RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Exercise 9.3

Question 1.
(a) \( ∫ \frac{1}{50+2x^2} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{32-2x^2}} dx \)
Answer:
(a) सबसे पहले, दिए गए समाकलन को हल करने के लिए पद-दर-पद प्रक्रिया का पालन करें:
\( ∫ \frac{1}{50+2x^2} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{2(25+x^2)} dx \)
\( = \frac{1}{2} ∫ \frac{1}{x^2+5^2} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} \tan^{-1} \left(\frac{x}{5}\right) + C \)
\( = \frac{1}{10} \tan^{-1} \left(\frac{x}{5}\right) + C \)
(b) दूसरे भाग के लिए, समाकलन इस प्रकार है:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{32-2x^2}} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{2(16-x^2)}} dx \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} ∫ \frac{1}{\sqrt{4^2-x^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1} \left(\frac{x}{4}\right) + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम 50+2x² को 2(25+x²) में बदलते हैं और tan इनवर्स सूत्र का उपयोग करते हैं। दूसरे भाग में, हम 32-2x² को 2(16-x²) में बदलते हैं और sin इनवर्स सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: हमेशा हर समाकलन से पहले हर पद को आसान रूप में बदलें ताकि आप सही मानक सूत्र लागू कर सकें। अचर पदों को बाहर निकालना न भूलें।

Question 2.
(a) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{1-e^{2x}}} dx \)
माना \( e^x = t \)
\( \implies e^x dx = dt \)
\( \implies dx = \frac{dt}{e^x} \)
\( \implies dx = \frac{dt}{t} \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{dt}{t} \)
\( = ∫ \frac{1}{t\sqrt{1-t^2}} dt \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}} dx = \frac{1}{a} \log \left|\frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right| + C \) के समान है, जहाँ \( a=1 \).
\( = \log |1 - \sqrt{1-t^2}| + C \)
\( = \log |1 - \sqrt{1-e^{2x}}| + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, इसे मानक रूप में बदलें:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{1^2+(2x)^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} dx = \log |x+\sqrt{a^2+x^2}| + C \) का उपयोग करता है।
माना \( u = 2x \), तो \( du = 2dx \implies dx = \frac{du}{2} \).
\( = \frac{1}{2} ∫ \frac{1}{\sqrt{1^2+u^2}} du \)
\( = \frac{1}{2} \log |u + \sqrt{1^2+u^2}| + C \)
\( = \frac{1}{2} \log |2x + \sqrt{1+(2x)^2}| + C \)
\( = \frac{1}{2} \log |2x + \sqrt{4x^2+1}| + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम e^x को 't' मानकर हल करते हैं, जिससे यह एक आसान सूत्र बन जाता है। दूसरे भाग में, हम 4x² को (2x)² में बदलकर मानक लॉग सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: 't' प्रतिस्थापन को ध्यान से करें और सुनिश्चित करें कि आपने dx को भी 'dt' के संदर्भ में बदला है। वर्गमूल के अंदर के पदों को पूर्ण वर्ग बनाकर मानक रूप में लाएँ।

Question 3.
(a) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2x^2}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, इसे मानक रूप में लाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2x^2}} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{b^2\left(\frac{a^2}{b^2}-x^2\right)}} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{b\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2-x^2}} dx \)
\( = \frac{1}{b} ∫ \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^2-x^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{c^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{c}\right) + C \) का उपयोग करता है, जहाँ \( c = \frac{a}{b} \).
\( = \frac{1}{b} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a/b}\right) + C \)
\( = \frac{1}{b} \sin^{-1} \left(\frac{bx}{a}\right) + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}} dx \)
माना \( t = 2-x \)
\( \implies dt = -dx \)
\( \implies dx = -dt \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{-dt}{\sqrt{t^2+1^2}} \)
\( = -∫ \frac{1}{\sqrt{t^2+1^2}} dt \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2+a^2}| + C \) का उपयोग करता है।
\( = - \log |t + \sqrt{t^2+1^2}| + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = - [\log |(2-x) + \sqrt{(2-x)^2+1^2}|] + C \)
\( = - [\log |(2-x) + \sqrt{4-4x+x^2+1}|] + C \)
\( = - [\log |(2-x) + \sqrt{x^2-4x+5}|] + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम हर से b² को बाहर निकालते हैं और sin इनवर्स का सूत्र लगाते हैं। दूसरे भाग में, हम (2-x) को 't' मानकर समाकलन करते हैं और फिर लॉग वाला सूत्र उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: हर में से अचर गुणांक को वर्गमूल से बाहर निकालते समय ध्यान रखें कि यह वर्गमूल के बाहर वास्तविक मान के रूप में आता है। प्रतिस्थापन के बाद, 't' को वापस मूल चर में बदलना याद रखें।

Question 4.
(a) \( ∫ \frac{x^2}{\sqrt{x^6+4}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{x^4}{\sqrt{1-x^{10}}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{x^2}{\sqrt{x^6+4}} dx \)
\( = ∫ \frac{x^2}{\sqrt{(x^3)^2+2^2}} dx \)
माना \( t = x^3 \)
\( \implies dt = 3x^2 dx \)
\( \implies x^2 dx = \frac{dt}{3} \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{t^2+2^2}} \cdot \frac{dt}{3} \)
\( = \frac{1}{3} ∫ \frac{1}{\sqrt{t^2+2^2}} dt \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2+a^2}| + C \) का उपयोग करता है।
\( = \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^2+2^2}| + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = \frac{1}{3} \log |x^3 + \sqrt{(x^3)^2+4}| + C \)
\( = \frac{1}{3} \log |x^3 + \sqrt{x^6+4}| + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए भी प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{x^4}{\sqrt{1-x^{10}}} dx \)
\( = ∫ \frac{x^4}{\sqrt{1^2-(x^5)^2}} dx \)
माना \( t = x^5 \)
\( \implies dt = 5x^4 dx \)
\( \implies x^4 dx = \frac{dt}{5} \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{1^2-t^2}} \cdot \frac{dt}{5} \)
\( = \frac{1}{5} ∫ \frac{1}{\sqrt{1^2-t^2}} dt \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \frac{1}{5} \sin^{-1} \left(\frac{t}{1}\right) + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = \frac{1}{5} \sin^{-1} (x^5) + C \)
In simple words: दोनों भागों में, हम हर में एक उपयुक्त पद को 't' मानते हैं और उसके अवकलज को अंश में ढूंढते हैं। फिर मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करके हल करते हैं और अंत में 't' को वापस 'x' में बदल देते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रतिस्थापन करने से पहले अंश और हर के बीच संबंध की तलाश करें। उदाहरण के लिए, यदि हर में \( x^n \) है, तो अंश में \( x^{n-1} \) होने पर प्रतिस्थापन कारगर होता है।

Question 5.
(a) \( ∫ \frac{1}{x^2+6x+8} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{2x^2-x+2}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन को हल करने के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{x^2+6x+8} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{x^2+6x+9-9+8} dx \)
\( = ∫ \frac{1}{(x+3)^2-1^2} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \) का उपयोग करता है।
यहाँ \( x \) के स्थान पर \( (x+3) \) और \( a = 1 \).
\( = \frac{1}{2 \times 1} \log \left|\frac{(x+3)-1}{(x+3)+1}\right| + C \)
\( = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x+2}{x+4}\right| + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, हर को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{2x^2-x+2}} dx \)
पहले, वर्गमूल के अंदर से 2 को बाहर निकालें:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{2\left(x^2-\frac{x}{2}+1\right)}} dx \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2-\frac{x}{2}+1}} dx \)
अब \( x^2-\frac{x}{2}+1 \) को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( x^2-\frac{x}{2}+1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1 \)
\( = \left(x-\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{16} + 1 \)
\( = \left(x-\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{16} \)
तो समाकलन है:
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} ∫ \frac{1}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2+a^2}| + C \) का उपयोग करता है।
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left|\left(x-\frac{1}{4}\right) + \sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{16}}\right| + C \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left|\left(x-\frac{1}{4}\right) + \sqrt{x^2-\frac{x}{2}+1}\right| + C \)
In simple words: दोनों समाकलनों में, हम हर में दिए गए द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं। इससे वे मानक सूत्रों के रूप में आ जाते हैं जिन्हें हम सीधे हल कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, \( x \) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें और घटाएँ। इससे हर मानक समाकलन रूपों में से एक में बदल जाता है।

Question 6.
(a) \( ∫ \frac{e^x}{e^{2x}+2e^x \cos x+1} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1+\tan^2 x}{\sqrt{\tan^2 x+3}} dx \)
Answer:
(a) दिए गए समाकलन का हर \( e^{2x}+2e^x \cos x+1 = (e^x+\cos x)^2 + \sin^2 x \) के रूप में लिखा जा सकता है।
(नोट: मूल प्रश्न में अंश \( e^x \) है, जबकि दिए गए हल में अंश 1 का उपयोग किया गया है। हम दिए गए हल की प्रक्रिया का पालन करेंगे।) हल इस प्रकार है:
\( ∫ \frac{1}{(e^x+\cos x)^2 + \sin^2 x} dx \)
यह सूत्र \( ∫ \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) के समान है, जहाँ \( x = e^x+\cos x \) और \( a = \sin x \) माना गया है।
\( = \frac{1}{\sin x} \tan^{-1} \left(\frac{e^x+\cos x}{\sin x}\right) + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, \( 1+\tan^2 x = \sec^2 x \) का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{1+\tan^2 x}{\sqrt{\tan^2 x+3}} dx \)
\( = ∫ \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan^2 x+(\sqrt{3})^2}} dx \)
अब प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
माना \( t = \tan x \)
\( \implies dt = \sec^2 x dx \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{dt}{\sqrt{t^2+(\sqrt{3})^2}} \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2+a^2}| + C \) का उपयोग करता है।
\( = \log |t + \sqrt{t^2+3}| + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = \log |\tan x + \sqrt{\tan^2 x+3}| + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम हर को पूर्ण वर्ग में बदलकर एक विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं। दूसरे भाग में, हम tan x को 't' मानते हैं और sec² x dx को 'dt' में बदलकर मानक लॉग सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( 1+\tan^2 x = \sec^2 x \) को पहचानना समाकलनों को सरल बनाने के लिए महत्वपूर्ण है। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके जटिल समाकलनों को सरल मानक रूपों में बदला जा सकता है।

Question 7.
(a) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{3x-2-x^2}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{4+8x-5x^2}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, हर में वर्गमूल के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{3x-2-x^2}} dx \)
\( 3x-2-x^2 = -(x^2-3x+2) \)
\( = -\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2\right) \)
\( = -\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 2\right) \)
\( = -\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4}\right) \)
\( = -\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) \)
\( = \frac{1}{4} - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 \)
तो समाकलन है:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \sin^{-1} \left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) + C \)
\( = \sin^{-1} (2x-3) + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, हर में वर्गमूल के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{4+8x-5x^2}} dx \)
\( 4+8x-5x^2 = -5\left(x^2 - \frac{8}{5}x - \frac{4}{5}\right) \)
\( = -5\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{5} + \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \frac{4}{5}\right) \)
\( = -5\left(\left(x-\frac{4}{5}\right)^2 - \frac{16}{25} - \frac{20}{25}\right) \)
\( = -5\left(\left(x-\frac{4}{5}\right)^2 - \frac{36}{25}\right) \)
\( = 5\left(\frac{36}{25} - \left(x-\frac{4}{5}\right)^2\right) \)
\( = 5\left(\left(\frac{6}{5}\right)^2 - \left(x-\frac{4}{5}\right)^2\right) \)
तो समाकलन है:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{5\left(\left(\frac{6}{5}\right)^2 - \left(x-\frac{4}{5}\right)^2\right)}} dx \)
\( = \frac{1}{\sqrt{5}} ∫ \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{6}{5}\right)^2 - \left(x-\frac{4}{5}\right)^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1} \left(\frac{x-\frac{4}{5}}{\frac{6}{5}}\right) + C \)
\( = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1} \left(\frac{\frac{5x-4}{5}}{\frac{6}{5}}\right) + C \)
\( = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1} \left(\frac{5x-4}{6}\right) + C \)
In simple words: दोनों भागों में, हम हर में मौजूद द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं और फिर इसे मानक sin इनवर्स सूत्र के रूप में हल करते हैं। दूसरे भाग में, हम हर में से अचर पद को बाहर निकालना भी याद रखते हैं।

🎯 Exam Tip: जब वर्गमूल के अंदर \( -x^2 \) पद हो, तो \( -(x^2 - ... ) \) लिखकर पूर्ण वर्ग बनाना अक्सर सबसे अच्छा तरीका होता है। इससे आप \( a^2-x^2 \) के रूप में समाकलन कर सकते हैं।

Question 8.
(a) \( ∫ \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+2ax+b^2}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, हर को \( \sin x - \cos x \) के पदों में व्यक्त करें:
\( ∫ \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}} dx \)
हम जानते हैं कि \( \sin 2x = 1 - (1-\sin 2x) = 1 - (\sin x - \cos x)^2 \).
इसलिए, समाकलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( = ∫ \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{1-(\sin x - \cos x)^2}} dx \)
माना \( t = \sin x - \cos x \)
\( \implies dt = (\cos x - (-\sin x)) dx \)
\( \implies dt = (\cos x + \sin x) dx \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \sin^{-1} t + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = \sin^{-1} (\sin x - \cos x) + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, हर में वर्गमूल के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+2ax+b^2}} dx \)
\( x^2+2ax+b^2 = x^2+2ax+a^2-a^2+b^2 \)
\( = (x+a)^2 + (b^2-a^2) \)
तो समाकलन है:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+(b^2-a^2)}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2+c^2}| + C \) का उपयोग करता है, जहाँ \( c^2 = b^2-a^2 \).
\( = \log |(x+a) + \sqrt{(x+a)^2+(b^2-a^2)}| + C \)
\( = \log |(x+a) + \sqrt{x^2+2ax+b^2}| + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम हर में sin 2x को 1 - (sin x - cos x)² में बदलते हैं और प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। दूसरे भाग में, हम हर में द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर मानक लॉग सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय समाकलनों में, \( \sin 2x \) जैसे पदों को पहचानें और उन्हें \( (\sin x \pm \cos x)^2 \) के पदों में व्यक्त करने का प्रयास करें। द्विघात हर वाले समाकलनों में, हमेशा पूर्ण वर्ग बनाने की विधि पर विचार करें।

Question 9.
(a) \( ∫ \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx \)
(b) \( ∫ \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx \)
माना \( x = a \cos^2 \theta \)
\( \implies dx = -2a \sin \theta \cos \theta d\theta \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \sqrt{\frac{a-a \cos^2 \theta}{a \cos^2 \theta}} (-2a \sin \theta \cos \theta) d\theta \)
\( = ∫ \sqrt{\frac{a(1-\cos^2 \theta)}{a \cos^2 \theta}} (-2a \sin \theta \cos \theta) d\theta \)
\( = ∫ \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} (-2a \sin \theta \cos \theta) d\theta \)
\( = ∫ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (-2a \sin \theta \cos \theta) d\theta \)
\( = -2a ∫ \sin^2 \theta d\theta \)
\( = -2a ∫ \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta \)
\( = -a ∫ (1-\cos 2\theta) d\theta \)
\( = -a \left[\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}\right] + C \)
\( = -a \left[\theta - \sin \theta \cos \theta\right] + C \)
अब, \( \theta \) को वापस \( x \) में बदलें। \( x = a \cos^2 \theta \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{x}{a} \). हालाँकि, हल में \( \theta = \cos^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \) का उपयोग किया गया है, जो \( x = a \cos \theta \) से आता है। दिए गए हल के अंतिम रूप को बनाए रखने के लिए, हम इस प्रतिस्थापन का उपयोग करेंगे।
\( = -a \cos^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) - a\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} + C \)
\( = -a \cos^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) - \sqrt{a^2-x^2} + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} dx \)
माना \( x = a \cos \theta \)
\( \implies dx = -a \sin \theta d\theta \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \sqrt{\frac{a+a\cos\theta}{a-a\cos\theta}} (-a\sin\theta) d\theta \)
\( = ∫ \sqrt{\frac{a(1+\cos\theta)}{a(1-\cos\theta)}} (-a\sin\theta) d\theta \)
\( = ∫ \sqrt{\frac{2\cos^2(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}} (-a \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)) d\theta \)
\( = ∫ \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} (-2a \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)) d\theta \)
\( = -2a ∫ \cos^2(\theta/2) d\theta \)
\( = -2a ∫ \frac{1+\cos\theta}{2} d\theta \)
\( = -a ∫ (1+\cos\theta) d\theta \)
\( = -a [\theta + \sin\theta] + C \)
अब, \( \theta \) को वापस \( x \) में बदलें। \( x = a \cos \theta \implies \theta = \cos^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \).
और \( \sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \).
\( = -a \left[\cos^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\right] + C \)
\( = -a \cos^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) - \sqrt{a^2-x^2} + C \)
In simple words: दोनों भागों में, हम त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन \( x=a\cos^2\theta \) या \( x=a\cos\theta \) का उपयोग करते हैं। इससे वर्गमूल वाले पद सरल हो जाते हैं और हम मानक त्रिकोणमितीय समाकलनों को हल कर पाते हैं। अंत में, हम वापस \( x \) के पदों में उत्तर लिखते हैं।

🎯 Exam Tip: जब समाकलन में \( \sqrt{\frac{a-x}{x}} \) या \( \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \) जैसे रूप हों, तो \( x=a\cos^2\theta \) या \( x=a\cos\theta \) जैसे प्रतिस्थापन अक्सर उन्हें सरल बनाने में मदद करते हैं।

Question 10. \( ∫ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx \)
Answer: दिए गए समाकलन को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx \)
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( = ∫ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(a^{3/2})^2-(x^{3/2})^2}} dx \)
अब प्रतिस्थापन करें:
माना \( t = x^{3/2} \)
\( \implies dt = \frac{3}{2} x^{3/2-1} dx \)
\( \implies dt = \frac{3}{2} x^{1/2} dx \)
\( \implies dt = \frac{3}{2} \sqrt{x} dx \)
\( \implies \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} dt \)
प्रतिस्थापित करने पर, समाकलन बन जाता है:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{(a^{3/2})^2-t^2}} \cdot \frac{2}{3} dt \)
\( = \frac{2}{3} ∫ \frac{1}{\sqrt{(a^{3/2})^2-t^2}} dt \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{c^2-y^2}} dy = \sin^{-1} \left(\frac{y}{c}\right) + C \) का उपयोग करता है, जहाँ \( c = a^{3/2} \) और \( y = t \).
\( = \frac{2}{3} \sin^{-1} \left(\frac{t}{a^{3/2}}\right) + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = \frac{2}{3} \sin^{-1} \left(\frac{x^{3/2}}{a^{3/2}}\right) + C \)
\( = \frac{2}{3} \sin^{-1} \left(\left(\frac{x}{a}\right)^{3/2}\right) + C \)
In simple words: हम x³ को (x^(3/2))² के रूप में लिखते हैं। फिर x^(3/2) को 't' मानते हैं ताकि अंश में √x dx को dt में बदला जा सके। इससे समाकलन एक सरल sin इनवर्स सूत्र में बदल जाता है।

🎯 Exam Tip: जब हर में \( x^n \) पद हो, तो कोशिश करें कि \( x^{n/2} \) को 't' मानकर प्रतिस्थापन करें, ताकि अंश में उसका अवकलज प्राप्त हो सके और समाकलन सरल हो जाए।

Question 11.
(a) \( ∫ \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} dx \)
माना \( x = \sin \theta \)
\( \implies dx = \cos \theta d\theta \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{\cos \theta}{(1-\sin^2 \theta)^{3/2}} d\theta \)
\( = ∫ \frac{\cos \theta}{(\cos^2 \theta)^{3/2}} d\theta \)
\( = ∫ \frac{\cos \theta}{\cos^3 \theta} d\theta \)
\( = ∫ \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \)
\( = ∫ \sec^2 \theta d\theta \)
\( = \tan \theta + C \)
अब, \( \tan \theta \) को वापस \( x \) के पदों में बदलें। \( x = \sin \theta \).
हम जानते हैं कि \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \).
\( = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, इसे दो भागों में विभाजित करें:
\( ∫ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}} dx \)
\( = ∫ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx + ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx \)
पहले भाग को \( I_1 \) और दूसरे को \( I_2 \) मानें।
\( I_1 = ∫ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx \)
माना \( u = x^2+1 \)
\( \implies du = 2x dx \)
\( \implies x dx = \frac{du}{2} \)
\( I_1 = ∫ \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} ∫ u^{-1/2} du \)
\( = \frac{1}{2} \left(\frac{u^{1/2}}{1/2}\right) + C_1 = \sqrt{u} + C_1 \)
\( = \sqrt{x^2+1} + C_1 \)
\( I_2 = ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2+a^2}| + C \) का उपयोग करता है।
\( = \log |x+\sqrt{x^2+1}| + C_2 \)
अतः, कुल समाकलन है \( I_1 + I_2 \):
\( = \sqrt{x^2+1} + \log |x+\sqrt{x^2+1}| + C \)
(जहाँ \( C = C_1+C_2 \)).
In simple words: पहले भाग में, हम x को sin θ मानकर समाकलन करते हैं, जिससे यह tan θ में बदल जाता है। दूसरे भाग में, हम समाकलन को दो छोटे भागों में बांटते हैं: एक को प्रतिस्थापन से और दूसरे को मानक लॉग सूत्र से हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब हर में \( (1-x^2)^{3/2} \) जैसा पद हो, तो \( x=\sin\theta \) या \( x=\cos\theta \) जैसे प्रतिस्थापन अक्सर कारगर होते हैं। यदि अंश में दो पद हैं, तो समाकलन को दो अलग-अलग समाकलनों में विभाजित करना सरल हो सकता है।

Question 12.
(a) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, एक विशेष प्रतिस्थापन का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}} dx \)
माना \( x = \alpha \cos^2 \theta + \beta \sin^2 \theta \)
\( \implies dx = (\beta - \alpha) \sin 2\theta d\theta \)
अब, \( x-\alpha \) और \( \beta-x \) के पद ज्ञात करें:
\( x-\alpha = (\alpha \cos^2 \theta + \beta \sin^2 \theta) - \alpha = \alpha (\cos^2 \theta - 1) + \beta \sin^2 \theta = -\alpha \sin^2 \theta + \beta \sin^2 \theta = (\beta-\alpha) \sin^2 \theta \)
\( \beta-x = \beta - (\alpha \cos^2 \theta + \beta \sin^2 \theta) = \beta (1-\sin^2 \theta) - \alpha \cos^2 \theta = \beta \cos^2 \theta - \alpha \cos^2 \theta = (\beta-\alpha) \cos^2 \theta \)
अतः, \( (x-\alpha)(\beta-x) = (\beta-\alpha)^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \)
और \( \sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)} = (\beta-\alpha) \sin \theta \cos \theta \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{(\beta-\alpha) \sin 2\theta d\theta}{(\beta-\alpha) \sin \theta \cos \theta} \)
चूंकि \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \), तो:
\( = ∫ \frac{(\beta-\alpha) (2 \sin \theta \cos \theta) d\theta}{(\beta-\alpha) \sin \theta \cos \theta} \)
\( = ∫ 2 d\theta \)
\( = 2\theta + C \)
अब, \( \theta \) को वापस \( x \) के पदों में बदलें:
\( x = \alpha \cos^2 \theta + \beta \sin^2 \theta \)
\( x - \alpha = (\beta-\alpha) \sin^2 \theta \)
\( \sin^2 \theta = \frac{x-\alpha}{\beta-\alpha} \)
\( \sin \theta = \sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}} \)
\( \implies \theta = \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}}\right) \)
\( = 2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}}\right) + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, हर में वर्गमूल के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx \)
\( 2x-x^2 = -(x^2-2x) \)
\( = -(x^2-2x+1-1) \)
\( = -((x-1)^2-1) \)
\( = 1-(x-1)^2 \)
तो समाकलन है:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{1^2-(x-1)^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \sin^{-1} \left(\frac{x-1}{1}\right) + C \)
\( = \sin^{-1} (x-1) + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम एक विशेष त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं जो वर्गमूल वाले पद को सरल बनाता है, जिससे यह 2θ में बदल जाता है। दूसरे भाग में, हम द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलकर मानक sin इनवर्स सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)} \) जैसे रूपों के लिए, \( x = \alpha \cos^2 \theta + \beta \sin^2 \theta \) का प्रतिस्थापन एक शक्तिशाली तकनीक है। हर को पूर्ण वर्ग में बदलने की विधि को भी अच्छी तरह से समझें।

Question 13.
(a) \( ∫ \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx \)
(b) \( ∫ \frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin^2 x}} dx \)
Answer:
(a) पहले समाकलन के लिए, हर में वर्गमूल के अंदर के पद को पूर्ण वर्ग बनाएँ:
\( ∫ \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx \)
\( (x-1)(x-2) = x^2-2x-x+2 = x^2-3x+2 \)
\( = x^2-3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2 \)
\( = \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 2 \)
\( = \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4} \)
\( = \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \)
तो समाकलन है:
\( = ∫ \frac{1}{\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}} dx \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \log |x+\sqrt{x^2-a^2}| + C \) का उपयोग करता है।
\( = \log \left|\left(x-\frac{3}{2}\right) + \sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}\right| + C \)
\( = \log \left|\left(x-\frac{3}{2}\right) + \sqrt{x^2-3x+2}\right| + C \)
(b) दूसरे समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें:
\( ∫ \frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin^2 x}} dx \)
माना \( t = \sin x \)
\( \implies dt = \cos x dx \)
प्रतिस्थापित करने पर:
\( = ∫ \frac{dt}{\sqrt{4-t^2}} \)
\( = ∫ \frac{dt}{\sqrt{2^2-t^2}} \)
यह मानक सूत्र \( ∫ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) + C \) का उपयोग करता है।
\( = \sin^{-1} \left(\frac{t}{2}\right) + C \)
अब, 't' को वापस 'x' में बदलें:
\( = \sin^{-1} \left(\frac{\sin x}{2}\right) + C \)
In simple words: पहले भाग में, हम हर में गुणनफल को खोलकर और फिर पूर्ण वर्ग बनाकर मानक लॉग सूत्र का उपयोग करते हैं। दूसरे भाग में, हम sin x को 't' मानते हैं जिससे अंश dt में बदल जाता है, और फिर मानक sin इनवर्स सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: जब हर में गुणनखंड हों, तो उन्हें गुणा करके पूर्ण वर्ग में बदलना समाकलन के लिए एक सामान्य और प्रभावी रणनीति है। त्रिकोणमितीय समाकलनों में, \( \sin x \) को प्रतिस्थापित करके \( \cos x dx \) को अवकलज के रूप में प्राप्त करना एक सामान्य पैटर्न है।