UP Board Solutions Class 12 Maths Chapter 6 Application of Derivatives

प्रश्नावली 6.1

 

Question 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि (a) r = 3 सेमी है (b) r = 4 सेमी है।
Answer: हल- (a) माना वृत्त का क्षेत्रफल A है, तब
\(A = \pi r^2\)
\(\implies \frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
अतः क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर
\(\frac{dA}{dr}|_{r = 3} = 2\pi \times 3 = 6\pi \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
सेमी²/सेकण्ड है। (b) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए । उत्तर : 8\(\pi\) सेमी²/से
In simple words: इस प्रश्न में वृत्त के क्षेत्रफल में त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात करनी थी। हमने क्षेत्रफल का सूत्र \(A = \pi r^2\) लिया और इसे r के सापेक्ष अवकलित किया। फिर, r के दिए गए मानों (3 सेमी और 4 सेमी) पर दर का मूल्यांकन किया गया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सबसे पहले दी गई राशि का सूत्र लिखें, फिर उसे दिए गए चर (जैसे यहाँ त्रिज्या r) के सापेक्ष अवकलित करें, और अंत में दिए गए मान को सूत्र में रखकर उत्तर प्राप्त करें।

 

Question 2. एक घन का आयतन 9 सेमी³/से की दर से बढ़ रहा है। यदि इसकी कोर की लम्बाई 10 सेमी है तो इसके पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
Answer: हल-
माना घन की कोर = x सेमी, घन का आयतन = V तथा पृष्ठ क्षेत्रफल = S
तब \(V = x^3\) तथा \(S = 6x^2\). जहाँ x समय t को फलन है।
प्रश्नानुसार,
\(\frac{dV}{dt} = 9 \text{ सेमी}^3/\text{से}\)
या
\(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = \frac{d}{dx}(x^3)\frac{dx}{dt} = 3x^2\frac{dx}{dt}\)
\(\implies 9 = 3x^2\frac{dx}{dt}\)
\(\implies \frac{dx}{dt} = \frac{9}{3x^2} = \frac{3}{x^2}\) ...(i)
अतः
\(\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) = \frac{d}{dx}(6x^2)\frac{dx}{dt} = 12x\frac{dx}{dt}\)
समी० (i) से
\(\frac{dS}{dt} = 12x \times \frac{3}{x^2} = \frac{36}{x}\)
अतः
\(x = 10 \text{ सेमी लेने पर}, \frac{dS}{dt}|_{x = 10} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
पृष्ठ क्षेत्रफल 3.6 सेमी²/से की दर से बढ़ रहा है।
In simple words: इस प्रश्न में, घन के आयतन की वृद्धि दर दी गई थी और हमें घन के पृष्ठ क्षेत्रफल की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी। हमने घन की भुजा को x माना, आयतन V और पृष्ठ क्षेत्रफल S के सूत्र लिखे। फिर, समय के सापेक्ष उनके अवकलन का उपयोग करके \(\frac{dx}{dt}\) का मान निकाला और उसे पृष्ठ क्षेत्रफल के अवकलन में रखकर अंतिम दर ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले सभी ज्ञात और अज्ञात राशियों को परिभाषित करें। श्रृंखला नियम (Chain Rule) का उपयोग करके संबंधित दरों को लिंक करें। अंतिम उत्तर की इकाइयाँ सही ढंग से लिखना महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 सेमी/से की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए की वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 सेमी है?
Answer: हल- मानी वृत्त की त्रिज्या r सेमी है, तब वृत्त का क्षेत्रफल \(A = \pi r^2 \text{ सेमी}^2\) प्रश्नानुसार,
\(\frac{dr}{dt} = 3 \text{ सेमी/से}\) ...(i)
तब
\(\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = \frac{d}{dr}(\pi r^2)\frac{dr}{dt}\)
\(= 2\pi r \times 3 \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
\(= 6\pi r \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
समी० (i) से
अतः
\(\frac{dA}{dt}|_{r = 10} = 6\pi \times 10 \text{ सेमी}^2/\text{से} = 60\pi \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर 60\(\pi\) सेमी²/सेकण्ड है।
In simple words: इस प्रश्न में वृत्त की त्रिज्या की वृद्धि दर दी गई थी और हमें वृत्त के क्षेत्रफल की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी। हमने वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र \(A = \pi r^2\) का उपयोग किया और श्रृंखला नियम का उपयोग करके \(\frac{dA}{dt}\) निकाला, फिर दिए गए त्रिज्या मान को प्रतिस्थापित किया।

🎯 Exam Tip: दर से संबंधित समस्याओं को हल करते समय, चर को परिभाषित करना और ज्ञात व अज्ञात दरों को लिखना महत्वपूर्ण है। श्रृंखला नियम का सही अनुप्रयोग सुनिश्चित करें।

 

Question 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लम्बा है?
Answer: हल- माना घन का आयतन = V तथा भुजा = a है, तब \(V = a^3\)
ज्ञात है
\(\frac{da}{dt} = 3 \text{ सेमी/से}\), \(a = 10 \text{ सेमी}\)
अतः समय के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर
\(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(a^3) = \frac{d}{da}(a^3)\frac{da}{dt} = 3a^2\frac{da}{dt}\)
\(= 3a^2 \times 3 = 9a^2 \text{ सेमी}^3/\text{से}\)
अतः जब घन का किनारा 10 cm लम्बा हो तब घन का आयतन
\(\frac{dV}{dt}|_{a = 10} = 9(10)^2 = 900 \text{ सेमी}^3/\text{से}\) की दर से बढ़ रहा है।
In simple words: हमें एक घन के किनारे की वृद्धि दर दी गई थी, और हमें घन के आयतन की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी जब किनारा 10 सेमी था। हमने घन के आयतन का सूत्र \(V=a^3\) का उपयोग किया और श्रृंखला नियम से \(\frac{dV}{dt}\) निकाला, फिर दिए गए मानों को प्रतिस्थापित किया।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित दरों की समस्याओं में, पहले प्रासंगिक सूत्र लिखें और फिर श्रृंखला नियम का उपयोग करके दरों को अंतर-संबंधित करें। अंतिम उत्तर की इकाइयाँ हमेशा शामिल करें।

 

Question 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 सेमी/से की गति से चलती है। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है तो उस क्षण घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है
Answer: हल- दिया है-
\(\frac{dr}{dt} = 5 \text{ सेमी/से}\), \(r = 8 \text{ सेमी}\)
माना तरंगों से बने वृत्त का क्षेत्रफल \(A \text{ सेमी}^2\) है। तब \(A = \pi r^2\)
\(\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dr}(\pi r^2)\frac{dr}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}\) ...(1)
अतः जब
r तथा \(\frac{dr}{dt}\) का मान समी० (1) में रखने पर,
\(\frac{dA}{dt} = 2\pi \times 8 \times 5 = 80\pi \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
तरंग की त्रिज्या 8 सेमी हो तब तरंगों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल 80 \(\pi\) सेमी/से की दर से बढ़ रहा है।
In simple words: इस प्रश्न में, एक वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या की वृद्धि दर दी गई थी। हमें वृत्त के क्षेत्रफल की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी जब त्रिज्या 8 सेमी थी। हमने वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र का उपयोग किया और इसे समय के सापेक्ष अवकलित करके दर ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: दर की समस्याओं में, ध्यान दें कि कौन सी दरें दी गई हैं और कौन सी ज्ञात करनी हैं। अवकलन के श्रृंखला नियम का सही उपयोग ऐसे प्रश्नों में सटीकता के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 6. एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 सेमी/से की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है। जब r = 4.9 सेमी है?
Answer: हल- माना वृत्त की त्रिज्या r सेमी है, तब परिधि \(C = 2\pi r\) प्रश्नानुसार,
\(\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ सेमी/से}\)
\(\frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt}(2\pi r) = \frac{d}{dr}(2\pi r)\frac{dr}{dt}\)
\(= 2\pi \times (0.7) \text{ सेमी/से} = 1.4\pi \text{ सेमी/से}\)
अतः वृत्त की परिधि 1.4\(\pi\) सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें वृत्त की त्रिज्या की वृद्धि दर दी गई थी और परिधि की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी। हमने वृत्त की परिधि का सूत्र \(C = 2\pi r\) का उपयोग किया और श्रृंखला नियम से \(\frac{dC}{dt}\) निकाला, फिर दिए गए त्रिज्या के मान को प्रतिस्थापित किया।

🎯 Exam Tip: जब एक ही ज्यामितीय आकृति से संबंधित दो अलग-अलग दरों को जोड़ा जाता है, तो श्रृंखला नियम का उपयोग अनिवार्य है। गणना में सटीकता और अंतिम इकाइयों को बनाए रखना सुनिश्चित करें।

 

Question 7. एक आयत की लम्बाई x, 5 सेमी/मिनट की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 सेमी/मिनट की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 सेमी और y = 6 सेमी है। तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल-
ज्ञात है- \(\frac{dx}{dt} = -5 \text{ सेमी/मिनट}\) तथा \(\frac{dy}{dt} = 4 \text{ सेमी/मिनट}\)
माना आयत का क्षेत्रफल \(A \text{ सेमी}^2\), परिमाप \(p \text{ सेमी}\) लम्बाई = x सेमी, चौड़ाई = y सेमी
(a) परिमाप \(p = 2(x + y)\)
\(\frac{dp}{dt} = 2(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt})\)
\(= 2[-5 + 4] = -2 \text{ सेमी/मिनट}\)
अतः आयत का परिमाप 2 सेमी/मिनट की दर से घट रहा है।
(b) आयत का क्षेत्रफल \(A = xy\)
\(\frac{dA}{dt} = y\frac{dx}{dt} + x\frac{dy}{dt}\) ...(1)
ज्ञात है-
\(\frac{dx}{dt} = -5\), \(\frac{dy}{dt} = 4\)
समी० (1) में \(x = 8 \text{ सेमी}\), \(y = 6 \text{ सेमी}\), \(\frac{dx}{dt} = -5\), \(\frac{dy}{dt} = 4\) रखने पर,
\(\frac{dA}{dt} = -5 \times 6 + 8 \times 4 = -30 + 32 = 2 \text{ सेमी}^2/\text{सेमी}\)
अतः आयत का क्षेत्रफल 2 सेमी²/सेमी की दर से बढ़ रहा है।
In simple words: इस प्रश्न में, आयत की लम्बाई और चौड़ाई के परिवर्तन की दरें दी गई थीं। हमें (a) परिमाप और (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी थी। हमने परिमाप \(p=2(x+y)\) और क्षेत्रफल \(A=xy\) के सूत्रों का उपयोग करके समय के सापेक्ष उनका अवकलन किया और दिए गए मानों को प्रतिस्थापित किया।

🎯 Exam Tip: यदि लम्बाई घट रही है, तो उसकी दर को ऋणात्मक चिह्न के साथ दर्शाएँ। गुणनफल नियम (Product Rule) का उपयोग करके क्षेत्रफल के अवकलन की गणना करते समय सतर्क रहें।

 

Question 8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकर रहता है, एक पम्प द्वारा 900 सेमी³/सेकण्ड की दर से फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 सेमी है।
Answer: हल-
माना गुब्बारे की त्रिज्या = r तथा आयतन = V
प्रश्नानुसार,
\(\frac{dV}{dt} = 900 \text{ सेमी}^3/\text{सेकण्ड}\)
\(\implies V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
\(\implies \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3}\pi r^3)\frac{dr}{dt}\)
\(\implies 900 = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}\)
या
\(\frac{dr}{dt} = \frac{900}{4\pi r^2}\)
\(\implies \frac{dr}{dt}|_{r = 15} = \frac{900}{4\pi \times (15)^2} = \frac{900}{4\pi \times 15 \times 15} = \frac{900}{900\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ सेमी/से}\)
अतः त्रिज्या के परिवर्तन की दर \(\frac{1}{\pi}\) सेमी/से है।
In simple words: इस प्रश्न में, गुब्बारे के आयतन की वृद्धि दर दी गई थी और हमें त्रिज्या की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी। हमने गोले के आयतन का सूत्र \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) का उपयोग किया, इसे समय के सापेक्ष अवकलित किया और फिर दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके त्रिज्या की वृद्धि दर ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: दर से संबंधित समस्याओं में, ज्यामितीय सूत्र का सही उपयोग करें और श्रृंखला नियम का उपयोग करके अज्ञात दर के लिए हल करें। अंतिम उत्तर की इकाइयाँ लिखना न भूलें।

 

Question 9. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है कि त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 सेमी है।
Answer: हल- माना गुब्बारे का आयतन = V तथा त्रिज्या = r
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
\(\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \times 3r^2 = 4\pi r^2\)
\(\implies \frac{dV}{dr}|_{r = 10 \text{ सेमी}} = 4\pi \times 10 \times 10 = 400\pi \text{ सेमी}^3/\text{सेमी}\)
अतः जब त्रिज्या 10 सेमी हो तब गुब्बारे का आयतन 400 \(\pi\) सेमी³/सेमी की दर से बढ़ता है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें गोले के आयतन के परिवर्तन की दर त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात करनी थी जब त्रिज्या 10 सेमी थी। हमने सीधे आयतन के सूत्र \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) को r के सापेक्ष अवकलित किया और फिर त्रिज्या का मान रखा।

🎯 Exam Tip: कभी-कभी परिवर्तन की दर सीधे एक चर के सापेक्ष पूछी जाती है, न कि समय के सापेक्ष। ऐसे में, सीधे उस चर के सापेक्ष अवकलन करें और श्रृंखला नियम की आवश्यकता नहीं होती।

 

Question 10. एक 5 मी लम्बी सीढी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2.0 मी/से की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी को नीचे का सिरा दीवार से 4 मी दूर है?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक सीढ़ी को दर्शाता है जो एक दीवार के सहारे झुकी हुई है। सीढ़ी की लम्बाई 5 मीटर है, जिसका निचला सिरा (x) जमीन पर दीवार से दूर है और ऊपरी सिरा (y) दीवार पर है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ दीवार, जमीन और सीढ़ी भुजाएँ हैं।
Answer: हल- माना दीवार OC है तथा किसी क्षण सीढ़ी AB की स्थिति इस प्रकार है कि OA = x और OB = y
OA = x और OB = y
सीढ़ी की लम्बाई AB = 5 मी
प्रश्नानुसार,
\(\frac{dx}{dt} = 2 \text{ मी/से}\)
समकोण \(\triangle\)AOB से,
\(x^2 + y^2 = 5^2\)
\(\implies x^2 + y^2 = 25\)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0\)
\(\implies x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 0\)
\(\implies y\frac{dy}{dt} = -x\frac{dx}{dt}\)
\(\implies \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}\) ...(i)
अतः \(x = 4\) पर,
\(y = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\)
(i) में \(x = 4\) तथा \(y = 3\) रखने पर,
\(\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \text{ मी/से}\)
दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई 8/3 मी/से की दर से घट रही है।
In simple words: इस प्रश्न में, एक सीढ़ी की दीवार से दूर हटने की दर दी गई थी, और हमें दीवार पर उसकी ऊँचाई घटने की दर ज्ञात करनी थी। हमने पाइथागोरस प्रमेय \(x^2+y^2=25\) का उपयोग किया, समय के सापेक्ष अवकलन करके \(\frac{dy}{dt}\) निकाला और दिए गए मानों को प्रतिस्थापित किया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, एक उचित आरेख बनाएँ और चरों को सही ढंग से परिभाषित करें। पाइथागोरस प्रमेय जैसे ज्यामितीय संबंधों को पहचानना और श्रृंखला नियम का उपयोग करके उन्हें अवकलित करना महत्वपूर्ण है। ऋणात्मक चिह्न घटने वाली दर को दर्शाता है।

 

Question 11. एक कण वक्र \(6y = x^3 + 2\) के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x निर्देशांक की तुलना में y निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।
Answer: हल-
दिया है-
\(6y = x^3 + 2\) और \(\frac{dy}{dt} = 8\frac{dx}{dt}\)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(6\frac{dy}{dt} = 3x^2\frac{dx}{dt} + 0\)
\(\implies 6\frac{dy}{dt} = 3x^2\frac{dx}{dt}\)
दिए गए संबंध \(\frac{dy}{dt} = 8\frac{dx}{dt}\) का उपयोग करने पर:
\(6(8\frac{dx}{dt}) = 3x^2\frac{dx}{dt}\)
\(48\frac{dx}{dt} = 3x^2\frac{dx}{dt}\)
चूंकि \(\frac{dx}{dt}\) शून्य नहीं हो सकता (कण गति कर रहा है), हम इसे रद्द कर सकते हैं:
\(3x^2 = 48\)
\(\implies x^2 = 16\)
\(\implies x = \pm 4\)
धनात्मक चिह्न लेने पर, \(x = 4\)
वक्र के समीकरण \(6y = x^3 + 2\) में x = 4 रखने पर,
\(6y = (4)^3 + 2\)
\(6y = 64 + 2\)
\(6y = 66\)
\(y = \frac{66}{6} = 11\)
ऋणात्मक चिह्न लेने पर, \(x = -4\)
वक्र के समीकरण \(6y = x^3 + 2\) में x = -4 रखने पर,
\(6y = (-4)^3 + 2\)
\(6y = -64 + 2\)
\(6y = -62\)
\(y = -\frac{62}{6} = -\frac{31}{3}\)
अभीष्ट बिन्दु है \((4, 11)\) तथा \((-4, -\frac{31}{3})\).
In simple words: इस प्रश्न में, हमें एक वक्र पर ऐसे बिन्दु ज्ञात करने थे जहाँ y-निर्देशांक की परिवर्तन दर x-निर्देशांक की परिवर्तन दर से 8 गुना अधिक हो। हमने दिए गए वक्र समीकरण को समय के सापेक्ष अवकलित किया, \(\frac{dy}{dt}\) और \(\frac{dx}{dt}\) के बीच दिए गए संबंध का उपयोग किया, x के मानों के लिए हल किया, और फिर y के संगत मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: दर से संबंधित समस्याओं में, वक्र के समीकरण को समय (t) के सापेक्ष अवकलित करें और श्रृंखला नियम का उपयोग करें। यदि \(\frac{dy}{dt}\) और \(\frac{dx}{dt}\) के बीच कोई संबंध दिया गया है, तो उसे प्रतिस्थापित करके x (या y) के लिए हल करें।

 

Question 12. हवा के बुलबुले की त्रिज्या, \(\frac{1}{2}\) सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 सेमी है?
Answer: हल- माना बुलबुले की त्रिज्या = r तथा बुलबुले का आयतन = V
प्रश्नानुसार,
\(\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \text{ सेमी/से}\)
पुनः
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
\(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3}\pi r^3)\frac{dr}{dt}\)
या
\(\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}\)
\(= 4\pi r^2 \times \frac{1}{2}\)
\(= 2\pi r^2 \text{ सेमी}^3/\text{से}\)
अतः
\(\frac{dV}{dt}|_{r = 1} = 2\pi(1)^2 = 2\pi \text{ सेमी}^3/\text{से}\)
अतः बुलबुले का आयतन 2\(\pi\) सेमी³/से की दर से बढ़ रहा है।
In simple words: इस प्रश्न में, एक बुलबुले की त्रिज्या की वृद्धि दर दी गई थी, और हमें उसका आयतन किस दर से बढ़ रहा है, यह ज्ञात करना था जब त्रिज्या 1 सेमी थी। हमने गोले के आयतन का सूत्र \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) का उपयोग किया, श्रृंखला नियम से \(\frac{dV}{dt}\) निकाला, और फिर दिए गए मानों को प्रतिस्थापित किया।

🎯 Exam Tip: दर की समस्याओं में, बुलबुले के आकार को गोलाकार मानें। त्रिज्या की वृद्धि दर से आयतन की वृद्धि दर ज्ञात करने के लिए आयतन सूत्र का समय के सापेक्ष अवकलन करें।

 

Question 13. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास \(\frac{3}{2}(2x+1)\) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
Answer: हल- प्रश्नानुसार गोलाकार गुब्बारे का व्यास = \(\frac{3}{2}(2x+1)\)
अतः त्रिज्या \(r = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}(2x+1) = \frac{3}{4}(2x+1)\)
गोलाकार गुब्बारे का आयतन \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
तब
\(\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{4}{3}\pi r^3)\)
\(= \frac{d}{dr}(\frac{4}{3}\pi r^3)\frac{dr}{dx}\)
\(= 4\pi r^2\frac{dr}{dx}\)
अब \(\frac{dr}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{3}{4}(2x+1)) = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}\)
तो,
\(\frac{dV}{dx} = 4\pi (\frac{3}{4}(2x+1))^2 \times \frac{3}{2}\)
\(= 4\pi \frac{9}{16}(2x+1)^2 \times \frac{3}{2}\)
\(= \frac{9\pi}{4}(2x+1)^2 \times \frac{3}{2}\)
\(= \frac{27\pi}{8}(2x+1)^2\)
अतः x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर \(\frac{27\pi}{8}(2x+1)^2\) है।
In simple words: हमें एक गोलाकार गुब्बारे का परिवर्तनशील व्यास दिया गया था और हमें x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी थी। हमने व्यास से त्रिज्या का मान निकाला, फिर गोले के आयतन सूत्र \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) का उपयोग करके श्रृंखला नियम से \(\frac{dV}{dx}\) ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: यदि व्यास दिया गया है, तो पहले त्रिज्या (व्यास का आधा) ज्ञात करें। श्रृंखला नियम का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि सभी चरणों में सही अवकलन किया गया है।

 

Question 14. एक पाइप से रेत 12 सेमी³/से की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 सेमी है?
Answer: हल-
माना किसी क्षण t पर शंकु की त्रिज्या r, ऊँचाई h तथा आयतन V है।
प्रश्नानुसार, \(\frac{dV}{dt} = 12 \text{ सेमी}^3/\text{से}\)
तथा \(h = \frac{r}{6} \implies r = 6h\)
शंकु का आयतन \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\)
r का मान प्रतिस्थापित करने पर,
\(V = \frac{1}{3}\pi (6h)^2h = \frac{1}{3}\pi (36h^2)h = 12\pi h^3\)
अब
\(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(12\pi h^3) = \frac{d}{dh}(12\pi h^3)\frac{dh}{dt}\)
\(\implies 12 = 36\pi h^2\frac{dh}{dt}\)
\(\implies \frac{dh}{dt} = \frac{12}{36\pi h^2} = \frac{1}{3\pi h^2}\)
\(\implies \frac{dh}{dt}|_{h = 4 \text{ सेमी}} = \frac{1}{3\pi (4)^2} = \frac{1}{3\pi \times 16} = \frac{1}{48\pi} \text{ सेमी/से}\)
अतः शंकु की ऊँचाई \(\frac{1}{48\pi}\) सेमी/से की दर से बढ़ रही है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें रेत के शंकु के आयतन की वृद्धि दर दी गई थी और हमें ऊँचाई की वृद्धि दर ज्ञात करनी थी जब ऊँचाई 4 सेमी थी। हमने शंकु के आयतन का सूत्र \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\) का उपयोग किया, r को h के पदों में व्यक्त किया, फिर समय के सापेक्ष अवकलन करके \(\frac{dh}{dt}\) निकाला।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले संबंधित चरों के बीच का संबंध स्थापित करें (जैसे r और h के बीच)। फिर उस सूत्र का उपयोग करें जिसमें केवल एक चर हो (जैसे यहाँ केवल h) और उसे समय के सापेक्ष अवकलित करें।

 

Question 15. एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन की कुल लागत C (x) Rs में \(C(x) = 0.007x^3 – 0.003x^2 + 15x + 4000\) से प्राप्त होती है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया जाता है।
Answer: हल-
प्रश्नानुसार, \(C(x) = 0.007x^3 – 0.003x^2 + 15x + 4000\)
सीमान्त लागत \(MC = \frac{dC}{dx}\)
\(= \frac{d}{dx}(0.007x^3 – 0.003x^2 + 15x + 4000)\)
\(= 0.007 \times 3x^2 - 0.003 \times 2x + 15\)
\(= 0.021x^2 - 0.006x + 15\)
\((MC)_{x=17} = \{0.021 \times (17)^2\} - \{0.006 \times 17\} + 15\)
\(= 0.021 \times 289 - 0.102 + 15\)
\(= 6.069 - 0.102 + 15\)
\(= 20.967\)
अतः 17 इकाइयों के उत्पादन की सीमान्त लागत Rs 20.967 है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें कुल लागत फलन दिया गया था और हमें सीमान्त लागत ज्ञात करनी थी जब 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया। हमने सीमान्त लागत ज्ञात करने के लिए कुल लागत फलन को x के सापेक्ष अवकलित किया और फिर x = 17 का मान रखा।

🎯 Exam Tip: सीमान्त लागत (Marginal Cost) हमेशा कुल लागत फलन का उत्पादन इकाइयों (x) के सापेक्ष प्रथम अवकलज होती है। गणना में दशमलव स्थानों की सटीकता पर ध्यान दें।

 

Question 16. किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) Rs में \(R(x) = 13x^2 + 26x + 15\) से प्राप्त होती है। सीमान्त आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।
Answer: हल-
प्रश्नानुसार, \(R(x) = 13x^2 + 26x + 15\)
सीमान्त आय \(MR = \frac{dR}{dx}\)
\(= \frac{d}{dx}(13x^2 + 26x + 15)\)
\(= 26x + 26\)
\((MR)_{x=7} = 26 \times 7 + 26\)
\(= 182 + 26\)
\(= 208\)
अतः अभीष्ट सीमान्त आय Rs 208 है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें कुल आय फलन दिया गया था और हमें सीमान्त आय ज्ञात करनी थी जब x = 7 था। हमने सीमान्त आय ज्ञात करने के लिए कुल आय फलन को x के सापेक्ष अवकलित किया और फिर x = 7 का मान रखा।

🎯 Exam Tip: सीमान्त आय (Marginal Revenue) हमेशा कुल आय फलन का विक्रय इकाइयों (x) के सापेक्ष प्रथम अवकलज होती है। सरल अवकलन नियमों को ध्यान से लागू करें।

 

Question 17. एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 सेमी पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है : (a) 10 \(\pi\) (b) 12 \(\pi\) (c) 8 \(\pi\) (d) 11 \(\pi\)
Answer: हल- मानी वृत्त का क्षेत्रफल \(A = \pi r^2\) तथा त्रिज्या = r क्षेत्रफल \(A = \pi r^2\)
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\)
r = 6 रखने पर,
\(\frac{dA}{dr}|_{r=6} = 2\pi \times 6 = 12\pi \text{ सेमी}^2/\text{से}\)
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: इस प्रश्न में हमें एक वृत्त के क्षेत्रफल में त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात करनी थी जब त्रिज्या 6 सेमी थी। हमने वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र \(A=\pi r^2\) को सीधे r के सापेक्ष अवकलित किया और फिर r का मान रखा।

🎯 Exam Tip: यह एक सीधा अवकलन प्रश्न है। क्षेत्रफल सूत्र को सही ढंग से याद रखना और r के सापेक्ष अवकलन करना महत्वपूर्ण है, न कि t के सापेक्ष।

 

Question 18. एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में \(R(x) = 3x^2 + 36x + 5\) से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमान्ते आये है : (a) 116 (b) 96 (c) 90 (d) 126
Answer: हल- दिया है- \(R(x) = 3x^2 + 36x + 5\)
सीमान्त आय = \(\frac{dR}{dx}\)
\(= \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5)\)
\(= 6x + 36\)
अब, \(x = 15\), सीमान्त आय
\(= 6 \times 15 + 36\)
\(= 90 + 36 = 126\)
अतः विकल्प (d) सत्य है।
In simple words: इस प्रश्न में, कुल आय फलन दिया गया था और हमें सीमान्त आय ज्ञात करनी थी जब x = 15 था। हमने सीमान्त आय ज्ञात करने के लिए कुल आय फलन को x के सापेक्ष अवकलित किया और फिर x = 15 का मान रखा।

🎯 Exam Tip: सीमान्त आय की गणना में, अवकलन के बाद x के मान को सावधानी से प्रतिस्थापित करें। यह सुनिश्चित करें कि आप सभी पदों का सही ढंग से अवकलन करें।

प्रश्नावली 6.2

 

Question 1. दिखाइए कि दिया गया फलन f, \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4x\), \(x \in R\), R पर निरन्तर वृद्धिमान फलन है।
Answer: हल-
दिया गया फलन
\(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4x\)
\(f'(x) = 3x^2 – 6x + 4\)
\(f'(x) = 3(x^2 – 2x + \frac{4}{3})\)
\(= 3[(x^2 – 2x + 1) + \frac{1}{3}]\)
\(= 3(x – 1)^2 + 1\)
अब
चूँकि \((x – 1)^2 \ge 0\) हमेशा सत्य है,
\(\implies 3(x – 1)^2 \ge 0\)
\(\implies 3(x – 1)^2 + 1 \ge 1\)
अतः \(3(x – 1)^2 + 1 > 0\), \(\forall x \in R\).
अतः \(f'(x) > 0\), \(\forall x \in R\).
अतः \(f(x)\), R पर निरन्तर वृद्धिमान फलन है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें यह दिखाना था कि दिया गया फलन \(f(x)\) R पर निरन्तर वृद्धिमान है। हमने \(f(x)\) का अवकलज \(f'(x)\) निकाला और फिर यह सिद्ध किया कि \(f'(x)\) हमेशा शून्य से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि फलन निरंतर वृद्धिमान है।

🎯 Exam Tip: फलन को वृद्धिमान सिद्ध करने के लिए, उसका प्रथम अवकलज \(f'(x)\) ज्ञात करें। यदि \(f'(x) > 0\) (या \(\ge 0\)) पूरे दिए गए अंतराल में, तो फलन वृद्धिमान है।

 

Question 2. सिद्ध कीजिए कि R पर \(f(x) = 3x + 17\) निरन्तर वृद्धिमान फलन है।
Answer: हल- दिया गया फलन \(f(x) = 3x + 17\)
\(f'(x) = 3\)
चूंकि \(f'(x) = 3 > 0\), \(\forall x \in R\).
अतः \(f(x)\), R पर निरन्तर वृद्धिमान फलन है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें यह सिद्ध करना था कि फलन \(f(x) = 3x + 17\) R पर निरंतर वृद्धिमान है। हमने \(f(x)\) का प्रथम अवकलज निकाला, जो 3 आया। क्योंकि 3 हमेशा शून्य से बड़ा होता है, यह सिद्ध हो जाता है कि फलन वृद्धिमान है।

🎯 Exam Tip: एक रैखिक फलन \(f(x) = mx + c\) में, यदि ढाल \(m > 0\) हो, तो फलन हमेशा वृद्धिमान होता है।

 

Question 3. सिद्ध कीजिए कि \(f(x) = \sin x\) द्वारा दिया गया फलन (a) \((0, \pi/2)\) में निरन्तर वृद्धिमान है। (b) \((\pi/2, \pi)\) में निरन्तर ह्रासमान है। (c) \((0, \pi)\) में न तो वृद्धिमान है और न ह्रासमान ।
Answer: हल-
(a) \(f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x\)
अन्तराल \((0, \pi/2)\) में, \(\cos x > 0\).
अतः \(f'(x) > 0\), \(\forall x \in (0, \pi/2)\).
अतः \(f(x)\), अन्तराल \((0, \pi/2)\) में निरन्तर वृद्धिमान है।
(b)
अन्तराल \((\pi/2, \pi)\) में, \(\cos x < 0\).
अतः \(f'(x) < 0\), \(\forall x \in (\pi/2, \pi)\).
अतः \(f(x)\), अन्तराल \((\pi/2, \pi)\) में निरन्तर ह्रासमान है।
(c)
उपरोक्त परिणामों से स्पष्ट है कि \(f(x) = \sin x\), अन्तराल \((0, \pi/2)\) में निरन्तर वृद्धिमान तथा अन्तराल \((\pi/2, \pi)\) में निरन्तर ह्रासमान है।
अतः फलन अन्तराल \((0, \pi)\) में न तो वृद्धिमान है और न ह्रासमान, क्योंकि यह अंतराल के एक भाग में बढ़ता है और दूसरे भाग में घटता है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें फलन \(f(x) = \sin x\) के वृद्धिमान और ह्रासमान होने का परीक्षण करना था। हमने \(f(x)\) का अवकलज \(f'(x) = \cos x\) ज्ञात किया और फिर प्रथम चतुर्थांश (\(0, \pi/2\)) में \(\cos x\) के धनात्मक होने से वृद्धिमान और द्वितीय चतुर्थांश \((\pi/2, \pi)\) में \(\cos x\) के ऋणात्मक होने से ह्रासमान सिद्ध किया। चूंकि \((0, \pi)\) में दोनों स्थितियाँ हैं, यह न तो वृद्धिमान है और न ह्रासमान।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के वृद्धिमान/ह्रासमान होने का पता लगाने के लिए, उनके अवकलज के चिह्नों को विभिन्न अंतरालों में ज्ञात करें। चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय अनुपात के चिह्नों को याद रखना सहायक होता है।

 

Question 4. अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें \(f(x) = 2x^2 – 3x\) द्वारा दिया गया फलन (a) निरन्तर वृद्धिमान है, (b) निरन्तर ह्रासमान है।
Answer: हल-
(a) दिया गया फलन \(f(x) = 2x^2 – 3x\)
\(f'(x) = 4x – 3\)
निरन्तर वृद्धिमान होने के लिए, \(f'(x) > 0\)
\(\implies 4x – 3 > 0\)
\(\implies 4x > 3\)
\(\implies x > \frac{3}{4}\)
अतः \(f(x)\), अन्तराल \((\frac{3}{4}, \infty)\) पर निरन्तर वृद्धिमान है।
(b) पुनः
निरन्तर ह्रासमान होने के लिए, \(f'(x) < 0\)
\(\implies 4x – 3 < 0\)
\(\implies 4x < 3\)
\(\implies x < \frac{3}{4}\)
अतः \(f(x)\), अन्तराल \((-\infty, \frac{3}{4})\) पर निरन्तर ह्रासमान है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें एक फलन \(f(x) = 2x^2 – 3x\) के लिए वे अंतराल ज्ञात करने थे जहाँ यह वृद्धिमान या ह्रासमान है। हमने \(f(x)\) का अवकलज \(f'(x) = 4x – 3\) निकाला। यदि \(f'(x) > 0\) तो वृद्धिमान अंतराल और यदि \(f'(x) < 0\) तो ह्रासमान अंतराल प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: वृद्धिमान/ह्रासमान अंतरालों को ज्ञात करने के लिए, \(f'(x)\) ज्ञात करें और फिर उन x-मानों को ज्ञात करें जहाँ \(f'(x) > 0\) (वृद्धिमान) या \(f'(x) < 0\) (ह्रासमान)।

 

Question 5. अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें \(f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 7\) से दिया फलन f (a) निरन्तर वृद्धिमान है, (b) निरन्तर ह्रासमान है।
Answer: हल-
(a) दिया गया फलन \(f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 7\)
\(f'(x) = 6x^2 - 6x – 36 = 6(x^2 – x – 6)\)
\(= 6(x^2 – x – 6)\)
\(= 6(x^2 – 2 \times x \times \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 – (\frac{1}{2})^2 – 6)\)
\(= 6((x – \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4} – 6)\)
\(= 6((x – \frac{1}{2})^2 – \frac{25}{4})\)
अब
निरन्तर वृद्धिमान होने के लिए, \(f'(x) > 0\)
\(\implies 6((x – \frac{1}{2})^2 – \frac{25}{4}) > 0\)
\(\implies (x – \frac{1}{2})^2 – \frac{25}{4} > 0\)
\(\implies (x – \frac{1}{2})^2 > \frac{25}{4}\)
\(\implies x – \frac{1}{2} > \frac{5}{2}\) या \(x – \frac{1}{2} < -\frac{5}{2}\)
\(\implies x > \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\) या \(x < -\frac{5}{2} + \frac{1}{2}\)
\(\implies x > \frac{6}{2}\) या \(x < -\frac{4}{2}\)
\(\implies x > 3\) या \(x < -2\)
अतः अन्तराल \(x \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)\) पर फलन \(f(x)\) निरन्तर वृद्धिमान है।
(b) पुनः
निरन्तर ह्रासमान होने के लिए, \(f'(x) < 0\)
\(\implies 6((x – \frac{1}{2})^2 – \frac{25}{4}) < 0\)
\(\implies (x – \frac{1}{2})^2 – \frac{25}{4} < 0\)
\(\implies (x – \frac{1}{2})^2 < \frac{25}{4}\)
\(\implies -\frac{5}{2} < x – \frac{1}{2} < \frac{5}{2}\)
\(\implies -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\)
\(\implies -\frac{4}{2} < x < \frac{6}{2}\)
\(\implies -2 < x < 3\)
अतः अन्तराल \(x \in (-2, 3)\) पर ह्रासमान है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें \(f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 36x + 7\) फलन के लिए वृद्धिमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने थे। हमने \(f'(x)\) निकाला और फिर उसे \(0\) से बड़ा या छोटा रखकर \(x\) के मानों के लिए हल किया, जिससे आवश्यक अंतराल प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडन या वर्ग को पूरा करके \(f'(x)\) को सरल बनाना महत्वपूर्ण है। क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करें और फिर उन बिंदुओं द्वारा विभाजित अंतरालों में \(f'(x)\) के चिह्न का परीक्षण करें।

 

Question 6. अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन निरन्तर वर्धमान अथवा हासमान है (a) \(f(x) = x^2 + 2x + 5\) (b) \(f (x) = 10 – 6x – 2x^2\) (c) \(f (x) = – 2x^3 – 9x^2 – 12x + 1\) (d) \(f(x) = 6 – 9x – x^2\) (e) \(f(x) = (x + 1)^3 (x – 3)^3\)
Answer: हल-
(a) ज्ञात है- \(f (x) = x^2 + 2x + 5\)
\(f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1)\)
\(f'(x) = 0 \implies 2(x + 1) = 0 \implies x = -1\)
\(x = -1\) संख्या रेखा को दो भागों में बांटता है। यह भाग अन्तराल \((-\infty, -1)\) तथा \((-1, \infty)\) है।
\((-\infty, -1)\) में \(f'(x)\) = – ऋणात्मक
अतः अन्तराल \((-\infty, -1)\) में फलन f निरन्तर ह्रासमान है।
\((-1, \infty)\) में \(f'(x)\) = + धनात्मक
अतः अन्तराल \((-1, \infty)\) फलन f निरन्तर वर्धमान है।
(b) ज्ञात है. \(f (x) = 10 – 6x – 2x^2\)
\(f'(x) = -6 – 4x = -2(3 + 2x)\)
जब \(f'(x) = 0 \implies -2(3 + 2x) = 0 \implies 3 + 2x = 0 \implies x = -\frac{3}{2}\)
बिन्दु \(x = -\frac{3}{2}\) संख्या रेखा को दो भाग अन्तराल \((-\infty, -\frac{3}{2})\) तथा \((-\frac{3}{2}, \infty)\) में बांटता है।
अन्तराल \((-\infty, -\frac{3}{2})\), \(f'(x)\) = + धनात्मक
अतः फलन f निरन्तर वर्धमान है।
अन्तराल \((\frac{-3}{2}, \infty)\), \(f'(x)\) = - ऋणात्मक
अतः फलन \(f\) ह्रासमान है।
(c)
यह प्रश्नावली 6(B) के प्रश्न 10 का हल देखें।
(d) ज्ञात है-
\(f(x) = 6 – 9x – x^2\)
\(f'(x) = -9 – 2x = -(2x + 9)\)
\(f'(x) = 0 \implies -(2x + 9) = 0 \implies x = -\frac{9}{2}\)
बिन्दु \(x = -\frac{9}{2}\) संख्या रेखा को दो भाग अन्तराल \((-\infty, -\frac{9}{2})\) तथा \((-\frac{9}{2}, \infty)\) में बांटता है।
अन्तराल \((-\infty, -\frac{9}{2})\), \(f'(x)\) = (-) (-) = + धनात्मक
अतः फलन f निरन्तर वर्धमान है।
अन्तराल \((-\frac{9}{2}, \infty)\) में \(f'(x)\) = (-) (+) = – ऋणात्मक
अतः फलन f निरन्तर ह्रासमान है।
(e)
दिया गया फलन
\(f(x) = (x + 1)^3 (x – 3)^3\)
\(f'(x) = (x + 1)^3 \frac{d}{dx}(x – 3)^3 + (x – 3)^3 \frac{d}{dx}(x + 1)^3\)
\(= (x + 1)^3 \cdot 3(x – 3)^2 + (x – 3)^3 \cdot 3(x + 1)^2\)
\(= 3(x + 1)^2(x – 3)^2[(x + 1) + (x – 3)]\)
\(= 3(x + 1)^2(x – 3)^2(2x – 2)\)
\(= 6(x + 1)^2 (x – 3)^2(x – 1)\) ...(1)
(a)
\(f(x)\) वृद्धिमान है।
\(f'(x) \ge 0\)
\(\implies 6(x + 1)^2(x – 3)^2(x – 1) \ge 0\)
[(1) से]
चूँकि \((x + 1)^2 \ge 0\) और \((x – 3)^2 \ge 0\) हमेशा सत्य हैं,
\(\implies (x – 1) \ge 0 \implies x \ge 1\)
अतः \(x \in [1, \infty[\)
\(f(x)\), अन्तराल \([1, \infty[\) पर वृद्धिमान है।
(b)
\(f(x)\) ह्रासमान है।
\(f'(x) \le 0\)
\(\implies 6(x + 1)^2(x – 3)^2(x – 1) \le 0\)
[(1) से]
\(\implies (x – 1) \le 0 \implies x \le 1\)
अतः \(x \in ]-\infty, 1]\)
\(f(x)\), अन्तराल \([-\infty, 1]\) पर ह्रासमान है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें विभिन्न फलनों के लिए वृद्धिमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने थे। हमने प्रत्येक फलन का प्रथम अवकलज ज्ञात किया और फिर \(f'(x) > 0\) या \(f'(x) < 0\) की असमानताओं को हल करके अंतराल निर्धारित किए।

🎯 Exam Tip: क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए \(f'(x) = 0\) सेट करें। इन बिंदुओं द्वारा विभाजित अंतरालों में, \(f'(x)\) के चिह्न का परीक्षण करने के लिए परीक्षण मानों का उपयोग करें। जहां \(f'(x)\) धनात्मक हो, फलन वृद्धिमान है, और जहां ऋणात्मक हो, फलन ह्रासमान है।

 

Question 5. वक्र \( x = a \cos^3\theta \), \( y= a \sin^3\theta \) के \( \theta = \frac { \pi }{ 4 } \) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए ।

Answer: हल-
दिया है, वक्र को समीकरण \( x = a \cos^3\theta \) तथा \( y = a \sin^3\theta \)
दोनों पक्षों का \( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dx}{d\theta} = - 3a \cos^2\theta \sin \theta \) तथा \( \frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2\theta \cos \theta \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2\theta \cos \theta}{-3a \cos^2\theta \sin \theta} = - \tan \theta \)
\( \theta = \frac{\pi}{4} \) रखने पर,
स्पर्श रेखा की प्रवणता \( m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta = \frac{\pi}{4}} = - \tan\frac{\pi}{4} = -1 \)
अभिलम्ब की प्रवणता \( = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-1} = 1 \)
In simple words: अभिलम्ब की प्रवणता, स्पर्श रेखा की प्रवणता के व्युत्क्रम का ऋणात्मक होती है। दी गई वक्र के लिए पहले \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात किया जाता है और फिर \( \theta = \frac{\pi}{4} \) पर मान रखकर स्पर्श रेखा की प्रवणता मिलती है, जिसका ऋणात्मक व्युत्क्रम अभिलम्ब की प्रवणता है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, सबसे पहले \( \frac{dy}{d\theta} \) और \( \frac{dx}{d\theta} \) ज्ञात करें, फिर \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \) का प्रयोग करें और दिए गए बिंदु पर प्रवणता का मान निकालें।

 

Question 6. वक्र \( x = 1 - a \sin \theta \), \( y = b \cos^2 \theta \) के \( \theta = \frac { \pi }{ 2 } \) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( x = 1 - a \sin \theta \) तथा \( y = b \cos^2 \theta \)
दोनों पक्षों का \( \theta \) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dx}{d\theta} = - a \cos \theta \) तथा \( \frac{dy}{d\theta} = - 2b \cos \theta \sin \theta \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{- 2b \cos \theta \sin \theta}{- a \cos \theta} = \frac{2b \sin \theta}{a} \)
\( \theta = \frac{\pi}{2} \) रखने पर,
स्पर्श रेखा की प्रवणता \( m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{\theta = \frac{\pi}{2}} = \frac{2b \sin \frac{\pi}{2}}{a} = \frac{2b}{a} \) [: \( \sin\frac{\pi}{2}=1 \)]
अभिलम्ब की प्रवणता \( = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2b/a} = -\frac{a}{2b} \)
In simple words: पहले \( \frac{dx}{d\theta} \) और \( \frac{dy}{d\theta} \) निकाल कर \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। फिर दिए गए \( \theta \) मान पर स्पर्श रेखा की प्रवणता निकालें और उसका ऋणात्मक व्युत्क्रम अभिलम्ब की प्रवणता होती है।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा की प्रवणता और अभिलम्ब की प्रवणता का गुणनफल -1 होता है। यह संबंध अक्सर जांच के लिए उपयोगी होता है।

 

Question 7. वक्र \( y = x^3 – 3x^2 – 9x + 7 \) पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखायें x-अक्ष के समान्तर हैं।

Answer: हल-
Differentiating w.r.t. x, \( \frac{dy}{dx} = 3 (x-3) (x + 1) \)
Tangent is parallel to x-axis if the slope of tangent = 0
or \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies 3(x + 3)(x + 1) = 0 \)
\( \implies x = -1, 3 \)
when \( x = -1, y = 12 \) & When \( x = 3, y = - 20 \)
Hence the tangent to the given curve are parallel to x-axis at the points \( (-1, -12), (3, -20) \)
In simple words: जब स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर होती है, तो उसकी प्रवणता शून्य होती है। वक्र के अवकलन को शून्य के बराबर करके x के मान ज्ञात करें और फिर इन x मानों के लिए y के मान ज्ञात करके बिंदुओं को निकालें।

🎯 Exam Tip: जब स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर होती है तो \( \frac{dy}{dx} = 0 \)। यह स्थिति अक्सर महत्तम या न्यूनतम मानों को खोजने में सहायक होती है।

 

Question 8. वक्र \( y = (x – 2)^2 \) पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2,0) और (4,4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y = (x – 2)^2 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = 2 (x - 2) \frac{d}{dx}(x-2) = 2(x-2) \)
माना बिन्दु P (2, 0) तथा Q (4, 4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
\( m = \frac{4-0}{4-2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( \therefore \) स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = \frac{dy}{dx} = 2(x-2) \)
चूँकि स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) तथा (4, 0) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
रेखा की प्रवणता = वक्र की प्रवणता

\( \implies 2 = 2 (x-2) \)
\( \implies x-2=1 \)
\( \implies x = 1+2=3 \)
जब \( x = 3 \), तब \( y = (3-2)^2 = 1 \)
अतः बिन्दु (3, 1) पर स्पर्श रेखा जीवा के समान्तर होगी।
In simple words: पहले दो दिए गए बिंदुओं से एक रेखा की प्रवणता ज्ञात करें। फिर वक्र के लिए \( \frac{dy}{dx} \) निकालकर उसे इस प्रवणता के बराबर करें। इससे x का मान मिलेगा, जिसे वक्र के समीकरण में रखकर y का मान ज्ञात करें, जिससे अभीष्ट बिंदु प्राप्त होगा।

🎯 Exam Tip: दो रेखाओं के समान्तर होने का मतलब है कि उनकी प्रवणताएँ समान होती हैं। इस नियम का उपयोग करके \( \frac{dy}{dx} \) को ज्ञात प्रवणता के बराबर रखा जाता है।

 

Question 9. वक्र \( y = x^3 – 11x + 5 \) पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा \( y = x – 11 \) है।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण \( y = x^3 – 11x + 5 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 11 \) ...(1)
स्पर्श रेखा \( y = x - 11 \) की प्रवणता = 1 ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\( 3x^2 - 11 = 1 \)
\( \implies 3x^2 = 12 \)
\( \implies x^2 = 4 \)
\( \implies x = \pm 2 \)
जब \( x = 2 \), तब \( y = (2)^3 - 11 \times 2+5=8-22+5= 13-22 = -9 \)
जब \( x = -2 \), तब \( y = (-2)^3 - 11 \times (-2) + 5 = -8 +22+5=27-8 = 19 \)
\( (-2, 19) \) स्पर्श रेखा \( y = x - 11 \) पर नहीं है। अतः बिन्दु असम्भव है।
\( \therefore \) बिन्दु \( (2,- 9) \) पर स्पर्श रेखा \( y = x - 11 \) है।
In simple words: वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता को दिए गए स्पर्श रेखा के समीकरण की प्रवणता के बराबर करके x का मान ज्ञात करें। फिर इस x मान को वक्र के समीकरण में रखकर संगत y मान प्राप्त करें, जिससे अभीष्ट बिंदु मिलेगा।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा का समीकरण दिए होने पर, उसकी प्रवणता सीधे \( y=mx+c \) रूप से प्राप्त की जा सकती है, जहाँ m प्रवणता है। इसे वक्र के \( \frac{dy}{dx} \) के बराबर करें।

 

Question 10. प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक़ \( y=\frac { 1 }{ x-1 } \),x \( \neq -1 \) को स्पर्श करती है।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y=\frac { 1 }{ x-1 } \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x - 1)^2} \) ...(1)
चूँकि स्पर्श रेखा की प्रवणता = - 1 ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\( -\frac{1}{(x-1)^2} = -1 \)
\( \implies (x - 1)^2 = 1 \)
\( \implies x-1=\pm1 \)
\( \therefore x = 0,2 \)
जब \( x = 0 \), तब \( y = \frac{1}{0-1} = -1 \)
जब \( x = 2 \), तब \( y = \frac{1}{2-1} = 1 \)
\( \therefore (0, -1) \) तथा \( (2, 1) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = - 1
\( (0, -1) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण \( y + 1 = (-1) (x - 0) \)
\( \implies y+1=-x \)
या \( x + y + 1 = 0 \)
तथा \( (2, 1) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण, \( y-1=(-1) (x - 2) \)
\( \implies y-1=-x+2 \)
\( \implies y-1+x-2=0 \)
\( \therefore x+y-3=0 \)
अतः अभीष्ट स्पर्श रेखाओं के समीकरण \( x+y+1=0 \) और \( x + y - 3 = 0 \) है।
In simple words: वक्र का अवकलन करके उसकी प्रवणता को दी गई प्रवणता (-1) के बराबर करें। इससे x के स्पर्श बिंदु मिलेंगे। फिर इन x मानों से संगत y मान ज्ञात करें। अंत में, स्पर्श बिंदु और प्रवणता का उपयोग करके स्पर्श रेखाओं के समीकरण \( (y - y_1 = m(x - x_1)) \) ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा का समीकरण निकालने के लिए बिंदु-प्रवणता रूप \( y - y_1 = m(x - x_1) \) का उपयोग करें। यदि एक से अधिक स्पर्श बिंदु मिलते हैं, तो प्रत्येक के लिए समीकरण ज्ञात करें।

 

Question 11. प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र \( y=\frac { 1 }{ x-3 } \),x \( \neq 3 \) को स्पर्श करती है।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y=\frac { 1 }{ x-3 } \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x-3)(1) - 1(0-(1-0))}{(x-3)^2} = \frac{0-(1-0)}{(x-3)^2} \)
या \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x-3)^2} \) ...(1)
चूँकि स्पर्श रेखा की प्रवणता = 2 ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\( -\frac{1}{(x-3)^2} = 2 \)
\( \implies 2(x-3)^2 = -1 \)
\( \therefore (x - 3)^2 = -\frac{1}{2} \)
यह सम्भव नहीं है।
अतः ऐसी कोई भी स्पर्श रेखा नहीं होगी जिसकी प्रवणता 2 है।
In simple words: वक्र का अवकलन करके प्रवणता को दी गई प्रवणता (2) के बराबर करने पर, यदि \( (x-3)^2 = -\frac{1}{2} \) जैसा एक अवास्तविक परिणाम मिलता है, तो इसका अर्थ है कि ऐसी कोई वास्तविक स्पर्श रेखा मौजूद नहीं है।

🎯 Exam Tip: यह जांचना महत्वपूर्ण है कि \( x \) के लिए प्राप्त मान वास्तविक संख्याएं हैं या नहीं। यदि \( x \) के काल्पनिक मान प्राप्त होते हैं, तो कोई स्पर्श रेखा मौजूद नहीं होती।

 

Question 12. प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र को स्पर्श करती है।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण
(The problem description on page 18 cuts off the actual curve equation for Q12, which is assumed from the solution to be \( y = \frac{1}{x^2-2x+3} \). I will state this assumption.)
माना वक्र का समीकरण \( y = \frac{1}{x^2-2x+3} \)
दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-2x+3) \times 0 - 1(2x-2)}{(x^2-2x + 3)^2} = \frac{- (2x - 2)}{(x^2-2x+3)^2} = \frac{-2 (x - 1)}{(x^2-2x+3)^2} \)
चूँकि स्पर्श रेखा की प्रवणता = 0
\( \frac{-2 (x - 1)}{(x^2 - 2x + 3)^2} = 0 \)
\( \implies -2 (x-1) = 0 \)
\( \implies x = 1 \)
जब \( x = 1 \), तब \( y = \frac{1}{1^2-2\times1+3} = \frac{1}{1-2+3} = \frac{1}{2} \)
\( \therefore \) बिन्दु \( (1, \frac{1}{2}) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण \( y - y_1 = m (x – x_1) \)
\( y - \frac{1}{2} = 0 (x - 1) \)
\( \implies y - \frac{1}{2} = 0 \)
\( \implies y = \frac{1}{2} \)
अतः अभीष्ट रेखा का समीकरण \( y = \frac{1}{2} \) है।
In simple words: वक्र का अवकलन करके उसकी प्रवणता को शून्य के बराबर करें, क्योंकि स्पर्श रेखा की प्रवणता 0 है। इससे x का मान मिलेगा। इस x मान को वक्र के समीकरण में रखकर y का मान ज्ञात करें। फिर इस बिंदु और प्रवणता (0) का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: जब स्पर्श रेखा की प्रवणता 0 होती है, तो स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर एक क्षैतिज रेखा होती है, जिसका समीकरण \( y = y_1 \) होता है।

 

Question 13. वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
(i) x-अक्ष के समान्तर हैं,
(ii) y-अक्ष के समान्तर हैं।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण (The problem description on page 19 cuts off the actual curve equation for Q13, which is assumed from the solution to be \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \). I will state this assumption.)
माना वक्र का समीकरण \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0 \)
या \( \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{9} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{9} \times \frac{16}{2y} = -\frac{16x}{9y} \)
(i) जब स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर हो तब \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \therefore -\frac{16x}{9y} = 0 \)
\( \implies x = 0 \)
\( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \) में \( x = 0 \) रखने पर,
\( \frac{0^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \)
\( \implies \frac{y^2}{16} = 1 \)
\( \implies y^2 = 16 \)
\( \implies y = \pm 4 \)
x-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखाएँ बिन्दु \( (0, \pm 4) \) पर हैं।
(ii) जब स्पर्श रेखा y-अक्ष के समान्तर हो तब
\( \frac{1}{dy/dx} = 0 \)
\( \implies \frac{1}{-\frac{16x}{9y}} = 0 \)
\( \implies -\frac{9y}{16x} = 0 \)
\( \therefore y = 0 \)
\( y = 0 \), समीकरण \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \) में रखने पर,
\( \frac{x^2}{9} + \frac{0^2}{16} = 1 \)
\( \implies \frac{x^2}{9} = 1 \)
\( \implies x^2 = 9 \)
\( \implies x = \pm 3 \)
अतः y-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखाएँ बिन्दु \( (\pm 3,0) \) पर हैं।
In simple words: x-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखा के लिए \( \frac{dy}{dx} = 0 \) रखें और y-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखा के लिए \( \frac{dx}{dy} = 0 \) (या \( \frac{1}{dy/dx} = 0 \)) रखें। दोनों स्थितियों में x और y के मान ज्ञात करके संगत बिंदु प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि x-अक्ष के समान्तर रेखा की प्रवणता शून्य होती है और y-अक्ष के समान्तर रेखा की प्रवणता अपरिभाषित होती है (यानी \( \frac{dx}{dy}=0 \))।

 

Question 14. दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \) के (0, 5) पर
(ii) \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \) के (1, 3) पर
(iii) \( y = x^3 \) के (1, 1) पर .
(iv) \( y = x^2 \) के (0, 0) पर
(v) \( x = \cos t, y = \sin t \) के \( t=\frac { \pi }{ 4 } \) पर

Answer: हल-
(i) \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \)
\( \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10 \)
Putting \( x = 0, \frac{dy}{dx} \) at \( (0,5) = - 10 \)
Thus, the equation of tangent at P (0, 5) is
\( y-5=-10(x-0) \implies y+10x-5=0 \)
and the equation of normal at P (0,5)
\( (x-0)+(\frac{dy}{dx})^{-1}(y-5)=0 \implies x - \frac{1}{10}(y-5)=0 \implies 10x - y + 5 = 0 \)
(ii) \( y = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 10x + 5 \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,3)} = 4(1)^3-18(1)^2+26(1)-10=2 \)
Eq. of the tangent is: \( y-3=2(x-1) \implies 2x-y+1=0 \)
Eq. of the normal is: \( y-3=-\frac{1}{2}(x-1) \implies 2y-6=-x+1 \implies x+2y-7=0 \)
(iii) \( y=x^3 \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)} = 3x^2 = 3(1)^2=3 \)
The eq. of the tangent is \( y-1=3(x-1) \implies 3x-y-2=0 \)
The eq. of the normal is: \( y-1=-\frac{1}{3}(x-1) \implies 3y-3=-x+1 \implies x+3y-4=0 \)
(iv) \( y=x^2 \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = 2x=2(0)=0 \)
The eq. of the tangent is: \( y-0=0(x-0) \implies y = 0 \)
The eq. of the normal is: \( x-0=\frac{1}{0}(y-0) \) (slope undefined), so \( x=0 \)
(v) \( x = \cos t, y = \sin t \)
\( \frac{dx}{dt} = - \sin t \) तथा \( \frac{dy}{dt} = \cos t \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{- \sin t} = - \cot t \)
जब \( t = \frac{\pi}{4} \), तब स्पर्श रेखा की प्रवणता \( (m) = - \cot \frac{\pi}{4} = -1 \)
इस बिंदु पर \( x = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) तथा \( y = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
अतः बिन्दु \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
\( y - \frac{1}{\sqrt{2}} = (-1)(x - \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( \implies y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -x + \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \implies x + y - \frac{2}{\sqrt{2}} = 0 \implies x + y - \sqrt{2} = 0 \)
अभिलम्ब की प्रवणता \( = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-1} = 1 \)
\( \therefore \) बिन्दु \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \) पर अभिलम्ब का समीकरण \( y - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 (x - \frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( \implies y = x \)
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण \( x + y - \sqrt{2} = 0 \) तथा अभिलम्ब का समीकरण \( y = x \)
In simple words: दिए गए वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। प्रत्येक निर्दिष्ट बिंदु पर \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकालें, यह स्पर्श रेखा की प्रवणता होगी। फिर बिंदु-प्रवणता सूत्र \( y - y_1 = m(x - x_1) \) का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें। अभिलम्ब के लिए, प्रवणता \( -\frac{1}{m} \) का उपयोग करके समान सूत्र से अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: प्राचल समीकरणों के लिए, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \) का उपयोग करें। अभिलम्ब की प्रवणता हमेशा स्पर्श रेखा की प्रवणता के ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है (बशर्ते स्पर्श रेखा की प्रवणता शून्य या अपरिभाषित न हो)।

 

Question 15. वक्र \( y = x^2 – 2x + 7 \) की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो (a) रेखा \( 2x – y + 9 = 0 \) के समान्तर है। (b) रेखा \( 5y – 15x = 13 \) पर लम्ब है।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y = x^2 – 2x + 7 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = 2x - 2 \) = स्पर्श रेखा की प्रवणता ...(1)
(a) दिया है, रेखा \( 2x-y+9=0 \) के समान्तर है।
प्रवणता \( = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{-1} = 2 \) ...(2)
चूँकि स्पर्श रेखा समान्तर है अतः प्रवणताएँ समान होंगी।
\( 2x-2=2 \)
\( \implies 2x = 4 \)
\( \therefore x = 2 \)
x = 2 वक्र के समीकरण में रखने पर,
\( y = (2)^2-2\times2+7=4-4+7=7 \)
बिन्दु (2, 7) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
\( y-7=2(x-2) \)
\( \implies y-7=2x-4 \)
\( \implies 2x-y+4+7=0 \implies 2x - y + 3 = 0 \)
(b) दिया है, रेखा \( 5y - 15x = 13 \) पर लम्ब है।
इसकी प्रवणता \( = -\frac{-15}{5} = 3 \)
स्पर्श रेखा \( 5y - 15x = 13 \) पर लम्ब है।
स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = -\frac{1}{3} \) ...(3)
समीकरण (1) और (3) समान होंगे।
\( 2x - 2 = -\frac{1}{3} \)
\( \implies 2x=2-\frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)
\( \implies x = \frac{5}{6} \)
समीकरण वक्र \( y = x^2 – 2x + 7 \) में \( x = \frac{5}{6} \) रखने पर,
\( y=\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 2\left(\frac{5}{6}\right) + 7 = \frac{25}{36} - \frac{10}{6} + 7 = \frac{25-60+252}{36} = \frac{217}{36} \)
बिन्दु \( (\frac{5}{6}, \frac{217}{36}) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण \( y - \frac{217}{36} = -\frac{1}{3} \left(x-\frac{5}{6}\right) \)
दोनों पक्षों में 36 से गुणा करने पर,
\( 36y - 217 = -12(x - \frac{5}{6}) \)
\( 36y - 217 = -12x + 10 \)
\( \implies 12x+36y-10-217 = 0 \)
\( \implies 12x + 36y – 227 = 0 \)
In simple words: वक्र का अवकलन करके उसकी प्रवणता \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। (a) भाग में, दी गई रेखा की प्रवणता ज्ञात करें और उसे \( \frac{dy}{dx} \) के बराबर करें क्योंकि रेखाएं समान्तर हैं। इससे स्पर्श बिंदु मिलेगा और फिर स्पर्श रेखा का समीकरण। (b) भाग में, दी गई रेखा की प्रवणता ज्ञात करें और उसका ऋणात्मक व्युत्क्रम लें (क्योंकि रेखाएं लम्बवत हैं), उसे \( \frac{dy}{dx} \) के बराबर करके स्पर्श बिंदु और समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: समान्तर रेखाओं की प्रवणताएँ बराबर होती हैं, जबकि लम्बवत रेखाओं की प्रवणताओं का गुणनफल -1 होता है। इन संबंधों का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

 

Question 16. सिद्ध कीजिए कि वक्र \( y = 7x^3 + 11 \) के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ \( x = 2 \) तथा \( x = – 2 \) है।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण \( y = 7x^3 + 11 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \( \frac{dy}{dx} = 21 x^2 \)
जब \( x = 2 \), तब स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = 21 \times 2^2 = 21 \times 4 = 84 \)
जब \( x = -2 \), तब स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = 21 \times (-2)^2 = 84 \)
\( x = 2 \) तथा \( x = -2 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता समान हैं। अतः इन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं। इति सिद्धम्
In simple words: वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें, यह स्पर्श रेखा की प्रवणता है। फिर दिए गए x मानों (2 और -2) के लिए इस प्रवणता का मान ज्ञात करें। यदि दोनों प्रवणताएँ समान आती हैं, तो स्पर्श रेखाएँ समान्तर होंगी।

🎯 Exam Tip: समान प्रवणता वाले बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे के समान्तर होती हैं। इसे सिद्ध करने के लिए केवल दिए गए बिंदुओं पर \( \frac{dy}{dx} \) के मानों की तुलना करना पर्याप्त है।

 

Question 17. वक्र \( y = x^3 \) पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y-निर्देशांक के बराबर है।

Answer: हल-
दिया है, वक्र की समीकरण \( y = x^3 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \)
माना वक्र पर बिन्दु \( (x_1, y_1) \) है।
\( \therefore \) बिन्दु \( (x_1, y_1) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = 3x_1^2 \)
\( 3x_1^2 = y_1 \) ...(1)
\( (x_1, y_1) \) वक्र \( y = x^3 \) पर स्थित है।
\( \therefore y_1 = x_1^3 \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( x_1^3 = 3x_1^2 \)
\( \implies x_1^3 - 3x_1^2 = 0 \)
\( \implies x_1^2 (x_1 - 3) = 0 \)
\( \implies x_1 = 0, 3 \)
जब \( x_1 = 0 \), तब \( y_1 = 0^3 = 0 \)
जब \( x_1 = 3 \), तब \( y_1 = 3^3 = 27 \)
अतः अभीष्ट बिन्दु = \( (0, 0) \) तथा \( (3, 27) \) हैं।
In simple words: वक्र की प्रवणता \( (\frac{dy}{dx}) \) को y-निर्देशांक के बराबर करें। इससे x का मान मिलेगा, जिसे वक्र के समीकरण में रखकर संगत y मान प्राप्त करें, जिससे अभीष्ट बिंदु मिलेंगे।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पहले \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें, फिर प्रश्न में दी गई शर्त (जैसे प्रवणता का y-निर्देशांक के बराबर होना) का उपयोग करके समीकरण हल करें।

 

Question 18. वक्र \( y = 4x^3 – 2x^5 \), पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूलबिन्दु से होकर जाती हैं।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण \( y = 4x^3 – 2x^5 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \( \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 10x^4 \)
माना वक्र पर बिन्दु \( (x_1, y_1) \) है।
\( \therefore (x_1, y_1) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = 12x_1^2 - 10x_1^4 \) ...(2)
चूँकि \( (x_1,y_1) \) वक्र पर भी स्थित है।
\( y_1 = 4x_1^3 – 2x_1^5 \) ...(3)
\( (x_1, y_1) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
\( y - y_1 = (12x_1^2 - 10x_1^4)(x-x_1) \)
चूँकि यह मूलबिन्दु \( (0,0) \) से होकर जाती है अतः \( x = 0, y = 0 \) रखने पर,
\( 0 - y_1 = (12x_1^2 - 10x_1^4)(0 - x_1 ) \)
या \( - y_1 = (12x_1^2 - 10x_1^4)(-x_1) \) ...(4)
समी० (3) से \( y_1 \) का मान समी० (4) में रखने पर,
\( -(4x_1^3 – 2x_1^5) = x_1 (12x_1^2 - 10x_1^4) \)
\( \implies -4x_1^3 + 2x_1^5 = 12x_1^3 - 10x_1^5 \)
\( \implies 2x_1^5 + 10x_1^5 = 12x_1^3 + 4x_1^3 \)
\( \implies 12x_1^5 = 16x_1^3 \)
\( \implies 12x_1^5 - 16x_1^3 = 0 \)
\( \implies 4x_1^3 (3x_1^2 - 4) = 0 \)
\( \implies x_1 = 0 \) या \( 3x_1^2 - 4 = 0 \)
\( \implies x_1 = 0 \) या \( x_1^2 = \frac{4}{3} \implies x_1 = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \)
जब \( x_1 = 0 \), तब \( y_1 = 0 \)
जब \( x_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \), तब \( y_1 = 4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 - 2\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^5 = 4\left(\frac{8}{3\sqrt{3}}\right) - 2\left(\frac{32}{9\sqrt{3}}\right) = \frac{32}{3\sqrt{3}} - \frac{64}{9\sqrt{3}} = \frac{96-64}{9\sqrt{3}} = \frac{32}{9\sqrt{3}} \)
जब \( x_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}} \), तब \( y_1 = 4\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 - 2\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^5 = 4\left(-\frac{8}{3\sqrt{3}}\right) - 2\left(-\frac{32}{9\sqrt{3}}\right) = -\frac{32}{3\sqrt{3}} + \frac{64}{9\sqrt{3}} = \frac{-96+64}{9\sqrt{3}} = -\frac{32}{9\sqrt{3}} \)
अतः अभीष्ट बिन्दु = \( (0, 0), (\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{32}{9\sqrt{3}}), (-\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{32}{9\sqrt{3}}) \) है।
In simple words: वक्र पर एक सामान्य बिंदु \( (x_1, y_1) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। फिर इस बिंदु और प्रवणता का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें। चूँकि स्पर्श रेखा मूलबिंदु से गुजरती है, \( x=0, y=0 \) को स्पर्श रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इससे \( x_1 \) और \( y_1 \) के मान प्राप्त होंगे, जो अभीष्ट बिंदु होंगे।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि यदि कोई रेखा मूलबिंदु \( (0,0) \) से होकर जाती है, तो इसका समीकरण \( y=mx \) या \( x=0 \) (यदि प्रवणता अपरिभाषित हो) होता है। इस जानकारी का उपयोग स्पर्श रेखा के समीकरण को सरल बनाने में मदद करता है।

 

Question 19. वक्र \( x^2 + y^2 – 2x – 3 = 0 \) के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x-अक्ष के समान्तर हैं।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण \( x^2 + y^2 – 2x – 3 = 0 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( 2x + 2y \frac{dy}{dx} – 2 = 0 \)
\( \implies 2y \frac{dy}{dx} = 2 - 2x \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x}{2y} = \frac{1 - x}{y} \)
चूँकि स्पर्श रेखा x-अक्ष के समान्तर है।
\( \therefore \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies \frac{1 - x}{y} = 0 \)
\( \implies 1 - x = 0 \)
\( \therefore x = 1 \)
x = 1, वक्र के समीकरण \( x^2 + y^2-2x-3=0 \) में रखने पर,
\( 1^2 + y^2 - 2(1) - 3 = 0 \)
\( \implies 1 + y^2 - 2 - 3 = 0 \)
\( \implies y^2 - 4 = 0 \)
\( \implies y^2 = 4 \)
\( \therefore y = \pm 2 \)
अतः अपेक्षित बिन्दु = \( (1, 2) \) और \( (1, -2) \) हैं।
स्पर्श रेखा का समीकरण (जब \( x=1, y=2 \))
\( y - 2 = 0(x - 1) \implies y - 2 = 0 \implies y = 2 \)
स्पर्श रेखा का समीकरण (जब \( x=1, y=-2 \))
\( y - (-2) = 0(x - 1) \implies y + 2 = 0 \implies y = -2 \)
In simple words: वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। x-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखा की प्रवणता शून्य होती है, इसलिए \( \frac{dy}{dx} = 0 \) रखें और x के मान ज्ञात करें। इन x मानों को मूल वक्र के समीकरण में रखकर y के संगत मान प्राप्त करें, जिससे स्पर्श बिंदु मिलेंगे। फिर, बिंदु-प्रवणता सूत्र का उपयोग करके स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: वृत्त के समीकरण जैसे वक्रों में \( \frac{dy}{dx} \) का मान x और y दोनों पर निर्भर कर सकता है। x-अक्ष के समान्तर स्पर्श रेखा के लिए, केवल अंश को शून्य के बराबर करें (यदि हर शून्य नहीं है)।

 

Question 20. वक्र \( ay^2 = x^3 \) के बिन्दु \( (am^2, am^3) \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए और m का मान बताइए जिसके लिए अभिलम्ब बिन्दु \( (a, 0) \) से होकर जाता है।

Answer: हल-
वक्र \( ay^2 = x^3 \) ....(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( 2ay\frac{dy}{dx} = 3x^2 \)
या \( \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2ay} \)
बिन्दु \( (am^2, am^3) \) पर वक्र (1) की स्पर्शी की प्रवणता
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(am^2, am^3)} = \frac{3(am^2)^2}{2a(am^3)} = \frac{3a^2 m^4}{2a^2 m^3} = \frac{3}{2}m \)
तब बिन्दु \( (am^2, am^3) \) पर वक्र (1) के अभिलम्ब की प्रवणता
\( M = -\frac{1}{\frac{3}{2}m} = -\frac{2}{3m} \)
अतः सूत्र \( (y-y_1) = M(x-x_1) \) से, बिन्दु \( (am^2, am^3) \) पर अभिलम्ब का समीकरण
\( y - am^3 = -\frac{2}{3m} (x - am^2) \)
या \( 3m(y - am^3) = -2(x - am^2) \)
या \( 3my - 3a m^4 = -2x + 2am^2 \)
\( 3my + 2x = 3am^4 + 2am^2 \)
\( 3my + 2x = am^2 (3m^2 + 2) \)
यदि अभिलम्ब बिन्दु \( (a, 0) \) से होकर जाता है, अब
\( 3m(0) + 2a = am^2 (3m^2 + 2) \)
\( 2a = am^2 (3m^2 + 2) \)
या \( 2 = m^2 (3m^2 + 2) \)
या \( 3m^4 + 2m^2 - 2 = 0 \)
इसे \( m^2 \) के लिए द्विघात समीकरण के रूप में हल करने पर,
\( m^2 = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+24}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3} \)
चूँकि \( m^2 \) ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं।
\( \therefore m^2 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \)
\( \implies m = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{7}-1}{3}} \)
In simple words: वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें, फिर दिए गए बिंदु \( (am^2, am^3) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता निकालें। अभिलम्ब की प्रवणता इसका ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है। बिंदु-प्रवणता सूत्र का उपयोग करके अभिलम्ब का समीकरण लिखें। अंत में, अभिलम्ब को \( (a, 0) \) से गुजार कर m का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: \( m^2 \) के लिए द्विघात समीकरण को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि \( m^2 \) का मान धनात्मक हो, क्योंकि वास्तविक m के लिए \( m^2 \geq 0 \)।

 

Question 21. वक्र \( y = x^3 + 2x + 6 \) पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर अभिलम्ब रेखा \( x + 14y + 4 = 0 \) के समान्तर है।

Answer: हल-
Let the required normal be drawn at the point \( (x_1, y_1) \)
The equation of the given curve is \( y = x^3 + 2x + 6 \) ...(i)
Differentiating w.r.t. x
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2 \)
\( \implies \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1,y_1)} = 3x_1^2 + 2 \)
Since the normal at \( (x_1, y_1) \) is parallel to the
line \( x+14y+4=0 \)
Slope of the line \( x + 14y+4=0 \) is \( -\frac{1}{14} \).
Slope of the normal at \( (x_1, y_1) \) is also \( -\frac{1}{14} \).
But slope of normal is \( -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{3x_1^2+2} \)
So, \( -\frac{1}{3x_1^2+2} = -\frac{1}{14} \)
\( \implies 3x_1^2 + 2 = 14 \)
\( \implies 3x_1^2 = 12 \)
\( \implies x_1^2 = 4 \)
\( \implies x_1 = \pm 2 \)
\( \therefore \) The points \( (x_1, y_1) \) lies in (i)
When \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 2^3 + 2(2) + 6 = 8 + 4 + 6 = 18 \);
When \( x_1 = -2 \), \( y_1 = (-2)^3 + 2(-2) + 6 = -8 - 4 + 6 = -6 \)
Thus the co-ordinates of the points are \( (2, 18) \) and \( (-2, -6) \).
The eq. of the normal at \( (2, 18) \) is: \( y - 18 = -\frac{1}{14}(x-2) \implies 14y - 252 = -x + 2 \implies x+14y-254=0 \)
The equation of the normal at \( (-2, -6) \) is
\( y - (-6) = -\frac{1}{14}(x-(-2)) \implies y+6 = -\frac{1}{14}(x+2) \)
\( \implies 14y+84=-x-2 \implies x+14y+86=0 \)
In simple words: वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। अभिलम्ब की प्रवणता \( (-\frac{1}{dy/dx}) \) को दी गई रेखा की प्रवणता के बराबर करें, क्योंकि वे समान्तर हैं। इससे x के मान मिलेंगे, जिन्हें वक्र में रखकर y के संगत मान प्राप्त करें। फिर इन बिंदुओं और अभिलम्ब की प्रवणता का उपयोग करके अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब की प्रवणता \( m_N = -\frac{1}{m_T} \) होती है, जहाँ \( m_T \) स्पर्श रेखा की प्रवणता है। समान्तर रेखाओं की प्रवणताएँ समान होती हैं।

 

Question 22. परवलय \( y^2 = 4ax \) के बिन्दु \( (at^2, 2at) \) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y^2 = 4ax \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4a \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y} \)
बिन्दु \( (at^2, 2at) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(at^2, 2at)} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} \)
बिन्दु \( (at^2, 2at) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
\( y - 2at = \frac{1}{t}(x - at^2) \)
\( \implies ty - 2at^2 = x - at^2 \)
\( \implies x - ty + at^2 = 0 \)
अभिलम्ब की प्रवणता \( = -\frac{1}{1/t} = -t \)
\( \therefore \) बिन्दु \( (at^2, 2at) \) पर अभिलम्ब का समीकरण,
\( y - 2at = -t (x - at^2) \)
\( \implies y - 2at = -tx + at^3 \)
\( \implies tx + y - 2at - at^3 = 0 \)
In simple words: परवलय का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। दिए गए प्राचलिक बिंदु \( (at^2, 2at) \) पर \( \frac{dy}{dx} \) का मान निकालें, जो स्पर्श रेखा की प्रवणता होगी। फिर बिंदु-प्रवणता सूत्र का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण लिखें। अभिलम्ब के लिए, प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम \( (-t) \) का उपयोग करके अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: प्राचलिक बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात करने के लिए, x और y को t के फलन के रूप में मानें और श्रृंखला नियम का उपयोग करें।

 

Question 23. सिद्ध कीजिए कि वक्र \( x = y^2 \) और \( xy = k \) एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं यदि \( 8k^2=1 \) हो।

Answer: हल-
The given curves are \( x = y^2 \) ...(i)
and \( xy = k \) ...(ii)
From (i) \( x=y^2 \), substitute into (ii) \( y^2 \cdot y = k \implies y^3 = k \implies y = k^{1/3} \)
Substitute \( y = k^{1/3} \) into (i) \( x = (k^{1/3})^2 = k^{2/3} \)
Thus the point of intersection is \( (k^{2/3}, k^{1/3}) \)
Differentiating (i) w.r.t. x :
\( 1 = 2y \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \)
At point \( (k^{2/3}, k^{1/3}) \), slope of tangent for curve (i) is \( m_1 = \frac{1}{2k^{1/3}} \)
Differentiating (ii) \( xy=k \) w.r.t. x :
\( x \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \)
At point \( (k^{2/3}, k^{1/3}) \), slope of tangent for curve (ii) is \( m_2 = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}} = -\frac{1}{k^{1/3}} \)
Now the curves cut at right angles if the product of slopes of tangents to two curves at the point of intersection is -1.
\( m_1 m_2 = -1 \)
\( \implies \left(\frac{1}{2k^{1/3}}\right) \left(-\frac{1}{k^{1/3}}\right) = -1 \)
\( \implies -\frac{1}{2k^{2/3}} = -1 \)
\( \implies 2k^{2/3} = 1 \)
\( \implies (2k^{2/3})^3 = 1^3 \)
\( \implies 8k^2 = 1 \)
इति सिद्धम्
In simple words: दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करें। प्रत्येक वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) के रूप में स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करें। प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों प्रवणताओं के मान \( m_1 \) और \( m_2 \) निकालें। यदि वक्र समकोण पर काटते हैं, तो \( m_1 m_2 = -1 \) होना चाहिए। इस स्थिति को हल करके \( 8k^2=1 \) सिद्ध करें।

🎯 Exam Tip: वक्रों के समकोण पर काटने की शर्त \( m_1 m_2 = -1 \) का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि प्रवणताएँ प्रतिच्छेदन बिंदु पर ही निकाली गई हों।

 

Question 24. अतिपरवलय \( \frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 }} =1 \) के बिन्दु \( (x_0, y_0) \) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण \( \frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } =1 \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \)
\( \implies \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y} = \frac{b^2x}{a^2y} \)
\( \therefore (x_0,y_0) \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \)
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण \( y - y_0 = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} (x - x_0) \)
दोनों पक्षों में \( \frac{y_0}{b^2} \) से गुणा करने पर,
\( \frac{y y_0}{b^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{x x_0}{a^2} - \frac{x_0^2}{a^2} \)
\( \implies \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} \)
चूँकि बिन्दु \( (x_0, y_0) \) वक्र \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) पर स्थित है,
इसलिए \( \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \)
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण \( \frac{x x_0}{a^2} - \frac{y y_0}{b^2} = 1 \)
चूंकि स्पर्श रेखा की प्रवणता \( m = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} \)
अभिलम्ब की प्रवणता \( = -\frac{1}{m} = -\frac{a^2 y_0}{b^2 x_0} \)
अभिलम्ब का समीकरण \( y - y_0 = -\frac{a^2 y_0}{b^2 x_0} (x - x_0) \)
\( \implies \frac{y - y_0}{a^2 y_0} = -\frac{x - x_0}{b^2 x_0} \)
\( \implies \frac{x - x_0}{b^2 x_0} + \frac{y - y_0}{a^2 y_0} = 0 \)
In simple words: अतिपरवलय का x के सापेक्ष अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। बिंदु \( (x_0, y_0) \) पर इस प्रवणता का मान निकालें। इस प्रवणता और बिंदु का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण \( (y - y_0 = m(x - x_0)) \) प्राप्त करें। अभिलम्ब के लिए, प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम \( (-\frac{1}{m}) \) का उपयोग करके अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: अतिपरवलय के लिए स्पर्श रेखा का मानक रूप याद रखें: \( \frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1 \)। यह व्युत्पत्ति को सरल बनाता है।

 

Question 25. वक्र \( y=\sqrt { 3x-2 } \) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा \( 4x – 2y + 5 = 0 \) के समान्तर है।

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y=\sqrt { 3x-2 } \) ...(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x-2}} \times 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}} \)
स्पर्श रेखा \( 4x - 2y + 5 = 0 \) के समान्तर है।
अतः प्रवणता \( = -\frac{4}{-2} = 2 \)
स्पर्श रेखा की प्रवणता = रेखा की प्रवणता
\( \frac{3}{2\sqrt{3x-2}} = 2 \)
\( \implies 3 = 4\sqrt{3x-2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
\( 9 = 16 (3x-2) \)
\( \implies 9 = 48x - 32 \)
\( \implies 48x = 41 \)
\( \therefore x = \frac{41}{48} \)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\( y = \sqrt{3 \times \frac{41}{48} - 2} = \sqrt{\frac{41}{16} - 2} = \sqrt{\frac{41-32}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \)
बिन्दु \( (\frac{41}{48}, \frac{3}{4}) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
\( y - \frac{3}{4} = 2(x - \frac{41}{48}) \)
दोनों पक्षों को 48 से गुणा करने पर,
\( 48y - 36 = 96x - 82 \)
\( \implies 96x - 48y - 82 + 36 = 0 \)
\( \implies 96x - 48y - 46 = 0 \)
\( \implies 48x - 24y - 23 = 0 \)
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण \( 48x - 24y - 23 = 0 \) है।
In simple words: पहले वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। फिर दी गई रेखा की प्रवणता ज्ञात करें और उसे \( \frac{dy}{dx} \) के बराबर करें क्योंकि रेखाएं समान्तर हैं। इससे x का मान मिलेगा, जिसे वक्र में रखकर y का मान प्राप्त करें। अंत में, स्पर्श बिंदु और प्रवणता का उपयोग करके स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{f(x)} \) का अवकलन \( \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \) होता है। इस सूत्र को याद रखने से गणनाएँ आसान हो जाती हैं।

 

Question 26. वक्र \( y = 2x^2 + 3\sin x \) के \( x = 0 \) पर अभिलम्ब की प्रवणता है
(A) 3
(B) \( \frac { 1 }{ 3 } \)
(C) 3
(D) \( -\frac { 1 }{ 3 } \)

Answer: हल-
दिया है, वक्र का समीकरण \( y = 2x^2 + 3 \sin x \)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \( \frac{dy}{dx} = 4x + 3 \cos x \)
\( x = 0 \) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \( m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 4\times0 + 3 \cos 0 = 0 + 3(1) = 3 \)
\( \therefore \) अभिलम्ब की प्रवणता \( = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{3} \)
अतः विकल्प (D) सही है।
In simple words: वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। \( x = 0 \) पर इस प्रवणता का मान निकालें, जो स्पर्श रेखा की प्रवणता होगी। अभिलम्ब की प्रवणता इस स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है।

🎯 Exam Tip: बहुविकल्पीय प्रश्नों में, सही विकल्प का चयन करने से पहले सभी गणनाओं को ध्यान से करें। \( \cos 0 = 1 \) याद रखें।

 

Question 27. किस बिन्दु पर \( y = x + 1 \), वक्र \( y^2 = 4x \) की स्पर्श रेखा है? (A) (1,2) (B) (2,1) (C) (1,- 2) (D) (-1, 2)

Answer: हल- दिया है, वक्र का समीकरण \( y^2 = 4x \) ... (1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\( 2y \frac{dy}{dx} = 4 \)
\( \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y} \)
स्पर्श रेखा \( y = x + 1 \) की प्रवणता = 1 ... (3)
\( \therefore \) समीकरण (2) तथा (3) से,
\( \frac{2}{y} = 1 \)
\( \implies y = 2 \)
y का मान समी० (1) में रखने पर, \( 2^2 = 4x \)
\( \implies 4 = 4x \)
\( \implies x = 1 \)
बिन्दु \( (1, 2) \) पर रेखा \( y = x + 1 \) स्पर्श रेखा है।
अतः विकल्प (A) सही है।
In simple words: वक्र का अवकलन करके \( \frac{dy}{dx} \) ज्ञात करें। इसे दी गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के बराबर करें। इससे y का मान मिलेगा, जिसे वक्र के समीकरण में रखकर x का मान प्राप्त करें। यह बिंदु ही वह बिंदु होगा जहाँ रेखा वक्र को स्पर्श करती है।

🎯 Exam Tip: यह सत्यापित करने के लिए कि एक बिंदु सही है, आप बिंदु के निर्देशांकों को दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यदि वे दोनों को संतुष्ट करते हैं, तो बिंदु सही है।

 

Exercise 6.4

Question 1. अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए
(i) \( \sqrt { 25.3 } \)
(ii) \( \sqrt { 49.5 } \)
(iii) \( \sqrt {0.6} \)
(iv) \( (0.009)^{1/3} \)
(v) \( (0.999)^{1/10} \)
(vi) \( (15)^{1/4} \)
(vii) \( (26)^{1/3} \)
(viii) \( (255)^{1/4} \)
(ix) \( (82)^{1/4} \)
(x) \( (401)^{1/2} \)
(xi) \( (0.0037)^{1/2} \)
(xii) \( (26.57)^{1/3} \)
(xiii) \( (81.5)^{1/4} \)
(xiv) \( (3,968)^{3/2} \)
(xv) \( (32.15)^{1/5} \)

Answer: हल-
(i) \( y=\sqrt{x} \), \( x=25 \), \( \Delta x = 0.3 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( dy = \frac{1}{2\sqrt{25}} \times 0.3 = \frac{1}{10} \times 0.3 = 0.03 \)
\( \sqrt{25.3} \approx y + dy = \sqrt{25} + 0.03 = 5 + 0.03 = 5.030 \)
(ii) \( y=\sqrt{x} \), \( x=49 \), \( \Delta x = 0.5 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( dy = \frac{1}{2\sqrt{49}} \times 0.5 = \frac{1}{14} \times 0.5 = \frac{0.5}{14} \approx 0.0357 \)
\( \sqrt{49.5} \approx y + dy = \sqrt{49} + 0.0357 = 7 + 0.0357 = 7.0357 \approx 7.036 \)
(iii) \( y=\sqrt{x} \), \( x=1 \), \( \Delta x = -0.4 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( dy = \frac{1}{2\sqrt{1}} \times (-0.4) = -0.2 \)
\( \sqrt{0.6} \approx y + dy = \sqrt{1} - 0.2 = 1 - 0.2 = 0.800 \)
(iv) \( y=x^{1/3} \), \( x=0.008 \), \( \Delta x = 0.001 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} \)
\( dy = \frac{1}{3(0.008)^{2/3}} \times 0.001 = \frac{1}{3(0.04)} \times 0.001 = \frac{0.001}{0.12} \approx 0.00833 \)
\( (0.009)^{1/3} \approx y + dy = (0.008)^{1/3} + 0.00833 = 0.2 + 0.00833 = 0.20833 \approx 0.208 \)
(v) \( y=x^{1/10} \), \( x=1 \), \( \Delta x = -0.001 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{10}x^{-9/10} \)
\( dy = \frac{1}{10}(1)^{-9/10} \times (-0.001) = -0.0001 \)
\( (0.999)^{1/10} \approx y + dy = 1^{1/10} - 0.0001 = 1 - 0.0001 = 0.99990 \)
(vi) \( y=x^{1/4} \), \( x=16 \), \( \Delta x = -1 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4} \)
\( dy = \frac{1}{4}(16)^{-3/4} \times (-1) = \frac{1}{4 \times 8} \times (-1) = -\frac{1}{32} = -0.03125 \)
\( (15)^{1/4} \approx y + dy = 16^{1/4} - 0.03125 = 2 - 0.03125 = 1.96875 \approx 1.969 \)
(vii) \( y=x^{1/3} \), \( x=27 \), \( \Delta x = -1 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3} \)
\( dy = \frac{1}{3}(27)^{-2/3} \times (-1) = \frac{1}{3 \times 9} \times (-1) = -\frac{1}{27} \approx -0.03704 \)
\( (26)^{1/3} \approx y + dy = 27^{1/3} - 0.03704 = 3 - 0.03704 = 2.96296 \approx 2.963 \)
(viii) \( y=x^{1/4} \), \( x=256 \), \( \Delta x = -1 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4} \)
\( dy = \frac{1}{4}(256)^{-3/4} \times (-1) = \frac{1}{4 \times 64} \times (-1) = -\frac{1}{256} \approx -0.00391 \)
\( (255)^{1/4} \approx y + dy = 256^{1/4} - 0.00391 = 4 - 0.00391 = 3.99609 \approx 3.996 \)
(ix) \( y=x^{1/4} \), \( x=81 \), \( \Delta x = 1 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4} \)
\( dy = \frac{1}{4}(81)^{-3/4} \times 1 = \frac{1}{4 \times 27} = \frac{1}{108} \approx 0.00926 \)
\( (82)^{1/4} \approx y + dy = 81^{1/4} + 0.00926 = 3 + 0.00926 = 3.00926 \approx 3.009 \)
(x) \( y=x^{1/2} \), \( x=400 \), \( \Delta x = 1 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( dy = \frac{1}{2}(400)^{-1/2} \times 1 = \frac{1}{2 \times 20} = \frac{1}{40} = 0.025 \)
\( (401)^{1/2} \approx y + dy = 400^{1/2} + 0.025 = 20 + 0.025 = 20.025 \)
(xi) \( y=x^{1/2} \), \( x=0.0036 \), \( \Delta x = 0.0001 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( dy = \frac{1}{2}(0.0036)^{-1/2} \times 0.0001 = \frac{1}{2 \times 0.06} \times 0.0001 = \frac{0.0001}{0.12} \approx 0.00083 \)
\( (0.0037)^{1/2} \approx y + dy = (0.0036)^{1/2} + 0.00083 = 0.06 + 0.00083 = 0.06083 \approx 0.061 \)
(xii) \( y=x^{1/3} \), \( x=27 \), \( \Delta x = -0.43 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{-2/3} \)
\( dy = \frac{1}{3}(27)^{-2/3} \times (-0.43) = \frac{1}{27} \times (-0.43) = -\frac{0.43}{27} \approx -0.01593 \)
\( (26.57)^{1/3} \approx y + dy = 27^{1/3} - 0.01593 = 3 - 0.01593 = 2.98407 \approx 2.984 \)
(xiii) \( y=x^{1/4} \), \( x=81 \), \( \Delta x = 0.5 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4} \)
\( dy = \frac{1}{4}(81)^{-3/4} \times 0.5 = \frac{1}{4 \times 27} \times 0.5 = \frac{0.5}{108} \approx 0.00463 \)
\( (81.5)^{1/4} \approx y + dy = 81^{1/4} + 0.00463 = 3 + 0.00463 = 3.00463 \approx 3.005 \)
(xiv) \( y=x^{3/2} \), \( x=4 \), \( \Delta x = -0.032 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} \)
\( dy = \frac{3}{2}(4)^{1/2} \times (-0.032) = \frac{3}{2} \times 2 \times (-0.032) = -0.096 \)
\( (3.968)^{3/2} \approx y + dy = 4^{3/2} - 0.096 = 8 - 0.096 = 7.904 \)
(xv) \( y=x^{1/5} \), \( x=32 \), \( \Delta x = 0.15 \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{5}x^{-4/5} \)
\( dy = \frac{1}{5}(32)^{-4/5} \times 0.15 = \frac{1}{5 \times 16} \times 0.15 = \frac{0.15}{80} \approx 0.001875 \)
\( (32.15)^{1/5} \approx y + dy = 32^{1/5} + 0.001875 = 2 + 0.001875 = 2.001875 \approx 2.002 \)
In simple words: सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए मान को \( x + \Delta x \) के रूप में लिखें, जहाँ x एक ज्ञात फलन (जैसे वर्गमूल या घनमूल) का पूर्णांक मान है और \( \Delta x \) एक छोटा परिवर्तन है। फिर फलन \( y=f(x) \) के लिए \( dy = f'(x)\Delta x \) की गणना करें। सन्निकट मान \( f(x) + dy \) होगा।

🎯 Exam Tip: अवकल के अनुप्रयोग में सन्निकट मान के लिए सूत्र \( f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x \) का उपयोग करें। x का चयन हमेशा उस मान के रूप में करें जिसका वर्गमूल, घनमूल या अन्य घात आसानी से ज्ञात हो सके।

 

Question 1. (iii) भाग (i) की भाँति हल कीजिए।
Answer: यहाँ \(x = 1\), \(\Delta x = -0.4\) तब \(x + \Delta x = 1 - 0.4 = 0.6\)
\(\sqrt{0.6} = \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} (-0.4) = 1 - 0.2 = 0.8\)
In simple words: यह भाग, भाग (i) के समान ही है जहाँ वर्गमूल की अनुमानित गणना की जाती है। \(x = 1\) और \(\Delta x = -0.4\) लेकर, \(\sqrt{0.6}\) का मान \(0.8\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: अवकल के प्रयोग से सन्निकट मान ज्ञात करने के प्रश्नों में, \(y=f(x)\), \(x\) और \(\Delta x\) को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है।

 

Question 1. (iv) माना \(y = f(x) = x^{1/3}\)
Answer: \( \frac{dy}{dx} = f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}} \)
माना \(x = 0.008\), \(\Delta x = 0.001\)
\(y = x^{1/3} = (0.008)^{1/3} = 0.2\)
तब \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3(0.008)^{2/3}} = \frac{1}{3(0.04)} = \frac{1}{0.12} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{0.12} \times 0.001 = \frac{0.001}{0.12} \)
\((0.009)^{1/3} = y + \Delta y = 0.2 + \frac{0.001}{0.120} = 0.2 + \frac{2}{120} = 0.2 + \frac{1}{60} \)
\((0.009)^{1/3} = 0.2 + 0.00833 = 0.20833 \approx 0.208\)
In simple words: इस प्रश्न में, हमें \(x^{1/3}\) का सन्निकट मान ज्ञात करना है। \(x = 0.008\) और \(\Delta x = 0.001\) लेने पर, अवकलज का उपयोग करके \(0.009^{1/3}\) का सन्निकट मान \(0.208\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि \(\Delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \Delta x\) सूत्र का सही अनुप्रयोग करें और गणना में सटीकता बनाए रखें।

 

Question 1. (v) We know that \((1)^{1/10}= 1\) Let \(y=x^{1/10}\)
Answer: \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{10x^{9/10}} \)
\(\implies \frac{1}{10x^{9/10}} .\delta x = (x + \delta x)^{1/10} - x^{1/10}\)
Putting \(x = 1\) and \(\delta x=-0.001\)
\(\implies \frac{1}{10}(-0.001) = (0.999)^{1/10} - 1\)
\(\implies (0.999)^{1/10} = 1 - \frac{0.001}{10} = 1 - 0.0001\)
\((0.999)^{1/10} = 0.9999\)
In simple words: इस प्रश्न में, \((0.999)^{1/10}\) का सन्निकट मान ज्ञात किया गया है। \(y = x^{1/10}\) मानकर और \(x=1, \delta x = -0.001\) लेकर, अवकलज की सहायता से मान \(0.9999\) प्राप्त किया गया है।
🎯 Exam Tip: घातांक वाले सन्निकट मानों की गणना करते समय, \(x\) का ऐसा मान चुनें जो पूर्ण घात हो और \(\Delta x\) छोटा हो।

 

Question 1. (vi) माना \(y = f(x) = x^{1/4}\)
Answer: माना \(x = 16\) और \(x + \Delta x = 15\)
\(\implies \Delta x = -1\)
\(x = 16\) के लिए \(y = (16)^{1/4} = 2\)
अब \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^{3/4}} \)
\( \implies \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=16} = \frac{1}{4(16)^{3/4}} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{32} \times (-1) = -\frac{1}{32}\)
\((15)^{1/4} = y + \Delta y = 2 - \frac{1}{32} = \frac{64-1}{32} = \frac{63}{32} = 1.9688\)
In simple words: इस प्रश्न में \((15)^{1/4}\) का सन्निकट मान ज्ञात किया गया है। \(y = x^{1/4}\) मानकर, \(x=16\) और \(\Delta x=-1\) के लिए, यह मान \(1.9688\) आता है।
🎯 Exam Tip: ऋणात्मक \(\Delta x\) के साथ गणना करते समय चिह्नों की त्रुटियों से बचें, और मानों को अंतिम चरण में जोड़ें/घटाएं।

 

Question 1. (vii) माना \(y = (x)^{1/3}\)
Answer: माना \(x = 27\) और \(x + \Delta x = 26\)
\(\implies \Delta x = -1\)
\(x = 27\) के लिए \(y = (27)^{1/3} = 3\)
अब \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}} \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=27} = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{27} \times (-1) = -\frac{1}{27}\)
\((26)^{1/3} = y + \Delta y = 3 - \frac{1}{27} = \frac{81-1}{27} = \frac{80}{27} = 2.963\)
In simple words: इस प्रश्न में, \((26)^{1/3}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(y=x^{1/3}\) के साथ \(x=27\) और \(\Delta x=-1\) का उपयोग किया गया है, जिससे \(2.963\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \(\Delta x\) के लिए सही मान का उपयोग करते हैं और इसे अवकलज से गुणा करके \(\Delta y\) प्राप्त करते हैं।

 

Question 1. (viii) We know that \((256)^{1/4}=4\) Let \(y = x^{1/4}\)
Answer: \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^{3/4}} \)
\(\implies \frac{1}{4x^{3/4}} .\delta x = (x+\delta x)^{1/4} - x^{1/4}\)
Putting \(x = 256\) and \(\delta x = -1\)
\(\implies \frac{1}{4(256)^{3/4}}(-1) = (255)^{1/4} - (256)^{1/4}\)
\((255)^{1/4} = 4 - \frac{1}{4(64)} = 4 - \frac{1}{256} = \frac{1024-1}{256} = \frac{1023}{256}\)
\((255)^{1/4} = 3.9961\)
In simple words: इस प्रश्न में \((255)^{1/4}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(y=x^{1/4}\) के साथ \(x=256\) और \(\delta x=-1\) का उपयोग किया गया है, जिससे \(3.9961\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: वर्गमूल, घनमूल या अन्य घात के सन्निकट मान निकालते समय, \(x\) को पूर्ण वर्ग/घन/घात चुनें।

 

Question 1. (ix) माना \(y = x^{1/4}\)
Answer: माना \(x = 81\) और \(x + \Delta x = 82\)
\(\implies \Delta x = 1\)
\(x = 81\) के लिए \(y = (81)^{1/4} = 3\)
अब \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^{3/4}} \)
\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=81} = \frac{1}{4(81)^{3/4}} = \frac{1}{4(3^3)} = \frac{1}{4(27)} = \frac{1}{108} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{108} \times (1) = \frac{1}{108}\)
\((82)^{1/4} = y + \Delta y = 3 + \frac{1}{108} = \frac{324+1}{108} = \frac{325}{108}\)
\((82)^{1/4} = 3.009\)
In simple words: \((82)^{1/4}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(y=x^{1/4}\) के साथ \(x=81\) और \(\Delta x=1\) का उपयोग किया गया है, जिससे मान \(3.009\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सन्निकट गणना सटीक है, \(x\) को ज्ञात पूर्ण शक्ति और \(\Delta x\) को एक छोटा परिवर्तन के रूप में चुनें।

 

Question 1. (x) \((401)^{1/2}\)
Answer: माना \(y = \sqrt{x}\)
माना \(x = 400\), \(y = \sqrt{400} = 20\)
और \(\Delta x = 1\)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{2\sqrt{400}} \times 1 = \frac{1}{2 \times 20} = \frac{1}{40} = 0.025\)
\((401)^{1/2} = y + \Delta y = 20 + 0.025 = 20.025\)
In simple words: \((401)^{1/2}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(y=\sqrt{x}\) के साथ \(x=400\) और \(\Delta x=1\) का उपयोग किया गया है, जिससे मान \(20.025\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: वर्गमूल वाले प्रश्नों में, \(x\) को सबसे नज़दीकी पूर्ण वर्ग चुनें ताकि गणना आसान हो।

 

Question 1. (xi) \((0.0037)^{1/2}\)
Answer: माना \(y = \sqrt{x}\)
माना \(x = 0.0036\), \(y = \sqrt{0.0036} = 0.06\)
और \(\Delta x = 0.0001\)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{2\sqrt{0.0036}} \times 0.0001 = \frac{1}{2 \times 0.06} \times 0.0001 = \frac{0.0001}{0.12} \)
\(\Delta y = 0.000833\)
\((0.0037)^{1/2} = y + \Delta y = 0.06 + 0.000833 = 0.060833 \approx 0.0608\)
In simple words: इस प्रश्न में \((0.0037)^{1/2}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(y=\sqrt{x}\) के साथ \(x=0.0036\) और \(\Delta x=0.0001\) का उपयोग किया गया है, जिससे मान \(0.0608\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: दशमलव वाले सन्निकट मानों की गणना करते समय, दशमलव स्थानों की सटीकता बनाए रखना आवश्यक है।

 

Question 1. (xii) \((26.57)^{1/3}\)
Answer: माना \(y = x^{1/3}\)
माना \(x = 27\), \(y = (27)^{1/3} = 3\)
और \(\Delta x = -0.43\)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{3(27)^{2/3}} \times (-0.43) = \frac{1}{3(9)} \times (-0.43) = \frac{-0.43}{27}\)
\(\Delta y \approx -0.0159259\)
\((26.57)^{1/3} = y + \Delta y = 3 - 0.0159259 = 2.9840741 \approx 2.984\)
In simple words: इस प्रश्न में, \((26.57)^{1/3}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए \(y=x^{1/3}\) के साथ \(x=27\) और \(\Delta x=-0.43\) का उपयोग करके \(2.984\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \(\Delta x\) के लिए सही मान का उपयोग करते हैं और इसे अवकलज से गुणा करके \(\Delta y\) प्राप्त करते हैं।

 

Question 1. (xiii) \((81.5)^{1/4}\)
Answer: माना \(y = x^{1/4}\)
माना \(x = 81\), \(y = (81)^{1/4} = 3\)
और \(\Delta x = 0.5\)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^{3/4}} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{4(81)^{3/4}} \times 0.5 = \frac{1}{4(27)} \times 0.5 = \frac{0.5}{108}\)
\(\Delta y \approx 0.0046295\)
\((81.5)^{1/4} = y + \Delta y = 3 + 0.0046295 = 3.0046295 \approx 3.005\)
In simple words: \((81.5)^{1/4}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(y=x^{1/4}\) के साथ \(x=81\) और \(\Delta x=0.5\) का उपयोग किया गया है, जिससे मान \(3.005\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: गणना में सटीकता के लिए, दशमलव के बाद पर्याप्त अंकों तक गणना करें।

 

Question 1. (xiv) \((3.968)^{3/2}\)
Answer: माना \(y = x^{3/2}\)
माना \(x = 4\), \(y = (4)^{3/2} = 8\)
और \(\Delta x = -0.032\)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{1/2} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{3}{2} \sqrt{4} \times (-0.032) = \frac{3}{2} \times 2 \times (-0.032) = 3 \times (-0.032)\)
\(\Delta y = -0.096\)
\((3.968)^{3/2} = y + \Delta y = 8 - 0.096 = 7.904\)
In simple words: इस प्रश्न में, \((3.968)^{3/2}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए \(y=x^{3/2}\) के साथ \(x=4\) और \(\Delta x=-0.032\) का उपयोग करके \(7.904\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \(\Delta x\) के लिए सही मान का उपयोग करते हैं और इसे अवकलज से गुणा करके \(\Delta y\) प्राप्त करते हैं।

 

Question 1. (xv) \((32.15)^{1/5}\)
Answer: माना \(y = x^{1/5}\)
माना \(x = 32\), \(y = (32)^{1/5} = 2\)
और \(\Delta x = 0.15\)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{5x^{4/5}} \)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = \frac{1}{5(32)^{4/5}} \times 0.15 = \frac{1}{5(16)} \times 0.15 = \frac{0.15}{80}\)
\(\Delta y = 0.001875\)
\((32.15)^{1/5} = y + \Delta y = 2 + 0.001875 = 2.001875 \approx 2.002\)
In simple words: इस प्रश्न में, \((32.15)^{1/5}\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए \(y=x^{1/5}\) के साथ \(x=32\) और \(\Delta x=0.15\) का उपयोग करके \(2.002\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: दशमलव वाले सन्निकट मानों की गणना करते समय, दशमलव स्थानों की सटीकता बनाए रखना आवश्यक है।

 

Question 2. \(f(2.01)\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जबकि \(f(x) = 4x^2 + 5x + 2\) हल-
Answer: माना \(x = 2\) और \(x + \Delta x = 2.01\) तब \(\Delta x = 0.01\)
\(y = f(x) = 4x^2 + 5x + 2\)
\(\implies \frac{dy}{dx} = 8x + 5\)
\(y = f(2) = 4(2)^2 + 5(2) + 2 = 16 + 10 + 2 = 28\)
अब \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=2} = 8(2) + 5 = 16 + 5 = 21\)
\(\Delta y = \frac{dy}{dx} \times \Delta x = 21 \times 0.01 = 0.21\)
\(f(2.01) = y + \Delta y = 28 + 0.21 = 28.21\)
In simple words: \(f(2.01)\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(f(x)\) का मान \(x=2\) पर \(28\) है, और अवकलज का उपयोग करके \(0.21\) का परिवर्तन मिलता है, जिससे कुल सन्निकट मान \(28.21\) होता है।
🎯 Exam Tip: किसी फलन के सन्निकट मान ज्ञात करते समय, \(\Delta x\) को छोटा और \(x\) को आसान गणना वाला मान चुनें।

 

Question 3. \(f(5.001)\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ \(f(x) = x^3 - 7 x^2 + 15\) हल-
Answer: Let \(x + \Delta x = 5.001\), \(x = 5\) and \(\Delta x = 0.001\),
\(f(x) = x^3 - 7x^2 + 15\)
\(f'(x) = 3x^2 - 14x\)
\(f(5) = (5)^3 - 7(5)^2 + 15 = 125 - 7(25) + 15 = 125 - 175 + 15 = -35\)
\(f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x\)
\(f(5.001) \approx f(5) + f'(5) \times 0.001\)
\(f'(5) = 3(5)^2 - 14(5) = 3(25) - 70 = 75 - 70 = 5\)
\(f(5.001) \approx -35 + 5 \times 0.001 = -35 + 0.005 = -34.995\)
In simple words: \(f(5.001)\) का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए, \(f(x)\) के मान को \(x=5\) पर और उसके अवकलज का उपयोग करके, कुल सन्निकट मान \(-34.995\) प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: किसी फलन के सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए \(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\) सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ \(\Delta y \approx f'(x)\Delta x\) होता है।

 

Question 4. \(x\) मी भुजा वाले घन की भुजा में 1% की वृद्धि होने के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: माना घन का आयतन \(V = x^3\)
\(\Delta x = x\) का 1% \(= 0.01x\)
\( \frac{dV}{dx} = 3x^2 \)
सन्निकट परिवर्तन \(\Delta V = \frac{dV}{dx} \times \Delta x = 3x^2 \times 0.01x = 0.03x^3\) मी\(\text{}^3\)
In simple words: घन की भुजा में 1% की वृद्धि होने पर, उसके आयतन में सन्निकट परिवर्तन \(0.03x^3\) मी\(\text{}^3\) होगा, जिसे अवकलज का उपयोग करके गणना की जाती है।
🎯 Exam Tip: प्रतिशत वृद्धि को दशमलव में बदलने का ध्यान रखें, जैसे 1% = 0.01।

 

Question 5. \(x\) मी भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास होने के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: घन का पृष्ठ क्षेत्रफल \(S = 6x^2\)
\(\Delta x = x\) का 1% ह्रास \(= -0.01x\)
\( \frac{dS}{dx} = 12x \)
सन्निकट परिवर्तन \(\Delta S = \frac{dS}{dx} \times \Delta x = 12x \times (-0.01x) = -0.12x^2\) मी\(\text{}^2\)
In simple words: घन की भुजा में 1% की कमी होने पर, उसके पृष्ठ क्षेत्रफल में सन्निकट परिवर्तन \(-0.12x^2\) मी\(\text{}^2\) होगा, जो कि एक ह्रास दर्शाता है।
🎯 Exam Tip: ह्रास को दर्शाने के लिए \(\Delta x\) के मान को ऋणात्मक लें।

 

Question 6. एक गोले की त्रिज्या 7 मी मापी जाती है जिसमें 0.02 मी की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: ज्ञात है- गोले की त्रिज्या \(r = 7\) मी। \(\Delta r = 0.02\) मी
गोले का आयतन \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
दोनों पक्षों का \(r\) के सापेक्ष अवकलन करने पर, \( \frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi (3r^2) = 4\pi r^2 \)
आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि \(\Delta V = \frac{dV}{dr} \times \Delta r\)
\(\Delta V = 4\pi r^2 \times \Delta r = 4\pi (7)^2 \times 0.02\)
\(\Delta V = 4\pi \times 49 \times 0.02 = 196\pi \times 0.02 = 3.92\pi\) मी\(\text{}^3\)
In simple words: गोले की त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि के कारण, उसके आयतन की गणना में सन्निकट त्रुटि \(3.92\pi\) मी\(\text{}^3\) होगी।
🎯 Exam Tip: त्रुटि वाले प्रश्नों में, \(\Delta x\) हमेशा धनात्मक या ऋणात्मक त्रुटि को दर्शाता है, और \(\frac{dy}{dx}\Delta x\) सन्निकट त्रुटि होती है।

 

Question 7. एक गोले की त्रिज्या 9 मी मापी जाती है जिसमें 0.03 मी की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: ज्ञात है- गोले की त्रिज्या \(r = 9\) मी। \(\Delta r = 0.03\) मी
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S = 4\pi r^2\)
\( \frac{dS}{dr} = 8\pi r \)
पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि \(\Delta S = \frac{dS}{dr} \times \Delta r\)
\(\Delta S = 8\pi r \times \Delta r = 8\pi (9) \times 0.03\)
\(\Delta S = 72\pi \times 0.03 = 2.16\pi\) मी\(\text{}^2\)
In simple words: गोले की त्रिज्या मापने में हुई त्रुटि के कारण, उसके पृष्ठ क्षेत्रफल की गणना में सन्निकट त्रुटि \(2.16\pi\) मी\(\text{}^2\) होगी।
🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों के माप में सन्निकट त्रुटि हमेशा अवकलज के गुणनफल और मापने वाली मात्रा में त्रुटि के बराबर होती है।

 

Question 8. यदि \(f(x) = 3x^2 + 15x + 5\) हो तो \(f(3.02)\) का सन्निकट मान है- (A) 47.66 (B) 57.66 (C) 67.66 (D) 77.66 हल-
Answer: \(f(x) = 3x^2 + 15x + 5\)
\(f'(x) = 6x + 15\)
माना \(x = 3\) और \(\Delta x = 0.02\)
\(f(3) = 3(3)^2 + 15(3) + 5 = 27 + 45 + 5 = 77\)
\(f'(3) = 6(3) + 15 = 18 + 15 = 33\)
\(f(3.02) \approx f(3) + f'(3)\Delta x\)
\(f(3.02) \approx 77 + 33 \times 0.02 = 77 + 0.66 = 77.66\)
Answer: (D) 77.66
In simple words: \(f(3.02)\) का सन्निकट मान, \(f(3)\) और उसके अवकलज का उपयोग करके \(77.66\) पाया जाता है।
🎯 Exam Tip: बहुविकल्पीय प्रश्नों में, विकल्पों को देखकर अपनी गणना की सटीकता का अनुमान लगाया जा सकता है।

 

Question 9. भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा \(x\) के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है (A) \(0.06 x^3\) मी\(\text{}^3\)
(B) \(0.6 x^3\) मी\(\text{}^3\)
(C) \(0.09 x^3\) मी\(\text{}^3\)
(D) \(0.9 x^3\) मी\(\text{}^3\)
हल-
Answer: घन का आयतन \(V = x^3\)
भुजा में वृद्धि \(\Delta x = 3\%\) of \(x = \frac{3}{100}x = 0.03x\)
\( \frac{dV}{dx} = 3x^2 \)
सन्निकट परिवर्तन \(\Delta V = \frac{dV}{dx} \times \Delta x = 3x^2 \times 0.03x = 0.09x^3\) मी\(\text{}^3\)
Answer: (C) \(0.09 x^3\) मी\(\text{}^3\)
In simple words: घन की भुजा में 3% वृद्धि होने पर, आयतन में सन्निकट वृद्धि \(0.09x^3\) मी\(\text{}^3\) होती है, जिसे अवकलज का उपयोग करके निकाला जाता है।
🎯 Exam Tip: प्रतिशत वृद्धि या कमी को दशमलव में बदलने का सही तरीका जानना महत्वपूर्ण है।

 

प्रश्नावली 6.5

 

Question 1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) \(f(x) = (2x - 1)^2 + 3\)
(ii) \(f(x) = 9x^2 + 12x + 2\)
(iii) \(f(x) = -(x - 1)^2 + 10\)
(iv) \(g(x) = x^3 + 1\)
हल-
Answer: (i) दिया गया फलन \(f(x) = (2x - 1)^2 + 3\)
\((2x - 1)^2 \ge 0\) हमेशा। इसका न्यूनतम मान \(0\) है।
\(\implies f(x) \ge 0 + 3 \implies f(x) \ge 3\)
अतः \(f(x)\) का निम्नतम मान \(3\) है। उच्चतम मान अनंत है।

(ii) दिया गया फलन \(f(x) = 9x^2 + 12x + 2\)
\(f(x) = 9x^2 + 12x + 4 - 2 = (3x + 2)^2 - 2\)
\((3x + 2)^2 \ge 0\) हमेशा। इसका न्यूनतम मान \(0\) है।
\(\implies f(x) \ge 0 - 2 \implies f(x) \ge -2\)
अतः \(f(x)\) का निम्नतम मान \(-2\) है। उच्चतम मान अनंत है।

(iii) दिया गया फलन \(f(x) = -(x - 1)^2 + 10\)
\((x - 1)^2 \ge 0 \implies -(x - 1)^2 \le 0\)
\(\implies f(x) \le 0 + 10 \implies f(x) \le 10\)
अतः \(f(x)\) का उच्चतम मान \(10\) है। निम्नतम मान अनंत है।

(iv) दिया गया फलन \(g(x) = x^3 + 1\)
\(g'(x) = 3x^2\)
\(g'(x) \ge 0\) हमेशा \(x \in R\) के लिए।
इसलिए फलन \(g(x)\) एक निरंतर वृद्धिमान फलन है।
अतः इसका कोई न्यूनतम या अधिकतम मान नहीं है।
In simple words: ये प्रश्न फलनों के उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करने से संबंधित हैं। वर्ग पदों की प्रकृति के आधार पर, हम आसानी से निम्नतम या उच्चतम मानों को निर्धारित कर सकते हैं। घन फलन में, चूंकि यह हमेशा बढ़ता रहता है, इसलिए कोई चरम मान नहीं होता है।
🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त होने वाले फलनों में आसानी से उच्चतम या निम्नतम मान ज्ञात किया जा सकता है। क्यूबिक फलनों के लिए, अवकलज का उपयोग करके फलन के व्यवहार की जांच करें।

 

Question 2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) \(f(x) = |x + 2| - 1\)
(ii) \(g(x) = -|x + 1| + 3\)
(iii) \(h(x) = \sin (2x) + 5\)
(iv) \(f(x) = |\sin 4x + 3|\)
(v) \(h(x) = x + 1, x \in (-1,1)\)
हल-
Answer: (i) दिया गया फलन \(f(x) = |x + 2| - 1\)
हम जानते हैं कि \(|x + 2| \ge 0\) हमेशा। इसका निम्नतम मान \(0\) है।
\(\implies f(x) \ge 0 - 1 \implies f(x) \ge -1\)
अतः \(f(x)\) का निम्नतम मान \(-1\) है। उच्चतम मान अनंत है।

(ii) दिया गया फलन \(g(x) = -|x + 1| + 3\)
हम जानते हैं कि \(|x + 1| \ge 0 \implies -|x + 1| \le 0\)
\(\implies g(x) \le 0 + 3 \implies g(x) \le 3\)
अतः \(g(x)\) का उच्चतम मान \(3\) है। निम्नतम मान अनंत है।

(iii) दिया गया फलन \(h(x) = \sin (2x) + 5\)
हम जानते हैं कि \(-1 \le \sin (2x) \le 1\)
\(\implies -1 + 5 \le \sin (2x) + 5 \le 1 + 5\)
\(\implies 4 \le h(x) \le 6\)
अतः \(h(x)\) का निम्नतम मान \(4\) और उच्चतम मान \(6\) है।

(iv) दिया गया फलन \(f(x) = |\sin 4x + 3|\)
हम जानते हैं कि \(-1 \le \sin 4x \le 1\)
\(\implies -1 + 3 \le \sin 4x + 3 \le 1 + 3\)
\(\implies 2 \le \sin 4x + 3 \le 4\)
चूंकि \(\sin 4x + 3\) हमेशा धनात्मक है, इसलिए \(|\sin 4x + 3|\) भी \([\!\,2, 4]\) के बीच होगा।
अतः \(f(x)\) का निम्नतम मान \(2\) और उच्चतम मान \(4\) है।

(v) दिया गया फलन \(h(x) = x + 1, x \in (-1,1)\)
चूंकि \(h(x)\) एक खुला अंतराल \((-1,1)\) पर परिभाषित है, और एक रैखिक फलन है जो निरंतर वृद्धिमान है, यह अपने endpoints पर मान नहीं लेता है। इसलिए, इस अंतराल में \(h(x)\) का कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।
In simple words: ये प्रश्न निरपेक्ष मान और त्रिकोणमितीय फलनों के उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करने से संबंधित हैं। निरपेक्ष मानों की परिभाषा और त्रिकोणमितीय फलनों की रेंज का उपयोग करके, हम इन मानों को आसानी से निर्धारित कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: निरपेक्ष मान फलन \((|x|)\) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। \(\sin x\) और \(\cos x\) की रेंज \([-1, 1]\) होती है, जिसका उपयोग उच्चतम/निम्नतम मान निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

 

Question 3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम माने, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) \(f(x) = x^2\)
(ii) \(g(x) = x^3 - 3x\)
(iii) \(h(x) = \sin x + \cos x, 0 < x < \frac{\pi}{2}\)
(iv) \(f(x) = \sin x - \cos x, 0 < x < 2\pi\)
(v) \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15\)
(vi) \(g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x > 0\)
(vii) \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 2}\)
(viii) \(f(x) = x\sqrt{1-x}, x > 0\)
हल-
Answer: (i) दिया गया फलन \(f(x) = x^2\)
\(f'(x) = 2x\)
\(f'(x) = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0\)
\(x = 0\) पर, \(f'(x)\) का चिन्ह ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है।
अतः \(x = 0\) पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान \(f(0) = 0^2 = 0\)

(ii) दिया गया फलन \(g(x) = x^3 - 3x\)
\(g'(x) = 3x^2 - 3\)
\(g'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1\)
\(g''(x) = 6x\)
\(x = -1\) पर, \(g''(-1) = 6(-1) = -6 < 0\)
अतः \(x = -1\) पर स्थानीय उच्चतम है। स्थानीय उच्चतम मान \(g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2\)
\(x = 1\) पर, \(g''(1) = 6(1) = 6 > 0\)
अतः \(x = 1\) पर स्थानीय निम्नतम है। स्थानीय निम्नतम मान \(g(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2\)

(iii) दिया गया फलन \(h(x) = \sin x + \cos x, 0 < x < \frac{\pi}{2}\)
\(h'(x) = \cos x - \sin x\)
\(h'(x) = 0 \implies \cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1\)
\(x = \frac{\pi}{4}\)
\(h''(x) = -\sin x - \cos x\)
\(h''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0\)
अतः \(x = \frac{\pi}{4}\) पर स्थानीय उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान \(h\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)

(iv) दिया गया फलन \(f(x) = \sin x - \cos x, 0 < x < 2\pi\)
\(f'(x) = \cos x + \sin x\)
\(f'(x) = 0 \implies \cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -1\)
अंतराल \((0, 2\pi)\) में \(\tan x = -1\) के लिए \(x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\)
\(f''(x) = -\sin x + \cos x\)
\(x = \frac{3\pi}{4}\) पर, \(f''\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0\)
अतः \(x = \frac{3\pi}{4}\) पर स्थानीय उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान \(f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)
\(x = \frac{7\pi}{4}\) पर, \(f''\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0\)
अतः \(x = \frac{7\pi}{4}\) पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान \(f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\)

(v) दिया गया फलन \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15\)
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\)
\(f'(x) = 0 \implies x = 1\) या \(x = 3\)
\(f''(x) = 6x - 12\)
\(x = 1\) पर, \(f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0\)
अतः \(x = 1\) पर स्थानीय उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान \(f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19\)
\(x = 3\) पर, \(f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0\)
अतः \(x = 3\) पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान \(f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15\)

(vi) दिया गया फलन \(g(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}, x > 0\)
\(g'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}\)
\(g'(x) = 0 \implies \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \implies \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)
चूंकि \(x > 0\), इसलिए \(x = 2\)
\(g''(x) = \frac{4}{x^3}\)
\(x = 2\) पर, \(g''(2) = \frac{4}{(2)^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0\)
अतः \(x = 2\) पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान \(g(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2\)

(vii) दिया गया फलन \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 2}\)
\(g'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 2)^2}\)
\(g'(x) = 0 \implies -\frac{2x}{(x^2 + 2)^2} = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0\)
\(\implies x = 0\)
\(g''(x) = \frac{-2(x^2+2)^2 - (-2x) \cdot 2(x^2+2)(2x)}{(x^2+2)^4}\)
\(g''(x) = \frac{-2(x^2+2) + 8x^2}{(x^2+2)^3} = \frac{-2x^2-4 + 8x^2}{(x^2+2)^3} = \frac{6x^2-4}{(x^2+2)^3}\)
\(x = 0\) पर, \(g''(0) = \frac{6(0)^2-4}{((0)^2+2)^3} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} < 0\)
अतः \(x = 0\) पर स्थानीय उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान \(g(0) = \frac{1}{0^2 + 2} = \frac{1}{2}\)

(viii) दिया गया फलन \(f(x) = x\sqrt{1-x}, x > 0\)
\(f(x) = x(1-x)^{1/2}\)
\(f'(x) = 1 \cdot (1-x)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}(-1)\)
\(f'(x) = \sqrt{1-x} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 2x - x}{2\sqrt{1-x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1-x}}\)
\(f'(x) = 0 \implies 2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}\)
\(f''(x) = \frac{-3(2\sqrt{1-x}) - (2-3x)\left(2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}}(-1)\right)}{(2\sqrt{1-x})^2}\)
\(f''(x) = \frac{-6\sqrt{1-x} + \frac{2-3x}{\sqrt{1-x}}}{4(1-x)}\)
\(x = \frac{2}{3}\) पर, \(f''\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{-6\sqrt{1-\frac{2}{3}} + \frac{2-3(\frac{2}{3})}{\sqrt{1-\frac{2}{3}}}}{4(1-\frac{2}{3})} = \frac{-6\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{2-2}{\sqrt{\frac{1}{3}}}}{4(\frac{1}{3})} = \frac{-6/\sqrt{3} + 0}{4/3} = - \frac{18}{4\sqrt{3}} < 0\)
अतः \(x = \frac{2}{3}\) पर स्थानीय उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान \(f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}\)
In simple words: इन प्रश्नों में, फलन के स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मानों को प्रथम और द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करके ज्ञात किया गया है। क्रांतिक बिंदु, जहां अवकलज शून्य होता है, संभावित उच्चतम और निम्नतम मानों के स्थानों की पहचान करने में मदद करते हैं।
🎯 Exam Tip: स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मानों के लिए, प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर सेट करें और द्वितीय अवकलज के चिन्ह की जांच करें।

 

Question 4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों को उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है-
(i) \(f(x) = e^x\)
(ii) \(g(x) = \log x\)
(iii) \(h(x) = x^3 + x^2 + x + 1\)
हल-
Answer: (i) दिया गया फलन \(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x\)
चूंकि \(e^x\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए \(f'(x) \ne 0\) कभी नहीं। अतः कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
फलन \(e^x\) हमेशा वृद्धिमान है। इसलिए इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

(ii) दिया गया फलन \(g(x) = \log x\)
\(g'(x) = \frac{1}{x}\)
चूंकि \(\log x\) केवल \(x > 0\) के लिए परिभाषित है, और \(g'(x) = \frac{1}{x} > 0\) हमेशा। अतः कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
फलन \(\log x\) हमेशा वृद्धिमान है। इसलिए इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

(iii) दिया गया फलन \(h(x) = x^3 + x^2 + x + 1\)
\(h'(x) = 3x^2 + 2x + 1\)
\(h'(x)\) के मूल ज्ञात करने के लिए, द्विघात सूत्र का उपयोग करें: \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6}\)
चूंकि वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक मान है, \(h'(x)\) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
\(h'(x)\) हमेशा धनात्मक रहता है (शीर्षस्थ गुणांक धनात्मक और कोई वास्तविक मूल नहीं)।
इसलिए, फलन \(h(x)\) हमेशा वृद्धिमान है। अतः इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।
In simple words: इन फलनों के लिए, उच्चतम या निम्नतम मान मौजूद नहीं हैं क्योंकि ये या तो हमेशा बढ़ते रहते हैं (जैसे \(e^x\), \(\log x\), और \(x^3 + x^2 + x + 1\) जिसका अवकलज हमेशा धनात्मक होता है) और क्रांतिक बिंदु नहीं होते हैं।
🎯 Exam Tip: किसी फलन का कोई उच्चतम या निम्नतम मान तभी होता है जब उसका अवकलज शून्य हो सकता हो। यदि अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन क्रमशः हमेशा वृद्धिमान या ह्रासमान होता है।

 

Question 5. प्रदत्त अन्तरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए
(i) \(f(x) = x^3, x \in [-2,2]\)
(ii) \(f(x) = \sin x + \cos x, x \in [0, \pi]\)
(iii) \(f(x) = 4x - \frac{1}{2}x^2, x \in [-2,\frac{9}{2}]\)
(iv) \(f(x) = (x - 1)^2 + 3, x \in [-3,1]\)
हल-
Answer: (i) दिया गया फलन \(f(x) = x^3\), अंतराल \([-2, 2]\)
\(f'(x) = 3x^2\)
\(f'(x) = 0 \implies 3x^2 = 0 \implies x = 0\)
अंतराल \([-2, 2]\) में फलन के मानों का मूल्यांकन करें: \(x = -2, 0, 2\)
\(f(-2) = (-2)^3 = -8\)
\(f(0) = (0)^3 = 0\)
\(f(2) = (2)^3 = 8\)
निरपेक्ष उच्चतम मान \(8\) और निरपेक्ष निम्नतम मान \(-8\) है।

(ii) दिया गया फलन \(f(x) = \sin x + \cos x\), अंतराल \([0, \pi]\)
\(f'(x) = \cos x - \sin x\)
\(f'(x) = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1\)
अंतराल \([0, \pi]\) में, \(x = \frac{\pi}{4}\)
अंतराल \([0, \pi]\) में फलन के मानों का मूल्यांकन करें: \(x = 0, \frac{\pi}{4}, \pi\)
\(f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1\)
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)
\(f(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1\)
निरपेक्ष उच्चतम मान \(\sqrt{2}\) और निरपेक्ष निम्नतम मान \(-1\) है।

(iii) दिया गया फलन \(f(x) = 4x - \frac{1}{2}x^2\), अंतराल \([-2, \frac{9}{2}]\)
\(f'(x) = 4 - x\)
\(f'(x) = 0 \implies 4 - x = 0 \implies x = 4\)
अंतराल \([-2, \frac{9}{2}]\) में फलन के मानों का मूल्यांकन करें: \(x = -2, 4, \frac{9}{2}\)
\(f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{2}(-2)^2 = -8 - \frac{1}{2}(4) = -8 - 2 = -10\)
\(f(4) = 4(4) - \frac{1}{2}(4)^2 = 16 - \frac{1}{2}(16) = 16 - 8 = 8\)
\(f\left(\frac{9}{2}\right) = 4\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18 - \frac{1}{2}\left(\frac{81}{4}\right) = 18 - \frac{81}{8} = \frac{144 - 81}{8} = \frac{63}{8} = 7.875\)
निरपेक्ष उच्चतम मान \(8\) और निरपेक्ष निम्नतम मान \(-10\) है।

(iv) दिया गया फलन \(f(x) = (x - 1)^2 + 3\), अंतराल \([-3, 1]\)
\(f'(x) = 2(x - 1)\)
\(f'(x) = 0 \implies 2(x - 1) = 0 \implies x = 1\)
अंतराल \([-3, 1]\) में फलन के मानों का मूल्यांकन करें: \(x = -3, 1\)
\(f(-3) = (-3 - 1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19\)
\(f(1) = (1 - 1)^2 + 3 = 0 + 3 = 3\)
निरपेक्ष उच्चतम मान \(19\) और निरपेक्ष निम्नतम मान \(3\) है।
In simple words: किसी बंद अंतराल पर निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करने के लिए, क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर फलन के मानों की गणना करें। फिर उन सभी मानों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को चुनें।
🎯 Exam Tip: बंद अंतराल पर निरपेक्ष उच्चतम/निम्नतम मान ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करने के लिए सभी क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर फलन का मूल्यांकन करना आवश्यक है कि आपने सभी संभावित चरम मानों को शामिल कर लिया है।

 

Question 6. यदि लाभ फलन \(p(x) = 41 - 72x - 18x^2\) से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: दिया गया लाभ फलन \(p(x) = 41 - 72x - 18x^2\)
उच्चतम लाभ के लिए, \(p'(x) = 0\)
\(p'(x) = -72 - 36x\)
\(-72 - 36x = 0 \implies -36x = 72 \implies x = -2\)
\(p''(x) = -36\)
चूंकि \(p''(-2) = -36 < 0\), इसलिए \(x = -2\) पर उच्चतम लाभ है।
उच्चतम लाभ \(p(-2) = 41 - 72(-2) - 18(-2)^2\)
\(p(-2) = 41 + 144 - 18(4) = 41 + 144 - 72 = 185 - 72 = 113\)
अतः उच्चतम लाभ Rs \(113\) है।
In simple words: उच्चतम लाभ ज्ञात करने के लिए, लाभ फलन का अवकलज ज्ञात किया जाता है और उसे शून्य के बराबर सेट किया जाता है। फिर द्वितीय अवकलज परीक्षण से पुष्टि की जाती है कि यह उच्चतम बिंदु है, और उस \(x\) मान पर लाभ की गणना की जाती है।
🎯 Exam Tip: लाभ या लागत के उच्चतम/निम्नतमकरण से संबंधित प्रश्नों में, हमेशा द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करके सत्यापित करें कि क्या क्रांतिक बिंदु वास्तव में उच्चतम या निम्नतम है।

 

Question 7. अन्तराल \([0, 3]\) पर \(3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25\) के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: माना \(f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25\)
\(f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 24x - 48\)
\(f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 + 2x - 4) = 12[x^2(x - 2) + 2(x - 2)]\)
\(f'(x) = 12(x - 2)(x^2 + 2)\)
\(f'(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2\) (क्योंकि \(x^2 + 2\) कभी शून्य नहीं हो सकता)
अब, अंतराल \([0, 3]\) के क्रांतिक बिंदु और endpoints पर \(f(x)\) का मान ज्ञात करें: \(x = 0, 2, 3\)
\(f(0) = 3(0)^4 - 8(0)^3 + 12(0)^2 - 48(0) + 25 = 25\)
\(f(2) = 3(2)^4 - 8(2)^3 + 12(2)^2 - 48(2) + 25\)
\(f(2) = 3(16) - 8(8) + 12(4) - 96 + 25 = 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = -39\)
\(f(3) = 3(3)^4 - 8(3)^3 + 12(3)^2 - 48(3) + 25\)
\(f(3) = 3(81) - 8(27) + 12(9) - 144 + 25 = 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16\)
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान \(25\) है। निरपेक्ष निम्नतम मान \(-39\) है।
In simple words: दिए गए अंतराल में फलन के उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात करने के लिए, क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर फलन के मानों की गणना की जाती है। सबसे बड़ा मान उच्चतम है और सबसे छोटा मान निम्नतम है।
🎯 Exam Tip: एक बंद अंतराल पर उच्चतम और निम्नतम मानों को खोजने के लिए, क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के छोरों पर फलन का मूल्यांकन करना सुनिश्चित करें।

 

Question 8. अन्तराल \([0, 2\pi]\) के किन बिन्दुओं पर फलन \(\sin 2x\) अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है। हल-
Answer: माना \(f(x) = \sin 2x\), अंतराल \([0, 2\pi]\)
\(f'(x) = 2\cos 2x\)
\(f'(x) = 0 \implies 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 0\)
अंतराल \([0, 4\pi]\) में \(2x\) के लिए: \(2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\)
\(\implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\)
अब अंतराल \([0, 2\pi]\) के क्रांतिक बिंदुओं और endpoints पर \(f(x)\) का मान ज्ञात करें: \(x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi\)
\(f(0) = \sin (2 \times 0) = \sin 0 = 0\)
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)
\(f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \times \frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\)
\(f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \times \frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)
\(f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \times \frac{7\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \sin\left(4\pi - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\)
\(f(2\pi) = \sin(2 \times 2\pi) = \sin(4\pi) = 0\)
फलन \(\sin 2x\) अपना उच्चतम मान \(1\) प्राप्त करता है \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\) पर।
In simple words: फलन \(\sin 2x\) अपने उच्चतम मान \(1\) को \(x = \frac{\pi}{4}\) और \(x = \frac{5\pi}{4}\) पर प्राप्त करता है, जिसे क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर मानों का मूल्यांकन करके ज्ञात किया जाता है।
🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते समय, दिए गए अंतराल में सभी संभावित मानों को शामिल करने के लिए कोण के सामान्य हल पर विचार करें।

 

Question 9. फलन \(\sin x + \cos x\) का उच्चतम मान क्या है? हल-
Answer: माना \(f(x) = \sin x + \cos x\)
\(f'(x) = \cos x - \sin x\)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, \(f'(x) = 0\)
\( \cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x \implies \tan x = 1 \)
अंतराल \([0, 2\pi]\) में, \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\)
अब अंतराल \([0, 2\pi]\) के क्रांतिक बिंदुओं और endpoints पर \(f(x)\) का मान ज्ञात करें: \(x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, 2\pi\)
\(f(0) = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1\)
\(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)
\(f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}\)
\(f(2\pi) = \sin(2\pi) + \cos(2\pi) = 0 + 1 = 1\)
अतः उच्चतम मान \(\sqrt{2}\) है जो \(x = \frac{\pi}{4}\) पर प्राप्त होता है।
In simple words: फलन \(\sin x + \cos x\) का उच्चतम मान \(\sqrt{2}\) है, जिसे क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर फलन के मानों का मूल्यांकन करके पाया जाता है।
🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय योग फलनों के उच्चतम मान \(\sqrt{a^2+b^2}\) और निम्नतम मान \(-\sqrt{a^2+b^2}\) होते हैं।

 

Question 10. अन्तराल \([1,3]\) में \(2x^3 - 24x + 107\) का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अन्तराला \([-3,-1]\) में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: माना \(f(x) = 2x^3 - 24x + 107\)
\(f'(x) = 6x^2 - 24\)
महत्तम व निम्नतम मान के लिए, \(f'(x) = 0\)
\(6x^2 - 24 = 0 \implies 6x^2 = 24 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)

अंतराल \([1, 3]\) के लिए:
इस अंतराल में \(x=2\) क्रांतिक बिंदु है। endpoints हैं \(x=1\) और \(x=3\)।
\(f(1) = 2(1)^3 - 24(1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85\)
\(f(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75\)
\(f(3) = 2(3)^3 - 24(3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89\)
अतः अंतराल \([1, 3]\) में महत्तम मान \(89\) है (जो \(x=3\) पर प्राप्त होता है)।

अंतराल \([-3, -1]\) के लिए:
इस अंतराल में \(x=-2\) क्रांतिक बिंदु है। endpoints हैं \(x=-3\) और \(x=-1\)
\(f(-3) = 2(-3)^3 - 24(-3) + 107 = -54 + 72 + 107 = 125\)
\(f(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 107 = -16 + 48 + 107 = 139\)
\(f(-1) = 2(-1)^3 - 24(-1) + 107 = -2 + 24 + 107 = 129\)
अतः अंतराल \([-3, -1]\) में महत्तम मान \(139\) है (जो \(x=-2\) पर प्राप्त होता है)।
In simple words: किसी बंद अंतराल पर महत्तम मान ज्ञात करने के लिए, फलन के क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर मानों की गणना की जाती है, और उनमें से सबसे बड़े मान को चुना जाता है।
🎯 Exam Tip: जब एक ही फलन के लिए अलग-अलग अंतरालों पर महत्तम मान पूछा जाता है, तो प्रत्येक अंतराल के क्रांतिक बिंदुओं और endpoints को अलग-अलग जांचें।

 

Question 11. यदि दिया है कि अन्तराल \([0,2]\) में \(x = 1\) पर फलन \(x^4 - 62x^2 + ax + 9\) उच्चतम मान प्राप्त करता है तो \(a\) का मान ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: माना \(f(x) = x^4 - 62x^2 + ax + 9\)
\(f'(x) = 4x^3 - 124x + a\)
चूंकि \(x = 1\) पर फलन उच्चतम मान प्राप्त करता है, इसलिए \(f'(1) = 0\)
\(4(1)^3 - 124(1) + a = 0\)
\(4 - 124 + a = 0\)
\(-120 + a = 0\)
\(a = 120\)
In simple words: यदि किसी फलन का उच्चतम मान एक विशिष्ट बिंदु पर प्राप्त होता है, तो उस बिंदु पर उसका प्रथम अवकलज शून्य होना चाहिए। इसका उपयोग करके, हम अज्ञात गुणांक \(a\) का मान ज्ञात कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: उच्चतम या निम्नतम मान पर, फलन का अवकलज हमेशा शून्य होता है। इसका उपयोग अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

 

Question 12. अन्तराल \([0,2\pi]\) पर \(x + \sin 2x\) का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: माना \(f(x) = x + \sin 2x\), अंतराल \([0, 2\pi]\)
\(f'(x) = 1 + 2\cos 2x\)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, \(f'(x) = 0\)
\(1 + 2\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}\)
अंतराल \([0, 4\pi]\) में \(2x\) के लिए: \(2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}\)
\(\implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\)
अब अंतराल \([0, 2\pi]\) के क्रांतिक बिंदुओं और endpoints पर \(f(x)\) का मान ज्ञात करें: \(x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, 2\pi\)
\(f(0) = 0 + \sin(0) = 0\)
\(f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.047 + 0.866 = 1.913\)
\(f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.094 - 0.866 = 1.228\)
\(f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.189 + 0.866 = 5.055\)
\(f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} + \sin\left(\frac{10\pi}{3}\right) = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.236 - 0.866 = 4.370\)
\(f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi + 0 \approx 6.283\)
अतः उच्चतम मान \(2\pi\) (जो \(x = 2\pi\) पर प्राप्त होता है) और निम्नतम मान \(0\) (जो \(x = 0\) पर प्राप्त होता है) है।
In simple words: फलन \(x + \sin 2x\) के उच्चतम और निम्नतम मानों को क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के endpoints पर फलन के मानों का मूल्यांकन करके ज्ञात किया जाता है। उच्चतम मान \(2\pi\) और निम्नतम मान \(0\) है।
🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के उच्चतम और निम्नतम मानों की तुलना करते समय, यदि आवश्यक हो तो संख्यात्मक मानों की गणना करें।

 

Question 13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो। हल-
Answer: माना पहली संख्या \(x\) है, तब दूसरी संख्या \(24 - x\) है।
उनका गुणनफल \(p = x(24 - x) = 24x - x^2\)
\( \frac{dp}{dx} = 24 - 2x \)
उच्चतम गुणनफल के लिए, \( \frac{dp}{dx} = 0 \)
\(24 - 2x = 0 \implies 2x = 24 \implies x = 12\)
\( \frac{d^2p}{dx^2} = -2 \)
चूंकि \( \frac{d^2p}{dx^2} = -2 < 0 \), इसलिए \(x = 12\) पर गुणनफल उच्चतम है।
जब \(x = 12\), तो दूसरी संख्या \(24 - 12 = 12\) है।
अतः संख्याएँ \(12\) और \(12\) हैं।
In simple words: दो संख्याओं का योग 24 होने पर उच्चतम गुणनफल प्राप्त करने के लिए, दोनों संख्याएँ 12 होनी चाहिए। इसे अवकलज का उपयोग करके गुणनफल फलन को अधिकतम करके प्राप्त किया जाता है।
🎯 Exam Tip: उच्चतमकरण/निम्नतमकरण समस्याओं में, समस्या को एक चर के फलन के रूप में व्यक्त करें और फिर अधिकतम या न्यूनतम खोजने के लिए अवकलज का उपयोग करें।

 

Question 14. ऐसी दो धन संख्याएँ \(x\) और \(y\) ज्ञात कीजिए ताकि \(x + y = 60\) और \(xy^3\) उच्चतम हो । हल-
Answer: दिया है, \(x + y = 60 \implies x = 60 - y\)
माना \(P = xy^3\)
\(P = (60 - y)y^3 = 60y^3 - y^4\)
उच्चतम \(P\) के लिए, \( \frac{dP}{dy} = 0 \)
\( \frac{dP}{dy} = 180y^2 - 4y^3 = 4y^2(45 - y) \)
\(4y^2(45 - y) = 0 \implies y = 0\) या \(y = 45\)
चूंकि \(y\) एक धन संख्या है, \(y \ne 0\), इसलिए \(y = 45\)
\( \frac{d^2P}{dy^2} = 360y - 12y^2 = 12y(30 - y) \)
\(y = 45\) पर, \( \frac{d^2P}{dy^2} = 12(45)(30 - 45) = 12(45)(-15) = -8100 < 0 \)
अतः \(y = 45\) पर \(P\) उच्चतम है।
जब \(y = 45\), तब \(x = 60 - 45 = 15\)
अतः संख्याएँ \(x = 15\) और \(y = 45\) हैं।
In simple words: दो धन संख्याएँ \(x=15\) और \(y=45\) का योग 60 है और उनके लिए \(xy^3\) उच्चतम होता है।
🎯 Exam Tip: constraint equation (\(x+y=60\)) का उपयोग optimization objective (\(xy^3\)) को एक चर के फलन में बदलने के लिए करें।

 

Question 15. ऐसी दो धन संख्याएँ \(x\) और \(y\) ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल \(x^2y^5\) उच्चतम हो । हल-
Answer: दिया है, \(x + y = 35 \implies y = 35 - x\)
माना \(P = x^2y^5\)
\(P = x^2(35 - x)^5\)
उच्चतम \(P\) के लिए, \( \frac{dP}{dx} = 0 \)
\( \frac{dP}{dx} = 2x(35 - x)^5 + x^2 \cdot 5(35 - x)^4(-1) \)
\( \frac{dP}{dx} = x(35 - x)^4 [2(35 - x) - 5x] \)
\( \frac{dP}{dx} = x(35 - x)^4 [70 - 2x - 5x] \)
\( \frac{dP}{dx} = x(35 - x)^4 (70 - 7x) \)
\(x(35 - x)^4 (70 - 7x) = 0\)
\(\implies x = 0\), \(x = 35\), या \(70 - 7x = 0 \implies 7x = 70 \implies x = 10\)
चूंकि \(x\) एक धन संख्या है, \(x \ne 0\) और \(x \ne 35\)। इसलिए \(x = 10\)
\( \frac{dP}{dx} = x(35 - x)^4 (70 - 7x) \)
\(x < 10\) के लिए, \(\frac{dP}{dx} > 0\) (जैसे \(x=9\): \(9(26)^4(1)\) जो धनात्मक है)
\(x > 10\) के लिए, \(\frac{dP}{dx} < 0\) (जैसे \(x=11\): \(11(24)^4(-7)\) जो ऋणात्मक है)
अतः \(x = 10\) पर गुणनफल \(P\) उच्चतम है।
जब \(x = 10\), तब \(y = 35 - 10 = 25\)
अतः संख्याएँ \(x = 10\) और \(y = 25\) हैं।
In simple words: दो धन संख्याओं \(x=10\) और \(y=25\) का योग 35 है और उनके लिए \(x^2y^5\) उच्चतम होता है। इसे गुणनफल फलन का अवकलज लेकर और उसे शून्य के बराबर सेट करके प्राप्त किया जाता है।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्राप्त मान उच्चतम है, आप प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं (अवकलज के चिन्ह में परिवर्तन की जांच करके) या द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं।

 

Question 16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो । हल-
Answer: माना दो संख्याएँ \(x\) और \(16 - x\) हैं।
उनके घनों का योग \(S = x^3 + (16 - x)^3\)
\( \frac{dS}{dx} = 3x^2 + 3(16 - x)^2(-1) = 3x^2 - 3(16 - x)^2 \)
निम्नतम योग के लिए, \( \frac{dS}{dx} = 0 \)
\(3x^2 - 3(16 - x)^2 = 0 \implies x^2 = (16 - x)^2\)
\(\implies x = \pm (16 - x)\)
यदि \(x = 16 - x \implies 2x = 16 \implies x = 8\)
यदि \(x = -(16 - x) \implies x = -16 + x \implies 0 = -16\), जो असम्भव है।
तो, \(x = 8\)
\( \frac{d^2S}{dx^2} = 6x - 6(16 - x)(-1) = 6x + 6(16 - x) = 6x + 96 - 6x = 96 \)
चूंकि \( \frac{d^2S}{dx^2} = 96 > 0 \), इसलिए \(x = 8\) पर योग निम्नतम है।
जब \(x = 8\), तो दूसरी संख्या \(16 - 8 = 8\) है।
अतः संख्याएँ \(8\) और \(8\) हैं।
In simple words: दो धन संख्याओं का योग 16 होने पर उनके घनों का योग निम्नतम होता है जब दोनों संख्याएँ 8 हों।
🎯 Exam Tip: समीकरण को हल करते समय \(\pm\) दोनों मानों पर विचार करना सुनिश्चित करें, और फिर संदर्भ के आधार पर अमान्य समाधानों को त्याग दें।

 

Question 17. 18 सेमी भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम होगा? हल-
Answer: माना काटे गए वर्ग की भुजा \(x\) सेमी है।
सन्दूक की लम्बाई \((18 - 2x)\) सेमी है।
सन्दूक की चौड़ाई \((18 - 2x)\) सेमी है।
सन्दूक की ऊँचाई \(x\) सेमी है।
सन्दूक का आयतन \(V = (18 - 2x)(18 - 2x)x = x(18 - 2x)^2\)
उच्चतम आयतन के लिए, \( \frac{dV}{dx} = 0 \)
\( \frac{dV}{dx} = 1 \cdot (18 - 2x)^2 + x \cdot 2(18 - 2x)(-2) \)
\( \frac{dV}{dx} = (18 - 2x) [(18 - 2x) - 4x] \)
\( \frac{dV}{dx} = (18 - 2x)(18 - 6x) \)
\((18 - 2x)(18 - 6x) = 0\)
\(\implies 18 - 2x = 0 \implies 2x = 18 \implies x = 9\) (यह संभव नहीं है क्योंकि तब लम्बाई और चौड़ाई शून्य हो जाएंगी)
या \(18 - 6x = 0 \implies 6x = 18 \implies x = 3\)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2V}{dx^2} = -2(18 - 6x) - 6(18 - 2x) \)
\(x = 3\) पर, \( \frac{d^2V}{dx^2} = -2(18 - 6(3)) - 6(18 - 2(3)) \)
\( \frac{d^2V}{dx^2} = -2(18 - 18) - 6(18 - 6) = -2(0) - 6(12) = -72 \)
चूंकि \( \frac{d^2V}{dx^2} = -72 < 0 \), इसलिए \(x = 3\) पर आयतन उच्चतम है।
अतः काटे जाने वाले वर्ग की भुजा \(3\) सेमी होनी चाहिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक वर्गाकार टिन शीट को दर्शाता है जिसकी प्रत्येक भुजा 18 सेमी है। शीट के प्रत्येक कोने से एक छोटा वर्ग (भुजा x) काटा गया है। इन कटे हुए वर्गों के बाद, शीट के बचे हुए फ्लैप्स को मोड़कर एक ढक्कन रहित सन्दूक बनाया जाएगा, जिसकी ऊँचाई कटे हुए वर्ग की भुजा x के बराबर होगी।
In simple words: 18 सेमी भुजा के टिन के टुकड़े से अधिकतम आयतन वाला ढक्कन रहित सन्दूक बनाने के लिए, प्रत्येक कोने से 3 सेमी भुजा का एक वर्ग काटना होगा।
🎯 Exam Tip: ऐसे ज्यामितीय अनुकूलन प्रश्नों में, पहले आयतन या क्षेत्रफल के लिए एक फलन स्थापित करें और फिर अनुकूलन के लिए अवकलज का उपयोग करें।

 

Question 18. 45 सेमी लम्बी और 24 सेमी चौड़ी आयताकार लोहे की एक चादर के चारों कोनों से समान भुजा का एक वर्गाकार निकालने के पश्चात् खुला हुआ एक सन्दुक बनाया जाता है। वर्गों की भुजा की माप ज्ञात कीजिये जिसके काटने पर बने सन्दूक का आयतन महत्तम होगा। हल-
Answer: माना अभीष्ट वर्ग की भुजा \(x\) है।
सन्दूक की लम्बाई \((45 - 2x)\) सेमी है।
सन्दूक की चौड़ाई \((24 - 2x)\) सेमी है।
सन्दूक की ऊँचाई \(x\) सेमी है।
सन्दूक का आयतन \(V = (45 - 2x)(24 - 2x)x = (1080 - 90x - 48x + 4x^2)x\)
\(V = 4x^3 - 138x^2 + 1080x\)
महत्तम आयतन के लिए, \( \frac{dV}{dx} = 0 \)
\( \frac{dV}{dx} = 12x^2 - 276x + 1080 \)
\(12x^2 - 276x + 1080 = 0\) को 12 से विभाजित करने पर,
\(x^2 - 23x + 90 = 0\)
\((x - 5)(x - 18) = 0\)
\(\implies x = 5\) या \(x = 18\)
चूंकि चौड़ाई \(24 - 2x\) है, यदि \(x = 18\) होता तो चौड़ाई \(24 - 36 = -12\) जो संभव नहीं है।
इसलिए, \(x = 5\)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 276 \)
\(x = 5\) पर, \( \frac{d^2V}{dx^2} = 24(5) - 276 = 120 - 276 = -156 \)
चूंकि \( \frac{d^2V}{dx^2} = -156 < 0 \), इसलिए \(x = 5\) पर आयतन उच्चतम है।
अतः वर्ग की भुजा \(5\) सेमी होगी।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक आयताकार शीट को दर्शाता है जिसकी लम्बाई 45 सेमी और चौड़ाई 24 सेमी है। शीट के चारों कोनों से समान भुजा (x) के चार वर्ग काटे गए हैं। इन वर्गों को काटने के बाद, शीट के किनारों को मोड़कर एक खुला सन्दूक बनाया जाएगा, जिसकी ऊँचाई x के बराबर होगी।

In simple words: 45 सेमी लम्बी और 24 सेमी चौड़ी आयताकार चादर से अधिकतम आयतन वाला सन्दूक बनाने के लिए, प्रत्येक कोने से 5 सेमी भुजा का एक वर्ग काटना होगा।
🎯 Exam Tip: अनुकूलन समस्याओं में, डोमेन की सीमाएं जांचें, जैसे कि भुजाओं की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

 

Question 19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है। हल-
Answer: माना वृत्त की त्रिज्या \(R\) है।
माना वृत्त के अन्तर्गत आयत की लम्बाई \(x\) और चौड़ाई \(y\) है।
पाइथागोरस प्रमेय से, \(x^2 + y^2 = (2R)^2 = 4R^2 \implies y = \sqrt{4R^2 - x^2}\)
आयत का क्षेत्रफल \(A = xy = x\sqrt{4R^2 - x^2}\)
\( \frac{dA}{dx} = 1 \cdot \sqrt{4R^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4R^2 - x^2}}(-2x) \)
\( \frac{dA}{dx} = \sqrt{4R^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} \)
\( \frac{dA}{dx} = \frac{(4R^2 - x^2) - x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} = \frac{4R^2 - 2x^2}{\sqrt{4R^2 - x^2}} \)
उच्चतम क्षेत्रफल के लिए, \( \frac{dA}{dx} = 0 \)
\(4R^2 - 2x^2 = 0 \implies 2x^2 = 4R^2 \implies x^2 = 2R^2 \implies x = R\sqrt{2}\)
जब \(x = R\sqrt{2}\), तब \(y = \sqrt{4R^2 - (R\sqrt{2})^2} = \sqrt{4R^2 - 2R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\)
चूंकि \(x = y = R\sqrt{2}\), इसलिए आयत एक वर्ग है।
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2A}{dx^2} = \frac{-4x\sqrt{4R^2 - x^2} - (4R^2 - 2x^2)\frac{-x}{\sqrt{4R^2 - x^2}}}{4R^2 - x^2} \)
\(x = R\sqrt{2}\) पर, \(\frac{d^2A}{dx^2}\) ऋणात्मक होगा, क्योंकि \(4R^2 - 2x^2 = 0\) अंश में एक पद को शून्य कर देता है, लेकिन दूसरा पद ऋणात्मक रहता है।
अतः, क्षेत्रफल उच्चतम होगा जब आयत एक वर्ग हो।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त के अंदर अंकित एक आयत को दर्शाता है। वृत्त का केंद्र O है और इसकी त्रिज्या R है। आयत के कोने वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। AC, आयत का विकर्ण और वृत्त का व्यास है। यह आरेख यह समझाने में मदद करता है कि आयत की भुजाओं को वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में कैसे संबंधित किया जाए।

In simple words: एक वृत्त के अंदर सबसे बड़ा क्षेत्रफल वाला आयत एक वर्ग होता है, जहां आयत की लम्बाई और चौड़ाई बराबर होती हैं।
🎯 Exam Tip: ज्यामितीय अनुकूलन समस्याओं को हल करते समय, अज्ञात मात्राओं को एक चर के फलन के रूप में व्यक्त करने के लिए ज्यामितीय संबंधों (जैसे पाइथागोरस प्रमेय) का उपयोग करें।

 

Question 20. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए सम्पूर्ण पृष्ठ और महत्तम आयतन के लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई, उसके आधार के व्यास के बराबर है। हल-
Answer: माना बेलन की त्रिज्या \(r\) और ऊँचाई \(h\) है।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)
\(S\) दिया गया है (स्थिर)।
\(2\pi rh = S - 2\pi r^2 \implies h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r}\)
बेलन का आयतन \(V = \pi r^2h\)
\(V = \pi r^2 \left(\frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r}\right) = \frac{r(S - 2\pi r^2)}{2} = \frac{Sr - 2\pi r^3}{2}\)
महत्तम आयतन के लिए, \( \frac{dV}{dr} = 0 \)
\( \frac{dV}{dr} = \frac{1}{2}(S - 6\pi r^2) \)
\( \frac{1}{2}(S - 6\pi r^2) = 0 \implies S - 6\pi r^2 = 0 \implies S = 6\pi r^2 \)
\( \frac{d^2V}{dr^2} = \frac{1}{2}(-12\pi r) = -6\pi r \)
चूंकि \(r\) त्रिज्या है, \(r > 0\), इसलिए \( \frac{d^2V}{dr^2} = -6\pi r < 0 \)
अतः \(S = 6\pi r^2\) पर आयतन उच्चतम है।
\(h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{6\pi r^2 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r} = 2r\)
बेलन की ऊँचाई \(h\) उसके आधार के व्यास \((2r)\) के बराबर है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक लम्बवृत्तीय बेलन को दर्शाता है। इसमें बेलन की त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) को लेबल किया गया है। यह आरेख बेलन के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना से संबंधित अवधारणाओं को समझने में मदद करता है।

In simple words: किसी दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए, एक लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन अधिकतम तब होता है जब उसकी ऊँचाई उसके आधार के व्यास के बराबर हो।
🎯 Exam Tip: आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच संबंध स्थापित करने के लिए दिए गए constraint का उपयोग करें, और फिर अनुकूलन के लिए अवकलज का उपयोग करें।

 

Question 21. 100 सेमी\(\text{}^3\) आयतन वाले डिब्बे सभी बेलनाकार (लम्ब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए। हल-
Answer: माना बेलनाकार डिब्बे की त्रिज्या \(r\) और ऊँचाई \(h\) है।
आयतन \(V = \pi r^2h = 100\) सेमी\(\text{}^3\)
\(h = \frac{100}{\pi r^2}\)
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S = 2\pi r^2 + 2\pi rh\)
\(S = 2\pi r^2 + 2\pi r\left(\frac{100}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{200}{r}\)
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए, \( \frac{dS}{dr} = 0 \)
\( \frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{200}{r^2} \)
\(4\pi r - \frac{200}{r^2} = 0 \implies 4\pi r = \frac{200}{r^2} \implies r^3 = \frac{200}{4\pi} = \frac{50}{\pi}\)
\(r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}\)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2S}{dr^2} = 4\pi + \frac{400}{r^3} \)
\(r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}\) पर, \( \frac{d^2S}{dr^2} = 4\pi + \frac{400}{50/\pi} = 4\pi + 8\pi = 12\pi \)
चूंकि \( \frac{d^2S}{dr^2} = 12\pi > 0 \), इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम है।
\(h = \frac{100}{\pi r^2} = \frac{100}{\pi \left(\frac{50}{\pi}\right)^{2/3}} = \frac{100}{\pi^{1/3} (50)^{2/3}} = \frac{2 \times 50}{(50)^{2/3} \pi^{1/3}} = 2 \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}\)
अतः, न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ \(r = \left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}\) और \(h = 2\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1/3}\) हैं।
या \(h = 2r\)
In simple words: 100 सेमी\(\text{}^3\) आयतन वाले बेलनाकार डिब्बे का न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल तब होता है जब उसकी ऊँचाई त्रिज्या के दोगुने के बराबर हो (\(h=2r\))।
🎯 Exam Tip: आयतन (स्थिर) और पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच संबंध स्थापित करें। फिर क्षेत्रफल फलन को एक चर के रूप में व्यक्त करके अनुकूलन के लिए अवकलज का उपयोग करें।

 

Question 22. 28 मीटर लम्बे तार के दो टुकड़े करके एक को वर्ग तथा दूसरे को वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है। दोनों टुकड़ों की लम्बाई ज्ञात कीजिए यदि उनसे बनी आकृतियों को संयुक्त क्षेत्रफल न्यूनतम है। हल-
Answer: तार की लम्बाई \(L = 28\) मी।
माना वर्ग की भुजा \(x\) और वृत्त की त्रिज्या \(r\) है।
तार की कुल लम्बाई \(4x + 2\pi r = 28\)
\(2\pi r = 28 - 4x \implies r = \frac{28 - 4x}{2\pi} = \frac{14 - 2x}{\pi}\)
संयुक्त क्षेत्रफल \(A = x^2 + \pi r^2\)
\(A = x^2 + \pi \left(\frac{14 - 2x}{\pi}\right)^2 = x^2 + \frac{(14 - 2x)^2}{\pi}\)
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए, \( \frac{dA}{dx} = 0 \)
\( \frac{dA}{dx} = 2x + \frac{1}{\pi} \cdot 2(14 - 2x)(-2) = 2x - \frac{4}{\pi}(14 - 2x) \)
\(2x - \frac{4}{\pi}(14 - 2x) = 0 \implies 2x = \frac{4}{\pi}(14 - 2x)\)
\(\implies x = \frac{2}{\pi}(14 - 2x) \implies \pi x = 28 - 4x\)
\(\implies (\pi + 4)x = 28 \implies x = \frac{28}{\pi + 4}\)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2A}{dx^2} = 2 - \frac{4}{\pi}(-2) = 2 + \frac{8}{\pi} \)
चूंकि \( \frac{d^2A}{dx^2} = 2 + \frac{8}{\pi} > 0 \), इसलिए क्षेत्रफल न्यूनतम है।
वर्ग के टुकड़े की लम्बाई \(4x = 4 \left(\frac{28}{\pi + 4}\right) = \frac{112}{\pi + 4}\) मी।
वृत्त के टुकड़े की लम्बाई \(2\pi r = 28 - 4x = 28 - \frac{112}{\pi + 4} = \frac{28(\pi + 4) - 112}{\pi + 4} = \frac{28\pi + 112 - 112}{\pi + 4} = \frac{28\pi}{\pi + 4}\) मी।
In simple words: 28 मीटर तार को दो टुकड़ों में काटा जाता है: एक वर्ग के लिए और दूसरा वृत्त के लिए। संयुक्त क्षेत्रफल न्यूनतम तब होता है जब वर्ग के लिए तार की लंबाई \(\frac{112}{\pi+4}\) मी और वृत्त के लिए \(\frac{28\pi}{\pi+4}\) मी हो।
🎯 Exam Tip: यह एक आम अनुकूलन समस्या है जहां एक निश्चित परिमाप के साथ न्यूनतम/अधिकतम क्षेत्रफल पाया जाता है।

 

Question 23. सिद्ध कीजिए कि \(R\) त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है। हल-
Answer: माना \(R\) गोले की त्रिज्या है। माना शंकु की त्रिज्या \(r\) और ऊँचाई \(h\) है।
शंकु को गोले के अंदर रखने पर, शंकु का केंद्र गोले के केंद्र पर या ऊपर/नीचे स्थित होगा।
माना गोले का केंद्र मूलबिंदु \((0,0)\) पर है।
शंकु की ऊँचाई \(h = R + x\) (जहाँ \(x\) गोले के केंद्र से शंकु के आधार के केंद्र की दूरी है)
पाइथागोरस प्रमेय से, \(r^2 = R^2 - x^2\)
शंकु का आयतन \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3}\pi (R^2 - x^2)(R + x)\)
\(V = \frac{\pi}{3} (R^3 + R^2x - Rx^2 - x^3)\)
उच्चतम आयतन के लिए, \( \frac{dV}{dx} = 0 \)
\( \frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (R^2 - 2Rx - 3x^2) \)
\(R^2 - 2Rx - 3x^2 = 0\)
\(R^2 - 3Rx + Rx - 3x^2 = 0\)
\(R(R - 3x) + x(R - 3x) = 0\)
\((R + x)(R - 3x) = 0\)
\(\implies R + x = 0 \implies x = -R\) (संभव नहीं है क्योंकि \(h\) शून्य हो जाएगा)
या \(R - 3x = 0 \implies x = \frac{R}{3}\)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2V}{dx^2} = \frac{\pi}{3}(-2R - 6x) = -\frac{2\pi}{3}(R + 3x) \)
\(x = \frac{R}{3}\) पर, \( \frac{d^2V}{dx^2} = -\frac{2\pi}{3}\left(R + 3\left(\frac{R}{3}\right)\right) = -\frac{2\pi}{3}(2R) = -\frac{4\pi R}{3} < 0 \)
अतः \(x = \frac{R}{3}\) पर आयतन उच्चतम है।
उच्चतम शंकु का आयतन: \(h = R + x = R + \frac{R}{3} = \frac{4R}{3}\)
\(r^2 = R^2 - x^2 = R^2 - \left(\frac{R}{3}\right)^2 = R^2 - \frac{R^2}{9} = \frac{8R^2}{9}\)
\(V_{\text{शंकु}} = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{8R^2}{9}\right) \left(\frac{4R}{3}\right) = \frac{32\pi R^3}{81}\)
गोले का आयतन \(V_{\text{गोला}} = \frac{4}{3}\pi R^3\)
अनुपात \( \frac{V_{\text{शंकु}}}{V_{\text{गोला}}} = \frac{32\pi R^3/81}{4\pi R^3/3} = \frac{32}{81} \times \frac{3}{4} = \frac{8}{27} \)
अतः विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक गोले के अंदर अंकित एक शंकु को दर्शाता है। गोले का केंद्र O है और इसकी त्रिज्या R है। शंकु का शीर्ष P और आधार का केंद्र C है। शंकु की त्रिज्या r और ऊँचाई h है। यह चित्र शंकु की विमाओं को गोले की त्रिज्या और केंद्र से आधार की दूरी (x) के संदर्भ में संबंधित करने में मदद करता है।

In simple words: सिद्ध किया गया है कि किसी गोले के अंतर्गत बनने वाले सबसे बड़े शंकु का आयतन, गोले के कुल आयतन का \(\frac{8}{27}\)वां हिस्सा होता है।
🎯 Exam Tip: अनुकूलन समस्याओं में जहाँ एक ज्यामितीय आकृति को दूसरी के भीतर अंकित किया जाता है, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विमाओं को संबंधित करें।

 

Question 24. दर्शाइये कि एक निश्चित आयतन के शंक्वाकार डेरे के बनाने में कम-से-कम कपड़ा लगेगा जब उसकी ऊँचाई आधार की त्रिज्या के \(\sqrt{2}\) गुना होगी। हल-
Answer: माना शंकु की त्रिज्या \(r\), ऊँचाई \(h\) और तिरछी ऊँचाई \(l\) है।
आयतन \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\) (दिया गया है, स्थिर)
\(h = \frac{3V}{\pi r^2}\)
पृष्ठीय क्षेत्रफल (कपड़ा) \(S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}\)
\(S^2 = \pi^2 r^2 (r^2 + h^2)\)
\(S^2 = \pi^2 r^2 \left(r^2 + \left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)^2\right) = \pi^2 r^2 \left(r^2 + \frac{9V^2}{\pi^2 r^4}\right)\)
\(S^2 = \pi^2 r^4 + \frac{9V^2}{r^2}\)
माना \(A = S^2 = \pi^2 r^4 + 9V^2r^{-2}\)
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए, \( \frac{dA}{dr} = 0 \)
\( \frac{dA}{dr} = 4\pi^2 r^3 - 18V^2r^{-3} \)
\(4\pi^2 r^3 - \frac{18V^2}{r^3} = 0 \implies 4\pi^2 r^6 = 18V^2 \implies r^6 = \frac{18V^2}{4\pi^2} = \frac{9V^2}{2\pi^2}\)
\( \frac{d^2A}{dr^2} = 12\pi^2 r^2 + 54V^2r^{-4} \)
चूंकि \(r > 0\) और \(V > 0\), इसलिए \( \frac{d^2A}{dr^2} > 0 \)
अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम है।
अब \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\)
\(\left(\frac{r^3}{3V}\right)^2 = \left(\frac{1}{3\pi}\right)^2 \implies r^6 = \frac{9V^2}{\pi^2}\)
तो \(r^6 = \frac{9V^2}{2\pi^2}\)
\(r^6 = \frac{9V^2}{2\pi^2} = \frac{9}{2\pi^2} \left(\frac{1}{3}\pi r^2h\right)^2 = \frac{9}{2\pi^2} \cdot \frac{1}{9}\pi^2 r^4 h^2 = \frac{1}{2}r^4 h^2\)
\(r^6 = \frac{1}{2}r^4h^2 \implies r^2 = \frac{1}{2}h^2 \implies h^2 = 2r^2 \implies h = \sqrt{2}r\)
अतः शंकु की ऊँचाई आधार की त्रिज्या के \(\sqrt{2}\) गुना होगी।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक शंक्वाकार डेरे को दर्शाता है, जिसमें उसकी त्रिज्या (r), ऊँचाई (h) और तिरछी ऊँचाई (l) को लेबल किया गया है। यह आरेख शंक्वाकार डेरे के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना से संबंधित अवधारणाओं को समझने में मदद करता है।

In simple words: एक निश्चित आयतन के शंक्वाकार डेरे के लिए, कम से कम कपड़े की आवश्यकता तब होगी जब उसकी ऊँचाई उसके आधार की त्रिज्या के \(\sqrt{2}\) गुना होगी।
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्राप्त मान न्यूनतम है, द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करें।

 

Question 25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण \(\tan^{-1}\sqrt{2}\) होता है। हल-
Answer: माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई \(l\) है (स्थिर)।
माना शंकु की त्रिज्या \(r\), ऊँचाई \(h\) और अर्द्ध शीर्ष कोण \(\theta\) है।
\(r = l \sin \theta\)
\(h = l \cos \theta\)
शंकु का आयतन \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\)
\(V = \frac{1}{3}\pi (l \sin \theta)^2 (l \cos \theta)\)
\(V = \frac{1}{3}\pi l^3 \sin^2 \theta \cos \theta\)
महत्तम आयतन के लिए, \( \frac{dV}{d\theta} = 0 \)
\( \frac{dV}{d\theta} = \frac{1}{3}\pi l^3 [2\sin \theta \cos \theta \cdot \cos \theta + \sin^2 \theta (-\sin \theta)] \)
\( \frac{dV}{d\theta} = \frac{1}{3}\pi l^3 [2\sin \theta \cos^2 \theta - \sin^3 \theta] \)
\( \frac{dV}{d\theta} = \frac{1}{3}\pi l^3 \sin \theta (2\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \)
\(\sin \theta (2\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0\)
\(\implies \sin \theta = 0 \implies \theta = 0\) (संभव नहीं है क्योंकि आयतन शून्य हो जाएगा)
या \(2\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 0\)
\(2\cos^2 \theta = \sin^2 \theta\)
\(\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 2 \implies \tan^2 \theta = 2 \implies \tan \theta = \sqrt{2}\)
\(\theta = \tan^{-1}\sqrt{2}\)
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 [(\cos \theta)(2\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + \sin \theta(-4\cos \theta \sin \theta - 2\sin \theta \cos \theta)] \)
\( \frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 [\cos \theta(2\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - 6\sin^2 \theta \cos \theta] \)
जब \(\tan \theta = \sqrt{2}\), तो \(2\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 0\)
\(\implies \frac{d^2V}{d\theta^2} = \frac{1}{3}\pi l^3 [\cos \theta(0) - 6\sin^2 \theta \cos \theta] = -\frac{1}{3}\pi l^3 (6\sin^2 \theta \cos \theta)\)
चूंकि \(\theta\) एक कोण है, \(\sin \theta > 0\) और \(\cos \theta > 0\), इसलिए \( \frac{d^2V}{d\theta^2} < 0 \)
अतः \(\theta = \tan^{-1}\sqrt{2}\) पर आयतन उच्चतम है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक शंकु को दर्शाता है, जिसमें इसकी तिरछी ऊँचाई (l), ऊँचाई (h) और त्रिज्या (r) को लेबल किया गया है। चित्र में अर्द्ध शीर्ष कोण \(\theta\) को भी दर्शाया गया है। यह आरेख शंकु की विमाओं को अर्द्ध शीर्ष कोण के संदर्भ में संबंधित करने में मदद करता है।

In simple words: किसी दिए गए तिर्यक ऊँचाई के लिए, एक शंकु का आयतन अधिकतम तब होता है जब उसका अर्द्ध शीर्ष कोण \(\tan^{-1}\sqrt{2}\) होता है।
🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुकूलन समस्याओं में, चर को कोण के फलन के रूप में व्यक्त करना अक्सर गणना को सरल बनाता है।

 

Question 26. सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्त्म आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\) होता है। हल-
Answer: माना शंकु की त्रिज्या \(r\), ऊँचाई \(h\) और तिरछी ऊँचाई \(l\) है।
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S = \pi r l + \pi r^2\) (दिया गया है, स्थिर)
\(\pi r l = S - \pi r^2 \implies l = \frac{S - \pi r^2}{\pi r} = \frac{S}{\pi r} - r\)
शंकु का आयतन \(V = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{l^2 - r^2}\)
\(V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 (l^2 - r^2)\)
\(V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left(\left(\frac{S}{\pi r} - r\right)^2 - r^2\right)\)
\(V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left(\frac{S^2}{\pi^2 r^2} - \frac{2Sr}{\pi r} + r^2 - r^2\right)\)
\(V^2 = \frac{1}{9}\pi^2 r^4 \left(\frac{S^2}{\pi^2 r^2} - \frac{2S}{\pi}\right) = \frac{1}{9} (S^2 r^2 - 2S\pi r^4)\)
माना \(Z = V^2 = \frac{1}{9} (S^2 r^2 - 2S\pi r^4)\)
महत्तम आयतन के लिए, \( \frac{dZ}{dr} = 0 \)
\( \frac{dZ}{dr} = \frac{1}{9} (2S^2 r - 8S\pi r^3) = \frac{2S r}{9} (S - 4\pi r^2) \)
\( \frac{2S r}{9} (S - 4\pi r^2) = 0 \implies S - 4\pi r^2 = 0 \implies S = 4\pi r^2\) (क्योंकि \(S \ne 0, r \ne 0\))
द्वितीय अवकलज: \( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{1}{9} (2S^2 - 24S\pi r^2) \)
\(S = 4\pi r^2\) पर, \( \frac{d^2Z}{dr^2} = \frac{1}{9} (2(4\pi r^2)^2 - 24(4\pi r^2)\pi r^2) = \frac{1}{9} (32\pi^2 r^4 - 96\pi^2 r^4) = -\frac{64\pi^2 r^4}{9} < 0 \)
अतः \(S = 4\pi r^2\) पर आयतन उच्चतम है।
जब \(S = 4\pi r^2\), तब \(l = \frac{S}{\pi r} - r = \frac{4\pi r^2}{\pi r} - r = 4r - r = 3r\)
शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण \(\theta\) के लिए, \(\sin \theta = \frac{r}{l} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}\)
\(\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)
In simple words: किसी दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए, एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन अधिकतम तब होता है जब उसका अर्द्ध शीर्ष कोण \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\) हो।
🎯 Exam Tip: अनुकूलन समस्याओं को हल करते समय, वर्गमूल से बचने के लिए \(\text{V}^2\) या \(\text{S}^2\) जैसे वर्ग किए गए मात्राओं का उपयोग करना अक्सर सहायक होता है।

 

Question 27. वक्र \(x^2 = 2y\) पर \((0, 5)\) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है (A) \((2\sqrt{2}, 4)\) (B) \((2\sqrt{2}, 0)\) (C) \((0, 0)\) (D) \((2, 2)\)
हल- माना वक्र \(x^2 = 2y\) पर कोई बिन्दु \(P(x, y)\) है। दिया हुआ बिन्दु \(A (0, 5)\) है। \(PA^2 = (x - 0)^2 + (y – 5)^2 = z\) (माना)
\[Z = x^2 + (y – 5)^2\] ...(1)
तथा वक्र \(x^2 = 2y\) ...(2)
\(x^2\) का मान समी० (1) में रखने पर,
\[Z = 2y + (y – 5)^2\]
\[Z = 2y + y^2 + 25 – 10y\]
\[Z = y^2 + 25 – 8y\]
दोनों पक्षों का \(y\) के सापेक्ष अवकलन करने पर, \(\frac{dZ}{dy}=2y-8\)
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, \(\frac{dZ}{dy}=0\)
\[2y-8 = 0\]
\[\implies y = 4\]
समी० (2) से, \(x^2 = 2 \times 4 = 8\)
\[x = 2\sqrt{2}\]
दोनों पक्षों का पुनः \(y\) के सापेक्ष अवकलन करने पर, \(\frac{d^2z}{dy^2} = 2 = + ve\)
अतः विकल्प (A) सही है।
\(x = 2\sqrt{2}, y = 4\) पर \(Z\) निम्नतम है।
In simple words: To find the point on the curve closest to a given point, we minimize the square of the distance between them. By substituting the curve equation into the distance formula and differentiating, we can find the coordinates that yield the minimum distance.

🎯 Exam Tip: This question tests your ability to apply differentiation for optimization (finding minimum distance). Ensure correct setup of the distance function and careful differentiation, including the second derivative test to confirm it's a minimum.

 

Question 28. x के सभी वास्तविक मानों के लिए \(\frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}\) का न्यूनतम मान है-
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \(\frac{1}{3}\)
हल-
माना \(y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}\)
दोनों पक्षों का \(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\[\frac{dy}{dx}=\frac{(-1+ 2x) (1 + x + x^2) – (1 – x + x^2) (1 + 2x)}{(1 + x + x^2)^2}\]
\[=\frac{(-1 - x - x^2) + (2x + 2x^2 + 2x^3) - (1 - x + x^2 + 2x - 2x^2 + 2x^3)}{(1 + x + x^2)^2}\]
\[=\frac{-1 - x - x^2 + 2x + 2x^2 + 2x^3 - 1 + x - x^2 - 2x + 2x^2 - 2x^3}{(1 + x + x^2)^2}\]
\[=\frac{-2 + 2x^2}{(1 + x + x^2)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(1 + x + x^2)^2}\]
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, \(\frac{dy}{dx} = 0\)
\(\implies \frac{2(x^2-1)}{(1 + x + x^2)^2} = 0\)
\(\implies (x-1)(x+1) = 0\)
\(\implies x = 1, -1\)
\(x = 1\) पर \(\frac{dy}{dx}\) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है जब बिन्दु \(x = 1\) से होकर आगे बढ़ता है।
अतः \(y\) बिन्दु \(x = 1\) पर निम्नतम है।
निम्नतम मान, \(f(1) = \frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}\)
Answer: (D) \(\frac{1}{3}\)
In simple words: To find the minimum value of this rational function, we calculate its derivative and set it to zero to find the critical points. By evaluating the function at these critical points, we determine that the minimum value is \(1/3\).

🎯 Exam Tip: For finding minimum/maximum values of a function, always differentiate, find critical points, and use the first or second derivative test to confirm the nature of these points. Pay attention to the algebraic simplification of the derivative.

 

Question 29. \([x (x – 1) + 1]^{1/3}\), \(0 \le x \le 1\) का उच्चतम मान है
(A) \({ \left(\frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\)
(B) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(C) 1
(D) 0
हल-
माना \(y = [x (x – 1) + 1]^{1/3}\)
दोनों पक्षों का \(x\) के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} [x (x - 1) + 1]^{-2/3} \frac{d}{dx}[x (x - 1) + 1]\]
\[= \frac{1}{3} [x (x - 1) + 1]^{-2/3} (2x – 1)\]
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, \(\frac{dy}{dx} = 0\)
\(\implies 2x-1=0 \implies x = \frac{1}{2}\)
अब बिन्दु \(x = \frac{1}{2}\) और अंतराल \([0, 1]\) के अंत बिन्दुओं पर \(f\) का मान ज्ञात करते हैं
\(x = 0\) पर, \(f(0) = [0(0-1)+1]^{1/3} = 1^{1/3} = 1\)
\(x = 1\) पर, \(f(1) = [1(1-1)+1]^{1/3} = 1^{1/3} = 1\)
\(x = \frac{1}{2}\) पर, \(f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)+1]^{1/3} = [\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+1]^{1/3} = [-\frac{1}{4}+1]^{1/3} = [\frac{3}{4}]^{1/3}\)
\(x = \frac{1}{2}\) पर चिह्न– \(ve\) से \(+ ve\) में परिवर्तित हो रहा है।
अतः \(x = \frac{1}{2}\) पर \(y\) निम्नतम है।
Answer: (C) 1
In simple words: To find the maximum value of the given function over the interval \([0, 1]\), we calculate the derivative, find the critical point at \(x = 1/2\), and then evaluate the function at this point and at the interval's endpoints \((x = 0\) and \(x = 1)\). The highest value obtained, which is 1, is the maximum.

🎯 Exam Tip: When finding the maximum or minimum value of a function over a closed interval, remember to evaluate the function not only at the critical points but also at the endpoints of the interval. Compare all these values to find the absolute maximum/minimum.