RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धान्त Exercise 4.1

प्रश्न 1. यदि कथन P(n) : \( (n + 3) < 2^{n+3} \) है, तो P(4) लिखिए।
Answer: दिया गया कथन है \( P(n) : (n + 3) < 2^{n+3} \).
हमें P(4) का मान लिखना है, तो n की जगह 4 रखेंगे।
\( P(4) : (4 + 3) < 2^{4+3} \)
\( P(4) : 7 < 2^7 \)
\( P(4) : 7 < 128 \)
अतः P(4) का मान \( 7 < 128 \) होगा, जो कि सत्य है।
In simple words: प्रश्न में दिए गए कथन में n की जगह 4 रखने पर हमें P(4) मिलता है, जो कि 7 < 128 है। यह बताता है कि कथन संख्या 4 के लिए सही है।

🎯 Exam Tip: गणितीय आगमन के प्रश्नों में, किसी विशेष मान (जैसे P(4)) के लिए कथन को सिद्ध करते समय, n के स्थान पर सीधे उस मान को रखें और समीकरण को सरल करें।

प्रश्न 2. यदि कथन P(n) : \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \) है तो P(4) की सत्यता की जाँच कीजिए।
Answer: दिया गया कथन \( P(n) : 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \) है।
हमें P(4) की सत्यता की जाँच करनी है, तो n = 4 रखने पर:
वाम पक्ष (LHS): \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + (2(4) - 1)^2 \)
\( = 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 \)
\( = 1 + 9 + 25 + 49 \)
\( = 84 \)
दायाँ पक्ष (RHS): \( \frac{4(2(4)-1)(2(4)+1)}{3} \)
\( = \frac{4(8-1)(8+1)}{3} \)
\( = \frac{4(7)(9)}{3} \)
\( = 4 \times 7 \times 3 \)
\( = 84 \)
चूंकि LHS = RHS, इसलिए P(4) सत्य है। यह दिखाता है कि कथन संख्या 4 के लिए सही है।
In simple words: हमने n की जगह 4 रखकर कथन के दोनों हिस्सों को हल किया. दोनों तरफ का उत्तर 84 आया, जिसका मतलब है कि यह कथन n=4 के लिए एकदम सही है.

🎯 Exam Tip: किसी कथन की सत्यता की जाँच करते समय, n का मान वाम और दाएँ दोनों पक्षों में सावधानी से रखें और गणना करें। दोनों पक्षों का मान बराबर आना चाहिए।

प्रश्न 3. \( 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + \dots \) का n वाँ पद लिखिए।
Answer: दी गई श्रेणी है \( 1 + (1 + 3) + (1 + 3 + 5) + \dots \)
श्रेणी का पहला पद \( T_1 = 1 \)
श्रेणी का दूसरा पद \( T_2 = 1 + 3 \)
श्रेणी का तीसरा पद \( T_3 = 1 + 3 + 5 \)
यहाँ, प्रत्येक पद विषम संख्याओं के योग से बना है। n वाँ पद प्रथम n विषम संख्याओं का योग होगा।
प्रथम n विषम संख्याओं का योग \( n^2 \) होता है।
इसलिए, n वाँ पद \( T_n = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots + (2n - 1) = n^2 \).
In simple words: इस खास तरह की गिनती में, हर नंबर पहले कुछ विषम संख्याओं को जोड़कर बनता है. इसलिए, nवां नंबर बस पहले n विषम संख्याओं का जोड़ होगा, जो कि \( n^2 \) होता है.

🎯 Exam Tip: विषम संख्याओं के योग के पैटर्न को पहचानना महत्वपूर्ण है। पहली n विषम संख्याओं का योग हमेशा \( n^2 \) होता है।

प्रश्न 4. \( 1 \cdot 4 \cdot 7 + 2 \cdot 5 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 9 + \dots \) का n वाँ पद लिखिए।
Answer: दी गई श्रेणी है \( 1 \cdot 4 \cdot 7 + 2 \cdot 5 \cdot 8 + 3 \cdot 6 \cdot 9 + \dots \)
यहाँ पर तीन अलग-अलग श्रेणियाँ बन रही हैं:
पहली श्रेणी के पद: 1, 2, 3, ... (इसका n वाँ पद \( T_n = n \))
दूसरी श्रेणी के पद: 4, 5, 6, ... (इसका n वाँ पद \( T_n = n + 3 \))
तीसरी श्रेणी के पद: 7, 8, 9, ... (इसका n वाँ पद \( T_n = n + 6 \))
अतः दी गई श्रेणी का n वाँ पद इन तीनों श्रेणियों के n वें पदों का गुणनफल होगा।
इसलिए, n वाँ पद \( T_n = n(n + 3)(n + 6) \).
In simple words: इस सवाल में, हर पद तीन छोटे नंबरों को गुणा करके बना है. हमने उन तीनों नंबरों का पैटर्न पता किया (जैसे 1,2,3... या 4,5,6...) और फिर उनको आपस में गुणा कर दिया ताकि nवां पद मिल सके.

🎯 Exam Tip: जब श्रेणी के प्रत्येक पद में कई संख्याओं का गुणनफल हो, तो प्रत्येक गुणनखंड के लिए अलग से पैटर्न (n वाँ पद) ज्ञात करें, फिर उन्हें गुणा करके पूरी श्रेणी का n वाँ पद प्राप्त करें।

प्रश्न 5. सभी \( n \in N \) के लिए गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध कीजिए : \( 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2 \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \)
RHS \( = 1^2 = 1 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2 \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2 \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1)] + (2k + 2 - 1) \)
LHS \( = k^2 + (2k + 1) \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = k^2 + 2k + 1 \)
LHS \( = (k + 1)^2 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: हमने पहले यह जांचा कि कथन छोटे नंबर 1 के लिए सही है या नहीं. फिर यह मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए सही है. आखिर में, हमने यह दिखाया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह k के अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा. इससे यह सिद्ध हो गया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है.

🎯 Exam Tip: गणितीय आगमन सिद्धान्त में, P(k+1) के LHS में P(k) के मान को प्रतिस्थापित करना एक महत्वपूर्ण चरण है। इससे गणना सरल हो जाती है।

प्रश्न 6. \( 1 + 4 + \dots + (3n – 2) = \frac{n(3n-1)}{2} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 + 4 + \dots + (3n - 2) = \frac{n(3n-1)}{2} \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \)
RHS \( = \frac{1(3(1)-1)}{2} = \frac{1(3-1)}{2} = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 + 4 + \dots + (3k - 2) = \frac{k(3k-1)}{2} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 + 4 + \dots + (3k - 2) + (3(k + 1) - 2) = \frac{(k+1)(3(k+1)-1)}{2} \)
\( 1 + 4 + \dots + (3k - 2) + (3k + 1) = \frac{(k+1)(3k+2)}{2} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1 + 4 + \dots + (3k - 2)] + (3k + 1) \)
LHS \( = \frac{k(3k-1)}{2} + (3k + 1) \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = \frac{k(3k-1) + 2(3k + 1)}{2} \)
LHS \( = \frac{3k^2 - k + 6k + 2}{2} \)
LHS \( = \frac{3k^2 + 5k + 2}{2} \)
अब हम अंश को गुणनखंडित करेंगे। मध्य पद को \( 3k + 2k \) में विभाजित किया जा सकता है।
LHS \( = \frac{3k^2 + 3k + 2k + 2}{2} \)
LHS \( = \frac{3k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} \)
LHS \( = \frac{(k + 1)(3k + 2)}{2} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: पहले, हमने देखा कि यह कथन नंबर 1 के लिए सही है. फिर, हमने मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए भी सही होगा. इसके बाद, हमने दिखाया कि यह अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही है. इस तरह, यह साबित हो गया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए काम करता है.

🎯 Exam Tip: जब अंश को गुणनखंडित करना हो, तो मध्य पद को इस तरह विभाजित करें कि उभयनिष्ठ गुणनखंड बनाए जा सकें। इससे सरलीकरण आसान हो जाता है।

प्रश्न 7. \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3} \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \cdot 3 = 3 \)
RHS \( = \frac{1(4(1)^2+6(1)-1)}{3} = \frac{1(4+6-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2k - 1)(2k + 1) = \frac{k(4k^2+6k-1)}{3} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2k - 1)(2k + 1) + (2(k+1) - 1)(2(k+1) + 1) = \frac{(k+1)(4(k+1)^2+6(k+1)-1)}{3} \)
\( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2k - 1)(2k + 1) + (2k + 1)(2k + 3) = \frac{(k+1)(4(k^2+2k+1)+6k+6-1)}{3} \)
\( = \frac{(k+1)(4k^2+8k+4+6k+5)}{3} \)
\( = \frac{(k+1)(4k^2+14k+9)}{3} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + (2k - 1)(2k + 1)] + (2k + 1)(2k + 3) \)
LHS \( = \frac{k(4k^2+6k-1)}{3} + (2k + 1)(2k + 3) \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = \frac{k(4k^2+6k-1) + 3(2k + 1)(2k + 3)}{3} \)
LHS \( = \frac{4k^3+6k^2-k + 3(4k^2+6k+2k+3)}{3} \)
LHS \( = \frac{4k^3+6k^2-k + 3(4k^2+8k+3)}{3} \)
LHS \( = \frac{4k^3+6k^2-k + 12k^2+24k+9}{3} \)
LHS \( = \frac{4k^3+18k^2+23k+9}{3} \)
अब, हमें यह दिखाना है कि यह RHS के बराबर है: \( \frac{(k+1)(4k^2+14k+9)}{3} \)
आइए अंश को सरल करें: \( (k+1)(4k^2+14k+9) = 4k^3 + 14k^2 + 9k + 4k^2 + 14k + 9 = 4k^3 + 18k^2 + 23k + 9 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: यह सिद्ध करने के लिए कि यह गणितीय कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है, हमने इसे पहले नंबर 1 के लिए जांचा. फिर हमने मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए सही है. आखिर में, हमने दिखाया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह उसके अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा.

🎯 Exam Tip: गणितीय आगमन सिद्धान्त के लंबे सवालों में, LHS को सरल करते समय P(k) के मान का उपयोग करना न भूलें, और अंत में सुनिश्चित करें कि प्राप्त व्यंजक RHS के बराबर है। गुणनफल को ध्यान से विस्तार करें।

प्रश्न 8. \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + n(n + 2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + n(n + 2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \cdot 3 = 3 \)
RHS \( = \frac{1(1+1)(2(1)+7)}{6} = \frac{1(2)(2+7)}{6} = \frac{1 \times 2 \times 9}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + k(k + 2) = \frac{k(k+1)(2k+7)}{6} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + k(k + 2) + (k + 1)((k + 1) + 2) = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+7)}{6} \)
\( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + k(k + 2) + (k + 1)(k + 3) = \frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + k(k + 2)] + (k + 1)(k + 3) \)
LHS \( = \frac{k(k+1)(2k+7)}{6} + (k + 1)(k + 3) \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = (k + 1) \left[ \frac{k(2k+7)}{6} + (k + 3) \right] \)
LHS \( = (k + 1) \left[ \frac{k(2k+7) + 6(k + 3)}{6} \right] \)
LHS \( = (k + 1) \left[ \frac{2k^2+7k + 6k + 18}{6} \right] \)
LHS \( = (k + 1) \left[ \frac{2k^2+13k + 18}{6} \right] \)
अब अंश के द्विघात बहुपद \( 2k^2+13k + 18 \) को गुणनखंडित करेंगे। इसे \( (2k+9)(k+2) \) के रूप में लिखा जा सकता है।
LHS \( = \frac{(k + 1)(2k+9)(k+2)}{6} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: हमने पहले यह जांचा कि कथन नंबर 1 के लिए सही है. फिर मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए भी सही होगा. इसके बाद, हमने दिखाया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह उसके अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा. इस तरह, यह साबित हो गया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए काम करता है.

🎯 Exam Tip: गुणनखंडन करते समय, यदि द्विघात व्यंजक \( ax^2+bx+c \) रूप में हो, तो ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल \( ac \) हो और योग \( b \) हो।

प्रश्न 9. \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1)(n + 2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1)(n + 2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \)
RHS \( = \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k + 1)(k + 2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + (k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2) = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)((k+1)+3)}{4} \)
\( 1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1 \cdot 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1)(k + 2)] + (k + 1)(k + 2)(k + 3) \)
LHS \( = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = (k + 1)(k + 2)(k + 3) \left[ \frac{k}{4} + 1 \right] \)
LHS \( = (k + 1)(k + 2)(k + 3) \left[ \frac{k + 4}{4} \right] \)
LHS \( = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: हमने इस गणितीय कथन की सत्यता को 3 चरणों में सिद्ध किया: पहले n=1 के लिए, फिर यह मानकर कि यह k के लिए सही है, और अंत में यह दिखाकर कि यह k+1 के लिए भी सही है. इस तरीके से, यह सिद्ध हो गया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, उभयनिष्ठ गुणनखंडों को बाहर निकालना गणना को बहुत सरल बनाता है। ध्यान रखें कि \( (k+1)(k+2)(k+3) \) को एक इकाई के रूप में देखें।

प्रश्न 10. \( \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n}{3(2n+3)} \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} \)
RHS \( = \frac{1}{3(2(1)+3)} = \frac{1}{3(2+3)} = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{3(2k+3)} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2(k+1)+1)(2(k+1)+3)} = \frac{(k+1)}{3(2(k+1)+3)} \)
\( \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)} = \frac{(k+1)}{3(2k+5)} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = \left[ \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} \right] + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)} \)
LHS \( = \frac{k}{3(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+5)} \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k}{3} + \frac{1}{2k+5} \right] \)
LHS \( = \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{k(2k+5) + 3}{3(2k+5)} \right] \)
LHS \( = \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{2k^2+5k + 3}{3(2k+5)} \right] \)
अंश में द्विघात बहुपद \( 2k^2+5k+3 \) को गुणनखंडित करेंगे। इसे \( (2k+3)(k+1) \) के रूप में लिखा जा सकता है।
LHS \( = \frac{1}{2k+3} \left[ \frac{(2k+3)(k+1)}{3(2k+5)} \right] \)
LHS \( = \frac{k+1}{3(2k+5)} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: हमने इस गणितीय कथन को तीन मुख्य चरणों में सिद्ध किया: पहले, हमने यह दिखाया कि यह नंबर 1 के लिए सही है; फिर, यह मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए भी सही है; और अंत में, यह साबित किया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह k के अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा. इस तरह, यह सिद्ध हो गया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है.

🎯 Exam Tip: भिन्नों के योग में, उभयनिष्ठ हर बनाने के लिए उपयुक्त पदों से गुणा करें। द्विघात व्यंजक के गुणनखंडन के लिए मध्य पद को विभाजित करने की विधि का प्रयोग करें।

प्रश्न 11. \( 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1^3 = 1 \)
RHS \( = \left[ \frac{1(1+1)}{2} \right]^2 = \left[ \frac{1 \cdot 2}{2} \right]^2 = [1]^2 = 1 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]^2 \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \left[ \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \right]^2 \)
\( 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \left[ \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right]^2 \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1^3 + 2^3 + \dots + k^3] + (k+1)^3 \)
LHS \( = \left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]^2 + (k+1)^3 \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \)
LHS \( = (k+1)^2 \left[ \frac{k^2}{4} + (k+1) \right] \)
LHS \( = (k+1)^2 \left[ \frac{k^2 + 4(k+1)}{4} \right] \)
LHS \( = (k+1)^2 \left[ \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right] \)
LHS \( = (k+1)^2 \left[ \frac{(k+2)^2}{4} \right] \)
LHS \( = \left[ \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right]^2 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: इस गणित के सूत्र को सही साबित करने के लिए, हमने इसे 3 छोटे चरणों में जांचा: पहले यह दिखाया कि यह नंबर 1 के लिए सही है, फिर मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए भी सही होगा, और आखिर में यह सिद्ध किया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह k के बाद वाले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा. इस तरह, यह सिद्ध हो गया कि यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है.

🎯 Exam Tip: \( (k+1)^2 \) को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालना अक्सर ऐसे सवालों में कुंजी होती है। याद रखें कि \( k^2 + 4k + 4 \) एक पूर्ण वर्ग \( (k+2)^2 \) है।

प्रश्न 12. \( 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n} = \frac{2n}{n+1} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \dots + \frac{1}{1+2+3+\dots+n} = \frac{2n}{n+1} \)
यहाँ, पद \( \frac{1}{1+2+3+\dots+n} \) का हर प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग है, जो \( \frac{n(n+1)}{2} \) के बराबर होता है।
इसलिए, n वाँ पद \( T_n = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)} \)
कथन P(n) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
\( P(n) : \sum_{i=1}^{n} \frac{2}{i(i+1)} = \frac{2n}{n+1} \)

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \)
RHS \( = \frac{2(1)}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 + \frac{1}{1+2} + \dots + \frac{1}{1+2+\dots+k} = \frac{2k}{k+1} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 + \frac{1}{1+2} + \dots + \frac{1}{1+2+\dots+k} + \frac{1}{1+2+\dots+(k+1)} = \frac{2(k+1)}{(k+1)+1} \)
\( = \frac{2(k+1)}{k+2} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = \left[ 1 + \frac{1}{1+2} + \dots + \frac{1}{1+2+\dots+k} \right] + \frac{1}{1+2+\dots+(k+1)} \)
LHS \( = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}} \) (समीकरण (1) का उपयोग करके और n वें पद के लिए सूत्र)
LHS \( = \frac{2k}{k+1} + \frac{2}{(k+1)(k+2)} \)
LHS \( = \frac{2}{(k+1)} \left[ k + \frac{1}{k+2} \right] \)
LHS \( = \frac{2}{(k+1)} \left[ \frac{k(k+2) + 1}{k+2} \right] \)
LHS \( = \frac{2}{(k+1)} \left[ \frac{k^2 + 2k + 1}{k+2} \right] \)
LHS \( = \frac{2}{(k+1)} \left[ \frac{(k+1)^2}{k+2} \right] \)
LHS \( = \frac{2(k+1)}{k+2} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: हमने तीन चरणों में यह सिद्ध किया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है. पहले हमने इसे नंबर 1 के लिए जांचा, फिर मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए सही है, और अंत में दिखाया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह k के अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा.

🎯 Exam Tip: जब श्रेणी के हर में योग होता है, तो पहले योग सूत्र (\( \sum n = \frac{n(n+1)}{2} \)) का उपयोग करके nवें पद को सरल करना महत्वपूर्ण है। फिर भिन्नों का योग करते समय सावधानी बरतें।

प्रश्न 13. \( 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} = \frac{5^n-1}{4} \)
Answer: माना कि दिया गया कथन P(n) है:
\( P(n) : 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} = \frac{5^n-1}{4} \)
यह एक गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Progression) का योग है, जहाँ पहला पद \( a=1 \) और सार्व अनुपात \( r=5 \) है।

**चरण 1: n = 1 के लिए सत्यता की जाँच करना**
LHS \( = 1 \)
RHS \( = \frac{5^1-1}{4} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(1) सत्य है।

**चरण 2: यह मानना कि P(k) सत्य है**
हम मानते हैं कि P(k) किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए सत्य है।
इसलिए, \( 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{k-1} = \frac{5^k-1}{4} \) ---(1)

**चरण 3: P(k + 1) के लिए सत्यता सिद्ध करना**
हमें सिद्ध करना है कि P(k + 1) सत्य है, यानी:
\( 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{k-1} + 5^{(k+1)-1} = \frac{5^{k+1}-1}{4} \)
\( 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{k-1} + 5^k = \frac{5^{k+1}-1}{4} \)
अब, LHS लेते हैं:
LHS \( = [1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{k-1}] + 5^k \)
LHS \( = \frac{5^k-1}{4} + 5^k \) (समीकरण (1) का उपयोग करके)
LHS \( = \frac{5^k-1 + 4 \cdot 5^k}{4} \)
LHS \( = \frac{5^k + 4 \cdot 5^k - 1}{4} \)
LHS \( = \frac{5^k(1 + 4) - 1}{4} \)
LHS \( = \frac{5^k \cdot 5 - 1}{4} \)
LHS \( = \frac{5^{k+1}-1}{4} \)
चूंकि LHS = RHS, अतः P(k + 1) सत्य है।
इसलिए, गणितीय आगमन सिद्धान्त से सिद्ध होता है कि दिया गया कथन \( n \in N \) के सभी मानों के लिए सत्य है। यह दिखाता है कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है।
In simple words: हमने इस कथन को तीन चरणों में साबित किया: पहले यह दिखाया कि यह नंबर 1 के लिए सही है, फिर मान लिया कि यह किसी भी नंबर k के लिए भी सही है, और अंत में यह साबित किया कि अगर यह k के लिए सही है, तो यह k के अगले नंबर (k+1) के लिए भी सही होगा. इस तरह, यह सिद्ध हो गया कि यह कथन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सही है.

🎯 Exam Tip: यह एक गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र है। घातांकों के नियमों का उपयोग करके \( 5^k + 4 \cdot 5^k \) को \( 5^k(1+4) = 5^k \cdot 5 = 5^{k+1} \) के रूप में सरल करना महत्वपूर्ण है।

Question 14. \( \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \cdots\left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2} \)
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \cdots\left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2} \)
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \left(1+\frac{3}{1}\right) = 4 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) \( = (1+1)^{2} = 2^{2} = 4 \)
चूंकि बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष बराबर हैं, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है:
\( \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \cdots\left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)=(k+1)^{2} \).....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
\( \text{P(k+1)} \) का बायाँ पक्ष (L.H.S.) है:
\( \text{L.H.S.} = \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \cdots\left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)\left(1+\frac{2(k+1)+1}{(k+1)^{2}}\right) \)
समीकरण (1) का मान रखने पर:
\( \text{L.H.S.} = (k+1)^{2} \left(1+\frac{2k+2+1}{(k+1)^{2}}\right) \)
\( = (k+1)^{2} \left(1+\frac{2k+3}{(k+1)^{2}}\right) \)
\( = (k+1)^{2} \left(\frac{(k+1)^{2} + (2k+3)}{(k+1)^{2}}\right) \)
\( = (k+1)^{2} + (2k+3) \)
\( = k^{2}+2k+1+2k+3 \)
\( = k^{2}+4k+4 \)
\( = (k+2)^{2} \)
अब, \( \text{P(k+1)} \) का दायाँ पक्ष (R.H.S.) है:
\( \text{R.H.S.} = ((k+1)+1)^{2} = (k+2)^{2} \)
यहाँ बायाँ पक्ष (L.H.S.) और दायाँ पक्ष (R.H.S.) बराबर हैं। इसलिए, \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह सिद्ध किया कि एक खास श्रृंखला का गुणनफल हमेशा \( (\text{n}+1)^2 \) के बराबर होता है. पहले हमने इसे \( \text{n}=1 \) के लिए सही दिखाया, फिर यह मान लिया कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है और इससे साबित किया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: गणितीय आगमन के प्रश्नों में आधार चरण (n=1) और आगमनात्मक चरण (P(k) से P(k+1) सिद्ध करना) दोनों को स्पष्ट रूप से दिखाना महत्वपूर्ण है। सभी चरणों का सही ढंग से प्रदर्शन ही पूर्ण अंक दिलाता है।

Question 15. \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} \)
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} \)
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \frac{1}{2} \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) \( = 1 - \frac{1}{2^1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
चूंकि बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष बराबर हैं, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है:
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^k} \).....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
\( \text{P(k+1)} \) का बायाँ पक्ष (L.H.S.) है:
\( \text{L.H.S.} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^{k+1}} \)
समीकरण (1) का मान रखने पर:
\( \text{L.H.S.} = \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^{k+1}} \)
\( = 1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2 \cdot 2^k} \)
\( = 1 - \frac{2}{2 \cdot 2^k} + \frac{1}{2 \cdot 2^k} \)
\( = 1 - \frac{2-1}{2^{k+1}} \)
\( = 1 - \frac{1}{2^{k+1}} \)
अब, \( \text{P(k+1)} \) का दायाँ पक्ष (R.H.S.) है:
\( \text{R.H.S.} = 1 - \frac{1}{2^{(k+1)}} \)
यहाँ बायाँ पक्ष (L.H.S.) और दायाँ पक्ष (R.H.S.) बराबर हैं। इसलिए, \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने देखा कि \( 1/2 + 1/4 + \dots \) जैसी श्रृंखला का जोड़ \( 1 \) से \( 1/2^n \) घटाने पर मिलता है. \( \text{n}=1 \) के लिए यह सच है. अगर यह \( \text{k} \) के लिए सच है, तो यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सच होगा.

🎯 Exam Tip: आंशिक भिन्नों (जैसे \( \frac{1}{2^k} \)) वाले सवालों में, \( 2^{k+1} \) को \( 2 \cdot 2^k \) के रूप में लिखकर सामान्य हर बनाना हल करने की कुंजी है।

Question 16. \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4} \)
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4} \)
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = 1 \cdot 3 = 3 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) \( = \frac{(2 \cdot 1-1)3^{1+1}+3}{4} = \frac{(1)3^{2}+3}{4} = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4} = 3 \)
चूंकि बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष बराबर हैं, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है:
\( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + k \cdot 3^k = \frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4} \).....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
\( \text{P(k+1)} \) का बायाँ पक्ष (L.H.S.) है:
\( \text{L.H.S.} = (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \cdots + k \cdot 3^k) + (k+1) \cdot 3^{k+1} \)
समीकरण (1) का मान रखने पर:
\( \text{L.H.S.} = \frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4} + (k+1) \cdot 3^{k+1} \)
\( = \frac{(2k-1)3^{k+1}+3 + 4(k+1) \cdot 3^{k+1}}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1}(2k-1+4(k+1)) + 3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1}(2k-1+4k+4) + 3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1}(6k+3) + 3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1} \cdot 3(2k+1) + 3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+2}(2k+1) + 3}{4} \)
अब, \( \text{P(k+1)} \) का दायाँ पक्ष (R.H.S.) है:
\( \text{R.H.S.} = \frac{(2(k+1)-1)3^{(k+1)+1}+3}{4} = \frac{(2k+2-1)3^{k+2}+3}{4} = \frac{(2k+1)3^{k+2}+3}{4} \)
यहाँ बायाँ पक्ष (L.H.S.) और दायाँ पक्ष (R.H.S.) बराबर हैं। इसलिए, \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: यह सिद्ध करने के लिए कि एक खास गुणा और जोड़ वाली संख्या का सूत्र सही है, हमने गणितीय आगमन का उपयोग किया. हमने पहले सूत्र को \( \text{n}=1 \) के लिए सही दिखाया, फिर मान लिया कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है, और इससे यह भी साबित कर दिया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में \( 3^{k+1} \) जैसे पदों को कॉमन लेना और फिर गुणा करना अक्सर गणना को सरल बनाता है। यह सुनिश्चित करें कि आप सभी पदों को सही ढंग से गुणा कर रहे हैं।

Question 18. \( (1+x)^n \ge (1+nx), x>0 \)
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : (1+x)^n \ge (1+nx), x>0 \)
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = (1+x)^1 = 1+x \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) \( = 1+1 \cdot x = 1+x \)
चूंकि बायाँ पक्ष और दायाँ पक्ष बराबर हैं, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है। यह \( \text{x} > 0 \) के लिए सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है:
\( (1+x)^k \ge (1+kx), x>0 \).....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
हमें पता है कि \( (1+x)^{k+1} = (1+x)^k (1+x) \)।
चूंकि \( \text{x} > 0 \), इसलिए \( (1+x) > 0 \)।
समीकरण (1) में \( (1+x) \) से गुणा करने पर:
\( (1+x)^k (1+x) \ge (1+kx)(1+x) \)
\( (1+x)^{k+1} \ge 1 \cdot (1+x) + kx \cdot (1+x) \)
\( (1+x)^{k+1} \ge 1+x+kx+kx^2 \)
हम जानते हैं कि \( \text{k} \) एक प्राकृत संख्या है और \( \text{x}^2 \ge 0 \), इसलिए \( \text{kx}^2 \ge 0 \)।
इसका मतलब है कि \( 1+x+kx+kx^2 \ge 1+x+kx \)।
\( \implies (1+x)^{k+1} \ge 1+x+kx \)
\( \implies (1+x)^{k+1} \ge 1+(1+k)x \)
यह \( \text{P(k+1)} \) का रूप है, इसलिए \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने डेनियल बर्नौली के असमानता को गणितीय आगमन से साबित किया. हमने दिखाया कि \( (1+x)^n \) हमेशा \( (1+nx) \) से बड़ा या बराबर होता है, जब \( \text{x} \) धनात्मक हो. पहले हमने \( \text{n}=1 \) के लिए यह देखा, फिर यह मानकर कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है, \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही साबित किया.

🎯 Exam Tip: असमानता वाले प्रश्नों में, \( \text{kx}^2 \ge 0 \) जैसे छोटे धनात्मक पदों को हटाना अक्सर आवश्यक असमानता सिद्ध करने में मदद करता है। ध्यान रखें कि कब पद हटाने से असमानता की दिशा प्रभावित नहीं होती।

Question 19. \( 1+2+\cdots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^2 \)
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : 1+2+\cdots+n < \frac{1}{8}(2n+1)^2 \)
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = 1 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) \( = \frac{1}{8}(2 \cdot 1+1)^2 = \frac{1}{8}(3)^2 = \frac{9}{8} \)
चूंकि \( 1 < \frac{9}{8} \) सत्य है, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है:
\( 1+2+\cdots+k < \frac{1}{8}(2k+1)^2 \).....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
\( \text{P(k+1)} \) का बायाँ पक्ष (L.H.S.) है:
\( 1+2+\cdots+k+(k+1) \)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में \( (k+1) \) जोड़ने पर:
\( 1+2+\cdots+k+(k+1) < \frac{1}{8}(2k+1)^2 + (k+1) \)
हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{1}{8}(2k+1)^2 + (k+1) < \frac{1}{8}(2(k+1)+1)^2 \)
दायाँ पक्ष \( = \frac{1}{8}(2k+3)^2 = \frac{1}{8}(4k^2+12k+9) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{8}(2k+1)^2 + (k+1) = \frac{1}{8}(4k^2+4k+1) + k+1 \)
\( = \frac{4k^2+4k+1+8k+8}{8} = \frac{4k^2+12k+9}{8} \)
यह दाएँ पक्ष के बराबर है।
इसलिए, \( 1+2+\cdots+k+(k+1) < \frac{1}{8}(2k+3)^2 \)
अतः, \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह साबित किया कि \( 1+2+\dots+n \) का योग \( \frac{1}{8}(2n+1)^2 \) से हमेशा छोटा होता है. हमने पहले \( \text{n}=1 \) के लिए इसे सही दिखाया, फिर यह मानकर कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है, \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही साबित किया.

🎯 Exam Tip: असमानता वाले प्रश्नों में, आगमनात्मक चरण में सीधे तौर पर सिद्ध करने के बजाय, यह दिखाना अक्सर आसान होता है कि आगमनात्मक धारणा का दाहिना पक्ष, अगले चरण के दाहिने पक्ष से छोटा है।

Question 20. \( x^{2n} - y^{2n}, (x+y) \) से भाज्य है।
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : x^{2n} - y^{2n}, (x+y) \) से भाज्य है।
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
\( \text{P(1)} : x^{2 \cdot 1} - y^{2 \cdot 1} = x^2 - y^2 \)
हम जानते हैं कि \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \)।
चूंकि \( (x+y) \) एक गुणनखंड है, इसलिए \( x^2 - y^2 \) हमेशा \( (x+y) \) से भाज्य है। अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है कि \( x^{2k} - y^{2k}, (x+y) \) से भाज्य है।
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
हमें \( \text{P(k+1)} \) को दिखाना है कि \( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} \) भी \( (x+y) \) से भाज्य है।
\( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} = x^{2k+2} - y^{2k+2} \)
\( = x^{2k}x^2 - y^{2k}y^2 \)
हम \( x^2 y^{2k} \) को जोड़ और घटा सकते हैं:
\( = x^{2k}x^2 - x^2 y^{2k} + x^2 y^{2k} - y^{2k}y^2 \)
\( = x^2(x^{2k} - y^{2k}) + y^{2k}(x^2 - y^2) \)
मान लीजिए पहला पद \( \text{A} = x^2(x^{2k} - y^{2k}) \) और दूसरा पद \( \text{B} = y^{2k}(x^2 - y^2) \) है।
हम जानते हैं कि \( x^{2k} - y^{2k} \), \( (x+y) \) से भाज्य है (आगमनात्मक धारणा से)। इसलिए \( \text{A} \) भी \( (x+y) \) से भाज्य होगा।
हम जानते हैं कि \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \), इसलिए \( x^2 - y^2 \) भी \( (x+y) \) से भाज्य है। अतः \( \text{B} \) भी \( (x+y) \) से भाज्य होगा।
चूंकि \( \text{A} \) और \( \text{B} \) दोनों \( (x+y) \) से भाज्य हैं, तो उनका योग \( \text{A+B} \) भी \( (x+y) \) से भाज्य होगा।
इसलिए, \( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} \) भी \( (x+y) \) से भाज्य है। अतः \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह साबित किया कि \( x^{2n} - y^{2n} \) हमेशा \( (x+y) \) से पूरी तरह से विभाजित होता है. पहले \( \text{n}=1 \) के लिए इसे सही दिखाया, फिर मान लिया कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है और इससे साबित किया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: भाज्यता वाले प्रश्नों में, \( \text{x+y} \) जैसे पद को एक गुणनखंड के रूप में लाने के लिए चरों को जोड़ना और घटाना एक सामान्य तकनीक है। यह सुनिश्चित करें कि आप आगमनात्मक परिकल्पना का सही ढंग से उपयोग कर रहे हैं।

Question 21. \( 2^{3n}-1, 7 \) से भाज्य है।
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : 2^{3n}-1, 7 \) से भाज्य है।
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
\( \text{P(1)} : 2^{3 \cdot 1}-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7 \)
चूंकि \( 7, 7 \) से भाज्य है, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है कि \( 2^{3k}-1, 7 \) से भाज्य है। इसे \( 2^{3k}-1 = 7\lambda \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( \lambda \) कोई पूर्णांक है।
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
हमें \( \text{P(k+1)} \) को दिखाना है कि \( 2^{3(k+1)}-1 \) भी \( 7 \) से भाज्य है।
\( 2^{3(k+1)}-1 = 2^{3k+3}-1 \)
\( = 2^{3k} \cdot 2^3 - 1 \)
\( = 8 \cdot 2^{3k} - 1 \)
हम इसे ऐसे लिख सकते हैं ताकि \( (2^{3k}-1) \) पद दिखाई दे:
\( = 8 \cdot (2^{3k}-1) + 8 - 1 \)
\( = 8 \cdot (2^{3k}-1) + 7 \)
चूंकि हमने माना है कि \( (2^{3k}-1) \), \( 7 \) से भाज्य है, इसलिए \( 8 \cdot (2^{3k}-1) \) भी \( 7 \) से भाज्य होगा।
और \( 7 \) भी \( 7 \) से भाज्य है।
इसलिए, \( 8 \cdot (2^{3k}-1) + 7 \) भी \( 7 \) से भाज्य होगा।
अतः \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह दिखाया कि \( 2^{3n}-1 \) हमेशा \( 7 \) से पूरी तरह से विभाजित होता है. पहले हमने \( \text{n}=1 \) के लिए इसे सही दिखाया (क्योंकि \( 2^3-1 = 7 \)), फिर यह मानकर कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है, यह साबित किया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: भाज्यता के प्रश्नों में, आगमनात्मक धारणा वाले पद (जैसे \( 2^{3k}-1 \)) को अलग करने के लिए बीजीय हेरफेर (जैसे \( 8 \cdot 2^{3k} - 1 = 8(2^{3k}-1)+7 \)) का उपयोग करना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है।

Question 22. \( 10^n + 3 \cdot 4^{n+2} + 5, 9 \) से भाज्य है।
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : 10^n + 3 \cdot 4^{n+2} + 5, 9 \) से भाज्य है।
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
\( \text{P(1)} : 10^1 + 3 \cdot 4^{1+2} + 5 \)
\( = 10 + 3 \cdot 4^3 + 5 \)
\( = 10 + 3 \cdot 64 + 5 \)
\( = 10 + 192 + 5 = 207 \)
चूंकि \( 207, 9 \) से भाज्य है \( (207 = 9 \times 23) \), अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है कि \( 10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5, 9 \) से भाज्य है।.....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
हमें \( \text{P(k+1)} \) को दिखाना है कि \( 10^{k+1} + 3 \cdot 4^{(k+1)+2} + 5 \) भी \( 9 \) से भाज्य है।
\( 10^{k+1} + 3 \cdot 4^{k+3} + 5 \)
\( = 10 \cdot 10^k + 3 \cdot 4 \cdot 4^{k+2} + 5 \)
\( = 10 \cdot 10^k + 12 \cdot 4^{k+2} + 5 \)
अब, हम आगमनात्मक धारणा \( (10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) \) का उपयोग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करेंगे:
\( = 10(10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) - 10(3 \cdot 4^{k+2} + 5) + 12 \cdot 4^{k+2} + 5 \)
\( = 10(10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) - 30 \cdot 4^{k+2} - 50 + 12 \cdot 4^{k+2} + 5 \)
\( = 10(10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) - 18 \cdot 4^{k+2} - 45 \)
\( = 10(10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) - 9(2 \cdot 4^{k+2} + 5) \)
समीकरण (1) से, \( (10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) \), \( 9 \) से भाज्य है। इसलिए \( 10(10^k + 3 \cdot 4^{k+2} + 5) \) भी \( 9 \) से भाज्य होगा।
और \( 9(2 \cdot 4^{k+2} + 5) \) भी \( 9 \) से भाज्य है।
दो संख्याओं का अंतर जो \( 9 \) से भाज्य हैं, वह भी \( 9 \) से भाज्य होगा।
इसलिए, \( 10^{k+1} + 3 \cdot 4^{k+3} + 5 \) भी \( 9 \) से भाज्य है। अतः \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह साबित किया कि \( 10^n + 3 \cdot 4^{n+2} + 5 \) हमेशा \( 9 \) से पूरी तरह से विभाजित होता है. पहले हमने \( \text{n}=1 \) के लिए इसे सही दिखाया, फिर मान लिया कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है और इससे साबित किया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: ऐसे भाज्यता प्रश्नों में, आगमनात्मक धारणा (P(k)) को \( P(k+1) \) के व्यंजक में 'उत्पन्न' करने का प्रयास करें। इसे अक्सर \( 10 = 9+1 \) या \( 4 = 3+1 \) जैसे संबंधों का उपयोग करके किया जाता है, ताकि \( 9 \) के गुणजों को अलग किया जा सके।

Question 23. \( 41^n - 14^n \) संख्या \( 27 \) का एक गुणज है।
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : 41^n - 14^n \) संख्या \( 27 \) का एक गुणज है।
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
\( \text{P(1)} : 41^1 - 14^1 = 41 - 14 = 27 \)
चूंकि \( 27, 27 \) का एक गुणज है, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है कि \( 41^k - 14^k, 27 \) का एक गुणज है। इसे \( 41^k - 14^k = 27\lambda \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( \lambda \) कोई पूर्णांक है।
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
हमें \( \text{P(k+1)} \) को दिखाना है कि \( 41^{k+1} - 14^{k+1} \) भी \( 27 \) का एक गुणज है।
\( 41^{k+1} - 14^{k+1} = 41 \cdot 41^k - 14 \cdot 14^k \)
अब, हम \( 41^k - 14^k \) पद प्राप्त करने के लिए इसे व्यवस्थित करते हैं:
\( = 41 \cdot 41^k - 41 \cdot 14^k + 41 \cdot 14^k - 14 \cdot 14^k \)
\( = 41(41^k - 14^k) + 14^k(41-14) \)
\( = 41(41^k - 14^k) + 14^k(27) \)
चूंकि हमने माना है कि \( (41^k - 14^k) \), \( 27 \) का एक गुणज है, इसलिए \( 41(41^k - 14^k) \) भी \( 27 \) का एक गुणज होगा।
और \( 14^k(27) \) भी \( 27 \) का एक गुणज है।
दो संख्याओं का योग जो \( 27 \) का गुणज हैं, वह भी \( 27 \) का एक गुणज होगा।
इसलिए, \( 41^{k+1} - 14^{k+1} \) भी \( 27 \) का एक गुणज है। अतः \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह साबित किया कि \( 41^n - 14^n \) हमेशा \( 27 \) से पूरी तरह से विभाजित होता है. पहले \( \text{n}=1 \) के लिए इसे सही दिखाया, फिर यह मानकर कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है, यह साबित किया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: भाज्यता के प्रश्नों में, \( a^{k+1} - b^{k+1} \) को \( a(a^k - b^k) + b^k(a-b) \) या \( b(a^k - b^k) + a^k(a-b) \) के रूप में व्यक्त करना अक्सर उपयोगी होता है। इससे आगमनात्मक धारणा का उपयोग करने में मदद मिलती है।

Question 24. \( (2n+7) < (n+3)^2 \)
Answer: मान लीजिए कि दिया गया कथन \( \text{P(n)} \) है:
\( \text{P(n)} : (2n+7) < (n+3)^2 \)
पहले हम \( \text{n}=1 \) के लिए \( \text{P(1)} \) की सत्यता जाँचेंगे।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = 2 \cdot 1 + 7 = 9 \)
दायाँ पक्ष (R.H.S.) \( = (1+3)^2 = 4^2 = 16 \)
चूंकि \( 9 < 16 \) सत्य है, अतः \( \text{P(1)} \) सत्य है।
अब, हम मानते हैं कि किसी धन पूर्णांक \( \text{k} \) के लिए \( \text{P(k)} \) सत्य है। इसका मतलब है:
\( (2k+7) < (k+3)^2 \).....(1)
इसके बाद, हम यह सिद्ध करेंगे कि \( \text{P(k+1)} \) सत्य है, जब भी \( \text{P(k)} \) सत्य होता है।
हमें \( \text{P(k+1)} \) को दिखाना है कि \( (2(k+1)+7) < ((k+1)+3)^2 \) या \( (2k+9) < (k+4)^2 \)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में \( 2 \) जोड़ने पर (क्योंकि \( 2k+7 \) से \( 2(k+1)+7 = 2k+9 \) पर जाने के लिए \( 2 \) जोड़ना होगा):
\( (2k+7)+2 < (k+3)^2+2 \)
\( 2k+9 < k^2+6k+9+2 \)
\( 2k+9 < k^2+6k+11 \).....(2)
हमें यह सिद्ध करना है कि \( k^2+6k+11 < (k+4)^2 \) है।
\( (k+4)^2 = k^2+8k+16 \)
हम जानते हैं कि \( k^2+6k+11 \) हमेशा \( k^2+8k+16 \) से छोटा होता है जब \( k \) एक धन पूर्णांक होता है (क्योंकि \( 2k+5 \) धनात्मक होता है)।
यानी \( k^2+6k+11 < k^2+8k+16 \)
इन दोनों असमानताओं (2) और \( k^2+6k+11 < (k+4)^2 \) से, हम कह सकते हैं कि:
\( 2k+9 < (k+4)^2 \)
अतः \( \text{P(k+1)} \) सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार, दिया गया कथन सभी प्राकृत संख्याओं \( \text{N} \) के लिए सत्य है।
In simple words: हमने गणितीय आगमन का उपयोग करके यह साबित किया कि \( 2n+7 \) हमेशा \( (n+3)^2 \) से छोटा होता है. पहले \( \text{n}=1 \) के लिए इसे सही दिखाया, फिर यह मानकर कि यह \( \text{k} \) के लिए सही है, यह साबित किया कि यह \( \text{k}+1 \) के लिए भी सही है.

🎯 Exam Tip: असमानता वाले प्रश्नों में, आगमनात्मक चरण के लिए \( P(k+1) \) के दाएँ पक्ष को सीधा विस्तार करें, फिर यह दिखाने के लिए बीजगणितीय हेरफेर करें कि \( P(k) \) से व्युत्पन्न पद \( P(k+1) \) के दाएँ पक्ष से छोटा है। अक्सर, \( k^2+6k+11 < k^2+8k+16 \) जैसे मध्यवर्ती असमानताओं को सिद्ध करने की आवश्यकता होती है।