Maharashtra Board Class 10 Maths Chapter 2 Quadratic Equations Set 2.5 Solutions

Question 1. Fill in the gaps and complete.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) के मूलों की प्रकृति को \(b^2-4ac\) के मानों (5 और -5) के आधार पर दर्शाता है, जिसमें मूलों का योग (-7) और गुणनफल (5) होने पर बनने वाले द्विघात समीकरण के रिक्त स्थान दिखाए गए हैं। साथ ही, \(2x^2-4x-3=0\) समीकरण के मूलों के योग \(\alpha + \beta\) और गुणनफल \(\alpha \times \beta\) के लिए रिक्त स्थान भी दिए गए हैं।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) के मूलों की प्रकृति को \(b^2-4ac\) के मानों के आधार पर पूर्ण रूप से दिखाता है। जब \(b^2-4ac = 5\) तो मूल वास्तविक और असमान होते हैं, और जब \(b^2-4ac = -5\) तो मूल वास्तविक नहीं होते हैं। यदि मूलों का योग -7 और गुणनफल 5 है, तो द्विघात समीकरण \(x^2+7x+5=0\) होगा। समीकरण \(2x^2-4x-3=0\) के लिए, मूलों का योग \(\alpha + \beta = \frac{(-4)}{2} = 2\) और गुणनफल \(\alpha \times \beta = -\frac{3}{2}\) है। In simple words: यह प्रश्न द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति को उनके विवेचक \(b^2-4ac\) के मान से जोड़ता है। यह मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाने का तरीका भी सिखाता है।

🎯 Exam Tip: विवेचक \( (b^2-4ac) \) का मान मूलों की प्रकृति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण होता है; \( >0 \) पर वास्तविक और असमान, \( =0 \) पर वास्तविक और समान, और \( <0 \) पर अवास्तविक।

Question 2. Find the value of discriminant.
(i) \(x^2 + 7x - 1 = 0\)
(ii) \(2y^2 - 5y + 10 = 0\)
(iii) \(\sqrt{2}x^2 + 4x + 2\sqrt{2} = 0\)
Answer:
Solution:
(i) \(x^2 + 7x - 1 = 0\)
Comparing the above equation with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = 1, b = 7, c = -1\)
\( \therefore b^2 - 4ac = (7)^2 - 4 \times 1 \times (-1) \)
\( = 49 + 4 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = 53 \)

(ii) \(2y^2 - 5y + 10 = 0\)
Comparing the above equation with \(ay^2 + by + c = 0\), we get
\(a = 2, b = -5, c = 10\)
\( \therefore b^2 - 4ac = (-5)^2 -4 \times 2 \times 10 \)
\( = 25 - 80 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = -55 \)

(iii) \(\sqrt{2}x^2 + 4x + 2\sqrt{2} = 0\)
Comparing the above equation with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = \sqrt{2}, b = 4, c = 2\sqrt{2}\)
\( \therefore b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \)
\( = 16 - 16 \)
\( \therefore b^2 - 4ac = 0 \) In simple words: विवेचक (\( \Delta \)) का मान \(b^2-4ac\) सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है, जहाँ a, b, और c द्विघात समीकरण के गुणांक होते हैं।

🎯 Exam Tip: विवेचक की गणना करते समय ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग और गुणा पर विशेष ध्यान दें ताकि चिह्न की त्रुटियाँ न हों।

Question 3. Determine the nature of roots of the following quadratic equations.
(i) \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
(ii) \(2y^2 - 7y + 2 = 0\)
(iii) \(m^2 + 2m + 9 = 0\)
Answer:
Solution:
(i) \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
Comparing the above equation with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = 1, b = -4, c = 4\)
\( \therefore \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 \)
\( = 16 - 16 \)
\( \therefore \Delta = 0 \)
\( \therefore \) Roots of the given quadratic equation are real and equal.

(ii) \(2y^2 - 7y + 2 = 0\)
Comparing the above equation with \(ay^2 + by + c = 0\), we get
\(a = 2, b = -7, c = 2\)
\( \therefore \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 2 \)
\( = 49 - 16 \)
\( \therefore \Delta = 33 \)
\( \therefore \Delta > 0 \)
\( \therefore \) Roots of the given quadratic equation are real and unequal.

(iii) \(m^2 + 2m + 9 = 0\)
Comparing the above equation with \(am^2 + bm + c = 0\), we get
\(a = 1, b = 2, c = 9\)
\( \therefore \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (2)^2 - 4 \times 1 \times 9 \)
\( = 4 - 36 \)
\( \therefore \Delta = -32 \)
\( \therefore \Delta < 0 \)
\( \therefore \) Roots of the given quadratic equation are not real. In simple words: मूलों की प्रकृति विवेचक (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) के मान पर निर्भर करती है: यदि \( \Delta = 0 \), मूल वास्तविक और समान हैं; यदि \( \Delta > 0 \), मूल वास्तविक और असमान हैं; यदि \( \Delta < 0 \), मूल वास्तविक नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: विवेचक के चिह्न (\( >0 \), \( =0 \), \( <0 \)) को देखकर मूलों की प्रकृति को तुरंत पहचानना सीखें; यह समय बचाने वाला कौशल है।

Question 4. Form the quadratic equation from the roots given below.
(i) 0 and 4
(ii) 3 and -10
(iii) \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{1}{2}\)
(iv) \(2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}\)
Answer:
Solution:
(i) Let \( \alpha = 0 \) and \( \beta = 4 \)
\( \therefore \alpha + \beta = 0 + 4 = 4 \)
and \( \alpha \times \beta = 0 \times 4 = 0 \)
\( \therefore \) The required quadratic equation is
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\( \therefore x^2 - 4x + 0 = 0 \)
\( \therefore x^2 - 4x = 0 \)

(ii) Let \( \alpha = 3 \) and \( \beta = -10 \)
\( \therefore \alpha + \beta = 3 - 10 = -7 \)
and \( \alpha \times \beta = 3 \times -10 = -30 \)
\( \therefore \) The required quadratic equation is
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\( \therefore x^2 - (-7)x + (-30) = 0 \)

(iii) Let \( \alpha = \frac{1}{2} \) and \( \beta = -\frac{1}{2} \)
\( \therefore \alpha + \beta = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \)
and \( \alpha \times \beta = \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \)
\( \therefore \) The required quadratic equation is
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\( x^2 - 0x + (-\frac{1}{4}) = 0 \)
\( x^2 - \frac{1}{4} = 0 \)
\( 4x^2 - 1 = 0 \)

(iv) Let \( \alpha = 2 - \sqrt{5} \) and \( \beta = 2 + \sqrt{5} \)
\( \therefore \alpha + \beta = 2 - \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} = 4 \)
and \( \alpha \times \beta = (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) \)
\( = (2)^2 - (\sqrt{5})^2 \)
\[ \therefore (a + b) (a - b) = a^2-b^2 \] \( = 4 - 5 = -1 \)
\( \therefore \) The required quadratic equation is
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\( \therefore x^2 - 4x - 1 = 0 \) In simple words: किसी भी द्विघात समीकरण को बनाने के लिए, पहले उसके मूलों का योग (\( \alpha + \beta \)) और गुणनफल (\( \alpha \times \beta \)) ज्ञात करें, फिर समीकरण \(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\) में इन मानों को प्रतिस्थापित करें।

🎯 Exam Tip: मूलों से समीकरण बनाते समय, यदि मूल अपरिमेय या भिन्न हों तो योग और गुणनफल की गणना ध्यानपूर्वक करें ताकि अंतिम समीकरण सही हो।

Question 5. Sum of the roots of a quadratic equation is double their product. Find k if equation is \(x^2 - 4kx + k + 3 = 0\).
Answer:
Solution:
\(x^2 - 4kx + k + 3 = 0\)
Comparing the above equation with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = 1, b = -4k, c = k + 3\)
Let \( \alpha \) and \( \beta \) be the roots of the given quadratic equation.
Then, \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \) and \( \alpha\beta = \frac{c}{a} \)
According to the given condition,
\( \alpha + \beta = 2\alpha\beta \)
\( \therefore -\frac{b}{a} = 2\frac{c}{a} \)
\( \implies -b = 2c \)
\( \therefore -(-4k) = 2(k+3) \)
\( 4k = 2k + 6 \)
\( 4k - 2k = 6 \)
\( \therefore 2k = 6 \)
\( \therefore k = \frac{6}{2} \)
\( \therefore k = 3 \) In simple words: इस प्रश्न में दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों के योग और गुणनफल के बीच संबंध का उपयोग करके अज्ञात स्थिरांक \(k\) का मान ज्ञात किया गया है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र लिखें, फिर दी गई शर्त को लागू करके समीकरण हल करें।

Question 6. \( \alpha, \beta \) are roots of \(y^2 - 2y - 7 = 0\) find,
(i) \( \alpha^2 + \beta^2 \)
(ii) \( \alpha^3 + \beta^3 \)
Answer:
Solution:
\(y^2 - 2y - 7 = 0\)
Comparing the above equation with \(ay^2 + by + c = 0\), we get
\(a = 1, b = -2, c = -7\)
\( \therefore \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{1} = 2 \)
\( \alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{7}{1} = -7 \)

(i) \( (\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 \)
\( \therefore \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \)
\( = (2)^2 - 2(-7) = 4 + 14 \)
\( \therefore \alpha^2 + \beta^2 = 18 \)

(ii) \( (\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta (\alpha + \beta) \)
\( \therefore \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta (\alpha + \beta) \)
\( = (2)^3 - 3(-7) (2) = 8 + 42 \)
\( \therefore \alpha^3 + \beta^3 = 50 \) In simple words: इस प्रश्न में, मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करके \(\alpha^2 + \beta^2\) और \(\alpha^3 + \beta^3\) जैसे व्यंजकों के मान ज्ञात किए गए हैं।

🎯 Exam Tip: \( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \) और \( \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \) जैसे बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को याद रखें।

Question 7. The roots of each of the following quadratic equations are real and equal, find k.
(i) \(3y^2 + ky + 12 = 0\)
(ii) \(kx (x-2) + 6 = 0\)
Answer:
Solution:
(i) \(3y^2 + ky + 12 = 0\)
Comparing the above equation with \(ay^2 + by + c = 0\), we get
\(a = 3, b = k, c = 12\)
\( \therefore \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (k)^2 - 4 \times 3 \times 12 \)
\( = k^2 - 144 = k^2 - (12)^2 \)
\( \therefore \Delta = (k + 12) (k - 12) \)
\[ \therefore a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) \] Since, the roots are real and equal.
\( \therefore \Delta = 0 \)
\( \therefore (k + 12) (k - 12) = 0 \)
\( \therefore k + 12 = 0 \) or \( k - 12 = 0 \)
\( \therefore k = -12 \) or \( k = 12 \)

(ii) \(kx (x - 2) + 6 = 0\)
\( \therefore kx^2 - 2kx + 6 = 0 \)
Comparing the above equation with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = k, b = -2k, c = 6\)
\( \therefore \Delta = b^2 - 4ac \)
\( = (-2k)^2 - 4 \times k \times 6 \)
\( = 4k^2 - 24k \)
\( \therefore \Delta = 4k (k - 6) \)
Since, the roots are real and equal.
\( \therefore \Delta = 0 \)
\( \therefore 4k (k - 6) = 0 \)
\( \therefore k(k - 6) = 0 \)
\( \therefore k = 0 \) or \( k - 6 = 0 \)
But, if \(k = 0\) then quadratic coefficient becomes zero.
\( \therefore k \neq 0 \)
\( \therefore k = 6 \) In simple words: जब किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान होते हैं, तो उसका विवेचक (\( \Delta \)) शून्य के बराबर होता है; इस स्थिति का उपयोग करके अज्ञात स्थिरांक \(k\) का मान ज्ञात किया जाता है।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि \(k\) का मान 0 आता है और यह समीकरण के मुख्य गुणांक को शून्य कर देता है, तो वह मान अमान्य होता है क्योंकि समीकरण फिर द्विघात नहीं रहेगा।

Question 1. Fill in the blanks. (Textbook pg. no. 44)
Answer:
Solution:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक तालिका है जो विवेचक के मान और मूलों की प्रकृति के बीच संबंध को दर्शाती है। मानों को 50, -30, और 0 के लिए दिया गया है, और उनके संगत मूलों की प्रकृति 'वास्तविक और असमान', 'वास्तविक नहीं', और 'वास्तविक और समान' के रूप में पूर्ण की गई है।

In simple words: यह तालिका दिखाती है कि यदि विवेचक का मान धनात्मक है तो मूल वास्तविक और असमान होते हैं, ऋणात्मक है तो मूल वास्तविक नहीं होते हैं, और शून्य है तो मूल वास्तविक और समान होते हैं।

🎯 Exam Tip: विवेचक के मान और मूलों की प्रकृति के बीच के संबंध को याद रखना बोर्ड परीक्षाओं में सीधे पूछे जाने वाले प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 2. Determine nature of roots of the quadratic equation: \(x^2 + 2x - 9 = 0\) (Textbook pg. no. 45)
Answer:
Solution:
Comparing \(x^2 + 2x - 9 = 0\) with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = 1, b = 2, c = -9\)
\( \therefore b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-9) \)
\( \implies \Delta = 4 - (-36) \)
\( \implies \Delta = 4 + 36 \)
\( \implies \Delta = 40 \)
\( \therefore b^2 - 4ac > 0 \)
\( \therefore \) The roots of the given equation are real and unequal. In simple words: समीकरण के विवेचक (\( \Delta \)) की गणना करके (\( \Delta = 40 \)) और यह देखते हुए कि यह धनात्मक है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल वास्तविक और असमान हैं।

🎯 Exam Tip: विवेचक का मान ज्ञात करने के बाद, उसके चिह्न पर ध्यान दें - यह तुरंत मूलों की प्रकृति बता देता है।

Question 3. Fill in the empty boxes properly. (Textbook pg. no. 46)
Answer:
Solution:
\(10x^2 + 10x + 1 = 0\)
Comparing the above equation with \(ax^2 + bx + c = 0\), we get
\(a = 10, b = 10, c = 1\)

In simple words: दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग (\( \alpha + \beta \)) \(-b/a\) होता है, जो कि -1 है, और मूलों का गुणनफल (\( \alpha \times \beta \)) \(c/a\) होता है, जो कि \(1/10\) है।

🎯 Exam Tip: मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र (\( -b/a \) और \( c/a \)) को समीकरण के गुणांकों के साथ सही ढंग से लागू करना सुनिश्चित करें।

Question 4. Write the quadratic equation if addition of the roots is 10 and product of the roots is 9. (Textbook pg. no. 48)
Answer:
Quadratic equation: \(x^2 - 10x + 9 = 0\) In simple words: मूलों के योग (10) और गुणनफल (9) को सीधे मानक द्विघात समीकरण रूप \(x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0\) में प्रतिस्थापित करके समीकरण \(x^2 - 10x + 9 = 0\) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना एक सीधा सूत्र है: \(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)। इसका उपयोग मूलों से समीकरण बनाने के लिए करें।

Question 5. What will be the quadratic equation if \( \alpha = 2, \beta = 5 \). (Textbook pg. no, 48)
Answer:
Solution:
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta) = 0\)
\( \implies x^2 - (2 + 5)x + (2 \times 5) = 0 \)
\( \implies 1x^2 - 7x + 10 = 0 \) In simple words: दिए गए मूलों 2 और 5 का उपयोग करके, उनका योग 7 और गुणनफल 10 मिलता है, जिससे द्विघात समीकरण \(x^2 - 7x + 10 = 0\) बनता है।

🎯 Exam Tip: मूलों का योग और गुणनफल सही ढंग से ज्ञात करें, फिर मानक सूत्र में प्रतिस्थापित करें।