UP Board Solutions Class 11 Maths Chapter 14 Mathematical Reasoning

UP Board Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 Mathematical Reasoning (गणितीय विवेचन)

Exercise 14.1

Question 1. निम्नलिखित वाक्यों में से कौन से कथन हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण भी बतलाइए।
(i) एक महीने में 35 दिन होते हैं।
(ii) गणित एक कठिन विषय है।
(iii) 5 और 7 का योगफल 10 से अधिक होता है।
(iv) किसी संख्या का वर्ग एक सम संख्या होती है।
(v) किसी चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर (समान) लंबाई की होती हैं।
(vi) इस प्रश्न का उत्तर दीजिए।
(vii) -1 और 8 का गुणनफल 8 है।
(viii) किसी त्रिभुज के सभी अंतः कोणों का योगफल 180° होता है।
(ix) आज एक तूफानी दिन है।
(x) सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं।
Answer: (i) कथन : यह असत्य है क्योंकि महीने में 35 दिन नहीं होते ।
(ii) वाक्य : गणित एक कठिन विषय है। इसकी कोई परिभाषा नहीं है। किसी एक के लिए सरल और दूसरे के लिए कठिन विषय हो सकता है।
(iii) कथन : यह कथन सत्य है।
(iv) कथन : यह असत्य है क्योंकि वर्ग संख्या विषम भी हो सकती है। जैसे 9, 25,....
(v) कथन : यह कथन असत्य है क्योंकि किसी चतुर्भुज की लंबाई असमान भी होती है।
(vi) वाक्य : यह एक आदेश है, इसलिए यह एक कथन नहीं है।
(vii) कथन : यह कथन असत्य है, -1 x 8 = - 8 ≠ 8.
(viii) कथन : यह कथन सत्य है। त्रिभुज के तीनों अंतः कोणों का योग 180° होता है।
(ix) वाक्य : यह स्पष्ट नहीं है कि कौन-सा दिन तूफानी है?
(x) कथन : यह सत्य कथन है।
In simple words: A statement is a sentence that is either true or false, but not both. We evaluate each given sentence to determine if it meets this criterion, identifying if it conveys a verifiable truth or falsehood.

🎯 Exam Tip: Understanding the definition of a mathematical statement (declarative sentence that is either true or false) is crucial. Provide clear reasoning for each classification to score full marks.

Question 2. वाक्यों मैं तीन ऐसे उदाहरण दीजिए जो कथन नहीं हैं। उत्तर के लिए कारण भी बताइए ।
Answer: तीन उदाहरण इस प्रकार हो सकते हैं:
(i) इस कमरे में उपस्थित प्रत्येक व्यक्ति निडर है। यह एक कथन नहीं है, क्योंकि संदर्भ से स्पष्ट नहीं है कि यहाँ पर किस कमरे के बारे में कहा जा रहा है और निडर शब्द भी स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं है।
(ii) वह अभियान्त्रिकी की छात्री है। यह भी एक कथन नहीं है क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि 'वह' वह कौन है।
(iii) “\(cos^2 \theta\) का मान सदैव " से अधिक होता है। जब तक हमें यह ज्ञात न हो कि 8 क्या है हम यह नहीं कह सकते कि वाक्य सत्य है या नहीं।
In simple words: Sentences that are subjective, ambiguous, commands, or questions are not mathematical statements because their truth value cannot be definitively determined as true or false.

🎯 Exam Tip: Focus on ambiguity and subjectivity when identifying non-statements. Sentences that cannot be objectively assigned a definite true or false value are not statements.

Exercise 14.2

Question 1. निम्नलिखित कथन का निषेधन लिखिए।
(i) चैन्नई, तमिलनाडु की राजधानी है।
(ii) \(\sqrt{2}\) एक सम्मिश्र संख्या नहीं है।
(iii) सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज नहीं होते हैं।
(iv) संख्या 2 संख्या 7 से अधिक है।
(v) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णाक होती है।
Answer:
(i) चैन्नई, तमिलनाडु की राजधानी नहीं है।
(ii) \(\sqrt{2}\) एक सम्मिश्र संख्या है।
(iii) सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज हैं।
(iv) संख्या 2 संख्या 7 से बड़ी नहीं है ।
(v) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णीक नहीं है।
In simple words: The negation of a statement is formed by introducing "नहीं है" (is not) or "ऐसा नहीं है कि" (it is not the case that) to reverse its truth value.

🎯 Exam Tip: To negate a statement, identify the main verb or assertion and invert it. For universal quantifiers like "सभी" (all) or "प्रत्येक" (every), their negation often involves "कोई नहीं" (none) or "कुछ नहीं" (some are not).

Question 2. क्या निम्नलिखित कथन युग्म (कथन के जोड़े) एक दूसरे के निषेधन हैं?
(i) संख्या x एक परिमेय संख्या नहीं है।
संख्या x एक अपरिमेय संख्या नहीं है।
(ii) संख्या एक परिमेय संख्या है।
संख्या एक अपरिमेय संख्या है।
Answer:
(i) कथन ” संख्या x एक परिमेय संख्या नहीं है।” का निषेधन संख्या x एक परिमेय संख्या है। यो x एक अपरिमेय संख्या नहीं है। यही दूसरा कथन है। अतः दिए गए कथन एक दूसरे के निषेधन हैं।
(ii) कथन ” संख्या x एक परिमेय संख्या है।” का निषेधन संख्या x एक अपरिमेय संख्या है। जो कि दूसरे कथन के समान है। अतः यह कथन एक दूसरे के निषेधन हैं।
In simple words: Two statements are negations of each other if one is true precisely when the other is false. We check if the negation of the first statement matches the second statement.

🎯 Exam Tip: To verify if two statements are negations, formulate the negation of one statement and see if it is logically equivalent to the other statement. Pay attention to properties like "not rational" implies "irrational".

Question 3. निम्नलिखित मिश्र कथन के घटक कथन ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि वे सत्य हैं या असत्य हैं।
(i) संख्या 3 अभाज्य है या विषम है।
(ii) समस्त (सभी) पूर्णांक धन या ऋण हैं।
(iii) संख्या 100 संख्याओं 3, 11 और 5 से भाज्य हैं।
Answer:
(i) p : संख्या 3 अभाज्य है। यह कथन सत्य है । q : संख्या 3 विषम संख्या है। यह कथन सत्य है।
(ii) p : सभी पूर्णांक धन हैं। यह कथन सत्य है । q : सभी पूर्णांक ऋण हैं। यह कथन सत्य है।
(iii) p : 100, 3 से भाज्य है। यह कथन असत्य है। q : 100, 11 से भाज्य है। यह कथन असत्य है । r : 100, 5 से भाज्य है। यह कथन सत्य है।
In simple words: A compound statement is made of simpler statements called component statements, joined by connectives like 'और' (and) or 'या' (or). We break down the compound statement into its individual components and then determine the truth value of each component.

🎯 Exam Tip: When breaking down compound statements, identify the connective (and/or) first. Then, clearly separate each component statement and state whether it is true or false based on mathematical facts.

Exercise 14.3

Question 1. निम्नलिखित मिश्र कथनों में पहले संयोजक शब्दों को पहचानिए और फिर उनको घटक कथनों में विघटित कीजिए:
(i) सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं और सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ नहीं होती हैं।
(ii) किसी पूर्णांक का वर्ग धन या ऋण होता है।
(iii) रेत (बालू) धूप में शीघ्र गर्म हो जाती है और रात्रि में शीघ्र ठंडी नहीं होती है।
(iv) \(x = 2\) और \(x = 3\), समीकरण \(3x^2 - x - 10 = 0\) के मूल हैं।
Answer:
(i) संयोजक शब्द 'और' घटक p : सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं। q : सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ नहीं होती हैं।
(ii) संयोजक शब्द 'या' घटक p : किसी पूर्णांक का वर्ग धन होता है। q : किसी पूर्णा का वर्ग ऋण होता है।
(iii) संयोजक शब्द 'और' घटक p : रेत (बालू) धूप में शीघ्र गर्म हो जाती है । q : रेत (बालू) रात्रि में शीघ्र ठंडी नहीं होती ।
(iv) संयोजक शब्द 'और' घटक p : \(x = 2\), समीकरण \(3x^2 - x - 10 = 0\) का मूल है । q : \(x = 3\) समीकरण \(3x^2 - x - 10 = 0\) को मूल है।
In simple words: Compound statements combine simpler statements using connectives like 'and' or 'or'. To analyze them, first identify these connective words, then separate the complete individual statements that they link together.

🎯 Exam Tip: Always clearly state the connective word first. Then, write out each component statement fully and distinctly to avoid any confusion in analysis.

Question 2. निम्नलिखित कथनों में परिमाण वाचक वाक्यांश पहचानिए और कथनों के निषेधन लिखिए:
(i) एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है, जो अपने वर्ग के बराबर है।
(ii) प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए x, (x + 1) से कम होता है।
(iii) भारत के हर एक राज्य/प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व है।
Answer:
(i) परिमाणवाचक वाक्यांश : एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है। कथन का निषेधन : ऐसी संख्या का अस्तित्व नहीं है जो अपने वर्ग के बराबर हो ।
(ii) परिमाणवाचक वाक्यांश : ” प्रत्येक के लिए " p : प्रत्येक वास्तविक संख्या \(x\) के लिए \(x, x + 1\) से कम होता है। p का निषेधन = \(\sim p\) = कम से कम एक वास्तविक संख्या 7 ऐसी है जो \(x + 1\) से कम नहीं है।
(iii) परिमाणवाचक वाक्यांश : एक ऐसे का अस्तित्व है । कथन p : भारत के हर एक राज्य/प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व है । p का निषेधन : \(\sim p\) = भारत के हर एक राज्य/ प्रदेश के लिए एक राजधानी का अस्तित्व नहीं है।
In simple words: Quantifiers like 'existence' (एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है) or 'universal' (प्रत्येक) specify how many elements a statement applies to. Negating a statement with an existential quantifier changes it to a universal negation, and vice-versa.

🎯 Exam Tip: When negating statements with quantifiers, remember that "for all" becomes "there exists at least one such that not," and "there exists" becomes "for all, not." Clearly state the quantifier first, then its negation.

Question 3. जाँचिए कि क्या नीचे लिखे कथनों के जोड़े (युग्म) एक दूसरे के निषेधन हैं। अपने उत्तर के लिए कारण भी बतलाइए ।
(i) प्रत्येक वास्तविक संख्याओं \(x\) और \(y\) के लिए \(x + y = y + x\) सत्य है।
(ii) ऐसी वास्तविक संख्याओं \(x\) और \(y\) का अस्तित्व है जिनके लिए \(x + y = y + x\) सत्य है।
Answer: कथन (i) और (ii) एक दूसरे के निषेधन नहीं है।
In simple words: These two statements are not negations of each other. The first states a universal truth (for all real numbers), while the second states an existential truth (there exist some real numbers). Negating a 'for all' statement would be 'there exists at least one for which it is not true', not 'there exist some for which it is true'.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the quantifiers ("प्रत्येक" - for all, "ऐसी वास्तविक संख्याओं का अस्तित्व है" - there exists) when checking for negations. A statement and its negation must have opposite truth values in all possible scenarios.

Question 4. बतलाइए कि निम्नलिखित कथनों में प्रयुक्त 'या' 'अपवर्जित है' अथवा 'अंतर्विष्ट' है। अपने उत्तर के लिए कारण भी बतलाइए ।
(i) सूर्य उदय होता है या चन्द्रमा अस्त होता है।
(ii) ड्राइविंग लाइसेंस के आवेदन हेतु आपके पास राशन कार्ड या पासपोर्ट होना चाहिए।
(iii) सभी पूर्णांक धन या ऋण होते है।
Answer:
(i) अपवर्जित : सूर्य उदय होता है और चन्द्रमा अस्त होता है। एक समय पर सूर्य उदय होगा या चन्द्रमा
(ii) अंतर्विष्ट : ड्राइविंग लाइसेंस के आवेदन हेतु राशन कार्ड या पास पोर्ट या दोनों मान्य है।
(iii) अपवर्जित : सभी पूर्णांक धन या ऋण होते हैं। परन्तु धन या ऋण दोनों नहीं हो सकते।
In simple words: The word 'या' (or) can be exclusive (either A or B, but not both) or inclusive (A or B, or both). We determine its type based on whether the two parts of the statement can simultaneously be true or false.

🎯 Exam Tip: To differentiate between 'exclusive or' and 'inclusive or', consider if both conditions can occur simultaneously. If they can, it's inclusive; if not, it's exclusive. Provide a clear reason for your choice.

Exercise 14.4

Question 1. निम्नलिखित कथन को वाक्यांश “यदि- तो” का प्रयोग करते हुए पाँच विभिन्न रूप में इस प्रकार लिखिए कि उनके अर्थ समान हों।
यदि एक प्राकृत संख्या विषम है तो उसका वर्ग भी विषम है।
Answer:
(i) यदि एक प्राकृत संख्या विषम है तो अंर्तभाव है उसको वर्ग भी विषम है।
(ii) कोई प्राकृत संख्या विषम संख्या है केवल यदि उसका वर्ग विषम है।
(iii) यदि प्राकृत संख्या का वर्ग विषम नहीं है तो वह प्राकृत संख्या भी विषम नहीं होगी ।
(iv) एक प्राकृत संख्या विषम है, इसके लिए यह अनिवार्य है कि उनका वर्ग भी विषम होगा।
(v) एक प्राकृत संख्या का वर्ग विषम है, इसके लिए यह पर्याप्त होगा कि वह संख्या विषम है।
In simple words: A conditional statement "If P, then Q" can be rephrased in multiple ways while retaining the same logical meaning. These rephrased forms often use phrases like "P implies Q," "P is sufficient for Q," "Q is necessary for P," or their contrapositives.

🎯 Exam Tip: Practice rephrasing "If P, then Q" into its various equivalent forms (P implies Q, Q if P, P only if Q, Q is necessary for P, P is sufficient for Q, contrapositive). This demonstrates a deep understanding of logical equivalence.

Question 2. निम्नलिखित कथनों के प्रतिधनात्मक और विलोम कथन लिखिए:
(i) यदि \(x\) एक अभाज्य संख्या है, तो \(x\) एक विषम है।
(ii) यदि दो रेखाएँ समांतर हैं तो वे एक दूसरे को एक समतल में नहीं काटती हैं।
(iii) किसी वस्तु के ठंडे होने का तात्पर्य (अंतर्भाव) है कि उसका तापक्रम कम है।
(iv) आप ज्यामिति विषय को आत्मसात नहीं कर सकते यदि आपको यह ज्ञान नहीं है कि निगमनात्मक विवेचन किस प्रकार किया जाता है।
(v) “\(x\) एक सम संख्या है” से तात्पर्य (अंतर्भाव) है कि \(x\) संख्या 4 से भाज्य है।
Answer:
(i) प्रतिधनात्मक कथन : यदि एक संख्या \(x\) विषम नहीं है तो \(x\) एक अभाज्य संख्या नहीं है।
विलोम कथन : यदि एक संख्या \(x\) विषम है तो \(x\) एक अभाज्य संख्या है।
(ii) प्रतिधनात्मक कथन : यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को समतल में काटती हैं तो रेखाएँ समांतर नहीं हैं।
विलोम कथन : अदि दो रेखाएँ एक दूसरे को एक ही समतल में नही काटती हैं तो रेखाएँ समांतर हैं।
(iii) प्रतिधनात्मक कथन : यदि किसी वस्तु का तापमान कम नहीं है तो वह वस्तु ठंडी नहीं है।
विलोम कथन : यदि किसी वस्तु का तापमान कम है तो वह वस्तु ठंडी है।
(iv) प्रतिधनात्मक कथन : यदि आपको यह ज्ञात है कि निगमनात्मक विवेचन किस प्रकार किया है तो आप ज्यामिति विषय को आत्मसात कर सकते हैं।
विलोम कथन : यदि आपको यह ज्ञात नहीं है कि निगमनात्मक विवेचन किस प्रकार किया जाता है तो आप ज्यामिन्नि विषय को आत्मसात नहीं कर सकते हैं।
(v) प्रतिधनात्मक कथन : यदि \(x\) संख्या 4 से भाज्य नहीं है तो \(x\) एक सम संख्या नहीं है।
विलोम कथन : यदि संख्या \(x\), 4 से भाज्य है तो यह एक सम संख्या है।
In simple words: For an "If P, then Q" statement, the converse is "If Q, then P", and the contrapositive is "If not Q, then not P". The contrapositive is logically equivalent to the original statement, while the converse is not always.

🎯 Exam Tip: Remember the definitions: Original: P \(\implies\) Q, Converse: Q \(\implies\) P, Contrapositive: \(\sim\)Q \(\implies\) \(\sim\)P. Accurately negating each part (P and Q) is essential for the contrapositive.

Question 3. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को 'यदि–तो' रूप में लिखिए:
(i) आपको नौकरी (काम) मिलने का तात्पर्य (अंतर्भाव) है कि आपकी विश्वसनियता अच्छी है।
(ii) केले का पेड़ फूलेगा यदि वह एक माह तक गरम बना रहे।
(iii) एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करे ।
(iv) कक्षा में ग्रेड A पाने के लिए यह अनिवार्य है कि आप पुस्तक के सभी प्रश्नों को सरल कर लेते है।
Answer:
(i) यदि आपको नौकरी मिल गई है तो आपकी विश्वसनियता अच्छी है।
(ii) यदि केले का पेड़ एक माह तक गरम बना रहे तो केले का पेड़ फूलेगा।
(iii) यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तो वह एक समांतर चतुर्भुज है।
(iv) यदि आप कक्षा में A ग्रेड पाते हैं, तो आप पुस्तक के सभी प्रश्न हल कर लेते हैं।
In simple words: To convert a statement into "If-then" form, identify the condition (P) and the consequence (Q). The condition often follows words like 'if', 'when', 'because', or phrases indicating necessity, while the consequence is what happens as a result.

🎯 Exam Tip: Look for keywords like "तात्पर्य है" (implies), "यदि" (if), "के लिए यह अनिवार्य है" (it is necessary for) to identify the premise (P) and conclusion (Q) in order to construct the "If P, then Q" statement correctly.

Question 4. नीचे
(a) और
(b) में प्रदत्त कथनों में से प्रत्येक के (i) में दिए कथन का प्रतिधनात्मक और विलोम कथन पहचानिए ।
(a) यदि आप दिल्ली में रहते हैं तो आपके पास जाड़े के कपड़े हैं।
(i) यदि आपके पास जाड़े के कपड़े नहीं हैं, तो आप दिल्ली में नहीं रहते हैं।
(ii) यदि आपके पास जाड़े के कपड़े हैं, तो आप दिल्ली में रहते हैं।
(b) यदि एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है, तो उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(i) यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।
(ii) यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तो वह समांतर चतुर्भुज है।
Answer:
(a)
(i) प्रतिधनात्मक ।
(ii) विलोम
(b)
(i) प्रतिधनात्मक ।
(ii) विलोम ।
In simple words: For an "If P, then Q" statement, the converse switches the premise and conclusion ("If Q, then P"), while the contrapositive negates and switches both ("If not Q, then not P").

🎯 Exam Tip: To identify converse and contrapositive, clearly label 'P' and 'Q' in the original "If P, then Q" statement. Then, apply the definitions: converse is Q \(\implies\) P, contrapositive is \(\sim\)Q \(\implies\) \(\sim\)P.

Exercise 14.5

Question 1. सिद्ध कीजिए कि कथन यदि \(x\) एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि \(x^3 + 4x = 0\), तो \(x = 0\)
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
(ii) विरोधोक्ति द्वारा
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
Answer:
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
\(x^3 + 4x = 0\) या \(x(x^2 + 4) = 0\)
\(\implies x = 0\) या \(x^2 + 4 = 0\) परन्तु \(x^2 + 4 \ne 0\), \(x \in R\) अतः \(x = 0\).
(ii) विरोधोक्ति द्वारा : माना \(x \ne 0\)
यदि समीकरण \(x^2 + 4x = 0\) का एक मूल p हो, तब
\(p^3 + 4p = 0\) या \(p(p^2 + 4) = 0\)
\(\implies p = 0\) या \(p^2 + 4 = 0\)
\(\implies p^2 + 4 \ne 0\)
\(\implies p = 0\) विरोधात्मक है \(x \ne p\) के जो पूर्व निर्धारित है। अर्थात् \(p = 0\) या \(x = 0\)
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा:
माना \(x = 0\) सत्य नहीं है।
\(x \in R\), \(x^3 + 4x \ne 0\), और \(x \ne 0\) (माना गया है)
\(\implies x(x^2 + 4) \ne 0\)
यह सिद्ध करता है कि \(x^2 + 4x = 0\) का \(x = 0\) मूल है।
In simple words: We prove the statement \(x^3 + 4x = 0 \implies x = 0\) using three methods. Direct proof solves the equation, showing \(x=0\) is the only real solution. Proof by contradiction assumes \(x \ne 0\) and arrives at a false statement. Contrapositive proof assumes \(x \ne 0\) and shows \(x^3 + 4x \ne 0\).

🎯 Exam Tip: Be familiar with direct proof, proof by contradiction, and proof by contrapositive. For algebraic proofs, factorizing expressions is often key. Remember to clearly state your assumption at the start of indirect proofs.

Question 2. प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन " किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओं \(a\) और \(b\) के लिए, जहाँ \(a^2 = b^2\) का तात्पर्य है कि \(a = b\) " सत्य नहीं है।
Answer: माना जब \(a = 1, b = -1\) तो \(a^2 = b^2\) परन्तु \(a \ne b\). अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।
In simple words: To show a universal statement is false, we only need one counterexample. Here, we find specific values for \(a\) and \(b\) where \(a^2 = b^2\) holds true, but \(a = b\) does not, proving the original statement is false.

🎯 Exam Tip: Proving a "for all" statement false only requires a single counterexample. Choose simple, distinct values that satisfy the premise but violate the conclusion to easily demonstrate its falsehood.

Question 3. प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है।
p : यदि \(x\) एक पूर्णांक है और \(x^2\) सम है तो \(x\) सम है।
Answer: माना \(x\) एक सम संख्या नहीं हैं। \(\implies x = 2n + 1\)
\(\implies x^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1\)
यह एक विषम संख्या है। इस प्रकार यदि q सत्य नहीं है तो p भी सत्य नहीं है। अर्थात दिया हुआ कथन सत्य है।
In simple words: To prove "If \(x^2\) is even, then \(x\) is even" using the contrapositive method, we prove its logically equivalent statement: "If \(x\) is not even (i.e., \(x\) is odd), then \(x^2\) is not even (i.e., \(x^2\) is odd)". We show that if \(x\) is an odd integer, then \(x^2\) is also an odd integer.

🎯 Exam Tip: When using the contrapositive method, clearly state the contrapositive of the original statement. Then, proceed with a direct proof of the contrapositive. Remember that "not even" means "odd" for integers.

Question 4. प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं हैं।
(i) p : यदि किसी त्रिभुज के कोण समान हैं, तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है।
(ii) q : समीकरण \(x^2 - 1 = 0\) के मूल 0 और 2 के बीच स्थित नहीं है।
Answer:
(i) माना एक कोण = \(90 + \theta\) तीनों कोण समान हों, तब त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = \(3(90 + \theta) = 270 + 3\theta\)
यह \(180^\circ\) के बराबर नहीं है। त्रिभुज को कोई भी कोण अधिक कोण नहीं हो सकता अर्थात वह त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं हो सकता है।
In simple words: For statement (i), an equilateral triangle has all angles equal (\(60^\circ\)), but it is an acute-angled triangle, not an obtuse-angled (अधिक कोण) triangle, thus it serves as a counterexample.
(ii) 0 और 2 के बीच की संख्या 1 लीजिए । \(x^2 - 1 = 0\) में \(x = 1\) रखने पर, \(1 - 1 = 0\), अतः \(x = 1\), दिए हुए समीकरण को संतुष्ट करता है। इसलिए \(x = 1\), समीकरण \(x^2 - 1 = 0\) का मूल है और 0 और 2 के बीच स्थित हैं। अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है।
In simple words: For statement (ii), solving \(x^2 - 1 = 0\) gives roots \(x = 1\) and \(x = -1\). The root \(x = 1\) clearly lies between 0 and 2, which contradicts the statement that the roots are not between 0 and 2.

🎯 Exam Tip: To prove a statement false by counterexample, you need to find just one instance that satisfies the condition but not the conclusion. For geometry, consider basic shapes. For algebra, solve equations to find roots and check their positions.

Question 5. निम्नलिखित कथनों में से कौन से सत्य हैं और कौन से असत्य हैं। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइएः
(i) p : किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
(ii) q : किसी वृत्त का केंद्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है।
(iii) r : एक वृत्त किसी दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।
(iv) s : यदि \(x\) और \(y\) ऐसे पूर्णाक हैं कि \(x > y\), तो \(-x < -y\) हैं ।
(v) t : \(\sqrt{11}\) एक परिमेय संख्या है।
Answer:
(i) असत्य : त्रिज्या का एक सिरा केंद्र पर ओर दूसरा सिरा वृत्त पर होता हो तो वह जीवा नहीं होती है। अतः यह वृत्त की जीवा नहीं है।
In simple words: A chord connects two points on a circle. A radius connects the center to a point on the circle, thus only one endpoint is on the circle, so it's not a chord.
(ii) असत्य : वृत्त का केंद्र केवल व्यास को समद्विभाजित करता है। प्रत्येक जीवा केंद्र से होकर नहीं जाती है। अतः वृत्त का केंद्र प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित नहीं करता है।
In simple words: The center of a circle only bisects a chord if that chord is a diameter. For any other chord, the center does not bisect it, making the statement false.
(iii) सत्य : दीर्घवृत्त का समीकरण जब \(a = b\) तब या \(x^2 + y^2 = a^2\) अतः यह वृत्त का समीकरण है।
In simple words: A circle is a special case of an ellipse where both focal points coincide at the center, and the major and minor axes are equal in length (i.e., the radius).
(iv) सत्य यदि \(x\) और \(y\) पूर्णांक हैं और \(x > y\) तो \(-x < -y\) (असमिकाओं के नियम से)
In simple words: If \(x > y\), multiplying both sides by -1 reverses the inequality sign, meaning \(-x < -y\). This is a fundamental property of inequalities.
(v) असत्य : \(\sqrt{11}\) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: \(\sqrt{11}\) is an irrational number because 11 is not a perfect square, meaning its decimal representation is non-terminating and non-repeating.

🎯 Exam Tip: For geometric statements, recall definitions and properties. For number theory, apply basic rules of integers, real numbers, and inequalities. Providing a clear reason, often with a counterexample for false statements, is vital.

Chapter 14 Miscellaneous Exercise

Question 1. निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिए:
(i) प्रत्येक धन वास्तविक संख्या \(x\) के लिए, संख्या \(x - 1\) भी धन संख्या है।
(ii) सभी बिल्लियाँ खरोंचती हैं।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए या तो \(x > 1\) या \(x < 1\).
(iv) एक ऐसी संख्या \(x\) का अस्तित्व है कि \(0 < x < 1\).
Answer:
(i) एक ऐसी धन वास्तविक संख्या \(x\) को अस्तित्व है कि \(x - 1\) धन संख्या नहीं है।
(ii) सभी बिल्लियाँ खरोंचती नहीं हैं।
(iii) एक ऐसी वास्तविक संख्या \(x\) का अस्तित्व है कि न तो \(x > 1\) और न ही \(x < 1\).
(iv) किसी ऐसी वास्तविक संख्या \(x\) का अस्तित्व नहीं है कि \(0 < x < 1\).
In simple words: To negate a statement, we essentially reverse its truth value. This often involves changing universal quantifiers ("प्रत्येक" - every) to existential quantifiers ("एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है" - there exists) and vice-versa, along with negating the core assertion.

🎯 Exam Tip: When negating quantified statements, remember "all P are Q" negates to "some P are not Q", and "some P are Q" negates to "no P are Q" or "all P are not Q". Also, the negation of "P or Q" is "not P and not Q".

Question 2. निम्नलिखित सप्रतिबंध कथनों (अंतर्भाव) में से प्रत्येक का विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखिए:
(i) एक धन पूर्णाक अभाज्य संख्या है केवल यदि 1 और पूर्णांक स्वयं के अतिरिक्त उसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
(ii) मैं समुद्र तट पर जाता हूँ जब कभी धूप वाला दिन होता है।
(iii) यदि बाहर गर्म है, तो आपको प्यास लगती है।
Answer:
(i) विलोम कथन : यदि एक धन पूर्णांक अभाज्य है, तो 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त इसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
प्रतिधनात्मक कथन : यदि एक धन पूर्णांक के 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाजक भी हैं, तो वह धन पूर्णांक अभाज्य संख्या नहीं है।
(ii) विलोम कथन : यदि कभी धूप वाला दिन हो तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ।
प्रतिधनात्मक कथन : जब कभी धूप वाला दिन नहीं होता तो मैं समुद्र तट पर नहीं जाता।
(iii) विलोम कथन : यदि आपको प्यास लगी है, तो बाहर गर्म है।
प्रतिधनात्मक कथन : यदि आपको प्यास नहीं लगती है तो बाहर गर्म नहीं है।
In simple words: For an "If P, then Q" statement, the converse is formed by swapping P and Q ("If Q, then P"). The contrapositive is formed by negating both P and Q, and then swapping them ("If not Q, then not P").

🎯 Exam Tip: Correctly identify the 'P' and 'Q' parts of the conditional statement. Then, apply the rules for converse (Q \(\implies\) P) and contrapositive (\(\sim\)Q \(\implies\) \(\sim\)P) carefully, ensuring accurate negation.

Question 3. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को ” यदि p तो q” के रूप में लिखिए ।:
(i) सर्वर पर लॉग आन करने के लिए पासवर्ड का होना आवश्यक है।
(ii) जब कभी वर्षा होती है यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं केवल यदि आपने निर्धारित शुल्क का भुगतान किया हो।
Answer:
(i) यदि सर्वर पर लॉग आन है, तो पासवर्ड ज्ञात है।
(ii) यदि वर्षा होती है, तो यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) यदि आप निर्धारित शुल्क का भुगतान करते हैं, तो आप बेवसाइट में प्रवेश कर सकते हैं।
In simple words: To write a statement in "If P, then Q" form, identify the condition (P) that must be met and the outcome or consequence (Q) that follows from it.

🎯 Exam Tip: Look for keywords indicating cause and effect. "Necessary" indicates the consequence (Q) must happen if the condition (P) is met. "Only if" also points to the condition for the outcome.

Question 4. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को 'p यदि और केवल यदि q' के रूप में पुनः लिखिएः
(i) यदि आप दूरदर्शन (टेलीविजन) देखते हैं, तो आपका मन मुक्त होता है तथा यदि आपका मन मुक्त है तो आप दूरदर्शन देखते हैं।
(ii) आपके द्वारा A ग्रेड प्राप्त करने के लिए यह अनिवार्य और पर्याप्त है कि आप गृहकार्य नियमित रूप से । करते हैं।
(iii) यदि एक चतुर्भुज समान कोणिक है, तो वह एक आयत होता है तथा यदि एक चतुर्भुज आयत है, तो वह समान कोणिक होता है।
Answer:
(i) आप टेलीविज़न देखते हैं यदि और केवल यदि आपका मन मुक्त होता है।
(ii) आप A ग्रेड प्राप्त करते हैं यदि और केवल यदि आप नियमित रूप से समस्त गृहकार्य करते हैं।
(iii) एक चतुर्भुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि वह एक आयत है।
In simple words: A "P if and only if Q" statement means P implies Q, and Q implies P. It signifies that P and Q are logically equivalent, each being a necessary and sufficient condition for the other.

🎯 Exam Tip: The phrase "if and only if" (IFF) combines two conditional statements: "If P, then Q" and "If Q, then P". Look for pairs of "if-then" statements where the condition and conclusion are swapped, or for phrases like "necessary and sufficient".

Question 5. नीचे दो कथन दिए हैं,
p : 25 संख्या 5 का एक गुणज है।
q : 25 संख्या 8 का एक गुणज है।
उपरोक्त कथनों का संयोजक 'और' तथा 'या' द्वारा संयोजन करके मिश्र कथन लिखिए। दोनों दशाओं में प्राप्त मिश्र कथनों की वैधता जाँचिए ।
Answer:
(i) 'और' संयोजन द्वारा मिश्र कथन: 25 संख्या 5 और 8 का गुणज है। यह असत्य कथन है क्योंकि p और q दोनों सत्य नहीं हैं।
(ii) संयोजक 'या' द्वारा मिश्र कथने: 25 संख्या 5 या 8 का गुणज है। यह कथन सत्य है।
In simple words: A compound statement using 'और' (and) is true only if both component statements are true. A compound statement using 'या' (or) is true if at least one of the component statements is true.

🎯 Exam Tip: For 'AND' statements to be true, all components must be true. For 'OR' statements to be true, at least one component must be true. Evaluate the truth value of each component statement (p and q) first.

Question 6. नीचे लिखे कथनों की वैधता की जाँच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए ।
(i) p : एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है। (विरोधोक्ति विधि)
(ii) q : यदि \(n\) एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि \(n > 3\) तो \(n^2 > 9\) (विरोधोक्ति विधि)
Answer:
(i) मान लीजिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय और \(b\) परिमेय सेख्याएँ हों, तब
दोनों का योग \(b + \sqrt{a} = s\)
माना यह योग अपरिमेय नहीं है।
यदि \(s\) अपरिमेय नहीं है तो यह परिमेय संख्या है।
\(b + \sqrt{a} = \frac{p}{q}\) .....(1)
जबकि \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं, \(q \ne 0\) तथा उनमें कोई समान गुणनखण्ड नहीं है।
समीकरण (1) से, \(\sqrt{a} = \frac{p}{q} - b\)
बायाँ पक्ष = \(\sqrt{a}\) = एक अपरिमेय संख्या
दायाँ पक्ष = \(\frac{p}{q} - b\) = एक परिमेय संख्या
चूँकि यह दोनों विरोधात्मक हैं। अतः योग \(s\) परिमेय संख्या नहीं हो सकती ।
In simple words: To prove that the sum of an irrational and a rational number is irrational by contradiction, we assume the opposite: that their sum is rational. This leads to a contradiction, as an irrational number would equal a rational one, proving our initial assumption false.
(ii) माना \(n^2 > 9\) नहीं है जबकि \(n > 3\)
माना \(n = 3 + a\) रखने पर, जहाँ \(a > 0\).
\(n = a + 3\)
\(n^2 = (a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9 = 9 + (a^2 + 6a)\)
चूंकि \(a > 0\), \(a^2 + 6a > 0\).
इसलिए \(n^2 = 9 + (\text{positive number})\)
\(\implies n^2 > 9\)
यह पूर्वनिर्धारित कथन और यह कथन विरोधात्मक है। अतः जब \(n > 3\) तो \(n^2 > 9\)
In simple words: To prove "If \(n > 3\) then \(n^2 > 9\)" by contradiction, assume \(n > 3\) but \(n^2 \le 9\). This assumption leads to a contradiction, demonstrating that the original statement must be true.

🎯 Exam Tip: For proof by contradiction, clearly state the negation of the conclusion. Then, logically derive a contradiction using the original premise and the negated conclusion. For inequalities, consider squaring both sides or manipulating them carefully.

Question 7. निम्नलिखित कथन को पाँच भिन्न-भिन्न तरीकों से इस प्रकार व्यक्त कीजिए कि उनके अर्थ समान हों।
q : यदि एक त्रिभुज समान कोणिक है तो वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।
Answer: पाँच समान अर्थ वाले कथन :
(i) कथन "एक त्रिभुज समान कोणिक है' का अंतर्भाव है कि यह अधिक कोण त्रिभुज है।
(ii) एक त्रिभुज के अधिक कोण त्रिभुज होने के लिए यह पर्याप्त है कि यह समान कोणिक है।
(iii) एक त्रिभुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज है।
(iv) एक त्रिभुज को समान कोणिक होने के लिए यह अनिवार्य है कि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज हो ।
(v) यदि एक त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं है तो वह समान कोणिक त्रिभुज नहीं है।
In simple words: The statement "If P, then Q" (where P is 'triangle is equiangular' and Q is 'triangle is obtuse-angled') can be rephrased using various logical equivalences like 'P implies Q', 'P is sufficient for Q', 'Q is necessary for P', or the contrapositive 'If not Q, then not P'.

🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of logical equivalence. Systematically apply known equivalent forms of conditional statements (implication, sufficiency, necessity, biconditional, contrapositive) to rephrase the given statement.