RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Exercise 9.7

निम्नलिखित फ्लनों के समाकलन कीजिए :

प्रश्न 1. \( \int e^{2x} \cos x \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे खंडशः समाकलन (Integration by parts) विधि का उपयोग करके हल करेंगे.
माना \( I = \int e^{2x} \cos x \, dx \)
पहले फलन के रूप में \( \cos x \) और दूसरे फलन के रूप में \( e^{2x} \) का चयन करें।
\( \int u v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) \, dx \)
\( \implies I = \cos x \int e^{2x} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\cos x) \int e^{2x} \, dx \right) \, dx \)
\( \implies I = \cos x \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) - \int (-\sin x) \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) \, dx \)
\( \implies I = \frac{e^{2x}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx \)
अब, \( \int e^{2x} \sin x \, dx \) को फिर से खंडशः समाकलन करें। पहले फलन के रूप में \( \sin x \) और दूसरे फलन के रूप में \( e^{2x} \) का चयन करें।
\( \implies \int e^{2x} \sin x \, dx = \sin x \int e^{2x} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin x) \int e^{2x} \, dx \right) \, dx \)
\( \implies \int e^{2x} \sin x \, dx = \sin x \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) - \int (\cos x) \left( \frac{e^{2x}}{2} \right) \, dx \)
\( \implies \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{e^{2x}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx \)
\( \implies \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{e^{2x}}{2} \sin x - \frac{1}{2} I \)
इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \frac{e^{2x}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \left( \frac{e^{2x}}{2} \sin x - \frac{1}{2} I \right) \)
\( \implies I = \frac{e^{2x}}{2} \cos x + \frac{e^{2x}}{4} \sin x - \frac{1}{4} I \)
अब, \( I \) वाले पदों को एक साथ लें:
\( \implies I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x}}{2} \cos x + \frac{e^{2x}}{4} \sin x \)
\( \implies \frac{5}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \cos x + \sin x) \)
\( \implies I = \frac{4}{5} \frac{e^{2x}}{4} (2 \cos x + \sin x) + C \)
\( \implies I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \cos x + \sin x) + C \)
यह समाकलन हमें बताता है कि कैसे दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद को हल किया जाता है।
In simple words: हमने समाकलन को दो बार खंडशः हल किया। इससे हमें मूल समाकलन वापस मिल गया, जिसे हमने समीकरण के दूसरी तरफ ले जाकर हल कर लिया।

🎯 Exam Tip: जब समाकलन में \( e^{ax} \) और \( \sin(bx) \) या \( \cos(bx) \) दोनों हों, तो यह अक्सर एक चक्रीय प्रक्रिया होती है जहाँ आपको समाकलन को दो बार करना पड़ता है और फिर \( I \) के लिए हल करना होता है।

प्रश्न 2. \( \int \sin (\log x) \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे, फिर खंडशः समाकलन (Integration by parts) विधि लगाएंगे।
माना \( I = \int \sin (\log x) \, dx \)
माना \( \log x = t \)
\( \implies x = e^t \)
\( \implies dx = e^t \, dt \)
अब समाकलन \( t \) के संदर्भ में बन जाता है:
\( \implies I = \int \sin t \cdot e^t \, dt \)
यह वही रूप है जो सामान्य सूत्र \( \int e^{at} \sin(bt) \, dt \) के लिए है, जहाँ \( a=1 \) और \( b=1 \).
सूत्र है: \( \int e^{at} \sin(bt) \, dt = \frac{e^{at}}{a^2+b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C \)
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
\( \implies I = \frac{e^t}{1^2+1^2} (1 \cdot \sin t - 1 \cdot \cos t) + C \)
\( \implies I = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t) + C \)
अब \( t = \log x \) और \( e^t = x \) को वापस प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \frac{x}{2} (\sin(\log x) - \cos(\log x)) + C \)
यह समाकलन एक जटिल कार्य को सरल बनाता है, जिससे हम इसे खंडशः विधि के माध्यम से हल कर सकते हैं।
In simple words: हमने \( \log x \) को \( t \) माना, जिससे समाकलन सरल हो गया। फिर हमने इसे एक सामान्य सूत्र की मदद से हल किया और अंत में \( t \) की जगह \( \log x \) वापस रख दिया।

🎯 Exam Tip: \( \log x \) जैसे पदों वाले समाकलनों में अक्सर प्रतिस्थापन \( x = e^t \) सहायक होता है, क्योंकि यह लॉग को हटा देता है और एक मानक रूप में लाता है।

प्रश्न 3. \( \int \frac{e^{a \tan^{-1} x}}{(1+x^2)^{3/2}} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \frac{e^{a \tan^{-1} x}}{(1+x^2)^{3/2}} \, dx \)
माना \( t = a \tan^{-1} x \)
\( \implies \frac{t}{a} = \tan^{-1} x \)
\( \implies x = \tan \left( \frac{t}{a} \right) \)
\( \implies dx = \sec^2 \left( \frac{t}{a} \right) \cdot \frac{1}{a} \, dt \)
\( \implies dx = \frac{1}{a} (1 + \tan^2 (\frac{t}{a})) \, dt \)
\( \implies dx = \frac{1}{a} (1 + x^2) \, dt \)
अब, \( (1+x^2)^{3/2} = (1+x^2)\sqrt{1+x^2} = (1+\tan^2(\frac{t}{a}))\sqrt{1+\tan^2(\frac{t}{a})} = \sec^2(\frac{t}{a}) \sec(\frac{t}{a}) = \sec^3(\frac{t}{a}) \)
इन प्रतिस्थापनों को समाकलन में रखें:
\( \implies I = \int \frac{e^t}{\sec^3(\frac{t}{a})} \cdot \frac{1}{a} \sec^2(\frac{t}{a}) \, dt \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \int \frac{e^t}{\sec(\frac{t}{a})} \, dt \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \int e^t \cos\left(\frac{t}{a}\right) \, dt \)
यह एक मानक सूत्र \( \int e^{At} \cos(Bt) \, dt = \frac{e^{At}}{A^2+B^2} (A \cos(Bt) + B \sin(Bt)) + C \) का रूप है।
यहां \( A=1 \) और \( B=\frac{1}{a} \).
\( \implies I = \frac{1}{a} \left[ \frac{e^t}{1^2 + (\frac{1}{a})^2} \left( 1 \cdot \cos\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{a} \sin\left(\frac{t}{a}\right) \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \left[ \frac{e^t}{\frac{a^2+1}{a^2}} \left( \cos\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{a} \sin\left(\frac{t}{a}\right) \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \left[ \frac{a^2 e^t}{a^2+1} \left( \cos\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{a} \sin\left(\frac{t}{a}\right) \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{a e^t}{a^2+1} \left( \frac{a \cos(\frac{t}{a}) + \sin(\frac{t}{a})}{a} \right) + C \)
\( \implies I = \frac{e^t}{a^2+1} (a \cos(\frac{t}{a}) + \sin(\frac{t}{a})) + C \)
अब \( t = a \tan^{-1} x \) और \( e^t = e^{a \tan^{-1} x} \) को वापस प्रतिस्थापित करें।
चूंकि \( \frac{t}{a} = \tan^{-1} x \), हमारे पास \( \tan(\frac{t}{a}) = x \). हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ सम्मुख भुजा \( x \) और संलग्न भुजा \( 1 \) है। तो कर्ण \( \sqrt{1+x^2} \) होगा।
\( \sin(\frac{t}{a}) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) और \( \cos(\frac{t}{a}) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \).
\( \implies I = \frac{e^{a \tan^{-1} x}}{a^2+1} \left( a \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) + C \)
\( \implies I = \frac{e^{a \tan^{-1} x}}{a^2+1} \left( \frac{a+x}{\sqrt{1+x^2}} \right) + C \)
यह समाकलन जटिल प्रतिस्थापन के माध्यम से एक सरल रूप में बदल जाता है, जिससे गणना आसान हो जाती है।
In simple words: हमने \( a \tan^{-1} x \) को \( t \) मानकर सवाल को बदल दिया। फिर हमने \( e^t \cos(\frac{t}{a}) \) के लिए एक सूत्र का इस्तेमाल किया। आखिर में, हमने \( t \) की जगह \( x \) वाले मानों को वापस रख दिया।

🎯 Exam Tip: \( \tan^{-1} x \) वाले समाकलनों में \( \tan^{-1} x = t \) प्रतिस्थापन अक्सर उपयोगी होता है, और फिर \( \sec^2 t \) जैसे पदों को \( 1+x^2 \) के रूप में बदलने की आवश्यकता होती है।

प्रश्न 4. \( \int e^{x/\sqrt{2}} \cos (x+a) \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे खंडशः समाकलन (Integration by parts) विधि का उपयोग करके हल करेंगे। यह एक चक्रीय समाकलन है।
माना \( I = \int e^{x/\sqrt{2}} \cos(x+a) \, dx \)
खंडशः समाकलन का सूत्र: \( \int u v \, dx = u \int v \, dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \, dx \right) \, dx \)
यहाँ, \( u = \cos(x+a) \) और \( v = e^{x/\sqrt{2}} \)
\( \implies I = \cos(x+a) \int e^{x/\sqrt{2}} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\cos(x+a)) \int e^{x/\sqrt{2}} \, dx \right) \, dx \)
\( \implies I = \cos(x+a) \left( \frac{e^{x/\sqrt{2}}}{1/\sqrt{2}} \right) - \int (-\sin(x+a)) \left( \frac{e^{x/\sqrt{2}}}{1/\sqrt{2}} \right) \, dx \)
\( \implies I = \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \cos(x+a) + \sqrt{2} \int e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \, dx \)
अब, \( \int e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \, dx \) को फिर से खंडशः समाकलन करें।
यहाँ, \( u = \sin(x+a) \) और \( v = e^{x/\sqrt{2}} \)
\( \implies \int e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \, dx = \sin(x+a) \int e^{x/\sqrt{2}} \, dx - \int \left( \frac{d}{dx}(\sin(x+a)) \int e^{x/\sqrt{2}} \, dx \right) \, dx \)
\( \implies \int e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \, dx = \sin(x+a) \left( \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \right) - \int (\cos(x+a)) \left( \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \right) \, dx \)
\( \implies \int e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \, dx = \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) - \sqrt{2} \int e^{x/\sqrt{2}} \cos(x+a) \, dx \)
\( \implies \int e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \, dx = \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) - \sqrt{2} I \)
इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \cos(x+a) + \sqrt{2} \left( \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) - \sqrt{2} I \right) \)
\( \implies I = \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \cos(x+a) + 2 e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) - 2I \)
\( \implies I + 2I = \sqrt{2} e^{x/\sqrt{2}} \cos(x+a) + 2 e^{x/\sqrt{2}} \sin(x+a) \)
\( \implies 3I = e^{x/\sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos(x+a) + 2 \sin(x+a)) \)
\( \implies I = \frac{e^{x/\sqrt{2}}}{3} (\sqrt{2} \cos(x+a) + 2 \sin(x+a)) + C \)
यह समाकलन घातीय और त्रिकोणमितीय फलन के संयोजन को दर्शाता है, जिसे खंडशः समाकलन के बार-बार उपयोग से हल किया जा सकता है।
In simple words: हमने समाकलन को दो बार खंडशः हल किया। फिर हमने देखा कि मूल समाकलन फिर से आ गया, जिसे हमने एक तरफ लाकर \( I \) के लिए हल कर लिया।

🎯 Exam Tip: \( e^{ax} \cos(bx) \) या \( e^{ax} \sin(bx) \) के समाकलनों को हल करते समय, उन्हें दो बार खंडशः समाकलन करने के बाद समीकरण के रूप में हल करें।

प्रश्न 5. \( \int e^x \sin^2 x \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे। इसे हल करने के लिए, हम पहले \( \sin^2 x \) के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करेंगे और फिर खंडशः समाकलन विधि लगाएंगे।
माना \( I = \int e^x \sin^2 x \, dx \)
त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके: \( \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} \)
\( \implies I = \int e^x \left( \frac{1-\cos(2x)}{2} \right) \, dx \)
\( \implies I = \frac{1}{2} \int e^x \, dx - \frac{1}{2} \int e^x \cos(2x) \, dx \)
पहला भाग सरल है: \( \frac{1}{2} \int e^x \, dx = \frac{1}{2} e^x \).
दूसरे भाग \( \int e^x \cos(2x) \, dx \) के लिए, हम मानक सूत्र \( \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C \) का उपयोग करेंगे।
यहां \( a=1 \) और \( b=2 \).
माना \( I_1 = \int e^x \cos(2x) \, dx \)
\( \implies I_1 = \frac{e^x}{1^2+2^2} (1 \cdot \cos(2x) + 2 \cdot \sin(2x)) + C_1 \)
\( \implies I_1 = \frac{e^x}{5} (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C_1 \)
अब \( I_1 \) के मान को वापस \( I \) के समीकरण में रखें:
\( \implies I = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} \left( \frac{e^x}{5} (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) \right) + C \)
(यहाँ \( C = -\frac{1}{2} C_1 \) एक नया स्थिरांक है)
\( \implies I = \frac{e^x}{2} - \frac{e^x}{10} (\cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C \)
\( \implies I = \frac{e^x}{10} (5 - (\cos(2x) + 2 \sin(2x))) + C \)
\( \implies I = \frac{e^x}{10} (5 - \cos(2x) - 2 \sin(2x)) + C \)
यह समाकलन एक त्रिकोणमितीय फलन को घातीय फलन के साथ एकीकृत करने की एक सामान्य विधि को दर्शाता है।
In simple words: पहले हमने \( \sin^2 x \) को \( \cos(2x) \) में बदल दिया। फिर हमने इसे दो हिस्सों में बांटा और एक हिस्से को हल करने के लिए एक सीधा सूत्र लगाया।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sin^2 x \) या \( \cos^2 x \) किसी समाकलन में आते हैं, तो उन्हें \( \cos(2x) \) के पदों में बदलना (जैसे \( \sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} \)) समाकलन को अक्सर सरल बना देता है।

प्रश्न 6. \( \int e^{a \sin^{-1} x} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int e^{a \sin^{-1} x} \, dx \)
माना \( t = a \sin^{-1} x \)
\( \implies \frac{t}{a} = \sin^{-1} x \)
\( \implies x = \sin\left(\frac{t}{a}\right) \)
\( \implies dx = \cos\left(\frac{t}{a}\right) \cdot \frac{1}{a} \, dt \)
अब समाकलन \( t \) के संदर्भ में बन जाता है:
\( \implies I = \int e^t \cdot \frac{1}{a} \cos\left(\frac{t}{a}\right) \, dt \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \int e^t \cos\left(\frac{t}{a}\right) \, dt \)
यह मानक सूत्र \( \int e^{At} \cos(Bt) \, dt = \frac{e^{At}}{A^2+B^2} (A \cos(Bt) + B \sin(Bt)) + C \) का रूप है।
यहां \( A=1 \) और \( B=\frac{1}{a} \).
\( \implies I = \frac{1}{a} \left[ \frac{e^t}{1^2 + (\frac{1}{a})^2} \left( 1 \cdot \cos\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{a} \sin\left(\frac{t}{a}\right) \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \left[ \frac{e^t}{\frac{a^2+1}{a^2}} \left( \cos\left(\frac{t}{a}\right) + \frac{1}{a} \sin\left(\frac{t}{a}\right) \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{1}{a} \left[ \frac{a^2 e^t}{a^2+1} \left( \frac{a \cos(\frac{t}{a}) + \sin(\frac{t}{a})}{a} \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{a e^t}{a^2+1} \left( \frac{a \cos(\frac{t}{a}) + \sin(\frac{t}{a})}{a} \right) + C \)
\( \implies I = \frac{e^t}{a^2+1} (a \cos(\frac{t}{a}) + \sin(\frac{t}{a})) + C \)
अब \( t = a \sin^{-1} x \) और \( e^t = e^{a \sin^{-1} x} \) को वापस प्रतिस्थापित करें।
चूंकि \( \frac{t}{a} = \sin^{-1} x \), हमारे पास \( \sin(\frac{t}{a}) = x \). हम एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं जहाँ सम्मुख भुजा \( x \) और कर्ण \( 1 \) है। तो संलग्न भुजा \( \sqrt{1-x^2} \) होगी।
\( \cos(\frac{t}{a}) = \sqrt{1-x^2} \).
\( \implies I = \frac{e^{a \sin^{-1} x}}{a^2+1} (a \sqrt{1-x^2} + x) + C \)
यह समाकलन एक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के घात के रूप में घातीय फलन को हल करने की एक महत्वपूर्ण विधि को दर्शाता है।
In simple words: हमने \( a \sin^{-1} x \) को \( t \) मानकर सवाल को सरल बनाया। फिर हमने \( e^t \cos(\frac{t}{a}) \) के लिए एक सूत्र का उपयोग किया और अंत में \( t \) की जगह \( x \) वाले मान वापस रख दिए।

🎯 Exam Tip: \( \sin^{-1} x \) या \( \cos^{-1} x \) वाले समाकलनों में \( \sin^{-1} x = t \) या \( \cos^{-1} x = t \) प्रतिस्थापन अक्सर काम करता है, जो समाकलन को \( e^t \cos t \) या \( e^t \sin t \) के रूप में बदल देता है।

प्रश्न 7. \( \int \cos \left(b \log \frac{x}{a}\right) \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \cos \left(b \log \frac{x}{a}\right) \, dx \)
माना \( t = b \log \frac{x}{a} \)
\( \implies \frac{t}{b} = \log \frac{x}{a} \)
\( \implies e^{t/b} = \frac{x}{a} \)
\( \implies x = a e^{t/b} \)
\( \implies dx = a \cdot \frac{1}{b} e^{t/b} \, dt \)
\( \implies dx = \frac{a}{b} e^{t/b} \, dt \)
अब समाकलन \( t \) के संदर्भ में बन जाता है:
\( \implies I = \int \cos t \cdot \frac{a}{b} e^{t/b} \, dt \)
\( \implies I = \frac{a}{b} \int e^{t/b} \cos t \, dt \)
यह मानक सूत्र \( \int e^{At} \cos(Bt) \, dt = \frac{e^{At}}{A^2+B^2} (A \cos(Bt) + B \sin(Bt)) + C \) का रूप है।
यहां \( A=\frac{1}{b} \) और \( B=1 \).
\( \implies I = \frac{a}{b} \left[ \frac{e^{t/b}}{(\frac{1}{b})^2 + 1^2} \left( \frac{1}{b} \cos t + 1 \cdot \sin t \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{a}{b} \left[ \frac{e^{t/b}}{\frac{1+b^2}{b^2}} \left( \frac{\cos t + b \sin t}{b} \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{a}{b} \left[ \frac{b^2 e^{t/b}}{1+b^2} \left( \frac{\cos t + b \sin t}{b} \right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{a b e^{t/b}}{1+b^2} (\cos t + b \sin t) + C \)
अब \( t = b \log \frac{x}{a} \) और \( e^{t/b} = \frac{x}{a} \) को वापस प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \frac{a b}{1+b^2} \cdot \frac{x}{a} \left( \cos \left(b \log \frac{x}{a}\right) + b \sin \left(b \log \frac{x}{a}\right) \right) + C \)
\( \implies I = \frac{bx}{1+b^2} \left( \cos \left(b \log \frac{x}{a}\right) + b \sin \left(b \log \frac{x}{a}\right) \right) + C \)
यह समाकलन जटिल लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलन के संयोजन को सरल करता है।
In simple words: हमने \( b \log \frac{x}{a} \) को \( t \) मानकर समाकलन को एक सरल रूप में बदल दिया। फिर हमने \( e^{t/b} \cos t \) के लिए एक सूत्र लगाया और अंत में \( t \) के मान को वापस रख दिया।

🎯 Exam Tip: \( \log x \) जैसे पदों वाले समाकलनों में \( \log x = t \) प्रतिस्थापन करके समाकलन को \( e^t \sin t \) या \( e^t \cos t \) के मानक रूप में लाना एक सामान्य रणनीति है।

प्रश्न 8. \( \int e^{4x} \cos(4x) \cos(2x) \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे। इसे हल करने के लिए, हम पहले त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करेंगे और फिर खंडशः समाकलन विधि लगाएंगे।
माना \( I = \int e^{4x} \cos(4x) \cos(2x) \, dx \)
त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके: \( 2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \)
\( \implies \cos(4x) \cos(2x) = \frac{1}{2} (\cos(4x+2x) + \cos(4x-2x)) \)
\( \implies \cos(4x) \cos(2x) = \frac{1}{2} (\cos(6x) + \cos(2x)) \)
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \int e^{4x} \cdot \frac{1}{2} (\cos(6x) + \cos(2x)) \, dx \)
\( \implies I = \frac{1}{2} \int e^{4x} \cos(6x) \, dx + \frac{1}{2} \int e^{4x} \cos(2x) \, dx \)
हम मानक सूत्र \( \int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C \) का उपयोग करेंगे।
पहले समाकलन के लिए: \( \int e^{4x} \cos(6x) \, dx \). यहाँ \( a=4, b=6 \).
\( \implies I_1 = \frac{e^{4x}}{4^2+6^2} (4 \cos(6x) + 6 \sin(6x)) + C_1 \)
\( \implies I_1 = \frac{e^{4x}}{16+36} (4 \cos(6x) + 6 \sin(6x)) + C_1 \)
\( \implies I_1 = \frac{e^{4x}}{52} (4 \cos(6x) + 6 \sin(6x)) + C_1 \)
दूसरे समाकलन के लिए: \( \int e^{4x} \cos(2x) \, dx \). यहाँ \( a=4, b=2 \).
\( \implies I_2 = \frac{e^{4x}}{4^2+2^2} (4 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{e^{4x}}{16+4} (4 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{e^{4x}}{20} (4 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C_2 \)
अब \( I_1 \) और \( I_2 \) के मानों को वापस \( I \) के समीकरण में रखें:
\( \implies I = \frac{1}{2} \left[ \frac{e^{4x}}{52} (4 \cos(6x) + 6 \sin(6x)) \right] + \frac{1}{2} \left[ \frac{e^{4x}}{20} (4 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) \right] + C \)
(जहाँ \( C = \frac{1}{2} C_1 + \frac{1}{2} C_2 \))
\( \implies I = \frac{e^{4x}}{104} (4 \cos(6x) + 6 \sin(6x)) + \frac{e^{4x}}{40} (4 \cos(2x) + 2 \sin(2x)) + C \)
\( \implies I = \frac{e^{4x}}{26} (2 \cos(6x) + 3 \sin(6x)) + \frac{e^{4x}}{20} (2 \cos(2x) + \sin(2x)) + C \)
यह समाकलन दो त्रिकोणमितीय फलनों के गुणनफल को सरल करने की तकनीक को दर्शाता है।
In simple words: हमने पहले \( \cos(4x) \cos(2x) \) को \( \cos(6x) + \cos(2x) \) में बदल दिया। फिर हमने \( e^{4x} \) के साथ दोनों नए हिस्सों को अलग-अलग समाकलित किया, जिससे हमें अंतिम उत्तर मिला।

🎯 Exam Tip: \( \cos A \cos B \) या \( \sin A \sin B \) जैसे गुणनफल वाले त्रिकोणमितीय पदों को अक्सर योग या अंतर के त्रिकोणमितीय पदों में बदलना पड़ता है (जैसे \( 2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) \)), जिससे समाकलन आसान हो जाता है।

प्रश्न 9. \( \int \sqrt{2x-x^2} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को हल करने के लिए वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \sqrt{2x-x^2} \, dx \)
वर्ग पूरा करने के लिए, \( 2x-x^2 \) को \( a^2 - (x-b)^2 \) या \( (x-b)^2 - a^2 \) के रूप में लिखें।
\( 2x-x^2 = -(x^2-2x) \)
\( = -(x^2-2x+1-1) \)
\( = -((x-1)^2 - 1) \)
\( = 1 - (x-1)^2 \)
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \int \sqrt{1^2 - (x-1)^2} \, dx \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का रूप है।
यहां \( a=1 \) और \( x \) की जगह \( (x-1) \) है।
\( \implies I = \frac{(x-1)}{2} \sqrt{1^2 - (x-1)^2} + \frac{1^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x-1}{1}\right) + C \)
\( \implies I = \frac{(x-1)}{2} \sqrt{1 - (x^2-2x+1)} + \frac{1}{2} \sin^{-1} (x-1) + C \)
\( \implies I = \frac{(x-1)}{2} \sqrt{2x-x^2} + \frac{1}{2} \sin^{-1} (x-1) + C \)
यह विधि वर्गमूल के अंदर के बहुपद को एक मानक रूप में बदलकर समाकलन को सरल बनाती है।
In simple words: हमने वर्गमूल के अंदर के पद को पूरा वर्ग बनाकर \( 1^2 - (x-1)^2 \) के रूप में लिखा। फिर, हमने \( \sqrt{a^2-x^2} \) के लिए एक मानक सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sqrt{Ax^2+Bx+C} \) जैसे समाकलन हों, तो वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करके उसे \( \sqrt{a^2-x^2} \), \( \sqrt{x^2-a^2} \), या \( \sqrt{x^2+a^2} \) के मानक रूपों में बदलना चाहिए।

प्रश्न 10. \( \int \sqrt{x^2+4x+6} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को हल करने के लिए वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \sqrt{x^2+4x+6} \, dx \)
वर्ग पूरा करने के लिए, \( x^2+4x+6 \) को \( (x+a)^2 \pm b^2 \) के रूप में लिखें।
\( x^2+4x+6 = (x^2+4x+4) + 2 \)
\( = (x+2)^2 + (\sqrt{2})^2 \)
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \int \sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{2})^2} \, dx \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + C \) का रूप है।
यहां \( x \) की जगह \( (x+2) \) है और \( a = \sqrt{2} \).
\( \implies I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{2})^2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2} \log \left|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{2})^2}\right| + C \)
\( \implies I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{x^2+4x+4+2} + \frac{2}{2} \log \left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+4+2}\right| + C \)
\( \implies I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{x^2+4x+6} + \log \left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+6}\right| + C \)
इस प्रकार, वर्ग पूरा करके हम समाकलन को एक ज्ञात सूत्र के रूप में बदल सकते हैं, जिससे हल प्राप्त होता है।
In simple words: हमने वर्गमूल के अंदर के पद को \( (x+2)^2 + (\sqrt{2})^2 \) के रूप में लिखा। फिर, हमने \( \sqrt{x^2+a^2} \) के लिए एक मानक सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{x^2+a^2} \) के समाकलन के लिए सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वर्ग पूरा करने के बाद कई समस्याओं में लागू होता है।

प्रश्न 11. \( \int \sqrt{x^2+6x+4} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को हल करने के लिए वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \sqrt{x^2+6x+4} \, dx \)
वर्ग पूरा करने के लिए, \( x^2+6x+4 \) को \( (x+a)^2 \pm b^2 \) के रूप में लिखें।
\( x^2+6x+4 = (x^2+6x+9) - 5 \)
\( = (x+3)^2 - (\sqrt{5})^2 \)
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \int \sqrt{(x+3)^2 - (\sqrt{5})^2} \, dx \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| + C \) का रूप है।
यहां \( x \) की जगह \( (x+3) \) है और \( a = \sqrt{5} \).
\( \implies I = \frac{(x+3)}{2} \sqrt{(x+3)^2 - (\sqrt{5})^2} - \frac{(\sqrt{5})^2}{2} \log \left|(x+3)+\sqrt{(x+3)^2 - (\sqrt{5})^2}\right| + C \)
\( \implies I = \frac{(x+3)}{2} \sqrt{x^2+6x+9-5} - \frac{5}{2} \log \left|(x+3)+\sqrt{x^2+6x+9-5}\right| + C \)
\( \implies I = \frac{(x+3)}{2} \sqrt{x^2+6x+4} - \frac{5}{2} \log \left|(x+3)+\sqrt{x^2+6x+4}\right| + C \)
यह विधि किसी भी द्विघात पद को वर्गमूल के अंदर होने पर एकीकृत करने में मदद करती है।
In simple words: हमने वर्गमूल के अंदर के पद को \( (x+3)^2 - (\sqrt{5})^2 \) के रूप में लिखा। फिर, हमने \( \sqrt{x^2-a^2} \) के लिए एक मानक सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{x^2-a^2} \) के समाकलन के लिए सूत्र को ठीक से याद रखें, विशेषकर ऋण चिह्न और लॉग फ़ंक्शन वाले भाग को।

प्रश्न 12. \( \int \sqrt{2x^2+3x+4} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को हल करने के लिए वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \sqrt{2x^2+3x+4} \, dx \)
पहले \( \sqrt{2} \) को बाहर निकालें:
\( \implies I = \sqrt{2} \int \sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2} \, dx \)
अब वर्ग पूरा करें \( x^2+\frac{3}{2}x+2 \):
\( x^2+\frac{3}{2}x+2 = \left(x^2+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^2\right) - \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 2 \)
\( = \left(x+\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} + 2 \)
\( = \left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{32-9}{16} \)
\( = \left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{23}{16} \)
\( = \left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^2 \)
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \sqrt{2} \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^2} \, dx \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + C \) का रूप है।
यहां \( x \) की जगह \( \left(x+\frac{3}{4}\right) \) है और \( a = \frac{\sqrt{23}}{4} \).
\( \implies I = \sqrt{2} \left[ \frac{\left(x+\frac{3}{4}\right)}{2} \sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^2} + \frac{\left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^2}{2} \log \left|\left(x+\frac{3}{4}\right)+\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{4}\right)^2}\right| \right] + C \)
\( \implies I = \sqrt{2} \left[ \frac{\left(\frac{4x+3}{4}\right)}{2} \sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2} + \frac{\frac{23}{16}}{2} \log \left|\frac{4x+3}{4}+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2}\right| \right] + C \)
\( \implies I = \sqrt{2} \left[ \frac{4x+3}{8} \sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2} + \frac{23}{32} \log \left|\frac{4x+3}{4}+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2}\right| \right] + C \)
अब \( \sqrt{2} \) को अंदर गुणा करें और \( \sqrt{x^2+\frac{3}{2}x+2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2x^2+3x+4} \) का उपयोग करें:
\( \implies I = \frac{4x+3}{8} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2x^2+3x+4} + \frac{23\sqrt{2}}{32} \log \left|\frac{4x+3}{4}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2+3x+4}\right| + C \)
\( \implies I = \frac{4x+3}{8} \sqrt{2x^2+3x+4} + \frac{23\sqrt{2}}{32} \log \left|\frac{4x+3}{4}+\frac{\sqrt{2x^2+3x+4}}{\sqrt{2}}\right| + C \)
यह समाकलन वर्ग पूरा करके और फिर एक मानक सूत्र लागू करके एक जटिल द्विघात पद को सरल बनाता है।
In simple words: हमने पहले \( \sqrt{2} \) को बाहर निकाला और फिर वर्गमूल के अंदर के पद को पूरा वर्ग बनाया। फिर, हमने \( \sqrt{x^2+a^2} \) के लिए एक मानक सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: यदि \( x^2 \) का गुणांक 1 नहीं है, तो समाकलन शुरू करने से पहले उसे वर्गमूल से बाहर निकालना याद रखें। इससे वर्ग पूरा करने की प्रक्रिया आसान हो जाती है।

प्रश्न 13. \( \int x^2 \sqrt{a^6 - x^6} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int x^2 \sqrt{a^6 - x^6} \, dx \)
माना \( t = x^3 \)
\( \implies dt = 3x^2 \, dx \)
\( \implies x^2 \, dx = \frac{dt}{3} \)
और \( x^6 = (x^3)^2 = t^2 \).
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \int \sqrt{a^6 - t^2} \cdot \frac{dt}{3} \)
\( \implies I = \frac{1}{3} \int \sqrt{(a^3)^2 - t^2} \, dt \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{A^2-t^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{A^2-t^2} + \frac{A^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{t}{A}\right) + C \) का रूप है।
यहां \( A = a^3 \).
\( \implies I = \frac{1}{3} \left[ \frac{t}{2} \sqrt{(a^3)^2 - t^2} + \frac{(a^3)^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{t}{a^3}\right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{1}{3} \left[ \frac{t}{2} \sqrt{a^6 - t^2} + \frac{a^6}{2} \sin^{-1} \left(\frac{t}{a^3}\right) \right] + C \)
अब \( t = x^3 \) को वापस प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{2} \sqrt{a^6 - (x^3)^2} + \frac{a^6}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x^3}{a^3}\right) \right] + C \)
\( \implies I = \frac{x^3}{6} \sqrt{a^6 - x^6} + \frac{a^6}{6} \sin^{-1} \left(\frac{x^3}{a^3}\right) + C \)
यह समाकलन एक जटिल घातांक वाले पद को प्रतिस्थापन के माध्यम से सरल बनाता है।
In simple words: हमने \( x^3 \) को \( t \) मानकर समाकलन को एक सरल रूप में बदल दिया। फिर, हमने \( \sqrt{A^2-t^2} \) के लिए एक मानक सूत्र का इस्तेमाल किया और अंत में \( t \) की जगह \( x^3 \) वापस रख दिया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{a^n - x^n} \) प्रकार के समाकलनों में, अक्सर \( t = x^{n/2} \) प्रतिस्थापन करके इसे \( \sqrt{A^2-t^2} \) के रूप में लाया जा सकता है।

प्रश्न 14. \( \int (x+1)\sqrt{x^2+1} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को \( I \) मानेंगे और इसे दो भागों में तोड़कर हल करेंगे।
माना \( I = \int (x+1)\sqrt{x^2+1} \, dx \)
\( \implies I = \int x\sqrt{x^2+1} \, dx + \int \sqrt{x^2+1} \, dx \)
पहले भाग के लिए: \( I_1 = \int x\sqrt{x^2+1} \, dx \)
माना \( u = x^2+1 \)
\( \implies du = 2x \, dx \)
\( \implies x \, dx = \frac{du}{2} \)
\( \implies I_1 = \int \sqrt{u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du \)
\( \implies I_1 = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{1}{3} u^{3/2} + C_1 \)
\( \implies I_1 = \frac{1}{3} (x^2+1)^{3/2} + C_1 \)
दूसरे भाग के लिए: \( I_2 = \int \sqrt{x^2+1} \, dx \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + C \) का रूप है।
यहां \( a=1 \).
\( \implies I_2 = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+1^2} + \frac{1^2}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+1^2}\right| + C_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{x}{2} \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+1}\right| + C_2 \)
अब \( I_1 \) और \( I_2 \) को जोड़ दें:
\( \implies I = I_1 + I_2 \)
\( \implies I = \frac{1}{3} (x^2+1)^{3/2} + \frac{x}{2} \sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+1}\right| + C \)
(जहाँ \( C = C_1 + C_2 \))
यह समाकलन एक गुणनफल को दो सरल समाकलनों में तोड़कर हल करने का तरीका दिखाता है।
In simple words: हमने समाकलन को दो हिस्सों में बांटा: एक में \( x\sqrt{x^2+1} \) और दूसरे में \( \sqrt{x^2+1} \). पहले हिस्से को प्रतिस्थापन से और दूसरे को सीधे सूत्र से हल किया।

🎯 Exam Tip: जब समाकलन \( (ax+b)\sqrt{Ax^2+Bx+C} \) के रूप में हो, तो इसे अक्सर \( x\sqrt{\dots} \) और \( 1\sqrt{\dots} \) वाले दो अलग-अलग समाकलनों में तोड़ना सबसे प्रभावी तरीका होता है।

प्रश्न 15. \( \int \sqrt{1-4x-x^2} \, dx \)
Answer: हम इस समाकलन को हल करने के लिए वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करेंगे।
माना \( I = \int \sqrt{1-4x-x^2} \, dx \)
वर्ग पूरा करने के लिए, \( 1-4x-x^2 \) को \( a^2 - (x-b)^2 \) या \( (x-b)^2 - a^2 \) के रूप में लिखें।
\( 1-4x-x^2 = 1 - (x^2+4x) \)
\( = 1 - (x^2+4x+4-4) \)
\( = 1 - ((x+2)^2 - 4) \)
\( = 1 - (x+2)^2 + 4 \)
\( = 5 - (x+2)^2 \)
\( = (\sqrt{5})^2 - (x+2)^2 \)
अब समाकलन को प्रतिस्थापित करें:
\( \implies I = \int \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x+2)^2} \, dx \)
यह मानक सूत्र \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का रूप है।
यहां \( a=\sqrt{5} \) और \( x \) की जगह \( (x+2) \) है।
\( \implies I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x+2)^2} + \frac{(\sqrt{5})^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + C \)
\( \implies I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{5 - (x^2+4x+4)} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + C \)
\( \implies I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{1-4x-x^2} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + C \)
यह समाकलन एक वर्गमूल के अंदर एक नकारात्मक द्विघात पद को हल करने का तरीका दर्शाता है।
In simple words: हमने वर्गमूल के अंदर के पद को \( (\sqrt{5})^2 - (x+2)^2 \) के रूप में लिखा। फिर, हमने \( \sqrt{a^2-x^2} \) के लिए एक मानक सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{a^2 - (x+b)^2} \) वाले समाकलनों में \( \sin^{-1} \) पद आएगा। सुनिश्चित करें कि \( a \) और \( x \) (जो यहाँ \( x+b \) है) सही ढंग से प्रतिस्थापित किए गए हैं।

Question 16. \( \int \sqrt{4-3x-2x^2} \,dx \)
Answer: सबसे पहले, हम समाकल के अंदर वर्गमूल के तहत व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलेंगे:
\( \int \sqrt{4-3x-2x^2} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{2 - \frac{3}{2}x - x^2} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{2 - \left(x^2 + \frac{3}{2}x\right)} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{2 - \left(x^2 + \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2\right)} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{2 + \frac{9}{16} - \left(x + \frac{3}{4}\right)^2} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{\frac{32+9}{16} - \left(x + \frac{3}{4}\right)^2} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{\frac{41}{16} - \left(x + \frac{3}{4}\right)^2} \,dx \)
\( = \sqrt{2} \int \sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{4}\right)^2 - \left(x + \frac{3}{4}\right)^2} \,dx \)
अब हम \( \int \sqrt{a^2 - X^2} \,dX = \frac{X}{2}\sqrt{a^2 - X^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{X}{a}\right) + C \) सूत्र का उपयोग करेंगे, जहाँ \( X = x + \frac{3}{4} \) और \( a = \frac{\sqrt{41}}{4} \).
\( = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{4}\right)^2 - \left(x+\frac{3}{4}\right)^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{41}}{4}\right)^2 \sin^{-1}\left(\frac{x+3/4}{\sqrt{41}/4}\right) \right] + C \)
\( = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)\sqrt{\frac{41}{16} - \left(x+\frac{3}{4}\right)^2} + \frac{1}{2}\left(\frac{41}{16}\right) \sin^{-1}\left(\frac{4x+3}{\sqrt{41}}\right) \right] + C \)
\( = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)\frac{\sqrt{41-16(x+3/4)^2}}{4} + \frac{41}{32} \sin^{-1}\left(\frac{4x+3}{\sqrt{41}}\right) \right] + C \)
\( = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{8}\left(x+\frac{3}{4}\right)\sqrt{4-3x-2x^2} \sqrt{2} + \frac{41}{32} \sin^{-1}\left(\frac{4x+3}{\sqrt{41}}\right) \right] + C \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{3}{4}\right)\sqrt{4-3x-2x^2} + \frac{41\sqrt{2}}{32} \sin^{-1}\left(\frac{4x+3}{\sqrt{41}}\right) + C \)
\( = \frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)\sqrt{4-3x-2x^2} + \frac{41\sqrt{2}}{32} \sin^{-1}\left(\frac{4x+3}{\sqrt{41}}\right) + C \)
In simple words: इस समाकल को हल करने के लिए, हमने सबसे पहले वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाया. फिर, हमने \( \sqrt{a^2 - X^2} \) के लिए मानक समाकलन सूत्र का उपयोग किया और मानों को सब्स्टीट्यूट करके अंतिम उत्तर प्राप्त किया. यह विधि वर्गमूल वाले द्विघात व्यंजकों को समाकलित करने में मदद करती है.

🎯 Exam Tip: जब समाकल में \( \sqrt{Ax^2+Bx+C} \) जैसा व्यंजक हो, तो उसे पूर्ण वर्ग में बदलकर \( \sqrt{a^2 \pm X^2} \) या \( \sqrt{X^2 \pm a^2} \) के मानक रूपों में लाना हमेशा याद रखें. इससे उपयुक्त सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाता है.