RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 1 समुच्चय Exercise 1.1

Question 1. निम्र स्थानों में \( \in \) या \( \notin \) को भर कर सही कथन बनाइए
(i) 3... {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) 2.5 ... N
(iii) 0 ... Q
Answer:
(i) 3 \( \in \) {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) 2.5 \( \notin \) N (यहां N प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, जिसमें केवल पूर्ण धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं।)
(iii) 0 \( \in \) Q (0 एक पूर्णांक है, और प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है।)
In simple words: इस सवाल में, आपको यह बताना है कि कोई संख्या किसी दिए गए समूह का हिस्सा है या नहीं। यदि संख्या समूह में है, तो \( \in \) का उपयोग करें; यदि नहीं है, तो \( \notin \) का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: Remember that \( \in \) means "is an element of" and \( \notin \) means "is not an element of". Be clear about the definition of number sets like N (natural numbers), Z (integers), and Q (rational numbers).

Question 2. निम्न स्थानों में \( \subset \) या \( \not\subset \) को भर कर सही कथन बनाइए
(i) {2, 3, 4} ... {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, e, o} ... {a, b, c}
(iii) {x : x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} ... {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
(iv) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है}... {x : x एक विषम पूर्णांक है}
Answer:
(i) {2, 3, 4} \( \subset \) {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {a, e, o} \( \not\subset \) {a, b, c}
(iii) {x : x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} \( \subset \) {x : x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
(iv) {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} \( \not\subset \) {x : x एक विषम पूर्णांक है}
प्रत्येक समुच्चय स्वयं का एक उपसमुच्चय होता है, और एक रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
In simple words: इस प्रश्न में, हमें यह बताना है कि एक समुच्चय दूसरे समुच्चय का 'उपसमुच्चय' है या नहीं। यदि पहले समुच्चय के सभी सदस्य दूसरे समुच्चय में हैं, तो यह एक उपसमुच्चय है (\( \subset \)); यदि नहीं, तो यह उपसमुच्चय नहीं है (\( \not\subset \))।

🎯 Exam Tip: To determine if a set A is a subset of set B, check if every single element of A is also present in B. If even one element of A is missing from B, then A is not a subset of B.

Question 3. निम्नलिखित कथनों की सत्यता की जाँच कीजिए
(i) {a, b} \( \subset \) {b, a, c}
(ii) {a, e} \( \subset \) {x : x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है।}
(iii) {1, 2, 3} \( \not\subset \) {1, 3, 2, 5}
(iv) {x : x संख्या 6 से कम एक सम प्राकृत संख्या है} \( \not\subset \) {x : x एक प्राकृत संख्या है जो 36 को विभाजित करती है}
Answer:
(i) सत्य (True) (समुच्चय {a, b} के सभी अवयव {b, a, c} में मौजूद हैं।)
(ii) सत्य (True) (अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर {a, e, i, o, u} होते हैं और {a, e} इसमें शामिल है।)
(iii) असत्य (False) (समुच्चय {1, 2, 3} वास्तव में {1, 3, 2, 5} का एक उपसमुच्चय है, क्योंकि इसके सभी अवयव उसमें हैं। इसलिए, यह कहना कि यह उपसमुच्चय नहीं है, गलत है।)
(iv) असत्य (False) (बाईं ओर का समुच्चय {2, 4} है और दाईं ओर का समुच्चय 36 के भाजक {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} हैं। चूंकि समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव दाईं ओर के समुच्चय में हैं, इसलिए यह उसका एक उपसमुच्चय है। प्रश्न में दिया गया कथन कि यह उपसमुच्चय नहीं है, इसलिए असत्य है। उपसमुच्चय की अवधारणा यह समझने में मदद करती है कि कैसे बड़े समूह के भीतर छोटे समूह फिट होते हैं।)
In simple words: इस सवाल में आपको यह बताना है कि दिया गया कथन सही है या गलत। हर कथन को ध्यान से जांचें कि क्या उपसमुच्चय का नियम ठीक से लागू किया गया है।

🎯 Exam Tip: Carefully analyze each statement. A statement is "true" if it correctly describes the relationship between the sets. If the given relationship (like \( \subset \) or \( \not\subset \)) is incorrect for the sets, then the statement itself is "false."

Question 4. निम्नलिखित समुच्चयों के घात समुच्चय लिखिये
(i) {a}
(ii) {a, b}
(iii) {1, 2, 3}
(iv) \( \emptyset \)
Answer:
(i) समुच्चय {a} के उपसमुच्चय \( \emptyset \) और {a} हैं। इसलिए, घात समुच्चय \( = \{ \emptyset , \{a\}\} \)
(ii) समुच्चय {a, b} के उपसमुच्चय \( \emptyset \), {a}, {b} और {a, b} हैं। इसलिए, घात समुच्चय \( = \{ \emptyset , \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
(iii) समुच्चय {1, 2, 3} के उपसमुच्चय \( \emptyset \), {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} और {1, 2, 3} हैं। इसलिए, घात समुच्चय \( = \{ \emptyset , \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\} \)
(iv) समुच्चय \( \emptyset \) का घात समुच्चय \( = \{ \emptyset \} \)
एक समुच्चय के घात समुच्चय में हमेशा \( 2^n \) अवयव होते हैं, जहां \( n \) मूल समुच्चय में अवयवों की संख्या है।
In simple words: किसी भी समुच्चय का घात समुच्चय उसके सभी संभव उपसमुच्चयों का एक संग्रह होता है। इसमें खाली समुच्चय (\( \emptyset \)) और स्वयं मूल समुच्चय भी शामिल होता है।

🎯 Exam Tip: When forming a power set, remember two key things: always include the empty set \( (\emptyset) \) and the original set itself. The number of elements in a power set is always \( 2^n \), where \( n \) is the number of elements in the original set.

Question 5. निम्नलिखित को अन्तराल के रूप में लिखिए
(i) {x: x \( \in \) R, - 3 < x < 6)
(ii) {x: x \( \in \) R, - 4 \( \le \) x \( \le \) 8}
(iii) {x : x \( \in \) R, 4 < x \( \le \) 9}
(iv) {x: x \( \in \) R, – 6 \( \le \) x \( \le \) - 1}
Answer:
(i) (-3, 6)
(ii) [-4, 8]
(iii) (4, 9]
(iv) [-6, -1]
अंतराल वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय को दर्शाने का एक संक्षिप्त तरीका है, जहाँ सीमाएँ संख्या रेखा पर बिंदुओं को परिभाषित करती हैं।
In simple words: अंतराल लिखने के लिए, यदि संख्या शामिल नहीं है, तो गोल ब्रैकेट '(' या ')' का उपयोग करें। यदि संख्या शामिल है, तो चौकोर ब्रैकेट '[' या ']' का उपयोग करें।

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the inequality signs. Strict inequalities ( < or > ) use open brackets ( or ). Non-strict inequalities ( ≤ or ≥ ) use closed brackets [ or ]. Mixed inequalities will have a mix of bracket types.

Question 6. निम्नलिखित अन्तरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए
(i) (-4, 0)
(ii) [6, 8]
(iii) (-3, 7)
(iv) (3, 10)
Answer:
(i) {x: x \( \in \) R, - 4 < x < 0}
(ii) {x: x \( \in \) R, 6 \( \le \) x \( \le \) 8}
(iii) {x: x \( \in \) R, -3 < x < 7}
(iv) {x: x \( \in \) R, 3 < x < 10}
समुच्चय निर्माण रूप संख्याओं के उन गुणों को बताता है जो उन्हें एक साथ समूहबद्ध करते हैं, जबकि अंतराल केवल उनकी सीमाओं को दर्शाता है।
In simple words: इस प्रश्न में, आपको अंतराल को फिर से समुच्चय निर्माण रूप में लिखना है। इसका मतलब है कि आपको यह बताना है कि 'x' एक वास्तविक संख्या है और यह किन दो संख्याओं के बीच आता है, साथ ही यह भी बताना है कि सीमा वाली संख्याएँ शामिल हैं या नहीं।

🎯 Exam Tip: When converting intervals to set-builder form, remember that round brackets like (a,b) translate to strict inequalities (a < x < b), while square brackets like [a,b] translate to inclusive inequalities (a ≤ x ≤ b).

Question 7. यदि A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} और C = {2, 4, 6, 8} हो, तो निम्नलिखित में से किस-किस समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय लिया जा सकता है-
(i) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(iv) \( \emptyset \)
Answer: समुच्चय (ii) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} और (iii) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} को सार्वत्रिक समुच्चय लिया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समुच्चय A, B और C के सभी अवयव इन दोनों समुच्चयों में शामिल हैं। एक सार्वत्रिक समुच्चय वह होता है जो सभी संबंधित समुच्चयों के हर तत्व को अपने अंदर रखता है।
In simple words: जब हम कई समुच्चयों पर काम करते हैं, तो एक बड़ा समुच्चय जिसमें उन सभी समुच्चयों के सभी तत्व होते हैं, उसे सार्वत्रिक समुच्चय कहते हैं। यहां, (ii) और (iii) दोनों ही A, B और C के सभी तत्वों को शामिल करते हैं।

🎯 Exam Tip: A universal set (U) must contain every single element from all the other sets being considered. If even one element is missing from a candidate universal set, it cannot be the universal set.