UP Board Solutions Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 33

निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को ब्रज – गुणन विधि द्वारा हल कीजिए।

सूत्र: \( \frac { x }{ b_1c_2-b_2c_1 } = \frac { y }{ c_1a_2-c_2a_1 } = \frac { 1 }{ a_1b_2-a_2b_1 } \)

Question 1. 2x + y – 35 = 0; 3x + 4y – 65 = 0
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( 2x + y – 35 = 0 \quad \dots(1) \)
\( 3x + 4y – 65 = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (1)(-65) - (4)(-35) } = \frac { y }{ (-35)(3) - (-65)(2) } = \frac { 1 }{ (2)(4) - (3)(1) } \)
\( \implies \frac { x }{ -65 + 140 } = \frac { y }{ -105 + 130 } = \frac { 1 }{ 8 - 3 } \)
\( \implies \frac { x }{ 75 } = \frac { y }{ 25 } = \frac { 1 }{ 5 } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ 75 } = \frac { 1 }{ 5 } \implies x = \frac { 75 }{ 5 } \implies x = 15 \)
\( \frac { y }{ 25 } = \frac { 1 }{ 5 } \implies y = \frac { 25 }{ 5 } \implies y = 5 \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = 15 \) और \( y = 5 \) हैं। यह विधि अज्ञात राशियों के मान ज्ञात करने का एक सीधा तरीका है।
In simple words: पहले दिए गए समीकरणों के गुणांकों को सही क्रम में लिखो। फिर क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करके x और y के लिए समीकरणों को हल करो।

🎯 Exam Tip: ब्रज-गुणन विधि में गुणांकों को सही ढंग से व्यवस्थित करना और चिह्नों का ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है। एक छोटी सी गलती पूरे हल को गलत कर सकती है।

Question 2. x + y = a + b; ax – by = a² – b²
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( x + y - (a+b) = 0 \quad \dots(1) \)
\( ax - by - (a^2-b^2) = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (1)(-(a^2-b^2)) - (-b)(-(a+b)) } = \frac { y }{ (-(a+b))(a) - (-(a^2-b^2))(1) } = \frac { 1 }{ (1)(-b) - (a)(1) } \)
\( \implies \frac { x }{ -a^2+b^2 - (ab+b^2) } = \frac { y }{ -a^2-ab + a^2-b^2 } = \frac { 1 }{ -b-a } \)
\( \implies \frac { x }{ -a^2+b^2-ab-b^2 } = \frac { y }{ -ab-b^2 } = \frac { 1 }{ -(a+b) } \)
\( \implies \frac { x }{ -a^2-ab } = \frac { y }{ -b(a+b) } = \frac { 1 }{ -(a+b) } \)
\( \implies \frac { x }{ -a(a+b) } = \frac { y }{ -b(a+b) } = \frac { 1 }{ -(a+b) } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ -a(a+b) } = \frac { 1 }{ -(a+b) } \implies x = \frac { -a(a+b) }{ -(a+b) } \implies x = a \)
\( \frac { y }{ -b(a+b) } = \frac { 1 }{ -(a+b) } \implies y = \frac { -b(a+b) }{ -(a+b) } \implies y = b \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = a \) और \( y = b \) हैं। इस तरह के सवालों में बीजगणितीय व्यंजकों को ध्यान से सरल करना होता है।
In simple words: समीकरणों को मानक रूप में बदलो. फिर क्रॉस-गुणा विधि लगाओ. ब्रैकेट खोलने और माइनस के चिन्हों का ध्यान रखो. आखिर में x और y के मान निकालो.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों के साथ काम करते समय, चिह्नों और गुणनखंडों को सावधानी से संभालें, खासकर जब \( (a+b) \) या \( (a-b) \) जैसे सामान्य पद होते हैं।

Question 3. a(x + y) + b(x - y) = a² – ab + b²; a(x + y) – b(x - y)= a² + ab + b²
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( a(x + y) + b(x - y) - (a^2 – ab + b^2) = 0 \quad \dots(1) \)
\( a(x + y) - b(x - y) - (a^2 + ab + b^2) = 0 \quad \dots(2) \)
मान लीजिए \( X = x+y \) और \( Y = x-y \)। तब समीकरण बनते हैं:
\( aX + bY - (a^2 – ab + b^2) = 0 \)
\( aX - bY - (a^2 + ab + b^2) = 0 \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { X }{ b(-(a^2+ab+b^2)) - (-b)(-(a^2-ab+b^2)) } = \frac { Y }{ (-(a^2-ab+b^2))(a) - (-(a^2+ab+b^2))(a) } = \frac { 1 }{ (a)(-b) - (a)(b) } \)
\( \implies \frac { X }{ -a^2b-ab^2-b^3 - (a^2b-ab^2+b^3) } = \frac { Y }{ -a^3+a^2b-ab^2 - (-a^3-a^2b-ab^2) } = \frac { 1 }{ -ab-ab } \)
\( \implies \frac { X }{ -a^2b-ab^2-b^3 - a^2b+ab^2-b^3 } = \frac { Y }{ -a^3+a^2b-ab^2 + a^3+a^2b+ab^2 } = \frac { 1 }{ -2ab } \)
\( \implies \frac { X }{ -2a^2b-2b^3 } = \frac { Y }{ 2a^2b } = \frac { 1 }{ -2ab } \)
\( \implies \frac { X }{ -2b(a^2+b^2) } = \frac { Y }{ 2a^2b } = \frac { 1 }{ -2ab } \)
अब, \( X \) और \( Y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { X }{ -2b(a^2+b^2) } = \frac { 1 }{ -2ab } \implies X = \frac { -2b(a^2+b^2) }{ -2ab } \implies X = \frac { a^2+b^2 }{ a } \)
\( \frac { Y }{ 2a^2b } = \frac { 1 }{ -2ab } \implies Y = \frac { 2a^2b }{ -2ab } \implies Y = -a \)
अब \( X \) और \( Y \) को उनके मूल मानों में वापस रखें:
\( x+y = \frac { a^2+b^2 }{ a } \quad \dots(3) \)
\( x-y = -a \quad \dots(4) \)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर:
\( (x+y) + (x-y) = \frac { a^2+b^2 }{ a } - a \)
\( \implies 2x = \frac { a^2+b^2 - a^2 }{ a } \)
\( \implies 2x = \frac { b^2 }{ a } \implies x = \frac { b^2 }{ 2a } \)
\( x \) का मान समीकरण (4) में रखने पर:
\( \frac { b^2 }{ 2a } - y = -a \)
\( \implies y = \frac { b^2 }{ 2a } + a \)
\( \implies y = \frac { b^2 + 2a^2 }{ 2a } \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = \frac { b^2 }{ 2a } \) और \( y = \frac { 2a^2+b^2 }{ 2a } \) हैं। इस तरह के प्रश्नों में चर प्रतिस्थापन बहुत उपयोगी होता है।
In simple words: पहले \( x+y \) और \( x-y \) को नए अक्षर मानो. फिर क्रॉस-गुणा विधि से उन नए अक्षरों के मान निकालो. आखिर में उन मानों को वापस असली अक्षरों में रखकर \( x \) और \( y \) के हल ढूंढो.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में जटिल व्यंजक हों, तो चर प्रतिस्थापन (जैसे \( X = x+y \)) विधि का उपयोग करने से गणना सरल हो सकती है। अंत में मूल चरों के लिए मान ज्ञात करना न भूलें।

Question 4. ax + by = a²; bx + ay = b²
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( ax + by - a^2 = 0 \quad \dots(1) \)
\( bx + ay - b^2 = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ b(-b^2) - a(-a^2) } = \frac { y }{ (-a^2)(b) - (-b^2)(a) } = \frac { 1 }{ a(a) - b(b) } \)
\( \implies \frac { x }{ -b^3 + a^3 } = \frac { y }{ -a^2b + ab^2 } = \frac { 1 }{ a^2 - b^2 } \)
\( \implies \frac { x }{ (a-b)(a^2+ab+b^2) } = \frac { y }{ -ab(a-b) } = \frac { 1 }{ (a-b)(a+b) } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ (a-b)(a^2+ab+b^2) } = \frac { 1 }{ (a-b)(a+b) } \implies x = \frac { (a-b)(a^2+ab+b^2) }{ (a-b)(a+b) } \implies x = \frac { a^2+ab+b^2 }{ a+b } \)
\( \frac { y }{ -ab(a-b) } = \frac { 1 }{ (a-b)(a+b) } \implies y = \frac { -ab(a-b) }{ (a-b)(a+b) } \implies y = \frac { -ab }{ a+b } \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = \frac { a^2+ab+b^2 }{ a+b } \) और \( y = \frac { -ab }{ a+b } \) हैं। यह विधि अज्ञात राशियों के मान ज्ञात करने का एक सीधा तरीका है।
In simple words: समीकरणों को सही रूप में लिखो. फिर क्रॉस-गुणा का सूत्र लगाओ. सावधानी से मानों को हल करो और x और y के मान निकालो.

🎯 Exam Tip: बीजगणित में गुणनखंडों को ध्यान से देखना और सामान्य पदों को रद्द करना समाधान को बहुत सरल बना सकता है। \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) जैसे सूत्रों को याद रखें।

Question 5. \( \frac { x }{ a } + \frac { y }{ b } = a+b; \frac { x }{ a^2 } + \frac { y }{ b^2 } = 2 \)
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( \frac { x }{ a } + \frac { y }{ b } - (a+b) = 0 \quad \dots(1) \)
\( \frac { x }{ a^2 } + \frac { y }{ b^2 } - 2 = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (1/b)(-2) - (1/b^2)(-(a+b)) } = \frac { y }{ (-(a+b))(1/a^2) - (-2)(1/a) } = \frac { 1 }{ (1/a)(1/b^2) - (1/a^2)(1/b) } \)
\( \implies \frac { x }{ -2/b + (a+b)/b^2 } = \frac { y }{ -(a+b)/a^2 + 2/a } = \frac { 1 }{ 1/(ab^2) - 1/(a^2b) } \)
\( \implies \frac { x }{ \frac { -2b+a+b }{ b^2 } } = \frac { y }{ \frac { -a-b+2a }{ a^2 } } = \frac { 1 }{ \frac { b-a }{ a^2b^2 } } \)
\( \implies \frac { x }{ \frac { a-b }{ b^2 } } = \frac { y }{ \frac { a-b }{ a^2 } } = \frac { a^2b^2 }{ b-a } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ \frac { a-b }{ b^2 } } = \frac { a^2b^2 }{ b-a } \implies x = \frac { (a-b) }{ b^2 } \cdot \frac { a^2b^2 }{ (b-a) } \implies x = - \frac { a^2(b-a) }{ b-a } \implies x = -a^2 \)
\( \frac { y }{ \frac { a-b }{ a^2 } } = \frac { a^2b^2 }{ b-a } \implies y = \frac { (a-b) }{ a^2 } \cdot \frac { a^2b^2 }{ (b-a) } \implies y = - \frac { b^2(b-a) }{ b-a } \implies y = -b^2 \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = -a^2 \) और \( y = -b^2 \) हैं। भिन्नात्मक गुणांकों वाले समीकरणों को ध्यान से हल करें।
In simple words: भिन्नों वाले समीकरणों को मानक रूप में बदलो. फिर क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करके x और y के मान निकालो.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में भिन्न हों, तो गणना शुरू करने से पहले हर समीकरण को उसके सबसे सरल पूर्णांक रूप में बदलने पर विचार करें। यह गलतियों को रोकने में मदद करता है।

Question 6. 2ax + 3 by = a + 2b; 3ax + 2by = 2a + b
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( 2ax + 3by - (a + 2b) = 0 \quad \dots(1) \)
\( 3ax + 2by - (2a + b) = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (3b)(-(2a+b)) - (2b)(-(a+2b)) } = \frac { y }{ (-(a+2b))(3a) - (-(2a+b))(2a) } = \frac { 1 }{ (2a)(2b) - (3a)(3b) } \)
\( \implies \frac { x }{ -6ab-3b^2 - (-2ab-4b^2) } = \frac { y }{ -3a^2-6ab - (-4a^2-2ab) } = \frac { 1 }{ 4ab-9ab } \)
\( \implies \frac { x }{ -6ab-3b^2+2ab+4b^2 } = \frac { y }{ -3a^2-6ab+4a^2+2ab } = \frac { 1 }{ -5ab } \)
\( \implies \frac { x }{ -4ab+b^2 } = \frac { y }{ a^2-4ab } = \frac { 1 }{ -5ab } \)
\( \implies \frac { x }{ -b(4a-b) } = \frac { y }{ a(a-4b) } = \frac { 1 }{ -5ab } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ -b(4a-b) } = \frac { 1 }{ -5ab } \implies x = \frac { -b(4a-b) }{ -5ab } \implies x = \frac { 4a-b }{ 5a } \)
\( \frac { y }{ a(a-4b) } = \frac { 1 }{ -5ab } \implies y = \frac { a(a-4b) }{ -5ab } \implies y = \frac { a-4b }{ -5b } \implies y = \frac { 4b-a }{ 5b } \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = \frac { 4a-b }{ 5a } \) और \( y = \frac { 4b-a }{ 5b } \) हैं। ध्यान दें कि अंतिम समाधान में चिह्न बदल सकते हैं।
In simple words: पहले समीकरणों को मानक रूप में लिखो. फिर क्रॉस-गुणा विधि से x और y के लिए सूत्र लगाओ. बीजगणितीय व्यंजकों को सावधानी से सरल करो.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप सभी चिह्नों को सही ढंग से गुणा करते हैं और अंतिम समाधान तक पहुँचने के लिए बीजगणितीय व्यंजकों को सावधानीपूर्वक सरल करते हैं।

Question 7. \( \frac { 57 }{ x+y } + \frac { 6 }{ x-y } = 5; \frac { 38 }{ x+y } + \frac { 21 }{ x-y } = 9 \)
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( \frac { 57 }{ x+y } + \frac { 6 }{ x-y } - 5 = 0 \quad \dots(1) \)
\( \frac { 38 }{ x+y } + \frac { 21 }{ x-y } - 9 = 0 \quad \dots(2) \)
मान लीजिए \( A = \frac { 1 }{ x+y } \) और \( B = \frac { 1 }{ x-y } \)। तब समीकरण बनते हैं:
\( 57A + 6B - 5 = 0 \)
\( 38A + 21B - 9 = 0 \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { A }{ (6)(-9) - (21)(-5) } = \frac { B }{ (-5)(38) - (-9)(57) } = \frac { 1 }{ (57)(21) - (38)(6) } \)
\( \implies \frac { A }{ -54 - (-105) } = \frac { B }{ -190 - (-513) } = \frac { 1 }{ 1197 - 228 } \)
\( \implies \frac { A }{ -54+105 } = \frac { B }{ -190+513 } = \frac { 1 }{ 969 } \)
\( \implies \frac { A }{ 51 } = \frac { B }{ 323 } = \frac { 1 }{ 969 } \)
अब, \( A \) और \( B \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { A }{ 51 } = \frac { 1 }{ 969 } \implies A = \frac { 51 }{ 969 } \implies A = \frac { 1 }{ 19 } \)
\( \frac { B }{ 323 } = \frac { 1 }{ 969 } \implies B = \frac { 323 }{ 969 } \implies B = \frac { 1 }{ 3 } \)
अब \( A \) और \( B \) को उनके मूल मानों में वापस रखें:
\( \frac { 1 }{ x+y } = \frac { 1 }{ 19 } \implies x+y = 19 \quad \dots(3) \)
\( \frac { 1 }{ x-y } = \frac { 1 }{ 3 } \implies x-y = 3 \quad \dots(4) \)
समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर:
\( (x+y) + (x-y) = 19 + 3 \)
\( \implies 2x = 22 \implies x = 11 \)
\( x = 11 \) का मान समीकरण (3) में रखने पर:
\( 11 + y = 19 \implies y = 19 - 11 \implies y = 8 \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = 11 \) और \( y = 8 \) हैं। चर प्रतिस्थापन से ऐसे प्रश्नों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है।
In simple words: पहले \( 1/(x+y) \) और \( 1/(x-y) \) को नए अक्षर मानो. फिर क्रॉस-गुणा विधि से उन नए अक्षरों के मान निकालो. आखिर में उन मानों को वापस असली अक्षरों में रखकर \( x \) और \( y \) के हल ढूंढो.

🎯 Exam Tip: जब चर हर में हों, तो उन्हें नए चरों से प्रतिस्थापित करके समीकरणों को रैखिक रूप में बदलना एक प्रभावी रणनीति है। अंत में मूल चरों के मान प्राप्त करना सुनिश्चित करें।

Question 8. 6(ax + by) = 3a + 2b; 6(bx – ay) = 3b – 2a
Answer: दिए गए समीकरणों को सरल करके मानक रूप में लिखने पर:
\( 6ax + 6by - (3a + 2b) = 0 \quad \dots(1) \)
\( 6bx - 6ay - (3b - 2a) = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (6b)(-(3b-2a)) - (-6a)(-(3a+2b)) } = \frac { y }{ (-(3a+2b))(6b) - (-(3b-2a))(6a) } = \frac { 1 }{ (6a)(-6a) - (6b)(6b) } \)
\( \implies \frac { x }{ -18b^2+12ab - (18a^2+12ab) } = \frac { y }{ -18ab-12b^2 - (-18ab+12a^2) } = \frac { 1 }{ -36a^2-36b^2 } \)
\( \implies \frac { x }{ -18b^2+12ab-18a^2-12ab } = \frac { y }{ -18ab-12b^2+18ab-12a^2 } = \frac { 1 }{ -36(a^2+b^2) } \)
\( \implies \frac { x }{ -18a^2-18b^2 } = \frac { y }{ -12a^2-12b^2 } = \frac { 1 }{ -36(a^2+b^2) } \)
\( \implies \frac { x }{ -18(a^2+b^2) } = \frac { y }{ -12(a^2+b^2) } = \frac { 1 }{ -36(a^2+b^2) } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ -18(a^2+b^2) } = \frac { 1 }{ -36(a^2+b^2) } \implies x = \frac { -18(a^2+b^2) }{ -36(a^2+b^2) } \implies x = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( \frac { y }{ -12(a^2+b^2) } = \frac { 1 }{ -36(a^2+b^2) } \implies y = \frac { -12(a^2+b^2) }{ -36(a^2+b^2) } \implies y = \frac { 1 }{ 3 } \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = \frac { 1 }{ 2 } \) और \( y = \frac { 1 }{ 3 } \) हैं। यह दिखाता है कि कैसे जटिल दिखने वाले समीकरणों का सरल हल हो सकता है।
In simple words: समीकरणों को सीधा करके मानक रूप में लिखो. फिर क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करके x और y के मान निकालो. सभी गुणांकों और चिन्हों का ध्यान रखो.

🎯 Exam Tip: कभी-कभी, समीकरणों में दिखने वाले जटिल गुणांक सरल हो जाते हैं, जिससे अंतिम समाधान संख्यात्मक मानों में होता है। ऐसे मामलों में सरलीकरण को ध्यान से करें।

Question 9. \( \frac { ax }{ b } - \frac { by }{ a } = a+b; ax - by = 2ab \)
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
पहले समीकरण को \( ab \) से गुणा करने पर:
\( a^2x - b^2y = ab(a+b) \)
\( \implies a^2x - b^2y - (a^2b + ab^2) = 0 \quad \dots(1) \)
दूसरा समीकरण:
\( ax - by - 2ab = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (-b^2)(-2ab) - (-b)(-(a^2b+ab^2)) } = \frac { y }{ (-(a^2b+ab^2))(a) - (-2ab)(a^2) } = \frac { 1 }{ (a^2)(-b) - (a)(-b^2) } \)
\( \implies \frac { x }{ 2ab^3 - (a^2b^2+ab^3) } = \frac { y }{ -a^3b-a^2b^2 - (-2a^3b) } = \frac { 1 }{ -a^2b+ab^2 } \)
\( \implies \frac { x }{ 2ab^3-a^2b^2-ab^3 } = \frac { y }{ -a^3b-a^2b^2+2a^3b } = \frac { 1 }{ ab(b-a) } \)
\( \implies \frac { x }{ ab^3-a^2b^2 } = \frac { y }{ a^3b-a^2b^2 } = \frac { 1 }{ ab(b-a) } \)
\( \implies \frac { x }{ ab^2(b-a) } = \frac { y }{ a^2b(a-b) } = \frac { 1 }{ ab(b-a) } \)
\( \implies \frac { x }{ ab^2(b-a) } = \frac { y }{ -a^2b(b-a) } = \frac { 1 }{ ab(b-a) } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ ab^2(b-a) } = \frac { 1 }{ ab(b-a) } \implies x = \frac { ab^2(b-a) }{ ab(b-a) } \implies x = b \)
\( \frac { y }{ -a^2b(b-a) } = \frac { 1 }{ ab(b-a) } \implies y = \frac { -a^2b(b-a) }{ ab(b-a) } \implies y = -a \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = b \) और \( y = -a \) हैं। ऐसे प्रश्नों में अंश और हर को सरल करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले समीकरणों को मानक रूप में बदलो और भिन्नों को हटाओ. फिर क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करके x और y के मान निकालो.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों को हमेशा सरल करके पूर्णांक गुणांकों में बदलें, फिर ब्रज-गुणन विधि लागू करें। यह गणना को आसान बनाता है।

Question 10. \( \frac { x }{ a^2 } + \frac { y }{ b^2 } = 0; \frac { x }{ a } + \frac { y }{ b } = a+b \)
Answer: दिए गए समीकरणों को हल करने पर:
\( \frac { x }{ a^2 } + \frac { y }{ b^2 } = 0 \)
\( \implies \frac { x }{ a^2 } = - \frac { y }{ b^2 } \)
\( \implies b^2x = -a^2y \)
समीकरणों से प्राप्त होता है:
\( b^2x = a^2b^2 \)
\( a^2y = a^2b^2 \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( b^2x = a^2b^2 \implies x = \frac { a^2b^2 }{ b^2 } \implies x = a^2 \)
\( a^2y = a^2b^2 \implies y = \frac { a^2b^2 }{ a^2 } \implies y = b^2 \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = a^2 \) और \( y = b^2 \) हैं। यह दिखाता है कि कैसे कभी-कभी समाधान सीधे चरणों से प्राप्त होते हैं।
In simple words: समीकरणों को इस तरह से बदलो कि x और y एक तरफ रहें. फिर उन्हें हल करके x और y के मान निकालो.

🎯 Exam Tip: यदि समीकरणों को सरल किया जा सकता है तो प्रतिस्थापन या विलोपन विधि का उपयोग करना ब्रज-गुणन विधि से भी तेज हो सकता है, विशेष रूप से जब गुणांक जटिल हों।

Question 11. mx – ny = m² + n²; x + y = 2m
Answer: दिए गए समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( mx - ny - (m^2+n^2) = 0 \quad \dots(1) \)
\( x + y - 2m = 0 \quad \dots(2) \)
ब्रज-गुणन विधि का उपयोग करने पर, हम गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
\( \frac { x }{ (-n)(-2m) - (1)(-(m^2+n^2)) } = \frac { y }{ (-(m^2+n^2))(1) - (-2m)(m) } = \frac { 1 }{ (m)(1) - (1)(-n) } \)
\( \implies \frac { x }{ 2mn - (-m^2-n^2) } = \frac { y }{ -m^2-n^2 - (-2m^2) } = \frac { 1 }{ m - (-n) } \)
\( \implies \frac { x }{ 2mn+m^2+n^2 } = \frac { y }{ -m^2-n^2+2m^2 } = \frac { 1 }{ m+n } \)
\( \implies \frac { x }{ (m+n)^2 } = \frac { y }{ m^2-n^2 } = \frac { 1 }{ m+n } \)
\( \implies \frac { x }{ (m+n)^2 } = \frac { y }{ (m-n)(m+n) } = \frac { 1 }{ m+n } \)
अब, \( x \) और \( y \) के मानों को हल करने के लिए:
\( \frac { x }{ (m+n)^2 } = \frac { 1 }{ m+n } \implies x = \frac { (m+n)^2 }{ m+n } \implies x = m+n \)
\( \frac { y }{ (m-n)(m+n) } = \frac { 1 }{ m+n } \implies y = \frac { (m-n)(m+n) }{ m+n } \implies y = m-n \)
अतः, समीकरणों के हल \( x = m+n \) और \( y = m-n \) हैं। यह विधि अज्ञात राशियों के मान ज्ञात करने का एक सीधा तरीका है।
In simple words: समीकरणों को मानक रूप में लिखो. फिर क्रॉस-गुणा विधि का उपयोग करके x और y के लिए सूत्र लगाओ. सावधानी से मानों को हल करो.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( (m+n)^2 \) और \( m^2-n^2 \) को पहचानना और उनका उपयोग करना समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज और सटीक बना सकता है।