RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Exercise 9.1

Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 9 समाकलन Ex 9.1

Question 1. निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए
(a) \( x^{\frac{2}{3}} \)
(b) \( e^{3x} \)
(d) \( a^{2 \log_a x} \)
Answer:
(a) हमें \( x^{\frac{2}{3}} \) का x के सापेक्ष समाकलन करना है।
समाकलन के सूत्र \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) का प्रयोग करने पर:
\( \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C \)
\( = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C \)
\( = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \)
(b) हमें \( e^{3x} \) का x के सापेक्ष समाकलन करना है।
समाकलन के सूत्र \( \int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + C \) का प्रयोग करने पर:
\( \int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C \)
(c) यहाँ पर PDF में प्रश्न का भाग (c) नहीं दिया गया है, परन्तु हल में एक प्रश्न \( \left(\frac{1}{2}\right)^x \) का समाकलन दिया गया है।
हमें \( \left(\frac{1}{2}\right)^x \) का x के सापेक्ष समाकलन करना है।
समाकलन के सूत्र \( \int a^x dx = \frac{a^x}{\log_e a} + C \) का प्रयोग करने पर:
\( \int \left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\log_e \left(\frac{1}{2}\right)} + C \)
\( = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\log_e 1 - \log_e 2} + C \)
\( = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{0 - \log_e 2} + C \)
\( = -\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x}{\log_e 2} + C \)
(d) हमें \( a^{2 \log_a x} \) का x के सापेक्ष समाकलन करना है।
पहले, हम \( a^{2 \log_a x} \) को सरल करेंगे। लघुगणक के नियम \( n \log_b x = \log_b x^n \) और \( a^{\log_a x} = x \) का उपयोग करने पर:
\( a^{2 \log_a x} = a^{\log_a x^2} = x^2 \)
अब, हम \( x^2 \) का समाकलन करेंगे।
\( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \)
\( = \frac{x^3}{3} + C \)
In simple words: समाकलन करने के लिए, हमने चर की घात वाले फलनों के लिए घात के नियम और घातांकीय फलनों के लिए उनके विशिष्ट समाकलन सूत्रों का उपयोग किया। हर बार समाकलन करने पर एक स्थिरांक 'C' जोड़ा जाता है, जो समाकलन के बाद फलन के सभी संभावित मानों को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: समाकलन करते समय, हमेशा पहले फलन को सरल करें, खासकर जब उसमें लघुगणक या घातांकीय पद हों, ताकि सही सूत्र का प्रयोग आसानी से किया जा सके।

Question 2. निम्न समाकलों के मान ज्ञात कीजिए
\( \int (5 \cos x - 3 \sin x + \frac{2}{\cos^2 x}) dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int (5 \cos x - 3 \sin x + \frac{2}{\cos^2 x}) dx \)
पहले, \( \frac{2}{\cos^2 x} \) को \( 2 \sec^2 x \) के रूप में लिखें, क्योंकि \( \frac{1}{\cos x} = \sec x \) होता है।
\( = \int (5 \cos x - 3 \sin x + 2 \sec^2 x) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = 5 \int \cos x dx - 3 \int \sin x dx + 2 \int \sec^2 x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int \cos x dx = \sin x + C \)
\( \int \sin x dx = - \cos x + C \)
\( \int \sec^2 x dx = \tan x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = 5 (\sin x) - 3 (-\cos x) + 2 (\tan x) + C \)
\( = 5 \sin x + 3 \cos x + 2 \tan x + C \)
In simple words: हमने दिए गए फलन को अलग-अलग भागों में तोड़ा और प्रत्येक भाग के लिए उसके विशेष समाकलन सूत्र का उपयोग किया। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को याद रखना महत्वपूर्ण है, जैसे \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \), ताकि सही सूत्र लागू किया जा सके।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन में, हमेशा याद रखें कि \( \int \sin x dx = -\cos x \) और \( \int \cos x dx = \sin x \) होता है। \( \sec^2 x \) का समाकलन \( \tan x \) होता है।

Question 3. \( \int \frac{x^3 - 1}{x^2} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{x^3 - 1}{x^2} dx \)
पहले, भिन्न को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \left( \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} \right) dx \)
\( = \int \left( x - x^{-2} \right) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें और घात नियम का उपयोग करें:
\( = \int x dx - \int x^{-2} dx \)
\( = \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C \)
\( = \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} + C \)
\( = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + C \)
In simple words: हमने पहले भिन्न को सरल किया, जिससे हमें दो आसान पद मिल गए। फिर, हमने प्रत्येक पद का समाकलन करने के लिए घात के नियम का प्रयोग किया, जिसमें \( x^n \) का समाकलन \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) होता है।

🎯 Exam Tip: जब अंश में कई पद हों और हर में एक ही पद हो, तो प्रत्येक अंश के पद को हर से अलग-अलग विभाजित करके समाकलन को सरल बनाना हमेशा आसान होता है।

Question 4. \( \int (\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x) dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int (\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x) dx \)
समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \sec^2 x dx + \int \operatorname{cosec}^2 x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int \sec^2 x dx = \tan x + C \)
\( \int \operatorname{cosec}^2 x dx = -\cot x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = \tan x - \cot x + C \)
In simple words: हमने समाकलन को दो भागों में बांटा और प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन के सीधे समाकलन सूत्र का उपयोग किया। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि \( \operatorname{cosec}^2 x \) का समाकलन \( -\cot x \) होता है।

🎯 Exam Tip: हमेशा मानक समाकलन सूत्रों को याद रखें, विशेषकर त्रिकोणमितीय फलनों के लिए। यह समय बचाता है और गणना में त्रुटियों से बचाता है।

Question 5. \( \int (1+x) \sqrt{x} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int (1+x) \sqrt{x} dx \)
पहले, \( \sqrt{x} \) को \( x^{\frac{1}{2}} \) के रूप में लिखें और कोष्ठक खोलें:
\( = \int (1 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}}) dx \)
\( = \int (x^{\frac{1}{2}} + x^{1+\frac{1}{2}}) dx \)
\( = \int (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें और घात नियम का उपयोग करें:
\( = \int x^{\frac{1}{2}} dx + \int x^{\frac{3}{2}} dx \)
\( = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C \)
\( = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C \)
\( = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \)
In simple words: हमने पहले \( \sqrt{x} \) को \( x^{\frac{1}{2}} \) में बदलकर और फिर कोष्ठक खोलकर फलन को सरल किया। इसके बाद, हमने \( x^n \) के समाकलन के नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का समाकलन किया।

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{x} \) जैसे घात वाले पदों को हमेशा \( x^{\frac{1}{2}} \) के रूप में लिखें। यह घात नियम का उपयोग करके समाकलन को आसान बनाता है।

Question 6. \( \int a^x da \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int a^x da \)
यह समाकलन 'a' के सापेक्ष है, जबकि 'x' एक स्थिरांक के रूप में कार्य कर रहा है।
इसलिए, हम \( a^x \) को 'a' की घात के रूप में मान सकते हैं।
समाकलन के सूत्र \( \int y^n dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C \) का उपयोग करते हुए, जहाँ 'y' हमारा चर है और 'n' हमारा स्थिरांक है:
\( \int a^x da = \frac{a^{x+1}}{x+1} + C \)
यह नियम केवल तभी लागू होता है जब \( x \ne -1 \) हो। यदि \( x = -1 \) होता, तो हर शून्य हो जाता।
In simple words: इस प्रश्न में हमें 'a' के सापेक्ष समाकलन करना था, जिसका मतलब है कि 'x' को एक स्थिर संख्या माना जाएगा। हमने चर की घात वाले फलन के समाकलन का सामान्य नियम लगाया, बस चर और घात की भूमिकाएँ बदल गईं।

🎯 Exam Tip: समाकलन करते समय, हमेशा ध्यान दें कि समाकलन किस चर के सापेक्ष किया जा रहा है। अन्य सभी चर स्थिरांक माने जाते हैं।

Question 8. \( \int \frac{\cos^2 x}{1+\sin x} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{\cos^2 x}{1+\sin x} dx \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) का उपयोग करें:
\( = \int \frac{1 - \sin^2 x}{1+\sin x} dx \)
अब, \( 1 - \sin^2 x \) को \( (1-\sin x)(1+\sin x) \) के रूप में लिखें (क्योंकि \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)):
\( = \int \frac{(1-\sin x)(1+\sin x)}{1+\sin x} dx \)
\( 1+\sin x \) पद को रद्द करें (बशर्ते \( 1+\sin x \ne 0 \)):
\( = \int (1 - \sin x) dx \)
समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int 1 dx - \int \sin x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( = x - (-\cos x) + C \)
\( = x + \cos x + C \)
In simple words: हमने \( \cos^2 x \) को \( 1 - \sin^2 x \) में बदलकर फलन को सरल बनाया। फिर, हमने बीजगणित के सूत्र का उपयोग करके अंश को गुणनखंडित किया और हर के साथ रद्द कर दिया, जिससे समाकलन करना बहुत आसान हो गया।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन में, हमेशा \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) जैसी मूल सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजकों को सरल बनाने का प्रयास करें। यह अक्सर जटिल समस्याओं को सरल बना देता है।

Question 9. \( \int \sec x (\sec x + \tan x) dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \sec x (\sec x + \tan x) dx \)
पहले, \( \sec x \) कोष्ठक के अंदर गुणा करें:
\( = \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \sec^2 x dx + \int \sec x \tan x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int \sec^2 x dx = \tan x + C \)
\( \int \sec x \tan x dx = \sec x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = \tan x + \sec x + C \)
In simple words: हमने पहले फलन को गुणा करके सरल किया, जिससे हमें दो मानक त्रिकोणमितीय समाकलन मिल गए। फिर, हमने सीधे उनके ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके समाकलन किया।

🎯 Exam Tip: \( \int \sec^2 x dx = \tan x \) और \( \int \sec x \tan x dx = \sec x \) जैसे सीधे समाकलन सूत्र याद रखना बहुत उपयोगी होता है।

Question 10. \( \int (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int (\sin^{-1} x + \cos^{-1} x) dx \)
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की एक महत्वपूर्ण सर्वसमिका है:
\( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \)
यह सर्वसमिका किसी भी x के लिए मान्य है जहाँ \( -1 \le x \le 1 \) होता है।
इसलिए, हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( = \int \frac{\pi}{2} dx \)
चूंकि \( \frac{\pi}{2} \) एक स्थिरांक है, इसे समाकलन से बाहर निकाला जा सकता है:
\( = \frac{\pi}{2} \int 1 dx \)
\( = \frac{\pi}{2} x + C \)
In simple words: हमने प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की एक मूल पहचान का उपयोग करके जटिल दिखने वाले फलन को एक साधारण स्थिरांक में बदल दिया। इससे समाकलन करना बहुत आसान हो गया, क्योंकि एक स्थिरांक का समाकलन सिर्फ चर और उस स्थिरांक का गुणनफल होता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मूलभूत सर्वसमिकाओं को पहचानना और लागू करना अक्सर समाकलन को बहुत सरल बना देता है। \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \) एक महत्वपूर्ण सर्वसमिका है।

Question 11. \( \int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} dx \)
अंश को हर के रूप में पुनः लिखें ताकि भिन्न को सरल किया जा सके:
\( = \int \frac{(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} dx \)
अब, भिन्न को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 1} \right) dx \)
\( = \int \left( 1 - \frac{2}{x^2 + 1} \right) dx \)
समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{x^2 + 1} dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int 1 dx = x + C \)
\( \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C \)
यहां \( a=1 \) है।
\( = x - 2 \tan^{-1} x + C \)
In simple words: हमने अंश को हर जैसा बनाने के लिए \( x^2 + 1 - 2 \) लिखा, जिससे भिन्न को \( 1 - \frac{2}{x^2 + 1} \) में सरल किया जा सका। फिर, हमने \( \frac{1}{x^2 + 1} \) के मानक समाकलन सूत्र, जो \( \tan^{-1} x \) होता है, का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: जब अंश और हर की घात समान हो, तो हमेशा अंश को हर के रूप में लिखकर समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करें। यह अक्सर \( \tan^{-1} x \) जैसे मानक रूपों में परिणत होता है।

Question 12. \( \int \tan^2 x dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \tan^2 x dx \)
हम जानते हैं कि \( \tan^2 x \) का सीधा समाकलन सूत्र नहीं है, लेकिन त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sec^2 x - \tan^2 x = 1 \) का उपयोग करके इसे \( \sec^2 x \) में बदला जा सकता है।
इसलिए, \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \)
\( = \int (\sec^2 x - 1) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int \sec^2 x dx = \tan x + C \)
\( \int 1 dx = x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = \tan x - x + C \)
In simple words: चूंकि \( \tan^2 x \) का कोई सीधा समाकलन नहीं होता है, हमने उसे \( \sec^2 x - 1 \) में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया। \( \sec^2 x \) का समाकलन \( \tan x \) होता है, और \( 1 \) का समाकलन \( x \) होता है, जिससे समस्या आसानी से हल हो गई।

🎯 Exam Tip: \( \tan^2 x \) और \( \cot^2 x \) के समाकलन के लिए, हमेशा उन्हें \( \sec^2 x - 1 \) और \( \operatorname{cosec}^2 x - 1 \) में बदलने के लिए संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें, क्योंकि \( \sec^2 x \) और \( \operatorname{cosec}^2 x \) के सीधे समाकलन सूत्र होते हैं।

Question 13. \( \int \cot^2 x dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \cot^2 x dx \)
हम जानते हैं कि \( \cot^2 x \) का सीधा समाकलन सूत्र नहीं है, लेकिन त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x = 1 \) का उपयोग करके इसे \( \operatorname{cosec}^2 x \) में बदला जा सकता है।
इसलिए, \( \cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1 \)
\( = \int (\operatorname{cosec}^2 x - 1) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \operatorname{cosec}^2 x dx - \int 1 dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int \operatorname{cosec}^2 x dx = -\cot x + C \)
\( \int 1 dx = x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = -\cot x - x + C \)
In simple words: \( \cot^2 x \) का सीधा समाकलन न होने के कारण, हमने इसे \( \operatorname{cosec}^2 x - 1 \) में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया। \( \operatorname{cosec}^2 x \) का समाकलन \( -\cot x \) होता है, और \( 1 \) का समाकलन \( x \) होता है, जिससे प्रश्न हल हो गया।

🎯 Exam Tip: \( \tan^2 x \) और \( \cot^2 x \) के समाकलन के लिए, हमेशा उन्हें \( \sec^2 x - 1 \) और \( \operatorname{cosec}^2 x - 1 \) में बदलने के लिए संबंधित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें, क्योंकि \( \sec^2 x \) और \( \operatorname{cosec}^2 x \) के सीधे समाकलन सूत्र होते हैं।

Question 14. \( \int \frac{dx}{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}} \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{dx}{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}} \)
हर में वर्गमूल होने पर, हम आमतौर पर हर का परिमेयकरण करते हैं। हर के संयुग्मी \( (\sqrt{1+x} + \sqrt{x}) \) से अंश और हर को गुणा करें:
\( = \int \frac{1}{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{x}} dx \)
हर में \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) सूत्र का उपयोग करें:
\( = \int \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{x}}{(\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{x})^2} dx \)
\( = \int \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{x}}{(1+x) - x} dx \)
\( = \int \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{x}}{1} dx \)
\( = \int (\sqrt{1+x} + \sqrt{x}) dx \)
अब, इसे \( \int ((1+x)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx \) के रूप में लिखें और समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int (1+x)^{\frac{1}{2}} dx + \int x^{\frac{1}{2}} dx \)
घात नियम का उपयोग करें, ध्यान रहे कि \( \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \):
\( = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C \)
\( = \frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \)
\( = \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \)
In simple words: हमने हर का परिमेयकरण करके व्यंजक को सरल बनाया। यह हर से वर्गमूल को हटा देता है, जिससे हमें \( (1+x)^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \) जैसा एक आसान पद मिलता है, जिसका समाकलन घात के नियम का उपयोग करके किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: जब हर में वर्गमूल का अंतर या योग हो, तो हमेशा परिमेयकरण विधि का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाएं। यह समाकलन को मानक रूपों में बदल देता है।

Question 15. \( \int (\tan^2 x - \cot^2 x) dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int (\tan^2 x - \cot^2 x) dx \)
हम \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) और \( \cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1 \) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे:
\( = \int ((\sec^2 x - 1) - (\operatorname{cosec}^2 x - 1)) dx \)
कोष्ठक खोलें:
\( = \int (\sec^2 x - 1 - \operatorname{cosec}^2 x + 1) dx \)
स्थिरांक पदों को रद्द करें:
\( = \int (\sec^2 x - \operatorname{cosec}^2 x) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \sec^2 x dx - \int \operatorname{cosec}^2 x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( = \tan x - (-\cot x) + C \)
\( = \tan x + \cot x + C \)
In simple words: हमने \( \tan^2 x \) और \( \cot^2 x \) को \( \sec^2 x - 1 \) और \( \operatorname{cosec}^2 x - 1 \) में बदल दिया। इससे स्थिरांक पद कट गए और हमें केवल \( \sec^2 x \) और \( \operatorname{cosec}^2 x \) का समाकलन करना पड़ा, जिनके सीधे सूत्र होते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) और \( \cot^2 x = \operatorname{cosec}^2 x - 1 \) जैसी सर्वसमिकाओं का उपयोग करें, क्योंकि \( \sec^2 x \) और \( \operatorname{cosec}^2 x \) के समाकलन सूत्र सीधे उपलब्ध होते हैं।

Question 16. \( \int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx \)
अंश में \( +1 \) और \( -1 \) जोड़कर इसे सरल बनाने का प्रयास करें:
\( = \int \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} dx \)
अब, भिन्न को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \sin x} - \frac{1}{1 + \sin x} \right) dx \)
\( = \int \left( 1 - \frac{1}{1 + \sin x} \right) dx \)
\( = \int 1 dx - \int \frac{1}{1 + \sin x} dx \)
पहले पद का समाकलन \( x \) है। दूसरे पद के लिए, हर का परिमेयकरण करें:
\( = x - \int \frac{1}{1 + \sin x} \times \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} dx \)
\( = x - \int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx \)
हम जानते हैं कि \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \):
\( = x - \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx \)
अब, भिन्न को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = x - \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) dx \)
\( = x - \int \left( \sec^2 x - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \right) dx \)
\( = x - \int (\sec^2 x - \tan x \sec x) dx \)
समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें और मानक सूत्रों का उपयोग करें:
\( = x - \left( \int \sec^2 x dx - \int \tan x \sec x dx \right) \)
\( = x - (\tan x - \sec x) + C \)
\( = x - \tan x + \sec x + C \)
In simple words: हमने पहले अंश में \( +1 \) और \( -1 \) जोड़कर व्यंजक को सरल किया। फिर, हमने \( \frac{1}{1+\sin x} \) पद के हर का परिमेयकरण किया, जिससे हमें \( \sec^2 x - \tan x \sec x \) जैसे मानक समाकलन पद मिले।

🎯 Exam Tip: \( \frac{\sin x}{1+\sin x} \) या \( \frac{\cos x}{1+\cos x} \) जैसे फलनों के समाकलन में, हमेशा अंश को हर के समान बनाने का प्रयास करें या हर का परिमेयकरण करें। इससे समस्या सरल हो जाती है।

Question 18. \( \int \left[ 1 + \frac{1}{1+x^2} + \frac{3}{x\sqrt{x^2-1}} + 2^x \right] dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \left[ 1 + \frac{1}{1+x^2} + \frac{3}{x\sqrt{x^2-1}} + 2^x \right] dx \)
समाकलन को प्रत्येक पद पर अलग-अलग लागू करें:
\( = \int 1 dx + \int \frac{1}{1+x^2} dx + \int \frac{3}{x\sqrt{x^2-1}} dx + \int 2^x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int 1 dx = x + C_1 \)
\( \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + C_2 \)
\( \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}} dx = \frac{1}{a} \sec^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C_3 \). यहाँ \( a=1 \) है, इसलिए \( 3 \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = 3 \sec^{-1} x + C_3 \)
\( \int a^x dx = \frac{a^x}{\log_e a} + C_4 \). यहाँ \( a=2 \) है, इसलिए \( \int 2^x dx = \frac{2^x}{\log_e 2} + C_4 \)
सभी परिणामों को एक साथ जोड़ें, और सभी स्थिरांकों को एक एकल \( C \) से बदलें:
\( = x + \tan^{-1} x + 3 \sec^{-1} x + \frac{2^x}{\log_e 2} + C \)
In simple words: हमने प्रत्येक पद को अलग-अलग समाकलित किया क्योंकि वे सभी मानक समाकलन सूत्र के रूप में थे। \( 1 \) का समाकलन \( x \), \( \frac{1}{1+x^2} \) का \( \tan^{-1} x \), \( \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \) का \( \sec^{-1} x \), और \( 2^x \) का \( \frac{2^x}{\log_e 2} \) होता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न विभिन्न मानक समाकलन सूत्रों को पहचानने और लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है। सभी मूल समाकलन सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 19. \( \int \cot x (\tan x - \operatorname{cosec} x) dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \cot x (\tan x - \operatorname{cosec} x) dx \)
पहले, \( \cot x \) कोष्ठक के अंदर गुणा करें:
\( = \int (\cot x \tan x - \cot x \operatorname{cosec} x) dx \)
हम जानते हैं कि \( \cot x \tan x = 1 \) (क्योंकि \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \)):
और \( \cot x \operatorname{cosec} x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} \)
लेकिन \( \int \cot x \operatorname{cosec} x dx \) का सीधा सूत्र \( -\operatorname{cosec} x \) होता है।
तो, समाकलन बन जाता है:
\( = \int (1 - \cot x \operatorname{cosec} x) dx \)
अब, समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int 1 dx - \int \cot x \operatorname{cosec} x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int 1 dx = x + C \)
\( \int \cot x \operatorname{cosec} x dx = -\operatorname{cosec} x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = x - (-\operatorname{cosec} x) + C \)
\( = x + \operatorname{cosec} x + C \)
In simple words: हमने पहले \( \cot x \) को कोष्ठक में गुणा करके व्यंजक को सरल किया। \( \cot x \tan x \) को \( 1 \) में और \( \cot x \operatorname{cosec} x \) को उसके मानक समाकलन रूप में बदल दिया, जिससे समाकलन आसानी से हो गया।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय गुणनफलों को सरल बनाने के लिए मूलभूत पहचानों का उपयोग करना याद रखें, जैसे \( \cot x \tan x = 1 \)। यह अक्सर समाकलन को ऐसे रूपों में बदल देता है जिनके सीधे सूत्र होते हैं।

Question 21. \( \int \frac{\log x}{\log x} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{\log x}{\log x} dx \)
यदि \( \log x \ne 0 \), तो \( \frac{\log x}{\log x} = 1 \) होता है। (यह तब होता है जब \( x \ne 1 \) होता है, क्योंकि \( \log 1 = 0 \))।
इसलिए, समाकलन बन जाता है:
\( = \int 1 dx \)
\( = x + C \)
यह समाकलन एक सरल स्थिरांक का समाकलन बन गया।
In simple words: जब अंश और हर में समान पद होते हैं (और वे शून्य नहीं होते), तो वे रद्द होकर \( 1 \) बन जाते हैं। इस तरह, जटिल दिखने वाला समाकलन वास्तव में एक बहुत ही सरल समाकलन में बदल जाता है।

🎯 Exam Tip: हमेशा किसी भी व्यंजक को समाकलन करने से पहले सरल बनाने का प्रयास करें। अंश और हर में समान पद होने पर उन्हें रद्द करना अक्सर समाकलन को बहुत आसान बना देता है।

Question 22. \( \int \sqrt{1 + \cos 2x} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \sqrt{1 + \cos 2x} dx \)
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x \) होती है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करें:
\( = \int \sqrt{2 \cos^2 x} dx \)
\( = \int \sqrt{2} \sqrt{\cos^2 x} dx \)
\( = \int \sqrt{2} |\cos x| dx \)
सामान्य समाकलन प्रश्नों में, हम \( |\cos x| \) को \( \cos x \) मानते हैं यदि अंतराल निर्दिष्ट नहीं है (पहले चतुर्भुज में या जहाँ \( \cos x \) धनात्मक है)। यदि कोई विशिष्ट अंतराल नहीं दिया गया है, तो हम धनात्मक मान लेते हैं।
\( = \sqrt{2} \int \cos x dx \)
मानक समाकलन सूत्र \( \int \cos x dx = \sin x + C \) का उपयोग करें:
\( = \sqrt{2} \sin x + C \)
In simple words: हमने \( 1 + \cos 2x \) को \( 2 \cos^2 x \) में बदलने के लिए एक महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया। फिर, वर्गमूल लेने के बाद, हमें \( \sqrt{2} \cos x \) मिला, जिसका समाकलन \( \sqrt{2} \sin x \) होता है।

🎯 Exam Tip: \( 1+\cos 2x \) और \( 1-\cos 2x \) जैसे व्यंजकों को देखते हुए, तुरंत उनके आधे-कोण सूत्रों \( 2 \cos^2 x \) और \( 2 \sin^2 x \) को याद करें। यह अक्सर वर्गमूल को हटाकर समाकलन को सरल बनाता है।

Question 24. \( \int \frac{3 \cos x + 4}{\sin^2 x} dx \)
Answer:
हमें दिए गए फलन का समाकलन करना है:
\( \int \frac{3 \cos x + 4}{\sin^2 x} dx \)
भिन्न को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = \int \left( \frac{3 \cos x}{\sin^2 x} + \frac{4}{\sin^2 x} \right) dx \)
अब, प्रत्येक पद को त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में पुनः लिखें:
\( = \int \left( 3 \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} + 4 \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx \)
\( = \int (3 \cot x \operatorname{cosec} x + 4 \operatorname{cosec}^2 x) dx \)
समाकलन को अलग-अलग पदों में बाँटें:
\( = 3 \int \cot x \operatorname{cosec} x dx + 4 \int \operatorname{cosec}^2 x dx \)
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करें:
\( \int \cot x \operatorname{cosec} x dx = -\operatorname{cosec} x + C \)
\( \int \operatorname{cosec}^2 x dx = -\cot x + C \)
समाकलन करने पर:
\( = 3 (-\operatorname{cosec} x) + 4 (-\cot x) + C \)
\( = -3 \operatorname{cosec} x - 4 \cot x + C \)
In simple words: हमने भिन्न को दो अलग-अलग पदों में तोड़ा। फिर, हमने प्रत्येक पद को \( \cot x \operatorname{cosec} x \) और \( \operatorname{cosec}^2 x \) में बदल दिया, जिनके मानक समाकलन सूत्र होते हैं, जिससे समाधान आसानी से मिल गया।

🎯 Exam Tip: जब हर में \( \sin^2 x \) या \( \cos^2 x \) हो, तो अक्सर अंश के पदों को हर से अलग-अलग विभाजित करना और उन्हें \( \sec x, \tan x, \operatorname{cosec} x, \cot x \) के रूप में लिखना समाकलन को सरल बनाता है।