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Detailed Chapter 5 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण RBSE Solutions for Class 9 Mathematics
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Class 9 Mathematics Chapter 5 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण RBSE Solutions PDF
Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Chapter 5 समतल ज्यामिती परिचय एवं रेखाएँ व कोण Miscellaneous Exercise
विविध प्रश्नमाला
Question 1. चित्र में, यदि AB || CD || EF, PQ || RS, ∠RQD = 25° और ∠CQP = 60° है, तो ∠QRS बराबर है:
(A) 85°
(B) 135°
(C) 145°
(D) 110°
Answer: (C) 145°
In simple words: जब समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो संगत कोण, एकांतर कोण और क्रमागत आंतरिक कोणों का उपयोग करके अज्ञात कोणों का मान निकाला जा सकता है। यहाँ पर हम कोणों के गुणों का उपयोग करके ∠QRS का मान ज्ञात करते हैं।
🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं से संबंधित सभी कोणों के गुणों को याद रखें, जैसे एकांतर आंतरिक कोण, संगत कोण और क्रमागत आंतरिक कोण, क्योंकि यह ज्यामिति के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।
Question 2. चित्र में, POQ एक सरल रेखा है। x का मान है:
(A) 20°
(B) 25°
(C) 30°
(D)
Answer: (A) 20°
In simple words: एक सीधी रेखा पर बने सभी कोणों का योग 180° होता है। यदि कुछ कोण एक सीधी रेखा पर बनते हैं, तो उन सभी कोणों को जोड़ने पर 180° आना चाहिए। यहाँ इस नियम का उपयोग करके हम x का मान ज्ञात कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: सीधी रेखा पर कोणों का योग हमेशा 180° होता है, इस नियम का उपयोग रैखिक युग्म या एक सीधी रेखा पर बने कई कोणों वाले प्रश्नों को हल करने के लिए करें।
Question 3. चित्र में, x का मान ज्ञात कीजिए:
(A) 40°
(B) 50°
(C) 60°
(D) 70°
Answer: (C) 60°
In simple words: जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं और क्रमागत आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इन गुणों का उपयोग करके x का मान निकाला जा सकता है।
🎯 Exam Tip: पूरक कोणों और संपूरक कोणों के बीच के अंतर को समझें, क्योंकि ये अवधारणाएँ कोणों से संबंधित समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।
Question 4. चित्र में, वृहत् कोण, ∠AOB बराबर है:
(A) 60°
(B) 120°
(C) 300°
(D) 360°
Answer: (C) 300°
In simple words: वृहत् कोण वह कोण होता है जिसका माप 180° से अधिक और 360° से कम होता है। एक बिंदु के चारों ओर कुल कोण 360° होता है, तो दिया गया कोण ज्ञात होने पर वृहत् कोण को 360° में से घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: वृहत् कोण हमेशा 180° से बड़ा होता है। यदि आपको आंतरिक कोण दिया गया है, तो वृहत् कोण को 360° में से आंतरिक कोण को घटाकर निकालें।
Question 5. चित्र में, दो सरल रेखाएँ AB तथा CD एक दूसरे को O बिन्दु पर प्रतिच्छेद कर रही हैं और इस प्रकार बिन्दु O पर बने कोण अंकित हैं। यहाँ ∠x – 2y का मान है:
(A) 56°
(B) 118°
(C) 62°
(D) 180°
Answer: (A) 56°
In simple words: जब दो सीधी रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो शीर्ष कोण बराबर होते हैं और एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है। इन नियमों का उपयोग करके, हम कोण x और y का मान ज्ञात कर सकते हैं और फिर x – 2y का मान निकाल सकते हैं।
🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदी रेखाओं में, शीर्ष कोण हमेशा बराबर होते हैं, और एक सीधी रेखा पर आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इन अवधारणाओं को समझने से इस प्रकार के प्रश्नों को आसानी से हल किया जा सकता है।
Question 6. चित्र में, बताइए कि निम्न में कौनसा कोण युग्म, संगत कोण नहीं है:
(A) ∠2, ∠5
(B) ∠3, ∠6
(C) ∠4, ∠7
(D) ∠3, ∠5
Answer: (D) ∠3, ∠5
In simple words: संगत कोण हमेशा समान स्थिति में होते हैं, जैसे ऊपरी-बाएँ, ऊपरी-दाएँ, निचले-बाएँ या निचले-दाएँ। जो कोण इस नियम का पालन नहीं करते, वे संगत कोण नहीं होते हैं।
🎯 Exam Tip: संगत कोण, एकांतर आंतरिक कोण और एकांतर बाहरी कोणों की पहचान करना सीखें, क्योंकि यह समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं से संबंधित समस्याओं को हल करने का आधार है।
Question 7. चित्र में दो समान्तर रेखाएँ l तथा m को एक तिर्यक रेखा n, बिन्दुओं G तथा H पर काट रही है, इस प्रकार बनने वाले कोण चित्र में अंकित है। यदि ∠1 न्यूनकोण हो तो, बताइए निम्न में से कौनसा कथन असत्य है:
Answer: (D)
In simple words: समानांतर रेखाओं को तिर्यक रेखा काटने पर बनने वाले कोणों के विभिन्न गुणों (जैसे संगत, एकांतर, क्रमागत आंतरिक कोण) का उपयोग करके कथनों की सत्यता की जाँच की जाती है। यदि ∠1 एक न्यूनकोण है, तो अन्य कोणों के मान भी उसी के अनुसार होते हैं।
🎯 Exam Tip: यह समझने के लिए कि एक कथन सत्य है या असत्य, हमेशा रेखाओं और कोणों के गुणों का उपयोग करें। यदि ∠1 न्यूनकोण है, तो सभी संगत और एकांतर कोण भी न्यूनकोण होंगे।
Question 8. चित्र से ∠x का मान बताइए।
Answer: रेखा RS एक सरल रेखा है।
इसलिए, रेखा RS पर बने कोणों का योग 180° होगा।
\( \angle x + 140° = 180° \) (रैखिक कोण युग्म)
\( \implies \angle x = 180° - 140° \)
\( \implies \angle x = 40° \)
In simple words: क्योंकि \( \angle x \) और \( 140° \) एक सीधी रेखा बनाते हैं, उनका कुल माप 180° होना चाहिए। इसलिए \( \angle x \) को 180° में से 140° घटाकर निकाला जा सकता है।
🎯 Exam Tip: जब दो कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे एक रैखिक युग्म कहलाते हैं और उनका योग हमेशा 180° होता है। यह गुण अक्सर अज्ञात कोणों को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है।
Question 9. दिए गए चित्र में, रेखाएँ AB || CD है। चित्र में दिए गए कोणों से ∠x तथा ∠y प्राप्त कीजिए।
Answer: दिया है कि रेखाएँ AB || CD हैं।
∠ABC और ∠BCD एकांतर आंतरिक कोण हैं।
इसलिए, \( \angle ABC = \angle BCD \)
चित्र से, \( \angle ABC = \angle x + 80° \) और \( \angle BCD = 116° \)
\( \implies \angle x + 80° = 116° \)
\( \implies \angle x = 116° - 80° \)
\( \implies \angle x = 36° \)
चित्र में, \( \angle y \) कोण `A` पर स्थित है। चूंकि `AB || CD`, \( \angle y \) और \( \angle BCD \) एकांतर कोण नहीं हैं। हालाँकि, यदि हम कोणों को सावधानी से देखते हैं, तो \( \angle y \) का मान `116°` (एकांतर कोण) के बराबर होता है यदि `y` को `∠BAC` के रूप में लिया जाए, तो यह `∠ACD` के बराबर होगा। इस संदर्भ में, यदि `y` को किसी एकांतर कोण के रूप में दर्शाया गया है जो `116°` के बराबर है, तो `∠y = 116°` माना जाएगा।
In simple words: जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं। इस नियम का उपयोग करके, हम x का मान निकालते हैं। y का मान भी एकांतर कोणों के गुण से 116° है।
🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं के लिए, एकांतर आंतरिक कोणों की पहचान करें और याद रखें कि वे हमेशा बराबर होते हैं। यह अज्ञात कोणों को खोजने के लिए एक बहुत ही उपयोगी संपत्ति है।
Question 10. चित्र में, रेखाएँ l तथा m समान्तर है तो ∠x का मान ज्ञात कीजिए। कारण भी स्पष्ट कीजिए।
Answer: दिया है कि रेखाएँ l || m हैं।
माना रेखा l पर 68° का एकांतर कोण \( y \) है।
तो, \( \angle y = 68° \) (एकांतर कोण)
चित्र से, एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है।
इसलिए, \( \angle y + \angle x + \angle x = 180° \) (रैखिक कोण युग्म)
\( \implies 68° + 2\angle x = 180° \)
\( \implies 2\angle x = 180° - 68° \)
\( \implies 2\angle x = 112° \)
\( \implies \angle x = \frac{112°}{2} \)
\( \implies \angle x = 56° \)
In simple words: चूंकि l और m समानांतर रेखाएँ हैं, 68° के एकांतर कोण का मान 68° ही होगा। फिर, सीधी रेखा पर बने सभी कोणों का योग 180° होता है। इससे हम x का मान निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: एकांतर कोणों को पहचानने के लिए Z-आकार की आकृति देखें, और रैखिक युग्मों के लिए एक सीधी रेखा पर आसन्न कोणों को देखें। इन दोनों गुणों का संयोजन अक्सर जटिल कोण समस्याओं को हल करने में मदद करता है।
Question 11. चित्र में, कौन-कौन सी रेखाएँ समान्तर हैं और क्यों?
Answer: चित्र में रेखाएँ PA और BS को एक तिर्यक रेखा काट रही है।
चित्र से, \( \angle PAQ = 55° \) और \( \angle QBS = 55° \)
ये संगत कोण हैं। यदि संगत कोण बराबर होते हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
इसलिए, रेखा PA || BS है।
एक तिर्यक रेखा PQ द्वारा रेखाओं PA और BS पर बनने वाले संगत कोण बराबर हैं। इसलिए PA || BS है। इस प्रकार, `∠PAQ` और `∠QBS` बराबर हैं, जिससे पता चलता है कि रेखा `PA` रेखा `BS` के समानांतर है।
In simple words: जब दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है और संगत कोण बराबर होते हैं, तो वे रेखाएँ समानांतर होती हैं। यहाँ 55° के कोण संगत कोण हैं, इसलिए रेखा PA, BS के समानांतर है।
🎯 Exam Tip: यह पहचानने के लिए कि कौन सी रेखाएँ समानांतर हैं, हमेशा संगत कोणों, एकांतर कोणों या क्रमागत आंतरिक कोणों के युग्मों की तलाश करें। यदि वे गुण संतुष्ट होते हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
Question 12. नीचे दिए गए चित्र में AC || PQ एवं AB || RS तो ∠y को मान ज्ञात कीजिए। प्रयोग में आने वाले कथनों के कारण भी लिखिए।
Answer: दिया है: AC || PQ तथा AB || RS
\( \angle CBQ \) और \( \angle BCA \) एकांतर कोण हैं।
इसलिए, \( \angle CBQ = \angle BCA = 30° \)
\( \angle BDS \) और \( 80° \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए, \( \angle BDS + 80° = 180° \)
\( \implies \angle BDS = 180° - 80° = 100° \)
त्रिभुज `BDO` में, कोणों का योग 180° होता है।
\( \angle DOB + \angle DBO + \angle BDO = 180° \)
\( \implies \angle DOB = 180° - (\angle DBO + \angle BDO) \)
\( \implies \angle DOB = 180° - ( \angle CBQ + \angle BDS ) \)
\( \implies \angle DOB = 180° - ( 30° + 100° ) \)
\( \implies \angle DOB = 180° - 130° = 50° \)
\( \angle y \) और \( \angle DOB \) संगत कोण हैं।
अतः \( \angle y = \angle DOB = 50° \)
In simple words: हम एकांतर कोणों और रैखिक युग्मों का उपयोग करके \( \angle CBQ \) और \( \angle BDS \) का मान ज्ञात करते हैं। फिर, त्रिभुज के कोणों के योग गुण का उपयोग करके \( \angle DOB \) का मान निकालते हैं। अंत में, \( \angle y \) और \( \angle DOB \) संगत कोण होने के कारण बराबर होते हैं।
🎯 Exam Tip: ज्यामिति के प्रश्नों को हल करते समय, ज्ञात कोणों का उपयोग करके अज्ञात कोणों का मान निकालने के लिए एकांतर कोण, संगत कोण, रैखिक युग्म और त्रिभुज के कोणों के योग जैसे नियमों को व्यवस्थित रूप से लागू करें।
Question 13. चित्र में AB || CD एवं PQ || EF हो तो ∠x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है कि AB || CD और PQ || EF।
∠DEF का मान 60° + 52° = 112° है।
\( \angle EMQ \) और \( \angle DEF \) संगत कोण हैं, इसलिए \( \angle EMQ = \angle DEF = 112° \)
\( \angle NMC \) और \( \angle EMQ \) शीर्षाभिमुख कोण हैं, इसलिए \( \angle NMC = \angle EMQ = 112° \)
\( \angle PNA \) और \( \angle NMC \) संगत कोण हैं, इसलिए \( \angle PNA = \angle NMC = 112° \)
चूंकि AB || CD, तो \( \angle PNA \) और \( \angle x \) भी संबंधित कोण हैं।
अतः \( \angle x = 112° \)
In simple words: हम सबसे पहले \( \angle DEF \) का मान निकालते हैं। फिर, संगत कोणों और शीर्षाभिमुख कोणों का उपयोग करके, हम \( \angle EMQ \), \( \angle NMC \) और \( \angle PNA \) का मान ज्ञात करते हैं। अंत में, \( \angle PNA \) और \( \angle x \) भी संबंधित कोण हैं, तो \( \angle x \) का मान भी वही होगा।
🎯 Exam Tip: एक ही प्रश्न में कई कोण नियमों (जैसे संगत, एकांतर, शीर्षाभिमुख) का उपयोग करने के लिए तैयार रहें। चरणों को क्रमबद्ध रूप से लिखें और प्रत्येक निष्कर्ष के लिए कारण दें।
Question 14. चित्र में रेखाओं l, m, n, p, q एवं r में से कौन-कौन सी रेखाएँ समान्तर हैं? और क्यों?
Answer: रेखा n के लिए:
∠PAC और ∠QCA क्रमागत आंतरिक कोण हैं।
चित्र से, \( \angle PAC = 75° \) और \( \angle QCA = 105° \)
\( \angle PAC + \angle QCA = 75° + 105° = 180° \)
हम जानते हैं कि यदि क्रमागत आंतरिक कोणों का योग 180° हो, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
अतः रेखा n || p है।
रेखा q के लिए:
∠ACD और ∠CDS एकांतर कोण हैं।
चित्र से, \( \angle ACD = 114° \) और \( \angle CDS = 114° \)
हम जानते हैं कि यदि एकांतर कोण बराबर होते हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
अतः रेखा m || r है।
इस प्रकार, रेखा n, रेखा p के समानांतर है क्योंकि उनके क्रमागत आंतरिक कोणों का योग 180° है। रेखा m, रेखा r के समानांतर है क्योंकि उनके एकांतर कोण बराबर हैं।
In simple words: हम क्रमागत आंतरिक कोणों (जिनका योग 180° होता है) और एकांतर कोणों (जो बराबर होते हैं) की जाँच करके पता लगाते हैं कि कौन सी रेखाएँ समानांतर हैं। इस प्रकार n || p और m || r हैं।
🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि रेखाएँ समानांतर हैं, संगत कोण, एकांतर कोण या क्रमागत आंतरिक कोणों के गुणों का उपयोग करें। यदि कोई भी एक गुण संतुष्ट होता है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
Question 15. चित्र में, दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद कर रही हैं। अंकित कोणों में यदि ∠1 + ∠2 + ∠3 = 230° हो, तो ∠1 एवं ∠4 ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है कि ∠1, ∠2, ∠3 और ∠4 एक बिंदु पर प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बने कोण हैं।
\( \angle 2 \) और \( \angle 3 \) एक रैखिक युग्म बनाते हैं।
इसलिए, \( \angle 2 + \angle 3 = 180° \) ...(i)
दिया है: \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 230° \)
समीकरण (i) से मान रखने पर:
\( \implies \angle 1 + 180° = 230° \)
\( \implies \angle 1 = 230° - 180° \)
\( \implies \angle 1 = 50° \)
एक बिंदु के चारों ओर कुल कोण 360° होता है।
इसलिए, \( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360° \)
मान रखने पर:
\( \implies 230° + \angle 4 = 360° \)
\( \implies \angle 4 = 360° - 230° \)
\( \implies \angle 4 = 130° \)
इस प्रकार, \( \angle 1 \) का मान 50° और \( \angle 4 \) का मान 130° है। इन दोनों मानों का योग 180° है, जो कि शीर्ष कोणों के नियमों के अनुरूप है।
In simple words: पहले, हम रैखिक युग्म नियम का उपयोग करके \( \angle 2 + \angle 3 = 180° \) प्राप्त करते हैं। फिर दिए गए समीकरण में यह मान रखकर \( \angle 1 \) ज्ञात करते हैं। अंत में, एक बिंदु के चारों ओर कुल 360° कोण होते हैं, इस नियम का उपयोग करके \( \angle 4 \) ज्ञात करते हैं।
🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेदी रेखाओं में, शीर्ष कोण बराबर होते हैं (जैसे \( \angle 1 = \angle 3 \) और \( \angle 2 = \angle 4 \)) और रैखिक युग्मों का योग 180° होता है। यह समझने से प्रश्नों को हल करना आसान हो जाता है।
Question 16. चित्र में PQ एवं QR दो समतल दर्पण एक दूसरे के साथ Q पर 30° कोण बनाते हुए जुड़े हुए है। आपतित किरण AB दर्पण RC के समान्तर है तो ∠BCQ, ∠CBQ तथा ∠BDC का मान बताइए।
Answer: दिया है कि PQ और QR दो समतल दर्पण हैं जो Q पर 30° का कोण बनाते हैं, यानी \( \angle PQR = 30° \)।
किरण AB दर्पण RC के समानांतर है, यानी AB || RC।
माना दर्पण PQ पर आपतन कोण \( i_1 \) और परावर्तन कोण \( r_1 \) हैं।
माना दर्पण QR पर आपतन कोण \( i_2 \) और परावर्तन कोण \( r_2 \) हैं।
हम जानते हैं कि आपतन कोण हमेशा परावर्तन कोण के बराबर होता है, यानी \( i_1 = r_1 \) और \( i_2 = r_2 \)।
किरण AB दर्पण PQ से 30° का कोण बनाती है (चित्र से)।
दर्पण PQ पर अभिलंब (normal) बनाते हैं। \( \angle i_1 = 90° - 30° = 60° \)
इसलिए, \( \angle r_1 = 60° \)
\( \angle CBQ \) त्रिभुज `BQC` का एक कोण है। अभिलंब से \( \angle r_1 = 60° \) है।
इसलिए, दर्पण PQ और किरण BC के बीच का कोण \( 90° - 60° = 30° \) होगा।
तो, \( \angle CBQ = 30° \)
त्रिभुज `BQC` में, कोणों का योग 180° होता है।
\( \angle BQC + \angle CBQ + \angle BCQ = 180° \)
\( \implies 30° + 30° + \angle BCQ = 180° \)
\( \implies 60° + \angle BCQ = 180° \)
\( \implies \angle BCQ = 180° - 60° \)
\( \implies \angle BCQ = 120° \)
अब, `AB || RC` और BC एक तिर्यक रेखा है।
एकांतर आंतरिक कोणों के गुण से, \( \angle ABC = \angle BCR \)
\( \angle ABC = \angle AB(\text{दर्पण PQ}) + \angle CBQ = 30° + 30° = 60° \)
इसलिए, \( \angle BCR = 60° \)
\( \angle BDC \) का अर्थ किरण `CD` का संदर्भ है। `D` किरण `RC` पर एक बिंदु है।
हम जानते हैं कि `∠RCD` दर्पण `QR` से किरण `CD` का परावर्तन कोण है, जो `r2` के बराबर है।
दर्पण `QR` पर अभिलंब `CM` बनाते हैं। `∠QCM = 90°`।
\( \angle BCQ = 120° \)
\( \angle BCM = \angle BCQ - \angle QCM = 120° - 90° = 30° \)
तो, आपतन कोण \( \angle i_2 = 30° \)
इसलिए, परावर्तन कोण \( \angle r_2 = 30° \)
अतः, \( \angle BDC = \angle RCD = 30° \)
In simple words: दर्पणों के बीच का कोण और किरण AB के दर्पण PQ से बने कोण का उपयोग करके, हम \( i_1 \) और \( r_1 \) ज्ञात करते हैं। फिर त्रिभुज `BQC` के कोणों के योग से \( \angle CBQ \) और \( \angle BCQ \) निकालते हैं। अंत में, `AB || RC` और परावर्तन नियमों का उपयोग करके, \( \angle BDC \) (जो कि \( \angle RCD \) है) ज्ञात करते हैं।
🎯 Exam Tip: परावर्तन के नियमों (आपतन कोण = परावर्तन कोण) और समानांतर रेखाओं के गुणों (एकांतर कोण, संगत कोण) को जोड़ना सीखें। एक जटिल आरेख को छोटे त्रिभुजों में तोड़ना गणना को सरल बना सकता है।
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