UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 35

Ex 3.5 Pair of Linear Equation in Two Variables अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

 

Question 1. k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय \( x + 2y = 3 \); \( 5x + ky = 15 \) के अनंततः अनेक हल हैं।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( x + 2y - 3 = 0 \) ...(1)
\( 5x + ky - 15 = 0 \) ...(2)
समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होने के लिए, गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)

\( \implies \frac{1}{5} = \frac{2}{k} = \frac{-3}{-15} \)

पहले दो अनुपातों को समान करने पर:
\( \frac{1}{5} = \frac{2}{k} \)
\( \implies k = 5 \times 2 \)
\( \implies k = 10 \)

अब, दूसरे और तीसरे अनुपातों को समान करने पर:
\( \frac{2}{k} = \frac{-3}{-15} \)
\( \implies \frac{2}{k} = \frac{1}{5} \)
\( \implies k = 2 \times 5 \)
\( \implies k = 10 \)
दोनों ही स्थितियों में, k का मान 10 है। यह मान सभी अनुपातों को बराबर करता है।
अतः, \( k = 10 \)
In simple words: समीकरणों के अनंत हल तब होते हैं जब उनके गुणांकों का अनुपात एक समान हो. k का मान 10 होने पर ही ये शर्तें पूरी होती हैं, जिससे दोनों रेखाएं एक ही बन जाती हैं.

🎯 Exam Tip: अनंत हल के लिए हमेशा \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) शर्त का उपयोग करें और सभी अनुपातों से k का मान निकालकर सत्यापित करें कि यह संगत है।

 

Question 2. a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण निकाय \( 9x - y = 25 \); \( 6x - ay = 3 \) का एक अद्वितीय हल है।
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 9x - y - 25 = 0 \) ...(1)
\( 6x - ay - 3 = 0 \) ...(2)
एक अद्वितीय हल होने के लिए, गुणांकों का अनुपात असमान होना चाहिए:
\( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)

\( \implies \frac{9}{6} \neq \frac{-1}{-a} \)

\( \implies \frac{3}{2} \neq \frac{1}{a} \)
\( \implies 3a \neq 2 \)
\( \implies a \neq \frac{2}{3} \)
इसलिए, 'a' के किसी भी मान के लिए जो \( \frac{2}{3} \) के बराबर नहीं है, समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल होगा। अद्वितीय हल का अर्थ है कि ये दो रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, \( a \neq \frac{2}{3} \)
In simple words: अद्वितीय हल तब होता है जब गुणांकों का अनुपात अलग-अलग हो. यहाँ, a का मान \( \frac{2}{3} \) नहीं होना चाहिए ताकि समीकरणों का केवल एक ही हल हो.

🎯 Exam Tip: अद्वितीय हल के लिए शर्त \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) को ठीक से पहचानें और 'नॉट इक्वल टू' चिह्न पर ध्यान दें।

 

Question 3. a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण युग्म \( 10x + 5y = a - 5 \); \( 20x + 10y - a = 0 \) के अनंततः अनेक हल हैं।
Answer: दिए गए समीकरण युग्म हैं:
\( 10x + 5y = a - 5 \implies 10x + 5y - (a - 5) = 0 \) ...(1)
\( 20x + 10y - a = 0 \) ...(2)
अनंततः अनेक हल होने के लिए, गुणांकों का अनुपात समान होना चाहिए:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)

\( \implies \frac{10}{20} = \frac{5}{10} = \frac{-(a - 5)}{-a} \)

\( \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{a - 5}{a} \)

अंतिम दो अनुपातों को समान करने पर:
\( \frac{1}{2} = \frac{a - 5}{a} \)
\( \implies a = 2(a - 5) \)
\( \implies a = 2a - 10 \)
\( \implies 10 = 2a - a \)
\( \implies a = 10 \)
'a' का मान 10 होने पर समीकरणों की रेखाएँ एक-दूसरे पर संपाती होंगी, जिसका मतलब है अनंत हल।
अतः, \( a = 10 \)
In simple words: समीकरणों के बहुत सारे हल तब होते हैं जब उनके गुणांकों का अनुपात बराबर होता है. इस स्थिति में, a का मान 10 होना चाहिए ताकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दिखाएँ.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों के 'अनंत हल' की बात हो, तो सुनिश्चित करें कि आप सभी तीन अनुपातों \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2} \) को समान रखें और स्थिरांक पद के संकेतों का ध्यान रखें।

 

Question 4. यदि एक समीकरण युग्म संगत है तब रेखाएँ भी संगत होंगी या नहीं?
Answer: हाँ, यदि एक समीकरण युग्म संगत है, तो उसकी रेखाएँ भी संगत होंगी। संगत का मतलब है कि उन रेखाओं का कम से कम एक साझा हल (प्रतिच्छेदन बिंदु) है। वे एक बिंदु पर काट सकती हैं या एक-दूसरे पर संपाती हो सकती हैं।
In simple words: हाँ, यदि समीकरण युग्म संगत है, तो उसकी रेखाएँ भी संगत होंगी. इसका मतलब है कि रेखाएँ या तो एक-दूसरे को काटेंगी या एक-दूसरे के ऊपर ही होंगी.

🎯 Exam Tip: 'संगत' का अर्थ है 'हल का अस्तित्व', चाहे वह एक अद्वितीय हल हो या अनंत हल। रेखाओं के संदर्भ में, इसका मतलब है कि वे प्रतिच्छेद करती हैं या संपाती हैं।

 

Question 5. किस प्रकार के रैखिक समीकरण युग्म का आलेखीय हल नहीं होता।
Answer: यदि दो रैखिक समीकरणों का आलेखीय रूप समानांतर रेखाएँ हों, तो उनका कोई हल नहीं होता। समानांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनके बीच कोई साझा बिंदु नहीं होता।
In simple words: उन समीकरणों का कोई हल नहीं होता जिनकी रेखाएँ समानांतर होती हैं. समानांतर रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे से नहीं मिलतीं.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि जब \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) हो, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता।

 

Question 6. दो रैखिक समीकरणों का ग्राफ समानांतर रेखाएँ हैं, तब रैखिक समीकरण युग्म के कितने हल होंगे?
Answer: यदि दो रैखिक समीकरणों का ग्राफ समानांतर रेखाएँ हैं, तो रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा। समानांतर रेखाएँ एक-दूसरे को कभी नहीं काटतीं, इसलिए उनके बीच कोई साझा बिंदु नहीं होता जो एक हल का प्रतिनिधित्व करता हो।
In simple words: जब दो समीकरणों की रेखाएँ समानांतर होती हैं, तो उनका कोई हल नहीं होता. वे कभी भी एक-दूसरे से नहीं मिलतीं.

🎯 Exam Tip: ग्राफ में समानांतर रेखाएँ हमेशा 'कोई हल नहीं' दर्शाती हैं। यह एक महत्वपूर्ण दृश्य पहचान है।

 

Question 7. एक रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है। इसका आलेखीय रूप कितने बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है?
Answer: यदि एक रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है, तो इसका आलेखीय रूप ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। 'अद्वितीय' का अर्थ है 'केवल एक', इसलिए रेखाएँ केवल एक ही जगह मिलेंगी।
In simple words: जब समीकरणों का एक ही हल होता है, तो उनकी रेखाएँ ग्राफ पर केवल एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं.

🎯 Exam Tip: 'अद्वितीय हल' हमेशा 'एकल प्रतिच्छेदन बिंदु' से जुड़ा होता है।

 

Question 8. यदि दो रैखिक समीकरणों के आलेखीय रूप में प्रतिच्छेदक रेखाएँ हैं, तब रैखिक समीकरण युग्म के कितने हल हैं?
Answer: यदि दो रैखिक समीकरणों के आलेखीय रूप में प्रतिच्छेदक रेखाएँ हैं, तो रैखिक समीकरण युग्म का 1 हल होगा। जहाँ रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही बिंदु समीकरण युग्म का एकमात्र हल होता है।
In simple words: जब रेखाएँ ग्राफ पर एक-दूसरे को काटती हैं, तो समीकरणों का केवल एक ही हल होता है.

🎯 Exam Tip: 'प्रतिच्छेदक रेखाएँ' हमेशा 'एक अद्वितीय हल' को दर्शाती हैं।

 

Question 9. यदि \( \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) तब समीकरण निकाय \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) के कितने हल हैं?
Answer: यदि \( \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) तब समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। यह स्थिति तब होती है जब दोनों रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं।
In simple words: जब पहले दो अनुपात समान हों लेकिन तीसरा अलग हो, तो समीकरणों का कोई हल नहीं होता. रेखाएँ समानांतर होती हैं.

🎯 Exam Tip: यह शर्त 'कोई हल नहीं' के लिए मानक शर्त है, जिसका मतलब है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

 

Question 10. यदि \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) तब समीकरण निकाय \( a_1x + b_1y + q = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) के कितने हल हैं?
Answer: यदि \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) तब समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल है। इस स्थिति में, रेखाएँ एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं, जिससे एक ही अद्वितीय हल मिलता है।
In simple words: यदि पहले दो अनुपात अलग-अलग हैं, तो समीकरणों का केवल एक ही हल होता है. रेखाएँ एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं.

🎯 Exam Tip: यह शर्त 'अद्वितीय हल' के लिए मानक शर्त है, जिसका मतलब है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

 

Ex 3.5 Pair of Linear Equation in Two Variables लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

 

Question 11. k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निम्नलिखित समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। \( 3x - y - 5 = 0 \); \( 6x - 2y - k = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 3x - y - 5 = 0 \) ...(1)
\( 6x - 2y - k = 0 \) ...(2)
समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होने के लिए, गुणांकों का अनुपात निम्नलिखित शर्त को पूरा करना चाहिए:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)

\( \implies \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \neq \frac{-5}{-k} \)

पहले दो अनुपातों को सरल करने पर:
\( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
अब, दूसरे और तीसरे अनुपातों को असमान करने पर:
\( \frac{1}{2} \neq \frac{5}{k} \)
\( \implies k \neq 2 \times 5 \)
\( \implies k \neq 10 \)
इसलिए, k का मान 10 नहीं होना चाहिए ताकि समीकरण निकाय का कोई हल न हो। यह सुनिश्चित करेगा कि रेखाएँ समानांतर हैं लेकिन संपाती नहीं हैं।
अतः, \( k \neq 10 \)
In simple words: समीकरणों का कोई हल नहीं होता जब रेखाएँ समानांतर हों. इसके लिए, k का मान 10 नहीं होना चाहिए.

🎯 Exam Tip: 'कोई हल नहीं' की स्थिति में, पहला दो अनुपात बराबर होते हैं, लेकिन तीसरा अनुपात उनसे बराबर नहीं होता। इस शर्त को ध्यान से लागू करें।

 

Question 12. निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए-
(i) \( 2x – y = 4 \); \( 3y – x = 3 \)
(ii) \( x – 2y = -3 \); \( 2x + y = 4 \)
(iii) \( x – y + 1 = 0 \); \( 4x + 3y = 24 \)
(iv) \( 3x – 2y – 1 = 0 \); \( 2x – 3y + 6 = 0 \)
(v) \( 3x – 5y = 19 \); \( 3y – 7x + 1 = 0 \)
(vi) \( 2x – 3y = 1 \); \( 3x – 4y = 1 \)
Answer:
(i) समीकरण निकाय: \( 2x - y = 4 \) और \( 3y - x = 3 \)
समीकरण \( 2x - y = 4 \) से, \( y = 2x - 4 \)

समीकरण \( 3y - x = 3 \) से, \( 3y = 3 + x \implies y = \frac{3+x}{3} \)

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः, \( x = 3, y = 2 \).
In simple words: पहले दोनों समीकरणों से x और y के मानों की तालिका बनाएं. फिर इन बिंदुओं को ग्राफ पर बनाएं और रेखाएं खींचें. जहाँ दोनों रेखाएं मिलेंगी, वही x और y का हल होगा, जो कि बिंदु (3, 2) है.

🎯 Exam Tip: आलेखीय विधि से हल करते समय, प्रत्येक रेखा के लिए कम से कम तीन बिंदु ज्ञात करें ताकि रेखा सही ढंग से खींची जा सके और प्रतिच्छेदन बिंदु सटीक हो।

 

(ii) समीकरण निकाय: \( x – 2y = -3 \) और \( 2x + y = 4 \)
समीकरण \( x - 2y = -3 \) से, \( x + 3 = 2y \implies y = \frac{x+3}{2} \)

समीकरण \( 2x + y = 4 \) से, \( y = 4 - 2x \)

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 2) पर काटती हैं। अतः, \( x = 1, y = 2 \).
In simple words: दोनों समीकरणों के लिए x और y के मानों की तालिकाएं बनाएं. इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करें और रेखाएं खींचें. जिस बिंदु पर ये रेखाएं एक-दूसरे को काटेंगी, वही समीकरणों का हल होगा. यहाँ, वह बिंदु (1, 2) है.

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचते समय, स्केल का सही चुनाव करें ताकि सभी बिंदु आसानी से प्लॉट किए जा सकें और प्रतिच्छेदन बिंदु स्पष्ट रूप से दिखाई दे।

 

(iii) समीकरण निकाय: \( x – y + 1 = 0 \) और \( 4x + 3y = 24 \)
समीकरण \( x - y + 1 = 0 \) से, \( y = x + 1 \)

समीकरण \( 4x + 3y = 24 \) से, \( 3y = 24 - 4x \implies y = \frac{24 - 4x}{3} \)

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 4) पर काटती हैं। अतः, \( x = 3, y = 4 \).
In simple words: दोनों समीकरणों से x और y के मानों की तालिकाएं बनाएं. इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर प्लॉट करें और रेखाएं खींचें. जिस बिंदु पर ये रेखाएं मिलती हैं, वही x और y का हल होता है. यहाँ, वह बिंदु (3, 4) है.

🎯 Exam Tip: भिन्न मानों से बचने के लिए, x के ऐसे मान चुनें जो y को पूर्णांक मान दें, जिससे ग्राफ पर प्लॉट करना आसान हो।

 

(iv) समीकरण निकाय: \( 3x – 2y – 1 = 0 \) और \( 2x – 3y + 6 = 0 \)
समीकरण \( 3x - 2y - 1 = 0 \) से, \( 2y = 3x - 1 \implies y = \frac{3x - 1}{2} \)

समीकरण \( 2x - 3y + 6 = 0 \) से, \( 3y = 2x + 6 \implies y = \frac{2x + 6}{3} \)

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु B(3, 4) पर काटती हैं। अतः, \( x = 3, y = 4 \).
In simple words: दोनों समीकरणों के लिए x और y के मानों की तालिकाएं बनाएं. इन बिंदुओं को ग्राफ पर बनाएं और रेखाएं खींचें. जिस बिंदु पर ये रेखाएं एक-दूसरे को काटेंगी, वही x और y का हल होगा, जो कि बिंदु (3, 4) है.

🎯 Exam Tip: ग्राफ पेपर पर रेखाएं खींचते समय पेंसिल का उपयोग करें और ध्यान से देखें कि वे कहाँ प्रतिच्छेद करती हैं।

 

(v) समीकरण निकाय: \( 3x – 5y = 19 \) और \( 3y – 7x + 1 = 0 \)
समीकरण \( 3x - 5y = 19 \) से, \( 5y = 3x - 19 \implies y = \frac{3x - 19}{5} \)

समीकरण \( 3y - 7x + 1 = 0 \) से, \( 3y = 7x - 1 \implies y = \frac{7x - 1}{3} \)

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (-2, -5) पर काटती हैं। अतः, \( x = -2, y = -5 \).
In simple words: दोनों समीकरणों के लिए x और y के मानों की तालिकाएं बनाएं. इन बिंदुओं को ग्राफ पर दिखाएं और रेखाएं खींचें. जिस बिंदु पर ये रेखाएं मिलती हैं, वही x और y का हल होगा, जो कि बिंदु (-2, -5) है.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक मानों को प्लॉट करते समय निर्देशांकों का ध्यान रखें ताकि कोई गलती न हो।

 

(vi) समीकरण निकाय: \( 2x – 3y = 1 \) और \( 3x – 4y = 1 \)
समीकरण \( 2x - 3y = 1 \) से, \( 3y = 2x - 1 \implies y = \frac{2x - 1}{3} \)

समीकरण \( 3x - 4y = 1 \) से, \( 4y = 3x - 1 \implies y = \frac{3x - 1}{4} \)

ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिंदु (-1, -1) पर काटती हैं। अतः, \( x = -1, y = -1 \).
In simple words: दोनों समीकरणों से x और y के मानों की तालिकाएं बनाएं. इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करें और रेखाएं खींचें. जिस बिंदु पर ये रेखाएं एक-दूसरे को काटेंगी, वही x और y का हल होगा, जो कि बिंदु (-1, -1) है.

🎯 Exam Tip: आलेखीय हल में, रेखाओं के समीकरणों से कम से कम तीन बिंदु सही ढंग से निकालें ताकि रेखा का सटीक प्लॉटिंग हो।

 

Question 13. समीकरण \( 3x – y + 9 = 0 \), \( 3x + y = 0 \) तथा \( 3x + 4y – 6 = 0 \) का आलेख दर्शाइये तथा रेखाओं और x – अक्ष से निर्मित त्रिभुज के शीर्ष भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
1. \( 3x - y + 9 = 0 \implies y = 3x + 9 \)

2. \( 3x + y = 0 \implies y = -3x \)

3. \( 3x + 4y - 6 = 0 \implies 4y = 6 - 3x \implies y = \frac{6 - 3x}{4} \)

ग्राफ खींचने पर, तीनों रेखाएं और x-अक्ष एक त्रिभुज बनाते हैं।
रेखाओं और x-अक्ष से निर्मित त्रिभुज के शीर्ष बिंदु हैं: (-3, 0), (2, 0) और (-1, 3).
In simple words: तीनों समीकरणों के लिए x और y के मानों की तालिकाएं बनाएं. इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करें और रेखाएं खींचें. इन तीनों रेखाओं और x-अक्ष से मिलकर जो त्रिभुज बनेगा, उसके कोने के बिंदु ज्ञात करें. कोने के बिंदु (-3, 0), (2, 0) और (-1, 3) हैं.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करते समय, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु और x-अक्ष के साथ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ध्यान से पहचानें।

 

Question 14. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल करें-
(i) \( 7x – 15y = 2 \); \( x + 2y = 3 \)
(ii) \( 3x – y = 3 \); \( 9x – 3y = 9 \)
(iii) \( s – t = 3 \); \( \frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6 \)
(iv) \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2, a \neq 0, b \neq 0 \); \( ax – by = a^2 – b^2 \)
Answer:
(i) समीकरण निकाय: \( 7x – 15y = 2 \) और \( x + 2y = 3 \)
समीकरण \( x + 2y = 3 \) से, हम \( x \) का मान \( y \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( x = 3 - 2y \) ...(3)
अब, \( x \) के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर:
\( 7(3 - 2y) - 15y = 2 \)
\( 21 - 14y - 15y = 2 \)
\( 21 - 29y = 2 \)
\( -29y = 2 - 21 \)
\( -29y = -19 \)
\( y = \frac{-19}{-29} \implies y = \frac{19}{29} \)
अब, \( y \) के इस मान को समीकरण (3) में रखने पर:
\( x = 3 - 2 \left( \frac{19}{29} \right) \)
\( x = 3 - \frac{38}{29} \)
\( x = \frac{3 \times 29 - 38}{29} \)
\( x = \frac{87 - 38}{29} \)
\( x = \frac{49}{29} \)
अतः, \( x = \frac{49}{29} \) और \( y = \frac{19}{29} \). प्रतिस्थापन विधि में, हम एक चर का मान दूसरे के पदों में लिखते हैं और फिर उसे दूसरे समीकरण में डालते हैं।
In simple words: एक समीकरण से x का मान निकालें, फिर उसे दूसरे समीकरण में y की जगह रखें. इससे y का मान मिलेगा. फिर y के मान को वापस पहले समीकरण में रखकर x का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन विधि में, चर के मान को सही समीकरण में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें और गणना करते समय चिह्न त्रुटियों से बचें।

 

(ii) समीकरण निकाय: \( 3x – y = 3 \) और \( 9x – 3y = 9 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( 3x - y = 3 \) ...(1)
\( 9x - 3y = 9 \) ...(2)
समीकरण (1) से, हम \( y \) का मान \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( y = 3x - 3 \) ...(3)
अब, \( y \) के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:
\( 9x - 3(3x - 3) = 9 \)
\( 9x - 9x + 9 = 9 \)
\( 9 = 9 \)
यह कथन सत्य है और इसमें कोई चर नहीं है। इसका मतलब है कि ये दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होंगे। यह दिखाता है कि एक रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु दूसरे समीकरण को भी संतुष्ट करेगा।
अतः, समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होंगे।
In simple words: एक समीकरण से y का मान निकालें और उसे दूसरे समीकरण में रखें. यदि आपको एक सही कथन (जैसे 9 = 9) मिलता है, तो इसका मतलब है कि समीकरणों के बहुत सारे हल हैं, क्योंकि दोनों रेखाएँ एक ही हैं.

🎯 Exam Tip: जब प्रतिस्थापन के बाद चर हट जाएं और एक सत्य कथन (जैसे 0=0 या 9=9) प्राप्त हो, तो इसका अर्थ है अनंत हल; यदि एक असत्य कथन (जैसे 0=5) प्राप्त हो, तो कोई हल नहीं।

 

(iii) समीकरण निकाय: \( s – t = 3 \) और \( \frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( s - t = 3 \) ...(1)
\( \frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6 \) ...(2)
समीकरण (1) से, हम \( s \) का मान \( t \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( s = 3 + t \) ...(3)
अब, \( s \) के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:
\( \frac{3 + t}{3} + \frac{t}{2} = 6 \)
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 6 लेकर हल करने पर:
\( 2(3 + t) + 3t = 6 \times 6 \)
\( 6 + 2t + 3t = 36 \)
\( 6 + 5t = 36 \)
\( 5t = 36 - 6 \)
\( 5t = 30 \)
\( t = \frac{30}{5} \)
\( t = 6 \)
अब, \( t \) के इस मान को समीकरण (3) में रखने पर:
\( s = 3 + 6 \)
\( s = 9 \)
अतः, \( s = 9, t = 6 \). यह प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका है, खासकर जब भिन्न शामिल हों।
In simple words: पहले समीकरण से s का मान निकालें, फिर उसे दूसरे समीकरण में t की जगह रखें. इससे t का मान मिल जाएगा. फिर t के मान को वापस पहले समीकरण में रखकर s का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक गुणांकों वाले समीकरणों को हल करते समय, पहले एलसीएम लेकर उन्हें पूर्णांक गुणांकों में बदल लें, इससे गणना सरल हो जाएगी।

 

(iv) समीकरण निकाय: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \) और \( ax – by = a^2 – b^2 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2 \)
\( \frac{bx + ay}{ab} = 2 \)
\( bx + ay = 2ab \) ...(1)
\( ax - by = a^2 - b^2 \) ...(2)
समीकरण (1) से, हम \( x \) का मान \( y \) के पदों में व्यक्त करते हैं:
\( bx = 2ab - ay \)
\( x = \frac{2ab - ay}{b} \) ...(3)
अब, \( x \) के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर:
\( a \left( \frac{2ab - ay}{b} \right) - by = a^2 - b^2 \)
\( \frac{2a^2b - a^2y}{b} - by = a^2 - b^2 \)
\( \frac{2a^2b - a^2y - b^2y}{b} = a^2 - b^2 \)
\( 2a^2b - y(a^2 + b^2) = b(a^2 - b^2) \)
\( -y(a^2 + b^2) = a^2b - b^3 - 2a^2b \)
\( -y(a^2 + b^2) = -a^2b - b^3 \)
\( -y(a^2 + b^2) = -b(a^2 + b^2) \)
\( y = \frac{-b(a^2 + b^2)}{-(a^2 + b^2)} \)
\( y = b \)
अब, \( y \) के इस मान को समीकरण (3) में रखने पर:
\( x = \frac{2ab - ab}{b} \)
\( x = \frac{ab}{b} \)
\( x = a \)
अतः, \( x = a, y = b \). यह बीजगणितीय समीकरणों को हल करने का एक शक्तिशाली तरीका है।
In simple words: पहले समीकरण को सरल बनाएं. फिर एक समीकरण से x का मान y के रूप में निकालें. इसे दूसरे समीकरण में x की जगह रखें. इससे y का मान मिलेगा. फिर y के मान को वापस पहले समीकरण में रखकर x का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में चर के अलावा अन्य अक्षर (जैसे a, b) हों, तो उन्हें स्थिरांक मानकर सामान्य बीजगणितीय विधियों का उपयोग करें।

 

Question 15. निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को विलोपन विधि से हल करें-
(i) \( x + y = 5 \); \( 2x – 3y = 4 \)
(ii) \( 3x – 5y = 4 \); \( 9x – 2y = 7 \)
(iii) \( \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \); \( x - \frac{y}{3} = 3 \)
(iv) \( \frac{3a}{x} - \frac{2b}{y} + 5 = 0 \); \( \frac{a}{x} + \frac{3b}{y} – 2 = 0, x \neq 0, y \neq 0 \)
Answer:
(i) समीकरण निकाय: \( x + y = 5 \) और \( 2x – 3y = 4 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( x + y = 5 \) ...(1)
\( 2x - 3y = 4 \) ...(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( 3(x + y) = 3(5) \)
\( 3x + 3y = 15 \) ...(3)
अब समीकरण (2) और (3) को जोड़ने पर:
\( (2x - 3y) + (3x + 3y) = 4 + 15 \)
\( 5x = 19 \)
\( x = \frac{19}{5} \)
अब, \( x \) के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{19}{5} + y = 5 \)
\( y = 5 - \frac{19}{5} \)
\( y = \frac{25 - 19}{5} \)
\( y = \frac{6}{5} \)
अतः, \( x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5} \). विलोपन विधि में, हम एक चर को खत्म करने के लिए समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं।
In simple words: समीकरणों में से किसी एक चर को बराबर करने के लिए एक या दोनों समीकरणों को गुणा करें. फिर उन्हें जोड़कर या घटाकर एक चर को खत्म करें. बचे हुए चर का मान निकालें, फिर उसे वापस समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: विलोपन विधि में, सबसे पहले देखें कि क्या किसी चर के गुणांक समान या विपरीत चिह्न वाले हैं; यदि नहीं, तो उन्हें गुणा करके समान बनाएं।

 

(ii) समीकरण निकाय: \( 3x – 5y = 4 \) और \( 9x – 2y = 7 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( 3x - 5y = 4 \) ...(1)
\( 9x - 2y = 7 \) ...(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( 3(3x - 5y) = 3(4) \)
\( 9x - 15y = 12 \) ...(3)
अब समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर:
\( (9x - 2y) - (9x - 15y) = 7 - 12 \)
\( 9x - 2y - 9x + 15y = -5 \)
\( 13y = -5 \)
\( y = -\frac{5}{13} \)
अब, \( y \) के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 3x - 5 \left( -\frac{5}{13} \right) = 4 \)
\( 3x + \frac{25}{13} = 4 \)
\( 3x = 4 - \frac{25}{13} \)
\( 3x = \frac{52 - 25}{13} \)
\( 3x = \frac{27}{13} \)
\( x = \frac{27}{13 \times 3} \)
\( x = \frac{9}{13} \)
अतः, \( x = \frac{9}{13}, y = -\frac{5}{13} \). विलोपन विधि एक व्यवस्थित तरीका है जो गलतियों को कम करता है।
In simple words: एक चर के गुणांकों को बराबर करें, फिर उन्हें जोड़कर या घटाकर उस चर को हटा दें. बचे हुए चर का मान ज्ञात करें. फिर इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: विलोपन करते समय, समीकरणों को जोड़ने या घटाने के बाद गुणांकों के संकेतों का विशेष ध्यान रखें।

 

(iii) समीकरण निकाय: \( \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \) और \( x - \frac{y}{3} = 3 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \)
\( \frac{3x + 4y}{6} = -1 \)
\( 3x + 4y = -6 \) ...(1)
\( x - \frac{y}{3} = 3 \)
\( \frac{3x - y}{3} = 3 \)
\( 3x - y = 9 \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
\( (3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9 \)
\( 3x + 4y - 3x + y = -15 \)
\( 5y = -15 \)
\( y = \frac{-15}{5} \)
\( y = -3 \)
अब, \( y \) के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 3x + 4(-3) = -6 \)
\( 3x - 12 = -6 \)
\( 3x = -6 + 12 \)
\( 3x = 6 \)
\( x = \frac{6}{3} \)
\( x = 2 \)
अतः, \( x = 2, y = -3 \). भिन्न वाले समीकरणों को पहले मानक रूप में बदलना एक अच्छा कदम है।
In simple words: भिन्नों को हटाने के लिए समीकरणों को सरल करें. फिर एक चर के गुणांकों को बराबर करें. उन्हें जोड़कर या घटाकर एक चर को हटा दें. बचे हुए चर का मान निकालें, फिर इसे वापस समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: भिन्नों को हल करते समय, प्रत्येक समीकरण को उसके लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करके पूर्णांक गुणांकों में बदलें, इससे गणना में त्रुटि की संभावना कम हो जाती है।

 

(iv) समीकरण निकाय: \( \frac{3a}{x} - \frac{2b}{y} + 5 = 0 \) और \( \frac{a}{x} + \frac{3b}{y} – 2 = 0 \)
दिए गए समीकरण हैं:
\( \frac{3a}{x} - \frac{2b}{y} = -5 \) ...(1)
\( \frac{a}{x} + \frac{3b}{y} = 2 \) ...(2)
समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर:
\( 3 \left( \frac{a}{x} + \frac{3b}{y} \right) = 3(2) \)
\( \frac{3a}{x} + \frac{9b}{y} = 6 \) ...(3)
अब समीकरण (1) में से समीकरण (3) को घटाने पर:
\( \left( \frac{3a}{x} - \frac{2b}{y} \right) - \left( \frac{3a}{x} + \frac{9b}{y} \right) = -5 - 6 \)
\( \frac{3a}{x} - \frac{2b}{y} - \frac{3a}{x} - \frac{9b}{y} = -11 \)
\( -\frac{11b}{y} = -11 \)
\( \frac{11b}{y} = 11 \)
\( y = \frac{11b}{11} \)
\( y = b \)
अब, \( y \) के इस मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{3a}{x} - \frac{2b}{b} = -5 \)
\( \frac{3a}{x} - 2 = -5 \)
\( \frac{3a}{x} = -5 + 2 \)
\( \frac{3a}{x} = -3 \)
\( 3a = -3x \)
\( x = \frac{3a}{-3} \)
\( x = -a \)
अतः, \( x = -a, y = b \). इस प्रकार के समीकरणों में, हम \( \frac{1}{x} \) और \( \frac{1}{y} \) को नए चर मानकर भी हल कर सकते हैं।
In simple words: पहले, समीकरणों को फिर से व्यवस्थित करें. एक चर के गुणांकों को बराबर करने के लिए एक या दोनों समीकरणों को गुणा करें. फिर उन्हें जोड़कर या घटाकर एक चर को खत्म करें. बचे हुए चर का मान निकालें, फिर इसे वापस समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: \( \frac{1}{x} \) और \( \frac{1}{y} \) को नए चर (जैसे u और v) मानकर ऐसे समीकरणों को हल करना आसान होता है, क्योंकि यह उन्हें मानक रैखिक रूप में बदल देता है।

 

Question 16. निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ब्रज-गुणन विधि से हल करें –
(i) \( 8x + 5y = 9 \); \( 3x + 2y = 4 \)
(ii) \( 2x + 3y - 7 = 0 \); \( 6x + 5y – 11 = 0 \)
Answer:
(i) समीकरण निकाय: \( 8x + 5y = 9 \) और \( 3x + 2y = 4 \)
दिए गए समीकरणों को मानक रूप \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) में लिखें:
\( 8x + 5y - 9 = 0 \) ...(1)
\( 3x + 2y - 4 = 0 \) ...(2)
ब्रज-गुणन विधि के अनुसार, हमें \( x, y \) और \( 1 \) के मान इस प्रकार मिलते हैं:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
यहाँ,
\( a_1 = 8, b_1 = 5, c_1 = -9 \)
\( a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -4 \)

\( \frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)} \)

\( \frac{x}{-20 - (-18)} = \frac{y}{-27 - (-32)} = \frac{1}{16 - 15} \)

\( \frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{1} \)

\( \frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1} \)
अब, \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात करने के लिए प्रत्येक भाग को \( \frac{1}{1} \) के बराबर रखें:
\( \frac{x}{-2} = 1 \implies x = -2 \)
\( \frac{y}{5} = 1 \implies y = 5 \)
अतः, \( x = -2, y = 5 \). ब्रज-गुणन विधि समीकरणों को एक साथ हल करने के लिए एक सीधा सूत्र प्रदान करती है।
In simple words: पहले समीकरणों को मानक रूप में लिखें. फिर ब्रज-गुणन सूत्र का उपयोग करके x, y और 1 के लिए मान सेट करें. गुणांकों को सही जगह पर रखकर क्रॉस-गुणा करें. अंत में x और y के मान ज्ञात करने के लिए गणना करें.

🎯 Exam Tip: ब्रज-गुणन विधि में गुणांकों को सही क्रम में व्यवस्थित करना महत्वपूर्ण है। सूत्र \( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \) को याद रखें।

 

(ii) समीकरण निकाय: \( 2x + 3y - 7 = 0 \) और \( 6x + 5y – 11 = 0 \)
दिए गए समीकरणों को मानक रूप \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) में लिखें:
\( 2x + 3y - 7 = 0 \) ...(1)
\( 6x + 5y - 11 = 0 \) ...(2)
ब्रज-गुणन विधि के अनुसार:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)
यहाँ,
\( a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -7 \)
\( a_2 = 6, b_2 = 5, c_2 = -11 \)

\( \frac{x}{(3)(-11) - (5)(-7)} = \frac{y}{(-7)(6) - (-11)(2)} = \frac{1}{(2)(5) - (6)(3)} \)

\( \frac{x}{-33 - (-35)} = \frac{y}{-42 - (-22)} = \frac{1}{10 - 18} \)

\( \frac{x}{-33 + 35} = \frac{y}{-42 + 22} = \frac{1}{-8} \)

\( \frac{x}{2} = \frac{y}{-20} = \frac{1}{-8} \)
अब, \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात करने के लिए प्रत्येक भाग को \( \frac{1}{-8} \) के बराबर रखें:
\( \frac{x}{2} = \frac{1}{-8} \implies x = \frac{2}{-8} \implies x = -\frac{1}{4} \)
\( \frac{y}{-20} = \frac{1}{-8} \implies y = \frac{-20}{-8} \implies y = \frac{5}{2} \)
अतः, \( x = -\frac{1}{4}, y = \frac{5}{2} \). ब्रज-गुणन विधि उन मामलों में उपयोगी है जहाँ प्रतिस्थापन या विलोपन से गणना जटिल हो सकती है।
In simple words: पहले समीकरणों को मानक रूप में लिखें. फिर ब्रज-गुणन सूत्र का उपयोग करके x, y और 1 के लिए मान सेट करें. गुणांकों को सही जगह पर रखकर क्रॉस-गुणा करें. अंत में x और y के मान ज्ञात करने के लिए गणना करें.

🎯 Exam Tip: ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि स्थिरांक पद समीकरण के बाईं ओर हों और उनका चिह्न सही ढंग से उपयोग किया गया हो।

Ex 3.5 Pair of Linear Equation in Two Variables दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

 

Question 17. एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि प्रत्येक पंक्ति में 4 विद्यार्थी अतिरिक्त हो तो पंक्तियों की संख्या 2 कम हो जाती है तथा यदि प्रत्येक पंक्ति में 4 विद्यार्थी कम हो तो 4 पंक्तियाँ और बनानी पड़ेंगी। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या \( x \) है और पंक्तियों की कुल संख्या \( y \) है। तो, कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या \( xy \) होगी।
पहली शर्त के अनुसार:
यदि प्रत्येक पंक्ति में 4 विद्यार्थी अधिक होते हैं, तो पंक्तियों की संख्या 2 कम हो जाती है।
\( (x + 4)(y - 2) = xy \)
\( xy - 2x + 4y - 8 = xy \)
\( -2x + 4y - 8 = 0 \)
\( -2x + 4y = 8 \) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार:
यदि प्रत्येक पंक्ति में 4 विद्यार्थी कम होते हैं, तो पंक्तियों की संख्या 4 बढ़ जाती है।
\( (x - 4)(y + 4) = xy \)
\( xy + 4x - 4y - 16 = xy \)
\( 4x - 4y - 16 = 0 \)
\( 4x - 4y = 16 \) ...(2)
अब, समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( (-2x + 4y) + (4x - 4y) = 8 + 16 \)
\( 2x = 24 \)
\( x = \frac{24}{2} \)
\( x = 12 \)
\( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( -2(12) + 4y = 8 \)
\( -24 + 4y = 8 \)
\( 4y = 8 + 24 \)
\( 4y = 32 \)
\( y = \frac{32}{4} \)
\( y = 8 \)
इसलिए, कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या \( xy = 12 \times 8 = 96 \) है। यह तरीका सुनिश्चित करता है कि कक्षाओं की व्यवस्था उचित रहे, चाहे पंक्तियों या विद्यार्थियों की संख्या में परिवर्तन हो।
In simple words: हमने पंक्तियों में विद्यार्थियों की संख्या \( x \) और पंक्तियों की संख्या \( y \) मान ली। दो अलग-अलग शर्तों से दो समीकरण बने। उन समीकरणों को हल करके हमें \( x \) और \( y \) के मान मिले, जिससे कुल विद्यार्थी 96 निकले।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले अज्ञात राशियों को चर (variable) मान लें और फिर दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाएँ। समीकरणों को सावधानी से हल करें।

 

Question 18. 2 वर्ष पहले, एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की आयु से 5 गुनी थी। दो वर्ष बाद, उसकी आयु उसके पुत्र की आयु के तीन गुने से 8 अधिक थी। पिता एवं पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि पिता की वर्तमान आयु \( x \) वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु \( y \) वर्ष है।
पहली शर्त के अनुसार:
2 वर्ष पहले, पिता की आयु \( (x - 2) \) वर्ष थी और पुत्र की आयु \( (y - 2) \) वर्ष थी।
प्रश्न के अनुसार, \( x - 2 = 5(y - 2) \)
\( x - 2 = 5y - 10 \)
\( x - 5y = -10 + 2 \)
\( x - 5y = -8 \) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार:
2 वर्ष बाद, पिता की आयु \( (x + 2) \) वर्ष होगी और पुत्र की आयु \( (y + 2) \) वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार, \( x + 2 = 3(y + 2) + 8 \)
\( x + 2 = 3y + 6 + 8 \)
\( x + 2 = 3y + 14 \)
\( x - 3y = 14 - 2 \)
\( x - 3y = 12 \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
\( (x - 5y) - (x - 3y) = -8 - 12 \)
\( x - 5y - x + 3y = -20 \)
\( -2y = -20 \)
\( y = \frac{-20}{-2} \)
\( y = 10 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x - 5(10) = -8 \)
\( x - 50 = -8 \)
\( x = -8 + 50 \)
\( x = 42 \)
इसलिए, पिता की वर्तमान आयु 42 वर्ष है और पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है। इस तरह के आयु संबंधी प्रश्न समीकरण बनाने के बाद आसानी से हल किए जा सकते हैं।
In simple words: हमने पिता और पुत्र की आज की उम्र को \( x \) और \( y \) माना। दो साल पहले और दो साल बाद की जानकारी से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करने पर पिता की उम्र 42 साल और पुत्र की उम्र 10 साल मिली।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी प्रश्नों में, वर्तमान आयु को चर मानकर शुरू करें, फिर अतीत या भविष्य की आयु को तदनुसार समायोजित करें और समीकरण बनाएं।

 

Question 19. एक भिन्न का अंश, उसके हर से एक कम है। यदि अंश व हर दोनों में 3 जोड़ा जाये तो वह भिन्न मूल भिन्न से \( \frac{3}{28} \) अधिक हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि भिन्न का हर \( x \) है।
प्रश्न के अनुसार, अंश हर से एक कम है, तो अंश \( (x - 1) \) होगा।
तो, मूल भिन्न \( = \frac{x - 1}{x} \)
जब अंश व हर दोनों में 3 जोड़ा जाता है, तो नई भिन्न \( = \frac{(x - 1) + 3}{x + 3} = \frac{x + 2}{x + 3} \)
प्रश्न के अनुसार, नई भिन्न मूल भिन्न से \( \frac{3}{28} \) अधिक है:
\( \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{x - 1}{x} + \frac{3}{28} \)
\( \frac{x(x + 2) - (x + 3)(x - 1)}{x(x + 3)} = \frac{3}{28} \)
\( \frac{(x^2 + 2x) - (x^2 + 2x - 3)}{x^2 + 3x} = \frac{3}{28} \)
\( \frac{x^2 + 2x - x^2 - 2x + 3}{x^2 + 3x} = \frac{3}{28} \)
\( \frac{3}{x^2 + 3x} = \frac{3}{28} \)
इससे यह पता चलता है कि \( x^2 + 3x = 28 \)
\( x^2 + 3x - 28 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर:
\( x^2 + 7x - 4x - 28 = 0 \)
\( x(x + 7) - 4(x + 7) = 0 \)
\( (x + 7)(x - 4) = 0 \)
तो, \( x + 7 = 0 \) या \( x - 4 = 0 \)
\( x = -7 \) (यह मान अमान्य है क्योंकि हर धनात्मक होना चाहिए)
\( x = 4 \)
हर का मान \( x = 4 \) है।
अंश का मान \( x - 1 = 4 - 1 = 3 \) है।
तो, अभीष्ट भिन्न \( = \frac{3}{4} \) है। यह एक सीधा तरीका है भिन्नों से संबंधित समस्याओं को हल करने का।
In simple words: हमने एक भिन्न मानी जहाँ अंश हर से एक कम था। जब अंश और हर दोनों में 3 जोड़ा गया, तो नई भिन्न पुरानी भिन्न से थोड़ी बड़ी हो गई। समीकरण बनाकर हल करने पर हमें वह भिन्न \( \frac{3}{4} \) मिली।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले प्रश्नों में, अंश और हर को अलग-अलग चरों के रूप में व्यक्त करें और समीकरण बनाने के लिए दी गई शर्तों का उपयोग करें। नकारात्मक या अमान्य समाधानों को ध्यान से अस्वीकार करें।

 

Question 20. एक रेलगाड़ी एक नियत चाल से 300 किमी० चलती है। यदि रेलगाड़ी की चाल 5 किमी०/घण्टा बढ़ा दी जाये, तो यात्रा पूरी करने में दो घण्टे कम लगते हैं। रेलगाड़ी की मूल चाल ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि रेलगाड़ी की मूल चाल \( x \) किमी/घंटा है।
300 किमी की दूरी तय करने में लगा समय \( = \frac{300}{x} \) घंटे।
जब रेलगाड़ी की चाल 5 किमी/घंटा बढ़ा दी जाती है, तो नई चाल \( (x + 5) \) किमी/घंटा हो जाती है।
इस नई चाल से 300 किमी की दूरी तय करने में लगा समय \( = \frac{300}{x + 5} \) घंटे।
प्रश्न के अनुसार, नई चाल से 2 घंटे कम लगते हैं:
\( \frac{300}{x} - \frac{300}{x + 5} = 2 \)
\( 300(x + 5) - 300x = 2x(x + 5) \)
\( 300x + 1500 - 300x = 2x^2 + 10x \)
\( 1500 = 2x^2 + 10x \)
\( 2x^2 + 10x - 1500 = 0 \)
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
\( x^2 + 5x - 750 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\( x^2 + 30x - 25x - 750 = 0 \)
\( x(x + 30) - 25(x + 30) = 0 \)
\( (x + 30)(x - 25) = 0 \)
तो, \( x + 30 = 0 \) या \( x - 25 = 0 \)
\( x = -30 \) (चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए यह अमान्य है)
\( x = 25 \)
इसलिए, रेलगाड़ी की मूल चाल 25 किमी/घंटा है। गति, दूरी और समय के बीच संबंध को समझना इस समस्या को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने ट्रेन की असली स्पीड \( x \) मानी। 300 किमी जाने में कितना समय लगता है, यह निकाला। फिर, जब स्पीड 5 किमी/घंटा बढ़ गई, तो 2 घंटे कम लगे। इस जानकारी से एक समीकरण बना और उसे हल करके ट्रेन की असली स्पीड 25 किमी/घंटा मिली।

🎯 Exam Tip: समय, दूरी और चाल के प्रश्नों में, \( \text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} \) सूत्र का सही उपयोग करें और ऋणात्मक चाल जैसे अमान्य समाधानों को अनदेखा करना याद रखें।

 

Question 21. m व n के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए निम्न समीकरण निकाय, अनंततः हल रखता है। 3x + 4y = 12; (m + n)x + 2(m – n)y = 5m – 1
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 3x + 4y = 12 \) ...(1)
\( (m + n)x + 2(m - n)y = 5m - 1 \) ...(2)
एक समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होते हैं यदि गुणांकों का अनुपात समान हो:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
यहां, \( a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 12 \)
और \( a_2 = (m + n), b_2 = 2(m - n), c_2 = 5m - 1 \)
तो, \( \frac{3}{m + n} = \frac{4}{2(m - n)} = \frac{12}{5m - 1} \)
पहले दो अनुपातों को लेने पर:
\( \frac{3}{m + n} = \frac{4}{2(m - n)} \)
\( \frac{3}{m + n} = \frac{2}{m - n} \)
\( 3(m - n) = 2(m + n) \)
\( 3m - 3n = 2m + 2n \)
\( 3m - 2m = 2n + 3n \)
\( m = 5n \) ...(3)
अब पहले और तीसरे अनुपातों को लेने पर:
\( \frac{3}{m + n} = \frac{12}{5m - 1} \)
\( 3(5m - 1) = 12(m + n) \)
\( 15m - 3 = 12m + 12n \)
\( 15m - 12m - 12n = 3 \)
\( 3m - 12n = 3 \) ...(4)
समीकरण (3) से \( m \) का मान समीकरण (4) में रखने पर:
\( 3(5n) - 12n = 3 \)
\( 15n - 12n = 3 \)
\( 3n = 3 \)
\( n = \frac{3}{3} \)
\( n = 1 \)
\( n \) का मान समीकरण (3) में रखने पर:
\( m = 5(1) \)
\( m = 5 \)
इसलिए, \( m = 5 \) और \( n = 1 \) हैं। ये मान समीकरण निकाय के अनंत हल सुनिश्चित करते हैं।
In simple words: अनंत हल होने के लिए, समीकरणों के गुणांकों का अनुपात बराबर होना चाहिए। हमने तीन अनुपातों को बराबर रखा और फिर उन्हें हल करके \( m \) और \( n \) के मान 5 और 1 निकाले।

🎯 Exam Tip: अनंत हल के लिए \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) शर्त का सही उपयोग करें और अज्ञात चरों को निकालने के लिए परिणामी समीकरणों को व्यवस्थित रूप से हल करें।

 

Question 22. k के किस मान के लिए निम्न समीकरण निकाय अनंततः हल रखता है 2x – 3y = 7; (k + 1)x + (1 – 2k)y = 5k – 4
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x - 3y = 7 \) को \( 2x - 3y - 7 = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है ...(1)
\( (k + 1)x + (1 - 2k)y = 5k - 4 \) को \( (k + 1)x + (1 - 2k)y - (5k - 4) = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है ...(2)
समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होते हैं यदि गुणांकों का अनुपात समान हो:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
यहां, \( a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -7 \)
और \( a_2 = (k + 1), b_2 = (1 - 2k), c_2 = -(5k - 4) \)
तो, \( \frac{2}{k + 1} = \frac{-3}{1 - 2k} = \frac{-7}{-(5k - 4)} \)
\( \frac{2}{k + 1} = \frac{-3}{1 - 2k} = \frac{7}{5k - 4} \)
पहले दो अनुपातों को लेने पर:
\( \frac{2}{k + 1} = \frac{-3}{1 - 2k} \)
\( 2(1 - 2k) = -3(k + 1) \)
\( 2 - 4k = -3k - 3 \)
\( 2 + 3 = -3k + 4k \)
\( 5 = k \)
अब दूसरे और तीसरे अनुपातों को लेने पर:
\( \frac{-3}{1 - 2k} = \frac{7}{5k - 4} \)
\( -3(5k - 4) = 7(1 - 2k) \)
\( -15k + 12 = 7 - 14k \)
\( 12 - 7 = 15k - 14k \)
\( 5 = k \)
दोनों ही मामलों से हमें \( k = 5 \) मिलता है। इसलिए, \( k = 5 \) के लिए समीकरण निकाय के अनंततः अनेक हल होंगे। यह दिखाता है कि कैसे \( k \) का एक निश्चित मान समीकरणों के व्यवहार को नियंत्रित कर सकता है।
In simple words: समीकरणों के अनंत हल तब होते हैं जब उनके गुणांकों का अनुपात समान होता है। हमने गुणांकों को तुलना करके समीकरण बनाया और \( k \) का मान 5 पाया, जो इन समीकरणों के लिए अनंत हल देता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि अनंत हल के लिए तीनों अनुपातों (\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)) को बराबर रखना महत्वपूर्ण है, और \( k \) के संगत मान के लिए दोनों बराबरियों को संतुष्ट करना चाहिए।

 

Question 23. दो अंकों की एक संख्या के दोनों अंकों का गुणनफल 14 है। यदि संख्या में 45 जोड़ा जाये तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए कि दहाई का अंक \( x \) है और इकाई का अंक \( y \) है।
तो, अभीष्ट संख्या \( = 10x + y \)
पहली शर्त के अनुसार:
दोनों अंकों का गुणनफल 14 है।
\( xy = 14 \)
इससे \( y = \frac{14}{x} \) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार:
यदि संख्या में 45 जोड़ा जाए, तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं।
\( 10x + y + 45 = 10y + x \)
\( 10x - x + y - 10y = -45 \)
\( 9x - 9y = -45 \)
दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर:
\( x - y = -5 \) ...(2)
समीकरण (1) से \( y \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( x - \frac{14}{x} = -5 \)
पूरे समीकरण को \( x \) से गुणा करने पर:
\( x^2 - 14 = -5x \)
\( x^2 + 5x - 14 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर:
\( x^2 + 7x - 2x - 14 = 0 \)
\( x(x + 7) - 2(x + 7) = 0 \)
\( (x + 7)(x - 2) = 0 \)
तो, \( x + 7 = 0 \) या \( x - 2 = 0 \)
\( x = -7 \) (अंक ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए यह अमान्य है)
\( x = 2 \)
\( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( y = \frac{14}{2} \)
\( y = 7 \)
इसलिए, दहाई का अंक 2 और इकाई का अंक 7 है।
अभीष्ट संख्या \( = 10x + y = 10(2) + 7 = 20 + 7 = 27 \) है। यह संख्या प्रणाली के मौलिक गुणों को दर्शाती है।
In simple words: हमने दहाई और इकाई के अंकों को \( x \) और \( y \) माना। अंकों के गुणा और संख्या में 45 जोड़ने पर अंक बदलने की शर्तों से दो समीकरण बनाए। इन समीकरणों को हल करके हमें संख्या 27 मिली।

🎯 Exam Tip: दो अंकों की संख्या वाले प्रश्नों में, संख्या को \( 10x + y \) के रूप में व्यक्त करें और अंकों को पलटने पर संख्या \( 10y + x \) हो जाती है, इस तथ्य का उपयोग करें।

 

Question 24. उस चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण ज्ञात कीजिए, जिसमें \( \angle A = (4x + 20)^\circ \), \( \angle B = (3x – 5)^\circ \), \( \angle C = (4y)^\circ \) तथा \( \angle D = (7y + 5)^\circ \)
Answer: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
इसका मतलब है कि \( \angle A + \angle C = 180^\circ \) और \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)।
दिया गया है:
\( \angle A = (4x + 20)^\circ \)
\( \angle B = (3x - 5)^\circ \)
\( \angle C = (4y)^\circ \)
\( \angle D = (7y + 5)^\circ \)
अब, \( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
\( (4x + 20) + 4y = 180 \)
\( 4x + 4y = 180 - 20 \)
\( 4x + 4y = 160 \)
दोनों पक्षों को 4 से भाग देने पर:
\( x + y = 40 \) ...(1)
और, \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
\( (3x - 5) + (7y + 5) = 180 \)
\( 3x + 7y = 180 \) ...(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर:
\( 3(x + y) = 3(40) \)
\( 3x + 3y = 120 \) ...(3)
समीकरण (2) में से समीकरण (3) को घटाने पर:
\( (3x + 7y) - (3x + 3y) = 180 - 120 \)
\( 3x + 7y - 3x - 3y = 60 \)
\( 4y = 60 \)
\( y = \frac{60}{4} \)
\( y = 15 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( x + 15 = 40 \)
\( x = 40 - 15 \)
\( x = 25 \)
अब, कोणों के मान ज्ञात करते हैं:
\( \angle A = (4x + 20)^\circ = (4(25) + 20)^\circ = (100 + 20)^\circ = 120^\circ \)
\( \angle B = (3x - 5)^\circ = (3(25) - 5)^\circ = (75 - 5)^\circ = 70^\circ \)
\( \angle C = (4y)^\circ = (4(15))^\circ = 60^\circ \)
\( \angle D = (7y + 5)^\circ = (7(15) + 5)^\circ = (105 + 5)^\circ = 110^\circ \)
इसलिए, कोण \( \angle A = 120^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \) और \( \angle D = 110^\circ \) हैं। चक्रीय चतुर्भुज के गुणों का यह एक उत्कृष्ट उदाहरण है।
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज में आमने-सामने के कोणों का जोड़ 180 डिग्री होता है। इस नियम का उपयोग करके, हमने \( x \) और \( y \) के मान निकाले और फिर हर कोण का माप ज्ञात किया: \( \angle A = 120^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( \angle C = 60^\circ \), \( \angle D = 110^\circ \)।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के योग 180° होने की महत्वपूर्ण संपत्ति को याद रखें, यह इस प्रकार के ज्यामिति प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।

 

Question 25. निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिए-
\( \frac{35}{x+y} + \frac{14}{x-y} = 19 \)
\( \frac{14}{x+y} + \frac{35}{x-y} = 37 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( \frac{35}{x+y} + \frac{14}{x-y} = 19 \) ...(1)
\( \frac{14}{x+y} + \frac{35}{x-y} = 37 \) ...(2)
मान लीजिए \( \frac{1}{x+y} = a \) और \( \frac{1}{x-y} = b \)। समीकरणों को पुनः लिखने पर:
\( 35a + 14b = 19 \) ...(3)
\( 14a + 35b = 37 \) ...(4)
समीकरण (3) को 5 से और समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर:
\( 5(35a + 14b) = 5(19) \implies 175a + 70b = 95 \) ...(5)
\( 2(14a + 35b) = 2(37) \implies 28a + 70b = 74 \) ...(6)
समीकरण (5) में से समीकरण (6) को घटाने पर:
\( (175a + 70b) - (28a + 70b) = 95 - 74 \)
\( 175a - 28a = 21 \)
\( 147a = 21 \)
\( a = \frac{21}{147} \)
\( a = \frac{1}{7} \)
\( a \) का मान समीकरण (6) में रखने पर:
\( 28(\frac{1}{7}) + 70b = 74 \)
\( 4 + 70b = 74 \)
\( 70b = 74 - 4 \)
\( 70b = 70 \)
\( b = \frac{70}{70} \)
\( b = 1 \)
अब \( a \) और \( b \) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\( \frac{1}{x+y} = a \implies \frac{1}{x+y} = \frac{1}{7} \implies x+y = 7 \) ...(7)
\( \frac{1}{x-y} = b \implies \frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1 \) ...(8)
समीकरण (7) और (8) को जोड़ने पर:
\( (x + y) + (x - y) = 7 + 1 \)
\( 2x = 8 \)
\( x = \frac{8}{2} \)
\( x = 4 \)
\( x \) का मान समीकरण (7) में रखने पर:
\( 4 + y = 7 \)
\( y = 7 - 4 \)
\( y = 3 \)
इसलिए, \( x = 4 \) और \( y = 3 \) हैं। यह विधि जटिल दिखने वाले समीकरणों को सरल बनाने में मदद करती है।
In simple words: हमने \( \frac{1}{x+y} \) को \( a \) और \( \frac{1}{x-y} \) को \( b \) माना, जिससे समीकरण सरल हो गए। फिर, हमने \( a \) और \( b \) के मान निकाले, और उन्हें वापस \( x \) और \( y \) के पदों में बदलकर \( x = 4 \) और \( y = 3 \) पाया।

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में चर हर (denominator) में होते हैं, तो उन्हें नए चरों से प्रतिस्थापित करके समीकरणों को सरल बनाने पर विचार करें।

 

Question 26. k के किस मान के लिए निम्न समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। (3k + 1)x + 3y − 2 = 0; (k² + 1)x + (k – 2)y – 5 = 0
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( (3k + 1)x + 3y - 2 = 0 \) ...(1)
\( (k^2 + 1)x + (k - 2)y - 5 = 0 \) ...(2)
समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता है यदि गुणांकों का अनुपात निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
यहां, \( a_1 = (3k + 1), b_1 = 3, c_1 = -2 \)
और \( a_2 = (k^2 + 1), b_2 = (k - 2), c_2 = -5 \)
पहले दो अनुपातों को बराबर रखने पर:
\( \frac{3k + 1}{k^2 + 1} = \frac{3}{k - 2} \)
क्रॉस-गुणा करने पर:
\( (3k + 1)(k - 2) = 3(k^2 + 1) \)
\( 3k^2 - 6k + k - 2 = 3k^2 + 3 \)
\( 3k^2 - 5k - 2 = 3k^2 + 3 \)
\( -5k - 2 = 3 \)
\( -5k = 3 + 2 \)
\( -5k = 5 \)
\( k = \frac{5}{-5} \)
\( k = -1 \)
अब हमें यह जांचना होगा कि \( \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) शर्त भी पूरी होती है जब \( k = -1 \) हो।
\( \frac{3}{k - 2} = \frac{3}{-1 - 2} = \frac{3}{-3} = -1 \)
\( \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
चूंकि \( -1 \neq \frac{2}{5} \), शर्त \( \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) पूरी होती है।
इसलिए, \( k = -1 \) के लिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि हम \( k \) के उस मान को चुनें जो दी गई शर्त को पूरी तरह संतुष्ट करे।
In simple words: समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) होना चाहिए लेकिन \( \neq \frac{c_1}{c_2} \) होना चाहिए। हमने पहली दो समानताओं से \( k \) का मान -1 निकाला, और फिर जांच की कि यह \( \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) शर्त को भी पूरा करता है।

🎯 Exam Tip: 'कोई हल नहीं' वाले प्रश्नों में, \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) शर्त का सही उपयोग करें और \( k \) के मान को निकालने के बाद, हमेशा \( \neq \) शर्त को जांचना सुनिश्चित करें।