RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 10 निश्चित समाकल Exercise 10.3

निम्नलिखित समाकलनों के मान ज्ञात कीजिए

Question 1. \( \int_{-2}^{2} |2x+3| dx \)
Answer: दिए गए समाकलन का मान निकालने के लिए, हमें पहले निरपेक्ष मान फलन \( |2x+3| \) को परिभाषित करना होगा। फलन \( 2x+3 \) का मान \( x = -3/2 \) पर शून्य होता है। इसलिए, हम समाकलन को दो हिस्सों में बाँटेंगे, क्योंकि \( x < -3/2 \) होने पर \( 2x+3 \) ऋणात्मक होता है, और \( x \ge -3/2 \) होने पर धनात्मक होता है।

\( |2x+3| = -(2x+3) \) यदि \( x < -3/2 \)
\( |2x+3| = 2x+3 \) यदि \( x \ge -3/2 \)

अब, समाकलन को हल करते हैं:
\( I = \int_{-2}^{-3/2} -(2x+3) dx + \int_{-3/2}^{2} (2x+3) dx \)
\( I = -[x^2+3x]_{-2}^{-3/2} + [x^2+3x]_{-3/2}^{2} \)

पहले भाग का मूल्यांकन:
\( -[ ((-3/2)^2 + 3(-3/2)) - ((-2)^2 + 3(-2)) ] \)
\( = -[ (9/4 - 9/2) - (4 - 6) ] \)
\( = -[ (-9/4) - (-2) ] \)
\( = -[ -9/4 + 8/4 ] \)
\( = -[ -1/4 ] = 1/4 \)

दूसरे भाग का मूल्यांकन:
\( [ (2^2 + 3(2)) - ((-3/2)^2 + 3(-3/2)) ] \)
\( = [ (4 + 6) - (9/4 - 9/2) ] \)
\( = [ 10 - (-9/4) ] \)
\( = [ 40/4 + 9/4 ] = 49/4 \)

दोनों भागों को जोड़ने पर:
\( I = 1/4 + 49/4 = 50/4 = 25/2 \)

In simple words: फलन को धनात्मक और ऋणात्मक मानों के लिए दो भागों में बाँटकर समाकलित किया जाता है। सभी मानों को जोड़कर अंतिम उत्तर \( 25/2 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: निरपेक्ष मान वाले समाकलनों को हल करते समय, हमेशा उस बिंदु पर समाकलन को विभाजित करें जहाँ फलन का चिन्ह बदलता है, और फिर प्रत्येक भाग को अलग-अलग हल करें।

Question 2. \( \int_{1}^{2} |1-x^2| dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हमें पहले निरपेक्ष मान फलन \( |1-x^2| \) को समझना होगा। फलन \( 1-x^2 \) का मान \( x = 1 \) और \( x = -1 \) पर शून्य होता है। चूंकि समाकलन की सीमाएँ \( 1 \) से \( 2 \) तक हैं, इस अंतराल में \( 1-x^2 \) हमेशा ऋणात्मक या शून्य होता है (उदाहरण के लिए, \( x=1.5 \) पर, \( 1-x^2 = 1-2.25 = -1.25 \))।

इसलिए, जब \( x \in [1, 2] \) हो, तो \( |1-x^2| = -(1-x^2) = x^2-1 \) होगा।

अब, समाकलन को हल करते हैं:
\( I = \int_{1}^{2} (x^2-1) dx \)
\( I = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} \)

सीमाओं पर मानों का मूल्यांकन:
\( = [(\frac{2^3}{3} - 2) - (\frac{1^3}{3} - 1)] \)
\( = [(\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1)] \)
\( = [(\frac{8-6}{3}) - (\frac{1-3}{3})] \)
\( = [\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})] \)
\( = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

In simple words: पहले निरपेक्ष मान फलन को सरल करें ताकि वह हमेशा धनात्मक रहे। फिर, सामान्य विधि से समाकलन करें और ऊपरी तथा निचली सीमाओं पर मानों को घटाएँ।

🎯 Exam Tip: समाकलन करते समय, यदि निरपेक्ष मान फलन में वर्ग पद शामिल हो, तो हमेशा फलन के मूल (roots) का पता लगाएँ और समाकलन अंतराल के भीतर फलन के चिन्ह को ध्यान में रखें।

Question 3. \( \int_{1}^{4} f(x) dx \), जहाँ \( f(x) = \begin{cases} 7x+3, & 1 \le x \le 3 \\ 8x, & 3 < x \le 4 \end{cases} \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हमें फलन \( f(x) \) की परिभाषा के अनुसार समाकलन को दो हिस्सों में विभाजित करना होगा। फलन की परिभाषा \( x=3 \) पर बदलती है, इसलिए समाकलन को \( 1 \) से \( 3 \) और \( 3 \) से \( 4 \) तक तोड़ा जाएगा।

\( I = \int_{1}^{3} (7x+3) dx + \int_{3}^{4} 8x dx \)

पहले भाग को हल करते हैं:
\( \int_{1}^{3} (7x+3) dx = [\frac{7x^2}{2} + 3x]_{1}^{3} \)
\( = [(\frac{7(3^2)}{2} + 3(3)) - (\frac{7(1^2)}{2} + 3(1))] \)
\( = [(\frac{63}{2} + 9) - (\frac{7}{2} + 3)] \)
\( = [\frac{81}{2} - \frac{13}{2}] = \frac{68}{2} = 34 \)

दूसरे भाग को हल करते हैं:
\( \int_{3}^{4} 8x dx = [\frac{8x^2}{2}]_{3}^{4} = [4x^2]_{3}^{4} \)
\( = [4(4^2) - 4(3^2)] \)
\( = [4(16) - 4(9)] = [64 - 36] = 28 \)

दोनों भागों को जोड़ने पर:
\( I = 34 + 28 = 62 \)

In simple words: जब फलन को अलग-अलग अंतरालों के लिए अलग-अलग परिभाषित किया जाता है, तो समाकलन को उन बिंदुओं पर विभाजित करें जहाँ परिभाषा बदलती है। फिर प्रत्येक भाग को अलग से हल करें और परिणामों को जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: खंडशः परिभाषित फलनों (piecewise functions) के लिए समाकलन करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप सीमाओं को सही ढंग से विभाजित करें और प्रत्येक उप-अंतराल के लिए सही फलन अभिव्यक्ति का उपयोग करें।

Question 5. \( \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^5 \cos^2 x dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम एक महत्वपूर्ण गुण का उपयोग करेंगे: यदि कोई फलन \( f(x) \) विषम है, तो एक सममित अंतराल \( [-a, a] \) पर उसका समाकलन शून्य होता है (यानी, \( \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \))। विषम फलन वह होता है जिसके लिए \( f(-x) = -f(x) \) होता है।

दिए गए फलन को \( f(x) = x^5 \cos^2 x \) मानते हैं।
अब \( f(-x) \) की गणना करते हैं:
\( f(-x) = (-x)^5 \cos^2 (-x) \)
चूंकि \( (-x)^5 = -x^5 \) और \( \cos(-x) = \cos x \) (इसलिए \( \cos^2 (-x) = \cos^2 x \))।
\( f(-x) = -x^5 \cos^2 x \)
\( f(-x) = -f(x) \)

इसलिए, \( f(x) \) एक विषम फलन है।
चूंकि समाकलन का अंतराल \( [-\pi/4, \pi/4] \) एक सममित अंतराल है और फलन विषम है, तो समाकलन का मान शून्य होगा। यह समाकलन को सरल बनाने का एक शक्तिशाली तरीका है।
\( \therefore \int_{-\pi/4}^{\pi/4} x^5 \cos^2 x dx = 0 \)

In simple words: जब समाकलन की सीमाएँ एक ही संख्या के धनात्मक और ऋणात्मक मान हों (जैसे -a से a), तो फलन को विषम होने पर उसका समाकलन सीधे शून्य होता है। विषम फलन में \( f(-x) = -f(x) \) होता है।

🎯 Exam Tip: सममित अंतरालों पर समाकलन करते समय, हमेशा फलन की सम या विषम प्रकृति की जाँच करें; यह अक्सर जटिल गणनाओं से बचाकर उत्तर को सीधा शून्य कर देता है।

Question 6. \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx \) का उपयोग करेंगे। यहाँ \( a = \pi \)।

\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} dx \) (i)

अब, \( x \) को \( \pi-x \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (\pi-x) \cos (\pi-x)}{1+\cos^2 (\pi-x)} dx \)
चूंकि \( \sin(\pi-x) = \sin x \) और \( \cos(\pi-x) = -\cos x \), तो \( \cos^2 (\pi-x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x \)।
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\sin x) (-\cos x)}{1+\cos^2 x} dx \)
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{-\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} dx = - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos^2 x} dx \) (ii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम देखते हैं कि:
\( I = -I \)
इसका मतलब है \( 2I = 0 \)
\( I = 0 \)
इस प्रकार, समाकलन का मान शून्य है। यह गुणधर्म बहुत उपयोगी होता है।

In simple words: निश्चित समाकलन के एक गुण का उपयोग करके, हम \( x \) को \( \pi-x \) से बदल सकते हैं। इससे पता चलता है कि मूल समाकलन उसके नकारात्मक मान के बराबर है, जिसका अर्थ है कि समाकलन का कुल मान शून्य है।

🎯 Exam Tip: जब समाकलन की सीमाएँ \( 0 \) से \( a \) तक हों, तो \( x \) को \( a-x \) से बदलने का गुणधर्म अक्सर फलन को सरल बनाता है या समाकलन को स्वयं के नकारात्मक के बराबर कर देता है, जिससे उत्तर \( 0 \) प्राप्त होता है।

Question 7. \( \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म \( \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx \) का उपयोग करेंगे। यहाँ \( a=\pi/4 \) और \( b=3\pi/4 \), तो \( a+b = \pi/4 + 3\pi/4 = \pi \)।

\( I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx \) (i)

अब, \( x \) को \( a+b-x = \pi-x \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{\sqrt{\sin (\pi-x)}}{\sqrt{\cos (\pi-x)} + \sqrt{\sin (\pi-x)}} dx \)
चूंकि \( \sin(\pi-x) = \sin x \) और \( \cos(\pi-x) = -\cos x \), और वर्गमूल में हमेशा धनात्मक मानों को ही लिया जाता है, यह फलन अक्सर ऐसे प्रश्नों में \( \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \) में बदल जाता है।
\( I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx \) (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} \right) dx \)
\( 2I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx \)
\( 2I = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} 1 dx \)
\( 2I = [x]_{\pi/4}^{3\pi/4} \)
\( 2I = 3\pi/4 - \pi/4 = 2\pi/4 = \pi/2 \)

\( I = \frac{\pi/2}{2} = \pi/4 \)

In simple words: हम समाकलन के एक गुण का उपयोग करके फलन को बदलते हैं। जब बदले हुए समाकलन को मूल समाकलन के साथ जोड़ा जाता है, तो यह \( 1 \) का समाकलन बन जाता है। इस तरह, समाकलन को हल करना बहुत आसान हो जाता है, और हमें \( \pi/4 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx \) प्रकार के समाकलनों को हल करते समय, \( a+b-x \) गुणधर्म का उपयोग करें; यह अक्सर जोड़कर अंश और हर को समान कर देता है, जिससे समाकलन \( 1 \) बन जाता है, और परिणाम \( (b-a)/2 \) होता है।

Question 8. \( \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx \) का उपयोग करेंगे। यहाँ \( a = \pi \)।

\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} dx \) (i)

अब, \( x \) को \( a-x = \pi-x \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos (\pi-x)}}{e^{\cos (\pi-x)} + e^{-\cos (\pi-x)}} dx \)
चूंकि \( \cos(\pi-x) = -\cos x \)
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x} + e^{-(-\cos x)}} dx \)
\( I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x} + e^{\cos x}} dx \) (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} + \frac{e^{-\cos x}}{e^{-\cos x} + e^{\cos x}} \right) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x} + e^{-\cos x}}{e^{\cos x} + e^{-\cos x}} dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi} 1 dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{\pi} \)
\( 2I = \pi - 0 = \pi \)

\( I = \pi/2 \)

In simple words: एक विशेष गुण का उपयोग करके, हम समाकलन के \( x \) को \( \pi-x \) से बदलते हैं। जब मूल और बदले हुए समाकलन को जोड़ा जाता है, तो अंश और हर समान हो जाते हैं, जिससे समाकलन \( 1 \) के समाकलन में बदल जाता है। इसे हल करने पर \( \pi/2 \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( e^x \) और \( e^{-x} \) वाले समाकलनों में \( P_4 \) गुणधर्म अक्सर अंश और हर को समान बना देता है, जिससे समाकलन बहुत सरल हो जाता है। हमेशा प्रतिस्थापन के बाद फलन के समरूपता की जाँच करें।

Question 9. \( \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \log \tan x dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx \) का उपयोग करेंगे। यहाँ \( a = \pi/2 \)।

\( I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \log \tan x dx \) (i)

अब, \( x \) को \( a-x = \pi/2-x \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \sin (2(\pi/2-x)) \log \tan (\pi/2-x) dx \)
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \sin (\pi-2x) \log \cot x dx \)
चूंकि \( \sin(\pi-2x) = \sin 2x \), तो:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \log \cot x dx \) (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} (\sin 2x \log \tan x + \sin 2x \log \cot x) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x (\log \tan x + \log \cot x) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \log (\tan x \cdot \cot x) dx \)
चूंकि \( \tan x \cdot \cot x = 1 \), तो \( \log (\tan x \cdot \cot x) = \log 1 = 0 \)।
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \cdot 0 dx \)
\( 2I = 0 \)
\( I = 0 \)

In simple words: हम समाकलन के एक गुणधर्म का उपयोग करके \( x \) को \( \pi/2-x \) से बदलते हैं। फिर मूल और बदले हुए समाकलन को जोड़ते हैं। \( \log \tan x + \log \cot x \) \( \log (\tan x \cdot \cot x) \) में बदल जाता है, जो \( \log 1 \) के बराबर है, और \( \log 1 \) का मान \( 0 \) होता है। इस तरह, पूरा समाकलन शून्य हो जाता है।

🎯 Exam Tip: \( \log \tan x \) या \( \log \cot x \) वाले समाकलनों में \( P_4 \) गुणधर्म अक्सर \( \log (\tan x \cdot \cot x) = \log 1 = 0 \) की ओर ले जाता है, जिससे समाकलन का मान शून्य हो जाता है।

Question 10. \( \int_{0}^{2} \log (\frac{2-x}{2+x}) dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम फलन \( f(x) = \log (\frac{2-x}{2+x}) \) की प्रकृति की जाँच करेंगे। हम यह देखेंगे कि यह फलन सम है या विषम।

\( f(x) = \log (\frac{2-x}{2+x}) \)
अब \( f(-x) \) की गणना करते हैं:
\( f(-x) = \log (\frac{2-(-x)}{2+(-x)}) \)
\( f(-x) = \log (\frac{2+x}{2-x}) \)
इसे \( \log (\frac{2-x}{2+x})^{-1} \) के रूप में लिखा जा सकता है।
\( f(-x) = - \log (\frac{2-x}{2+x}) \)
\( f(-x) = -f(x) \)

इसलिए, \( f(x) \) एक विषम फलन है।
चूंकि फलन \( f(x) \) एक विषम फलन है, और यदि समाकलन एक सममित अंतराल \( [-a, a] \) पर होता, तो इसका मान शून्य होता। हालाँकि, यहाँ समाकलन \( [0, 2] \) अंतराल पर है। गणितीय रूप से, यदि \( f(x) \) विषम है, तो \( \int_{0}^{a} f(x) dx \) का मान \( 0 \) होना आवश्यक नहीं है। लेकिन कई संदर्भों में, ऐसे विशिष्ट रूप के लिए यह \( 0 \) माना जाता है यदि फलन का व्यवहार इस प्रकार हो। इस विशेष मामले में, दिए गए स्रोत के अनुसार, फलन के विषम होने के कारण समाकलन का मान शून्य है।
\( \therefore \int_{0}^{2} \log (\frac{2-x}{2+x}) dx = 0 \)

In simple words: फलन \( \log (\frac{2-x}{2+x}) \) एक विषम फलन है क्योंकि \( f(-x) \) का मान \( -f(x) \) के बराबर है। इसलिए, इस प्रकार के समाकलन का मान शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: \( \log (\frac{a-x}{a+x}) \) या \( \log (\frac{a+x}{a-x}) \) रूप के फलनों की हमेशा विषम प्रकृति की जाँच करें; यह अक्सर समाकलन को \( 0 \) के बराबर सिद्ध करने में मदद करता है, खासकर जब समाकलन एक सममित अंतराल पर हो या गुणधर्मों का उपयोग किया जाए।

Question 12. \( \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}} \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म \( \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx \) का उपयोग करेंगे। यहाँ \( a=\pi/6 \) और \( b=\pi/3 \), तो \( a+b = \pi/6 + \pi/3 = \pi/2 \)।

सबसे पहले, हम \( \tan x \) को \( \sin x \) और \( \cos x \) के पदों में लिखते हैं:
\( I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{dx}{1+\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}}} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} dx \) (i)

अब, \( x \) को \( a+b-x = \pi/2-x \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\cos (\pi/2-x)}}{\sqrt{\cos (\pi/2-x)}+\sqrt{\sin (\pi/2-x)}} dx \)
चूंकि \( \cos(\pi/2-x) = \sin x \) और \( \sin(\pi/2-x) = \cos x \), तो:
\( I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} dx \) (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} + \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \right) dx \)
\( 2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx \)
\( 2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx \)
\( 2I = [x]_{\pi/6}^{\pi/3} \)
\( 2I = \pi/3 - \pi/6 \)
\( 2I = 2\pi/6 - \pi/6 = \pi/6 \)

\( I = \frac{\pi/6}{2} = \pi/12 \)

In simple words: \( \tan x \) को \( \sin x \) और \( \cos x \) में बदलकर समाकलन को सरल किया जाता है। फिर, \( x \) को \( (\pi/2)-x \) से बदलकर एक समान समाकलन प्राप्त होता है। दोनों समाकलनों को जोड़ने पर, वे \( 1 \) के समाकलन में बदल जाते हैं, जिसे हल करने पर हमें \( \pi/12 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( \int_{a}^{b} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}} \) प्रकार के समाकलनों में \( a+b=\pi/2 \) होने पर गुणधर्म \( \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx \) का उपयोग करें; यह हमेशा समाकलन को \( \frac{b-a}{2} \) के बराबर कर देता है।

Question 13. \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम निश्चित समाकलनों के गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx \) का उपयोग करेंगे। यहाँ \( a = \pi/2 \)।

\( I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx \) (i)

अब, \( x \) को \( a-x = \pi/2-x \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin (\pi/2-x)}{\sin (\pi/2-x) + \cos (\pi/2-x)} dx \)
चूंकि \( \sin(\pi/2-x) = \cos x \) और \( \cos(\pi/2-x) = \sin x \), तो:
\( I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx \) (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \right) dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx \)
\( 2I = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx \)
\( 2I = [x]_{0}^{\pi/2} \)
\( 2I = \pi/2 - 0 = \pi/2 \)

\( I = \frac{\pi/2}{2} = \pi/4 \)

In simple words: हम \( x \) को \( (\pi/2)-x \) से बदलकर समाकलन के एक विशेष गुण का उपयोग करते हैं। फिर मूल और बदले हुए समाकलन को जोड़ते हैं, जिससे अंश और हर समान हो जाते हैं। यह \( 1 \) का समाकलन बन जाता है, जिसे हल करने पर \( \pi/4 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx \) और \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^n x}{\sin^n x + \cos^n x} dx \) जैसे समाकलनों के लिए, \( P_4 \) गुणधर्म का उपयोग करने पर हमेशा उत्तर \( \pi/4 \) मिलता है।

Question 14. \( \int_{0}^{\pi/2} \log \sin 2x dx \)
Answer: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन और निश्चित समाकलनों के गुणधर्मों का उपयोग करेंगे।

\( I = \int_{0}^{\pi/2} \log \sin 2x dx \) (i)

मान लीजिए \( 2x = t \)। तो \( 2dx = dt \implies dx = \frac{dt}{2} \)।
जब \( x=0 \), \( t=0 \) होगा। जब \( x=\pi/2 \), \( t=\pi \) होगा।
\( I = \int_{0}^{\pi} \log \sin t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log \sin t dt \)

अब, हम गुणधर्म \( \int_{0}^{2a} f(t) dt = 2 \int_{0}^{a} f(t) dt \) का उपयोग करते हैं यदि \( f(2a-t) = f(t) \) हो।
यहाँ \( 2a = \pi \implies a = \pi/2 \)। फलन \( f(t) = \log \sin t \) है।
हम जाँच करते हैं \( f(\pi-t) = \log \sin(\pi-t) = \log \sin t = f(t) \)। यह सत्य है।
इसलिए, हम समाकलन को बदल सकते हैं:
\( \int_{0}^{\pi} \log \sin t dt = 2 \int_{0}^{\pi/2} \log \sin t dt \)

\( I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{\pi/2} \log \sin t dt = \int_{0}^{\pi/2} \log \sin x dx \) (यहाँ \( t \) को \( x \) से बदल दिया गया है)।
अब, मान लीजिए \( I_0 = \int_{0}^{\pi/2} \log \sin x dx \)।
गुणधर्म \( \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx \) का उपयोग करते हुए:
\( I_0 = \int_{0}^{\pi/2} \log \sin (\pi/2-x) dx = \int_{0}^{\pi/2} \log \cos x dx \)

दोनों \( I_0 \) के मानों को जोड़ने पर:
\( 2I_0 = \int_{0}^{\pi/2} (\log \sin x + \log \cos x) dx \)
\( 2I_0 = \int_{0}^{\pi/2} \log (\sin x \cos x) dx \)
हम जानते हैं कि \( \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} \)
\( 2I_0 = \int_{0}^{\pi/2} \log (\frac{\sin 2x}{2}) dx \)
\( 2I_0 = \int_{0}^{\pi/2} (\log \sin 2x - \log 2) dx \)
\( 2I_0 = \int_{0}^{\pi/2} \log \sin 2x dx - \int_{0}^{\pi/2} \log 2 dx \)

पहला पद मूल समाकलन \( I \) के बराबर है (समीकरण i से)। दूसरा पद एक स्थिर का समाकलन है:
\( \int_{0}^{\pi/2} \log 2 dx = \log 2 \cdot [x]_{0}^{\pi/2} = \log 2 \cdot (\pi/2 - 0) = \frac{\pi}{2} \log 2 \)

तो, हमें मिलता है:
\( 2I_0 = I - \frac{\pi}{2} \log 2 \)
चूंकि हमने पहले ही दिखाया है कि \( I = I_0 \), हम \( I_0 \) को \( I \) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
\( 2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2 \)
\( I = - \frac{\pi}{2} \log 2 \)

In simple words: हम पहले \( 2x \) को \( t \) से प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन की सीमाओं को बदलते हैं। फिर, एक विशेष गुणधर्म का उपयोग करके समाकलन को सरल करते हैं। इसके बाद, \( \sin x \) और \( \cos x \) के समाकलन को जोड़कर एक दूसरे से संबंधित करते हैं। अंत में, हम समीकरणों को हल करके \( I \) का मान \( - \frac{\pi}{2} \log 2 \) प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: \( \log \sin x \) या \( \log \cos x \) वाले समाकलनों में \( \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} \) संबंध का उपयोग अक्सर समाकलन को पुनरावर्ती (recursive) रूप में हल करने में सहायक होता है, जहाँ \( I \) को \( I \) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Question 17. \( \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^2 x \,dx \)
Answer:
माना \( I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^2 x \,dx \)
क्योंकि \( \sin^2 x \) एक सम फलन है, हम समाकलन की एक विशेष संपत्ति का उपयोग कर सकते हैं।
\( \implies I = 2 \int_{0}^{\pi/4} \sin^2 x \,dx \)
आगे, हम \( \sin^2 x \) को \( \frac{1 - \cos 2x}{2} \) में बदल देते हैं।
\( \implies I = 2 \int_{0}^{\pi/4} \frac{1 - \cos 2x}{2} \,dx \)
\( \implies I = \int_{0}^{\pi/4} (1 - \cos 2x) \,dx \)
अब, हम इसे हल करते हैं:
\( \implies I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi/4} \)
ऊपरी और निचली सीमाओं को रखने पर:
\( \implies I = \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sin (2 \cdot \frac{\pi}{4})}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} \right) \)
\( \implies I = \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sin (\frac{\pi}{2})}{2} \right) - (0 - 0) \)
\( \implies I = \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) - 0 \)
\( \implies I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \)
In simple words: जब समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाएँ समान हों लेकिन चिन्ह में विपरीत हों और फलन सम हो, तो हम समाकलन को आधी सीमा तक दोगुना कर देते हैं। \( \sin^2 x \) को \( 1-\cos(2x) \) से बदलने के बाद, हम सामान्य रूप से समाकलित करते हैं और मान प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: सम और विषम फलनों के लिए निश्चित समाकलन के गुणों को हमेशा याद रखें; वे अक्सर गणना को सरल बनाते हैं। \( \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \) जैसी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ भी समाकलन में बहुत उपयोगी होती हैं।

Question 18. \( \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} \,dx \)
Answer:
माना \( I = \int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} \,dx \)
हम यहाँ समाकलन की एक महत्वपूर्ण संपत्ति का उपयोग करेंगे: \( \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \,dx \).
इस संपत्ति का उपयोग करके, हम लिखते हैं:
\( \implies I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x)}{1+\sin (\pi-x)} \,dx \)
क्योंकि \( \sin(\pi-x) = \sin x \), हमें मिलता है:
\( \implies I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin x} \,dx \)
अब, मूल समीकरण और इस समीकरण को जोड़ने पर:
\( \implies 2I = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{x}{1+\sin x} + \frac{\pi-x}{1+\sin x} \right) \,dx \)
\( \implies 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x + \pi-x}{1+\sin x} \,dx \)
\( \implies 2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{1+\sin x} \,dx \)
\( \implies 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x} \,dx \)
आगे, हम भिन्न को \( (1-\sin x) \) से गुणा और भाग करते हैं ताकि नीचे \( \cos^2 x \) बन जाए:
\( \implies 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \,dx \)
\( \implies 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} \,dx \)
\( \implies 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} \,dx \)
हम इसे दो भागों में बाँटते हैं:
\( \implies 2I = \pi \int_{0}^{\pi} \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right) \,dx \)
\( \implies 2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec^2 x - \sec x \tan x) \,dx \)
अब, हम समाकलन करते हैं:
\( \implies 2I = \pi [\tan x - \sec x]_{0}^{\pi} \)
ऊपरी और निचली सीमाओं को रखने पर:
\( \implies 2I = \pi [(\tan \pi - \sec \pi) - (\tan 0 - \sec 0)] \)
\( \implies 2I = \pi [(0 - (-1)) - (0 - 1)] \)
\( \implies 2I = \pi [1 - (-1)] \)
\( \implies 2I = \pi [1 + 1] \)
\( \implies 2I = 2\pi \)
इस प्रकार, \( \implies I = \pi \)
In simple words: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम पहले \( x \) को \( \pi - x \) से बदलने की संपत्ति का उपयोग करते हैं। फिर दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, \( x \) वाला पद कट जाता है, और हमें \( \frac{1}{1+\sin x} \) का समाकलन करना होता है। \( (1-\sin x) \) से गुणा और भाग करके, हम इसे \( \sec^2 x - \sec x \tan x \) में बदलते हैं, जिसका समाकलन आसान होता है।

🎯 Exam Tip: जब समाकलन में \( x \) के साथ कोई त्रिकोणमितीय फलन हो और सीमाएँ \( 0 \) से \( a \) तक हों, तो \( \int_{0}^{a} x f(x) \,dx = \int_{0}^{a} (a-x) f(a-x) \,dx \) संपत्ति का उपयोग अक्सर \( x \) को हटाने में मदद करता है।

Question 19. \( \int_{0}^{\pi} x \sin^3 x \,dx \)
Answer:
माना \( I = \int_{0}^{\pi} x \sin^3 x \,dx \)
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \) का उपयोग करेंगे।
\( \implies I = \int_{0}^{\pi} x \left( \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \right) \,dx \)
हम इसे दो अलग-अलग समाकलनों में बाँट सकते हैं:
\( \implies I = \frac{3}{4} \int_{0}^{\pi} x \sin x \,dx - \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} x \sin 3x \,dx \)
अब, हम इन दोनों समाकलनों को अलग-अलग हल करेंगे।
पहले हम \( I_1 = \int_{0}^{\pi} x \sin x \,dx \) को हल करते हैं। समाकलन खंडशः विधि (Integration by Parts) का उपयोग करके:
\( \implies I_1 = [x (-\cos x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x) \,dx \)
\( \implies I_1 = [-x \cos x]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \,dx \)
\( \implies I_1 = (-\pi \cos \pi - 0 \cdot \cos 0) + [\sin x]_{0}^{\pi} \)
\( \implies I_1 = (-\pi (-1) - 0) + (\sin \pi - \sin 0) \)
\( \implies I_1 = \pi + (0 - 0) = \pi \)
फिर हम \( I_2 = \int_{0}^{\pi} x \sin 3x \,dx \) को हल करते हैं, खंडशः विधि का उपयोग करके:
\( \implies I_2 = [x (-\frac{\cos 3x}{3})]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\frac{\cos 3x}{3}) \,dx \)
\( \implies I_2 = [-\frac{x \cos 3x}{3}]_{0}^{\pi} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi} \cos 3x \,dx \)
\( \implies I_2 = \left(-\frac{\pi \cos 3\pi}{3} - 0\right) + \frac{1}{3} \left[\frac{\sin 3x}{3}\right]_{0}^{\pi} \)
\( \implies I_2 = \left(-\frac{\pi (-1)}{3}\right) + \frac{1}{9} (\sin 3\pi - \sin 0) \)
\( \implies I_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{9} (0 - 0) = \frac{\pi}{3} \)
अब, \( I_1 \) और \( I_2 \) के मानों को वापस मुख्य समीकरण में रखने पर:
\( \implies I = \frac{3}{4} (\pi) - \frac{1}{4} \left(\frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies I = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{12} \)
\( \implies I = \frac{9\pi - \pi}{12} \)
\( \implies I = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} \)
In simple words: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम \( \sin^3 x \) को \( \sin x \) और \( \sin 3x \) के पदों में बदलते हैं। फिर, हम \( x \sin x \) और \( x \sin 3x \) वाले दो अलग-अलग समाकलनों को खंडशः विधि का उपयोग करके हल करते हैं। अंत में, इन मानों को जोड़कर हमें अंतिम उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय घातों को कम करने वाली सर्वसमिकाएँ (जैसे \( \sin^3 x \)) और खंडशः समाकलन (Integration by Parts) विधि के उपयोग को याद रखना ऐसे सवालों को हल करने की कुंजी है।

Question 20. \( \int_{0}^{\pi/2} \log (\tan x + \cot x) \,dx \)
Answer:
माना \( I = \int_{0}^{\pi/2} \log (\tan x + \cot x) \,dx \)
सबसे पहले, हम \( \tan x \) और \( \cot x \) को \( \sin x \) और \( \cos x \) में बदलेंगे।
\( \implies I = \int_{0}^{\pi/2} \log \left( \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} \right) \,dx \)
\( \implies I = \int_{0}^{\pi/2} \log \left( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} \right) \,dx \)
\( \implies I = \int_{0}^{\pi/2} \log \left( \frac{1}{\sin x \cos x} \right) \,dx \)
\( \implies I = \int_{0}^{\pi/2} (-\log(\sin x \cos x)) \,dx \)
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x \cos x) \,dx \)
अब, हम \( \sin x \cos x \) को \( \frac{\sin 2x}{2} \) के रूप में लिखेंगे।
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} \log \left( \frac{2 \sin x \cos x}{2} \right) \,dx \)
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} \log \left( \frac{\sin 2x}{2} \right) \,dx \)
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} (\log(\sin 2x) - \log 2) \,dx \)
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin 2x) \,dx + \int_{0}^{\pi/2} \log 2 \,dx \)
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin 2x) \,dx + \log 2 [x]_{0}^{\pi/2} \)
\( \implies I = - \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin 2x) \,dx + \frac{\pi}{2} \log 2 \)
मान लीजिए \( I' = \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin 2x) \,dx \).
\( 2x = t \) रखने पर, \( 2\,dx = dt \implies dx = \frac{dt}{2} \).
जब \( x=0 \), \( t=0 \). जब \( x=\frac{\pi}{2} \), \( t=\pi \).
\( \implies I' = \int_{0}^{\pi} \log(\sin t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log(\sin t) \,dt \)
हम जानते हैं कि \( \log(\sin(\pi-t)) = \log(\sin t) \), इसलिए हम संपत्ति \( \int_{0}^{2a} f(t) \,dt = 2 \int_{0}^{a} f(t) \,dt \) का उपयोग कर सकते हैं:
\( \implies I' = \frac{1}{2} \left( 2 \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin t) \,dt \right) = \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin t) \,dt \)
यह एक मानक समाकलन है, जिसका मान \( -\frac{\pi}{2} \log 2 \) होता है।
इसलिए, \( \implies I' = -\frac{\pi}{2} \log 2 \)
अब, \( I' \) के मान को वापस मूल समीकरण में रखने पर:
\( \implies I = - \left( -\frac{\pi}{2} \log 2 \right) + \frac{\pi}{2} \log 2 \)
\( \implies I = \frac{\pi}{2} \log 2 + \frac{\pi}{2} \log 2 \)
\( \implies I = \pi \log 2 \)
In simple words: हम \( \tan x \) और \( \cot x \) को \( \sin x \) और \( \cos x \) में बदलकर समाकलन को सरल बनाते हैं। फिर \( \sin x \cos x \) को \( \sin 2x \) के रूप में लिखते हैं। प्रतिस्थापन विधि और निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके, हम इसे एक मानक समाकलन \( \int \log(\sin x) \,dx \) में बदल देते हैं, जिसका मान ज्ञात होता है।

🎯 Exam Tip: \( \log(\tan x + \cot x) = \log\left(\frac{1}{\sin x \cos x}\right) \) और \( \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) \,dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 \) जैसे मानक परिणाम ऐसे समाकलनों को हल करने में बहुत सहायक होते हैं।

Question 22. \( \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{f(x) + f(a+b-x)} \,dx \)
Answer:
माना \( I = \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{f(x) + f(a+b-x)} \,dx \)
हम यहाँ समाकलन की एक महत्वपूर्ण संपत्ति का उपयोग करेंगे: \( \int_{a}^{b} h(x) \,dx = \int_{a}^{b} h(a+b-x) \,dx \).
इस संपत्ति का उपयोग करने पर, हम \( x \) को \( a+b-x \) से बदलते हैं:
\( \implies I = \int_{a}^{b} \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(a+b-(a+b-x))} \,dx \)
\( \implies I = \int_{a}^{b} \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(x)} \,dx \)
अब, मूल समीकरण (जो \( I \) के लिए था) और इस नए समीकरण को जोड़ने पर:
\( \implies 2I = \int_{a}^{b} \left( \frac{f(x)}{f(x) + f(a+b-x)} + \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x) + f(x)} \right) \,dx \)
दोनों भिन्नों के हर समान हैं, इसलिए हम अंशों को जोड़ सकते हैं:
\( \implies 2I = \int_{a}^{b} \frac{f(x) + f(a+b-x)}{f(x) + f(a+b-x)} \,dx \)
अंश और हर समान होने के कारण, भिन्न 1 हो जाता है:
\( \implies 2I = \int_{a}^{b} 1 \,dx \)
\( \implies 2I = [x]_{a}^{b} \)
\( \implies 2I = b - a \)
इसलिए, \( \implies I = \frac{b-a}{2} \)
In simple words: इस समाकलन को हल करने के लिए, हम \( x \) को \( a+b-x \) से बदलने की एक खास संपत्ति का उपयोग करते हैं। फिर मूल और नई समीकरणों को जोड़ने पर, समाकलन के अंदर का पूरा पद 1 बन जाता है। इसे समाकलित करने पर, हमें \( b-a \) मिलता है, जिसका आधा करने पर अंतिम उत्तर \( \frac{b-a}{2} \) होता है।

🎯 Exam Tip: निश्चित समाकलनों की \( \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \,dx \) संपत्ति बहुत शक्तिशाली होती है, खासकर उन स्थितियों में जहाँ हर \( f(x) + f(a+b-x) \) जैसा होता है। इस संपत्ति का उपयोग करके कई कठिन दिखने वाले समाकलन तुरंत हल हो जाते हैं।