GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 9 બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ InText Questions

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 138)

Question 1. એક ચલ ધરાવતી વિવિધ પદાવલિઓનાં પાંચ ઉદાહરણ આપો?
Answer: એક ચલ ધરાવતી વિવિધ પદાવલિઓનાં પાંચ ઉદાહરણો નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે:
(i) \( x - 5 \)
(ii) \( 4 - y \)
(iii) \( 3a + 1 \)
(iv) \( 5b - 2 \)
(v) \( 6m + 7 \)
In simple words: અહીં પાંચ ઉદાહરણો આપ્યા છે જેમાં દરેકમાં ફક્ત એક જ ચલ છે, જેમ કે x, y, a, b, અથવા m.

Exam Tip: જ્યારે તમને એક ચલવાળી પદાવલિ બનાવવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે ખાતરી કરો કે તેમાં ફક્ત એક જ પ્રકારનો મૂળાક્ષર (જેમ કે x, y, a) હોય.

Question 2. બે ચલ ધરાવતી વિવિધ પદાવલિઓનાં પાંચ ઉદાહરણ આપો?
Answer: બે ચલ ધરાવતી વિવિધ પદાવલિઓનાં પાંચ ઉદાહરણો નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે:
(i) \( 2x + 3y \)
(ii) \( 3y - 4z \)
(iii) \( 6m + 5n \)
(iv) \( 2x - 6y + 1 \)
(v) \( 4m - 7n - 2 \)
In simple words: આ ઉદાહરણોમાં, દરેક પદાવલિમાં બે અલગ-અલગ મૂળાક્ષરો (જેમ કે x અને y, y અને z, m અને n) નો ઉપયોગ થયો છે.

Exam Tip: બે ચલવાળી પદાવલિ માટે, તેમાં બે અલગ-અલગ અક્ષરો (ચલ) શામેલ હોવા જોઈએ, ભલે તે એક જ પદમાં હોય કે અલગ-અલગ પદોમાં.

Question 3. સંખ્યારેખા ઉપર \( x, x - 4, 2x + 1, 3x - 2 \) દર્શાવો.
Answer:
(I) \( x \)
અહીં X એ ચલ \( x \) દર્શાવે છે.
(II) \( x - 4 \)

(III) \( 2x + 1 \)

(IV) \( 3x - 2 \)

In simple words: સંખ્યા રેખા પર, દરેક પદાવલિને યોગ્ય સ્થાને ચલના મૂલ્ય અનુસાર દર્શાવવામાં આવે છે.

Exam Tip: સંખ્યા રેખા પર પદાવલિ દર્શાવતી વખતે, 0 નો સંદર્ભ બિંદુ તરીકે ઉપયોગ કરો અને દરેક પદાવલિના ચલના મૂલ્યને આધારે તેને યોગ્ય સ્થાને ચિહ્નિત કરો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 138)

Question 1. પદાવલિ \( x^2y^2 - 10x^2y + 5xy^2 - 20 \) ના દરેક પદના સહગુણક ઓળખો.
Answer:
પદ \( x^2y^2 \) માં \( x^2y^2 \) નો સહગુણક \( 1 \) છે.
પદ \( -10x^2y \) માં \( x^2y \) નો સહગુણક \( -10 \) છે.
પદ \( 5xy^2 \) માં \( xy^2 \) નો સહગુણક \( 5 \) છે.
\( -20 \) એ અચળ પદ છે.
In simple words: દરેક પદમાં, ચલ સાથે ગુણાકારમાં જે સંખ્યા હોય તેને સહગુણક કહેવાય છે. જે પદમાં કોઈ ચલ ન હોય, તે અચળ પદ કહેવાય છે.

Exam Tip: સહગુણક ઓળખતી વખતે, ચલની સાથે આવેલી સંખ્યાત્મક કિંમતને ધ્યાન પર લો, જેમાં તેનું ચિહ્ન પણ સામેલ છે. અચળ પદ એ છે જેની સાથે કોઈ ચલ જોડાયેલો નથી.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 138)

Question 1. નીચેની બહુપદીઓ પૈકી કઈ બહુપદી એકપદી, દ્વિપદી કે ત્રિપદી છે તે ઓળખો: \( -z + 5, x + y + z, y + z + 100, ab - ac, 17 \)
Answer:
એકપદી : \( 17 \)
દ્વિપદી : \( -z + 5, ab - ac \)
ત્રિપદી : \( x + y + z, y + z + 100 \)
In simple words: એકપદીમાં ફક્ત એક પદ હોય છે, દ્વિપદીમાં બે પદ હોય છે, અને ત્રિપદીમાં ત્રણ પદ હોય છે.

Exam Tip: પદાવલિમાં કેટલા પદો છે તે ગણીને તમે તેને એકપદી, દ્વિપદી કે ત્રિપદી તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકો છો. પદો વત્તા (+) અથવા ઓછા (-) ના ચિહ્નો દ્વારા અલગ પડે છે.

Question 2. ઉદાહરણ આપોઃ
(a) માત્ર એક જ ચલ ‘\( x \)’ હોય તેવી 3 દ્વિપદી.
(b) ચલ ‘\( x \)’ અને ‘\( y \)’ હોય તેવી 3 દ્વિપદી.
(c) ચલ ‘\( x \)’ અને ‘\( y \)’ હોય તેવી 3 એકપદી.
(d) 4 કે તેથી વધુ પદો ધરાવતી 2 બહુપદી.
Answer:
(a) માત્ર એક જ ચલ ‘\( x \)’ હોય તેવી 3 દ્વિપદી:
(i) \( 3x - 5 \)
(ii) \( 4x + 1 \)
(iii) \( 9x - 7 \)
(b) ચલ ‘\( x \)’ અને ‘\( y \)’ હોય તેવી 3 દ્વિપદી:
(i) \( 2x + 5y \)
(ii) \( 3x - 4y \)
(iii) \( 4x - 7y \)
(c) ચલ ‘\( x \)’ અને ‘\( y \)’ હોય તેવી 3 એકપદી:
(i) \( 3xy \)
(ii) \( -5xy \)
(iii) \( 7xy \)
(d) 4 કે તેથી વધુ પદો ધરાવતી 2 બહુપદી:
(i) \( 2x^3 + x^2 - 5x - 7 \)
(ii) \( 4x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \)
In simple words: આ જવાબોમાં, આપણે પ્રશ્નમાં પૂછાયેલી શરતો અનુસાર જુદા જુદા ઉદાહરણો આપ્યા છે, જેમ કે એક ચલવાળી દ્વિપદી, બે ચલવાળી દ્વિપદી, બે ચલવાળી એકપદી, અને ચારથી વધુ પદવાળી બહુપદી.

Exam Tip: ઉદાહરણો આપતી વખતે, પ્રશ્નમાં ઉલ્લેખિત ચલોની સંખ્યા અને પદોના પ્રકાર જેવી વિશિષ્ટ શરતોનું પાલન કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. ખાતરી કરો કે તમે યોગ્ય પ્રકારની પદાવલિઓ પ્રદાન કરો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 139)

Question 1. નીચેનાં પદો પરથી બે સજાતીય પદો લખો :
(i) \( 7xy \)
(ii) \( 4mn^2 \)
(iii) \( 21 \)
Answer:
(i) \( 7xy \) ને સજાતીય હોય તેવાં બે પદો \( -5xy, 9xy \) છે.
(ii) \( 4mn^2 \) ને સજાતીય હોય તેવાં બે પદો \( 8mn^2, -11mn^2 \) છે.
(iii) \( 21 \) ને સમાન હોય તેવાં બે પદો \( -51 \) અને \( 91 \) છે.
In simple words: સજાતીય પદો એવા પદો છે જેમાં ચલ અને તેની ઘાત સમાન હોય છે, માત્ર તેમના સહગુણકો અલગ હોઈ શકે છે. અચળ પદો માટે, તે માત્ર સંખ્યાઓ હોય છે.

Exam Tip: સજાતીય પદો શોધવા માટે, ખાતરી કરો કે ચલ ભાગ (જેમ કે \( xy \) અથવા \( mn^2 \)) સમાન રહે છે. ફક્ત સંખ્યાત્મક સહગુણક જ અલગ હોવો જોઈએ.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 142)

Question 1. શોભાએ \( x \) નોટબુક અને \( y \) લૉન્ગબુક ખરીદી. જો નોટબુક અને લૉન્ગબુકની કિંમત \( Rs. z \) હોય, તો શોભાએ કુલ કેટલી રકમ ચૂકવવી પડે?
Answer: શોભાએ ચૂકવવી પડતી કુલ રકમ શોધવા માટે, આપણે નોટબુકની કિંમત અને લૉન્ગબુકની કિંમતનો સરવાળો કરવો પડશે. એક નોટબુકની કિંમત \( Rs. z \) છે, તેથી \( x \) નોટબુકની કિંમત \( x \times z \) થશે. એક લૉન્ગબુકની કિંમત પણ \( Rs. z \) છે, તેથી \( y \) લૉન્ગબુકની કિંમત \( y \times z \) થશે. કુલ રકમ \( = (x \times z) + (y \times z) = z(x + y) \) થશે.
In simple words: કુલ પૈસા શોધવા, નોટબુકની સંખ્યાને તેની કિંમત સાથે અને લૉન્ગબુકની સંખ્યાને તેની કિંમત સાથે ગુણીને બંનેનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: જ્યારે વિવિધ વસ્તુઓની કુલ કિંમત શોધતા હો ત્યારે, દરેક વસ્તુની સંખ્યાને તેની એકમ કિંમતથી ગુણીને કુલ કિંમતોનો સરવાળો કરો. સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 2. લંબચોરસની લંબાઈ \( (l + 5) \) મીટર અને પહોળાઈ \( (b - 2) \) મીટર છે, તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
Answer: લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. અહીં, લંબાઈ \( (l + 5) \) મીટર અને પહોળાઈ \( (b - 2) \) મીટર છે. તેથી, લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \)
\( = (l + 5) \times (b - 2) \)
\( = l(b - 2) + 5(b - 2) \)
\( = lb - 2l + 5b - 10 \) ચોરસ મીટર.
In simple words: લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે, લંબાઈને પહોળાઈથી ગુણો અને પછી પદાવલિઓને વિતરણના નિયમ મુજબ વિસ્તૃત કરો.

Exam Tip: લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે હંમેશા લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણાકાર કરો. જો પદાવલિઓ હોય, તો કૌંસને યોગ્ય રીતે ખોલવા માટે વિતરણનો નિયમ લાગુ કરો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 143)

Question 1. \( 4x \times 5y \times 7z \) શોધો.
Answer:
\( 4x \times 5y \times 7z \)
\( = (4 \times 5 \times 7) \times (x \times y \times z) \)
\( = 140 xyz \)
In simple words: બધા સંખ્યાત્મક સહગુણકોને એકસાથે ગુણો અને બધા ચલોને પણ એકસાથે ગુણો.

Exam Tip: પદોનો ગુણાકાર કરતી વખતે, પ્રથમ સંખ્યાત્મક સહગુણકોનો ગુણાકાર કરો અને પછી ચલોનો ગુણાકાર કરો. પરિણામને સરળ સ્વરૂપમાં લખો.

Question 2. \( (4x \times 5y) \) શોધી તેને \( 7z \) થી ગુણો. અથવા \( (5y \times 7z) \) શોધી તેને \( 4x \) વડે ગુણો. શું ઉપરોક્ત બંને પરિણામ સરખાં છે? તેના પરથી તમે શું તારણ આપશો?
Answer:
પ્રથમ કિસ્સો: \( (4x \times 5y) \) શોધી તેને \( 7z \) થી ગુણો.
\( (4x \times 5y) = (4 \times 5) \times (x \times y) = 20xy \)
હવે, \( 20xy \times 7z = (20 \times 7) \times (x \times y \times z) = 140xyz \) ... (i)
બીજો કિસ્સો: \( (5y \times 7z) \) શોધી તેને \( 4x \) વડે ગુણો.
\( (5y \times 7z) = (5 \times 7) \times (y \times z) = 35yz \)
હવે, \( 35yz \times 4x = (35 \times 4) \times (y \times z \times x) = 140xyz \) ... (ii)
હા, ઉપરના બંને પરિણામ સમાન છે.
આ પરથી આપણે એવું તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે આપેલાં પદોનો કોઈપણ ક્રમમાં ગુણાકાર કરીએ તો ગુણનફળ તે જ રહે છે.
In simple words: ગુણાકાર ગમે તે ક્રમમાં કરવામાં આવે, જવાબ સમાન જ આવે છે. આ ગુણાકારનો ક્રમનો નિયમ બતાવે છે.

Exam Tip: ગુણાકારના ક્રમનો ગુણધર્મ (ક્રમનો નિયમ) દર્શાવે છે કે ગુણાકાર કરનાર સંખ્યાઓનો ક્રમ બદલવાથી ગુણનફળ બદલાતું નથી. આ બાબત ચકાસવા માટે જુદા જુદા જૂથીકરણનો ઉપયોગ કરો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 144)

Question 1. ગુણાકાર શોધો :
(i) \( 2x (3x + 5xy) \)
(ii) \( a^2(2ab - 5c) \)
Answer:
(i) \( 2x (3x + 5xy) \)
\( = (2x \times 3x) + (2x \times 5xy) \)
\( = 6x^2 + 10x^2y \)
(ii) \( a^2(2ab - 5c) \)
\( = (a^2 \times 2ab) - (a^2 \times 5c) \)
\( = 2a^3b - 5a^2c \)
In simple words: કૌંસની બહારના પદને કૌંસની અંદરના દરેક પદ સાથે ગુણો અને પછી સમાન પદોને ભેગા કરો.

Exam Tip: જ્યારે એકપદીનો બહુપદી સાથે ગુણાકાર કરો, ત્યારે વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરો. એકપદીને બહુપદીના દરેક પદ સાથે ગુણો અને પછી પરિણામોનો સરવાળો કરો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 145)

Question 1. ગુણાકાર શોધો \( (4p^2 + 5p + 7) \times 3p \)
Answer:
\( (4p^2 + 5p + 7) \times 3p \)
\( = (4p^2 \times 3p) + (5p \times 3p) + (7 \times 3p) \)
\( = 12p^3 + 15p^2 + 21p \)
In simple words: 3p ને કૌંસની અંદરના દરેક પદ સાથે ગુણો.

Exam Tip: બહુપદીનો એકપદી સાથે ગુણાકાર કરતી વખતે, દરેક પદને અલગથી ગુણો અને ઘાતાંકના નિયમોનું ધ્યાન રાખો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 149)

Question 1. નિત્યસમ (I) માં \( b \) ને બદલે \( (-b) \) મૂકો. શું તમને નિત્યસમ (II) મળશે?
Answer: હા, નિત્યસમ (I) \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) છે.
અહીં \( b \) ને બદલે \( -b \) મૂકીએ.
\( \implies (a - b)^2 = (a - b)(a - b) \)
\( = a(a - b) - b(a - b) \)
\( = a^2 - ab - ab + b^2 \)
\( = a^2 - 2ab + b^2 \)
બીજી રીત:
\( [a + (-b)]^2 \)
\( = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 \)
\( \implies (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
નિત્યસમ (II) એ \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) છે.
\( \implies \) નિત્યસમ (I) માં \( b \) ને બદલે \( (-b) \) મૂકવાથી નિત્યસમ (II) મળે છે.
In simple words: જો તમે પહેલા નિત્યસમમાં \( b \) ની જગ્યાએ \( -b \) મુકો, તો તમને બીજો નિત્યસમ મળશે, જે સાબિત કરે છે કે આ બંને નિત્યસમ સંબંધિત છે.

Exam Tip: નિત્યસમમાં ચલના મૂલ્યો બદલતી વખતે, ઘાતાંકના નિયમો અને ચિહ્નોનું કાળજીપૂર્વક પાલન કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. \( (-b)^2 \) હંમેશા \( b^2 \) હોય છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 149)

Question 1. \( a = 2, b = 3, x = 5 \) માટે નિત્યસમ (IV) ચકાસો.
Answer: નિત્યસમ (IV) છે: \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \)
અહીં \( a = 2, b = 3 \) અને \( x = 5 \) મૂકતાં,
ડાબી બાજુ (LHS):
\( (x + a)(x + b) \)
\( = (5 + 2)(5 + 3) \)
\( = (7)(8) \)
\( = 56 \)
જમણી બાજુ (RHS):
\( = x^2 + (a + b)x + ab \)
\( = (5)^2 + (2 + 3) \times 5 + (2 \times 3) \)
\( = 25 + (5) \times 5 + (6) \)
\( = 25 + 25 + 6 \)
\( = 56 \)
ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
\( \implies \) ઉપરનું નિત્યસમ સાચું છે.
In simple words: આપેલ કિંમતોને નિત્યસમના બંને બાજુએ મુકવાથી, બંને બાજુના જવાબો સમાન આવે છે, જે સાબિત કરે છે કે નિત્યસમ સાચું છે.

Exam Tip: નિત્યસમ ચકાસવા માટે, ચલના મૂલ્યોને ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુ બંનેમાં મૂકો. જો બંને બાજુના પરિણામો સમાન આવે, તો નિત્યસમ સાચું છે.

Question 2. નિત્યસમ (IV) માં ખાસ કિસ્સા માટે \( a = b \) લો. તમને શું મળે છે? શું તેને નિત્યસમ (I) સાથે કંઈ સંબંધ છે?
Answer: જ્યારે \( a = b \) (દા.ત. દરેક માટે \( y \) લઈએ):
નિત્યસમ (IV) \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \) પરથી,
\( a = y \) અને \( b = y \) મૂકતાં,
\( (x + y)(x + y) = x^2 + (y + y)x + (y \times y) \)
\( = x^2 + (2y)x + y^2 \)
\( = x^2 + 2xy + y^2 \)
હા, આ નિત્યસમ (I) \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) મુજબ છે.
In simple words: જો તમે નિત્યસમ 4 માં \( a \) અને \( b \) ને સમાન માનો, તો તમને નિત્યસમ 1 મળશે, જે દર્શાવે છે કે નિત્યસમ 1 એ નિત્યસમ 4 નો એક ખાસ ભાગ છે.

Exam Tip: નિત્યસમના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓનો અભ્યાસ કરવાથી તેમના વચ્ચેના સંબંધો સમજવામાં મદદ મળે છે. \( a = b \) જેવા સરળ ફેરફારો મોટાભાગે જાણીતા નિત્યસમો તરફ દોરી જાય છે.

Question 3. નિત્યસમ (IV) માં ખાસ કિસ્સા માટે \( a = -c \) અને \( b = -c \) લો. તમને શું મળે છે? શું તેને નિત્યસમ (II) સાથે કોઈ સંબંધ છે?
Answer: નિત્યસમ (IV) છે: \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \)
અહીં \( a \) ને બદલે \( (-c) \) અને \( b \) ને બદલે \( (-c) \) લેતાં,
\( (x - c)(x - c) = x^2 + [(-c) + (-c)]x + [(-c) \times (-c)] \)
\( = x^2 + [-2c]x + (c^2) \)
\( = x^2 - 2cx + c^2 \)
હા, આ નિત્યસમ (II) \( (x - c)^2 = x^2 - 2cx + c^2 \) મુજબ છે.
In simple words: જો તમે નિત્યસમ 4 માં \( a \) અને \( b \) બંનેને \( -c \) તરીકે બદલો, તો તમને નિત્યસમ 2 મળશે, જે આ નિત્યસમો વચ્ચેનો ગાણિતિક સંબંધ બતાવે છે.

Exam Tip: નકારાત્મક ચિહ્નો સાથે ચલ બદલતી વખતે, ખાસ કરીને વર્ગ કરતા પહેલા, ચિહ્નોના નિયમોને કાળજીપૂર્વક લાગુ કરો. \( (-c)^2 \) હંમેશા \( c^2 \) હોય છે.

Question 4. નિત્યસમ (IV) માં ખાસ કિસ્સા માટે \( b = -a \) લો. તમને શું મળે છે? શું તેને નિત્યસમ (III) સાથે કોઈ સંબંધ છે?
Answer: નિત્યસમ (IV) છે: \( (x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab \)
અહીં \( b \) ને બદલે \( (-a) \) લેતાં,
\( (x + a)(x - a) = x^2 + [a + (-a)]x + [a \times (-a)] \)
\( = x^2 + (a - a)x + [-a^2] \)
\( = x^2 + 0 - a^2 \)
\( = x^2 - a^2 \)
હા, આ નિત્યસમ (III) \( (x + a)(x - a) = x^2 - a^2 \) મુજબ છે.
In simple words: જો તમે નિત્યસમ 4 માં \( b \) ની જગ્યાએ \( -a \) મુકો, તો તમને નિત્યસમ 3 મળશે, જે દર્શાવે છે કે આ નિત્યસમો એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે.

Exam Tip: વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે ચલ બદલવાથી, જેમ કે \( b = -a \), ઘણા કિસ્સાઓમાં જાણીતા નિત્યસમો તરફ દોરી જાય છે. આવા સંબંધોને ઓળખવાથી યાદ રાખવા અને સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં મદદ મળે છે.