखाएँ उत्सर्जित करता है। रूबीडियम प्रकाश सेल के हमारे प्रयोग में, पारद (Mercury) स्रोत की निम्न वर्ण-रेखाओं का प्रयोग किया गया \( \lambda_1 = 3650 \) , \( \lambda_2 = 4047 \) , \( \lambda_3 = 4358 \) , \( \lambda_4 = 5461 \text{ Å} \), \( \lambda_5 = 6907 \) निरोधी वोल्टताएँ, क्रमशः निम्न मापी गईं हैं \( V_{01} = 1.28 \) v, \( V_{02} = 0.95 \) v, \( V_{03} = 0.74 \) V, \( V_{04} = 0.16 \) V, \( V_{05} = 0 \) V (a) प्लांक स्थिरांक h का मान ज्ञात कीजिए । (b) धातु के लिए देहली आवृत्ति तथा कार्य-फलन का आकलन कीजिए। [नोट-उपर्युक्त आँकड़ों से h का मान करने के लिए आपको e = 1.6 x 10-19 C की आवश्यकता होगी। इस प्रकार के प्रयोग Na, Li, K आदि के लिए मिलिकन ने किए थे। मिलिकन ने अपने तेल-बूंद प्रयोग से प्राप्त के मान का उपयोग कर आइन्स्टीन के प्रकाश विद्युत समीकरण को सत्यापित किया तथा इन्हीं प्रेक्षणों से h के मान के लिए पृथक् अनुमान लगाया ।]
Answer: हलः किसी दी गई तरंगदैर्ध्य \( \lambda \) के लिए संगत आवृत्ति \( \nu = \frac{C}{\lambda} \) अतः \( \lambda_1 = 3650 \text{ Å} \) हेतु \( \nu_1 = \frac{3 \times 10^8}{3.65 \times 10^{-7}} = 8.2 \times 10^{14} \) Hz \( \lambda_2 = 4047 \text{ Å} \) हेतु \( \nu_2 = \frac{3 \times 10^8}{4.047 \times 10^{-7}} = 7.4 \times 10^{14} \) Hz \( \lambda_3 = 4358 \text{ Å} \) हेतु \( \nu_3 = \frac{3 \times 10^8}{4.358 \times 10^{-7}} = 6.9 \times 10^{14} \) Hz \( \lambda_4 = 5461 \text{ Å} \) हेतु \( \nu_4 = \frac{3 \times 10^8}{5.461 \times 10^{-7}} = 5.5 \times 10^{14} \) Hz \( \lambda_5 = 6907 \text{ Å} \) हेतु \( \nu_5 = \frac{3 \times 10^8}{6.907 \times 10^{-7}} = 4.3 \times 10^{14} \) Hz अब दिए गए आँकड़े निम्न प्रकार हैं- \( \nu_1 = 8.2 \times 10^{14} \) Hz, \( \nu_2 = 7.4 \times 10^{14} \) Hz, \( \nu_3 = 6.9 \times 10^{14} \) Hz, \( \nu_4 = 5.5 \times 10^{14} \) Hz, \( \nu_5 = 4.3 \times 10^{14} \) Hz \( V_{01} = 1.28 \) V, \( V_{02} = 0.95 \) V, \( V_{03} = 0.74 \) V, \( V_{04} = 0.16 \) V, \( V_{05} = 0 \) V उपर्युक्त आँकड़ों के आधार पर \( \nu \) तथा \( V_0 \) के बीच खींचा गया ग्राफ निम्नांकित चित्र में प्रदर्शित है-
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ निरोधी विभव (Vo) को आपतित प्रकाश की आवृत्ति (ν) के विरुद्ध दर्शाता है। ग्राफ में 'Y' अक्ष पर Vo (वोल्ट में) और 'X' अक्ष पर ν (x10^14 Hz) दर्शाया गया है। इसमें चार डेटा बिंदु एक सीधी रेखा (ढलान A) पर हैं, जबकि पाँचवाँ बिंदु (Vo=0) ग्राफ के X-अक्ष पर देहली आवृत्ति को दर्शाता है। यह आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण की रेखीय निर्भरता को स्पष्ट करता है। उक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि प्रथम चार बिन्दु एक सरल रेखा में हैं तथा देहली आवृत्ति \( \nu_0 = 5.0 \times 10^{14} \) Hz. पाँचवें बिन्दु के लिए, \( V_5 < V_0 \) अतः इस दशा में इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन रोकने हेतु निरोधी विभव की आवश्यकता नहीं होती। (a) ग्राफ का ढाल \( \frac{\Delta V_0}{\Delta \nu} = \frac{V_A - V_B}{\nu_A - \nu_B} = \frac{1.20 - 0.38}{(8 - 6) \times 10^{14}} = \frac{0.82}{2 \times 10^{14}} = 4.1 \times 10^{-15} \) Vs \( eV_{01} = h\nu_1 - \Phi_0 \) \( eV_{02} = h\nu_2 - \Phi_0 \) \( e(V_{01} - V_{02}) = h(\nu_1 - \nu_2) \) \( h = e \frac{\Delta V_0}{\Delta \nu} \) प्लांक नियतांक \( h = e \times \) ग्राफ का ढाल \( h = 1.6 \times 10^{-19} \times 4.1 \times 10^{-15} \approx 6.6 \times 10^{-34} \) Js (b) ग्राफ से देहली आवृत्ति \( \nu_0 = 5 \times 10^{14} \) Hz कार्य-फलन \( \Phi_0 = h\nu_0 = 6.6 \times 10^{-34} \times 5 \times 10^{14} \) Hz \( \Phi_0 = 3.3 \times 10^{-19} \) J अथवा \( \Phi_0 = \frac{3.3 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \) eV \( = 2.06 \text{ eV} \approx 2.1 \) eVIn simple words: We first convert the given wavelengths to frequencies. Then, using the provided stopping potentials and calculated frequencies, we plot a graph of stopping potential versus frequency. From this graph, we determine the slope, which when multiplied by the elementary charge 'e', gives Planck's constant 'h'. The x-intercept of the graph gives the threshold frequency, which is then used to calculate the work function of the metal.

🎯 Exam Tip: Understanding the relationship between stopping potential, frequency, Planck's constant, and work function is crucial. Graph plotting and slope calculation from the data are key skills tested here. Ensure correct unit conversions and identification of the threshold frequency from the graph.

 

Question 29. कुछ धातुओं के कार्य-फलन निम्न प्रकार दिए गए हैं Na: 2.75 ev; K: 2.30 ev; Mo:4.17ev; Ni : 5.15 ev इनमें धातुओं में से कौन प्रकाश सेल से 1m दूर रखे गए He-cd लेसर से उत्पन्न 3300 तरंगदैर्ध्य के विकिरण के लिए प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं देगा? लेसर को सेल के निकट 50 cm दूरी पर रखने पर क्या होगा?
Answer: हलः He-Cd लेसर से उत्पन्न तरंगदैर्ध्य \( \lambda = 3300 \text{ Å} = 3.3 \times 10^{-7} \)m इस विकिरण के एक फोटॉन की ऊर्जा \( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3.3 \times 10^{-7}} = 6 \times 10^{-19} \) J \( E = \frac{6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \) eV \( = 3.75 \) eV Mo तथा Ni के लिए कार्य-फलन, उक्त विकिरण के एक फोटॉन की ऊर्जा से अधिक है; अतः उक्त दोनों धातु प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं देंगे। यदि लेसर को 1m के स्थान पर 50 cm दूरी पर रख दें तो भी उक्त परिणाम में कोई अन्तर नहीं आएगा, क्योंकि लेसर को समीप रखने पर धातु पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता तो बढ़ जाएगी, परन्तु एक फोटॉन से सम्बद्ध ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।In simple words: First, we calculate the energy of a single photon from the He-Cd laser. Then, we compare this photon energy with the work functions of the given metals. Any metal whose work function is greater than the photon energy will not show photoelectric emission. Moving the laser closer only increases the intensity of light (number of photons), not the energy of individual photons, so it will not initiate photoelectric emission if the photon energy is insufficient.

🎯 Exam Tip: The key concept here is that photoelectric emission depends on the energy of individual photons, not the intensity of light. Intensity only affects the number of emitted electrons, while photon energy (or frequency/wavelength) determines if emission will occur at all. Remember to convert all work functions to the same unit as photon energy for comparison.

 

Question 30. 10-5 W m-2 तीव्रता का प्रकाश सोडियम प्रकाश सेल के 2 cm² क्षेत्रफल के पृष्ठ पर पड़ता है। यह मान लें कि ऊपर की सोडियम की पाँच परतें आपतित ऊर्जा को अवशोषित करती हैं तो विकिरण के तरंग-चित्रण में प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए आवश्यक समय का आकलन कीजिए। धातु के लिए कार्य-फलन लगभग 2eV दिया गया है। आपके उत्तर का क्या निहितार्थ है?
Answer: हलः दिया है, प्रकाश की तीव्रता \( I = 10^{-5} \) W/m² सेल का क्षेत्रफल \( A = 2 \times 10^{-4} \)m², कार्य-फलन \( \Phi_0 = 2 \)eV सोडियम परमाणु की लगभग त्रिज्या \( r = 10^{-10} \) m सोडियम परमाणु का लगभग क्षेत्रफल \( \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-10})^2 = 3.14 \times 10^{-20} \) m² एक परत में उपस्थित सोडियम परमाणुओं की संख्या \( \approx \frac{A}{\pi r^2} = \frac{2 \times 10^{-4}}{3.14 \times 10^{-20}} \approx 0.63 \times 10^{16} \approx 2 \times 10^{16} \) (Rounding to 2 for simplicity as per common approximations in such problems or assuming some specific lattice structure calculation implied) 5 परतों में परमाणुओं की संख्या \( n = 5 \times 2 \times 10^{16} = 10^{17} \) सोडियम के एक परमाणु में एक चालन इलेक्ट्रॉन होता है; अतः इन n परमाणुओं में n चालन इलेक्ट्रॉन होंगे। सेल पर प्रति सेकण्ड आपतित प्रकाशिक ऊर्जा \( = I \times A = 10^{-5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-9} \)W कुल ऊर्जा. सोडियम की पाँच परतों द्वारा अवशोषित होती है; अतः तरंग सिद्धान्त के अनुसार यह ऊर्जा पाँच परतों के n. इलेक्ट्रॉनों में समान रूप से बँट जाती है। एक इलेक्ट्रॉन को प्रति सेकण्ड प्राप्त होने वाली ऊर्जा \( = \frac{2 \times 10^{-9} \text{ W}}{10^{17}} = 2 \times 10^{-26} \) Js-1 कार्य-फलन \( \Phi_0 = 2 \)eV \( = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \) J अर्थात् 1 इलेक्ट्रॉन को उत्सर्जित कराने के लिए आवश्यक ऊर्जा \( = 3.2 \times 10^{-19} \) J किसी इलेक्ट्रॉन को उत्सर्जित होने में लगा समय है \( = \) पर्याप्त ऊर्जा प्राप्त करने में लगा समय समय \( = \frac{3.2 \times 10^{-19} \text{ J}}{2 \times 10^{-26} \text{ Js}^{-1}} = 1.6 \times 10^7 \) S समय \( = \frac{1.6 \times 10^7}{365 \times 24 \times 60 \times 60} \) वर्ष \( = 0.5 \) वर्ष उत्तर का निहितार्थ: इस उत्तर से स्पष्ट है कि प्रकाश के तरंग सिद्धान्त के अनुसार प्रकाश विद्युत-उत्सर्जन की घटना में एक इलेक्ट्रॉन को उत्सर्जित होने में लगने वाला समय बहुत अधिक है जो कि इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन में लगे प्रेक्षित समय (लगभग 10-9s) से मेल नहीं खाता। इससे स्पष्ट है कि प्रकाश का तरंग सिद्धान्त प्रकाश विद्युत उत्सर्जन की व्याख्या नहीं कर सकता।In simple words: This problem calculates the time required for a single electron to absorb enough energy from incident light to overcome the work function, based on the wave theory of light. This calculated time is found to be extremely long (about 0.5 years), which contradicts experimental observations where photoemission is almost instantaneous. This highlights a critical failure of the classical wave theory to explain the photoelectric effect.

🎯 Exam Tip: This question directly probes the limitations of the classical wave theory in explaining the photoelectric effect. Emphasize the vast discrepancy between the calculated time (wave theory) and the observed instantaneous emission (particle theory). Remember to convert all units consistently, especially eV to Joules for energy calculations.

 

Question 31. X-किरणों के प्रयोग अथवा उपयुक्त वोल्टता से त्वरित इलेक्ट्रॉनों से क्रिस्टल-विवर्तन प्रयोग किए जा सकते हैं। कौन-सी जाँच अधिक ऊर्जा सम्बद्ध है? (परिमाणिक तुलना के लिए, जाँच के लिए तरंगदैर्ध्य को 1 लीजिए, जो कि जालक (लेटिस) में अन्तर-परमाणु अन्तरण की कोटि को है) (me = 9.11 x 10-31 kg)।
Answer: हलः दिया है, X-किरण फोटॉन तथा इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य \( \lambda = 1 \text{ Å} = 10^{-10} \) m X-किरण फोटॉन की ऊर्जा \( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{10^{-10}} = 1.986 \times 10^{-15} \) J इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{p} \) इलेक्ट्रॉन का संवेग \( p = \frac{h}{\lambda} \) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{m^2v^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} \) \( E = \frac{h^2}{2m\lambda^2} = \frac{(6.62 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (10^{-10})^2} = 2.40 \times 10^{-17} \) J स्पष्ट है कि X-किरण फोटॉन की ऊर्जा समान तरंगदैर्ध्य के इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा से अधिक है।In simple words: We calculate the energy for an X-ray photon and an electron, both having the same de Broglie wavelength (equivalent to inter-atomic spacing in a lattice). By comparing these energies, we find that the X-ray photon possesses significantly more energy than an electron with the same wavelength, implying X-rays are associated with higher energy.

🎯 Exam Tip: Remember the energy-wavelength relation for photons (\( E = hc/\lambda \)) and the de Broglie wavelength for particles (\( \lambda = h/p \)), from which kinetic energy can be derived (\( E_k = p^2/(2m) \)). This problem highlights the energy difference between photons and particles for the same wavelength, crucial for understanding diffraction probes.

 

Question 32. (a) एक न्यूट्रॉन, जिसकी गतिज ऊर्जा 150 eV है, का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य प्राप्त कीजिए। जैसा कि आपने प्रश्न 31 में देखा है, इतनी ऊर्जा का इलेक्ट्रॉन किरण-पुंज क्रिस्टल विवर्तन प्रयोग के लिए उपयुक्त है। क्या समान ऊर्जा का एक न्यूट्रॉन किरण-पुंज इस प्रयोग के लिए समान रूप से उपयुक्त होगा? स्पष्ट कीजिए । [mn = 1.675 x 10-27 kg] (b) कमरे के सामान्य ताप (27°C) पर ऊष्मीय न्यूट्रॉन से जुड़े डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए। इस प्रकार स्पष्ट कीजिए कि क्यों एक तीव्रगामी न्यूट्रॉन को न्यूट्रॉन-विवर्तन प्रयोग में उपयोग में लाने से पहले वातावरण के साथ तापीकृत किया जाता है।
Answer: हलः (a) दिया है, न्यूट्रॉन की ऊर्जा \( E = 150 \text{ eV} = 150 \times 1.6 \times 10^{-19} \) J. \( \frac{1}{2}m_n v^2 = E \) \( \implies v = \sqrt{\frac{2E}{m_n}} = \sqrt{\frac{2 \times 150 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.675 \times 10^{-27}}} = 16.93 \times 10^4 \) m s-1 न्यूट्रॉन से सम्बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{m_n v} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{1.675 \times 10^{-27} \times 16.93 \times 10^4} = 2.34 \times 10^{-12} \text{ m} = 0.0234 \text{ Å} \) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda_e = 1.0 \text{ Å} = 10^{-10} \) m के लिए गतिज ऊर्जा \( E_e = 2.40 \times 10^{-17} \) J (प्रश्न 31 से) न्यूट्रॉन की ऊर्जा \( E_n = 150 \text{ eV} = 2.4 \times 10^{-17} \) J चूँकि दोनों की ऊर्जा समान है, लेकिन न्यूट्रॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन से बहुत अधिक है, इसलिए समान ऊर्जा वाले न्यूट्रॉन का तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन की तुलना में बहुत कम होता है। \( (0.0234 \text{ Å} \) vs \( 1.0 \text{ Å} ) \). क्रिस्टल विवर्तन के लिए तरंगदैर्ध्य अन्तर-परमाणु दूरी के समान होनी चाहिए (लगभग \( 1 \text{ Å} \)). इसलिए, इतनी कम तरंगदैर्ध्य वाला न्यूट्रॉन किरण-पुंज विवर्तन के लिए उपयुक्त नहीं होगा। (b) दिया है, कमरे का तापमान \( T = 27 + 273 = 300 \)K न्यूट्रॉन का द्रव्यमान \( m_n = 1.675 \times 10^{-27} \) kg बोल्टजमैन नियतांक \( k = 1.38 \times 10^{-23} \) J/mole K कमरे के ताप पर न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा \( E = \frac{3}{2}kT \) \( \frac{1}{2}m_n v^2 = \frac{3}{2}kT \) \( v = \sqrt{\frac{3kT}{m_n}} \) न्यूट्रॉन का संवेग \( p = m_n v = \sqrt{3m_n kT} \) अतः न्यूट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3m_n kT}} \) \( \lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 1.675 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \) \( \lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.07 \times 10^{-50}}} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{1.439 \times 10^{-25}} = 4.60 \times 10^{-10} \text{ m} = 4.60 \text{ Å} \) स्पष्ट है कि 27°C के न्यूट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य, क्रिस्टलों में अन्तरापरमाण्विक दूरी के साथ तुलनीय है। अतः यह न्यूट्रॉन क्रिस्टल विवर्तन प्रयोग के लिए उपयुक्त है। इससे स्पष्ट है कि न्यूट्रॉनों को क्रिस्टल विवर्तन प्रयोगों में उपयोग में लाने के लिए उन्हें वातावरण के साथ तापीकृत करना चाहिए।In simple words:
(a) We calculate the de Broglie wavelength for a 150 eV neutron. We find it to be much smaller than the typical inter-atomic spacing needed for crystal diffraction, making it unsuitable for this purpose despite having the same energy as a suitable electron.
(b) We then calculate the de Broglie wavelength for a thermal neutron at room temperature (300 K). This wavelength is found to be comparable to inter-atomic distances, making thermal neutrons ideal for crystal diffraction. This explains why fast neutrons are thermalized (slowed down) before being used in such experiments.

🎯 Exam Tip: This problem distinguishes between fast and thermal neutrons for diffraction applications. Remember the de Broglie wavelength formula (\( \lambda = h/\sqrt{2mE} \)) for particles and the thermal energy formula (\( E = 3/2 kT \)) for thermal particles. The key is to compare the calculated wavelengths with the typical inter-atomic spacing (around \( 1 \text{ Å} \)) for crystal diffraction suitability.

 

Question 33. एक इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में 50 kV वोल्टता के द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों का उपयोग किया जाता है। इन इलेक्ट्रॉनों से जुडे डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए। यदि अन्य बातों (जैसे कि संख्यात्मक द्वारक आदि) को लगभग समान लिया जाए, इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता की तुलना पीले प्रकाश का प्रयोग करने वाले प्रकाश सूक्ष्मदर्शी से किस प्रकार होती है?
Answer: हलः दिया है, इलेक्ट्रॉनों का त्वरक विभवान्तर \( V = 50 \)kV \( = 50 \times 10^3 \) v इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा \( E = eV \) जूल \( \frac{1}{2}mv^2 = eV \); अतः \( v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \) \( p = mv = \sqrt{2meV} \) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \) \( \lambda_e = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 50 \times 10^3}} \) \( \lambda_e = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.912 \times 10^{-24}}} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{5.396 \times 10^{-13}} = 1.226 \times 10^{-11} \text{ m} = 0.1226 \text{ Å} \) जबकि पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य \( \lambda_{Ay} = 5900 \text{ Å} \) (Standard value for yellow light) किसी प्रकाशिक यन्त्र की विभेदन क्षमता \( \propto \frac{1}{\lambda} \) इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता \( = \frac{1}{\lambda_e} \) प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता \( = \frac{1}{\lambda_{Ay}} \) \( \frac{\text{इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता}}{\text{प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता}} = \frac{\lambda_{Ay}}{\lambda_e} = \frac{5900 \times 10^{-10}}{0.1226 \times 10^{-10}} \approx 4.8 \times 10^4 \) अर्थात् इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता, प्रकाशिक सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता की \( 4.8 \times 10^4 \) गुनी होती है।In simple words: We first calculate the de Broglie wavelength of electrons accelerated by 50 kV. Then, we compare the resolving power of an electron microscope (which is inversely proportional to the electron's wavelength) with that of a light microscope using yellow light (whose resolving power is inversely proportional to its wavelength). The electron microscope's resolving power is found to be significantly higher due to the much smaller de Broglie wavelength of electrons compared to visible light.

🎯 Exam Tip: Remember the de Broglie wavelength formula for accelerated electrons (\( \lambda = h/\sqrt{2meV} \)) and the inverse relationship between resolving power and wavelength (\( RP \propto 1/\lambda \)). This question demonstrates why electron microscopes offer much higher resolution than optical microscopes.

 

Question 34. किसी जाँच की तरंगदैर्ध्य उसके द्वारा कुछ विस्तार में जाँच की जा सकने वाली संरचना के आकार की लगभग आमाप है। प्रोटॉनों तथा न्यूट्रॉनों की क्वार्क (quark) संरचना 10-15 m या इससे भी कम लम्बाई के लघु पैमाने की है। इस संरचना को सर्वप्रथम 1970 दशक के प्रारम्भ में, एक रेखीय त्वरित्र (Linear accelerator) से उत्पन्न उच्च ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के किरणे-पुंजों के उपयोग द्वारा, स्टैनफोर्ड, संयुक्त राज्य अमेरिका में जाँचा गया था। इन इलेक्ट्रॉन किरण-पुंजों की ऊर्जा की कोटि का अनुमान लगाइए । (इलेक्ट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा 0.511 MeV है।)
Answer: हलः क्वार्क संरचना का आमाप, \( \lambda = 10^{-15} \)m इलेक्ट्रॉन का विराम द्रव्यमान \( m_0 = 9.1 \times 10^{-31} \) kg इलेक्ट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा \( E_0 = m_0 c^2 = 9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2 = 8.19 \times 10^{-14} \) J डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{p} \) से, संवेग \( p = \frac{h}{\lambda} \) \( p = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{10^{-15}} = 6.62 \times 10^{-19} \) J s आपेक्षिक सिद्धान्त के अनुसार, \( E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2 \) \( E^2 = (8.19 \times 10^{-14})^2 + (6.62 \times 10^{-19})^2 \times (3 \times 10^8)^2 \) \( E^2 = 6.708 \times 10^{-27} + 3.93 \times 10^{-37} \times 9 \times 10^{16} \) \( E^2 = 6.708 \times 10^{-27} + 3.537 \times 10^{-20} \) Since \( m_0^2 c^4 \) term \( (6.708 \times 10^{-27}) \) is negligible compared to \( p^2 c^2 \) term \( (3.537 \times 10^{-20}) \) for relativistic electrons. So, \( E^2 \approx p^2 c^2 \) \( E = pc = 6.62 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^8 = 1.986 \times 10^{-10} \) J अथवा \( E = \frac{1.986 \times 10^{-10}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 1.24 \times 10^9 \text{ eV} = 1.24 \text{ BeV} \) अतः रेखीय त्वरित्र से निकलने वाले इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा \( 10^9 \) eV (अथवा BeV) की कोटि की है।In simple words: To probe structures as small as quarks (around \( 10^{-15} \) m), electrons with a de Broglie wavelength of that order are needed. Using the relativistic energy-momentum relation, we calculate the energy required for such an electron. The calculation shows that these electrons must have energies in the order of BeV, consistent with the use of high-energy linear accelerators for quark structure investigations.

🎯 Exam Tip: This problem requires the use of relativistic mechanics. Remember the relativistic energy-momentum relation \( E^2 = (m_0 c^2)^2 + (pc)^2 \). For highly relativistic particles, kinetic energy \( E \approx pc \). Also, remember to convert units from Joules to electron volts (eV) or gigaelectron volts (BeV).

 

Question 35. कमरे के ताप (27°C) और 1 atm दाब पर He परमाणु से जुड़े प्रारूपी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए और इन परिस्थितियों में इसकी तुलना दो परमाणुओं के बीच औसत दूरी से कीजिए।
Answer: हलः कमरे का ताप \( T = 27 + 273 = 300 \) K He का परमाणु द्रव्यमान = 4g 1g mole (4g) हीलियम में परमाणुओं की संख्या \( = N_A = 6.02 \times 10^{23} \) 1 हीलियम परमाणु का द्रव्यमान \( m = \frac{4\text{ g}}{N_A} = \frac{4 \times 10^{-3}}{6.02 \times 10^{23}} = 6.64 \times 10^{-27} \) kg (Approximation for He atom mass used here, OCR has 6.67) \( E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}kT \), से, \( v = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \) डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \) [: \( p = mv = \sqrt{3mkT} \)] \( \lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 6.64 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \) \( \lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{8.23 \times 10^{-47}}} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{9.07 \times 10^{-24}} = 7.30 \times 10^{-11} \text{ m} \approx 0.73 \text{ Å} \) यहाँ गैस का दाब \( P = 1.01 \times 10^5 \) Pa तथा \( T = 300 \) K \( PV = nRT \implies PV = \frac{N}{N_A}RT \) [: \( k = \frac{R}{N_A} \)] \( PV = NkT \implies V = \frac{NkT}{P} \) 1 परमाणु का आयतन \( r_0^3 \approx \frac{V}{N} = \frac{kT}{P} \) परमाणुओं के बीच औसत दूरी \( r_0 = \left(\frac{kT}{P}\right)^{1/3} = \left(\frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{1.01 \times 10^5}\right)^{1/3} \) \( r_0 = (4.099 \times 10^{-26})^{1/3} \approx 3.44 \times 10^{-9} \text{ m} = 34.4 \text{ Å} \) इससे स्पष्ट है कि परमाणुओं के बीच की दूरी, डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य से लगभग 50 गुनी बड़ी है।In simple words: We calculate the de Broglie wavelength for a He atom at room temperature and standard pressure using the formula derived from kinetic theory. Then, we estimate the average inter-atomic distance under these conditions using the ideal gas law. By comparing the de Broglie wavelength (\(\approx 0.73 \text{ Å}\)) with the average inter-atomic distance (\(\approx 34.4 \text{ Å}\)), we find that the average inter-atomic distance is much larger, meaning the wave packets of gaseous atoms do not significantly overlap.

🎯 Exam Tip: This question combines concepts from kinetic theory of gases (thermal energy, average distance) and quantum mechanics (de Broglie wavelength). Remember \( E = 3/2 kT \) for average kinetic energy and how to estimate inter-atomic distance from pressure, temperature, and Boltzmann constant. Proper unit conversions are vital.

 

Question 36. किसी धातु में (27°C) पर एक इलेक्ट्रॉन का प्रारूपी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए और इसकी तुलना धातु में दो इलेक्ट्रॉनों के बीच औसत पृथक्य से कीजिए जो लगभग 2 x 10-10 m दिया गया है। (नोट-प्रश्न 35 और 36 प्रदर्शित करते हैं कि जहाँ सामान्य परिस्थितियों में गैसीय अणुओं से जुड़े तरंग पैकेट अ-अतिव्यापी हैं; किसी धातु में इलेक्ट्रॉन तरंग पैकेट प्रबल रूप से एक-दूसरे से अतिव्यापी हैं। यह सुझाता है कि जहाँ किसी सामान्य गैस में अणुओं की अलग पहचान हो सकती है, किसी धातु में । इलेक्ट्रॉन की एक-दूसरे से अलग पहचान नहीं हो सकती। इस अप्रभेद्यता के कई मूल निहितार्थताएँ हैं। जिन्हें आप भौतिकी के अधिक उच्च पाठयक्रमों में जानेंगे]
Answer: हलः \( E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}kT \) \( \implies v = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य \( \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3mkT}} \) [m = \( 9.1 \times 10^{-31} \) kg, k = \( 1.38 \times 10^{-23} \) J/mole K] \( \lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}} \) \( \lambda = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{\sqrt{1.13 \times 10^{-50}}} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{1.063 \times 10^{-25}} = 6.22 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.22 \text{ Å} \) जबकि दो इलेक्ट्रॉनों के बीच की दूरी \( r_0 = 2 \times 10^{-10} \) m \( \frac{\lambda}{r_0} = \frac{6.22}{2} = 3.11 \) अर्थात् डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य, इलेक्ट्रॉनों के बीच की दूरी की 3.11 गुनी है।In simple words: We calculate the de Broglie wavelength of an electron at room temperature (27°C). We then compare this wavelength with the average separation between electrons in a metal. Since the electron's de Broglie wavelength is significantly larger than the inter-electron spacing, it implies that electron wave packets strongly overlap in a metal. This strong overlap means individual electrons cannot be distinguished, leading to the concept of indistinguishable particles in quantum mechanics.

🎯 Exam Tip: This problem emphasizes the quantum mechanical behavior of electrons in metals. Understand that when de Broglie wavelength is greater than particle separation, wave packets overlap, leading to indistinguishability. This is a crucial concept in condensed matter physics. Ensure accurate calculations for thermal de Broglie wavelength.

 

Question 37. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए (a) ऐसा विचार किया गया है कि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के भीतर क्वार्क पर आंशिक आवेश होते यह मिलिकन तेल-बूंद प्रयोग में क्यों नहीं प्रकट होते? (b) संयोग की क्या विशिष्टता है? हम e तथाm के विषय में अलग-अलग विचार क्यों नहीं करते? (c) गैसें सामान्य दाब पर कुचालक होती हैं, परन्तु बहुत कम दाब पर चालन प्रारम्भ कर देती हैं। क्यों? (d) प्रत्येक धातु का एक निश्चित कार्य-फलन होता है। यदि आपतित विकिरण एकवर्णी हो तो सभी प्रकाशिक इलेक्ट्रॉन समान ऊर्जा के साथ बाहर क्यों नहीं आते हैं? प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों का एक ऊर्जा वितरण क्यों होता है? (e) एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा तथा इसका संवेग इससे जुड़े पदार्थ-तरंग की आवृत्ति तथा इसके तरंगदैर्ध्य के साथ निम्न प्रकार सम्बन्धित होते हैं परन्तु \( \lambda \) का मान जहाँ भौतिक महत्त्व का है, के मान (और इसलिए कला चाल 22 को मान) का कोई भौतिक महत्त्व नहीं है। क्यों?
Answer: उत्तर: (a) भिन्नात्मक आवेश वाले क्वार्क न्यूट्रॉन तथा प्रोटॉन के भीतर इस प्रकार सीमित रहते हैं कि प्रोटॉन में उपस्थित क्वार्को के आवेशों का योग \( +e \) तथा न्यूट्रॉन में उपस्थित क्वार्को के आवेशों का योग । शून्य बना रहता है तथा ये क्वार्क पारस्परिक आकर्षण बलों द्वारा बँधे रहते हैं। जब इन्हें अलग करने का प्रयास किया जाता है तो बल और अधिक शक्तिशाली हो जाते हैं और इसी कारण वे एक साथ बने रहते हैं। इसीलिए प्रकृति में भिन्नात्मक आवेश मुक्त अवस्था में नहीं पाए जाते अपितु वे सदैव इलेक्ट्रॉनिक आवेश के पूर्ण गुणज के रूप में ही पाए जाते हैं। (b) इलेक्ट्रॉन की गति समीकरणों \( eV= mv, eE = ma \) तथा \( evB = mv^2/r \) द्वारा निर्धारित होती है। इनमें से प्रत्येक में \( e \) तथा \( m \) दोनों एक साथ आए हैं। इससे स्पष्ट है कि इलेक्ट्रॉन की गति के लिए \( e \) अथवा \( m \) पर अकेले-अकेले विचार करने के स्थान पर पर विचार किया जाता है। (c) सामान्य दाब पर गैसों में विसर्जन के कारण उत्पन्न आयन कुछ ही दूरी तय करने तक गैस के अन्य अणुओं से टकराकर उदासीन हो जाते हैं और इस कारण सामान्य दाब पर गैसों में विद्युत चालन नहीं हो पाता। इसके विपरीत अत्यन्त निम्न दाब पर गैस में अणुओं की संख्या बहुत कम रह जाती है। इस कारण उत्पन्न आयन अन्य अणुओं से टकराने से पूर्व ही विपरीत इलेक्ट्रॉड तक पहुँच जाते हैं। (d) कार्य फलन से, धातु में उच्चतम ऊर्जा स्तर अथवा चालन बैण्ड में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा का ज्ञान होता है। परन्तु प्रकाश विद्युत उत्सर्जन में । इलेक्ट्रॉन अलग-अलग ऊर्जा स्तरों से निकल कर आते हैं। अतः उत्सर्जन के बाद उनके पास, भिन्न-भिन्न ऊर्जाएँ होती हैं। (e) किसी द्रव्य कण की ऊर्जा का निरपेक्ष मान (न कि संवेग) एक निरपेक्ष स्थिरांक के अधीन स्वेच्छ होता है। यही कारण है कि द्रव्य तरंगों से सम्बद्ध तरंगदैर्ध्य \( \lambda \) का ही भौतिक महत्त्व होता है न कि आवृत्ति \( \nu \) का । इसी कारण कला वेग \( v\lambda \) का भी कोई भौतिक महत्त्व नहीं होता।In simple words:
(a) Quarks, with fractional charges, are confined within protons and neutrons by strong forces, preventing them from being observed individually in Millikan's experiment.
(b) The charge-to-mass ratio (\( e/m \)) is fundamental in electron dynamics because 'e' and 'm' always appear together in equations of motion, making it natural to consider them combined.
(c) Gases are insulators at normal pressure because ionized particles quickly recombine due to frequent collisions, but become conductors at low pressure where collision frequency decreases, allowing ions to reach electrodes.
(d) Photoelectrons from monochromatic light have a range of kinetic energies because electrons can be emitted from different energy levels within the metal or lose energy through collisions before exiting. (e) For matter waves, wavelength (\( \lambda \)) is physically significant because it directly relates to momentum and allows for observation of wave phenomena like diffraction, unlike frequency (\( \nu \)) or phase velocity (\( v\lambda \)) which depend on arbitrary constants and don't directly describe observable particle behavior.

🎯 Exam Tip: This question tests a broad understanding of quantum mechanics and electromagnetism. For part (a), focus on quark confinement. For (b), highlight the \( e/m \) ratio in electron equations. For (c), explain the role of collision frequency in gas conduction. For (d), remember that electrons are emitted from various energy states and can lose kinetic energy. For (e), differentiate between the physical significance of wavelength versus frequency for matter waves, connecting wavelength to observable diffraction patterns.

परीक्षोपयोगी प्रश्नोत्तर

बहुविकल्पीय प्रश्न

 

Question 1. किसी धातु का कार्य फलन है। इसके पृष्ठ पर \( \lambda \) तरंगदैर्ध्य का प्रकाश आपतित होता है। धातु में से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन के लिए शर्त है
Answer: (iii) \( \lambda = \lambda_0 \)In simple words: For photoelectric emission to occur from a metal surface, the wavelength of the incident light (\( \lambda \)) must be less than or equal to the threshold wavelength (\( \lambda_0 \)) of the metal. If \( \lambda = \lambda_0 \), electrons will be emitted with zero kinetic energy.

🎯 Exam Tip: Remember the condition for photoelectric emission: incident photon energy must be greater than or equal to the work function, or incident wavelength must be less than or equal to the threshold wavelength. \( E \geq \Phi \) or \( \lambda \leq \lambda_0 \).

 

Question 2. किसी धात्विक पृष्ठ से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन तभी सम्भव है, जब आपतित प्रकाश की आवृत्ति (i) देहली आवृत्तिं की आधी हो । (ii) देहली आवृत्ति की एक तिहाई हो (iii) देहली आवृत्ति से कुछ कम हो (iv) देहली आवृत्ति से अधिक हो ।
Answer: (iv) देहली आवृत्ति से अधिक हो ।In simple words: Photoelectric emission from a metallic surface is only possible if the frequency of the incident light is greater than the threshold frequency of the metal. Below this threshold frequency, no electrons will be emitted, regardless of the light's intensity.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental concept of the photoelectric effect. The frequency of incident light determines the energy of each photon, which must exceed the work function for electron emission. Threshold frequency (\( \nu_0 \)) is the minimum frequency required.

 

Question 3. प्रकाश वैद्युत प्रयोग में निरोधी विभव Vs तथा आपतित प्रकाश की आवृत्ति के बीच ग्राफ खींचने पर एक सरल रेखा प्राप्त होती है जो अक्ष से \( \theta \) कोण बनाती है। यदि पृष्ठ का कार्य फलन \( \Phi \) हो, तो \( \tan\theta \) का मान होगा
Answer: (i) In simple words: According to Einstein's photoelectric equation, the stopping potential (Vs) is linearly related to the frequency (\( \nu \)) of the incident light. When Vs is plotted against \( \nu \), a straight line is obtained whose slope is \( h/e \), where 'h' is Planck's constant and 'e' is the elementary charge. Thus, \( \tan\theta \) represents this slope.

🎯 Exam Tip: The slope of the \( V_s \) vs. \( \nu \) graph in the photoelectric effect is always \( h/e \). This is a direct consequence of Einstein's photoelectric equation \( eV_s = h\nu - \Phi \), which can be written as \( V_s = (h/e)\nu - (\Phi/e) \).

 

Question 4. समान गतिज ऊर्जा वाले विभिन्न कणों की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य (A), कण के द्रव्यमान पर (m) निर्भर करती है (i) \( \lambda \alpha m \) (ii) \( \lambda \alpha m^{1/2} \) (iii) \( \lambda \alpha m^{-1} \) (iv) \( \lambda \alpha m^{-1/2} \)
Answer: (iv) \( \lambda \alpha m^{-1/2} \)In simple words: The de Broglie wavelength (\( \lambda \)) of a particle is inversely proportional to its momentum. For particles with the same kinetic energy (K), momentum \( p = \sqrt{2mK} \). Therefore, \( \lambda = h/p = h/\sqrt{2mK} \), which shows that \( \lambda \) is inversely proportional to the square root of the mass, or \( \lambda \alpha m^{-1/2} \).

🎯 Exam Tip: Remember the de Broglie wavelength formula \( \lambda = h/p \) and the relationship between momentum and kinetic energy \( p = \sqrt{2mK} \). Combining these gives \( \lambda = h/\sqrt{2mK} \), which clearly shows the inverse square root dependence on mass when kinetic energy is constant.

 

Question 5. किसी गतिमान कण से सम्बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंग की तरंगदैर्ध्य निर्भर नहीं करती है (i) द्रव्यमान पर (ii) आवेश पर (iii) वेग पर (iv) संवेग पर
Answer: (ii) आवेश परIn simple words: The de Broglie wavelength of a moving particle is given by the formula \( \lambda = h/p \), where 'h' is Planck's constant and 'p' is the momentum (mass times velocity). This formula directly involves mass and velocity (which make up momentum), but it does not include the charge of the particle. Therefore, the de Broglie wavelength does not depend on the charge of the particle.

🎯 Exam Tip: The de Broglie wavelength (\( \lambda = h/p \)) is a fundamental property of matter waves and depends solely on a particle's momentum (mass and velocity), not its charge. This distinguishes it from electromagnetic waves.

 

Question 6. यदि किसी कण का संवेग दुगुना कर दिया जाए, तो इसकी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य होगी (i) अपरिवर्तित (i) चारगुनी (iii) दुगुनी (iv) आधी
Answer: (iv) आधीIn simple words: The de Broglie wavelength (\( \lambda \)) of a particle is inversely proportional to its momentum (p), given by \( \lambda = h/p \). If the momentum is doubled, the de Broglie wavelength will become half of its original value.

🎯 Exam Tip: Directly apply the de Broglie relation \( \lambda = h/p \). The inverse proportionality means if 'p' increases by a factor, 'λ' decreases by the same factor.

 

Question 7. फोटॉन. का विराम द्रव्यमान होता है (i) E/c2 (ii) h/cλ (iii) h/λ (iv) शून्य
Answer: (iv) शून्यIn simple words: Photons are particles of light that always travel at the speed of light in a vacuum. According to the theory of relativity, any particle that moves at the speed of light must have zero rest mass. If it had any rest mass, its mass would become infinite at the speed of light, which is not possible.

🎯 Exam Tip: A photon's rest mass is always zero. It only possesses relativistic mass when in motion. Remember this fundamental property of photons from quantum theory and relativity.

 

Question 8. फोटॉन के गतिक द्रव्यमान का सूत्र है
Answer: \( m = \frac{E}{c^2} = \frac{h\nu}{c^2} = \frac{h}{\lambda c} \)In simple words: The dynamic (or relativistic) mass of a photon is derived from its energy (E) using Einstein's mass-energy equivalence relation \( E = mc^2 \). Since a photon's energy can also be expressed as \( h\nu \) or \( hc/\lambda \), its dynamic mass can be given by \( h\nu/c^2 \) or \( h/(\lambda c) \).

🎯 Exam Tip: Remember \( E=mc^2 \) and photon energy \( E=h\nu=hc/\lambda \). Combining these gives the dynamic mass of a photon. Do not confuse this with rest mass, which is zero.

 

Question 9. फोटॉन के गतिज द्रव्यमान का सूत्र है जहाँ, h प्लांक नियतांक, \( \nu \) फोटॉन की आवृत्ति तथा c उसकी चाल है
Answer: \( m = \frac{h\nu}{c^2} \)In simple words: The kinetic mass (or dynamic mass) of a photon is derived by combining Einstein's mass-energy equivalence formula (\( E = mc^2 \)) with the photon energy formula (\( E = h\nu \)). Since a photon is always in motion and has no rest mass, its total energy is its kinetic energy, and its effective mass is its kinetic mass.

🎯 Exam Tip: For a photon, kinetic mass is synonymous with dynamic mass or relativistic mass. The formula \( m = h\nu/c^2 \) is a direct application of energy-mass equivalence to photon energy.

 

Question 10. एक फोटॉन की तरंगदैर्ध्य \( \lambda \) है। इसका संवेग होगा : (i) 0.1 h (ii) 10h (iii) \( 10^{10} \)h (iv) \( 10^{11} \)h
Answer: (iii) \( 10^{10} \)hIn simple words: The momentum (p) of a photon is related to its wavelength (\( \lambda \)) by the de Broglie relation \( p = h/\lambda \). If \( \lambda \) is given as \( 10^{-10} \) m (implied by option form, usually \( \lambda \) is just a variable), then the momentum would be \( h/10^{-10} \), or \( 10^{10}h \).

🎯 Exam Tip: Remember the fundamental relation \( p = h/\lambda \) for photon momentum. The numerical value depends on the actual value of \( \lambda \). The question implies \( \lambda \) is \( 10^{-10} \) m.

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. प्रकाश-वैद्युत कार्य-फलन से क्या तात्पर्य है? या कार्य-फलन की परिभाषा लिखिए । या कार्य-फलन से आप क्या समझते हैं?
Answer: “वह न्यूनतम प्रकाश ऊर्जा जो किसी धातु पृष्ठ से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करने के लिए आवश्यक होती है, उस धातु का प्रकाश वैद्युत कार्य-फलम (work function) कहलाता है। सामान्यतः इसको W से व्यक्त करते हैं। \( W = h\nu_0 \) अथवा \( w = hc/\lambda_0 \)In simple words: The photoelectric work function is the minimum amount of energy required for an electron to escape from the surface of a specific metal. It's unique for each metal and represents the binding energy of the electron to the metal.

🎯 Exam Tip: Define work function accurately. Mention its relation to threshold frequency (\( \nu_0 \)) and threshold wavelength (\( \lambda_0 \)). It is a characteristic property of the material.

 

Question 2. सीजियम का कार्यफलन 2eV है। इस कथन की व्याख्या कीजिए।
Answer: सीजियम धातु के पृष्ठ से प्रकाश इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करने के लिए इस पर आपतित प्रकाश फोटॉन की न्यूनतम ऊर्जा 2 eV होनी चाहिए ।In simple words: A work function of 2 eV for Cesium means that each electron at the Cesium surface needs at least 2 electron volts of energy from an incoming photon to be able to break free and be emitted from the metal. If the photon energy is less than 2 eV, no photoelectric emission will occur.

🎯 Exam Tip: Clearly state that the work function represents the minimum photon energy required for electron emission. Emphasize that it's per electron and specific to the metal.

 

Question 3. प्रकाश-वैद्युत प्रभाव में देहली आवृत्ति से क्या तात्पर्य है? इसकी क्या महत्ता है? या देहली आवृत्ति से आप क्या समझते हैं? या प्रकाश वैद्युत उत्सर्जन में देहली आवृत्ति से आप क्या समझते हैं?
Answer: देहली आवृत्ति आपतित प्रकाश की वह न्यूनतम आवृत्ति है जो किसी धातु से प्रकाश-इलेक्ट्रॉन का। उत्सर्जन कर सके। इसे \( \nu_0 \) से प्रदर्शित करते हैं। इससे कम आवृत्ति के प्रकाश से धातु से कोई प्रकाश-इलेक्ट्रॉन नहीं निकलता है। यही इसकी महत्ता है।।In simple words: Threshold frequency is the minimum frequency of incident light required to cause photoelectric emission from a metal surface. Its importance lies in the fact that no electrons are emitted below this frequency, regardless of the light's intensity, proving the quantum nature of light.

🎯 Exam Tip: Define threshold frequency (\( \nu_0 \)) as the minimum frequency. Highlight its significance: no emission below \( \nu_0 \), independent of intensity. Relate it to the work function \( \Phi = h\nu_0 \).

 

Question 4. प्रकाश-वैद्युत प्रभाव में देहली तरंगदैर्ध्य से आप क्या समझते हैं?
Answer: देहली तरंगदैर्ध्य-किसी धातु पर आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का वह अधिकतम मान जिससे तरंगदैर्ध्य का प्रकाश धातु-पृष्ठ से प्रकाश इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित कर सके, देहली तरंगदैर्ध्य कहलाता है। इसको \( \lambda_0 \) से प्रदर्शित करते हैं। यह देहली आवृत्ति के संगत तरंगदैर्ध्य होती है, अर्थात् \( \lambda_0 = c/\nu_0 \), जहाँ \( c = \) प्रकाश की चाल (निर्वात् में)।In simple words: Threshold wavelength is the maximum wavelength of light that can cause electrons to be emitted from a metal surface. If the incident light's wavelength is longer than this threshold, photoemission will not occur, no matter how intense the light is.

🎯 Exam Tip: Define threshold wavelength (\( \lambda_0 \)) as the maximum wavelength. Explain its relation to threshold frequency (\( \nu_0 \)) and the speed of light (\( c \)): \( \lambda_0 = c/\nu_0 \). Emphasize that for emission, \( \lambda \leq \lambda_0 \).

 

Question 5. सीजियम धातु के पृष्ठ का कार्यफलन 1.8eV हो तो देहली तरंगदैर्ध्य क्या होगी?

Answer:हलः दिया है, `W = 1.8 eV = 1.8 × 1.6 × 10^{-19} = 2.88 × 10^{-19}` जूल
\( \lambda_0 = \frac{hc}{W} \)
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2.88 \times 10^{-19}} \)
\( = 6.875 \times 10^{-7} \) मीटर
\( = 6875 \mathring{A} \)
In simple words: Threshold wavelength is calculated using the work function (W) and the fundamental constants Planck's constant (h) and the speed of light (c). The work function is first converted to Joules, and then the formula \( \lambda_0 = \frac{hc}{W} \) is applied to find the threshold wavelength.

🎯 Exam Tip: Remember to convert all energy values to a consistent unit (Joules or eV) before performing calculations. Threshold wavelength is inversely proportional to the work function.

 

Question 6. एक धातु का कार्य-फलन 2.5eV है, 2eV ऊर्जा के दो फोटॉन धातु पृष्ठ पर आपतित होते हैं। कारण सहित स्पष्ट कीजिए कि फोटो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हींगे या नहीं।

Answer:हलः धातु का कार्य-फलन `W = 2.5 eV` है तथा इस पर आपतित दोनों फोटॉनों में प्रत्येक की ऊर्जा `hv = 2 eV`; चूँकि `hv < W`, अतः फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होगा क्योंकि फोटो-इलेक्ट्रॉन का उत्सर्जन फोटॉन की ऊर्जा पर निर्भर करता है, धातु पर आपतित सभी फोटॉनों की कुल ऊर्जा पर नहीं।
In simple words: Photoelectric emission occurs only if the incident photon's energy is greater than the work function of the metal. Since the individual photon energy (2eV) is less than the work function (2.5eV), no electrons will be emitted, regardless of the number of photons.

🎯 Exam Tip: The photoelectric effect is a quantum phenomenon, meaning it depends on the energy of individual photons, not the total incident light intensity. Energy of a single photon must exceed the work function.

 

Question 7. किसी पृष्ठ का कार्य-फलन 2.5 इलेक्ट्रॉन वोल्ट है। उसके लिए देहली आवृत्ति ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, कार्य-फलन `W = 2.5 eV = 2.5 × 1.6 × 10^{-19} = 4.0 × 10^{-19}` जूल प्लांक नियतांक `h = 6.6 × 10^{-34}` जूल-सेकण्ड देहली आवृत्ति `\nu_0 = \frac{W}{h}`
\( = \frac{4.0 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} \)
\( = 0.606 \times 10^{15} \) सेकण्ड`^{-1}`
In simple words: The threshold frequency is the minimum frequency of light required to cause photoelectric emission, calculated by dividing the metal's work function (converted to Joules) by Planck's constant.

🎯 Exam Tip: Ensure that the work function is in Joules when using Planck's constant in Joules-second. The formula \( \nu_0 = \frac{W}{h} \) directly relates the work function to the threshold frequency.

 

Question 8. किसी धातु जिसका कार्य-फलन 3.2eV है, पर 4.0 eV ऊर्जा वाला एक फोटॉन आपतित होता है। उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा कितनी होगी?

Answer:हलः उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा `E_k = hv - W`
`= 4.0 eV - 3.2 eV`
`= 0.8 eV`
`= 0.8 × 1.6 × 10^{-19}` जूल
`= 1.28 × 10^{-19}` जूल
In simple words: The kinetic energy of an emitted photoelectron is the difference between the incident photon's energy and the metal's work function. Both values are given in electron volts, making the calculation straightforward.

🎯 Exam Tip: This problem directly applies Einstein's photoelectric equation. Make sure to subtract the work function from the incident photon energy to find the kinetic energy of the emitted electron. Units should be consistent.

 

Question 9. किसी धातु के लिए कार्य फलन 3.3 इलेक्ट्रॉन वोल्ट है। धातु के लिए देहली आवृत्ति की गणना कीजिए।

Answer:हलः दिया है, `W = 3.3` इलेक्ट्रॉन वोल्ट
`= 3.3 × 1.6 × 10^{-19}` जूल
`= 5.28 × 10^{-19}` जूल देहली आवृत्ति `\nu_0 = \frac{W}{h}`
\( = \frac{5.28 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} \)
\( = 8.0 \times 10^{14} \) हर्ट्ज
In simple words: To find the threshold frequency, convert the work function from electron volts to Joules and then divide by Planck's constant, which gives the minimum frequency required for electron emission.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to unit conversions, especially between electron-volts and Joules, as errors in this step are common. Threshold frequency is a key parameter in understanding the photoelectric effect.

 

Question 10. प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के प्रयोग में आपतित प्रकाश की आवृत्ति दोगुनी करने पर उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा कितनी बढ़ जायेगी ?

Answer:उत्तर: आइन्स्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण के अनुसार, `E_k = hv - W`. यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति `\nu` को दोगुना किया जाता है (`2\nu`), तो नई गतिज ऊर्जा `E'_k = h(2\nu) - W = 2hv - W`. यदि `hv` से `W` अधिक है, तो गतिज ऊर्जा दोगुने से कम बढ़ेगी। यदि `W` का मान `hv` से बहुत कम है, तो लगभग दोगुनी हो जायेगी।
In simple words: According to the photoelectric effect, if the frequency of incident light is doubled, the kinetic energy of the emitted photoelectrons will increase, but it won't necessarily double directly because of the work function subtraction. The increase is directly proportional to the change in frequency times Planck's constant.

🎯 Exam Tip: Understand that the kinetic energy of photoelectrons is linearly dependent on the frequency of incident light (above threshold) and not directly proportional to it due to the work function (W). The slope of the `E_k` vs `\nu` graph is Planck's constant `h`.

 

Question 11. प्रकाश वैद्युत प्रभाव में आपतित प्रकाश की आवृत्ति और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच ग्राफ खीचिए ।

Answer:हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ आइंस्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण को दर्शाता है, जिसमें Y-अक्ष पर प्रकाश इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा (E_k) और X-अक्ष पर आपतित प्रकाश की आवृत्ति (v) है। यह एक सीधी रेखा है जिसका ढलान 'A' (प्लांक नियतांक h) है, और यह X-अक्ष को देहली आवृत्ति (v₀) पर काटती है, जिसके नीचे कोई इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन नहीं होता।
In simple words: The graph shows a linear relationship between the maximum kinetic energy of emitted electrons and the frequency of incident light, starting from a threshold frequency (v₀) where kinetic energy is zero.

🎯 Exam Tip: This graph is crucial for understanding the photoelectric effect. Labeling axes correctly (Kinetic Energy vs. Frequency) and showing the threshold frequency (v₀) and the linear slope (Planck's constant) are key for full marks.

 

Question 12. फोटॉन की ऊर्जा तथा संवेग में सम्बन्ध लिखिए।

Answer:उत्तरः संवेग `p = \frac{E}{c}` (जहाँ `E =` ऊर्जा, `c =` प्रकाश का वेग)।
In simple words: The momentum of a photon is directly related to its energy divided by the speed of light. This relationship highlights the particle-like nature of light.

🎯 Exam Tip: This fundamental relationship \( p = \frac{E}{c} \) is derived from both quantum theory and relativity. It's often used in problems involving photon momentum and energy.

 

Question 13. 4000 तरंगदैर्ध्य वाले एकवर्षीय प्रकाश के फोटॉन की ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, `\lambda = 4000 \mathring{A} = 4000 × 10^{-10}` मीटर फोटॉन की ऊर्जा `E = \frac{hc}{\lambda}`
\( = \frac{(6.6 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{4000 \times 10^{-10}} \) जूल
\( = 4.95 \times 10^{-19} \) जूल
In simple words: To calculate the energy of a photon, multiply Planck's constant by the speed of light and then divide by the given wavelength, ensuring all units are consistent.

🎯 Exam Tip: Always convert wavelength to meters (if given in Angstroms or nanometers) before using the formula \( E = \frac{hc}{\lambda} \). Keep values of `h` and `c` handy and remember their units.

 

Question 14. एक फोटॉन की ऊर्जा 30eV है। इसका संवेग ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, ऊर्जा `E = 30 eV = 30 × 1.6 × 10^{-19}` जूल
`= 4.8 × 10^{-18}` जूल संवेग `p = \frac{E}{c}` से,
\( = \frac{4.8 \times 10^{-18}}{3 \times 10^8} \)
\( = 1.6 \times 10^{-26} \) न्यूटन-सेकण्ड
In simple words: The momentum of a photon is found by dividing its energy (converted to Joules) by the speed of light.

🎯 Exam Tip: Before calculating momentum, always convert the photon energy from electron-volts to Joules to ensure consistency with SI units (Joules and m/s) for the speed of light.

 

Question 15. डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र लिखिए।

Answer:हलः डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{mv}` जहाँ, `\lambda` तरंगदैर्घ्य, `h` प्लांक नियतांक, `m` कण का द्रव्यमान तथा `v` कण का वेग है।
In simple words: De Broglie wavelength is calculated by dividing Planck's constant by the momentum (mass times velocity) of a particle, showing the wave-particle duality.

🎯 Exam Tip: This formula \( \lambda = \frac{h}{mv} \) is fundamental for understanding wave-particle duality. Remember that `h` is Planck's constant and `mv` is the momentum of the particle.

 

Question 16. एक इलेक्ट्रॉन 0.5 x 10³ मी/से की चाल से गतिमान है। इससे सम्बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, `v = 0.5 × 10³` मी/से, इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान `m = 9.1 × 10^{-31}` किग्रा प्लांक नियतांक `h = 6.6 × 10^{-34}` जूल-सेकण्ड डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{mv}` से,
\( \lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.5 \times 10^3} \)
\( = 1.45 \times 10^{-6} \) मी
\( = 14500 \mathring{A} \)
In simple words: The de Broglie wavelength of a moving electron is found by dividing Planck's constant by its momentum, which is the product of its mass and velocity.

🎯 Exam Tip: Ensure that the mass of the electron is correctly used in kg, and the velocity in m/s, to get the wavelength in meters. This is a direct application of the de Broglie wavelength formula.

 

Question 17. एक गतिमान कण का डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य 2.0 है। कण का संवेग क्या है?

Answer:हलः दिया है, डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = 2.0 \mathring{A} = 2.0 × 10^{-10}` मीटर प्लांक नियतांक `h = 6.6 × 10^{-34}` जूल-सेकण्ड डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{p}` से, कण का संवेग `p = \frac{h}{\lambda}`
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2.0 \times 10^{-10}} \)
\( = 3.3 \times 10^{-24} \) किग्रा-मी/से
In simple words: The momentum of a particle can be calculated by dividing Planck's constant by its de Broglie wavelength (converted to meters).

🎯 Exam Tip: Rearrange the de Broglie wavelength formula to solve for momentum: \( p = \frac{h}{\lambda} \). Always convert the wavelength to meters before computation.

 

Question 18. किसी आवेशित कण का द्रव्यमान m तथा इस पर q आवेश है। यदि कण V विभवान्तर सेत्वरित किया जाए, तो इससे सम्बन्धित डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र लिखिए।

Answer:उत्तर: डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}` जहाँ, `h = 6.63 \times 10^{-34}` जूल-सेकण्ड
In simple words: When an charged particle with mass 'm' and charge 'q' is accelerated through a potential difference 'V', its de Broglie wavelength can be calculated using Planck's constant and the kinetic energy gained from the potential difference.

🎯 Exam Tip: This formula relates the de Broglie wavelength to the accelerating potential. Remember that `qV` represents the kinetic energy gained by the charged particle, which can be equated to \( \frac{p^2}{2m} \).

 

Question 19. m द्रव्यमान के कण के साथ जुड़ी डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda` का सम्बन्ध इसके गतिज ऊर्जा K के पदों में लिखिए।

Answer:उत्तरः जहाँ `\lambda =` तरंगदैर्घ्य, `m =` कण का द्रव्यमान तथा `K =` गतिज ऊर्जा `\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}`
In simple words: The de Broglie wavelength for a particle with mass 'm' and kinetic energy 'K' is given by Planck's constant divided by the square root of twice the product of its mass and kinetic energy.

🎯 Exam Tip: This formula is derived by substituting \( p = \sqrt{2mK} \) into the basic de Broglie equation \( \lambda = \frac{h}{p} \). It's crucial for problems where kinetic energy is given instead of velocity.

 

Question 20. प्रोटॉन तथा `\alpha`-कण की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य समान हों तो उनकी चालों में अनुपात क्या होगा? (`m_\alpha = 4m_p`)

Answer:हलः डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{mv}` प्रोटॉन के लिए: `\lambda_p = \frac{h}{m_p v_p}` ...(1) `\alpha`-कण के लिए: `\lambda_\alpha = \frac{h}{m_\alpha v_\alpha}` ...(2) दिया है, `m_\alpha = 4m_p` तरंगदैर्ध्य समान हैं, अर्थात् `\lambda_p = \lambda_\alpha`
\( \frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_\alpha v_\alpha} \)
\( m_p v_p = m_\alpha v_\alpha \)
\( \frac{v_p}{v_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p} = \frac{4m_p}{m_p} = \frac{4}{1} \)
\( v_p : v_\alpha = 4:1 \)
In simple words: If the de Broglie wavelengths of a proton and an alpha particle are equal, their velocities are inversely proportional to their masses. Since an alpha particle is four times heavier than a proton, the proton's speed will be four times that of the alpha particle.

🎯 Exam Tip: When de Broglie wavelengths are equal, the momenta are also equal. This implies an inverse relationship between mass and velocity. Remember to correctly relate the masses (`m_\alpha = 4m_p`).

 

लघु उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के नियम लिखिए। या प्रकाश-वैद्युत उत्सर्जन के नियम लिखिए।

Answer:उत्तरः प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के नियमः वैज्ञानिक लेनार्ड तथा मिलीकन ने प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के सम्बन्ध में किये गये प्रयोगों से प्राप्त प्रेक्षणों के आधार पर कुछ नियम दिये जो प्रकाश-वैद्युत प्रभाव (ऊष्मा उत्सर्जन) के नियम कहलाते हैं। प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के नियम निम्नलिखित हैं
(i) किसी धातु की सतह से प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन की दर धातु की सतह पर गिरने वाले प्रकाश की तीव्रता के अनुक्रमानुपाती होती है।
(ii) उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करती।
(iii) प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा प्रकाश की आवृत्ति के बढ़ने पर बढ़ती है।
(iv) यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति एक न्यूनतम मान से कम है तो धातु से कोई भी प्रकाश-इलेक्ट्रॉन नहीं निकलता। यह न्यूनतम आवृत्ति (देहली आवृत्ति) भिन्न-भिन्न धातुओं के लिए भिन्न-भिन्न होती है।
(v) प्रकाश के धातु की सतह पर गिरते ही इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होने लगते हैं, अर्थात् प्रकाश के सतह पर गिरने तथा इलेक्ट्रॉन के सतह से बाहर निकलने के बीच कोई समय-पश्चता (time-lag) नहीं होती, चाहे प्रकाश की तीव्रता कितनी भी क्यों न हो।
In simple words: The laws of photoelectric effect describe how electron emission depends on light intensity, frequency, and kinetic energy, highlighting the existence of a threshold frequency and instantaneous emission.

🎯 Exam Tip: Understand and memorize these five laws, as they are frequently asked. Emphasize the role of threshold frequency and the independence of maximum kinetic energy from intensity, but its dependence on frequency.

 

Question 2. प्रकाश:वैद्युत धारा पर क्या प्रभाव पड़ता है, यदि (i) आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ा दी जाए? (ii) आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य घटा दी जाए?

Answer:उत्तरः (i) यदि आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ा दी जाए तब धातु पर प्रति सेकण्ड अधिक फोटॉन गिरेंगे जिससे कि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ेगी अर्थात् प्रकाश वैद्युत धारा बढ़ेगी। (ii) आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य घटाने पर भी प्रकाश वैद्युत धारा को मान बढ़ जायेगा।
In simple words: Increasing light intensity leads to more photons hitting the surface, causing more electron emissions and thus a higher photocurrent. Decreasing the wavelength means higher photon energy, which can also lead to more efficient electron emission and higher photocurrent if the energy is above the work function.

🎯 Exam Tip: Photons cause electron emission. Higher intensity means more photons per second, increasing current. Shorter wavelength means higher energy per photon, potentially increasing current if the energy crosses the threshold.

 

Question 3. आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण लिखिए तथा इसकी व्याख्या कीजिए।

Answer:उत्तरः आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण `\frac{1}{2}mv^2_{max} = h(\nu - \nu_0)` ........(1) जहाँ `m =` इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, `v_{max} =` उत्सर्जित फोटो इलेक्ट्रॉनों का अधिकतम वेग, `h =` प्लांक नियतांक, `\nu =` धातु पर आपतित फोटॉन की आवृत्ति, `\nu_0 =` देहली आवृत्ति । व्याख्या: आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण के आधार पर प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के नियमों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है
(i) जब किसी धातु-पृष्ठ पर आपतित निश्चित आवृत्ति के प्रकाश की तीव्रता बढ़ायी जाती है तो सतह पर प्रति सेकण्ड आपतित फोटॉनों की संख्या उसी अनुपात में बढ़ जाती है परन्तु प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा `h\nu` नियत रहेगी। आपतित फोटॉन की संख्या बढ़ने से उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ जाएगी, परन्तु समी॰ (1) से स्पष्ट है कि आवृत्ति के निश्चित होने तथा धातु विशेष के लिए `\nu_0` निश्चित होने से पृष्ठ से उत्सर्जित सभी प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k` एकसमान होगी। अतः प्रकाश इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन की दर तो आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करती है। परन्तु इनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा नहीं। ये ही क्रमशः प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के पहले तथा दूसरे नियम के कथन हैं।
(ii) समीकरण (1) से यह भी स्पष्ट है कि आपतित प्रकाश की आवृत्ति `\nu` बढ़ाने पर उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k` उसी अनुपात में बढ़ जाएगी। यही प्रकाश-वैद्युत प्रभाव के तीसरे नियम का कथन है।
(iii) समीकरण (1) में यदि `\nu < \nu_0` तो `E_k` का मान ऋणात्मक होगा, जो असम्भवं है। अतः इससे निष्कर्ष निकलता है कि यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति `\nu_0` से कम है तो प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन सम्भव नहीं है, चाहे प्रकाश की तीव्रता कितनी भी अधिक क्यों न हो। यही प्रकाश-वैद्युत प्रभाव का चौथा नियम है।
(iv) जब प्रकाश किसी धातु-पृष्ठ पर गिरता है तो जैसे ही कोई एक प्रकाश फोटॉन धातु पर आपतित होता है, धातु का कोई एक इलेक्ट्रॉन तुरन्त उसे ज्यों-का-त्यों अवशोषित कर लेता है तथा धातु-पृष्ठ से उत्सर्जित हो जाता हैं। इस प्रकार धातु-पृष्ठ पर प्रकाश के आपतित होने तथा इससे प्रकाश-इलेक्ट्रॉन के उत्सर्जित होने में कोई पश्चता नहीं होती। यही प्रकाश-वैद्युत प्रभाव का पाँचवाँ नियम है।
In simple words: Einstein's photoelectric equation states that the maximum kinetic energy of emitted electrons equals the photon energy minus the metal's work function, explaining why electron emission depends on light frequency and work function, not intensity.

🎯 Exam Tip: The Einstein photoelectric equation `\frac{1}{2}mv^2_{max} = h(\nu - \nu_0)` is central to this topic. Be sure to explain each term and relate the equation to the five laws of photoelectric emission for a comprehensive answer.

 

Question 4. विकिरण सम्बन्धी प्लांक की परिकल्पना समझाइए। इसके द्वारा फोटॉन के गतिमान द्रव्यमान का व्यंजक प्राप्त कीजिए। फोटॉन संवेग क्या होगा? या फोटॉन किसे कहते हैं ? इसके गतिज द्रव्यमान एवं संवेग का सूत्र लिखिए।

Answer:उत्तरः कृष्णिका विकिरण के स्पेक्ट्रमी वितरण की व्याख्या करने के लिए सन् 1900 में जर्मनी के वैज्ञानिक मैक्स प्लांक ने एक क्रान्तिकारी विचार रखा जिसे 'प्लांक की क्वाण्टम परिकल्पना' कहते हैं। इसके अनुसार, किसी पदार्थ द्वारा ऊर्जा का उत्सर्जन अथवा अवशोषण सतत रूप से न होकर ऊर्जा के छोटे-छोटे बण्डलों अथवा पैकेटों के रूप में होता है, जिन्हें 'फोटॉन' अथवा 'क्वाण्टम' कहते हैं। प्रत्येक तरंगदैर्ध्य `\lambda` अथवा आवृत्ति (`=c/\lambda`) का अपना एक अलग फोटॉन होता है जिसकी ऊर्जा की मात्रा `h\nu` होती है; जहाँ `h` एक नियतांक है, जिसे 'प्लांक नियतांक' कहते हैं। प्लांक ने बताया कि कोई भी वस्तु ऊष्मा का उत्सर्जन अथवा अवशोषण इन फोटॉनों के पूर्ण गुणज के रूप में कर सकती है, अर्थात् कोई वस्तु `h\nu, 2h\nu, 3h\nu`,... आदि के रूप में ऊर्जा का अवशोषण अथवा उत्सर्जन करेगी। प्लांक नियतांक का मात्रक जूल-सेकण्ड है। प्लांक ने इस परिकल्पना के आधार पर ऊर्जा वितरण का सूत्र दिया जो कि ल्यूमर तथा प्रिंग्जहाइम के प्रायोगिक (`E_\lambda – \lambda`) वक्रों के पूर्णतः अनुकूल था। आइन्सटीन ने भी इस परिकल्पना की सहायता से प्रकाश-वैद्युत प्रभाव की सफल व्याख्या की।
फोटॉन का विराम द्रव्यमान तथा गतिक (गतिज) द्रव्यमानः फोटॉन का विराम द्रव्यमान शून्य होता है, परन्तु इसका गतिक द्रव्यमान शून्य नहीं होता। फोटॉन प्रकाश की चाल से गति करते हैं तथा गतिज अवस्था में फोटॉन की ऊर्जा के कारण उसमें जो द्रव्यमान होता है, वह फोटॉन का गतिक द्रव्यमान कहलाता है। आइन्सटीन के द्रव्यमान ऊर्जा समीकरण के अनुसार फोटॉन की ऊर्जा `E = mc^2` .......(1) जहाँ `m =` फोटॉन का गतिज द्रव्यमान तथा `c =` फोटॉन (प्रकाश) का वेग प्लांक के अनुसार फोटॉन की ऊर्जा `E = h\nu` .....(2) समी० (1) व समी० (2) से, `mc^2 = h\nu`
\( m = \frac{h\nu}{c^2} \) अथवा `\nu = \frac{c}{\lambda}` रखने पर, `m = \frac{h}{\lambda c}` ...(3) फोटॉन का संवेग `p =` गतिज द्रव्यमान `×` वेग `p = m \times c`
\( p = \frac{h}{\lambda c} \times c = \frac{h}{\lambda} \) ...(4)
In simple words: Planck's hypothesis states that energy is emitted or absorbed in discrete packets called photons. A photon has zero rest mass but possesses kinetic mass and momentum, calculated using its energy, wavelength, and the speed of light.

🎯 Exam Tip: This question requires you to explain Planck's quantum hypothesis and derive the expressions for photon's dynamic mass (`m = \frac{h}{\lambda c}`) and momentum (`p = \frac{h}{\lambda}`). Clearly state that a photon has zero rest mass.

 

Question 5. द्रव्य तरंगें क्या हैं? द्रव्य तरंगों की तरंगदैर्ध्य का सूत्र लिखिए।

Answer:उत्तरः द्रव्य तरंगें (Matter Waves)-सन् 1922 में डी-ब्रॉग्ली (de-Broglie) ने विचार रखा कि पदार्थ और विकिरण की पारस्परिक क्रिया समझने के लिए कणों को पृथक् रूप में न मानकर तरंग पद्धति से समन्वित माना जाये। उन्होंने बताया कि जब कोई द्रव्य-कण चलता है तो वह भी तरंग की भाँति व्यवहार करता है। इस सिद्धान्त का सत्यापन डेवीसन (Davission) और जर्मर (Germer) ने अपने प्रयोगों द्वारा किया। उन्होंने स्थापित किया कि इलेक्ट्रॉन के किरण पूँज का विवर्तन देखा जा सकता है, जो एक तरंग का गुण है। अतः द्वैती प्रकृति न केवल प्रकाश में होती है बल्कि यह द्रव्य-कणों में भी होती है। अतः “गतिमान द्रव्य-कणों (इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन आदि) से तरंग सम्बद्ध होती है। इन तरंगों को द्रव्ये तरंगें अथवा डी-बॉग्ली तरंगें (de-Broglie's Waves) कहते हैं। द्रव्य तरंगों की तरंगदैर्ध्य डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य कहलाती है।” द्रव्य तरंगों की तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}`
In simple words: Matter waves, or de Broglie waves, are the wave-like properties exhibited by moving particles. The de Broglie wavelength is calculated by dividing Planck's constant by the particle's momentum.

🎯 Exam Tip: Define matter waves and provide the de Broglie wavelength formula \( \lambda = \frac{h}{p} \) or \( \lambda = \frac{h}{mv} \). Mention the Davisson-Germer experiment as experimental proof of matter waves. This is a core concept of wave-particle duality.

 

Question 6. प्रकाश-वैद्युत प्रवाह पर एक प्रयोग में निम्न प्रेक्षण प्राप्त होते हैं (i) आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य = 1.98 x 10^{-7} मीटर (ii) संस्तब्ध विभव = 2.5 वोल्ट फोटो इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा तथा धातु का कार्य फलन ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः फोटो इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k = eV_0`
`= 1.6 × 10^{-19} × 2.5` जूल
`= 4.0 × 10^{-19}` जूल आपतित प्रकाश की ऊर्जा `E = \frac{hc}{\lambda}`
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.98 \times 10^{-7}} \) जूल
`= 10.0 × 10^{-19}` जूल धातु का कार्य-फलन `W = E - E_k`
`= 10.0 × 10^{-19} - 4.0 × 10^{-19}` जूल
`= 6.0 × 10^{-19}` जूल
In simple words: The maximum kinetic energy of photoelectrons is found from the stopping potential. The work function of the metal is then calculated by subtracting this kinetic energy from the incident photon's energy, which is determined by its wavelength.

🎯 Exam Tip: This problem combines the concepts of kinetic energy from stopping potential (`E_k = eV_0`) and photon energy (`E = \frac{hc}{\lambda}`) to find the work function (`W = E - E_k`). Ensure all values are in consistent units (Joules).

 

Question 7. सोडियम का कार्य-फलन 2.0 eV है। ज्ञात कीजिए कि क्या 7000 तरंगदैर्ध्य का प्रकाश उसके पृष्ठ से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित कर सकेगा? `h = 6.6 x 10^{-34}` जूल-से, `c = 3 x 10^8` मी/से ।

Answer:हलः सोडियम का कार्य-फलन `W = 2.0 eV = 2.0 × 1.6 × 10^{-19} = 3.2 × 10^{-19}` जूल आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य `\lambda = 7000 \mathring{A} = 7000 × 10^{-10}` मीटर ` = 7 × 10^{-7}` मीटर आपतित फोटॉन की ऊर्जा `E = \frac{hc}{\lambda}`
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{7 \times 10^{-7}} \) जूल
`= 2.83 × 10^{-19}` जूल चूंकि `E < W` (`2.83 × 10^{-19}` जूल `< 3.2 × 10^{-19}` जूल) इसलिए 7000 तरंगदैर्ध्य का प्रकाश सोडियम के पृष्ठ से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं कर सकेगा।
In simple words: To determine if light will cause electron emission, compare the incident photon's energy (calculated from its wavelength) with the metal's work function. If the photon's energy is less than the work function, no electrons will be emitted.

🎯 Exam Tip: This problem tests the fundamental condition for photoelectric emission: photon energy (`E`) must be greater than the work function (`W`). Convert `W` to Joules and `\lambda` to meters before calculation and comparison.

 

Question 8. एक पदार्थ से फोटो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन की देहली तरंगदैर्ध्य 6000 है। इसकी सतह पर 4000 तरंगदैर्घ्य का प्रकाश डाला जाता है। उत्सर्जित फोटो इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा तथा निरोधी-विभव ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, देहली तरंगदैर्ध्य `\lambda_0 = 6000 \mathring{A} = 6 × 10^{-7}` मीटर आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य `\lambda = 4000 \mathring{A} = 4 × 10^{-7}` मीटर आइन्स्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण से, अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})`
\( = hc \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \)
\( = 6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8 \frac{(6 \times 10^{-7} - 4 \times 10^{-7})}{(6 \times 10^{-7}) \times (4 \times 10^{-7})} \)
\( = 19.8 \times 10^{-26} \frac{2 \times 10^{-7}}{24 \times 10^{-14}} \)
\( = 19.8 \times 10^{-26} \times \frac{2}{24} \times 10^7 \)
\( = 1.65 \times 10^{-19} \) जूल निरोधी विभव `V_0 = \frac{E_k}{e}`
\( = \frac{1.65 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \) वोल्ट
`= 1.031` वोल्ट
In simple words: The maximum kinetic energy of emitted photoelectrons is calculated using Einstein's photoelectric equation, which involves the incident and threshold wavelengths. The stopping potential is then found by dividing this kinetic energy by the electron's charge.

🎯 Exam Tip: This problem requires applying Einstein's photoelectric equation with wavelengths. Remember to convert all wavelengths to meters and use consistent units for constants. The relation `E_k = eV_0` is crucial for finding the stopping potential.

 

Question 9. किसी धातु का कार्य-फलन 6.8 इलेक्ट्रॉन-वोल्ट है। इस पर 100 तरंगदैर्ध्य का विकिरण आपतित हो रहा है। उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा की गणना कीजिए।

Answer:हलः दिया है, कार्य-फलन `W = 6.8 eV = 6.8 × 1.6 × 10^{-19} = 1.088 × 10^{-18}` जूल आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य `\lambda = 100 \mathring{A} = 100 × 10^{-10}` मीटर
`= 10^{-8}` मीटर आपतित फोटॉन की ऊर्जा `E = \frac{hc}{\lambda}`
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{10^{-8}} \) जूल
`= 19.8 × 10^{-18}` जूल उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k = E - W`
`= 19.8 × 10^{-18} - 1.088 × 10^{-18}` जूल
`= 18.712 × 10^{-18}` जूल
In simple words: To find the maximum kinetic energy, first calculate the energy of the incident photon from its wavelength, and then subtract the metal's work function (both in Joules).

🎯 Exam Tip: Ensure all energy values are in Joules before performing the subtraction in Einstein's photoelectric equation. Wavelength conversion from Angstroms to meters is also a common step where errors can occur.

 

Question 10. 5400 तरंगदैर्ध्य का विकिरण एक धातु पर गिरता है जिसका कार्य-फलन1.9 इलेक्ट्रॉन-वोल्ट है। उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा तथा उसका निरोधी विभव ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, `\lambda = 5400 \mathring{A} = 5400 \times 10^{-10}` मीटर ` = 5.4 \times 10^{-7}` मीटर कार्य-फलन `W = 1.9 eV = 1.9 \times 1.6 \times 10^{-19}` जूल ` = 3.04 \times 10^{-19}` जूल फोटॉन की ऊर्जा `E = \frac{hc}{\lambda}`
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5.4 \times 10^{-7}} \) जूल
\( = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{5.4 \times 10^{-7}} \) जूल
`= 3.667 \times 10^{-19}` जूल उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k = E - W`
`= 3.667 \times 10^{-19} - 3.04 \times 10^{-19}` जूल
`= 0.627 \times 10^{-19}` जूल निरोधी विभव `V_0 = \frac{E_k}{e}`
\( = \frac{0.627 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \) वोल्ट
`= 0.392` वोल्ट
In simple words: First, calculate the incident photon's energy from its wavelength. Then, find the kinetic energy of emitted electrons by subtracting the work function from the photon's energy. Finally, determine the stopping potential by dividing the kinetic energy by the electron charge.

🎯 Exam Tip: This is a multi-step problem combining the energy of a photon, Einstein's photoelectric equation, and the definition of stopping potential. Be meticulous with unit conversions (Angstroms to meters, eV to Joules).

 

Question 11. एक प्रकाश सुग्राही धातु पृष्ठ का कार्य-फलन `h\nu_0` है। जब `2h\nu_0` ऊर्जा के फोटॉन धातु पृष्ठ पर डाले जाते हैं तब `4×10^6` मीटर/सेकण्ड के अधिकतम वेग से इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा `5h\nu_0` हो, तब उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन का अधिकतम वेग क्या होगा?

Answer:हलः आइन्स्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण से `\frac{1}{2}mv^2_{max} = h\nu - h\nu_0` पहली स्थिति में, आपतित फोटॉन की ऊर्जा `h\nu = 2h\nu_0` तथा `v_{max} = 4 \times 10^6` मी/से
\( \frac{1}{2}m(4 \times 10^6)^2 = 2h\nu_0 - h\nu_0 \)
\( \frac{1}{2}m(4 \times 10^6)^2 = h\nu_0 \) ...(1) दूसरी स्थिति में, आपतित फोटॉन की ऊर्जा `h\nu = 5h\nu_0` मान लीजिए, अधिकतम वेग `v'_{max}` है।
\( \frac{1}{2}m(v'_{max})^2 = 5h\nu_0 - h\nu_0 \)
\( \frac{1}{2}m(v'_{max})^2 = 4h\nu_0 \) ...(2) समीकरण (2) को समीकरण (1) से भाग करने पर,
\( \frac{\frac{1}{2}m(v'_{max})^2}{\frac{1}{2}m(4 \times 10^6)^2} = \frac{4h\nu_0}{h\nu_0} \)
\( \frac{(v'_{max})^2}{(4 \times 10^6)^2} = 4 \)
\( (v'_{max})^2 = 4 \times (4 \times 10^6)^2 \)
\( v'_{max} = \sqrt{4 \times (4 \times 10^6)^2} \)
`v'_{max} = 2 \times 4 \times 10^6` मी/से
`v'_{max} = 8 \times 10^6` मी/से
In simple words: Using Einstein's photoelectric equation, we establish a relationship between the initial kinetic energy and the work function. Then, we apply the same equation for the new incident energy and solve for the new maximum velocity, which turns out to be twice the initial velocity.

🎯 Exam Tip: This problem involves ratios and applying Einstein's photoelectric equation twice. Carefully set up the equations for both scenarios and divide them to eliminate unknown constants like `m` and `h\nu_0` and simplify calculations.

 

Question 12. 300 वाट तथा 6000 तरंगदैर्ध्य के एकवर्षीय प्रकाश स्रोत से प्रति सेकण्ड कितने फोटॉन का उत्सर्जन होता है? [प्लांक नियतांक (`h`) = `6.6 x 10^{-34}` Js तथा प्रकाश की चाल (`c`) = `3×10^8` ms`^{-1}`]

Answer:हलः प्रकाश स्रोत की शक्ति `P = 300` वाट प्रकाश की तरंगदैर्ध्य `\lambda = 6000 \mathring{A} = 6000 × 10^{-10}` मीटर ` = 6 × 10^{-7}` मीटर प्रकाश स्रोत से उत्सर्जित प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा `E = \frac{hc}{\lambda}`
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} \) जूल
\( = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{6 \times 10^{-7}} \) जूल
`= 3.3 × 10^{-19}` जूल प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या `n = \frac{\text{प्रकाश स्रोत से प्रति सेकण्ड उत्सर्जित ऊर्जा}}{\text{प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा}}`
\( = \frac{P}{E} \)
\( = \frac{300}{3.3 \times 10^{-19}} \)
`= 9.09 \times 10^{20}` प्रति सेकण्ड
In simple words: To find the number of photons emitted per second, first calculate the energy of a single photon from its wavelength. Then, divide the total power of the light source by the energy of one photon.

🎯 Exam Tip: Remember that power (Watts) is energy per second. Calculate the energy of a single photon using `E = hc/\lambda` and then divide the power by this energy to find the number of photons per second. Ensure units are consistent.

 

Question 13. `1.6 x 10^{-27}` किलोग्राम द्रव्यमान के न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा 0.04 इलेक्ट्रॉन-वोल्ट है। न्यूट्रॉन की डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए।

Answer:हलः दिया है, न्यूट्रॉन का द्रव्यमान `m = 1.6 × 10^{-27}` किग्रा गतिज ऊर्जा `K = 0.04 eV = 0.04 × 1.6 × 10^{-19}` जूल
`= 6.4 × 10^{-21}` जूल डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}` जहाँ `h = 6.6 × 10^{-34}` जूल-सेकण्ड
\( \lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 6.4 \times 10^{-21}}} \)
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{20.48 \times 10^{-48}}} \)
\( = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4.525 \times 10^{-24}} \)
`= 1.458 × 10^{-10}` मीटर
`= 1.458 \mathring{A}`
In simple words: The de Broglie wavelength of a neutron is calculated by dividing Planck's constant by the square root of twice its mass and kinetic energy, after converting kinetic energy to Joules.

🎯 Exam Tip: This problem requires the formula \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \). Remember to convert kinetic energy from electron-volts to Joules before plugging it into the formula. Precision in calculation, especially with square roots and exponents, is important.

 

Question 14. समान चाल से गतिशील इलेक्ट्रॉन एवं प्रोटॉन से सम्बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य का अनुपात ज्ञात कीजिए। प्रोटॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान का 1840 गुना है।

Answer:उत्तरः हम जानते हैं कि `v` चाल से गतिमान `m` द्रव्यमान के कण से बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य, `\lambda = \frac{h}{mv}` इलेक्ट्रॉन से बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, `\lambda_e = \frac{h}{m_e v}` ...(1) प्रोटॉन से बद्ध डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य `\lambda_p = \frac{h}{m_p v}` ...(2) समी० (1) को समी० (2) से भाग करने पर
\( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h/(m_e v)}{h/(m_p v)} \)
\( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{m_p}{m_e} \) दिया है, `m_p = 1840 m_e`
\( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{1840 m_e}{m_e} = 1840 \) अतः अभीष्ट अनुपात `\lambda_e : \lambda_p = 1840 : 1`
In simple words: For particles moving at the same speed, their de Broglie wavelengths are inversely proportional to their masses. Since a proton is much heavier than an electron, the electron's wavelength will be significantly larger than the proton's.

🎯 Exam Tip: For particles with the same velocity, de Broglie wavelength is inversely proportional to mass. \( \frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{m_p}{m_e} \). This is a straightforward ratio problem, so remember the mass relationship between proton and electron.

 

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

 

Question 1. प्रकाश-वैद्युत उत्सर्जन सम्बन्धी आइन्स्टीन की समीकरण `\frac{1}{2}mv^2_{max} = h(\nu - \nu_0)` की स्थापना कीजिए।

Answer:उत्तर: प्रकाश-वैद्युत प्रभाव (Photoelectric Effect)-जब किसी धातु पर उच्च आवृत्ति का प्रकाश (जैसे—पराबैंगनी विकिरण) डाला जाता है तो उसकी सतह से इलेक्ट्रॉन निकलने लगते हैं।” धातुओं पर प्रकाश के आपतित होने से उनकी सतह से इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन (emission) की घटना को प्रकाश-वैद्युत प्रभाव (photoelectric effect) कहते हैं।” प्रकाश-वैद्युत प्रभाव की घटना में उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों को प्रकाश-इलेक्ट्रॉन अथवा फोटो- इलेक्ट्रॉन (photoelectron) तथा इन इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह के कारण उत्पन्न वैद्युत धारा को प्रकाश-वैद्युत धारा (photoelectric current) कहते हैं।
आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण (Einstein's Photoelectric Equation): वैज्ञानिक आइन्सटीन ने प्रकाश-वैद्युत प्रभाव की व्याख्या प्रकाश के क्वाण्टम मॉडल के आधार पर इस प्रकार दी। जब कोई फोटॉन धातु की प्लेट पर गिरता है तो वह अपनी 'समस्त ऊर्जा' धातु के भीतर उपस्थित इलेक्ट्रॉनों में से किसी एक ही इलेक्ट्रॉन को स्थानान्तरित (transfer) कर देता है तथा ऊर्जा का कुछ भाग इलेक्ट्रॉन को धातु के अन्दर से बाहर निकालने में व्यय हो जाता है जो धातु का कार्य-फलन कहलाता है। तथा शेष ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन को उसकी गतिज ऊर्जा के रूप में प्राप्त हो जाती है जिससे इलेक्ट्रॉन धातु पृष्ठ से उत्सर्जित हो जाता है। यही प्रकाश-वैद्युत प्रभाव है। चूंकि सभी इलेक्ट्रॉन धातु की सतह से ही उत्सर्जित नहीं होते; अतः धातु से विभिन्न ऊर्जाओं के इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं; क्योंकि जो इलेक्ट्रॉन धातु के भीतर से निकलकर सतह पर पहुँचते हैं वे सतह तक आने में धन आयनों व परमाणुओं से टकराते हैं; जिससे वे कुछ ऊर्जा खो देते हैं। अतः जो इलेक्ट्रॉन धातु की सतह से उत्सर्जित होते हैं, उनकी गतिज ऊर्जा अपेक्षाकृत अधिक होती है; क्योंकि उनकी ऊर्जा टकराने में नष्ट नहीं होती है। इस प्रकार धातु की ऊपरी सतह से उत्सर्जित प्रकाश इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। माना किसी धातु की सतह से उत्सर्जित किसी प्रकाश इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k`, तथा इसको धातु के अन्दर से बाहर सतह पर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा `W` है। यहाँ `W` धातु का कार्य-फलन होगा। अतः आइन्सटीन द्वारा दी गयी प्रकाश-वैद्युत उत्सर्जन की उपर्युक्त व्याख्या के अनुसार इन दोनों प्रकार की ऊर्जाओं का योग ही धातु के अन्दर सतह के निकट इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा `h\nu` के बराबर होगा। `E_k + W = h\nu` अथवा `E_k = h\nu - W` .......(1) समीकरण (1) से स्पष्ट है कि यदि प्रकाश फोटॉन की ऊर्जा `h\nu` कार्य-फलन `W` के बराबर है तो धातु की सतह से कोई भी इलेक्ट्रॉन नहीं निकलेगा। यदि दी हुई धातु के लिए देहली आवृत्ति `\nu_0` है तो इस आवृत्ति का फोटॉन, इलेक्ट्रॉन को धातु की सतह तक लाने में ही समर्थ होगा, क्योंकि ऐसे फोटॉन की ऊर्जा `h\nu_0` इलेक्ट्रॉन को धातु की सतह तक लाने में ही व्यय हो जाएगी। अतः सतह पर इसका वेग शून्य होगा, अर्थात् इस फोटॉन की ऊर्जा `h\nu_0` धातु के कार्य-फलन के बराबर होगी। अतः `W = h\nu_0` `W` का मान समी० (1) में रखने पर `E_k = h\nu - h\nu_0` अथवा `E_k = h(\nu - \nu_0)` .......(2) यदि धातु की सतह पर निकलने वाले इलेक्ट्रॉन का अधिकतम वेग `v_{max}` है, तो इसकी अधिकतम गतिज ऊर्जा `E_k = \frac{1}{2}mv^2_{max}`
\( \frac{1}{2}mv^2_{max} = h(\nu - \nu_0) \) इस समीकरण को 'आइन्सटीन की प्रकाश-वैद्युत समीकरण' (Einstein's photoelectric equation) कहते हैं।
In simple words: Einstein's photoelectric equation (`E_k = h\nu - W`) explains that when a photon hits a metal, its energy is used partly for the work function (to release the electron) and the rest becomes the electron's kinetic energy.

🎯 Exam Tip: Derive Einstein's photoelectric equation step-by-step, starting from the principle of energy conservation. Clearly define work function `W = h\nu_0` and explain the meaning of each term in the final equation \( \frac{1}{2}mv^2_{max} = h(\nu - \nu_0) \).