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Chapter 1 Relations And Functions Ex 1.1

Question 1. निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित सम्बन्धों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं (i) से (iv) व उनके हल के लिए प्रश्नावली 1 (A) का प्रश्न 1 देखें। (v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R
(a) R = { (x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
(b) R = { (x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }
(c) R = { (x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है }
(d) R = { (x, y) : x, y की पत्नी है}
(e) R = { (x, y) : x, y के पिता हैं }
Answer:
(v) माना A = किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों का समुच्चय
(a) R = { (x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं }
R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति उस नगर में उस विशेष समय पर कार्यरत है। R सममित है, क्योंकि \( x, y \) एक ही स्थान पर एक समय पर कार्यरत हैं तो \( y, x \) भी उसी स्थान पर उस समय कार्यरत हैं। R संक्रामक है, क्योंकि \( x, y \) तथा \( y, z \) एक नगर में एक ही समय पर कार्यरत हैं तो उस नगर में उसी समय \( x, z \) भी कार्यरत हैं। सम्बन्धों के इन गुणों को समझना कलन और बीजगणित के उच्च विषयों के लिए आधार प्रदान करता है।
अतः स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

(b) R = { (x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं }
R स्वतुल्य है, क्योंकि उस स्थान का प्रत्येक व्यक्ति वहीं पर रहता है। R सममित है, क्योंकि \( x \) और \( y \) एक स्थान पर रहते हैं तथा उसी स्थान पर \( y \) और \( x \) भी रहते हैं। R संक्रामक है, क्योंकि \( x, y \) तथा \( y, z \) एक स्थान पर रहते हैं तब \( x, z \) भी उसी स्थान पर रहते हैं।
अतः स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

(c) R = { (x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है }
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति अपने आप से 7 सेमी अधिक लम्बा नहीं हो सकता। R सममित नहीं है, क्योंकि \( y, x \) से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बा है तब \( x, y \) से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि \( x, y \) से तथा \( y, z \) से ठीक 7 सेमी लम्बे हों तो \( x, z \) से ठीक 14 सेमी अधिक लम्बा होगा, 7 सेमी नहीं।
अतः स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

(d) R = { (x, y) : x, y की पत्नी है}
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि \( x \) स्वयं अपनी ही पत्नी नहीं हो सकती है। R सममित नहीं है, क्योंकि यदि \( x, y \) की पत्नी है तो \( y, x \) की पत्नी नहीं हो सकती (वह पति होगा)। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि यदि \( x, y \) की पत्नी है तो \( y \) किसी की भी पत्नी नहीं हो सकती।
अतः स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

(e) R = { (x, y) : x, y के पिता हैं }
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि \( x \) अपना ही पिता नहीं हो सकता। R सममित नहीं है, क्योंकि यदि \( x, y \) का पिता है तो \( y, x \) का पिता नहीं हो सकता। R संक्रामक नहीं है, क्योंकि \( x, y \) का और \( y, z \) का पिता है तो \( x, z \) का दादा होगा, पिता नहीं।
अतः स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
In simple words: This question asks to check if given relations in a town's residents are reflexive (related to self), symmetric (reversible), or transitive (linking through a middle element). Most daily life relations like working together are all three, but physical relations like being 7cm taller or being a father are not.

🎯 Exam Tip: To prove transitivity, always check if the existence of (x, y) and (y, z) in the relation necessitates the existence of (x, z).

Question 2. सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = { (a, b) : \( a \le b^2 \) }, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।
Answer: माना A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और R = { (a, b) : \( a \le b^2 \) }
1. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि \( \frac{1}{2} \le (\frac{1}{2})^2 \) सत्य नहीं है, क्योंकि \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{4} \) से कम नहीं है। यह उदाहरण दर्शाता है कि वास्तविक संख्याओं के साथ कार्य करते समय सावधानी बरतना आवश्यक है।
2. R सममित नहीं है, क्योंकि \( a \le b^2 \) तो \( b, a^2 \) से कम या बराबर नहीं है, जैसे \( -2 < 5^2 \) परन्तु \( 5, (-2)^2 \) से कम नहीं है।
3. R संक्रामक नहीं है, माना \( a = 2, b = -2 \) और \( c = -1 \) तब \( 2 < (-2)^2 \), \( -2 < (-1)^2 \) परन्तु \( 2, (-1)^2 \) से कम नहीं है।
अतः 1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
In simple words: For a relation to be reflexive, every number must be less than its own square, which fails for fractions like 1/2. It is not symmetric or transitive either, as shown by using simple positive and negative numbers as examples.

🎯 Exam Tip: When dealing with powers like \( b^2 \) or \( b^3 \), fractions between 0 and 1 are the best counter-examples to disprove reflexivity.

Question 3. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } में R = { (a, b) : b = a + 1 } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
Answer: दिया है, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} तथा R = { (a, b) : b = a + 1 }
1. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि \( a, a + 1 \) के बराबर नहीं हो सकता। माना \( a = 1 \), तब \( 1 = 1 + 1 = 2 \) के बराबर नहीं हो सकता। यह सम्बन्ध एक स्पष्ट क्रमिक संरचना का उदाहरण है।
2. R सममित नहीं है, क्योंकि \( b = a + 1 \) तब \( a \neq b + 1 \)। यदि \( b = 1 + 1 = 2 \), तो \( 1 \neq 2 + 1 \)।
3. R संक्रामक नहीं है, क्योंकि \( b = a + 1, c = b + 1 \) तो \( c \neq a + 1 \)। यदि \( b = 1 + 1 = 2 \) तथा \( c = 2 + 1 = 3 \) तो \( 3 \neq 1 + 1 \)।
अतः 1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
In simple words: This relation links a number to the next one (like 1 to 2). Since a number isn't the "next" of itself, it's not reflexive; since 2 is after 1 but 1 isn't after 2, it's not symmetric; and since 1 goes to 2 and 2 goes to 3, but 1 doesn't go straight to 3, it's not transitive.

🎯 Exam Tip: For small finite sets, you can also write out the full relation set R = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} to visually check for properties.

Question 4. सिद्ध कीजिए कि R में R = { (a, b) : \( a \le b \)}, द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
Answer: माना R कोई वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा R = { (a, b) : \( a \le b \)}
1. R स्वतुल्य है, क्योंकि \( a \le a \implies a = a \)
2. R सममित नहीं है, क्योंकि \( a, b \) से कम है तब \( b, a \) से कम नहीं है। यदि 1, 2 से कम है तब 2, 1 से कम नहीं हो सकती। वास्तविक संख्याओं के बीच का यह क्रम सम्बन्ध गणितीय विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
3. R संक्रामक है, क्योंकि \( a \le b \) और \( b \le c \) तब \( a \le c \)
अतः 1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।
In simple words: Every number is equal to itself, so it's reflexive. If a number is smaller than another, the second one can't be smaller than the first, so it's not symmetric. If A is smaller than B and B is smaller than C, then A must be smaller than C, which makes it transitive.

🎯 Exam Tip: To disprove symmetry for \( a \le b \), always use a counter-example like (1, 2) where \( 1 \le 2 \) is true but \( 2 \le 1 \) is false.

Question 5. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में सम्बन्ध R, R = { (a, b) : \( a \le b^3 \) } द्वारा परिभाषित है, तो इसकी स्वतुल्यता, सममितता और संक्रामकता की जाँच कीजिए।
Answer: स्वतुल्यता :
\( \frac{1}{2} \) वास्तविक संख्या है और \( \frac{1}{2} \le (\frac{1}{2})^3 \) सत्य नहीं है।
\( \therefore (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R \)
अतः R स्वतुल्य नहीं है।

सममितता : वास्तविक संख्याओं \( \frac{1}{2} \) व 1 के लिए
\( \frac{1}{2} \le 1^3 \implies (\frac{1}{2}, 1) \in R \)
परन्तु \( 1 \le (\frac{1}{2})^3 \) सत्य नहीं है \( \therefore (1, \frac{1}{2}) \notin R \)
सम्बन्ध R सममित नहीं है।

संक्रामकता : तीन वास्तविक संख्याओं \( 3, \frac{3}{2} \) और \( \frac{4}{3} \) लेते हैं। स्पष्ट है कि \( 3 \le (\frac{3}{2})^3 \) और \( \frac{3}{2} \le (\frac{4}{3})^3 \) परन्तु \( 3 \le (\frac{4}{3})^3 \) सत्य नहीं है। यहाँ घातांक के नियमों का सही प्रयोग करना समाधान की सटीकता के लिए आवश्यक है।
\( \therefore (3, \frac{3}{2}) \in R \), और \( (\frac{3}{2}, \frac{4}{3}) \in R \) परन्तु \( (3, \frac{4}{3}) \notin R \)
अतः सम्बन्ध R संक्रामक नहीं है।
In simple words: This relation fails to be reflexive with fractions because a fraction's cube is smaller than the fraction itself. It's not symmetric or transitive either, as shown by using specific numbers where the logic of "smaller than cube" breaks down.

🎯 Exam Tip: For cube relations, specifically choose values like 3, 1.5, and 1.3 to disprove transitivity, as the cubes stay very close to the original values.

Question 6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1,2,3} में R = { (1,2), (2,1) } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
Answer: दिया है, A = {1, 2, 3} तथा R = { (1, 2), (2, 1) }
1. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3) \( \notin R \)
2. R सममित है, क्योंकि (1, 2) \( \in R \) और (2, 1) \( \in R \)
3. R संक्रामक नहीं है, क्योंकि R में केवल 2 ही अवयव हैं, जबकि संक्रामक होने के लिए तीन अवयव का होना आवश्यक हैं। यहाँ (1, 2) और (2, 1) सम्बन्ध में हैं, लेकिन इनका संयोजन (1, 1) सम्बन्ध में नहीं है।
अतः 1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है परन्तु R सममित है। इति सिद्धम्
In simple words: The relation only contains (1,2) and (2,1). It's not reflexive because pairs like (1,1) are missing. It is symmetric because for every pair, its reversed version is also present. It's not transitive because having (1,2) and (2,1) requires (1,1) to be there, but it isn't.

🎯 Exam Tip: For a relation to be transitive, if (a, b) and (b, c) are present, (a, c) must also be present. If b = a, then (a, a) must be in the set.

Question 7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में \( R = \{ (x, y) : x \text{ तथा } y \text{ में पेजों की संख्या समान है} \} \) द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
Answer: दिया है, A किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों का समुच्चय है। तथा \( R = \{ (x, y) : x \text{ तथा } y \text{ में पेजों की संख्या समान है} \} \)
1. R स्वतुल्य है, क्योंकि बराबर पृष्ठों वाली प्रत्येक पुस्तक में पृष्ठों की संख्या बराबर होगी।
2. R सममित है, क्योंकि \( x, y \) पुस्तकों में पृष्ठ बराबर हैं तो \( y, x \) पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे।
3. R संक्रामक है, क्योंकि \( x, y \) तथा \( y, z \) पुस्तकों में पृष्ठ बराबर हैं तो \( x, z \) पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे। इस प्रकार के सम्बन्धों का उपयोग डेटाबेस प्रबंधन और सूचना पुन: प्राप्ति में वस्तुओं को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है।
अतः 1, 2 व 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। इसलिए R तुल्यता सम्बन्ध है।
In simple words: This relation links books with the same number of pages. Since every book has the same pages as itself, any two books can have their order swapped, and if three books match in pairs, the first and last match too, it satisfies all properties of an equivalence relation.

🎯 Exam Tip: To score full marks, explicitly state that a relation is an equivalence relation only if it is reflexive, symmetric, and transitive simultaneously.

Question 8. सिद्ध कीजिए कि \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) में, \( R = \{ (a, b) : |a – b| \text{ सम है} \} \) द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं परन्तु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से सम्बन्धित नहीं है।
Answer: हल : दिया है, \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) तथा \( R = \{ (a, b) : |a – b| \text{ एक सम संख्या} \} = \{ (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5) \dots \}
(a) तुल्यता सम्बन्ध सिद्ध करने के लिए प्रश्नावली 1 (A) के प्रश्न 10 का हल देखें।
(b) समुच्चय {1, 3, 5} में \( |1 - 3|, |1 - 5|, |3 - 5| \) सभी सम संख्याएँ हैं। अतः सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। समुच्चय {2, 4} में \( |2 - 4| = 2 \) एक सम संख्या है, अतः ये भी परस्पर सम्बन्धित हैं। परन्तु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के अवयव से सम्बन्धित नहीं है क्योंकि विषम और सम संख्या का अंतर हमेशा विषम होता है। सम और विषम संख्याओं के गुणों का यह अध्ययन अंकगणित के मूलभूत सिद्धांतों को स्पष्ट करता है।
अतः इसमें अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। परन्तु {1, 3, 5}, {2, 4} के अवयव आपस में सम्बन्धित नहीं हैं क्योंकि \( |1 - 2|, |3 - 4|, |3 - 5| \) सम संख्याएँ नहीं हैं। (इति सिद्धम्)
In simple words: A relation where the difference is even means both numbers must be either both even or both odd. That's why numbers within {1,3,5} relate to each other, and numbers within {2,4} relate to each other, but a number from one set cannot relate to the other.

🎯 Exam Tip: Clearly show the calculation of differences for at least one pair from each subset to justify why they are related or not.

Question 9. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय \( A = \{ x \in z : 0 \le x \le 12 \} \), में दिए गए निम्नलिखित सम्बन्धों R में से प्रत्येक एक तुल्यता सम्बन्ध है :
(i) \( R = \{ (a, b) : |a – b|, 4 \text{ का एक गुणज है} \} \),
(ii) \( R = \{ (a, b) : a = b \} \), प्रत्येक दशा में 1 से सम्बन्धित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, \( A = \{x \in z : 0 \le x \le 12\} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots, 12\} \)
(i) \( R = \{ (a, b) : |a – b|, 4 \text{ का एक गुणज है} \} \)
1. R स्वतुल्य है, यदि \( a – a = 0 \)

\( \implies k = 0 \), जो कि 4 का गुणज है।
2. R सममित है, यदि \( |a – b| = |b – a| = 4k \)
3. R संक्रामक है, यदि \( a – b, 4 \) का गुणज है तथा \( b – c, 4 \) का गुणज है। तो \( a – b + b – c = |a – c| \) भी 4 का एक गुणज होगा। यह विश्लेषण समुच्चय सिद्धांत और संख्या प्रणाली के बीच के अंतर्संबंधों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 1 से सम्बन्धित अवयव = {1, 5, 9}

(ii) \( R = \{ (a, b) : a = b \} \)
1. \( a = a \) अतः R स्वतुल्य है।
2. यदि \( a = b \), तो \( b = a \), अतः R सममित है।
3. यदि \( a = b, b = c \)

\( \implies a = c \) अर्थात् \( a, b, c \) तीनों बराबर हैं।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 1 से सम्बन्धित अवयव = { 1 }
In simple words: For the first part, numbers are related if their difference is 0, 4, 8, or 12. For 1, these are 1, 5, and 9. For the second part, a number is only related to itself, so only {1} relates to 1. Both satisfy the three core rules of equivalence.

🎯 Exam Tip: To find elements related to '1', solve the equation \( |1 - x| = 4k \) for integers within the given set range [0, 12].

Question 10. ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो (i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो। (ii) संक्रामक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो। (iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु संक्रामक न हो। (iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किन्तु सममित न हो। (v) सममित तथा संक्रामक हो किन्तु स्वतुल्य न हो।
Answer:
(i) माना A एक समतल में सरल रेखाओं का समुच्चय है तथा \( R = \{ (a, b) : a, b \text{ पर लम्ब है} \} \)
1. रेखा a, b पर लम्ब है तो b रेखा a पर लम्ब है। \( \therefore \) R सममित सम्बन्ध है।
2. R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि रेखा a अपने आप पर ही लम्ब नहीं हो सकती है।
3. R संक्रामक नहीं है, यदि a रेखा b पर लम्ब है, b रेखा c पर लम्ब है तो a रेखा c पर लम्ब नहीं (समांतर) होगी। इन उदाहरणों के माध्यम से हम अमूर्त गणितीय संबंधों की व्यावहारिक अनुप्रयोगों में उपयोगिता को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं।

(ii) माना A एक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। तथा \( R = \{ (a, b) : a > b \} \)
1. R संक्रामक है, यदि \( a > b \) और \( b > c \implies a > c \)
2. R स्वतुल्य नहीं है, a अपने आप से बड़ी संख्या नहीं है।
3. R सममित नहीं है, यदि \( a > b \) तो \( b, a \) से बड़ा नहीं है।

(iii) माना \( A = \{1, 2, 3\} \) तथा \( R = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) \} \) समतुल्य व सममित है। परन्तु संक्रामक नहीं है क्योंकि \( (1, 2) \in R, (2, 3) \in R \), परन्तु \( (1, 3) \notin R \)

(iv) माना \( A = \{1, 2, 3\} \) तथा \( R = \{ (a, b) : a \le b \} = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) \} \)
1. R स्वतुल्य है, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3) \( \in R \)
2. R संक्रामक है, क्योंकि (1, 2), (2, 3) \( \in R \implies (1, 3) \in R \)
3. R सममित नहीं है, यदि \( a < b \) परन्तु \( b, a \) से कम नहीं है।

(v) माना \( A = \{1, 2, 3\} \) तब \( R = \{ (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1) \} \) सममित व संक्रामक है, । परन्तु स्वतुल्य नहीं हैं क्योंकि \( (3, 3) \notin R \)
In simple words: This question asks for counter-examples of relations that have some properties but lack others. For instance, being perpendicular is symmetric but not transitive, while being "greater than" is transitive but not symmetric.

🎯 Exam Tip: When providing examples, always clearly state the set A first, then define the relation R using that set to ensure clarity.

Question 11. सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिन्दुओं के समुच्चय में \( R : \{ ( P, Q : \text{बिन्दु } P \text{ की मूलबिन्दु से दूरी, बिन्दु } Q \text{ की मूलबिन्दु से दूरी के समान है} \} \) द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \( P \ne (0,0) \) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है।
Answer: हल : दिया है, A समतल में बिन्दुओं का समुच्चय है। तथा \( R = \{ ( P, Q) : \text{मूलबिन्दु से } P \text{ तथा } Q \text{ की दूरी समान है} \} = \{ (P, Q) : OP = OQ \} \)
1. R स्वतुल्य है, क्योंकि OP अपने ही बराबर है।
2. R सममित है, क्योंकि \( OP = OQ \implies OQ = OP \)
3. R संक्रामक है, क्योंकि \( OP = OQ, OQ = OR \implies OP = OR \)
1, 2 तथा 3 से स्पष्ट है कि R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अतः R तुल्यता सम्बन्ध है। ज्यामिति में इस प्रकार के संबंध आकृतियों के गुणों को परिभाषित करने और वर्गीकृत करने में सहायक होते हैं।
चूँकि O मूलबिन्दु है तथा P वृत्त की परिधि पर रहता है अर्थात् यदि \( OP = K \implies \) बिन्दु P एक वृत्त पर रहता है जो 0 से K दूरी पर है। अतः बिन्दु \( P \ne (0, 0) \) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है। (इति सिद्धम्)
In simple words: This relation group points that are at the same distance from the center (origin). This is an equivalence relation because points share "equal distance." The set of all such points forms a circle because a circle is defined as all points at a fixed distance from a center.

🎯 Exam Tip: Mention the center of the circle as the origin (0,0) and the radius as the distance OP to completely define the locus of points.

Question 12. सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, \( R = \{ (T_1, T_2) : T_1, T_2, \text{ के समरूप है} \} \) द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज \( T_1 \), भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज \( T_2 \), तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज \( T_3 \) पर विचार कीजिए। \( T_1, T_2 \text{ और } T_3 \) में से कौन-से त्रिभुज परस्पर सम्बन्धित हैं?
Answer: हल : त्रिभुजों की समरूपता का गुण इंजीनियरिंग और वास्तुकला में आकृतियों के सटीक पैमाने निर्धारित करने के लिए मौलिक है।
1. R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है। \( T_1 \sim T_1 \)
2. R सममित है क्योंकि यदि \( T_1 \sim T_2 \implies T_2 \sim T_1 \)
3. R संक्रामक है क्योंकि यदि \( T_1 \sim T_2 \) और \( T_2 \sim T_3 \implies T_1 \sim T_3 \)
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
(i) त्रिभुज \( T_1 \) की भुजाएँ 3, 4, 5 हैं, \( T_2 \) की भुजाएँ 5, 12, 13 हैं तथा \( T_3 \) की भुजाएँ 6, 8, 10 हैं।
चूँकि \( T_1 \) की भुजाओं और \( T_3 \) की भुजाओं का अनुपात: \( \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) है।
अतः \( T_1 \) की भुजाएँ \( T_3 \) की भुजाओं के समानुपाती हैं, इसलिए \( T_1 \) और \( T_3 \) समरूप हैं।
अतः \( T_1 \) तथा \( T_3 \) आपस में सम्बन्धित हैं।
In simple words: Similarity in triangles is an equivalence relation because it's reflexive, reversible, and chainable. For the specific triangles, T1 and T3 are related because their sides (3,4,5 and 6,8,10) are in the same ratio (1:2), meaning they have the same shape.

🎯 Exam Tip: To show similarity between triangles, always calculate the ratio of their corresponding sides; if ratios are equal, the triangles are similar and thus related.

Question 13. सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = { (p1, p2) : p1 तथा p2 की भुजाओं की संख्या समान है } प्रकार से परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 3, 4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से सम्बन्धित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, A समस्त बहुभुजों का समुच्चय है तथा \( R = \{ (p_1, p_2) : p_1, p_2 \text{ की भुजाओं की संख्या बराबर है} \} \)
(i) 1. R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक बहुभुज की भुजाओं की संख्या स्वयं के समान होती है।
2. R सममित है, यदि बहुभुज \( p_1, p_2 \) की भुजाएँ \( n \) हैं तो बहुभुज \( p_2 \) और \( p_1 \) की भुजाएँ भी \( n \) ही होंगी।
3. R संक्रामक है, यदि बहुभुज \( p_1, p_2 \) और \( p_2, p_3 \) प्रत्येक की \( n \) भुजाएँ हैं तो \( p_1 \) और \( p_3 \) की भुजाएँ भी \( n \) ही होंगी। इन गुणों का व्यवस्थित अध्ययन हमें जटिल ज्यामितीय आकृतियों को सरल समूहों में वर्गीकृत करने की शक्ति देता है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
(ii) 3, 4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाला बहुभुज एक त्रिभुज है। अतः इससे सम्बन्धित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय 'समस्त त्रिभुजों का समुच्चय' होगा।
In simple words: This relation groups shapes that have the same number of sides. Since having the same number of sides is consistent for any shape with itself, reversible between two shapes, and chainable across three, it is an equivalence relation. The set of shapes related to a 3-4-5 triangle includes all possible triangles.

🎯 Exam Tip: Identify the specific type of polygon mentioned in the question (like a triangle) to correctly define the set of related elements.

Question 14. मान लीजिए कि XY – तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = { (L1, L2) : L1 समान्तर है L2 के } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है। रेखा y = 2x + 4 से सम्बन्धित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, L किसी XY- तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय है। तथा \( R = \{ (L_1, L_2) : L_1 \text{ समान्तर है } L_2 \text{ के} \} \)
(i) 1. R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक रेखा अपने आप के समान्तर होती है।
2. R सममित है, यदि \( L_1 \) रेखा, \( L_2 \) के समान्तर है तो \( L_2 \) रेखा, \( L_1 \) के भी समान्तर होगी।
3. R संक्रामक है, यदि \( L_1, L_2 \) और \( L_2, L_3 \) समान्तर रेखाएँ हैं तो \( L_1 \) और \( L_3 \) भी समान्तर रेखाएँ होंगी। समांतर रेखाओं का यह गुण यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत स्तंभों में से एक माना जाता है।
अतः R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
(ii) रेखा \( y = 2x + 4 \) के समान्तर रेखाओं का ढाल (m) समान (2) होगा।
अतः \( y = 2x + 4 \) से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय \( \{ y = 2x + c : c \in R \} \) है।
In simple words: Parallelism is an equivalence relation because every line is parallel to itself, if line A is parallel to B then B is parallel to A, and if A matches B and B matches C, then A matches C. Lines parallel to y = 2x + 4 will have the same slope but can have any y-intercept.

🎯 Exam Tip: When finding related lines, remember that parallel lines must have identical coefficients for x and y, differing only in the constant term 'c'.

Question 15. मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में, R = { (1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2) } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।
(a) R स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(b) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
(c) R सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(d) R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
Answer: (b) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
In simple words: The relation is reflexive because it contains (1,1), (2,2), (3,3), and (4,4). It is transitive because all required links like (1,3) and (3,2) having (1,2) are present, but it's not symmetric as (1,2) is there but (2,1) is missing.

🎯 Exam Tip: Quickly check for reflexivity by looking for (a,a) pairs for every element in the set; this often eliminates half of the MCQ options immediately.

Question 16. यदि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N में सम्बन्ध R इस प्रकार है कि \( R = \{ (a, b) : a = b - 2, b > 6 \} \) तो सही उत्तर चुनिए।
(a) (2, 4) ∈ R
(b) (3, 8) ∈ R
(c) (6, 8) ∈ R
(d) (8, 7) ∈ R
Answer: (c) (6, 8) ∈ R
In simple words: Here, the rule is that the first number must be 2 less than the second number, and the second number must be greater than 6. In option (c), 8 is greater than 6, and 6 is exactly 2 less than 8, so it fits perfectly.

🎯 Exam Tip: Always verify all constraints in the relation; here, both \( a = b - 2 \) and \( b > 6 \) must hold true for the correct option.

Exercise 1.2

Question 1. सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = \frac{1}{x} \) द्वारा परिभाषित फलन \( f : R_* \rightarrow R_* \) एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ \( R_* \) सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रान्त \( R_* \) को N से बदल दिया जाए, जबकि सहप्रान्त पूर्ववत \( R_* \) ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
Answer:
(a) दिया है, \( f(x) = \frac{1}{x} \)
(i) यदि \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \implies \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \)
\( \implies x_1 = x_2 \)
अतः प्रान्त के प्रत्येक अवयव का एक ही प्रतिबिम्ब है। इसलिए f एकैकी फलन है। फलनों की एकैकी प्रकृति गणितीय प्रणालियों में विशिष्टता और स्थिरता सुनिश्चित करती है।
(ii) दिया है, \( y \in R_* \), माना \( y = f(x) = \frac{1}{x} \)
\( \implies x = \frac{1}{y} \)
\( y \neq 0 \) के प्रत्येक मान के लिए प्रान्त में एक मान है। सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त में क्रमशः एक ही अवयव का प्रतिबिम्ब है। अतः f आच्छादक फलन है।

(b) यदि प्रान्त \( R_* \) को N से बदल दिया जाता है तब सहप्रान्त \( R_* \) वही रहे तो \( f : N \rightarrow R_* \)
जब \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \implies \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \)
\( \implies x_1 = x_2 \in N \)
\( \implies \) f एकैकी है।
परन्तु सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के अवयव का प्रतिबिम्ब न हो। उदाहरणार्थ— \( \frac{3}{2} \) सहप्रान्त में है तो प्रान्त में \( \frac{2}{3} \notin N \), अर्थात् \( \frac{2}{3} \) प्रान्त में नहीं है। इस प्रकार f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।
In simple words: This function is one-to-one because every unique input gives a unique output. It is onto because every real number in the target has a reciprocal in the source. However, if we only allow whole numbers as inputs, it's not onto anymore because fractions like 0.5 don't have a reciprocal that is a whole number.

🎯 Exam Tip: To prove a function is onto (surjective), show that for any 'y' in the codomain, you can find a corresponding 'x' in the domain such that f(x) = y.

Question 2. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) \( f(x) = x^2 \) द्वारा प्रदत्त \( f : N \rightarrow N \) फलन है।
(ii) \( f(x) = x^2 \) द्वारा प्रदत्त \( f : Z \rightarrow Z \) फलन है।
(iii) \( f(x) = x^2 \) द्वारा प्रदत्त \( f : R \rightarrow R \) फलन है।
(iv) \( f(x) = x^3 \) द्वारा प्रदत्त \( f : N \rightarrow N \) फलन है।
(v) \( f(x) = x^3 \) द्वारा प्रदत्त \( f : Z \rightarrow Z \) फलन है।
Answer:
(i) \( f(x) = x^2, f : N \rightarrow N \)
माना \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \implies x_1^2 = x_2^2 \)
\( \implies x_1 = x_2 \) (क्योंकि \( x_1, x_2 \in N \))। अतः f एकैकी है। सहप्रान्त में ऐसे अवयव (जैसे 3) हैं जो प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं। अतः f आच्छादक नहीं है। गणितीय फलनों का यह वर्गीकरण हमें संबंधों को सरल समूहों में विभाजित करने में मदद करता है।
(ii) \( f(x) = x^2, f : Z \rightarrow Z \)
\( f(-1) = (-1)^2 = 1 \) तथा \( f(1) = (1)^2 = 1 \)। चूंकि \( f(-1) = f(1) \), अतः f एकैकी नहीं है। सहप्रान्त के ऋणात्मक अवयव किसी का प्रतिबिम्ब नहीं हैं, अतः f आच्छादक नहीं है।
(iii) \( f(x) = x^2, f : R \rightarrow R \)
\( f(-1) = f(1) = 1 \)। अतः f एकैकी नहीं है। सहप्रान्त की ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ किसी का प्रतिबिम्ब नहीं हैं, अतः f आच्छादक नहीं है।
(iv) \( f(x) = x^3, f : N \rightarrow N \)
माना \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \implies x_1^3 = x_2^3 \)
\( \implies x_1 = x_2 \)। अतः f एकैकी है। सहप्रान्त के अवयव जैसे 2, 3 पूर्ण घन नहीं हैं, अतः f आच्छादक नहीं है।
(v) \( f(x) = x^3, f : Z \rightarrow Z \)
माना \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \implies x_1^3 = x_2^3 \)
\( \implies x_1 = x_2 \)। अतः f एकैकी है। सहप्रान्त के अवयव जो पूर्ण घन नहीं हैं, किसी के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। अतः f आच्छादक नहीं है।
In simple words: Squaring functions lose their "one-to-one" property when negative numbers are included because -1 and 1 both square to 1. Cubing functions stay one-to-one because every number has a unique cube. Most of these aren't "onto" because many numbers like 2 or 3 aren't perfect squares or cubes.

🎯 Exam Tip: To quickly disprove that a function is injective, find one example where two different input values produce the exact same output value.

Question 3. सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = [x] \) द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन \( f : R \rightarrow R \), न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
Answer: स्पष्ट है कि \( f(x) \) का प्रान्त = R तथा \( f(1.2) = 1 \), \( f(1.9) = 1 \)। प्रान्त के दो भिन्न अवयवों 1.2 और 1.9 का एक ही प्रतिबिम्ब 1 है। अतः \( f : R \rightarrow R \) एकैकी नहीं है। पुनः \( f(x) \) केवल पूर्णांक मान ग्रहण करता है। अतः सह प्रान्त के अपूर्णांक अवयव प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। महत्तम पूर्णांक फलन का उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में डेटा को पूर्णांकों में बदलने के लिए अक्सर किया जाता है। अतः \( f : R \rightarrow R \) आच्छादक नहीं है। अतः \( f : R \rightarrow R \) न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।
In simple words: महत्तम पूर्णांक फलन संख्याओं को नीचे की ओर गोल करता है। चूँकि 1.1 और 1.9 दोनों 1 पर समाप्त होते हैं, यह एकैकी नहीं है। साथ ही, यह केवल पूर्णांक देता है, इसलिए यह अन्य सभी संख्याओं को छोड़ देता है।

🎯 Exam Tip: In the greatest integer function, any range between two integers (e.g., [1, 2)) will map to the same integer, proving it's not injective.

Question 4. सिद्ध कीजिए कि \( f(x) = |x| \) द्वारा प्रदत्त मापांक फलन \( f : R \rightarrow R \), न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा |x| बराबर -x, यदि x ऋण है।
Answer: यहाँ \( f : R \rightarrow R \), जबकि \( f(-1) = |-1| = 1 \), \( f(1) = |1| = 1 \)। प्रान्त के दो भिन्न-भिन्न अवयवों -1 और 1 का परिसर R में एक ही f-प्रतिबिम्ब 1 पर है। चूँकि प्रतिबिम्ब समान है, इसलिए f एकैकी नहीं है। सहप्रान्त की कोई भी ऋणात्मक संख्या प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है क्योंकि मापांक हमेशा धनात्मक होता है। मापांक फलन दूरी की अवधारणा को व्यक्त करने का एक प्रभावी गणितीय तरीका है। अतः f आच्छादक नहीं है। अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
In simple words: मापांक फलन ऋणात्मक संख्याओं को धनात्मक बना देता है। इसलिए, -2 और 2 दोनों 2 बन जाते हैं, जिससे यह एकैकी नहीं रहता। इसके अलावा, यह कभी भी ऋणात्मक परिणाम नहीं देता, इसलिए यह आच्छादक भी नहीं है।

🎯 Exam Tip: Modulus functions are many-to-one on the set of real numbers because they map both x and -x to the same positive value.

Question 5. सिद्ध कीजिए कि \( f : R \rightarrow R \),
\( f(x) = \begin{cases} 1 & \text{यदि } x > 0 \\ 0 & \text{यदि } x = 0 \\ -1 & \text{यदि } x < 0 \end{cases} \)
द्वारा दिया गया चिह्न फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Answer: स्पष्टतया \( f(2) = 1 \) तथा \( f(3) = 1 \)। \( f(2) = f(3) \) जबकि \( 2 \neq 3 \), अतः f एकैकी नहीं है। f का परिसर = {1, 0, -1} जो कि R का उपसमुच्चय है। सह-प्रान्त R में इनके अतिरिक्त अन्य वास्तविक संख्याएँ जैसे 2, 3 आदि किसी के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। गणितीय विश्लेषण में साइनम फलन एक महत्वपूर्ण संकेतक के रूप में कार्य करता है। अतः फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक।
In simple words: यह फलन केवल 1, 0 या -1 उत्तर देता है। चूँकि सभी धनात्मक संख्याएँ (जैसे 2 और 5) 1 पर जाती हैं, यह एकैकी नहीं है। और चूँकि यह केवल तीन ही उत्तर दे सकता है, यह बाकी सभी संख्याओं को छोड़ देता है।

🎯 Exam Tip: For piecewise functions like the signum function, simply show that the range is finite while the codomain is infinite to prove it is not surjective.

Question 6. मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = { (1, 4), (2, 5), (3, 6) } A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
Answer: दिया है, A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} f : A → B इस प्रकार है कि f = { (1, 4 ), ( 2, 5 ), ( 3, 6 ) }। यहाँ A के प्रत्येक अवयव का अलग-अलग प्रतिबिम्ब है। 1 का प्रतिबिम्ब 4 है, 2 का प्रतिबिम्ब 5 है और 3 का प्रतिबिम्ब 6 है। फलनों की इस प्रकार की स्पष्ट मैपिंग जटिल गणनाओं को सरल बनाने में बहुत सहायक होती है। इसलिए f एकैकी है। ( इति सिद्धम् )
In simple words: Group A has numbers 1, 2, 3 and Group B has 4, 5, 6, 7. Each number in A connects to a different number in B, so it is one-to-one.

🎯 Exam Tip: For set-based functions, ensure no two distinct elements of the domain have the same image in the codomain to prove it is injective.

Question 7. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बताइये कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइये।
(i) f(x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
(ii) f(x) = 1 + x² द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
Answer:
(i) यहाँ f : R → R, यदि f(x) = 3 – 4x
(a) f(x₁) = f(x₂)
\( \implies \) 3 – 4x₁ = 3 – 4x₂
\( \implies \) 4x₁ = 4x₂
\( \implies \) x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
(b) माना f(x) = y = 3 – 4x
\( \implies \) x = (3 - y)/4
y के प्रत्येक मान के लिए प्रान्त में एक मान है। अर्थात सहप्रान्त में प्रत्येक अवयव प्रान्त के किसी एक अवयव का प्रतिबिम्ब है। इस रैखिक फलन का ग्राफ एक सीधी रेखा है जो दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक विस्तारित होती है।
\( \therefore \) f आच्छादक है। इसलिए f एकैकी भी है तथा आच्छादक भी है।

(ii) यहाँ f : R → R, यदि f(x) = 1 + x²
(a) माना डोमेन R के दो अवयव a और -a हैं, इसलिए f(a) = 1 + a² तथा f(-a) = 1 + (-a)² = 1 + a²
अतः f, बहु-एक फलन है। \( \therefore \) f एकैकी नहीं है।
(b) पुनः x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (1 + x²) का मान सदैव 1 या 1 से बड़ा होगा। \( \therefore \) परिसर R में 1 से छोटे अवयव (0 तथा ऋणात्मक संख्याएँ), डोमेन R के किसी भी अवयव के f-प्रतिबिम्ब नहीं होंगे। इस फलन का परवलयाकार आकार यह दर्शाता है कि सहप्रान्त के कुछ मान कभी प्राप्त नहीं किए जा सकते। \( \therefore \) f – अन्तःक्षेपी फलन है अर्थात् आच्छादक नहीं है। इसलिए दिया हुआ फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
In simple words: The first function is like a straight line that never turns back, covering everything, so it's bijective. The second function is like a U-shape; different inputs give the same result, and it misses all negative results, so it's neither.

🎯 Exam Tip: Linear functions of the form f(x) = ax + b are always bijective on the set of real numbers, while quadratic functions are generally not.

Question 8. मान लीजिए A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि f (a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादक फलन है।
Answer: f एकैकी है क्योंकि f(a₁, b₁) = f(a₂, b₂)
\( \implies \) (b₁, a₁) = (b₂, a₂)
\( \implies \) b₁ = b₂ और a₁ = a₂
\( \implies \) (a₁, b₁) = (a₂, b₂)।
पुनः माना (b, a), B × A का कोई स्वेच्छ अवयव है तब (b, a) ∈ (B × A)
\( \implies \) b ∈ B, a ∈ A
\( \implies \) (a, b) ∈ (A × B)。
\( \therefore \) प्रत्येक (b, a) ∈ (B × A) के लिए (A × B) में अवयव (a, b) इस प्रकार है कि f(a, b) = (b, a)। यह परिवर्तन मूल रूप से कार्तीय गुणनफल के भीतर तत्वों के क्रम को उलट देता है।
\( \therefore \) f आच्छादक है। अतः f एकैकी आच्छादक है।
In simple words: This function just swaps the first and second item in a pair. Since every pair can be swapped back and forth perfectly, it is both one-to-one and onto.

🎯 Exam Tip: To prove onto for Cartesian products, show that for any general element (y,x) in the codomain, there exists a specific pre-image (x,y) in the domain.

Question 9. दिखाइए कि फलन \( f : N \to N \) जो कि \( f(n) = \begin{cases} \frac{n + 1}{2} & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2} & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases} \) द्वारा परिभाषित है, बहुएक आच्छादक फलन है।
Answer: प्रश्नानुसार, \( f(1) = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) और \( f(2) = \frac{2}{2} = 1 \)
\( \therefore f(1) = f(2) \) जबकि \( 1 \ne 2 \)
\( \therefore f \) एकैकी नहीं है अर्थात् बहुएक है।
पुन: माना \( n \in N \)
यदि \( n \) विषम है तब \( (2n - 1) \) भी विषम होगा और \( f(2n - 1) = \frac{2n - 1 + 1}{2} = \frac{2n}{2} = n \)
यदि \( n \) सम है तो \( 2n \) सम होगा और \( f(2n) = \frac{2n}{2} = n \)
\( \therefore \forall n \in N \) के पूर्व प्रतिबिम्ब N में उपस्थित हैं। फलन के विभिन्न इनपुटों का समान आउटपुट प्राप्त होना गणितीय मानचित्रण में 'बहु-एक' प्रकृति को दर्शाता है।
\( \therefore f \) आच्छादक है।
अतः f बहुएक आच्छादक है।
In simple words: यह फलन हर दो नंबरों की जोड़ी (जैसे 1 और 2) को एक ही नंबर पर भेजता है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। लेकिन चूंकि हर नंबर का कोई न कोई इनपुट मौजूद है, इसलिए यह आच्छादक है।

🎯 Exam Tip: To prove many-to-one, always find at least one pair of distinct inputs that map to the same output.

Question 10. मान लीजिए कि \( A = R \setminus \{ 3 \} \) तथा \( B = R \setminus \{ 1 \} \) हैं। \( f(x) = \frac{x - 2}{x - 3} \) द्वारा परिभाषित फलन \( f : A \to B \) पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Answer: दिया है , \( f : A \to B \), तथा \( A = R \setminus \{ 3 \}, B = R \setminus \{ 1 \} \)
(a) माना \( f(x_1) = f(x_2) \)
\( \implies \frac{x_1 - 2}{x_1 - 3} = \frac{x_2 - 2}{x_2 - 3} \)
\( \implies (x_1 - 2)(x_2 - 3) = (x_2 - 2)(x_1 - 3) \)
\( \implies x_1x_2 - 3x_1 - 2x_2 + 6 = x_1x_2 - 3x_2 - 2x_1 + 6 \)
\( \implies 3x_2 - 2x_2 = 3x_1 - 2x_1 \)
\( \implies x_2 = x_1 \)
\( \therefore f \) एकैकी है।
(b) माना \( y = \frac{x - 2}{x - 3} \)
\( \implies y(x - 3) = x - 2 \implies xy - 3y = x - 2 \)
\( \implies xy - x = 3y - 2 \implies x(y - 1) = 3y - 2 \)
\( \implies x = \frac{3y - 2}{y - 1} \)
इससे सिद्ध होता है कि सहडोमेन R का स्वेच्छ अवयव \( y \ne 1 \), डोमेन R के अवयव x का f-प्रतिबिम्ब है अर्थात् सहडोमेन R का प्रत्येक अवयव, डोमेन R के किसी-न-किसी अवयव का f-प्रतिबिम्ब अवयव है। इस प्रकार के परिमेय फलन कैलकुलस में सीमा और निरंतरता के अध्ययन के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं। फलन f का परिसर = सहडोमेन R
फलन f आच्छादक है। इसलिए दिया हुआ फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
In simple words: यह फलन एकैकी है क्योंकि अलग-अलग इनपुट से हमेशा अलग आउटपुट मिलता है। यह आच्छादक भी है क्योंकि हम किसी भी परिणाम (1 को छोड़कर) के लिए सही इनपुट ढूँढ सकते हैं।

🎯 Exam Tip: For rational functions, use cross-multiplication to prove injectivity and solve for x in terms of y to prove surjectivity.

Question 11. मान लीजिए : \( R \to R; f(x) = x^4 \) द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
(a) एकैकी आच्छादक है।
(b) f बहुएक आच्छादक है।
(c) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है,
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Answer: (d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
In simple words: चूँकि \( (-1)^4 = 1 \) और \( (1)^4 = 1 \), यह एकैकी नहीं है। साथ ही, किसी भी संख्या की घात 4 कभी ऋणात्मक नहीं होती, इसलिए यह ऋणात्मक उत्तर नहीं दे सकता, जिससे यह आच्छादक भी नहीं रहता।

🎯 Exam Tip: Even powers like \( x^2, x^4, x^6 \) on the set of real numbers are always many-to-one and never surjective if the codomain includes negative numbers.

Question 12. मान लीजिए कि \( f(x) = 3x \) द्वारा परिभाषित फलन \( f : R \rightarrow R \) है। सही उत्तर चुनिए :
(a) f एकैकी आच्छादक है।
(b) f बहुएक आच्छादक है।
(c) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Answer: (a) f एकैकी आच्छादक है।
In simple words: This is a straight-line function where every unique input gives a unique output, making it one-to-one. Since it covers the entire range of real numbers without any gaps, it is also onto.

🎯 Exam Tip: For any linear function \( f(x) = ax + b \) where \( a \neq 0 \), the function is always a bijection (one-to-one and onto) on the set of real numbers.

Exercise 1.3

Question 1. मान लीजिए कि \( f : \{1, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 5\} \) तथा \( g : \{1, 2, 5\} \rightarrow \{1, 3\} \), \( f = \{ (1, 2), (3, 5), (4, 1) \} \) तथा \( g = \{ (1, 3), (2, 3), (5, 1) \} \) द्वारा प्रदत्त हैं। \( gof \) ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है, \( f : \{ 1, 3, 4 \} \rightarrow \{ 1, 2, 5 \} \) तथा \( g : \{ 1, 2, 5 \} \rightarrow \{ 1 , 3 \} \).
यहाँ \( f(1) = 2, f(3) = 5, f(4) = 1 \)
और \( g(1) = 3, g(2) = 3, g(5) = 1 \)
अब,
\( (gof)(1) = g(f(1)) = g(2) = 3 \)
\( (gof)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1 \)
\( (gof)(4) = g(f(4)) = g(1) = 3 \)
इसलिए \( gof = \{ (1, 3), (3, 1), (4, 3) \} \). फलनों का संयोजन गणितीय प्रक्रियाओं की एक श्रृंखला की तरह है जहाँ एक का परिणाम दूसरे के लिए इनपुट बन जाता है।
In simple words: Function composition is like a relay race. First, you apply function 'f' to a number, and then you apply function 'g' to that result. For example, f sends 1 to 2, and then g sends that 2 to 3, so 'gof' sends 1 straight to 3.

🎯 Exam Tip: To find \( gof \), always start from the inner function \( f \) and use its output as the input for the outer function \( g \).

Question 2. मान लीजिए कि \( f, g \) तथा \( h, R \) से \( R \) तक दिए फलन हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) \( (f + g) oh = foh + goh \)
(ii) \( (f \cdot g) oh = (foh) \cdot (goh) \)
Answer: मान लीजिए \( x \in R \) एक स्वेच्छ अवयव है।
(i) \( ((f+g)oh)(x) = (f+g)(h(x)) \)
\( \implies f(h(x)) + g(h(x)) = (foh)(x) + (goh)(x) \)
इसलिए \( (f + g) oh = foh + goh \)
(ii) \( ((f \cdot g)oh)(x) = (f \cdot g)(h(x)) \)
\( \implies f(h(x)) \cdot g(h(x)) = (foh)(x) \cdot (goh)(x) \)
इसलिए \( (f \cdot g) oh = (foh) \cdot (goh) \). (इति सिद्धम्)
यह सिद्ध करता है कि फलनों का संयोजन योग और गुणन की क्रियाओं के साथ वितरण नियम का पालन करता है।
In simple words: This question proves that applying a combined function (sum or product) to another function is the same as applying each part separately and then adding or multiplying the results. It's like saying shared homework is the same as each person doing their part and putting it together.

🎯 Exam Tip: Use the basic definition of function composition \( (foh)(x) = f(h(x)) \) to expand both sides of the equation for a clear proof.

Question 3. gof तथा fog ज्ञात कीजिए, यदि (i) \( f(x) = |x| \) तथा \( g(x) = |5x - 2| \) (ii) \( f(x) = 8x^3 \) तथा \( g(x) = x^{1/3} \)
Answer:
(i) \( f(x) = |x| \), \( g(x) = |5x - 2| \)
\( gof(x) = g(f(x)) = g(|x|) = |5|x| - 2| \)
\( fog(x) = f(g(x)) = f(|5x - 2|) = ||5x - 2|| = |5x - 2| \)

(ii) \( f(x) = 8x^3 \), \( g(x) = x^{1/3} \)
\( gof(x) = g(f(x)) = g(8x^3) = (8x^3)^{1/3} = 2x \)
\( fog(x) = f(g(x)) = f(x^{1/3}) = 8(x^{1/3})^3 = 8x \). फलनों का संयोजन कलन और बीजगणित के कई क्षेत्रों में जटिल समस्याओं को सरल चरणों में विभाजित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
In simple words: To find 'gof', we put the entire 'f' function into 'g'. To find 'fog', we put 'g' into 'f'. It's like doing two math operations in a specific order.

🎯 Exam Tip: Be careful with signs and brackets when nesting functions, especially with modulus or powers, to avoid common calculation errors.

Question 4. यदि \( f(x) = \frac { 4x+3 }{ 6x-4 } ,x \ne \frac { 2 }{ 3 } \) तो सिद्ध कीजिए कि सभी \( x \ne \frac { 2 }{ 3 } \) के लिए \( fof(x) = x \) है। f का प्रतिलोम फलन क्या है?
Answer: दिया है, \( f(x) = \frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \)
\( fof(x) = f(f(x)) = \frac { 4(\frac{4x+3}{6x-4})+3 }{ 6(\frac{4x+3}{6x-4})-4 } \)

\( \implies \frac { \frac{16x+12+18x-12}{6x-4} }{ \frac{24x+18-24x+16}{6x-4} } \)

\( \implies \frac { 34x }{ 34 } = x \)
चूंकि \( fof(x) = x \) है, इसलिए फलन f स्वयं का ही प्रतिलोम है। एक फलन जो स्वयं का प्रतिलोम होता है, उसे 'इनवोल्यूशन' (involution) कहा जाता है, जो गणितीय समरूपता का एक उत्कृष्ट उदाहरण है।
अतः \( f^{-1} = f \).
In simple words: This function is special—if you apply it twice, you get the original number back. This means the function is its own inverse, like flipping a switch twice returns it to the start.

🎯 Exam Tip: Whenever \( f(f(x)) = x \), you can directly conclude that the function's inverse is the function itself without further calculation.

Question 5. कारण सहित बताइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम हैं?
(i) f : {1, 2, 3, 4} → {10} जहाँ f = {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}
(ii) g: {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4} जहाँ g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
(iii) h : {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} जहाँ h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}
Answer:
(i) नहीं, क्योंकि f एकैकी नहीं है (यह एक 'बहु-एक' फलन है जहाँ सभी इनपुट 10 पर जाते हैं)। प्रतिलोम फलन का अस्तित्व केवल तभी संभव है जब फलन पूरी तरह से एकैकी और आच्छादक हो, जो सूचना के सटीक उत्क्रमण को सुनिश्चित करता है।
(ii) नहीं, क्योंकि g एकैकी नहीं है। यहाँ g(5) = 4 और g(7) = 4 है, अर्थात् दो अलग इनपुट का एक ही आउटपुट है।
(iii) हाँ, क्योंकि h एकैकी तथा आच्छादक दोनों है। प्रत्येक इनपुट का एक अनोखा आउटपुट है और सहप्रान्त के सभी मान कवर हो रहे हैं।
In simple words: A function can only have an inverse if it works perfectly both ways—every unique input must have a unique output. In the first two, different inputs give the same result, so they can't be reversed accurately.

🎯 Exam Tip: To check if an inverse exists, always verify if the function is a 'bijection' (both one-to-one and onto).

Question 6. सिद्ध कीजिए कि \( f : [-1, 1] \to Y; f(x) = \frac{x}{x+2}, x \neq -2 \) तथा \( Y = \text{परिसर} (f) \) तो दिखाइए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा \( f^{-1} \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) एकैकी के लिए: \( f(x_1) = f(x_2) \implies \frac{x_1}{x_1+2} = \frac{x_2}{x_2+2} \)
\( \implies x_1(x_2 + 2) = x_2(x_1 + 2) \implies x_1x_2 + 2x_1 = x_1x_2 + 2x_2 \implies x_1 = x_2 \)
अतः \( f \) एकैकी है। फलनों की एकैकी प्रकृति यह सुनिश्चित करती है कि प्रत्येक विशिष्ट इनपुट के लिए एक विशिष्ट आउटपुट प्राप्त हो।
(ii) आच्छादक के लिए: चूंकि \( Y = \text{परिसर} (f) \) दिया गया है, इसलिए सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है। अतः f आच्छादक है। चूंकि f एकैकी आच्छादक है, इसलिए यह व्युत्क्रमणीय है।
प्रतिलोम ज्ञात करना: माना \( y = f(x) = \frac{x}{x+2} \)
\( \implies y(x + 2) = x \implies xy + 2y = x \implies x - xy = 2y \implies x(1 - y) = 2y \)
\( \implies x = \frac{2y}{1 - y} \)
अतः प्रतिलोम फलन \( f^{-1}(y) = \frac{2y}{1 - y}, y \neq 1 \).
In simple words: किसी फलन का उल्टा (inverse) निकालने के लिए पहले यह साबित करना होता है कि वह 'एकैकी' (one-to-one) और 'आच्छादक' (onto) है। इस फलन के लिए, हमने X का मान Y के पदों में निकालकर उसका उल्टा रूप प्राप्त किया है।

🎯 Exam Tip: जब सहप्रान्त (codomain) को परिसर (range) के बराबर दिया गया हो, तो फलन को आच्छादक (surjective) सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं होती, वह स्वतः ही आच्छादक होता है।

Question 7. \( f(x) = 4x + 3 \) द्वारा प्रदत्त फलन \( f : R \to R \) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) एकैकी: माना \( f(x_1) = f(x_2) \implies 4x_1 + 3 = 4x_2 + 3 \implies 4x_1 = 4x_2 \implies x_1 = x_2 \)। अतः f एकैकी है।
(ii) आच्छादक: माना \( y = 4x + 3 \implies x = \frac{y-3}{4} \)। चूंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या \( y \) के लिए \( x \) भी वास्तविक है, इसलिए f आच्छादक है। रेखीय फलन हमेशा व्युत्क्रमणीय होते हैं क्योंकि उनका ग्राफ एक निरंतर बढ़ती या घटती हुई रेखा होती है।
चूंकि f एकैकी और आच्छादक है, इसलिए f व्युत्क्रमणीय है।
अतः प्रतिलोम फलन \( f^{-1}(y) = \frac{y - 3}{4} \). (इति सिद्धम्)
In simple words: यह एक सीधा फलन है जहाँ हर नंबर के लिए एक अलग उत्तर मिलता है। इसका उल्टा निकालने के लिए, हमने बस समीकरण को हल करके 'x' को अकेला किया, जिससे हमें प्रतिलोम मिल गया।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए हमेशा \( y = f(x) \) मानकर \( x \) का मान \( y \) के पदों में निकालें।

Question 8. \( f(x) = x^2 + 4 \) द्वारा प्रदत्त फलन \( f : R_+ \to [4, \infty) \) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f का प्रतिलोम \( f^{-1}(y) = \sqrt{y-4} \) द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ \( R_+ \) सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
Answer:
(i) एकैकी: माना \( f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 + 4 = x_2^2 + 4 \implies x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2 \) (चूंकि \( x \in R_+ \), इसलिए ऋण मान संभव नहीं है)। अतः f एकैकी है।
(ii) आच्छादक: माना \( y = x^2 + 4 \implies x^2 = y - 4 \implies x = \sqrt{y - 4} \)। चूंकि सहप्रान्त में \( y \ge 4 \) है, इसलिए \( y - 4 \) हमेशा धनात्मक या शून्य होगा और \( x \) का मान वास्तविक होगा। इस प्रकार के फलनों का डोमेन सीमित करने से हम उन्हें व्युत्क्रमणीय बनाने में सफल होते हैं।
अतः f व्युत्क्रमणीय है तथा इसका प्रतिलोम \( f^{-1}(y) = \sqrt{y - 4} \) है। (इति सिद्धम्)
In simple words: किसी संख्या का वर्ग (square) धनात्मक होता है, इसलिए यह फलन केवल 4 या उससे बड़ी संख्याएं देता है। इसका उल्टा वर्गमूल (square root) है, जो केवल तभी काम करता है जब हम धनात्मक संख्याओं की बात करें।

🎯 Exam Tip: वर्ग वाले फलनों में डोमेन \( R_+ \) होने पर ही वे एकैकी होते हैं; यदि डोमेन \( R \) (पूर्ण वास्तविक संख्याएं) होता, तो यह व्युत्क्रमणीय नहीं होता।

Question 9. यदि \( f : R^+ \to [-5, \infty): f(x) = 9x^2 + 6x – 5 \) तो सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा \( f^{-1}(y) = \frac { \sqrt { y+6 } -1 }{ 3 } \)
Answer: हल : उपरोक्त प्रश्न की भाँति स्वयं हल करें। चूँकि फलन का परिसर दिए गए सहप्रान्त के बराबर है, यह आच्छादक प्रकृति को भी पुष्ट करता है।
In simple words: यह एक द्विघातीय फलन है जिसका प्रतिलोम निकालने के लिए हमें पूर्ण वर्ग (complete square) विधि का उपयोग करना होता है। इसके बाद x का मान y के पदों में निकालने पर प्रतिलोम प्राप्त हो जाता है।

🎯 Exam Tip: जटिल समीकरणों के प्रतिलोम में \( (a+b)^2 \) के सूत्र का उपयोग करके पूर्ण वर्ग बनाना सबसे आसान तरीका है।

Question 10. मान लीजिए कि \( f : X \to Y \) एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f को प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।
Answer: माना \( f : X \to Y \) तथा \( f \) के व्युत्क्रमणीय है। यदि संभव है तो माना इसके दो प्रतिलोम \( g \) और \( h \) हैं। तथा \( (fog) = I_Y \) तथा \( (foh) = I_Y \) [प्रत्येक, \( I_Y(Y) \) में बराबर है]

\( \implies (fog)(y) = (foh)(y) \quad \forall y \in Y \)

\( \implies f[g(y)] = f[h(y)] \quad \forall y \in Y \)

\( \implies g(y) = h(y) \quad \forall y \in Y \) [\( \because f \) एकैकी है]
यह प्रमेय फलनों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्योंकि यह फलन के प्रतिलोम की स्थिरता सुनिश्चित करता है। अर्थात् \( f \) का प्रतिलोम अद्वितीय है।
In simple words: यह प्रश्न यह साबित करता है कि किसी फलन का केवल एक ही उल्टा (inverse) हो सकता है। अगर हम दो अलग-अलग उल्टे मान लें, तो गणितीय रूप से वे अंत में एक ही साबित हो जाते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम की अद्वैतता सिद्ध करने के लिए हमेशा 'विरोधोक्ति' (contradiction) विधि या 'दो मान' मानकर उन्हें बराबर सिद्ध करने वाली विधि का उपयोग करें।

Question 11. \( f : \{ 1, 2, 3 \} \to \{ a, b, c \}, f (1) = a, f (2) = b \) तथा \( f (3) = c \) द्वारा प्रदत्त फलन \( f \) पर विचार कीजिए। \( f^{-1} \) ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि \( (f^{-1})^{-1} = f \) है।
Answer: दिया है, \( f : \{ 1, 2, 3 \} \to \{ a, b, c \} \) इस प्रकार हैं कि \( f(1) = a, f(2) = b \) तथा \( f(3) = c \)

\( \implies f = \{ (1, a), (2, b), (3, c) \} \)
माना \( X = \{ 1, 2, 3 \} \) तथा \( Y = \{ a, b, c \} \)

\( \therefore f : X \to Y \implies f^{-1} : Y \to X \)
\( f(1) = a, f(2) = b \) तथा \( f(3) = c \) से,
\( f^{-1}(a) = 1, f^{-1}(b) = 2, f^{-1}(c) = 3 \)

\( \therefore f^{-1} = \{ (a, 1), (b, 2), (c, 3) \} \)

\( \implies (f^{-1})^{-1} : X \to Y \)
\( (f^{-1})^{-1}(1) = a, (f^{-1})^{-1}(2) = b, (f^{-1})^{-1}(3) = c \)
फलनों की यह प्रतिवर्ती प्रकृति (reversibility) हमें संबंधों के बीच दोतरफा मार्ग प्रदान करती है।

\( (f^{-1})^{-1} = \{ (1, a), (2, b), (3, c) \} = f \). (इति सिद्धम्)
In simple words: यह वैसा ही है जैसे किसी चीज़ को दो बार उल्टा करने पर वह फिर से सीधी हो जाती है। 'f' को उल्टा किया तो 'f-1' मिला, और उसे फिर से उल्टा किया तो वापस 'f' मिल गया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में फलनों को क्रमित युग्म (ordered pairs) के रूप में लिखकर हल करने से गलती होने की संभावना कम रहती है।

Question 12. मान लीजिए कि \( f : A \to B \) एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि \( f^{-1} \) का प्रतिलोम \( f \) है अर्थात् \( (f^{-1})^{-1} = f \) है।
Answer: माना \( f : A \to B \) एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
\( \implies f^{-1} \circ f = I_A \) तथा \( f \circ f^{-1} = I_B \)
स्पष्टतया \( f^{-1} : B \to A \) व्युत्क्रमणीय है और फलन \( f : A \to B \), \( f^{-1} \) का प्रतिलोम है। फलनों की यह पारस्परिक प्रतिलोमता गणितीय संक्रियाओं को पूर्ववत करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करती है।
अतः \( (f^{-1})^{-1} = f \). (इति सिद्धम्)
In simple words: किसी फलन के उल्टे (inverse) को फिर से उल्टा करने पर हमें वापस मूल फलन ही प्राप्त होता है। यह गणितीय समरूपता का एक मूलभूत सिद्धांत है।

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रमणीयता सिद्ध करने के लिए तत्समक फलनों (identity functions \( I_A \) और \( I_B \)) का उपयोग करना एक मानक और प्रभावी तरीका है।

Chapter 1 Relations And Functions Ex 1.4

Question 1. प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 1 व हल देखें।
Answer: प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 1 व हल देखें।
In simple words: यह प्रश्न पूर्व में दी गई प्रश्नावली 1(D) के पहले प्रश्न के समान है।

🎯 Exam Tip: परीक्षाओं में अक्सर पिछले अभ्यास के प्रश्नों के आधार पर अवधारणाएं पूछी जाती हैं, इसलिए संदर्भ प्रश्नों का अभ्यास भी महत्वपूर्ण है।

Question 2. प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 2 व हल देखें।
Answer: प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 2 व हल देखें।
In simple words: यह प्रश्न प्रश्नावली 1(D) के दूसरे प्रश्न के संदर्भ में है।

🎯 Exam Tip: गणितीय संक्रियाओं के प्रकारों को समझने के लिए विभिन्न प्रश्नावलियों के तुलनात्मक प्रश्नों को हल करना लाभदायक होता है।

Question 3. प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 16 व हल देखें।
Answer: प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 16 व हल देखें। द्विआधारी संक्रियाओं के विभिन्न गुणों को समझने के लिए पिछले अध्यायों के उदाहरणों का संदर्भ लेना बहुत प्रभावी होता है।
In simple words: This question refers to problem 16 from exercise 1(D) for its solution.

🎯 Exam Tip: References like these indicate that certain concepts are repeated across different exercises; mastering the base concept helps solve multiple related problems.

Question 4. प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 17 व हल देखें।
Answer: प्रश्नावली 1(D) का प्रश्न 17 व हल देखें।
In simple words: This question points to the solution of problem 17 in exercise 1(D).

🎯 Exam Tip: Pay attention to the logic used in operation tables, as questions often ask you to compare or derive new tables based on existing ones.

Question 5. मान लीजिए कि समुच्चय { 1,2,3,4,5 } में एक द्विआधारी संक्रिया *', \( a *' b = a \) तथा \( b \) का HCF द्वारा परिभाषित है। क्या संक्रिया *' उपर्युक्त प्रश्न 4 में परिभाषित संक्रिया * के समान है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
Answer: प्रश्नानुसार, समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} संक्रिया \( a *' b = \text{H.C.F. of } a \text{ and } b \) द्वारा परिभाषित है। द्विआधारी संक्रिया *' के लिए सारणी निम्नलिखित होगी:

यह संक्रिया सारणी प्रश्न 4 में दी गई संक्रिया सारणी के समान है। अतः द्विआधारी संक्रिया *' तथा * समान होगी। द्विआधारी संक्रियाओं की तुलना करना हमें उनके अंतर्निहित व्यवहार और संरचनात्मक समानता को समझने में मदद करता है।
In simple words: Here, the operation calculates the Highest Common Factor (HCF) for pairs of numbers from 1 to 5. After filling the table, we see it perfectly matches the table from the previous question, proving both operations are identical.

🎯 Exam Tip: When asked to compare operations, draw a full operation table (Cayley table) for the new operation; it's the most robust way to prove equality visually.

Question 6. मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, \( a * b = \text{LCM of } a \text{ and } b \) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए।
(i) 5 * 7, 20 * 16
(ii) क्या संक्रिया * क्रमविनिमेय है?
(iii) क्या * साहचर्य है?
(iv) N में * का तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।
(v) N के कौन-से अवयव * संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?
Answer:
(i) 5 * 7 = 5 व 7 का L.C.M. = 35
20 * 16 = 20 वे 16 का L.C.M. = 80
(ii) \( a * b = \text{LCM}(a, b) \) तथा \( b * a = \text{LCM}(b, a) \)। चूंकि \( a \) और \( b \) का लघुत्तम समापवर्त्य वही होता है जो \( b \) और \( a \) का होता है।
\( \implies a * b = b * a \). अतः संक्रिया * क्रमविनिमेय है।
(iii) \( a * (b * c) = \text{LCM}(a, \text{LCM}(b, c)) = \text{LCM}(a, b, c) \)
\( (a * b) * c = \text{LCM}(\text{LCM}(a, b), c) = \text{LCM}(a, b, c) \)
\( \because a * (b * c) = (a * b) * c \). लघुत्तम समापवर्त्य की यह संक्रिया संख्या सिद्धांत के अध्ययन में अत्यंत महत्वपूर्ण है।
\( \implies \) अतः संक्रिया * साहचर्य है।
(iv) N में संक्रिया * का तत्समक अवयव 1 है क्योंकि \( 1 * a = \text{LCM}(1, a) = a \) और \( a * 1 = \text{LCM}(a, 1) = a \)।
(v) यदि \( a * b = 1 \), तो \( \text{LCM}(a, b) = 1 \)। यह केवल तभी संभव है जब \( a = 1 \) और \( b = 1 \) हो। अतः केवल अवयव 1 ही व्युत्क्रमणीय है।
In simple words: यहाँ संक्रिया का अर्थ दो संख्याओं का एलसीएम (LCM) निकालना है। एलसीएम निकालना क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है, और 1 इसका तत्समक अवयव है क्योंकि किसी भी संख्या और 1 का एलसीएम वही संख्या होती है।

🎯 Exam Tip: Always check identity first by solving \( a * e = a \) and ensure \( e * a = a \) gives the same result to verify it works correctly for all natural numbers.

Question 10. प्रश्न 9 में दी गई संक्रियाओं में किसी का तत्समक है, वह बताइए। हल :
(i) दिया है, \( a * b = a – b \) यदि e तत्समक अवयव हो तब ।
(ii) दिया है, \( a * b = a^2 + b^2 \)
(iii) दिया है, \( a * b = a + ab \)
(iv) दिया है, \( a * b = (a – b)^2 \)
(v) दिया है, \( a * b = \frac{ab}{4} \)
Answer:
(i) \( a * e = a – e \) तथा \( e * a = e – a \)। यहाँ \( a – e \neq e – a \). अतः तत्समक अवयव का अस्तित्व नहीं है।
(ii) \( a * e = a^2 + e^2 \) तथा \( e * a = e^2 + a^2 \)। यहाँ \( a * e = e * a \neq a \). अतः तत्समक अवयव का अस्तित्व नहीं है।
(iii) \( a * e = a + ae \) तथा \( e * a = e + ea \)। यहाँ \( a * e \neq e * a \neq a \). अतः तत्समक अवयव का अस्तित्व नहीं है।
(iv) \( a * e = (a – e)^2 \neq a \) तथा \( e * a = (e – a)^2 \neq a \)। अतः तत्समक अवयव का अस्तित्व नहीं है।
(v) माना e तत्समक अवयव है, तब \( a * e = a \implies \frac{ae}{4} = a \implies e = 4 \)। तत्समक अवयव की उपस्थिति द्विआधारी संक्रियाओं को एक समूह संरचना प्रदान करती है। इसी प्रकार \( e * a = \frac{ea}{4} = a \implies e = 4 \)। अतः यहाँ तत्समक अवयव 4 है।
In simple words: किसी संक्रिया के लिए 'तत्समक अवयव' वह संख्या है जिसे किसी अन्य संख्या के साथ उपयोग करने पर मूल संख्या नहीं बदलती। जैसे गुणा के लिए 1 और जोड़ के लिए 0 होता है। यहाँ केवल पाँचवीं संक्रिया में 4 ऐसा अवयव है।

🎯 Exam Tip: For an identity element 'e' to exist, it must satisfy both \( a * e = a \) and \( e * a = a \) for all 'a' in the given set simultaneously.

Question 12. बताइए कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं। औचित्य भी बताइए।
(i) समुच्चय N में किसी भी स्वेच्छ द्विआधारी संक्रिया * के लिए \( a * a = a, \forall a \in N \)
(ii) यदि N में * किसी क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है तो \( a * (b * c) = (c * b) * a \)
Answer:
(i) यह कथन असत्य है। उदाहरण के लिए, यदि संक्रिया जोड़ (\( + \)) है, तो \( 2 + 2 = 4 \), जो कि 2 के बराबर नहीं है। गणितीय कथनों की सत्यता की जाँच करना तार्किक कौशल को विकसित करने का एक प्रभावी तरीका है।
(ii) यह कथन सत्य है। चूंकि संक्रिया क्रमविनिमेय है, इसलिए \( b * c = c * b \)।

\( \implies (c * b) * a = (b * c) * a \)

\( \implies (b * c) * a = a * (b * c) \). अतः दोनों पक्ष बराबर हैं।
In simple words: हर संक्रिया में \( a * a = a \) होना ज़रूरी नहीं है, जैसे जोड़ में \( 2+2=4 \) होता है, 2 नहीं। लेकिन यदि संक्रिया क्रमविनिमेय है, तो हम पदों के क्रम को बदलकर कथन की सत्यता साबित कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: To prove a statement false, providing just one counter-example is sufficient. To prove it true, use algebraic properties like commutativity to show equality.