UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 16 Probability

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 Probability (प्रायिकता)

प्रश्नावली 16.1

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 7 में निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए ।

 

Question 1. एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है।
Answer: एक सिक्के को 3 बार उछालने से प्रतिदर्श समष्टि S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
In simple words: जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो सभी संभावित परिणामों का समूह प्रतिदर्श समष्टि कहलाता है, जिसमें चित्त (H) और पट (T) के सभी संयोजन शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रतिदर्श समष्टि लिखते समय सभी संभावित परिणामों को बिना दोहराव के सूचीबद्ध करना सुनिश्चित करें।

 

Question 2. एक पासा दो बार फेंका गया है।
Answer: एक पासे को दो बार फेंकने से जो घटनाएं घटी उनका प्रतिदर्श समष्टि : S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5,4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
In simple words: जब एक पासे को दो बार उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि में सभी 36 संभावित युग्म शामिल होते हैं, जहाँ प्रत्येक युग्म में दोनों उछालों के परिणाम (संख्याएँ) होती हैं।

🎯 Exam Tip: पासे के परिणामों को व्यवस्थित तरीके से (जैसे पहले पासे के लिए 1 से 6 तक और फिर दूसरे पासे के लिए 1 से 6 तक) लिखना सुनिश्चित करें ताकि कोई भी संभावित परिणाम छूटे नहीं।

 

Question 3. एक सिक्का चार बार उछाला गया है।
Answer: एक सिक्के को 4 बार उछालने से घटनाओं का प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है। S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, HTTH, HTHT, HHTT, HTTT, THHH, THHT, THTH, TTHH, TTTH, TTHT, THTT, TTTT}
In simple words: एक सिक्के को चार बार उछालने पर, प्रतिदर्श समष्टि में चित्त (H) और पट (T) के सभी 2^4 = 16 संभावित क्रमबद्ध परिणाम होते हैं।

🎯 Exam Tip: 2 की घात n (यहाँ n=4) का उपयोग करके कुल संभावित परिणामों की संख्या को सत्यापित करें और फिर व्यवस्थित रूप से सभी संयोजनों को सूचीबद्ध करें।

 

Question 4. एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है।
Answer: एक सिक्का व एक पासा उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि s = {H1, H2, H3, H4, H2, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
In simple words: जब एक सिक्का और एक पासा एक साथ उछाला जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि में सिक्के के परिणाम (H या T) और पासे के परिणाम (1 से 6) के सभी संभावित संयोजन शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: सिक्के और पासे के परिणामों को मिलाकर एक युग्म के रूप में लिखें ताकि प्रतिदर्श समष्टि पूर्ण हो।

 

Question 5. एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के पर चित्त प्रकट होता है एक पासा फेंका जाता है।
Answer: सिक्के पर चित्त आने से एक पासा फेंका जाता है अन्यथा नहीं की प्रतिदर्श समष्टि s = {H1, H2, H3, H4, H2, H6, T}
In simple words: इस प्रयोग में, यदि सिक्के पर चित्त आता है तो पासे के सभी 6 परिणाम रिकॉर्ड किए जाते हैं, लेकिन यदि पट आता है तो पासा नहीं फेंका जाता है, इसलिए केवल 'T' ही एक संभावित परिणाम होता है।

🎯 Exam Tip: सशर्त प्रतिदर्श समष्टि बनाते समय, केवल उन घटनाओं को शामिल करें जो दी गई शर्त को पूरा करती हैं, बाकी को छोड़ दें।

 

Question 6. X कमरे में 2 लड़के और 2 लड़कियाँ तथा Y कमरे में 1 लड़का और 3 लड़कियाँ हैं। उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए जिसमें पहले एक कमरा चुना जाता है और फिर एक बच्चा चुना जाता है।
Answer: माना X कमरे के लड़के व लड़कियों को B1, B2, G1, G2 और Y कमरे के लड़के व लड़कियों को B3, G3, G4, G5 से दर्शाया गया है। एक कमरे को चुनना और फिर एक बच्चे को चुने जाने की प्रतिदर्श समष्टि S = {XB1, XB2, XG1, XG2, YB3, YG3, YG4, YG5}
In simple words: इस प्रयोग में, पहले एक कमरा (X या Y) चुना जाता है, और फिर उस कमरे से एक बच्चा चुना जाता है; प्रतिदर्श समष्टि में कमरे के चुनाव और चुने गए बच्चे के सभी संभावित संयोजन शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: विभिन्न चरणों वाले प्रयोगों में, प्रत्येक चरण के परिणामों को मिलाकर अंतिम प्रतिदर्श समष्टि बनाएं, यह सुनिश्चित करते हुए कि सभी संयोजनों को शामिल किया गया है।

 

Question 7. एक पासा लाल रंग का, एक सफेद रंग का और एक अन्य पासा नीले रंग का एक थैले में रखे हैं। एक पासा यादृच्छया चुना गया और उसे फेंका गया है। पासे का रंग और इसके ऊपर के फलक पर प्राप्त संख्या को लिखा गया है। प्रतिदर्श समष्टि का वर्णन कीजिए ।
Answer: माना लाल रंग को R से, सफेद रंग को W से तथा नीले रंग को B से दर्शाया गया हो तो पासे को चुन कर अंकों को प्राप्त करने की प्रतिदर्श समष्टि । S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}
In simple words: जब एक रंगीन पासा चुना जाता है और फेंका जाता है, तो प्रतिदर्श समष्टि में चुने गए पासे का रंग (लाल, सफेद, या नीला) और उस पर प्रकट हुई संख्या (1 से 6) का संयोजन होता है।

🎯 Exam Tip: परिणामों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करें, पहले पासे के रंग और फिर उस पर आने वाली संख्या के सभी संयोजनों को शामिल करें।

 

Question 8. एक परीक्षण में 2 बच्चों वाले पैरिवारों में से प्रत्येक में लड़के-लड़कियों की संख्या को लिखा जाता
Answer:
(i) यदि हमारी रूचि इस बात को जानने में है कि जन्म के क्रम में बच्चा लड़का है या लड़की है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी ?
(ii) यदि हमारी रूचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी ? हल: (i) परिवार में दो बच्चे हैं वे लड़के, लड़की हो सकते हैं। इनकी प्रतिदर्श समष्टि = {BB, BG, GB, GG}
(ii) एक परिवार में कोई लड़की न हो या एक या दो लड़कियाँ होगी। अतः प्रतिदर्श समष्टि {0, 1, 2}
In simple words: दो बच्चों वाले परिवार के लिए, यदि हम जन्म क्रम में लिंग देखते हैं, तो चार संभावित परिणाम (लड़का-लड़का, लड़का-लड़की, लड़की-लड़का, लड़की-लड़की) होते हैं। यदि हम केवल लड़कियों की संख्या में रुचि रखते हैं, तो परिणाम 0, 1, या 2 लड़कियाँ हो सकती हैं।

🎯 Exam Tip: जब परिणामों को क्रमबद्ध तरीके से लिखने की बात आती है, तो सभी क्रमपरिवर्तन (जैसे BG और GB) को शामिल करें; जब केवल संख्या में रुचि हो, तो केवल अद्वितीय मानों को सूचीबद्ध करें।

 

Question 9. एक डिब्बे में 1 लाल और एक जैसी 3 सफेद गेंद रखी गई हैं। दो गेंद उत्तरोत्तर (in succession) बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया निकाली जाती है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: डिब्बे में एक लाल व 3 सफेद गेंद हैं। यदि लाल को R से, सफेद को W से निरूपित किया जाए तो इस प्रशिक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {RW, WR, WW}.
In simple words: एक लाल (R) और तीन सफेद (W) गेंदों में से दो गेंदों को बिना प्रतिस्थापन के निकालने पर, संभावित परिणाम हैं लाल और सफेद (RW), सफेद और लाल (WR), या दो सफेद (WW)।

🎯 Exam Tip: बिना प्रतिस्थापन के चयन करते समय, परिणामों को क्रमबद्ध रूप से सूचीबद्ध करें और ध्यान दें कि एक बार निकाली गई गेंद को वापस नहीं रखा जाता है, जिससे उपलब्ध विकल्पों की संख्या कम हो जाती है।

 

Question 10. एक परीक्षण में एक सिक्के को उछाला जाता है और यदि उस पर चित्त प्रकट होता है तो उसे पुनः उछाला जाता है। यदि पहली बार उछालने पर पट् प्राप्त होता है तो एक पासा फेंका जाता है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: यदि एक सिक्का उछाला जाता है और चित्त प्रकट होता है तो दुबारा उछालने पर चित्त या पट् आ सकता है। इस प्रकार घटना HH या HT होगी। पट् आने पर पासा फेंका जाता है। पासा फेंकने से संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6 आ सकती है। प्रतिदर्श समष्टि = {HH, HT, T1,T2, T3, T4, T5, T6}.
In simple words: इस प्रयोग में, यदि पहली उछाल में चित्त (H) आता है तो सिक्का फिर से उछाला जाता है (HH, HT); यदि पट (T) आता है तो पासा फेंका जाता है (T1, T2, ..., T6)।

🎯 Exam Tip: सशर्त प्रयोगों के लिए, प्रत्येक शर्त के तहत सभी संभावित परिणामों को अलग-अलग विचार करें और फिर उन्हें अंतिम प्रतिदर्श समष्टि में संयोजित करें।

 

Question 11. मान लीजिए कि बल्बों के एक ढेर में से 3 बल्ब यादृच्छया निकाले जाते हैं। प्रत्येक बल्ब को जाँची जाता है और उसे खराब (D) या ठीक (N) में वर्गीकृत करते हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: खराब के लिए D और ठीक बल्ब को N द्वारा निरूपित करते हैं। तीन बल्बों से बना प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है। {DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN}
In simple words: तीन बल्बों को निकालकर उन्हें खराब (D) या ठीक (N) के रूप में वर्गीकृत करने पर, प्रतिदर्श समष्टि में D और N के सभी संभावित तीन-अक्षर संयोजन शामिल होंगे।

🎯 Exam Tip: परिणामों को व्यवस्थित रूप से सूचीबद्ध करने के लिए एक ट्री-डायग्राम का उपयोग करें ताकि सभी 2^3 = 8 संयोजनों को कवर किया जा सके।

 

Question 12. एक सिक्का उछाला जाता है। यदि परिणाम चित्त हो तो एक पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर एक सम संख्या प्रकट होती है, तो पासे को पुनः फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: एक सिक्का उछालने पर यदि चित्त को H से और पट् को T से दर्शाया जाए और चित्त आने पर पासा फेंका जाता है H1, H2, H3, H4, H5, H6 की घटनाएँ हो सकती हैं। H2, H4, H6 आने की अवस्था में पासा दुबारा फेंका जाता है जिससे प्रत्येक की 1, 2, 3, 4, 5, 6 की छः घटनाएं हो सकती हैं। इस प्रकार प्रतिदर्श समष्टि है : {T1, H1, H3, H5, H21, H22, H23, H24, H25, H26, H41, H42,H43, H44, H45, H46, H61, H62, H63, H64, H65, H66}
In simple words: इस बहु-चरणीय प्रयोग में, यदि सिक्का चित्त (H) दिखाता है, तो पासा फेंका जाता है, और यदि पासे पर सम संख्या आती है, तो पासा फिर से फेंका जाता है; यदि सिक्का पट (T) दिखाता है, तो केवल एक पासा फेंका जाता है।

🎯 Exam Tip: जटिल सशर्त प्रयोगों में, प्रत्येक शर्त के लिए परिणामों की शाखाओं को सावधानीपूर्वक रेखांकित करें और फिर अंतिम प्रतिदर्श समष्टि बनाने के लिए सभी अंतिम संभावित परिणामों को इकट्ठा करें।

 

Question 13. कागज की चार पर्चियों पर संख्याएँ 1, 2, 3, 4 अलग-अलग लिखी गई हैं। इन पर्चियों को एक डिब्बे में रख कर भली-भाँति मिलाया गया है। एक व्यक्ति डिब्बे में से दो पर्चियाँ एक के बाद दूसरी बिना प्रतिस्थापित किए निकालता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: एक डिब्बे में चार पर्चियाँ हैं। जिन पर 1, 2, 3, 4 लिखा है। यदि पर्ची सं. 1 पहली पर्ची हो दूसरी पर्ची पर सं. 2, 3, 4 लिखा होगा। इसी प्रकार पहली पर्ची पर 2 लिखा हो तो शेष पर्ची पर 1, 3, 4 लिखा होगा। इस प्रकार प्रतिदर्श समष्टि है : {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
In simple words: 1 से 4 तक संख्यांकित चार पर्चियों में से दो पर्चियाँ बिना प्रतिस्थापन के निकालने पर, प्रतिदर्श समष्टि में सभी क्रमबद्ध युग्म शामिल होते हैं जहाँ पहली संख्या दूसरी से भिन्न होती है।

🎯 Exam Tip: बिना प्रतिस्थापन के चयन करते समय, सुनिश्चित करें कि चुने गए युग्मों में कोई भी संख्या स्वयं से युग्मित न हो और क्रम महत्वपूर्ण होने पर (1,2) को (2,1) से अलग मानें।

 

Question 14. एक परीक्षण में एक पासा फेंका जाता है और यदि पासे पर प्राप्त संख्या सम है तो एक सिक्का एक बार उछाला जाता है। यदि पासे पर प्राप्त संख्या विषम है तो सिक्के को दो बार उछालते हैं। प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।
Answer: हल: पासा फेंकने से यदि सम संख्या प्राप्त होती है तो सिक्का उछालने पर H या T की घटना होगी। यदि पासे पर विषम संख्या आती है तो सिक्का दो बार उछाला जाता है जिससे HH, HT, TH, TT घटनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है- {2H, 2T, 4H, 4T, 6H, 6T, 1HH, 1HT, 1TH, 1TT, 3HH, 3HT, 3TH, 3TT, 5HH, 5HT, 5TH, 5TT}.
In simple words: यदि पासे पर सम संख्या आती है (2, 4, 6), तो सिक्का एक बार उछाला जाता है (2H, 2T, आदि)। यदि विषम संख्या आती है (1, 3, 5), तो सिक्का दो बार उछाला जाता है (1HH, 1HT, आदि), जिससे एक विस्तृत प्रतिदर्श समष्टि बनती है।

🎯 Exam Tip: विभिन्न शर्तों के तहत परिणामों को सावधानीपूर्वक अलग करें और उन्हें स्पष्ट रूप से लेबल करें ताकि प्रतिदर्श समष्टि में कोई भी परिणाम छूट न जाए।

 

Question 15. एक सिक्का उछाला गया यदि उस पर पट् प्रकट होता है तो एक डिब्बे में से जिसमें 2 लाल और 3 काली गेंदे रखी हैं, एक गेंद निकालते हैं। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट होता है तो एक पासा फेंका जाता है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि लिखिए ।
Answer: हलः यदि लाल रंग की गेंद को R1, R2 से तथा काले रंग की गेंद को B1, B2, B3 से दर्शाया जाए तो सिक्का उछालने पर यदि पट् आतो है तो R1, R2, B1, B2, B3 में से एक घटना होगी। यदि सिक्के पर चित्त आता है तो पासा फेंकने से 1, 2, 3, 4, 5, 6 आते हैं। तो प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है : {TR1, TR2, TB1, TB2, TB3, H1, H2, H3, H4, H2, H6}.
In simple words: यदि सिक्का पट (T) दिखाता है, तो 2 लाल (R1, R2) और 3 काली (B1, B2, B3) गेंदों में से एक गेंद निकाली जाती है। यदि सिक्का चित्त (H) दिखाता है, तो एक पासा फेंका जाता है और परिणाम (1-6) रिकॉर्ड किए जाते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रयोग के विभिन्न शाखाओं को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें और यह सुनिश्चित करें कि प्रत्येक शाखा के सभी संभावित परिणामों को प्रतिदर्श समष्टि में शामिल किया गया हो।

 

Question 16. एक पासे को बार-बार तब तक फेंका जाता है जब तक उस पर 6 प्रकट न हो जाए। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि क्या है?
Answer: हल: 6 आने पर पासा दुबारा नहीं फेंका जाएगा। यदि 1, 2, 3, 4, 5 में से कोई संख्या प्रकट होती है तो पासा दुबारा नहीं फेंका जाती। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि है: {6, (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (1, 1, 6), (1, 2, 6),... (1, 5, 6), (2, 1, 6), (2, 2, 6), ..., (2, 5, 6),... (3, 1, 6), (3, 2, 6), ... (3, 5, 6), (4, 1, 6), (4, 2, 6), ... (4, 5, 6), (5, 1, 6), (5, 2, 6),..., (5, 5, 6)....}.
In simple words: इस प्रयोग में, एक पासे को तब तक फेंका जाता है जब तक '6' नहीं आ जाता। प्रतिदर्श समष्टि में पहली बार में 6 आना, या फिर 6 से पहले कोई अन्य संख्या (1-5) आकर अगली बार में 6 आना, या दो अन्य संख्याएँ आकर फिर 6 आना, आदि सभी संभावित अनुक्रम शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे अनिश्चित लंबाई वाले अनुक्रमों के लिए, पैटर्न को समझें और सभी संभावित छोटी अनुक्रमों को दिखाएं जो वांछित परिणाम (यहां 6) पर समाप्त होते हैं।

प्रश्नावली 16.2

 

Question 1. एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E 'पासे पर संख्या 4' दर्शाता है और घटना F ‘पासे पर सम संख्या' दर्शाता है। क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?
Answer: हल: पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E (संख्या 4 दर्शाता है) = {4} F (सम संख्या) = {2, 4, 6} \( E \cap F = \{4\} \cap \{2, 4, 6\} = \{4\} \ne \phi \) अतः E और F परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
In simple words: दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनमें कोई उभयनिष्ठ परिणाम न हो। यहाँ घटना E (संख्या 4) और घटना F (सम संख्या) दोनों में संख्या 4 उभयनिष्ठ है, इसलिए वे अपवर्जी नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: अपवर्जी घटनाओं की पहचान करने के लिए, हमेशा उनके प्रतिच्छेदन (इंटरसेक्शन) की जाँच करें; यदि प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय (\( \phi \)) नहीं है, तो घटनाएँ अपवर्जी नहीं हैं।

 

Question 2. एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
Answer: हल: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(i) A : संख्या 7 से कम है = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B : संख्या 7 से बड़ी है = पासे में कोई संख्या 7 से बड़ी नहीं है।
(iii) C : संख्या 3 का गुणज है = {3, 6}
(iv) D : संख्या 4 से कम है = {1, 2, 3}
(v) E : 4 से बड़ी सम संख्या है = {6}
(vi) F = संख्या 3 से कम नहीं है। = {3, 4, 5, 6} \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cup \phi = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) \( A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \phi = \phi \) \( B \cup C = \phi \cup \{3, 6\} = \{3, 6\} \). \( E \cup F = \{6\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{3, 4, 5, 6\} \). \( D \cap E = \{1, 2, 3\} \cap \{6\} = \phi \). \( A - C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3, 6\} = \{1, 2, 4, 5\} \). \( F' = \{3, 4, 5, 6\}' = S - \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2\} \). \( E \cap F' = \{6\} \cap \{3, 4, 5, 6\}' = \{6\} \cap \{1, 2\} = \phi \).
In simple words: यह प्रश्न एक पासे के विभिन्न परिणामों को घटनाओं के रूप में परिभाषित करता है (जैसे संख्या 7 से कम, 3 का गुणज, आदि) और फिर विभिन्न समुच्चय संक्रियाओं (संघ, प्रतिच्छेदन, पूरक, अंतर) का उपयोग करके इन घटनाओं के संयोजनों का वर्णन करता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिदर्श समष्टि (S) को हमेशा ध्यान में रखें, खासकर पूरक (prime) घटनाओं की गणना करते समय, क्योंकि \( A' = S - A \) होता है।

 

Question 3. एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं। निम्नलिखित संख्याओं का वर्णन कीजिए । A : प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है। B : दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है। C : प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है। इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं ?
Answer: हल: जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या = 6 x 6 = 36 A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है । = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} B = कम से कम एक पासे पर संख्या 2 प्रकट होती है। = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} C = प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है। = प्रकट संख्याओं का योग 9 और 12 है जो कि 3 का गुणज है। = {{3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)} \( A \cap C = \{3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)\} \cap \{(3, 6), (6, 3), (5, 4), (6, 6)\} = \{(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5,4), (6, 6)\} \) \( A \cap B = \{ (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6) \} \cap \{ (1, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 3), (4, 2), (2, 4), (5, 2), (2, 5), (2, 6), (6, 2) \} = \phi \) \( B \cap C = \{ (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2) \} \cap \{ (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6) \} = \phi \) अर्थात् A और B, B और C परस्पर अपवर्जी हैं। परन्तु \( A \cap C \ne \phi \), अत: A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
In simple words: दो पासों के योग और परिणामों के आधार पर तीन घटनाओं A, B, C को परिभाषित किया गया है। घटनाओं के प्रतिच्छेदन की जाँच करके यह निर्धारित किया जाता है कि कौन से युग्म (A और B, B और C) अपवर्जी हैं, जबकि (A और C) अपवर्जी नहीं हैं क्योंकि उनमें उभयनिष्ठ परिणाम हैं।

🎯 Exam Tip: घटनाओं को अपवर्जी सिद्ध करने के लिए, उनके प्रतिच्छेदन को रिक्त समुच्चय \( (\phi) \) के बराबर दिखाना आवश्यक है; यदि प्रतिच्छेदन में कोई भी परिणाम मौजूद है, तो वे अपवर्जी नहीं हैं।

 

Question 4. तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए कि घटना “तीन चित्त दिखना” को A से, घटना 2 चित्त और 1 पट् दिखना' को B से, घटना “3 पट लिखना' को C से और घटना 'पहले सिक्के पर चित्त दिखना' को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन-सी घटनाएँ
(i) परस्पर अपवर्जी हैं ?
(ii) सरल हैं।
(iii) मिश्र हैं ?
Answer: हल: जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं तो प्रतिदर्श समष्टि S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT} A : तीन चित्त दिखना = {HHH} B : दो चित्त और एक पट् दिखना = {HHT, HTH, THH} C : तीन पट् दिखना = {TTT} D : पहले सिक्के पर चित्त दिखना = {HHH, HHT, HTH, HTT}
(i) \( A \cap B = \{HHH\} \cap \{HHT, HTH, THH\} = \phi \) \( A \cap C = \{HHH\} \cap \{TTT\} = \phi \) \( A \cap D = \{HHH\} \cap \{HHH, HHT, HTH, HTT\} = \{HHH\} \ne \phi \) \( B \cap C = \{HHT, HTH, THH\} \cap \{TTT\} = \phi \) \( B \cap D = \{HHT, HTH, THH\} \cap \{HHH, HHT, HTH, HTT\} = \{HHT, HTH\} \ne \phi \) \( C \cap D = \{TTT\} \cap \{HHH, HHT, HTH, HTT\} = \phi \) \( A \cap B \cap C = \{HHH\} \cap \{HHT, HTH, THH\} \cap \{TTT\} = \phi \) अतः परस्पर अपवर्जी घटनाएँ। A और B, A और C, B और C, C और D, A, B और C.
(ii) सरल घटनाएँ : A और C (क्योंकि इनमें केवल एक प्रतिदर्श बिंदु है।)
(iii) मिश्र घटनाएँ : B और D (क्योंकि इनमें एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु हैं।)
In simple words: तीन सिक्कों को उछालने पर, विभिन्न घटनाओं (जैसे तीन चित्त, दो चित्त और एक पट, आदि) को परिभाषित किया जाता है। अपवर्जी घटनाएँ वे होती हैं जिनमें कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं होता। सरल घटनाएँ केवल एक प्रतिदर्श बिंदु वाली होती हैं, जबकि मिश्र घटनाएँ एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु वाली होती हैं।

🎯 Exam Tip: सरल घटनाएँ केवल एक परिणाम से बनी होती हैं, जबकि मिश्र घटनाएँ एक से अधिक परिणाम से बनी होती हैं। अपवर्जी घटनाओं की जाँच उनके प्रतिच्छेदन की रिक्तता से होती है।

 

Question 5. तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
Answer: हल:
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं। A = कम से कम दो चित्त प्राप्त करना = {HHH, HHT, HTH, THH} B = कम से कम एक पट प्राप्त करना = {TTT, TTH, THT, HTT} (ii) तीन घटनाएँ A, B, C जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं । A = अधिक से अधिक एक चित्त प्राप्त करना | = {TTT, TTH, THT, HTT} B = तथ्यतः, 2 चित्त प्राप्त करना = {HHT, HTH, THH} C = तथ्यतः, 3 चित्त प्राप्त करना = {HHH} (iii) दो घटनाएँ A और B जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं । A : अधिकतम 2 पट् प्राप्त करना = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT} B : तथ्यतः 2 चित्त प्राप्त करना = {HHT, HTH, THH} \( A \cap B = \{HHT, HTH, THH\} \ne \phi \) (iv) दो घटनाएँ A और B जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं। A : तथ्यतः एक चित्त प्राप्त करना = {TTH, THT, HTT} B : तथ्यतः 2 चित्त प्राप्त करना = {HHT, HTH, THH) (v) तीन घटनाएँ A, B, C जो परस्पर उपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं। A : तथ्यतः एक पट् प्राप्त करना = {HHT, THT, THH} B : तथ्यतः 2 पट् प्राप्त करना = {TTH, THT, HTT} C : तथ्यतः 3 पट् प्राप्त करना = {TTT} [नोट : घटनाएँ भिन्न-भिन्न भी हो सकती हैं।
In simple words: यह प्रश्न तीन सिक्कों के उछाल पर आधारित विभिन्न प्रकार की घटनाओं को परिभाषित करता है: अपवर्जी घटनाएँ (जिनमें कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं होता), निःशेष घटनाएँ (जिनका संघ प्रतिदर्श समष्टि को कवर करता है), और इन दोनों गुणों के संयोजन।

🎯 Exam Tip: "अपवर्जी" का अर्थ है \( A \cap B = \phi \), जबकि "निःशेष" का अर्थ है \( A \cup B = S \)। इन परिभाषाओं को याद रखने से विभिन्न प्रकार की घटनाओं को सही ढंग से वर्गीकृत करने में मदद मिलती है।

 

Question 6. दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं: A : पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना। B : पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना। C : पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना । निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
(i) A'
(ii) B - नहीं
(iii) A या B
(iv) A और B
(v) A किन्तु C नहीं
(vi) B या C
(vii)B और C
(viii) \( A \cap B' \cap C' \)
Answer: हल: दो सिक्के फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि S = {(1, 1), (1, 2), ... (1, 6), (2, 1), (2, 2), ... (2, 6), (3, 1), (3, 2), ... (3, 6), (4, 1), (4, 2),... (4, 6), (5, 1), (5, 2),... (5, 6), (6, 1), ... (6, 6)} A = पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होगा । = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B = पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना। = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),(3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग \( \le \) 5 होना । = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
(i) \( A' = S - A = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\} = B \)
(ii) \( B \text{-नहीं} = B' = \text{पहले पासे पर विषम संख्या का न होना} = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} = A \)
(iii) \( A \text{ या } B = A \cup B = \{x : x \text{ पहले पासे पर सम संख्या का होना}\} \cup \{ \text{पहले पासे पर विषम संख्या का होना}\} = S \)
(iv) \( A \text{ और } B = A \cap B = \{x : x \text{ पहले पासे पर सम संख्या का होना}\} \cap \{ \text{पहले पासे पर विषम संख्या का होना}\} = \phi \)
(v) \( A \text{ किन्तु } C \text{- नहीं} = \{x : x \text{ पहले पासे पर सम संख्या का होना}\} - \{ \text{पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग } \le 5\} \) \( A - C= \{(2, 1), (2, 2), ..., (2, 6), (4, 1), (4, 2), ... (4, 2), ... (4, 6), (6, 1), (6, 2), ... (6, 6)\} - \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\} = \{(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3),... (4, 6), (6, 1), (6, 2), ... (6, 6)\} \)
(vi) \( B \text{ या } C = B \cup C = \{x: x, \text{पहले पासे पर विषम संख्या होगा।}\} \cup \{ \text{पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग } \le 5\} = \{(1, 1), (1, 2), ... (1, 6), (3, 1), (3, 2), ... (3, 6), (5, 1), (5, 2), ... (5, 6)\} \cup \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 1)\} = \{(1,1), (1, 2), ... (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), ... (3, 6), (4, 1), (5,1), (5, 2), (5, 3), ... (5, 6)\} \).
(vii) \( B \text{ और } C \text{ अर्थात् } B \cap C = \{(1, 1), ... (1, 6), (3, 1), (3, 2),... (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), ... (5, 6)\} \cap \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\}. = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)\} \)
(viii) यहाँ \( B' = A \) \( A \cap B' \cap C' = A \cap A \cap C' = A \cap C' \) \( C' = S - C = \text{प्रतिदर्श समष्टि} - \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\} \) \( C' = \{(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \) तो, \( A \cap C' = \{(2, 1), (2, 2), ... (2, 6), (4, 1), (4, 2),...,(4, 6), (6, 1), (6, 2),... (6, 6)\} \cap \{(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3),...(4, 6), (5, 1), (5, 2),... (5, 6), (6, 1), (6, 2), ... (6, 5)\} = \{(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\} \).
In simple words: दो पासों के परिणामों पर आधारित घटनाओं A, B, C के लिए विभिन्न समुच्चय संक्रियाएँ (पूरक, संघ, प्रतिच्छेदन, अंतर) लागू की जाती हैं ताकि इन घटनाओं के विभिन्न संयोजनों का वर्णन किया जा सके।

🎯 Exam Tip: घटनाओं पर समुच्चय संक्रियाएँ करते समय, प्रतिदर्श समष्टि के सभी 36 परिणामों को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करें और फिर प्रत्येक परिभाषित घटना के लिए परिणामों को ध्यान से चुनें। पूरक घटना \( A' = S - A \) होती है।

 

Question 7. उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए:
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
(iii) A = B'
(iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
(v) A और B' परस्पर अपवर्जी हैं।
(vi) A', B', C परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं।
Answer: हल:
(i) सत्य । A : पहले पासे पर सम संख्या का होना B : पहले पासे पर विषम संख्या का होना A और B में कोई भी घटना समान नहीं है। \( A \cap B = \phi \implies \) A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
(ii) सत्य : A : पहले पासे पर सम संख्या होना B : पहले पासे पर विषम संख्या होना \( A \cup B = \) पहले पासे पर सम या विषम कोई भी संख्या हो सकती है, दूसरे पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या हो सकती है। अर्थात् A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं।
(iii) सत्य : \( B' = \{\text{पहले पासे पर विषम संख्या होना}\}' = \text{पहले पासे पर विषम संख्या न होना} = \text{पहले पासे पर सम संख्या होना } = A \)
(iv) असत्य \( A = \) पहले पासे पर सम संख्या होना \( C = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\} \) A और C में (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1) समान घटनाएँ हैं। \( A \cap C \ne \phi \) अतः A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(v) असत्य \( B' = A \) \( A \cap B' = A \cap A = A \ne \phi \) A तथा B' परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(vi) असत्य \( A' = B, B' = A \) \( A' \cap B' = B \cap A = \phi \) परन्तु \( A' \cap C = B \cap C = \{x : x \text{ पहले पासे पर विषम संख्या होना}\} \cap \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\} = \{(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)\} \ne \phi \) \( B' \cap C = A \cap C [\because B' = A] = \{x : x, \text{ पहले पासे पर सम संख्या का होना}\} \cap \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\} = (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1) \) A और C दोनों में समान घटनाएँ हैं। \( B' \cap C \ne \phi \) अर्थात् A', B', और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं और न ही निःशेष हैं।
In simple words: प्रश्न 6 में परिभाषित घटनाओं A, B, C का उपयोग करके, यह निर्धारित किया गया कि कौन से कथन (जैसे A और B अपवर्जी हैं, A = B') सत्य हैं और कौन से असत्य, समुच्चय सिद्धांत के नियमों के आधार पर उनके प्रतिच्छेदन और संघ की जाँच करके।

🎯 Exam Tip: "परस्पर अपवर्जी" का अर्थ है कि घटनाओं का प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय (\( \phi \)) है, जबकि "निःशेष" का अर्थ है कि घटनाओं का संघ प्रतिदर्श समष्टि (S) है। इन अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझना महत्वपूर्ण है।

प्रश्नावली 16.3

 

Question 1. प्रतिदर्श समष्टि S = {W₁, W₂, W₃, W₄, W₅, W₆} के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन से प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं हैं:

Answer: हलः
(a) \( 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1.00 \) घटनाओं की दी गयी प्रायिकता को योगफल 1 है। अतः निर्धारित प्रायिकता वैध है।
(b) दी गयी प्रायिकताओं का योगफल \[ = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = 1 \] दी गयी प्रायिकता वैध है।
(c) दी हुई प्रायिकताओं का योग = \( 0.1 + 0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.7 \) यह एक से अधिक है। अतः दी गयी प्रायिकता वैध नहीं है।
(d) किसी भी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती। यहाँ पर दो प्रायिकताएँ \( -0.1 \) और \( -0.2 \) ऋणात्मक हैं। अतः दी गयी प्रायिकता वैध नहीं है।
(e) दी गयी प्रायिकताओं का योगफल \[ = \frac{1}{14} + \frac{2}{14} + \frac{3}{14} + \frac{4}{14} + \frac{5}{14} + \frac{6}{14} + \frac{15}{14} \] \[ = \frac{36}{14} = \frac{18}{7} \] जो कि एक से अधिक है। अतः दी गयी प्रायिकता वैध नहीं है।
In simple words: एक वैध प्रायिकता निर्धारण के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: प्रत्येक घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होनी चाहिए, और सभी परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ठीक 1 होना चाहिए। दिए गए निर्धारणों में से (c), (d) और (e) वैध नहीं हैं क्योंकि या तो योग 1 से अधिक है या प्रायिकताएँ ऋणात्मक हैं।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता के दो मूलभूत नियमों को हमेशा याद रखें: (1) किसी भी घटना की प्रायिकता 0 से 1 तक होती है \( (0 \le P(E) \le 1) \) और (2) प्रतिदर्श समष्टि की सभी घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है \( (\sum P(E_i) = 1) \)।

 

Question 2. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
Answer: हलः दिए हुए परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT} कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 4 कम से कम एक पट् प्राप्त करने के तरीके TH, HT, TT = 3 एक सिक्के को दो बार उछालने से कम से कम 1 पट् प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{3}{4} \)
In simple words: जब एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, तो कुल चार संभावित परिणाम होते हैं। इनमें से तीन परिणाम ऐसे हैं जिनमें कम से कम एक पट (टेल) होता है, इसलिए इसकी प्रायिकता 3/4 है।

🎯 Exam Tip: "कम से कम एक" वाली प्रायिकता समस्याओं में, आप सभी परिणामों को सूचीबद्ध कर सकते हैं या कुल प्रायिकता में से "कोई भी नहीं" की प्रायिकता को घटा सकते हैं।

 

Question 3. एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या प्रकट होना।
(ii) 3 या 3 से बड़ी संख्या प्रकट होना ।
(iii) 1 या 1 से छोटी संख्या प्रकट होना।
(iv) छः से बड़ी संख्या प्रकट होना।
(v) छः से छोटी संख्या प्रकट होना।
Answer: हलः एक पासे को फेंकने में परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} अर्थात् कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 हैं। n (A) = 3 अतः एक अभाज्य संख्या प्रकट होने की प्रायिकता \( = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
(ii) माना घटना 3 या 3 से बड़ी संख्या को B से दर्शाया गया है, 3 या 3 से बड़ी संख्याएँ 3, 4, 5, 6 हैं। n (B) = 4 अतः प्रायिकता, \( P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
(iii) माना घटना 1 या 1 से छोटी संख्या को C से दर्शाया गया है। 1 या 1 से छोटी संख्याएँ = \( \phi \) (कोई नहीं) \( \therefore n(C) = 0 \) अतः प्रायिकता, \( P(C) = \frac{0}{6} = 0 \)
(iv) एक पासे पर 6 से बड़ी कोई संख्या नहीं होती है, अर्थात् इसकी प्रायिकता \( = \frac{0}{6} = 0 \)
(v) 6 से छोटी संख्याएँ: 1, 2, 3, 4, 5 हैं। यदि इसे E से दर्शाया गया हो, तब n(E) = 5 अतः प्रायिकता, \( P(E) = \frac{5}{6} \)
In simple words: एक पासे को फेंकने पर विभिन्न घटनाओं (जैसे अभाज्य संख्या, 3 या उससे बड़ी संख्या, 1 से छोटी संख्या, 6 से बड़ी संख्या, 6 से छोटी संख्या) की प्रायिकताएँ परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से विभाजित करके ज्ञात की जाती हैं।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता की गणना करते समय, पहले प्रतिदर्श समष्टि और अनुकूल परिणामों की संख्या को स्पष्ट रूप से पहचानें, फिर अनुपात \( P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} \) का उपयोग करें। असंभव घटनाओं की प्रायिकता 0 होती है।

 

Question 4. ताश की एक गड्डी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है।
(a) प्रतिदर्श समष्टि में कितने बिन्दु हैं ?
(b) पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है ?
(c) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता
(i) इक्का है
(ii) काले रंग का है।
Answer: हलः
(a) ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं। जब एक पत्ता निकाला जाता है तो इसके प्रतिदर्श समष्टि में 52 बिन्दु होते हैं।
(b) ताश की गड्डी में हुकुम का एक इक्का होता है। यदि एक पत्ता निकालने की घटना को A से दर्शाया जाए। n(A) = 1, n(S) = 52 \( P(A) = P(\text{हुकुम का इक्का} ) = \frac{1}{52} \)
(c) (i) यदि B इक्का निकालने को दर्शाता हो तो n(B) = 4 [ताश की गड्डी में 4 इक्के होते हैं ।] n(S) = 52 \( P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \)
(ii) C काले रंग के पत्ते आने की घटना को दर्शाता है। n(C) = 26 [ ताश की गड्डी में 26 काले पत्ते होते हैं।] n(S) = 52 \( P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \)
In simple words: 52 पत्तों की ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर, कुल 52 संभावित परिणाम होते हैं। हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता 1/52 है, इक्का होने की प्रायिकता 4/52 (या 1/13) है, और काले रंग का पत्ता होने की प्रायिकता 26/52 (या 1/2) है।

🎯 Exam Tip: ताश के पत्तों से संबंधित प्रायिकता समस्याओं में, कुल पत्तों की संख्या (52), प्रत्येक सूट की संख्या (13), और प्रत्येक प्रकार के पत्तों की संख्या (जैसे 4 इक्के, 26 काले पत्ते) को याद रखना महत्वपूर्ण है।

 

Question 5. एक अनभिनत (unbiased) सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग
(i) 3 है
(ii) 12 है।
Answer: हलः एक पासे पर 1 व 6 अंकित है और दूसरे पर 1, 2, 3, 4, 5, 6. प्रतिदर्श समष्टि = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} कुल संभावित परिणाम = 2 * 6 = 12
(i) दी गयी संख्याओं का योग 3 घटना (1, 2) से प्राप्त होता है। अनुकूल परिणामों की संख्या = 1 प्रायिकता जब प्राप्त संख्याओं का योग 3 है = \( \frac{1}{12} \)
(ii) दी गयी संख्याओं को योग घटना (6, 6) से प्राप्त होता है। यहाँ अनुकूल परिणामों की संख्या = 1 प्रायिकता जब प्राप्त संख्याओं का योग 12 है = \( \frac{1}{12} \)
In simple words: एक सिक्के (जिस पर 1 और 6 अंकित है) और एक पासे (जिस पर 1-6 अंकित है) को एक साथ उछालने पर, प्रतिदर्श समष्टि में 12 संभावित परिणाम होते हैं। योग 3 प्राप्त करने का केवल एक तरीका (सिक्के पर 1, पासे पर 2) है, और योग 12 प्राप्त करने का भी केवल एक तरीका (सिक्के पर 6, पासे पर 6) है, इसलिए दोनों की प्रायिकता 1/12 है।

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग वस्तुओं (जैसे सिक्का और पासा) के परिणामों का संयोजन हो, तो कुल परिणामों के लिए प्रत्येक वस्तु के परिणामों की संख्या को गुणा करें, और फिर अनुकूल परिणामों की संख्या गिनकर प्रायिकता ज्ञात करें।

 

Question 6. नगर परिषद् में चार पुरुष के छः स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक परिषद् सदस्य चुना गया है तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी सम्भावना है ?
Answer: हलः नगर परिषद् में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं। कुल सदस्य = 4 + 6 = 10 उनमें से किसी एक को चुनने के तरीके = 10 कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 10 कुल 6 स्त्रियाँ हैं। उनमें से एक स्त्री को चुनने के तरीके = 6. अनुकूल परिणामों की संख्या = 6 एक स्त्री को चुने जाने की प्रायिकता = \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
In simple words: एक समिति में 4 पुरुष और 6 स्त्रियाँ हैं, कुल 10 सदस्य। यदि एक सदस्य को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो एक स्त्री के चुने जाने की प्रायिकता 6/10 या 3/5 है।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता समस्याओं में, अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से विभाजित करें। यह सुनिश्चित करें कि आप कुल परिणामों में सभी उपलब्ध विकल्पों को शामिल करें।

 

Question 7. एक अनभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक चित्त पर एक रुपया जीतता है और प्रत्येक पट् पर 1.50 Rs. हारता है। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही इन राशियों से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः सिक्के की उछाल में पाँच तरीकों से चित्त प्राप्त कर सकते हैं। जो निम्न प्रकार हैं। कुल संभावित परिणाम = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT} कुल परिणामों की संख्या = \( 2^4 = 16 \)
(i) कोई भी चित्त प्राप्त नहीं होता या चारों पट् प्राप्त होते हैं। चारों पट् के आने पर हानि = \( 4 \times 1.50 = 6 \) Rs. (हानि) चार पट् प्राप्त करने के तरीके (TTTT) = 1 कुल सम्भावित परिणाम = 16 चार पट् प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{1}{16} \)
(ii) जब एक चित्त और 3 पट् प्राप्त होते हैं। हानि = \( (3 \times 1.50) - (1 \times 1) = 4.50 - 1.00 = 3.50 \) Rs. (हानि) एक चित्त और 3 पट् इस प्रकार आ सकते हैं: {TTTH, THT, THTT, HTTT} 4 तरीकों से एक चित्त और 3 पट् प्राप्त हो सकते हैं। कुल सम्भावित परिणाम = 16 एक चित्त प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
(iii) जब 2 चित्त और 2 पट् प्रकट होते हैं। हानि = \( (2 \times 1.5) - (1 \times 2) = 3 - 2 = 1 \) Rs. (हानि) 2 चित्त और 2 पट् इस प्रकार प्राप्त हो सकते हैं । {HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH} छः तरीकों से 2 चित्त और 2 पट् प्राप्त हो सकते हैं। कुल सम्भावित परिणाम = 16 2 चित्त प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \)
(iv) जब 3 चित्त और 1 पट् प्रकट होता है, तब लाभ = \( (3 \times 1) - (1 \times 1.5) = 3 - 1.50 = 1.50 \) Rs. (लाभ) 3 चित्त प्राप्त करने के तरीके = {HHHT, HHTH, HTHH, THHH} चार तरीकों से 3 चित्त और 1 पट् प्राप्त होता है। कुल सम्भावित परिणाम = 16 3 चित्त प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
(v) चारों चित्त एक तरीके से प्राप्त कर सकते हैं, तब लाभ = \( 4 \times 1 = 4 \) Rs. (लाभ) कुल सम्भावित परिणाम = 16 चार चित्त प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{1}{16} \)
In simple words: चार बार सिक्का उछालने पर, व्यक्ति को चित्त के लिए Rs.1 का लाभ और पट के लिए Rs.1.50 की हानि होती है। विभिन्न संख्या में चित्त और पट आने पर अलग-अलग कुल लाभ/हानि हो सकती है (जैसे 4 पट पर Rs.6 की हानि, 3 पट 1 चित्त पर Rs.3.50 की हानि, 2 पट 2 चित्त पर Rs.1 की हानि, 1 पट 3 चित्त पर Rs.1.50 का लाभ, 4 चित्त पर Rs.4 का लाभ), और प्रत्येक राशि की अपनी प्रायिकता होती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की समस्याओं में, प्रत्येक संभावित संख्या में चित्त और पट के लिए अनुकूल परिणामों की गणना करें (संयोजन का उपयोग करके या सूचीबद्ध करके)। फिर प्रत्येक स्थिति के लिए शुद्ध लाभ/हानि और उसकी प्रायिकता ज्ञात करें।

 

Question 8. तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) तीन चित्त प्रकट होना
(ii) 2 चित्त प्रकट होना
(iii) न्यूनतम 2 चित्त प्रकट होना
(iv) अधिकतम 2 चित्त प्रकट होना
(v) एक भी'चित्त प्रकट न होना
(vi) 3 पट् प्रकट होना
(vii) तथ्यतः 2पट् प्रकट होना
(viii) कोई भी पट् प्रकट न होना,
(ix) अधिकतम पट् प्रकट होना
Answer: हलः यदि 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT} कुल सम्भावित परिणाम = 8
(i) तीन चित्त {HHH} एक तरीके से प्रकट होता है। अत: 3 चित्त प्राप्त करने की प्रायिकता = \( \frac{1}{8} \)
(ii) 2 चित्त या 2 चित्त 1 पट् प्राप्त करने के HHT, HTH, THH तीन तरीके हैं। कुल सम्भावित परिणाम = 8 2 चित्त प्रकट होने की प्रायिकता = \( \frac{3}{8} \)
(iii) न्यूनतम 2 चित्त प्राप्त करने के लिए 2 चित्त 1 पट् या 3 चित्त आएंगे न्यूनतम 2 चित्त HHT, HTH, THH, HHH, चार तरीकों से प्रकट हो सकते हैं। अतः न्यूनतम 2 चित्त प्रकट होने की प्रायिकता = \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
(iv) अधिकतम 2 चित्त, इस प्रकार प्रकट होंगे। (a) कोई चित्त नहीं या तीन पट् (b) एक चित्त 2 पट् (c) 2 चित्त 1 पट् यह {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH} सात तरीकों से प्रकट हो सकते हैं। कुल संभावित परिणाम = 8 अधिकतम 2 चित्त प्रकट होने की प्रायिकता = \( \frac{7}{8} \)
(v) एक भी चित्त न आने का अर्थ है तीन पट् प्रकट होना जो (TTT) एक तरीके से हो सकता है। कुल संभावित परिणाम = 8 अतः एक भी चित्त न आने की प्रायिकता = \( \frac{1}{8} \)
(vi) तीन पट् (TTT) एक तरीके से प्रकट हो सकते हैं। तीन पट् प्रकट होने की प्रायिकता = \( \frac{1}{8} \)
(vii) तथ्यतः 2 पट् (TTH, THT, HTT) तीन तरीकों से प्राप्त हो सकते हैं। कुल संभावित परिणाम = 8 दो पट् प्रकट होने की प्रायिकता = \( \frac{3}{8} \)
(viii) कोई पट् नहीं का अर्थ है तीनों चित्त प्रकट होते हैं तो (HHH) 1 तरीके से ही हो सकता है। कुल संभावित परिणाम = 8 कोई पट् प्रकट न होने की प्रायिकता = \( \frac{1}{8} \)
(ix) अधिकतम दो पट् प्रकट होना = तीनों पट् प्रकट नहीं होते। तीनों पट् प्रकट होने की प्रायिकता = \( \frac{1}{8} \) अधिकतम दो पट् प्रकट होने की प्रायिकता = \( 1 - \) (तीनों पट् प्रकट होने की प्रायिकता) \( = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)
In simple words: तीन सिक्के उछालने पर कुल 8 संभावित परिणाम होते हैं। इस आधार पर, विभिन्न घटनाओं जैसे 'तीन चित्त', 'दो चित्त', 'न्यूनतम दो चित्त', 'अधिकतम दो चित्त', 'कोई चित्त नहीं', 'तीन पट', 'ठीक दो पट', 'कोई पट नहीं', और 'अधिकतम दो पट' की प्रायिकताएँ अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों से विभाजित करके ज्ञात की जाती हैं।

🎯 Exam Tip: 'न्यूनतम' (at least) और 'अधिकतम' (at most) शब्दों पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि वे अनुकूल परिणामों की सीमा को परिभाषित करते हैं। 'अधिकतम n' का अर्थ 'n या उससे कम' और 'न्यूनतम n' का अर्थ 'n या उससे अधिक' होता है।

 

Question 9. यदि किसी घटना A की प्रायिकता है तो घटना A – नहीं' की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः P(A) = \( P(A) \) \( P(A \text{- नहीं}) = P(A') = 1 - P(A) \) \( = 1 - P(A) \)
In simple words: किसी घटना A के 'नहीं होने' की प्रायिकता (जिसे A' या A का पूरक भी कहते हैं) को 1 में से घटना A के होने की प्रायिकता को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

🎯 Exam Tip: पूरक नियम \( P(A') = 1 - P(A) \) एक महत्वपूर्ण सूत्र है, खासकर जब किसी घटना के 'न होने' की प्रायिकता सीधे गिनने में मुश्किल हो।

 

Question 10. शब्द 'ASSASSINATION' से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर
(i) एक स्वर (vowel) है
(ii) एक व्यंजन (consonant) है।
Answer: हलः शब्द ASSASSINATION में कुल 13 अक्षर हैं जिसमें (AAAIIO) 6 स्वर और (SSSSNNT) 7 व्यंजन है। n(S) = 13 स्वरों की संख्या = 6 एक स्वर चुनने की प्रायिकता = \( \frac{6}{13} \)
(ii) व्यंजनों की संख्या = 7 n(S) = 13 एक व्यंजन चुनने की प्रायिकता = \( \frac{7}{13} \)
In simple words: 'ASSASSINATION' शब्द में कुल 13 अक्षर हैं, जिनमें से 6 स्वर (A, A, A, I, I, O) और 7 व्यंजन (S, S, S, S, N, N, T) हैं। इस शब्द से यादृच्छिक रूप से एक अक्षर चुनने पर एक स्वर की प्रायिकता 6/13 और एक व्यंजन की प्रायिकता 7/13 है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले कुल अक्षरों की संख्या (प्रतिदर्श समष्टि) और फिर प्रत्येक वांछित श्रेणी (स्वर या व्यंजन) में अक्षरों की संख्या की सही-सही गणना करें। दोहराए गए अक्षरों को भी गिनती में शामिल करें।

 

Question 11. एक लाटरी में एक व्यक्ति 1 से 20 तक की संख्याओं में से छः भिन्न-भिन्न संख्याएँ यादृच्छया चुनता है और यदि ये चुनी गईं छः संख्याएँ उन छः संख्याओं से मेल खाती हैं जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्व निर्धारित कर रखा है, तो वह व्यक्ति इनाम जीत जाता है। लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है ?
Answer: हलः 1 से 20 तक की प्राकृत संख्याओं में से 6 संख्या चुनने के तरीके = \( ^{20}C_6 \) \( = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \) = 38760 केवल एक ही अनुकूल परिणाम है। अतः लाटरी जीतने की प्रायिकता = \( \frac{1}{38760} \)
In simple words: 1 से 20 तक की संख्याओं में से 6 भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल 38760 तरीके हैं। चूंकि इनाम जीतने के लिए केवल एक ही सही संयोजन है, तो इनाम जीतने की प्रायिकता 1/38760 है।

🎯 Exam Tip: जब वस्तुओं का चयन बिना क्रम के किया जाता है, तो संयोजनों \( (^nC_r) \) का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करें कि \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) सूत्र का सही ढंग से उपयोग किया गया हो।

 

Question 12. जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ PA) और P(B) युक्ति संगत (consistency) परिभाषित की गई हैं।
(i) P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A \( \cap \) B) = 0.6
(ii) PA) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A \( \cup \) B) = 0.8
Answer: हल:
(i) दिया है : P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A \( \cap \) B) = 0.6 यहाँ \( P(A \cap B) = 0.6 > P(A) \) अतः P(A) और P(B) युक्ति संगत नहीं है।
(ii) यहाँ पर P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A \( \cup \) B) = 0.8 अब \( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \) \( = 0.5 + 0.4 - 0.8 \) \( P(A \cap B) = 0.1 \). अतः P(A) और P(B) युक्ति संगत है।
In simple words: प्रायिकताएँ सुसंगत तब होती हैं जब वे प्रायिकता के मूलभूत सिद्धांतों का पालन करती हैं। पहली स्थिति में, \( P(A \cap B) \) का मान \( P(A) \) से अधिक है, जो असंभव है, इसलिए यह असंगत है। दूसरी स्थिति में, सभी मान प्रायिकता के नियमों के अनुरूप हैं, इसलिए यह सुसंगत है।

🎯 Exam Tip: प्रायिकताओं की सुसंगतता जाँचने के लिए, हमेशा ध्यान दें कि \( P(A \cap B) \) का मान \( P(A) \) और \( P(B) \) से अधिक नहीं हो सकता, और \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) सूत्र का सही ढंग से उपयोग करें।

 

Question 13. निम्नलिखित सारणी में खाली स्थान भरिए:

Answer: हलः
(i) \( P(A) = \frac{1}{3} \), \( P(B) = \frac{1}{5} \), \( P(A \cap B) = \frac{1}{15} \), \( P(A \cup B) = ? \) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15} \) \( = \frac{5+3-1}{15} = \frac{7}{15} \)
(ii) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( 0.6 = 0.35 + P(B) - 0.25 \) \( P(B) = 0.6 - 0.35 + 0.25 = 0.5 \).
(iii) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( 0.7 = 0.5 + 0.35 - P(A \cap B) \) \( P(A \cap B) = 0.5 + 0.35 - 0.7 = 0.15 \).
In simple words: इस सारणी में, प्रायिकता के योग नियम \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) का उपयोग करके अज्ञात मानों को भरा गया है, जो कि घटना A या B के होने की प्रायिकता, घटना A के होने की प्रायिकता, घटना B के होने की प्रायिकता और घटना A और B दोनों के होने की प्रायिकता के बीच संबंध स्थापित करता है।

🎯 Exam Tip: प्रायिकता के योग नियम \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) को अच्छी तरह से याद रखें और इसे किसी भी अज्ञात प्रायिकता (जैसे \( P(A) \), \( P(B) \), \( P(A \cap B) \) या \( P(A \cup B) \)) की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

 

Question 14. P(A) = और P(B) = द्विा गया है। यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो P(A या B) ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तब \( P(A \cap B) = 0 \) \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(B) = \frac{1}{3} \) \( P(A \text{ या } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 0 = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
In simple words: यदि दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो उनके एक साथ होने की प्रायिकता \( P(A \cap B) \) शून्य होती है। इसलिए, A या B के होने की प्रायिकता \( P(A \cup B) \) केवल उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग होती है।

🎯 Exam Tip: अपवर्जी घटनाओं के लिए, \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) सूत्र का उपयोग करें, क्योंकि \( P(A \cap B) = 0 \) होता है।

 

Question 15. यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार की हैं कि P(E) = \( \frac{1}{2} \), P(F) = \( \frac{1}{2} \), और P(E और F) = \( \frac{1}{8} \) तो ज्ञात कीजिए
(i) P(E या F)
(ii) P(E- नहीं और F- नहीं)।
Answer: हल : \( P(E) = \frac{1}{2}, P(F) = \frac{1}{2}, P(E \text{ और } F) = P(E \cap F) = \frac{1}{8} \)
(i) \( P(E \text{ या } F) = P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \) \[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4+4-1}{8} = \frac{7}{8} \]
(ii) \( P(E \text{ नहीं और } F \text{ नहीं}) = P(E' \cap F') \) \( = P[(E \cup F)'] \) \[ = 1 - P(E \cup F) \] \[ = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8} \]
In simple words: दी गई व्यक्तिगत और संयुक्त प्रायिकताओं का उपयोग करते हुए, \( P(E \text{ या } F) \) को प्रायिकता के योग नियम से (7/8) ज्ञात किया जाता है। फिर, \( P(E \text{ नहीं और } F \text{ नहीं}) \) को डी-मॉर्गन के नियम और पूरक नियम का उपयोग करके (1/8) ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: \( P(A \cup B) \) के लिए योग नियम और \( P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \) के लिए डी-मॉर्गन का नियम और पूरक नियम याद रखें।

 

Question 16. घटनाएँ E और F इस प्रकार हैं कि P (E-नहीं और F- नहीं) = 0.25, बताइए कि E और F परस्पर अपवर्जी हैं या नहीं।
Answer: हल: \( P(E \text{ – नहीं और } F \text{ – नहीं}) = P(E' \cap F') = P[(E \cup F)'] \) अर्थात् \( 1 - P(E \cup F) = 0.25 \) \( P(E \cup F) = 1 - 0.25 = 0.75 \) \( P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F) \) चूँकि \( P(E \cup F) = 0.75 \) और \( P(E \cap F) \) के बारे में कोई जानकारी नहीं है, लेकिन अगर E और F अपवर्जी होते, तो \( P(E \cap F) = 0 \) होता। तो, \( P(E \cup F) = P(E) + P(F) \)। परन्तु \( P(E \cup F) = 0.75 \ne 0 \), इसका मतलब \( P(E \cap F) \) आवश्यक रूप से 0 नहीं है। इसलिए E और F परस्पर अपवर्जी नहीं है।
In simple words: यदि \( P(E \text{ नहीं और } F \text{ नहीं}) = 0.25 \) है, तो इसका मतलब है कि \( P(E \cup F) = 0.75 \)। चूंकि \( P(E \cup F) \) शून्य नहीं है, इसका मतलब है कि \( P(E \cap F) \) भी शून्य नहीं है (जब तक E और F के लिए अन्य प्रायिकताएँ नहीं दी गई हों)। यदि \( P(E \cap F) \ne 0 \) है, तो E और F परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: घटनाओं के अपवर्जी होने के लिए \( P(E \cap F) = 0 \) होना चाहिए। यदि \( P(E \cup F) = 0 \) है, तो निश्चित रूप से \( P(E \cap F) = 0 \) होगा। यदि \( P(E \cup F) \ne 0 \) है, तो \( P(E \cap F) \) भी \( 0 \) हो सकता है या नहीं भी, यह दिए गए \( P(E) \) और \( P(F) \) पर निर्भर करता है। यहाँ, चूंकि कोई अन्य जानकारी नहीं है, हम केवल \( P(E \cup F) \ne 0 \) से निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे अपवर्जी नहीं हैं।

 

Question 17. घटनाएँ A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 और P(A और B) = 0.16, ज्ञात कीजिए:
(i) P(A – नहीं)
(ii) P (B- नहीं)
(iii) P(A या B)
Answer: हल: P(A) = 0.42, P(B) = 0.48. P(A और B) = \( P(A \cap B) = 0.16 \)
(i) P(A – नहीं) = \( P(A') = 1 - P(A) \) \( = 1 - 0.42 = 0.58 \).
(ii) P(B – नहीं) = \( P(B') = 1 - P(B) \) \( = 1 - 0.48 = 0.52 \).
(iii) P(A या B) = \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = 0.42 + 0.48 - 0.16 \) \( = 0.90 - 0.16 = 0.74 \).
In simple words: घटना A या B के होने की प्रायिकता \( P(A \cup B) \) को योग नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, और घटना A या B के 'नहीं होने' की प्रायिकता को पूरक नियम \( (1 - P(\text{घटना})) \) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: पूरक घटना की प्रायिकता \( (P(E') = 1 - P(E)) \) और योग नियम \( (P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)) \) का सही उपयोग प्रायिकता समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 18. एक पाठशाला की कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं और 30% जीव विज्ञान पढ़ते हैं। कक्षा के 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं । यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह गणित या जीव विज्ञान पढ़ता होगा।
Answer: हलः एक पाठशाला के 40% विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं। गणित पढ़ने वाले विद्यार्थी की प्रायिकता \( P(M) = 0.4 \) 30% विद्यार्थी जीव विज्ञान पढ़ते हैं। जीव विज्ञान पढ़ने वाले विद्यार्थी की प्रायिकता \( P(B) = 0.3 \) 10% विद्यार्थी गणित और जीव विज्ञान दोनों पढ़ते हैं। गणित और जीव विज्ञान वाले विद्यार्थियों की प्रायिकता, \( P(M \cap B) = 0.1 \) अब एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया हो, तब उस विद्यार्थी द्वारा गणित या जीव विज्ञान लिए गए विषय की प्रायिकता \( P(M \cup B) = P(M) + P(B) - P(M \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6 \)
In simple words: कक्षा XI में, 40% छात्र गणित, 30% जीव विज्ञान और 10% दोनों पढ़ते हैं। यदि एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो उसके गणित या जीव विज्ञान पढ़ने की प्रायिकता \( P(M \cup B) \) को योग नियम का उपयोग करके (0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6) ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत को प्रायिकता में बदलने के लिए उसे 100 से विभाजित करें। "या" का अर्थ है संघ (यूनियन) और "और" का अर्थ है प्रतिच्छेदन (इंटरसेक्शन)। छात्रों की कुल संख्या को 1 के रूप में मानते हुए प्रायिकताओं के साथ काम करें।

 

Question 19. एक प्रवेश परीक्षा की दो परीक्षणों (Tests) के आधार पर श्रेणीबद्ध किया जाता है। किसी यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी की पहले परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.8 है और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.7 है। दोनों में से कम से कम एक परीक्षण उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.95 है। दोनों परीक्षणों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

Answer: हल: माना A और B क्रमशः पहले और दूसरे परीक्षण में उत्तीर्ण होने को दर्शाते हैं। \(P(A) = 0.8\), \(P(B) = 0.7\) कम से कम एक परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता \( = 1 - P(A' \cap B') = 0.95\) \(P(A' \cap B') = 1 - 0.95 = 0.05\). \(A' \cap B' = (A \cup B)'\) (डी-मोर्गन नियम से) \(P(A' \cap B') = P(A \cup B)' = 1 - P(A \cup B) = 0.05\) \(P(A \cup B) = 1 - 0.05 = 0.95\) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) \(0.95 = 0.8 + 0.7 - P(A \cap B)\) \(P(A \cap B) = 1.5 - 0.95 = 0.55\) इस प्रकार दोनों परीक्षणों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता \( = 0.55\).
In simple words: If 0.95 is the probability of at least one test being passed, we use the complement rule to find \(P(A \cup B)\). Then, using the formula for the union of two events, we calculate the probability of both tests being passed.

🎯 Exam Tip: Remember De Morgan's laws for sets and probabilities, as they are crucial for solving problems involving complements of unions or intersections of events.

 

Question 20. एक विद्यार्थी के अंतिम परीक्षा के अंग्रेजी और हिन्दी दोनों विषयों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.5 है और दोनों में से कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता 0.1 है। यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.75 हो तो हिन्दी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

Answer: हल: माना E और H क्रमशः अंग्रेजी और हिन्दी में पास करने को दर्शाते हैं। तब अंग्रेजी और हिन्दी दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता \(P(E \cap H) = 0.5\) दोनों में से कोई परीक्षा उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता \( = P(E' \cap H') = 0.1\) \(P[(E \cup H)'] = 1 - P(E \cup H) = 0.1\) \(P(E \cup H) = 1 - 0.1 = 0.9\) अंग्रेजी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता \( = P(E) = 0.75\) अतः \(P(E \cup H) = 0.9\), \(P(E) = 0.75\), \(P(E \cap H) = 0.5\) \(P(E \cup H) = P(E) + P(H) - P(E \cap H)\) \(0.9 = 0.75 + P(H) - 0.5\) \(P(H) = 0.9 + 0.5 - 0.75 = 1.4 - 0.75 = 0.65\) अतः हिन्दी परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता \( = 0.65\).
In simple words: Given the probability of passing both subjects and failing both, we find the probability of passing at least one subject. Then, using the addition rule for probabilities, we calculate the probability of passing Hindi.

🎯 Exam Tip: Familiarize yourself with the formulas for union and intersection of events, including the complement rule. Careful substitution of given values will lead to the correct answer.

 

Question 21. एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन.सी.सी. (NCC), 32 ने एन.एस.एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है। यदि इनमें से एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि
(i) विद्यार्थी ने एन.सी.सी. या एन.एस.एस. को चुना है।
(ii) विद्यार्थी ने न तो एन.सी.सी. और न ही एन.एस.एस. को चुना है।
(iii) विद्यार्थी ने एन.एस.एस. को चुना है किन्तु एन.सी.सी को नहीं चुना है।

Answer: हलः माना A और B क्रमशः एन.सी.सी. और एन.एस.एस. चुनने की घटना को दर्शाते हैं। विद्यार्थियों की कुल संख्या \( = 60\) एन.सी.सी. चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या \( = 30\) एन.सी.सी. चुनने की प्रायिकता \(P(A) = \frac{30}{60}\) एन.एस.एस. चुनने वाले विद्यार्थियों की संख्या \( = 32\) एन.एस.एस. चुने जाने की प्रायिकता \(P(B) = \frac{32}{60}\) एन.सी.सी. और एन.एस.एस. चुनने वालों की संख्या \( = 24\) एन.सी.सी. और एन.एस.एस. चुनने की प्रायिकता \(P(A \cap B) = \frac{24}{60}\) (i) एन.सी.सी. और एन.एस.एस. चुने जाने की प्रायिकता \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) \( = \frac{30}{60} + \frac{32}{60} - \frac{24}{60} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}\) (ii) एन.सी.सी. और एन.एस.एस. में से कोई भी विषय न चुने जाने की प्रायिकता \(P(A' \cap B') = P[(A \cup B)']\) \( = 1 - P(A \cup B)\) \( = 1 - \frac{19}{30} = \frac{11}{30}\) (iii) विद्यार्थी ने एन.एस.एस. को चुना है परन्तु एन.सी.सी. को नहीं इसकी प्रायिकता \( = P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)\) \( = \frac{32}{60} - \frac{24}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}\)
In simple words: This problem involves finding probabilities related to two events (choosing NCC or NSS) using given counts. We calculate individual probabilities and then use the formula for the union of events, complement of a union, and the probability of one event but not the other.

🎯 Exam Tip: Clearly define your events and use the appropriate probability formulas. Ensure to correctly interpret "or," "neither...nor," and "but not" in terms of set operations.

Chapter 16 Miscellaneous Exercise

 

Question 1. एक डिब्बे में 10 लाले, 20 नीली व 30 हरी गोलियाँ रखी हैं। डिब्बे से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि
(i) सभी गोलियाँ नीली हैं?
(ii) कम से कम एक गोली हरी है ?

Answer: हलः एक डिब्बे में 10 लाल, 20 नीली तथा 30 हरी कुल 60 गोलियाँ हैं। (i) 60 गोलियों में से 5 गोलियाँ निकालने के तरीके \( = ^{60}C_5\) \( \therefore n(S) = ^{60}C_5 \) 20 नीली गोलियाँ हैं इनमें से 5 गोलियाँ चुनने के तरीके \( = ^{20}C_5\) 5 नीली गोलियाँ निकालने की प्रायिकता \( = \frac{^{20}C_5}{^{60}C_5} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{60 \times 59 \times 58 \times 57 \times 56} \) \( = \frac{34}{11977} \) (ii) P (कम से कम एक गोली हरी गोली है) \( = 1 - P \) (पाँचों गोलियाँ नीली या लाल हैं) \( = 1 - \frac{^{30}C_5}{^{60}C_5} = 1 - \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26}{60 \times 59 \times 58 \times 57 \times 56} \) \( = 1 - \frac{117}{4484} = \frac{4367}{4484} \)
In simple words: To find the probability of all 5 chosen marbles being blue, divide the number of ways to choose 5 blue marbles by the total ways to choose 5 from 60. For at least one green marble, it's easier to find the complement: 1 minus the probability of choosing no green marbles (i.e., all chosen marbles are either red or blue).

🎯 Exam Tip: For "at least one" probability questions, calculating the complement (1 - probability of "none") often simplifies the calculation significantly. Remember the combination formula \(^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\).

 

Question 2. ताश के 52 पत्तों की एक अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से 4 पत्ते निकाले जाते हैं। इस बात की क्या प्रायिकता है कि निकाले गए पत्तों में 3 ईंट और एक हुकुम का पत्ता है ?

Answer: हल : कुल 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से 4 पत्ते निकालने के तरीके \( = ^{52}C_4\) \( \therefore n(S) = ^{52}C_4 \) 3 ईंट के पत्ते निकालने के तरीके \( = ^{13}C_3\) एक हुकुम का पत्ता निकालने के तरीके \( = ^{13}C_1\) \( \therefore \) 3 ईंट और 1 हुकुम का पत्ता निकालने के तरीके \( = ^{13}C_3 \times ^{13}C_1\) अनुकूल परिणामों की कुल संख्या \( = ^{13}C_3 \times ^{13}C_1\) अतः 3 ईंट और एक हुकुम के पत्ते निकालने की प्रायिकता \( = \frac{^{13}C_3 \times ^{13}C_1}{^{52}C_4} \)
In simple words: Calculate the total number of ways to draw 4 cards from 52. Then, calculate the number of ways to draw 3 cards from the 13 diamonds and 1 card from the 13 spades. The probability is the ratio of favorable outcomes to total possible outcomes.

🎯 Exam Tip: When dealing with combinations from different categories (like suits in a deck of cards), multiply the combinations for each category to get the total number of favorable outcomes.

 

Question 3. एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या 1 अंकित है। तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या 2 अंकित है और एक फलक पर संख्या 3 अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए (i) P(2)
(ii) P(1 या 3)
(iii) P(3 - नहीं)

Answer: हलः पासे पर कुल संभावित परिणाम \( = 6\) (i) 2 अंक 3 फलकों पर अंकित है। 2 प्राप्त करने के 3 तरीके हैं \(P(2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (ii) दो फलकों पर 1 है। \( \therefore \) 1 प्राप्त करने के तरीके, \(P(1) = \frac{2}{6}\) 3 एक फलक पर अंकित है। अतः 3 एक तरीके से मिल सकता है, \(P(3) = \frac{1}{6}\) \(P(1 \text{ या } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (iii) 6 फलकों में 3 केवल एक फलक पर है। अतः 3 प्राप्त न करने के तरीके \( = 6 - 1 = 5 \) \( \therefore P(3 - \text{नहीं}) = \frac{5}{6}\)
In simple words: Since the die is unusual, count how many faces show each number. Then, calculate the probability for each requested event by dividing the number of favorable outcomes by the total number of faces (6). For "1 or 3", add their individual probabilities as they are mutually exclusive. For "not 3", subtract the probability of "3" from 1.

🎯 Exam Tip: For non-standard dice, always list the number of faces for each outcome. The "P(A or B)" rule (for mutually exclusive events) and the complement rule (P(not A) = 1-P(A)) are fundamental.

 

Question 4. एक लाटरी में 10000 टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी इनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप
(a) एक टिकटं खरीदते हैं
(b) दो टिकट खरीदते हैं
(c) 10 टिकट खरीदते हैं ?

Answer: हलः टिकटों की संख्या जिन पर इनाम नहीं है \( = 10000 - 10 = 9990\) कुल टिकटों की संख्या \( = 10000\) (a) एक टिकट जिससे कोई इनाम नहीं मिलेगा ऐसे कुल तरीके \( = ^{9990}C_1 = 9990 \) जबकि कुल संभावी परिणाम \( = ^{10000}C_1 = 10000 \) एक टिकट के साथ इनाम न मिलने की प्रायिकता \( = \frac{9990}{10000} = \frac{999}{1000} \) (b) बिना इनाम वाले 9990 में से 2 टिकट मिलने के तरीके \( = ^{9990}C_2 \) कुल 10000 टिकट हैं। उनमें से 2 टिकट पाने के तरीके \( = ^{10000}C_2 \) दो टिकट के साथ इनाम न मिलने की प्रायिकता \( = \frac{^{9990}C_2}{^{10000}C_2} \) (c) इसी प्रकार 9990 में बिना इनाम वाले 10 टिकट को पाने के तरीके \( = ^{9990}C_{10} \) 10000 में से 10 टिकट पाने के तरीके \( = ^{10000}C_{10} \) अतः 10 टिकट के साथ इनाम न मिलने की प्रायिकता \( = \frac{^{9990}C_{10}}{^{10000}C_{10}} \)
In simple words: To find the probability of not winning an award, calculate the number of tickets that don't win. Then, for each case (1, 2, or 10 tickets bought), find the number of ways to choose that many non-winning tickets and divide by the total number of ways to choose that many tickets.

🎯 Exam Tip: This problem is a classic application of combinations. Ensure you correctly identify the total number of items (\(N\)), the number of "successful" items (\(K\), here, non-winning tickets), and the number of items to choose (\(n\)).

 

Question 5. 100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और आपका एक मित्र 100 विद्यार्थियों में हैं तो प्रायिकता क्या है कि
(a) आप दोनों एक ही वर्ग में हों।
(b) आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों।

Answer: हलः माना दो वर्ग A और B हैं जिनमें क्रमशः 40 और 60 विद्यार्थी हैं। (a) (i) मान लीजिए दोनों विद्यार्थी वर्ग A में आते हैं। 98 विद्यार्थियों में से 38 विद्यार्थी चुनने के तरीके \( = ^{98}C_{38}\) बिना किसी शर्त के, 100 में से 40 विद्यार्थी चुनने के तरीके \(n(S) = ^{100}C_{40}\) दोनों विद्यार्थी (वह और उसका मित्र) एक ही वर्ग A में प्रवेश करने की प्रायिकता \( = \frac{^{98}C_{38}}{^{100}C_{40}} \) \( = \frac{98!}{38!60!} \times \frac{40!60!}{100!} \) \( = \frac{98! \times 40! \times 60!}{38!60! \times 100 \times 99 \times 98!} \) \( = \frac{40 \times 39}{100 \times 99} = \frac{26}{165} \) (ii) यदि दोनों विद्यार्थी वर्ग B में प्रवेश करते हैं। तब 98 विद्यार्थियों में से 58 विद्यार्थी चुनने के तरीके \( = ^{98}C_{58}\) 100 विद्यार्थियों में से 60 विद्यार्थी चुनने के तरीके \( = ^{100}C_{60}\) अतः यदि वे विद्यार्थी वर्ग B में प्रवेश पाते हैं तो उसकी प्रायिकता \( = ^{98}C_{58} \div ^{100}C_{60} \) \( = \frac{98!}{58!40!} \div \frac{100!}{60!40!} \) \( = \frac{98!}{58!40!} \times \frac{60 \times 59 \times 58! \times 40!}{100 \times 99 \times 98!} \) \( = \frac{60 \times 59}{100 \times 99} = \frac{59}{5 \times 33} = \frac{59}{165} \) दोनों विद्यार्थी वर्ग A या वर्ग B में प्रवेश पाते हैं तो उसकी प्रायिकता \( = \frac{26}{165} + \frac{59}{165} = \frac{85}{165} = \frac{17}{33} \) (b) दोनों विद्यार्थियों के विभिन्न वर्गों में प्रवेश पाने की प्रायिकता \( = 1 - \frac{17}{33} = \frac{33 - 17}{33} = \frac{16}{33} \)
In simple words: For (a), calculate the probability that both you and your friend are in class A, and then the probability that both are in class B. Sum these probabilities. For (b), subtract the probability of being in the same class (from part a) from 1 to find the probability of being in different classes.

🎯 Exam Tip: This problem demonstrates the use of combinations in conditional probability. When calculating the number of ways to select students, consider that two specific individuals are already placed in a group, reducing the pool for remaining selections.

 

Question 6. तीन व्यक्तियों के लिए तीन पत्र लिखवाए गए हैं और प्रत्येक के लिए पता लिखा एक लिफाफा है। पत्रों को लिफाफों में यादृच्छया इस प्रकार डाला गया कि प्रत्येक लिफाफे में एक ही पत्र है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में डाला गया है।

Answer: हलः मान लीजिए लिफाफों को A, B, C और संगत पत्रों को क्रमशः a, b, c से निरूपित किया गया है। (i) एक पत्र उसके संगत लिफाफे में और दूसरे दो गलत लिफाफे में रखने के तरीके: (Aa, Bc, Cb), (Ac, Bb, Ca), (Ab, Ba, Cc) (ii) यदि दो पत्र संगत (ठीक) लिफाफों में रखे गए हैं तो तीसरा भी संगत (ठीक) लिफाफे में होगा। (iii) तीनों पत्र उनके संगत (ठीक) लिफाफों में रखे जाए (Aa, Bb, Cc) एक तरीका है। पत्र कम से कम एक संगत लिफाफे में रखे जाने के तरीके \(3 + 1 = 4\) तीन पत्रों को तीन लिफाफा में रखने के कुल तरीके \( = 3! = 6\) कम से कम एक पत्र संगत लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता \( = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
In simple words: First, list all possible ways to put 3 letters into 3 envelopes (which is 3!). Then, identify the cases where at least one letter is in its correct envelope. This includes cases where one, two, or all three letters are correct. The probability is the ratio of favorable outcomes to total outcomes.

🎯 Exam Tip: This is a derangement problem in disguise. For "at least one," it's often easier to find the complement (no letters in correct envelopes, i.e., derangements) and subtract from 1. Listing specific permutations can also work for small numbers.

 

Question 7. A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \(P(A) = 0.54\), \(P(B) = 0.69\) और \(P(A \cap B) = 0.35\), ज्ञात कीजिए:
(i) \(P(A \cup B)\)
(ii) \(P(A' \cap B')\)
(iii) \(P(A \cap B')\)
(iv) \(P(B \cap A')\)

Answer: हल: \(P(A) = 0.54\), \(P(B) = 0.69\), \(P(A \cap B) = 0.35\) (i) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.54 + 0.69 - 0.35 = 0.88\). (ii) \(P(A' \cap B') = P[(A \cup B)'] = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.88 = 0.12\). (iii) \(P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.54 - 0.35 = 0.19\). (iv) \(P(B \cap A') = P(B) - P(B \cap A) = 0.69 - 0.35 = 0.34\).
In simple words: This question uses the fundamental rules of probability. For the union, use the addition rule. For the intersection of complements, use De Morgan's law and the complement rule. For an event A and not B, subtract the intersection from P(A). Similarly for B and not A, subtract the intersection from P(B).

🎯 Exam Tip: Master the basic probability formulas: addition rule \(P(A \cup B)\), complement rule \(P(A')\), and De Morgan's laws for complements of unions and intersections. Venn diagrams can help visualize these relationships.

 

Question 8. एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबन्ध समिति के लिए किया गया है। पाँच कर्मचारियों का ब्यौरा निम्नलिखित है:

इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छया एक व्यक्ति का चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की प्रायिकता क्या है ?

Answer: हलः माना A पुरुष के चयन और B व्यक्ति की आयु 35 वर्ष से अधिक को दर्शाते हैं। पुरुषों की कुल संख्या \( = 3\) (हरीश, रोहन, सलीम) 35 वर्ष से अधिक आयु के कुल लोग \( = 2\) (शीतल, सलीम) 35 वर्ष से अधिक आयु का पुरुष \( = 1\) (सलीम) कुल व्यक्ति 5 हैं। उनमें से एक को चुनने के तरीके \( = ^{5}C_1 = 5\) \( \therefore \) 3 पुरुषों में से 1 पुरुष चुनने के तरीके \( = ^{3}C_1 = 3\) \(P(A) = \frac{^{3}C_1}{^{5}C_1} = \frac{3}{5}\) 35 वर्ष से अधिक आयु का एक व्यक्ति चुनने के तरीके \( = ^{2}C_1 = 2\) \(P(B) = \frac{^{2}C_1}{^{5}C_1} = \frac{2}{5}\) \(P(A \cap B) = \frac{^{1}C_1}{^{5}C_1} = \frac{1}{5}\) (सलीम पुरुष है और 35 वर्ष से अधिक आयु का है) \(P(A \cup B) = P(\text{पुरुष या 35 वर्ष से अधिक व्यक्ति})\) \( = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) \( = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)
In simple words: First, count the total number of males, the total number of individuals over 35, and the number of males over 35. Then, use the principle of inclusion-exclusion to find the probability of selecting a male OR someone over 35, which is \(P(Male) + P(Over\ 35) - P(Male\ AND\ Over\ 35)\).

🎯 Exam Tip: When using the addition rule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), ensure that \(P(A \cap B)\) (the overlap) is correctly identified and subtracted to avoid double-counting.

 

Question 9. यदि 0, 1, 3, 5 और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जबः
(i) अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए ?
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति की जाए ?

Answer: हलः (i) जब अंकों की पुनरावृत्ति नहीं होती । मान लीजिए अंकों के स्थानों को I, II, III, IV से निरूपित किया गया हैं। 5000 से बड़ी संख्या बनाने के लिए स्थान I पर 5 या 7 रखना होगा अर्थात स्थान I को भरने के तरीके \( = 2\) (5 या 7) अब 5 अंक शेष रह जाते हैं। स्थान II, III और IV को 4, 3 व 2 तरीकों से भर सकते हैं। 5000 से बड़ी संख्याएँ \( = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48 = n(S)\) 5 से भाज्य संख्याएँ वे हैं जब इकाई (स्थान IV) पर 0 या 5 हो। केस 1: स्थान I पर 5 और स्थान IV पर 0 बचे हुए 3 अंकों से स्थान II और III को \(^{3}P_2 = 3 \times 2 = 6\) तरीकों से भरा जा सकता है। इस प्रकार 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य संख्याएँ \( = 1 \times 6 \times 1 = 6\) केस 2: स्थान I पर 7 और स्थान IV पर 5 बचे हुए 3 अंकों से स्थान II और III को \(^{3}P_2 = 3 \times 2 = 6\) तरीकों से भरा जा सकता है। इस प्रकार 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य संख्याएँ \( = 1 \times 6 \times 1 = 6\) केस 3: स्थान I पर 7 और स्थान IV पर 0 बचे हुए 3 अंकों से स्थान II और III को \(^{3}P_2 = 3 \times 2 = 6\) तरीकों से भरा जा सकता है। इस प्रकार 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य संख्याएँ \( = 1 \times 6 \times 1 = 6\) कुल अनुकूल परिणाम \( = 6 + 6 + 6 = 18 \) अतः 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य संख्याओं के बनने की प्रायिकता \( = \frac{18}{48} = \frac{3}{8}\) (ii) जब पुनरावृत्ति की जा सकती है। स्थान I पर 5 या 7 रख सकते है जिससे संख्या 5000 से बड़ी बन सके । स्थान I को 2 तरीकों से भर सकते हैं। क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है तो प्रत्येक स्थान II, III, IV को 5 तरीकों से भर सकते हैं। चारों स्थानों को भरने के तरीके या 5000 से बड़ी संख्याएँ \( = 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 250 = n(S) \) संख्या यदि 5 से भाज्य है तो इकाई (IV) स्थान पर 0 या 5 रखना होगा। इसलिए इकाई के स्थान को 2 तरीकों से भर सकते हैं। बीच के स्थान II और III को \(5 \times 5\) तरीकों से भर सकते हैं। स्थान I पर 5 या 7 (2 तरीके) और स्थान IV पर 0 या 5 (2 तरीके) 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य संख्याएँ \( = 2 \times 5 \times 5 \times 2 = 100 \) 5000 से बड़ी और 5 से भाज्य बनाने वाली संख्याओं की प्रायिकता \( = \frac{100}{250} = \frac{2}{5}\)
In simple words: For numbers greater than 5000, the first digit must be 5 or 7. For numbers divisible by 5, the last digit must be 0 or 5. Calculate total possible 4-digit numbers greater than 5000 (sample space) and favorable outcomes (greater than 5000 and divisible by 5) for both with and without repetition, then find the ratio.

🎯 Exam Tip: Carefully consider the constraints for each digit's placement (e.g., first digit > 5, last digit for divisibility by 5). Break down the counting process by position, especially for permutation/combination problems with restrictions.

 

Question 10. किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं। जिनमें प्रत्येक पर 0 से 9 तक 10 अंक अंकित हैं। ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले।

Answer: हलः प्रथम स्थान पर कोई अंक 10 तरीकों से ही लाया जा सकता है। यहाँ \(0, 1, 2, ..., 9\) में से कोई भी अंक हो सकता है। दूसरे, तीसरे व चौथे स्थान को \(9 \times 8 \times 7\) तरीकों से भरा जा सकता है। इस प्रकार चार अंकों की संख्या (जबकि पुनरावृत्ति नहीं की गई है) बनने के तरीके \( = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \) ताले को खोलने के लिए सही संख्या केवल एक ही है। अटैची को खोलने का सही क्रम ज्ञात करने की प्रायिकता \( = \frac{1}{5040}\)
In simple words: The total number of possible unique 4-digit combinations (without repetition) from 0-9 is calculated using permutations (10P4). Since only one combination is correct, the probability of finding it is 1 divided by the total number of unique combinations.

🎯 Exam Tip: The key here is to correctly identify the total number of possible combinations. "Special order" and "without repetition" imply permutations. Probability for a specific outcome is always 1 divided by the total sample space size for equally likely outcomes.