NCERT Solutions for Class 9 Mathematics: Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल
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Practice Class 9 Mathematics Solutions: Chapter 10 त्रिभुजों तथा चतुर्भुजों के क्षेत्रफल
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Question 1. निम्नलिखित आकृतियों में कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के मध्य स्थित है? ऐसी स्थिति में उभयनिष्ठ आधार और समान्तर रेखायुग्म लिखिए।
Answer:
(i) आकृति (i) में, त्रिभुज PCD और समलम्ब चतुर्भुज ABCD एक ही आधार CD पर स्थित हैं और समान्तर रेखाओं CD तथा AB के बीच में हैं। ये आकृतियाँ समान आधार और समान्तर रेखाओं के बीच में हैं।
(ii) आकृति (ii) में, समान्तर चतुर्भुज PQRS और दूसरा समलम्ब चतुर्भुज एक ही आधार SR पर तो हैं, लेकिन वे एक ही समान्तर रेखाओं के जोड़े के बीच स्थित नहीं हैं। इसलिए यह दिए गए नियम को पूरा नहीं करता।
(iv) आकृति (iv) में, त्रिभुज ADS और समान्तर चतुर्भुज ADQC एक ही आधार AD पर हैं और समान्तर रेखाओं AD तथा QC के बीच स्थित हैं। ये आकृतियाँ समान आधार और समान्तर रेखाओं के बीच में हैं।
(vi) आकृति (vi) में, समान्तर चतुर्भुज ADSP, ABCD और BQRC दिखाए गए हैं। इन आकृतियों का आधार एक नहीं है, और न ही वे एक ही समान्तर रेखाओं के जोड़े के बीच स्थित हैं। इसलिए, यह स्थिति भी नियम के अनुसार नहीं है।
In simple words: चित्र (i) और (iv) में, आकृतियाँ एक ही आधार पर और समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। चित्र (ii) और (vi) में, आकृतियाँ इन शर्तों को पूरा नहीं करतीं।
🎯 Exam Tip: जब आपको आकृतियों की पहचान करनी हो, तो हमेशा सुनिश्चित करें कि वे दोनों एक ही सीधी रेखा (आधार) पर हों और दो समान्तर रेखाओं के बीच में पूरी तरह से स्थित हों।
Question 2. एक ही आधार एवं एक ही समान्तर रेखा युग्म के मध्य निम्न आकृतियाँ अपनी अभ्यास पुस्तिका में बनाइए-
(i) एक अधिककोण त्रिभुज और एक समलम्ब चतुर्भुज
(ii) एक समान्तर चतुर्भुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज
(iii) एक वर्ग और एक समान्तर चतुर्भुज
(iv) एक आयत और एक समचतुर्भुज ।
(v) एक समचतुर्भुज और एक समान्तर चतुर्भुज
Answer:
(i) आकृति (i) में, हम एक अधिककोण त्रिभुज ABD और एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD बनाते हैं। ये दोनों आकृतियाँ एक ही आधार AB पर स्थित हैं और समान्तर रेखाओं AB तथा CD के बीच में बनी हैं। अधिककोण त्रिभुज का एक कोण 90 डिग्री से ज़्यादा होता है।
(ii) आकृति (ii) में, हम एक समान्तर चतुर्भुज ABCD और एक समद्विबाहु त्रिभुज PAB बनाते हैं। ये दोनों आकृतियाँ एक ही आधार AB पर स्थित हैं और समान्तर रेखाओं AB तथा CD के बीच में बनी हैं। समद्विबाहु त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
(iii) आकृति (iii) में, हम एक वर्ग ABEF और एक समान्तर चतुर्भुज ABCD बनाते हैं। ये दोनों आकृतियाँ एक ही आधार AB पर स्थित हैं और समान्तर रेखाओं AB तथा FC के बीच में बनी हैं। एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और हर कोण 90 डिग्री का होता है।
(iv) आकृति (iv) में, हम एक आयत ABEF और एक समचतुर्भुज ABCD बनाते हैं। ये दोनों आकृतियाँ एक ही आधार AB पर स्थित हैं और समान्तर रेखाओं AB तथा CF के बीच में बनी हैं। एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति (v) में, हम एक समान्तर चतुर्भुज ABCD और एक समचतुर्भुज ABEF बनाते हैं। ये दोनों आकृतियाँ एक ही आधार AB पर स्थित हैं और समान्तर रेखाओं AB तथा CF के बीच में बनी हैं। समान्तर चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाएँ समान्तर होती हैं।
In simple words: आकृतियाँ बनाते समय, यह ध्यान रखें कि आधार रेखा और उसके समान्तर वाली दूसरी रेखा हमेशा समान्तर हों, और आकृतियाँ उन दोनों रेखाओं के बीच ठीक से फिट हों।
🎯 Exam Tip: आकृतियाँ बनाते समय, यह ध्यान रखें कि आधार रेखा और उसके समान्तर वाली दूसरी रेखा हमेशा समान्तर हों, और आकृतियाँ उन दोनों रेखाओं के बीच ठीक से फिट हों।
Activity 10.2
चरण 1: गतिविधि 10.2 के पहले चरण में, तीन सफेद कागजों के बीच कार्बन पेपर रखकर एक ही समान्तर चतुर्भुज की दो कॉपी बनाइए। इसके सभी चार कोनों को A, B, C, D नाम दीजिए। अब, इसकी भुजा CD पर एक बिंदु P को इतना दबाकर बनाइए कि वह कार्बन कॉपी पर भी छप जाए। इससे यह सुनिश्चित होगा कि दोनों प्रतियों पर बिंदु P मौजूद है।
चरण 2 : दूसरे चरण में, पहले मूल कॉपी को काटकर अपनी कॉपी में चिपकाएँ। फिर, कार्बन कॉपी पर अंकित बिंदु P को बिंदु A से जोड़कर त्रिभुज APD को काट लें। इस त्रिभुज APD को कार्बन कॉपी के दूसरी तरफ ऐसे चिपकाएँ कि कटी हुई भुजा AD, समलम्ब चतुर्भुज ABCP की भुजा BC से मिल जाए। इस प्रक्रिया में, बिंदु A और B अपनी जगह पर रहें, और D तथा C भी। इस तरह, आपको दो नए समान्तर चतुर्भुज, ABCD और ABPP प्राप्त होंगे। इन दोनों नए समान्तर चतुर्भुजों को भी अपनी अभ्यास पुस्तिका में चिपका दें।
चरण 3 : तीसरे चरण में, दूसरे नए समान्तर चतुर्भुज ABPP को मूल कॉपी पर ऐसे चिपकाएँ कि दोनों समान्तर चतुर्भुजों की भुजा AB एक ही जगह पर आ जाए। इस प्रकार, आपको एक नई आकृति मिलेगी जहाँ दो समान्तर चतुर्भुज, ABCD और ABPP, एक ही आधार AB पर और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच बने होंगे। यह हमें उनके क्षेत्रों की तुलना करने में मदद करेगा।
Question 3. क्या आप कह सकते हैं कि समान्तर चतुर्भुज ABCD एवं ABP'P क्षेत्रफल में बराबर हैं?
Answer: हाँ, समान्तर चतुर्भुज ABCD और समान्तर चतुर्भुज ABP'P क्षेत्रफल में बराबर हैं।
यह इसलिए है क्योंकि त्रिभुज APD का क्षेत्रफल, त्रिभुज BP'C के क्षेत्रफल के बराबर है। (यह त्रिभुज APD को काटकर BP'C की जगह चिपकाने से मिलता है।)
\( \implies \) हम जानते हैं कि, \( \text{ar(APD)} = \text{ar(BP'C)} \)
दोनों तरफ समान्तर चतुर्भुज ABCP का क्षेत्रफल जोड़ने पर:
\( \implies \text{ar(APD)} + \text{ar(ABCP)} = \text{ar(ABCP)} + \text{ar(BP'C)} \)
\( \implies \text{ar(ABCD)} = \text{ar(ABP'P)} \)
\( \implies \) इसका मतलब है कि समान्तर चतुर्भुज ABCD और समान्तर चतुर्भुज ABP'P, दोनों एक ही उभयनिष्ठ भुजा AB पर और समान्तर रेखाओं AB तथा DP' के बीच में बने हैं। इसी कारण उनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
In simple words: हाँ, समान्तर चतुर्भुज ABCD और ABP'P का क्षेत्रफल बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब दो समान्तर चतुर्भुज एक ही नीचे की रेखा पर और दो समान्तर रेखाओं के बीच होते हैं, तो उनका क्षेत्रफल हमेशा बराबर होता है।
🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि दो समान्तर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच हों, तो उनका क्षेत्रफल हमेशा बराबर होता है।
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