RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Exercise 4.1

Question 1. k के किस मान के लिए सारणिक \( \begin{vmatrix} k & 2 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} \) शून्य होगा?
Answer: सारणिक शून्य होगा यदि:
\( \begin{vmatrix} k & 2 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 0 \)
\( (k \times -3) - (2 \times 4) = 0 \)
\( -3k - 8 = 0 \)
\( -3k = 8 \)
\( k = -\frac{8}{3} \)
In simple words: सारणिक का मान शून्य करने के लिए, हमें मुख्य विकर्ण के तत्वों के गुणनफल से दूसरे विकर्ण के तत्वों के गुणनफल को घटाकर शून्य के बराबर रखना होता है. फिर इस समीकरण को हल करके k का मान निकाल लेते हैं.

🎯 Exam Tip: किसी 2x2 सारणिक का मान हमेशा मुख्य विकर्ण के गुणनफल में से दूसरे विकर्ण के गुणनफल को घटाकर ज्ञात किया जाता है.

Question 2. यदि \( \begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \), तो x:y ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है कि:
\( \begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक का मान निकालने पर:
\( (4 \times x) - (2 \times y) = 0 \)
\( 4x - 2y = 0 \)
\( 4x = 2y \)
अब, x और y के अनुपात के लिए:
\( \frac{x}{y} = \frac{2}{4} \)
\( \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \)
अतः \( x:y = 1:2 \)
In simple words: सारणिक को शून्य के बराबर सेट करके एक समीकरण बनाएं, जिसमें x और y हों. फिर x को y के एक तरफ ले जाएं और उनके अनुपात को सरल करके उत्तर पाएं.

🎯 Exam Tip: अनुपात ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप समीकरण को सही ढंग से सरल कर रहे हैं ताकि सबसे छोटे पूर्णांक अनुपात में व्यक्त किया जा सके.

Question 3. यदि \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ y & x \end{vmatrix} = 4 \) तथा \( \begin{vmatrix} x & y \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 7 \), तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई पहली सारणिक से:
\( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ y & x \end{vmatrix} = 4 \)
\( (2 \times x) - (3 \times y) = 4 \)
\( 2x - 3y = 4 \) ... (i)

दी गई दूसरी सारणिक से:
\( \begin{vmatrix} x & y \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 7 \)
\( (x \times 2) - (y \times 4) = 7 \)
\( 2x - 4y = 7 \) ... (ii)

समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर, समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर:
\( (2x - 3y) - (2x - 4y) = 4 - 7 \)
\( 2x - 3y - 2x + 4y = -3 \)
\( y = -3 \)

y का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 2x - 3(-3) = 4 \)
\( 2x + 9 = 4 \)
\( 2x = 4 - 9 \)
\( 2x = -5 \)
\( x = -\frac{5}{2} \)
अतः \( x = -\frac{5}{2} \) तथा \( y = -3 \). यहाँ दो सारणिकों से दो रैखिक समीकरण प्राप्त हुए, जिन्हें विलोपन विधि से हल किया गया.
In simple words: पहले दी गई दोनों सारणिकों को सामान्य समीकरणों में बदलें. आपको x और y वाले दो समीकरण मिलेंगे. फिर इन समीकरणों को एक साथ हल करें, जैसे आप बीजगणित में करते हैं, ताकि x और y के मान मिल सकें.

🎯 Exam Tip: दो सारणिकों से बने रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए, आप विलोपन या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं; दोनों ही सही परिणाम देते हैं.

Question 4. यदि \( \begin{vmatrix} x-1 & x-2 \\ x & x-3 \end{vmatrix} = 0 \) हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है कि:
\( \begin{vmatrix} x-1 & x-2 \\ x & x-3 \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक का मान निकालने पर:
\( (x-1)(x-3) - x(x-2) = 0 \)
\( (x^2 - 3x - x + 3) - (x^2 - 2x) = 0 \)
\( x^2 - 4x + 3 - x^2 + 2x = 0 \)
\( -2x + 3 = 0 \)
\( -2x = -3 \)
\( x = \frac{-3}{-2} \)
\( x = \frac{3}{2} \)
In simple words: सारणिक का मान निकालें, जिससे एक समीकरण बनेगा. फिर उस समीकरण को हल करके x का मान पता लगाएं. यह सिर्फ एक चर वाला एक साधारण रैखिक समीकरण है.

🎯 Exam Tip: सारणिक का विस्तार करते समय पदों को ध्यान से गुणा करें, विशेषकर जब चर x शामिल हो, और चिह्न की गलतियों से बचें.

Question 5. निम्न सारणिकों में प्रथम स्तम्भ के अवयवों की उपसारणिक एवं सहखण्डज लिखकर उसका मान भी ज्ञात कीजिए-
(i) \( A=\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix} \)
Answer:
दिए गए सारणिक \( A=\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \end{vmatrix} \) के प्रथम स्तम्भ के अवयवों के लिए:

\( a_{11} = 1 \) की उपसारणिक \( M_{11} \):
\( M_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) - (2)(5) = -2 - 10 = -12 \)
\( a_{11} = 1 \) का सहखण्ड \( C_{11} \):
\( C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(-12) = -12 \)

\( a_{21} = 4 \) की उपसारणिक \( M_{21} \):
\( M_{21} = \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-3)(2) - (2)(5) = -6 - 10 = -16 \)
\( a_{21} = 4 \) का सहखण्ड \( C_{21} \):
\( C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)(-16) = 16 \)

\( a_{31} = 3 \) की उपसारणिक \( M_{31} \):
\( M_{31} = \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-3)(2) - (2)(-1) = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4 \)
\( a_{31} = 3 \) का सहखण्ड \( C_{31} \):
\( C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = (1)(-4) = -4 \)

अब, प्रथम स्तम्भ के सापेक्ष सारणिक \(|A|\) का मान:
\( |A| = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31} \)
\( |A| = 1(-12) + 4(16) + 3(-4) \)
\( |A| = -12 + 64 - 12 \)
\( |A| = 64 - 24 \)
\( |A| = 40 \)
In simple words: उपसारणिक एक छोटा सारणिक होता है जो किसी तत्व की पंक्ति और स्तम्भ को हटाने पर बचता है. सहखण्डज उपसारणिक का ही एक संशोधित रूप है, जिसमें (-1) की घात पंक्ति और स्तम्भ के योग के बराबर होती है. सारणिक का मान निकालने के लिए, किसी भी पंक्ति या स्तम्भ के तत्वों को उनके सहखण्डजों से गुणा करके जोड़ दें.

🎯 Exam Tip: सहखण्डज निकालते समय \( (-1)^{i+j} \) वाले चिह्न का विशेष ध्यान रखें; यह अक्सर गलती का कारण बनता है. \( i+j \) सम होने पर चिह्न वही रहता है, विषम होने पर बदल जाता है.

Question 5. (ii) \( \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} \)
Answer:
दिए गए सारणिक \( \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} \) के प्रथम स्तम्भ के अवयवों के लिए:

\( a_{11} = a \) की उपसारणिक \( M_{11} \):
\( M_{11} = \begin{vmatrix} b & f \\ f & c \end{vmatrix} = bc - f^2 \)
\( a_{11} = a \) का सहखण्ड \( F_{11} \):
\( F_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = bc - f^2 \)

\( a_{21} = h \) की उपसारणिक \( M_{21} \):
\( M_{21} = \begin{vmatrix} h & g \\ f & c \end{vmatrix} = hc - fg \)
\( a_{21} = h \) का सहखण्ड \( F_{21} \):
\( F_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -(hc - fg) = fg - hc \)

\( a_{31} = g \) की उपसारणिक \( M_{31} \):
\( M_{31} = \begin{vmatrix} h & g \\ b & f \end{vmatrix} = hf - bg \)
\( a_{31} = g \) का सहखण्ड \( F_{31} \):
\( F_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = hf - bg \)

अब, प्रथम स्तम्भ के सापेक्ष सारणिक \(|A|\) का मान:
\( |A| = a_{11}F_{11} + a_{21}F_{21} + a_{31}F_{31} \)
\( |A| = a(bc - f^2) + h(fg - hc) + g(hf - bg) \)
\( |A| = abc - af^2 + hfg - h^2c + ghf - g^2b \)
\( |A| = abc + 2fgh - af^2 - h^2c - bg^2 \)
In simple words: किसी भी सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए, आप किसी भी एक पंक्ति या स्तम्भ के तत्वों को लें और उन्हें उनके संबंधित सहखण्डजों से गुणा करके जोड़ दें. यह प्रक्रिया सभी 3x3 सारणिकों के लिए लागू होती है.

🎯 Exam Tip: बड़े बीजीय व्यंजकों वाले सारणिकों को हल करते समय, सभी पदों और चिह्नों को सावधानीपूर्वक लिखें ताकि अंतिम परिणाम में कोई त्रुटि न हो.

Question 6. सारणिक \( \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 5 & 0 & 0 \\ -10 & 3 & 0 \end{vmatrix} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए:
\( \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 5 & 0 & 0 \\ -10 & 3 & 0 \end{vmatrix} \)
हम द्वितीय पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करेंगे क्योंकि इसमें दो शून्य हैं, जिससे गणना आसान हो जाती है:
\( |A| = 5(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 0 - 0 \)
\( |A| = -5 ((-1)(0) - (1)(3)) \)
\( |A| = -5 (0 - 3) \)
\( |A| = -5 (-3) \)
\( |A| = 15 \)
In simple words: सारणिक का मान निकालने का सबसे आसान तरीका उस पंक्ति या स्तम्भ के साथ विस्तार करना है जिसमें सबसे अधिक शून्य हों, क्योंकि शून्य वाले पद सीधे शून्य हो जाते हैं.

🎯 Exam Tip: सारणिक का विस्तार करने के लिए हमेशा उस पंक्ति या स्तम्भ का चयन करें जिसमें सबसे अधिक शून्य हों; इससे गणनाएं बहुत सरल हो जाती हैं और गलतियों की संभावना कम हो जाती है.

Question. सिद्ध कीजिए कि \( \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & -c & 1 \end{vmatrix} = 1 + a^2 + b^2 + c^2 \)
Answer:
बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेकर:
\( \begin{vmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & -c & 1 \end{vmatrix} \)
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष प्रसार करने पर:
\( = 1 \begin{vmatrix} 1 & c \\ -c & 1 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} a & c \\ b & 1 \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} a & 1 \\ b & -c \end{vmatrix} \)
\( = 1((1)(1) - (c)(-c)) - a((a)(1) - (c)(b)) + b((a)(-c) - (1)(b)) \)
\( = 1(1 + c^2) - a(a - bc) + b(-ac - b) \)
\( = 1 + c^2 - a^2 + abc - abc - b^2 \)
\( = 1 + a^2 + b^2 + c^2 \)
\( = R.H.S. \)
इति सिद्धम्. इस प्रकार, सारणिक का विस्तार करने पर हमें दायाँ पक्ष प्राप्त होता है.
In simple words: सारणिक के एक तरफ से शुरू करें और उसे खोलें (विस्तार करें). सभी गुणा और जोड़-घटाव ध्यान से करें. अंत में आपको वही मिलना चाहिए जो दूसरी तरफ दिया गया है, जिससे यह साबित हो जाएगा कि दोनों बराबर हैं.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, आपको या तो दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करके बराबर दिखाना होता है, या एक पक्ष को सरल करके दूसरे पक्ष के बराबर लाना होता है.