RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Exercise 9.5

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए-

Question 1. \( \frac { 1 }{ x^2+2x+10 } \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन करने के लिए, हम इसे पूर्ण वर्ग बनाकर सरल करते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ x^2+2x+10 } dx \)
\( = \int \frac { 1 }{ x^2+2x+1^2-1^2+10 } dx \)
\( = \int \frac { 1 }{ (x+1)^2+9 } dx \)
\( = \int \frac { 1 }{ (x+1)^2+3^2 } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ a^2+x^2 } dx = \frac { 1 }{ a } \tan^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( a=3 \) और \( x=(x+1) \) है।
\( = \frac { 1 }{ 3 } \tan^{-1} \left( \frac { x+1 }{ 3 } \right) + C \)
In simple words: इस सवाल में, हम नीचे के हिस्से को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं. फिर, हम tan-1 वाले सूत्र का उपयोग करके समाकलन करते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, हर (denominator) को पूर्ण वर्ग में बदलना पहला और सबसे महत्वपूर्ण कदम होता है ताकि आप मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग कर सकें।

Question 2. \( \frac { 1 }{ 2x^2+x-1 } \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) को गुणनखंडित करते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ 2x^2+x-1 } dx \)
हर में से 2 कॉमन लेने पर:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ x^2+\frac { x }{ 2 } - \frac { 1 }{ 2 } } dx \)
अब, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ x^2+2 \cdot \frac { 1 }{ 4 } \cdot x + \left( \frac { 1 }{ 4 } \right)^2 - \left( \frac { 1 }{ 4 } \right)^2 - \frac { 1 }{ 2 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right)^2 - \frac { 1 }{ 16 } - \frac { 8 }{ 16 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right)^2 - \frac { 9 }{ 16 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right)^2 - \left( \frac { 3 }{ 4 } \right)^2 } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ x^2-a^2 } dx = \frac { 1 }{ 2a } \log \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| + C \) के रूप में है।
यहाँ \( x = \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right) \) और \( a = \frac { 3 }{ 4 } \) है।
\( = \frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ 2 \cdot \frac { 3 }{ 4 } } \log \left| \frac { x+\frac { 1 }{ 4 } - \frac { 3 }{ 4 } }{ x+\frac { 1 }{ 4 } + \frac { 3 }{ 4 } } \right| \right] + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ \frac { 3 }{ 2 } } \log \left| \frac { x-\frac { 2 }{ 4 } }{ x+\frac { 4 }{ 4 } } \right| \right] + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 2 }{ 3 } \log \left| \frac { x-\frac { 1 }{ 2 } }{ x+1 } \right| \right] + C \)
\( = \frac { 1 }{ 3 } \log \left| \frac { \frac { 2x-1 }{ 2 } }{ x+1 } \right| + C \)
\( = \frac { 1 }{ 3 } \log \left| \frac { 2x-1 }{ 2(x+1) } \right| + C \)
हम इसे \( \frac { 1 }{ 3 } \log \left| \frac { 4x-2 }{ 4x+4 } \right| + C \) या \( \frac { 1 }{ 3 } \log \left| \frac { 2x-1 }{ 2x+2 } \right| + C \) के रूप में भी लिख सकते हैं। अंतिम उत्तर में, लॉगरिथम के गुण के कारण स्थिरांक \( C \) में कुछ बदलाव हो सकता है।
In simple words: पहले हम 2 को बाहर निकालते हैं, फिर नीचे के समीकरण को पूर्ण वर्ग में बदल देते हैं. इसके बाद, हम लॉगरिथम वाले खास सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( ax^2+bx+c \) जैसा रूप हो, तो पहले \( a \) को कॉमन लें, फिर पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करें। यह आपको \( x^2-a^2 \) या \( x^2+a^2 \) जैसे मानक रूपों में ले जाने में मदद करेगा।

Question 3. \( \int \frac { 1 }{ 9x^2-12x+8 } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ 9x^2-12x+8 } dx \)
हर में से 9 कॉमन लेने पर:
\( = \frac { 1 }{ 9 } \int \frac { 1 }{ x^2-\frac { 12x }{ 9 } + \frac { 8 }{ 9 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 9 } \int \frac { 1 }{ x^2-\frac { 4x }{ 3 } + \frac { 8 }{ 9 } } dx \)
अब, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( = \frac { 1 }{ 9 } \int \frac { 1 }{ x^2 - 2 \cdot \frac { 2 }{ 3 } \cdot x + \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^2 - \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^2 + \frac { 8 }{ 9 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 9 } \int \frac { 1 }{ \left( x-\frac { 2 }{ 3 } \right)^2 - \frac { 4 }{ 9 } + \frac { 8 }{ 9 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 9 } \int \frac { 1 }{ \left( x-\frac { 2 }{ 3 } \right)^2 + \frac { 4 }{ 9 } } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 9 } \int \frac { 1 }{ \left( x-\frac { 2 }{ 3 } \right)^2 + \left( \frac { 2 }{ 3 } \right)^2 } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ x^2+a^2 } dx = \frac { 1 }{ a } \tan^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( x = \left( x-\frac { 2 }{ 3 } \right) \) और \( a = \frac { 2 }{ 3 } \) है।
\( = \frac { 1 }{ 9 } \left[ \frac { 1 }{ \frac { 2 }{ 3 } } \tan^{-1} \left( \frac { x-\frac { 2 }{ 3 } }{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) \right] + C \)
\( = \frac { 1 }{ 9 } \left[ \frac { 3 }{ 2 } \tan^{-1} \left( \frac { \frac { 3x-2 }{ 3 } }{ \frac { 2 }{ 3 } } \right) \right] + C \)
\( = \frac { 1 }{ 6 } \tan^{-1} \left( \frac { 3x-2 }{ 2 } \right) + C \)
In simple words: सबसे पहले, हम हर में से 9 को बाहर निकालते हैं. फिर, हम बाकी बचे समीकरण को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं. आखिर में, tan-1 के सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकाल लेते हैं.

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, \( (x^2+bx) \) को \( (x+\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 \) में बदलें. यह हमेशा \( x^2+a^2 \) या \( x^2-a^2 \) के रूप में ले जाने में मदद करेगा.

Question 4. \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{3+2x-x^2} } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ \sqrt{3+2x-x^2} } dx \)
हर के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग में बदलने पर:
\( 3+2x-x^2 = - (x^2-2x-3) \)
\( = - (x^2-2x+1-1-3) \)
\( = - ((x-1)^2-4) \)
\( = 4-(x-1)^2 \)
\( = 2^2-(x-1)^2 \)
अब समाकलन में इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \int \frac { 1 }{ \sqrt{2^2-(x-1)^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{a^2-x^2} } dx = \sin^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( a=2 \) और \( x=(x-1) \) है।
\( = \sin^{-1} \left( \frac { x-1 }{ 2 } \right) + C \)
In simple words: हम रूट के अंदर की संख्या को पूर्ण वर्ग में बदलकर सरल करते हैं. फिर, हम sine inverse वाले विशेष सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( \sqrt{ax^2+bx+c} \) का रूप हो, तो \( x^2 \) के गुणांक को \( +1 \) या \( -1 \) बनाएं और फिर पूर्ण वर्ग बनाएं। नकारात्मक चिह्न के साथ ध्यान रखें।

Question 5. \( \int \frac { dx }{ x^4+x^2+1 } \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम इसे आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके हल करते हैं।
माना \( x^2 = t \), तो \( 2x dx = dt \)
\( x dx = \frac { 1 }{ 2 } dt \)
यहाँ हमें \( \int \frac { dx }{ x^4+x^2+1 } \) का समाकलन करना है। हम इसे \( \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 2 }{ x^4+x^2+1 } dx \) लिख सकते हैं।
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { (x^2+1)-(x^2-1) }{ x^4+x^2+1 } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { x^2+1 }{ x^4+x^2+1 } dx - \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { x^2-1 }{ x^4+x^2+1 } dx \)
पहले पद में \( x^2 \) से भाग देने पर:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1+\frac { 1 }{ x^2 } }{ x^2+1+\frac { 1 }{ x^2 } } dx \)
यहाँ \( x-\frac { 1 }{ x } = z \Rightarrow (1+\frac { 1 }{ x^2 })dx = dz \)
\( x^2+\frac { 1 }{ x^2 } = (x-\frac { 1 }{ x })^2+2 = z^2+2 \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { dz }{ z^2+3 } = \frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ \sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { z }{ \sqrt{3} } \right) \)
\( = \frac { 1 }{ 2\sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { x-\frac { 1 }{ x } }{ \sqrt{3} } \right) = \frac { 1 }{ 2\sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { x^2-1 }{ x\sqrt{3} } \right) \)
दूसरे पद में \( x^2 \) से भाग देने पर:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1-\frac { 1 }{ x^2 } }{ x^2+1+\frac { 1 }{ x^2 } } dx \)
यहाँ \( x+\frac { 1 }{ x } = u \Rightarrow (1-\frac { 1 }{ x^2 })dx = du \)
\( x^2+\frac { 1 }{ x^2 } = (x+\frac { 1 }{ x })^2-2 = u^2-2 \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { du }{ u^2-1 } = \frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ 2 \cdot 1 } \log \left| \frac { u-1 }{ u+1 } \right| \)
\( = \frac { 1 }{ 4 } \log \left| \frac { x+\frac { 1 }{ x } - 1 }{ x+\frac { 1 }{ x } + 1 } \right| = \frac { 1 }{ 4 } \log \left| \frac { x^2-x+1 }{ x^2+x+1 } \right| \)
इसलिए, कुल समाकलन है:
\( = \frac { 1 }{ 2\sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { x^2-1 }{ x\sqrt{3} } \right) - \frac { 1 }{ 4 } \log \left| \frac { x^2-x+1 }{ x^2+x+1 } \right| + C \)
यह प्रश्न थोड़ा अलग तरीके से दिया गया था, लेकिन मुख्य विचार हर को पूर्ण वर्ग में बदलकर \( t^2+2 \cdot \frac { 1 }{ 2 } \cdot t + \frac { 1 }{ 4 } - \frac { 1 }{ 4 } + 1 \) या \( t^2+t+1 \) के लिए \( \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { dt }{ t^2+t+1 } \) के रूप में हल किया जाता है।
\( \int \frac { dx }{ x^4+x^2+1 } \) को हम \( \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { dt }{ t^2+t+1 } \) में बदल कर हल कर सकते हैं.
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { dt }{ \left( t+\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{3} }{ 2 } \right)^2 } \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ \frac { \sqrt{3} }{ 2 } } \tan^{-1} \left( \frac { t+\frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt{3} }{ 2 } } \right) + C \)
\( = \frac { 1 }{ \sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { 2t+1 }{ \sqrt{3} } \right) + C \)
यहाँ \( t = x^2 \) प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac { 1 }{ \sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { 2x^2+1 }{ \sqrt{3} } \right) + C \)
यह समाधान \( \int \frac { dx }{ x^4+x^2+1 } \) के लिए दूसरा तरीका प्रस्तुत करता है, जहां हम हर में \( x^2=t \) का प्रतिस्थापन करके \( \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { dt }{ t^2+t+1 } \) प्राप्त करते हैं. इस तरह से हमें \( \frac { 1 }{ \sqrt{3} } \tan^{-1} \left( \frac { 2x^2+1 }{ \sqrt{3} } \right) + C \) प्राप्त होता है, जो कि सीधे ऊपर के गणितीय क्रियान्वयन में अंतिम चरण के रूप में प्रस्तुत है.
In simple words: इस सवाल में, हम \( x^2 \) को \( t \) मानकर हल करते हैं. फिर, हम नीचे के हिस्से को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं और tan-1 वाले सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: \( x^4+x^2+1 \) जैसे हर वाले प्रश्नों में, अक्सर \( x^2=t \) प्रतिस्थापन या \( (x^2+1) \pm (x^2-1) \) जैसी चालें काम आती हैं. सही प्रतिस्थापन और पूर्ण वर्ग बनाना महत्वपूर्ण है।

Question 6. \( \int \frac { \cos x }{ \sin^2 x + 4 \sin x + 5 } dx \)
Answer: दिए गए फलन का समाकलन करने के लिए, हम \( \sin x \) को \( t \) मानते हैं।
माना \( \sin x = t \)
तो, \( \cos x \, dx = dt \)
अब, समाकलन को \( t \) के रूप में बदलें:
\( \int \frac { dt }{ t^2+4t+5 } \)
हर को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं:
\( t^2+4t+5 = t^2+4t+2^2-2^2+5 \)
\( = (t+2)^2+1 \)
अब, समाकलन में इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \int \frac { dt }{ (t+2)^2+1^2 } \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ x^2+a^2 } dx = \frac { 1 }{ a } \tan^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( x=(t+2) \) और \( a=1 \) है।
\( = \frac { 1 }{ 1 } \tan^{-1} \left( \frac { t+2 }{ 1 } \right) + C \)
\( = \tan^{-1} (t+2)+C \)
अब \( t = \sin x \) का मान वापस प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \tan^{-1} (\sin x+2)+C \)
In simple words: सबसे पहले, हम \( \sin x \) को \( t \) मान लेते हैं. फिर, हम नीचे के समीकरण को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं. इसके बाद, tan-1 वाले खास सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं और वापस \( t \) की जगह \( \sin x \) रख देते हैं.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों वाले समाकलन में, \( \sin x \) या \( \cos x \) को \( t \) मानकर प्रश्न को सरल बीजगणितीय रूप में बदलना अक्सर आसान होता है।

Question 7. \( \int \frac { x-3 }{ x^2+2x-4 } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम अंश (numerator) को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं।
माना \( x-3 = A \frac { d }{ dx } (x^2+2x-4) + B \)
\( x-3 = A(2x+2) + B \)
\( x-3 = 2Ax + 2A+B \)
दोनों तरफ \( x \) के गुणांक और स्थिरांक की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( 2A+B = -3 \)
\( 2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)+B = -3 \)
\( 1+B = -3 \implies B = -4 \)
अब, \( x-3 \) को प्रतिस्थापित करें:
\( \int \frac { x-3 }{ x^2+2x-4 } dx = \int \frac { \frac { 1 }{ 2 } (2x+2) - 4 }{ x^2+2x-4 } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 2x+2 }{ x^2+2x-4 } dx - 4 \int \frac { 1 }{ x^2+2x-4 } dx \)
पहले पद के लिए: \( \int \frac { f'(x) }{ f(x) } dx = \log |f(x)| + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log |x^2+2x-4| \)
दूसरे पद के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( x^2+2x-4 = x^2+2x+1^2-1^2-4 \)
\( = (x+1)^2-5 \)
\( = (x+1)^2-(\sqrt{5})^2 \)
तो, दूसरा पद है:
\( -4 \int \frac { 1 }{ (x+1)^2-(\sqrt{5})^2 } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ x^2-a^2 } dx = \frac { 1 }{ 2a } \log \left| \frac { x-a }{ x+a } \right| + C \) के रूप में है।
\( = -4 \left[ \frac { 1 }{ 2\sqrt{5} } \log \left| \frac { x+1-\sqrt{5} }{ x+1+\sqrt{5} } \right| \right] \)
\( = - \frac { 2 }{ \sqrt{5} } \log \left| \frac { x+1-\sqrt{5} }{ x+1+\sqrt{5} } \right| \)
दोनों पदों को मिलाकर, अंतिम समाकलन है:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log |x^2+2x-4| - \frac { 2 }{ \sqrt{5} } \log \left| \frac { x+1-\sqrt{5} }{ x+1+\sqrt{5} } \right| + C \)
In simple words: हम अंश को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं और फिर उसे दो भागों में बाँटते हैं. एक भाग का समाकलन लॉग के रूप में होता है और दूसरे भाग के लिए हम हर को पूर्ण वर्ग में बदलकर लॉग वाले सूत्र का उपयोग करते हैं.

🎯 Exam Tip: जब अंश में \( ax+b \) और हर में \( cx^2+dx+e \) हो, तो अंश को \( A \frac{d}{dx}(\text{हर}) + B \) के रूप में लिखने की विधि का उपयोग करें। यह प्रश्न को सरल बनाने की एक मानक विधि है।

Question 8. \( \int \frac { 3x+1 }{ 2x^2-2x+3 } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम अंश (numerator) को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं।
माना \( 3x+1 = A \frac { d }{ dx } (2x^2-2x+3) + B \)
\( 3x+1 = A(4x-2) + B \)
\( 3x+1 = 4Ax - 2A+B \)
दोनों तरफ \( x \) के गुणांक और स्थिरांक की तुलना करने पर:
\( 4A = 3 \implies A = \frac { 3 }{ 4 } \)
\( -2A+B = 1 \)
\( -2\left( \frac { 3 }{ 4 } \right)+B = 1 \)
\( -\frac { 3 }{ 2 } + B = 1 \implies B = 1+\frac { 3 }{ 2 } = \frac { 5 }{ 2 } \)
अब, \( 3x+1 \) को प्रतिस्थापित करें:
\( \int \frac { 3x+1 }{ 2x^2-2x+3 } dx = \int \frac { \frac { 3 }{ 4 } (4x-2) + \frac { 5 }{ 2 } }{ 2x^2-2x+3 } dx \)
\( = \frac { 3 }{ 4 } \int \frac { 4x-2 }{ 2x^2-2x+3 } dx + \frac { 5 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ 2x^2-2x+3 } dx \)
पहले पद के लिए: \( \int \frac { f'(x) }{ f(x) } dx = \log |f(x)| + C \)
\( = \frac { 3 }{ 4 } \log |2x^2-2x+3| \)
दूसरे पद के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( 2x^2-2x+3 = 2(x^2-x+\frac { 3 }{ 2 }) \)
\( = 2(x^2-x+\frac { 1 }{ 4 } - \frac { 1 }{ 4 } + \frac { 3 }{ 2 }) \)
\( = 2\left( \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 - \frac { 1 }{ 4 } + \frac { 6 }{ 4 } \right) \)
\( = 2\left( \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \frac { 5 }{ 4 } \right) \)
\( = 2\left( \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \right)^2 \right) \)
तो, दूसरा पद है:
\( \frac { 5 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ 2\left( \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \right)^2 \right) } dx \)
\( = \frac { 5 }{ 4 } \int \frac { 1 }{ \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \right)^2 } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ x^2+a^2 } dx = \frac { 1 }{ a } \tan^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
\( = \frac { 5 }{ 4 } \left[ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt{5} }{ 2 } } \tan^{-1} \left( \frac { x-\frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt{5} }{ 2 } } \right) \right] \)
\( = \frac { 5 }{ 4 } \left[ \frac { 2 }{ \sqrt{5} } \tan^{-1} \left( \frac { 2x-1 }{ \sqrt{5} } \right) \right] \)
\( = \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \tan^{-1} \left( \frac { 2x-1 }{ \sqrt{5} } \right) \)
दोनों पदों को मिलाकर, अंतिम समाकलन है:
\( = \frac { 3 }{ 4 } \log |2x^2-2x+3| + \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \tan^{-1} \left( \frac { 2x-1 }{ \sqrt{5} } \right) + C \)
(जहाँ \( C = C_1 + C_2 \))
In simple words: इस सवाल को हल करने के लिए, हम अंश को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं और फिर उसे दो अलग-अलग समाकलनों में बाँट देते हैं. पहले हिस्से का हल लॉग के रूप में आता है और दूसरे हिस्से में हम हर को पूर्ण वर्ग में बदलकर tan-1 वाले सूत्र का उपयोग करते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के समाकलनों में, अंश और हर के संबंध को पहचानना महत्वपूर्ण है। यदि अंश हर के अवकलज के करीब है, तो \( A \frac{d}{dx}(\text{हर}) + B \) विधि का उपयोग करें। यह विधि अक्सर दो मानक समाकलनों में बदल जाती है।

Question 9. \( \int \frac { x+1 }{ x^2+4x+5 } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम अंश (numerator) को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं।
माना \( x+1 = A \frac { d }{ dx } (x^2+4x+5) + B \)
\( x+1 = A(2x+4) + B \)
\( x+1 = 2Ax + 4A+B \)
दोनों तरफ \( x \) के गुणांक और स्थिरांक की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( 4A+B = 1 \)
\( 4\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)+B = 1 \)
\( 2+B = 1 \implies B = -1 \)
अब, \( x+1 \) को प्रतिस्थापित करें:
\( \int \frac { x+1 }{ x^2+4x+5 } dx = \int \frac { \frac { 1 }{ 2 } (2x+4) - 1 }{ x^2+4x+5 } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 2x+4 }{ x^2+4x+5 } dx - \int \frac { 1 }{ x^2+4x+5 } dx \)
पहले पद के लिए: \( \int \frac { f'(x) }{ f(x) } dx = \log |f(x)| + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log |x^2+4x+5| \)
दूसरे पद के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( x^2+4x+5 = x^2+4x+2^2-2^2+5 \)
\( = (x+2)^2+1 \)
तो, दूसरा पद है:
\( - \int \frac { 1 }{ (x+2)^2+1^2 } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ x^2+a^2 } dx = \frac { 1 }{ a } \tan^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
\( = - \frac { 1 }{ 1 } \tan^{-1} \left( \frac { x+2 }{ 1 } \right) \)
\( = - \tan^{-1} (x+2) \)
दोनों पदों को मिलाकर, अंतिम समाकलन है:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log |x^2+4x+5| - \tan^{-1} (x+2) + C \)
In simple words: हम अंश को हर के अवकलज के रूप में बदलकर दो हिस्सों में बाँट देते हैं. पहले हिस्से का हल लॉग में आता है. दूसरे हिस्से में, हम हर को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं और फिर tan-1 वाले सूत्र से हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: हर में पूर्ण वर्ग बनाते समय, यह सुनिश्चित करें कि \( x \) का गुणांक \( +1 \) हो. यदि यह \( -1 \) है, तो माइनस साइन को बाहर निकालें और फिर पूर्ण वर्ग बनाएं।

Question 10. \( \int \frac { (3 \sin x-2) \cos x }{ 5-\cos^2 x-4 \sin x } dx \)
Answer: दिए गए फलन का समाकलन करने के लिए, हम \( \sin x \) को \( t \) मानते हैं।
माना \( \sin x = t \)
तो, \( \cos x \, dx = dt \)
साथ ही, \( \cos^2 x = 1-\sin^2 x = 1-t^2 \)
अब, समाकलन को \( t \) के रूप में बदलें:
\( \int \frac { (3t-2) }{ 5-(1-t^2)-4t } dt \)
\( = \int \frac { 3t-2 }{ 5-1+t^2-4t } dt \)
\( = \int \frac { 3t-2 }{ t^2-4t+4 } dt \)
\( = \int \frac { 3t-2 }{ (t-2)^2 } dt \)
अब, अंश (numerator) को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं।
माना \( 3t-2 = A \frac { d }{ dt } (t^2-4t+4) + B \)
\( 3t-2 = A(2t-4) + B \)
\( 3t-2 = 2At - 4A+B \)
दोनों तरफ \( t \) के गुणांक और स्थिरांक की तुलना करने पर:
\( 2A = 3 \implies A = \frac { 3 }{ 2 } \)
\( -4A+B = -2 \)
\( -4\left( \frac { 3 }{ 2 } \right)+B = -2 \)
\( -6+B = -2 \implies B = 4 \)
तो समाकलन है:
\( \int \frac { \frac { 3 }{ 2 } (2t-4) + 4 }{ (t-2)^2 } dt \)
\( = \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { 2t-4 }{ (t-2)^2 } dt + 4 \int \frac { 1 }{ (t-2)^2 } dt \)
पहले पद के लिए: \( \int \frac { f'(x) }{ f(x)^n } dx \) में, यहाँ \( n=2 \) है। \( \int \frac { 2t-4 }{ (t-2)^2 } dt = \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { d(t-2)^2 }{ (t-2)^2 } \)
यहाँ, \( \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { d(u) }{ u } \) का रूप है जहाँ \( u=(t-2)^2 \), इसलिए यह \( \frac { 3 }{ 2 } \log |(t-2)^2| \) होगा, लेकिन ध्यान दें कि \( (2t-4) \) अंश है, न कि \( \frac { d }{ dt }(t-2)^2 \).
सही तरीका है \( u = t-2 \implies du = dt \).
\( = \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { d(t-2)^2 }{(t-2)^2} dt \) यदि हम \( u = (t-2)^2 \) मानते हैं तो \( du = 2(t-2)dt \).
इसलिए, हम \( \int \frac { 2t-4 }{ (t-2)^2 } dt \) को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( = \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { d(t-2)^2 }{ (t-2)^2 } \) नहीं, बल्कि \( \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { 2(t-2) }{ (t-2)^2 } dt = \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { 2 }{ t-2 } dt = 3 \log |t-2| \).
दूसरे पद के लिए:
\( 4 \int \frac { 1 }{ (t-2)^2 } dt = 4 \int (t-2)^{-2} dt = 4 \frac { (t-2)^{-1} }{ -1 } = - \frac { 4 }{ t-2 } \)
दोनों पदों को मिलाकर, अंतिम समाकलन है:
\( = 3 \log |t-2| - \frac { 4 }{ t-2 } + C \)
अब \( t = \sin x \) का मान वापस प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = 3 \log |\sin x-2| - \frac { 4 }{ \sin x-2 } + C \)
क्योंकि \( 0 \le \sin x \le 1 \), तो \( \sin x-2 \) हमेशा ऋणात्मक होता है, इसलिए \( |\sin x-2| = -( \sin x-2) = 2-\sin x \)
\( = 3 \log (2-\sin x) + \frac { 4 }{ 2-\sin x } + C \)
In simple words: सबसे पहले, हम \( \sin x \) को \( t \) मानकर सवाल को सरल करते हैं. फिर, अंश को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं और दो अलग-अलग समाकलनों में बाँटते हैं. हर हिस्से को हल करके हम उत्तर पाते हैं, और आखिर में \( t \) की जगह \( \sin x \) रख देते हैं.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( (ax+b)^n \) जैसा रूप हो और अंश में रैखिक फलन हो, तो अंश को \( A \frac{d}{dx}(\text{हर}) + B \) के रूप में लिखें। इसके बाद \( \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx \) और \( \int \frac{1}{(ax+b)^n}dx \) के मानक सूत्रों का उपयोग करें।

Question 11. \( \int \frac { 1 }{ 2e^{2x} + 3e^x+1 } dx \)
Answer: दिए गए फलन का समाकलन करने के लिए, हम \( e^x \) को \( t \) मानते हैं।
माना \( e^x = t \)
तो, \( e^x \, dx = dt \implies dx = \frac { dt }{ e^x } = \frac { dt }{ t } \)
अब, समाकलन को \( t \) के रूप में बदलें:
\( \int \frac { 1 }{ 2t^2+3t+1 } \cdot \frac { dt }{ t } \)
\( = \int \frac { 1 }{ t(2t^2+3t+1) } dt \)
हर को गुणनखंडित करते हैं:
\( 2t^2+3t+1 = 2t^2+2t+t+1 = 2t(t+1)+1(t+1) = (2t+1)(t+1) \)
तो, समाकलन है:
\( = \int \frac { 1 }{ t(t+1)(2t+1) } dt \)
अब आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं:
माना \( \frac { 1 }{ t(t+1)(2t+1) } = \frac { A }{ t } + \frac { B }{ t+1 } + \frac { C }{ 2t+1 } \)
\( 1 = A(t+1)(2t+1) + Bt(2t+1) + Ct(t+1) \)
यदि \( t=0 \), तो \( 1 = A(1)(1) \implies A=1 \)
यदि \( t=-1 \), तो \( 1 = B(-1)(-2+1) \implies 1 = B(-1)(-1) \implies B=1 \)
यदि \( t=-\frac { 1 }{ 2 } \), तो \( 1 = C\left(-\frac { 1 }{ 2 }\right)\left(-\frac { 1 }{ 2 }+1\right) \implies 1 = C\left(-\frac { 1 }{ 2 }\right)\left(\frac { 1 }{ 2 }\right) \implies 1 = -\frac { C }{ 4 } \implies C=-4 \)
तो, समाकलन है:
\( = \int \left( \frac { 1 }{ t } + \frac { 1 }{ t+1 } - \frac { 4 }{ 2t+1 } \right) dt \)
\( = \int \frac { 1 }{ t } dt + \int \frac { 1 }{ t+1 } dt - 4 \int \frac { 1 }{ 2t+1 } dt \)
\( = \log |t| + \log |t+1| - 4 \frac { \log |2t+1| }{ 2 } + C \)
\( = \log |t| + \log |t+1| - 2 \log |2t+1| + C \)
\( = \log \left| \frac { t(t+1) }{ (2t+1)^2 } \right| + C \)
अब \( t = e^x \) का मान वापस प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \log \left| \frac { e^x(e^x+1) }{ (2e^x+1)^2 } \right| + C \)
यह समाकलन, \( e^{-2x} \) से हर व अंश में गुणा करके भी हल किया जा सकता है जैसा कि संकेत दिया गया था, पर आंशिक भिन्न विधि अधिक सीधा रास्ता है। दूसरे विकल्प के रूप में, यदि हम अंश और हर को \( e^{-2x} \) से गुणा करते हैं:
\( \int \frac { e^{-2x} }{ 2+3e^{-x}+e^{-2x} } dx \)
माना \( e^{-x}=t \), तो \( -e^{-x}dx=dt \implies dx = -\frac { dt }{ t } \)
\( = \int \frac { t^2 }{ 2+3t+t^2 } \left( -\frac { dt }{ t } \right) \)
\( = - \int \frac { t }{ t^2+3t+2 } dt \)
\( = - \int \frac { t }{ (t+1)(t+2) } dt \)
आंशिक भिन्न से \( \frac { t }{ (t+1)(t+2) } = \frac { A }{ t+1 } + \frac { B }{ t+2 } \)
\( t = A(t+2)+B(t+1) \)
\( t=-1 \implies -1 = A(1) \implies A=-1 \)
\( t=-2 \implies -2 = B(-1) \implies B=2 \)
\( = - \int \left( \frac { -1 }{ t+1 } + \frac { 2 }{ t+2 } \right) dt \)
\( = - [ -\log|t+1| + 2\log|t+2| ] + C \)
\( = \log|t+1| - 2\log|t+2| + C \)
\( = \log \left| \frac { t+1 }{ (t+2)^2 } \right| + C \)
\( = \log \left| \frac { e^{-x}+1 }{ (e^{-x}+2)^2 } \right| + C \)
दोनों विधियों से प्राप्त परिणाम एक दूसरे के समान हैं, बस स्थिरांक में थोड़ा अंतर होता है।
In simple words: हम \( e^x \) को \( t \) मान लेते हैं, फिर समाकलन को \( t \) के रूप में बदलते हैं. अब, हम नीचे के बहुपद को गुणनखंडित करते हैं और आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करके हल करते हैं. आखिर में, \( t \) की जगह \( e^x \) वापस रख देते हैं.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( e^{2x} \) और \( e^x \) पद हों, तो \( e^x=t \) का प्रतिस्थापन अक्सर प्रश्न को सरल बनाने की कुंजी होता है। फिर आंशिक भिन्न का उपयोग करें।

Question 12. \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{4x^2-5x+1} } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ \sqrt{4x^2-5x+1} } dx \)
हर में \( 4 \) को कॉमन लेने पर:
\( = \int \frac { 1 }{ \sqrt{4\left( x^2-\frac { 5 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 4 } \right)} } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \sqrt{x^2-\frac { 5 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 4 }} } dx \)
अब, रूट के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( x^2-\frac { 5 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 4 } = x^2 - 2 \cdot \frac { 5 }{ 8 } \cdot x + \left( \frac { 5 }{ 8 } \right)^2 - \left( \frac { 5 }{ 8 } \right)^2 + \frac { 1 }{ 4 } \)
\( = \left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right)^2 - \frac { 25 }{ 64 } + \frac { 16 }{ 64 } \)
\( = \left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right)^2 - \frac { 9 }{ 64 } \)
\( = \left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right)^2 - \left( \frac { 3 }{ 8 } \right)^2 \)
अब समाकलन में इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \sqrt{\left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right)^2 - \left( \frac { 3 }{ 8 } \right)^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{x^2-a^2} } dx = \log \left| x+\sqrt{x^2-a^2} \right| + C \) के रूप में है।
यहाँ \( x = \left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right) \) और \( a = \frac { 3 }{ 8 } \) है।
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log \left| \left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right) + \sqrt{\left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right)^2 - \left( \frac { 3 }{ 8 } \right)^2} \right| + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log \left| \left( x-\frac { 5 }{ 8 } \right) + \sqrt{x^2-\frac { 5 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 4 }} \right| + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log \left| \frac { 8x-5 }{ 8 } + \sqrt{\frac { 4x^2-5x+1 }{ 4 }} \right| + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \log \left| \frac { 8x-5 }{ 8 } + \frac { 1 }{ 2 } \sqrt{4x^2-5x+1} \right| + C \)
In simple words: हम रूट के अंदर की संख्या से 4 कॉमन लेते हैं, फिर बचे हुए हिस्से को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं. इसके बाद, हम लॉग वाले विशेष सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( \sqrt{ax^2+bx+c} \) का रूप हो, तो \( a \) को कॉमन लेना न भूलें ताकि \( x^2 \) का गुणांक \( 1 \) हो जाए। फिर पूर्ण वर्ग बनाकर मानक सूत्र का उपयोग करें।

Question 13. \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{5x-6-x^2} } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ \sqrt{5x-6-x^2} } dx \)
हर के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग में बदलने पर:
\( 5x-6-x^2 = - (x^2-5x+6) \)
\( = - \left( x^2-5x+\left( \frac { 5 }{ 2 } \right)^2-\left( \frac { 5 }{ 2 } \right)^2+6 \right) \)
\( = - \left( \left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right)^2 - \frac { 25 }{ 4 } + \frac { 24 }{ 4 } \right) \)
\( = - \left( \left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right)^2 - \frac { 1 }{ 4 } \right) \)
\( = \frac { 1 }{ 4 } - \left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right)^2 \)
\( = \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^2 - \left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right)^2 \)
अब समाकलन में इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \int \frac { 1 }{ \sqrt{\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^2 - \left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right)^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{a^2-x^2} } dx = \sin^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( a = \frac { 1 }{ 2 } \) और \( x = \left( x-\frac { 5 }{ 2 } \right) \) है।
\( = \sin^{-1} \left( \frac { x-\frac { 5 }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) + C \)
\( = \sin^{-1} \left( \frac { \frac { 2x-5 }{ 2 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) + C \)
\( = \sin^{-1} (2x-5) + C \)
In simple words: हम रूट के अंदर की संख्या को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं, ध्यान रखें कि \( x^2 \) का गुणांक ऋणात्मक है. फिर, हम sine inverse वाले विशेष सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब \( \sqrt{-(ax^2+bx+c)} \) जैसा रूप हो, तो पहले माइनस साइन को कॉमन लें, फिर \( x^2 \) का गुणांक \( 1 \) बनाएं, और अंत में पूर्ण वर्ग बनाकर \( \sqrt{a^2-x^2} \) के रूप में लाएं।

Question 14. \( \int \frac { dx }{ \sqrt{1-x-x^2} } \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ \sqrt{1-x-x^2} } dx \)
हर के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग में बदलने पर:
\( 1-x-x^2 = - (x^2+x-1) \)
\( = - \left( x^2+x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^2-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^2-1 \right) \)
\( = - \left( \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 - \frac { 1 }{ 4 } - 1 \right) \)
\( = - \left( \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 - \frac { 5 }{ 4 } \right) \)
\( = \frac { 5 }{ 4 } - \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 \)
\( = \left( \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \right)^2 - \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 \)
अब समाकलन में इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \int \frac { 1 }{ \sqrt{\left( \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \right)^2 - \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right)^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{a^2-x^2} } dx = \sin^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( a = \frac { \sqrt{5} }{ 2 } \) और \( x = \left( x+\frac { 1 }{ 2 } \right) \) है।
\( = \sin^{-1} \left( \frac { x+\frac { 1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt{5} }{ 2 } } \right) + C \)
\( = \sin^{-1} \left( \frac { \frac { 2x+1 }{ 2 } }{ \frac { \sqrt{5} }{ 2 } } \right) + C \)
\( = \sin^{-1} \left( \frac { 2x+1 }{ \sqrt{5} } \right) + C \)
In simple words: हम रूट के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं. फिर, हम इसे \( a^2-x^2 \) के रूप में लाकर sine inverse वाले मानक सूत्र का उपयोग करते हैं और समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{a^2-x^2} \) वाले रूप के लिए, \( \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) \) सूत्र का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सूत्र सही ढंग से लागू हो, हमेशा पूर्ण वर्ग बनाकर \( x \) और \( a \) की पहचान करें।

Question 15. \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{4+3x-2x^2} } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम हर (denominator) के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं।
\( \int \frac { 1 }{ \sqrt{4+3x-2x^2} } dx \)
हर में \( -2 \) को कॉमन लेने पर:
\( 4+3x-2x^2 = -2\left( x^2-\frac { 3 }{ 2 } x-2 \right) \)
अब, ब्रैकेट के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( x^2-\frac { 3 }{ 2 } x-2 = x^2 - 2 \cdot \frac { 3 }{ 4 } \cdot x + \left( \frac { 3 }{ 4 } \right)^2 - \left( \frac { 3 }{ 4 } \right)^2 - 2 \)
\( = \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2 - \frac { 9 }{ 16 } - \frac { 32 }{ 16 } \)
\( = \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2 - \frac { 41 }{ 16 } \)
तो, \( 4+3x-2x^2 = -2\left( \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2 - \frac { 41 }{ 16 } \right) \)
\( = 2\left( \frac { 41 }{ 16 } - \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2 \right) \)
\( = 2\left( \left( \frac { \sqrt{41} }{ 4 } \right)^2 - \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2 \right) \)
अब समाकलन में इसे प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = \int \frac { 1 }{ \sqrt{2\left( \left( \frac { \sqrt{41} }{ 4 } \right)^2 - \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2 \right)} } dx \)
\( = \frac { 1 }{ \sqrt{2} } \int \frac { 1 }{ \sqrt{\left( \frac { \sqrt{41} }{ 4 } \right)^2 - \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right)^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{a^2-x^2} } dx = \sin^{-1} \left( \frac { x }{ a } \right) + C \) के रूप में है।
यहाँ \( a = \frac { \sqrt{41} }{ 4 } \) और \( x = \left( x-\frac { 3 }{ 4 } \right) \) है।
\( = \frac { 1 }{ \sqrt{2} } \sin^{-1} \left( \frac { x-\frac { 3 }{ 4 } }{ \frac { \sqrt{41} }{ 4 } } \right) + C \)
\( = \frac { 1 }{ \sqrt{2} } \sin^{-1} \left( \frac { \frac { 4x-3 }{ 4 } }{ \frac { \sqrt{41} }{ 4 } } \right) + C \)
\( = \frac { 1 }{ \sqrt{2} } \sin^{-1} \left( \frac { 4x-3 }{ \sqrt{41} } \right) + C \)
In simple words: हम रूट के अंदर की संख्या से \( -2 \) कॉमन लेते हैं, फिर बचे हुए हिस्से को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं. इसके बाद, हम sine inverse वाले विशेष सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: रूट के अंदर \( ax^2+bx+c \) जैसे पदों में, \( x^2 \) के गुणांक को \( +1 \) या \( -1 \) बनाने के लिए \( a \) को कॉमन लेना आवश्यक है। फिर पूर्ण वर्ग बनाकर मानक सूत्र लगाएं।

Question 16. \( \int \frac { x+2 }{ \sqrt{x^2-2x+4} } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम अंश (numerator) को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं।
माना \( x+2 = A \frac { d }{ dx } (x^2-2x+4) + B \)
\( x+2 = A(2x-2) + B \)
\( x+2 = 2Ax - 2A+B \)
दोनों तरफ \( x \) के गुणांक और स्थिरांक की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( -2A+B = 2 \)
\( -2\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)+B = 2 \)
\( -1+B = 2 \implies B = 3 \)
अब, \( x+2 \) को प्रतिस्थापित करें:
\( \int \frac { x+2 }{ \sqrt{x^2-2x+4} } dx = \int \frac { \frac { 1 }{ 2 } (2x-2) + 3 }{ \sqrt{x^2-2x+4} } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 2x-2 }{ \sqrt{x^2-2x+4} } dx + 3 \int \frac { 1 }{ \sqrt{x^2-2x+4} } dx \)
पहले पद के लिए: \( \int \frac { f'(x) }{ \sqrt{f(x)} } dx = 2\sqrt{f(x)} + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \cdot 2\sqrt{x^2-2x+4} = \sqrt{x^2-2x+4} \)
दूसरे पद के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( x^2-2x+4 = x^2-2x+1^2-1^2+4 \)
\( = (x-1)^2+3 \)
\( = (x-1)^2+(\sqrt{3})^2 \)
तो, दूसरा पद है:
\( 3 \int \frac { 1 }{ \sqrt{(x-1)^2+(\sqrt{3})^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{x^2+a^2} } dx = \log \left| x+\sqrt{x^2+a^2} \right| + C \) के रूप में है।
\( = 3 \log \left| (x-1)+\sqrt{(x-1)^2+(\sqrt{3})^2} \right| \)
\( = 3 \log \left| (x-1)+\sqrt{x^2-2x+4} \right| \)
दोनों पदों को मिलाकर, अंतिम समाकलन है:
\( = \sqrt{x^2-2x+4} + 3 \log \left| (x-1)+\sqrt{x^2-2x+4} \right| + C \)
In simple words: हम अंश को हर के अवकलज के रूप में लिखकर दो हिस्सों में बाँटते हैं. पहले हिस्से का समाकलन सीधे रूट में आता है. दूसरे हिस्से के लिए, हम हर को पूर्ण वर्ग में बदलकर लॉग वाले विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं.

🎯 Exam Tip: जब अंश में रैखिक फलन और हर में \( \sqrt{ax^2+bx+c} \) हो, तो अंश को \( A \frac{d}{dx}(\text{हर}) + B \) के रूप में लिखने की विधि का उपयोग करें। यह अक्सर दो सरल समाकलनों में प्रश्न को विभाजित करता है।

Question 17. \( \int \frac { x+1 }{ \sqrt{x^2-x+1} } dx \)
Answer: दिए गए फलन का x के सापेक्ष समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम अंश (numerator) को हर के अवकलज के रूप में लिखते हैं।
माना \( x+1 = A \frac { d }{ dx } (x^2-x+1) + B \)
\( x+1 = A(2x-1) + B \)
\( x+1 = 2Ax - A+B \)
दोनों तरफ \( x \) के गुणांक और स्थिरांक की तुलना करने पर:
\( 2A = 1 \implies A = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( -A+B = 1 \)
\( -\frac { 1 }{ 2 } + B = 1 \implies B = 1+\frac { 1 }{ 2 } = \frac { 3 }{ 2 } \)
अब, \( x+1 \) को प्रतिस्थापित करें:
\( \int \frac { x+1 }{ \sqrt{x^2-x+1} } dx = \int \frac { \frac { 1 }{ 2 } (2x-1) + \frac { 3 }{ 2 } }{ \sqrt{x^2-x+1} } dx \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \int \frac { 2x-1 }{ \sqrt{x^2-x+1} } dx + \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \sqrt{x^2-x+1} } dx \)
पहले पद के लिए: \( \int \frac { f'(x) }{ \sqrt{f(x)} } dx = 2\sqrt{f(x)} + C \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } \cdot 2\sqrt{x^2-x+1} = \sqrt{x^2-x+1} \)
दूसरे पद के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( x^2-x+1 = x^2-x+\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^2-\left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^2+1 \)
\( = \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 - \frac { 1 }{ 4 } + 1 \)
\( = \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \frac { 3 }{ 4 } \)
\( = \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{3} }{ 2 } \right)^2 \)
तो, दूसरा पद है:
\( \frac { 3 }{ 2 } \int \frac { 1 }{ \sqrt{\left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{3} }{ 2 } \right)^2} } dx \)
यह समाकलन \( \int \frac { 1 }{ \sqrt{x^2+a^2} } dx = \log \left| x+\sqrt{x^2+a^2} \right| + C \) के रूप में है।
\( = \frac { 3 }{ 2 } \log \left| \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) + \sqrt{\left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right)^2 + \left( \frac { \sqrt{3} }{ 2 } \right)^2} \right| \)
\( = \frac { 3 }{ 2 } \log \left| \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) + \sqrt{x^2-x+1} \right| \)
दोनों पदों को मिलाकर, अंतिम समाकलन है:
\( = \sqrt{x^2-x+1} + \frac { 3 }{ 2 } \log \left| \left( x-\frac { 1 }{ 2 } \right) + \sqrt{x^2-x+1} \right| + C \)
In simple words: हम अंश को हर के अवकलज के रूप में बदलकर दो हिस्सों में बाँटते हैं. एक हिस्सा सीधे रूट का हल देता है. दूसरे हिस्से में, हम हर को पूर्ण वर्ग में बदलकर लॉग वाले खास सूत्र का उपयोग करके समाकलन का हल निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के समाकलनों में, अंश और हर के बीच के संबंध को पहचानना महत्वपूर्ण है। यदि अंश हर के अवकलज के करीब है, तो \( A \frac{d}{dx}(\text{हर}) + B \) विधि का उपयोग करें। यह विधि अक्सर दो मानक समाकलनों में बदल जाती है।

Question 18. \( \int \frac { x+3 }{ \sqrt { x^{2}+2x+2 } } dx \)
Answer: To solve this integral, we first rewrite the numerator \( x+3 \) in terms of the derivative of the expression under the square root, which is \( x^2+2x+2 \). The derivative of \( x^2+2x+2 \) is \( 2x+2 \). So, we write \( x+3 = A(2x+2) + B \).
\( x+3 = A(2x+2) + B \)
\( \implies x+3 = 2Ax + 2A + B \) By comparing the coefficients of \( x \) and the constant terms on both sides, we get:
\( 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2} \)
\( 2A + B = 3 \) Substitute \( A = \frac{1}{2} \) into the second equation:
\( 2(\frac{1}{2}) + B = 3 \implies 1 + B = 3 \implies B = 2 \) Now, substitute the values of A and B back into the integral:
\( \int \frac { x+3 }{ \sqrt { x^{2}+2x+2 } } dx = \int \frac { \frac{1}{2}(2x+2) + 2 }{ \sqrt { x^{2}+2x+2 } } dx \) Split this into two separate integrals:
\( = \frac {1}{2} \int \frac { (2x+2) }{ \sqrt { x^{2}+2x+2 } } dx + 2 \int \frac { 1 }{ \sqrt { x^{2}+2x+2 } } dx \) For the first integral, let \( t = x^2+2x+2 \). Then \( dt = (2x+2)dx \).
\( \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} (2t^{1/2}) = \sqrt{t} = \sqrt{x^2+2x+2} \) For the second integral, complete the square for the denominator \( x^2+2x+2 \):
\( x^2+2x+2 = (x^2+2x+1)+1 = (x+1)^2 + 1^2 \) So the second integral becomes:
\( 2 \int \frac { 1 }{ \sqrt { (x+1)^2 + 1^2 } } dx \) This is a standard integral of the form \( \int \frac{1}{\sqrt{y^2+a^2}} dy = \log |y + \sqrt{y^2+a^2}| \). Here, \( y = x+1 \) and \( a = 1 \).
\( = 2 \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 + 1^2}| \)
\( = 2 \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+2}| \) Combining both parts, the final answer is:
\( = \sqrt{x^{2}+2x+2} + 2 \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+2}| + C \) This method ensures the numerator correctly relates to the denominator's derivative, making the integral solvable.
In simple words: First, we change the top part of the fraction to match the derivative of the bottom part. Then, we split the problem into two easier parts. For one part, we use a simple substitution, and for the other, we complete the square to use a known integration formula.

🎯 Exam Tip: When you have an integral of the form \( \int \frac{Px+Q}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx \), always try to write \( Px+Q = A(2ax+b)+B \) to simplify it into two standard integrals.

Question 19. \( \int \sqrt { sec\ x-1 } dx \)
Answer: To evaluate this integral, we start by rewriting \( sec\ x \) in terms of \( cos\ x \):
\( \int \sqrt { sec\ x-1 } dx = \int \sqrt { \frac { 1 }{ cos\ x } -1 } dx \) Combine the terms inside the square root:
\( = \int \sqrt { \frac { 1-cos\ x }{ cos\ x } } dx \) To simplify further, multiply the numerator and denominator inside the square root by \( (1+cos\ x) \):
\( = \int \sqrt { \frac { (1-cos\ x)(1+cos\ x) }{ cos\ x(1+cos\ x) } } dx \) Use the identity \( (1-cos\ x)(1+cos\ x) = 1-cos^2\ x = sin^2\ x \):
\( = \int \sqrt { \frac { sin^2\ x }{ cos\ x(1+cos\ x) } } dx \) Take the square root of the numerator:
\( = \int \frac { sin\ x }{ \sqrt { cos\ x(1+cos\ x) } } dx \) Now, let's use a substitution. Let \( cos\ x = t \). Then, differentiate both sides with respect to \( x \): \( -sin\ x\ dx = dt \). This means \( sin\ x\ dx = -dt \). Substitute these into the integral:
\( = \int \frac { -dt }{ \sqrt { t(1+t) } } = - \int \frac { 1 }{ \sqrt { t+t^2 } } dt \) Next, complete the square for the expression under the square root in the denominator, \( t+t^2 \):
\( t^2+t = t^2+t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = (t+\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 \) So the integral becomes:
\( = - \int \frac { 1 }{ \sqrt { (t+\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 } } dt \) This is a standard integral of the form \( \int \frac{1}{\sqrt{y^2-a^2}} dy = \log |y + \sqrt{y^2-a^2}| \). Here, \( y = t+\frac{1}{2} \) and \( a = \frac{1}{2} \).
\( = - \log |(t+\frac{1}{2}) + \sqrt{(t+\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + C \) Simplify the term under the square root back to \( t^2+t \):
\( = - \log |(t+\frac{1}{2}) + \sqrt{t^2+t}| + C \) Finally, substitute back \( t = cos\ x \):
\( = - \log |(cos\ x+\frac{1}{2}) + \sqrt{cos^2\ x+cos\ x}| + C \) This process effectively transformed a complex trigonometric integral into a solvable form using algebraic manipulation and substitution.
In simple words: First, we change \( sec\ x \) to \( \frac{1}{cos\ x} \) and simplify the fraction inside the square root. Then, we multiply the top and bottom by \( \sqrt{1+cos\ x} \) to create \( sin^2\ x \) on top. After that, we substitute \( cos\ x \) with \( t \) and complete the square in the bottom part. Finally, we use a known formula for integration and put \( cos\ x \) back.

🎯 Exam Tip: For integrals involving \( \sqrt{sec\ x - 1} \) or similar forms, rationalizing the numerator or denominator using trigonometric identities (like \( 1-cos^2\ x = sin^2\ x \)) is often the key first step to simplify the integrand.

Question 20. \( \int \sqrt { \frac { sin(x-a) }{ sin(x+a) } } dx \)
Answer: To solve this integral, we first multiply the numerator and denominator inside the square root by \( sin(x-a) \) to simplify the expression:
\( \int \sqrt { \frac { sin(x-a) }{ sin(x+a) } } dx = \int \sqrt { \frac { sin^2(x-a) }{ sin(x-a)sin(x+a) } } dx \) Now, use the trigonometric identity \( sin(A-B)sin(A+B) = sin^2 A - sin^2 B \) for the denominator:
\( sin(x-a)sin(x+a) = sin^2 x - sin^2 a \) So, the integral becomes:
\( = \int \sqrt { \frac { sin^2(x-a) }{ sin^2\ x - sin^2\ a } } dx = \int \frac { sin(x-a) }{ \sqrt { sin^2\ x - sin^2\ a } } dx \) Next, expand \( sin(x-a) \) using the formula \( sin(A-B) = sin\ A\ cos\ B - cos\ A\ sin\ B \):
\( = \int \frac { sin\ x\ cos\ a - cos\ x\ sin\ a }{ \sqrt { sin^2\ x - sin^2\ a } } dx \) Split this into two separate integrals:
\( = cos\ a \int \frac { sin\ x }{ \sqrt { sin^2\ x - sin^2\ a } } dx - sin\ a \int \frac { cos\ x }{ \sqrt { sin^2\ x - sin^2\ a } } dx \) Let's evaluate each integral separately. For the first integral, \( I_1 = cos\ a \int \frac { sin\ x }{ \sqrt { sin^2\ x - sin^2\ a } } dx \): Let \( cos\ x = t \). Then \( -sin\ x\ dx = dt \implies sin\ x\ dx = -dt \). Also, \( sin^2\ x = 1 - cos^2\ x = 1 - t^2 \). Substitute these into \( I_1 \):
\( I_1 = cos\ a \int \frac { -dt }{ \sqrt { 1-t^2 - sin^2\ a } } = -cos\ a \int \frac { dt }{ \sqrt { (1-sin^2\ a) - t^2 } } \) Since \( 1-sin^2\ a = cos^2\ a \):
\( I_1 = -cos\ a \int \frac { dt }{ \sqrt { cos^2\ a - t^2 } } \) This is a standard integral of the form \( \int \frac{1}{\sqrt{A^2-y^2}} dy = sin^{-1}(\frac{y}{A}) \).
\( I_1 = -cos\ a \ sin^{-1}(\frac{t}{cos\ a}) + C_1 \) Substitute back \( t = cos\ x \):
\( I_1 = -cos\ a \ sin^{-1}(\frac{cos\ x}{cos\ a}) + C_1 \) Now for the second integral, \( I_2 = -sin\ a \int \frac { cos\ x }{ \sqrt { sin^2\ x - sin^2\ a } } dx \): Let \( sin\ x = u \). Then \( cos\ x\ dx = du \). Substitute these into \( I_2 \):
\( I_2 = -sin\ a \int \frac { du }{ \sqrt { u^2 - sin^2\ a } } \) This is a standard integral of the form \( \int \frac{1}{\sqrt{y^2-A^2}} dy = \log |y + \sqrt{y^2-A^2}| \).
\( I_2 = -sin\ a \log |u + \sqrt{u^2 - sin^2\ a}| + C_2 \) Substitute back \( u = sin\ x \):
\( I_2 = -sin\ a \log |sin\ x + \sqrt{sin^2\ x - sin^2\ a}| + C_2 \) Combining \( I_1 \) and \( I_2 \), the final answer is:
\( I = -cos\ a \ sin^{-1}(\frac{cos\ x}{cos\ a}) - sin\ a \log |sin\ x + \sqrt{sin^2\ x - sin^2\ a}| + C \) (where \( C = C_1 + C_2 \)) Solving this problem involves using multiple trigonometric identities and applying two different types of standard integral formulas.
In simple words: We first change the fraction inside the square root by multiplying the top and bottom by \( sin(x-a) \) and using a special trigonometry rule for the bottom. Then, we split the problem into two separate parts. For each part, we use a different substitution and a specific integration formula. Finally, we put both answers together.

🎯 Exam Tip: For complex trigonometric integrals like this, start by using relevant trigonometric identities to simplify the integrand. Then, consider splitting the integral or using appropriate substitutions to convert it into standard forms.

Question 21. \( \int \frac { x^3 }{ x^{2}+x+1 } dx \)
Answer: This is an integral of an improper rational function because the degree of the numerator (3) is greater than the degree of the denominator (2). Therefore, the first step is to perform polynomial long division. When we divide \( x^3 \) by \( x^2+x+1 \), we get:
\( \frac { x^3 }{ x^{2}+x+1 } = x-1 + \frac{1}{x^2+x+1} \) So, the integral can be rewritten as:
\( = \int (x-1 + \frac{1}{x^2+x+1}) dx \) Now, split this into two simpler integrals:
\( = \int (x-1) dx + \int \frac{1}{x^2+x+1} dx \) The first integral is straightforward:
\( \int (x-1) dx = \frac{x^2}{2} - x \) For the second integral, \( \int \frac{1}{x^2+x+1} dx \), we need to complete the square in the denominator:
\( x^2+x+1 = x^2+x+\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 \)
\( = (x^2+x+\frac{1}{4}) + (1-\frac{1}{4}) \)
\( = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \) We can write \( \frac{3}{4} \) as \( (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \). So the second integral becomes:
\( \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx \) This is a standard integral of the form \( \int \frac{1}{y^2+a^2} dy = \frac{1}{a} tan^{-1}(\frac{y}{a}) \). Here, \( y = x+\frac{1}{2} \) and \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} tan^{-1}(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) \) Combining all the parts, the final answer is:
\( = \frac{x^2}{2} - x + \frac{2}{\sqrt{3}} tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C \) Performing polynomial long division is essential for integrating improper rational functions.
In simple words: Since the top part of the fraction is bigger than the bottom part, we first divide them like in normal division. This gives us a simpler part to integrate and a new fraction. We integrate the simple part easily. For the new fraction, we make the bottom part a perfect square and then use a special formula that helps us find the integral involving the inverse tangent function.

🎯 Exam Tip: Always check if a rational function integral is proper or improper. If improper (degree of numerator \( \ge \) degree of denominator), perform polynomial long division first. Then, for the remaining proper fraction, complete the square or use partial fractions.

Question 22. \( \int \frac { e^x }{ e^{2x}+6e^x+5 } dx \)
Answer: To solve this integral, we can use a substitution to simplify the expression. Let \( e^x = t \). Now, differentiate both sides with respect to \( x \): \( e^x dx = dt \). Substitute \( e^x = t \) and \( e^x dx = dt \) into the integral:
\( = \int \frac { dt }{ t^{2}+6t+5 } \) Now, we need to integrate this rational function. First, factor the quadratic expression in the denominator:
\( t^2+6t+5 = (t+1)(t+5) \) So, the integral becomes:
\( = \int \frac { dt }{ (t+1)(t+5) } \) We can use partial fraction decomposition to break this fraction into simpler terms. Let:
\( \frac{1}{(t+1)(t+5)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+5} \) Multiply both sides by \( (t+1)(t+5) \) to clear the denominators:
\( 1 = A(t+5) + B(t+1) \) To find A, set \( t = -1 \):
\( 1 = A(-1+5) + B(-1+1) \)
\( 1 = 4A \implies A = \frac{1}{4} \) To find B, set \( t = -5 \):
\( 1 = A(-5+5) + B(-5+1) \)
\( 1 = -4B \implies B = -\frac{1}{4} \) Now substitute the values of A and B back into the integral:
\( = \int (\frac{1}{4(t+1)} - \frac{1}{4(t+5)}) dt \) Split this into two separate integrals:
\( = \frac{1}{4} \int \frac{1}{t+1} dt - \frac{1}{4} \int \frac{1}{t+5} dt \) Integrate each part (using \( \int \frac{1}{y} dy = \log|y| \)):
\( = \frac{1}{4} \log |t+1| - \frac{1}{4} \log |t+5| + C \) Combine the logarithmic terms using the property \( \log a - \log b = \log (\frac{a}{b}) \):
\( = \frac{1}{4} \log |\frac{t+1}{t+5}| + C \) Finally, substitute back \( t = e^x \):
\( = \frac{1}{4} \log |\frac{e^x+1}{e^x+5}| + C \) This method transforms an exponential integral into a manageable rational function problem.
In simple words: First, we change \( e^x \) to a new variable \( t \). This makes the problem look like a fraction with \( t \) values. Then, we break this fraction into two simpler fractions using a method called partial fractions. After integrating these two simple fractions, we put \( e^x \) back in place of \( t \) to get the final answer.

🎯 Exam Tip: For integrals involving \( e^x \) in this form, substitution \( t = e^x \) is usually the first step. This transforms the integral into a rational function, which can then be solved using partial fractions or completing the square.