RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएँ Exercise 4.1

Exercise 4.1

Question 1. अनुपातों \( \frac {{a}_{1}}{{a}_{2}},\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}} \) और \( \frac {{c}_{1}}{{c}_{2}} \) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत।
(i) \( 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9 \)
(ii) \( 3x - y = 2; 6x - 2y = 4 \)
(iii) \( 2x - 2y = 2; 4x - 4y = 5 \)
(iv) \( \frac {4}{3}x + 2y = 8; 2x + 3y = 12 \)
Answer:
(i) दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
\( 2x - 3y = 8 \implies 2x - 3y - 8 = 0 \)
\( 4x - 6y = 9 \implies 4x - 6y - 9 = 0 \)
इन समीकरणों में, हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
\( a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = -8 \)
\( a_2 = 4, b_2 = -6, c_2 = -9 \)
अब, अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-9} = \frac{8}{9} \)
हम देखते हैं कि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)। जब ऐसा होता है, तो रेखाएँ समांतर होती हैं और उनका कोई हल नहीं होता।
अतः, दिए गए समीकरणों का युग्म असंगत है, जिसका मतलब है कि इन रेखाओं के लिए कोई साझा बिंदु नहीं है।
In simple words: समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर, पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन तीसरा अनुपात अलग है. इसका मतलब है कि रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर हैं और कभी नहीं मिलेंगी, इसलिए वे असंगत हैं।

🎯 Exam Tip: यह पहचानने के लिए कि समीकरण संगत हैं या असंगत, हमेशा तीनों अनुपातों \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2} \) की तुलना करें। यदि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) तो समीकरण असंगत होते हैं।

Question 1. (ii) \( 3x - y = 2; 6x - 2y = 4 \)
Answer:
दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
\( 3x - y = 2 \implies 3x - y - 2 = 0 \)
\( 6x - 2y = 4 \implies 6x - 2y - 4 = 0 \)
इन समीकरणों में, हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
\( a_1 = 3, b_1 = -1, c_1 = -2 \)
\( a_2 = 6, b_2 = -2, c_2 = -4 \)
अब, अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
हम देखते हैं कि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)। जब ऐसा होता है, तो रेखाएँ संपाती होती हैं (एक-दूसरे के ऊपर स्थित होती हैं) और उनके अनन्त हल होते हैं।
अतः, दिए गए समीकरणों का युग्म संगत है, जिसका अर्थ है कि इन रेखाओं के अनगिनत साझा बिंदु हैं।
In simple words: जब तीनों अनुपात बराबर होते हैं, तो रेखाएँ संपाती होती हैं, जिसका अर्थ है कि उनके अनगिनत हल होते हैं। ऐसे समीकरणों का युग्म संगत कहलाता है।

🎯 Exam Tip: यदि सभी तीन अनुपात (\( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2} \)) बराबर हों, तो यह संपाती रेखाओं को दर्शाता है, जिसके अनगिनत हल होते हैं और युग्म संगत होता है।

Question 1. (iii) \( 2x - 2y = 2; 4x - 4y = 5 \)
Answer:
दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
\( 2x - 2y = 2 \implies 2x - 2y - 2 = 0 \)
\( 4x - 4y = 5 \implies 4x - 4y - 5 = 0 \)
इन समीकरणों में, हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
\( a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2 \)
\( a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5 \)
अब, अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
हम देखते हैं कि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)। यह स्थिति समांतर रेखाओं को दर्शाती है, जिनका कोई हल नहीं होता।
अतः, दिए गए समीकरणों का युग्म असंगत है, जिसका मतलब है कि ये रेखाएँ कभी नहीं मिलेंगी।
In simple words: जब पहले दो अनुपात बराबर हों और तीसरा अनुपात अलग हो, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं। समानांतर रेखाओं का कोई हल नहीं होता, इसलिए वे असंगत होती हैं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हमेशा \( ax + by + c = 0 \) के मानक रूप में व्यवस्थित करें, ताकि \( c_1 \) और \( c_2 \) के संकेतों को सही ढंग से शामिल किया जा सके।

Question 1. (iv) \( \frac {4}{3}x + 2y = 8; 2x + 3y = 12 \)
Answer:
दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
\( \frac{4}{3}x + 2y = 8 \)
इस समीकरण को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 3 से गुणा करते हैं:
\( 4x + 6y = 24 \implies 4x + 6y - 24 = 0 \)
दूसरा समीकरण है:
\( 2x + 3y = 12 \implies 2x + 3y - 12 = 0 \)
इन समीकरणों में, हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
\( a_1 = 4, b_1 = 6, c_1 = -24 \)
\( a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -12 \)
अब, अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{3} = 2 \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-24}{-12} = 2 \)
हम देखते हैं कि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)। यह स्थिति संपाती रेखाओं को दर्शाती है, जिनके अनन्त हल होते हैं।
अतः, दिए गए समीकरणों का युग्म संगत है, जिसका अर्थ है कि ये रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर स्थित हैं और उनके अनगिनत हल हैं।
In simple words: जब तीनों अनुपात बराबर होते हैं, तो रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर होती हैं और उनके बहुत सारे हल होते हैं। ऐसे समीकरणों का युग्म संगत होता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों को हमेशा पहले पूर्णांकों में बदलें, जैसे कि यहां 3 से गुणा करके, ताकि अनुपातों की गणना करना आसान हो जाए और गलती की संभावना कम हो।

Question 4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y-अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए \( 4x – 5y = 20, 3x + 5y = 15 \)
Answer:
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
1. \( 4x - 5y = 20 \)
2. \( 3x + 5y = 15 \)

पहले समीकरण के लिए (\( 4x - 5y = 20 \)):
हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं: \( 5y = 4x - 20 \implies y = \frac{4x - 20}{5} \)
अब, हम \( x \) के विभिन्न मानों के लिए \( y \) के मान ज्ञात करते हैं:
यदि \( x = 0 \) हो, तो \( y = \frac{4(0) - 20}{5} = \frac{-20}{5} = -4 \)। अतः बिंदु \( (0, -4) \) है।
यदि \( x = 5 \) हो, तो \( y = \frac{4(5) - 20}{5} = \frac{20 - 20}{5} = 0 \)। अतः बिंदु \( (5, 0) \) है।
तालिका 1:

दूसरे समीकरण के लिए (\( 3x + 5y = 15 \)):
हम \( y \) को \( x \) के पदों में व्यक्त करते हैं: \( 5y = 15 - 3x \implies y = \frac{15 - 3x}{5} \)
अब, हम \( x \) के विभिन्न मानों के लिए \( y \) के मान ज्ञात करते हैं:
यदि \( x = 0 \) हो, तो \( y = \frac{15 - 3(0)}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)। अतः बिंदु \( (0, 3) \) है।
यदि \( x = 5 \) हो, तो \( y = \frac{15 - 3(5)}{5} = \frac{15 - 15}{5} = 0 \)। अतः बिंदु \( (5, 0) \) है।
तालिका 2:

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने पर, हमें दो रेखाएँ मिलती हैं। ये रेखाएँ बिंदु \( (5, 0) \) पर एक-दूसरे को काटती हैं, इसलिए समीकरण युग्म का हल \( x = 5 \) और \( y = 0 \) है। यह प्रतिच्छेदन बिंदु दोनों रेखाओं पर स्थित होता है।

रेखाएँ y-अक्ष को निम्नलिखित बिंदुओं पर काटती हैं:
पहली रेखा (\( 4x - 5y = 20 \)) y-अक्ष को बिंदु \( (0, -4) \) पर काटती है।
दूसरी रेखा (\( 3x + 5y = 15 \)) y-अक्ष को बिंदु \( (0, 3) \) पर काटती है।

इसलिए, y-अक्ष और दोनों रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक हैं:
\( (5, 0) \), \( (0, -4) \), और \( (0, 3) \)।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए बिंदुओं की तालिकाएँ बनाईं, फिर उन बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित करके रेखाएँ खींचीं। दोनों रेखाएँ बिंदु \( (5, 0) \) पर मिलती हैं, यही हमारा हल है। y-अक्ष और इन दोनों रेखाओं के बीच बने त्रिभुज के कोने \( (5, 0) \), \( (0, -4) \) और \( (0, 3) \) हैं।

🎯 Exam Tip: आलेखीय विधि से हल करते समय, कम से कम दो बिंदु प्रत्येक रेखा के लिए ज्ञात करें, और सुनिश्चित करें कि ग्राफ पेपर पर पैमाने (scale) को सही ढंग से अंकित किया गया हो ताकि सटीक परिणाम मिलें।

Question 4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए तथा y-अक्ष तथा युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए \( 4x - 5y = 20 \), \( 3x + 5y = 15 \)
Answer: दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म है:
1. \( 4x - 5y = 20 \)
2. \( 3x + 5y = 15 \)

समीकरण 1: \( 4x - 5y = 20 \)
हम \( y \) के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
\( 5y = 4x - 20 \)
\( y = \frac{4x - 20}{5} \)
इस समीकरण के लिए बिंदुओं की एक तालिका बनाते हैं:

समीकरण 2: \( 3x + 5y = 15 \)
हम \( y \) के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
\( 5y = 15 - 3x \)
\( y = \frac{15 - 3x}{5} \)
इस समीकरण के लिए बिंदुओं की एक तालिका बनाते हैं:

अब इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं:

ग्राफ से देखने पर, दोनों रेखाएं बिंदु \( B(5, 0) \) पर एक-दूसरे को काटती हैं। यह बिंदु दोनों समीकरणों का हल है।
y-अक्ष पर पहली रेखा बिंदु \( A(0, -4) \) पर और दूसरी रेखा बिंदु \( C(0, 3) \) पर काटती है। यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि y-अक्ष और x-अक्ष पर काटती हुई रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
इस प्रकार, y-अक्ष और दोनों रैखिक समीकरणों से निर्मित त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक हैं: \( B(5, 0) \), \( C(0, 3) \) और \( A(0, -4) \)।
In simple words: हमने दो सीधी रेखाओं को खींचा. वे \( (5, 0) \) बिंदु पर मिलीं. इन दो रेखाओं और सीधी y-अक्ष ने मिलकर एक त्रिभुज बनाया, जिसके कोने \( (5, 0) \), \( (0, 3) \) और \( (0, -4) \) हैं.

🎯 Exam Tip: ग्राफ बनाते समय पैमाना (स्केल) स्पष्ट रूप से लिखें और सभी बिंदुओं व रेखाओं को सटीक रूप से चिह्नित करें. त्रिभुज के शीर्षों को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है.