GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Exercise 7.1

Question 1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન નથી?
(i) 216
(ii) 128
(iii) 1000
(iv) 100
(v) 46,656
Answer:
(i) 216 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:

\( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \)
અહીં, 216 ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બની જાય છે. કોઈ પણ અવયવ બાકી રહેતો નથી. તેથી, 216 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( 216 = 2^3 \times 3^3 \).

(ii) 128 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
અહીં, 128 ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનતી નથી. એક 2 બાકી રહે છે. તેથી, 128 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(iii) 1000 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
અહીં, 1000 ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બની જાય છે. કોઈ પણ અવયવ બાકી રહેતો નથી. તેથી, 1000 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1000 = 2^3 \times 5^3 \).

(iv) 100 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
અહીં, 100 ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનતી નથી. એક પણ અવયવ ત્રણના સમૂહમાં નથી. તેથી, 100 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(v) 46,656 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 46656 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
અહીં, 46656 ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બની જાય છે. કોઈ પણ અવયવ બાકી રહેતો નથી. તેથી, 46656 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( 46656 = 2^3 \times 2^3 \times 3^3 \times 3^3 \).
In simple words: પૂર્ણઘન સંખ્યા એ એવી સંખ્યા છે જે કોઈ પૂર્ણાંકનો ઘન હોય. અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીને, જો દરેક અવયવ ત્રણના સમૂહમાં હોય, તો તે સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય છે. જો કોઈ અવયવ બાકી રહે, તો તે પૂર્ણઘન નથી.

Exam Tip: પૂર્ણઘન સંખ્યાઓ શોધવા માટે, આપેલ સંખ્યાના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો અને પછી તેમને ત્રણના સમૂહમાં ગોઠવો. જો બધા અવયવો ત્રણના સંપૂર્ણ સમૂહ બનાવે, તો તે પૂર્ણઘન છે.

 

Question 2. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેથી તેને નીચે આપેલ સંખ્યા સાથે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન હોયઃ
(i) 243
(ii) 256
(iii) 72
(iv) 675
(v) 100
Answer:
(i) 243 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:

\( 243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
અહીં, 243 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા \( 3 \times 3 \) બાકી રહે છે. તેથી, 243 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 243 ને 3 વડે ગુણીએ, તો \( 243 \times 3 = (3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) \times 3 \). તેથી, \( 729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^3 \times 3^3 \). હવે, 729 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 243 ને નાનામાં નાની 3 સંખ્યા વડે ગુણવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(ii) 256 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 256 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
અહીં, 256 ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા \( 2 \times 2 \) બાકી રહે છે. તેથી, 256 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 256 ને 2 વડે ગુણીએ, તો \( 256 \times 2 = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 2 \). તેથી, \( 512 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \). હવે, 512 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 256 ને નાનામાં નાની 2 સંખ્યા વડે ગુણવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(iii) 72 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
અહીં, 72 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા \( 3 \times 3 \) બાકી રહે છે. તેથી, 72 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 72 ને 3 વડે ગુણીએ, તો \( 72 \times 3 = (2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3) \times 3 \). તેથી, \( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \). હવે, 216 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 72 ને નાનામાં નાની 3 સંખ્યા વડે ગુણવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(iv) 675 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 675 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
અહીં, 675 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા \( 5 \times 5 \) બાકી રહે છે. તેથી, 675 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 675 ને 5 વડે ગુણીએ, તો \( 675 \times 5 = (3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5) \times 5 \). તેથી, \( 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 3^3 \times 5^3 \). હવે, 3375 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 675 ને નાનામાં નાની 5 સંખ્યા વડે ગુણવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(v) 100 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
અહીં, 100 ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનતી નથી. એક પણ અવયવ ત્રણના સમૂહમાં નથી. તેથી, 100 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 100 ને \( 2 \times 5 \) એટલે કે 10 વડે ગુણીએ, તો \( 100 \times 10 = (2 \times 2 \times 5 \times 5) \times (2 \times 5) \). તેથી, \( 1000 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 2^3 \times 5^3 \). હવે, 1000 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 100 ને નાનામાં નાની 10 સંખ્યા વડે ગુણવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.
In simple words: પૂર્ણઘન સંખ્યા બનાવવા માટે, આપણે અવિભાજ્ય અવયવોને ત્રણના સમૂહમાં પૂર્ણ કરવા પડે છે. જે અવયવોની જોડી અધૂરી હોય, તે અવયવોને ખૂટતી સંખ્યા વડે ગુણીને પૂર્ણઘન બનાવી શકાય છે.

Exam Tip: ગુણાકાર દ્વારા પૂર્ણઘન બનાવતી વખતે, દરેક અવિભાજ્ય અવયવની ઘાત 3 નો ગુણાકાર હોવી જોઈએ. જે અવયવોની ઘાત ઓછી હોય, તેને ગુણીને 3 નો ગુણાકાર બનાવો.

 

Question 3. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેના વડે નીચે આપેલ સંખ્યાને ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણધન હોય:
(i) 81
(ii) 128
(iii) 135
(iv) 192
(v) 704
Answer:
(i) 81 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:

\( 81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \)
અહીં, 81 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા 3 બાકી રહે છે. તેથી, 81 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 81 ને 3 વડે ભાગીએ, તો \( 81 \div 3 = (3 \times 3 \times 3 \times 3) \div 3 \). તેથી, \( 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 \). હવે, 27 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 81 ને નાનામાં નાની 3 સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(ii) 128 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \)
અહીં, 128 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા એક 2 બાકી રહે છે. તેથી, 128 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 128 ને 2 વડે ભાગીએ, તો \( 128 \div 2 = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2) \div 2 \). તેથી, \( 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \). હવે, 64 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 128 ને નાનામાં નાની 2 સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(iii) 135 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
અહીં, 135 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા 5 બાકી રહે છે. તેથી, 135 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 135 ને 5 વડે ભાગીએ, તો \( 135 \div 5 = (3 \times 3 \times 3 \times 5) \div 5 \). તેથી, \( 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 \). હવે, 27 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 135 ને નાનામાં નાની 5 સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(iv) 192 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 192 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \)
અહીં, 192 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા 3 બાકી રહે છે. તેથી, 192 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 192 ને 3 વડે ભાગીએ, તો \( 192 \div 3 = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3) \div 3 \). તેથી, \( 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \). હવે, 64 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 192 ને નાનામાં નાની 3 સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.

(v) 704 ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
\( 704 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11 \)
અહીં, 704 ના અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતા 11 બાકી રહે છે. તેથી, 704 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી. જો આપણે 704 ને 11 વડે ભાગીએ, તો \( 704 \div 11 = (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 11) \div 11 \). તેથી, \( 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \times 2^3 \). હવે, 64 એક પૂર્ણઘન સંખ્યા બની જાય છે. આમ, 704 ને નાનામાં નાની 11 સંખ્યા વડે ભાગવાથી તે પૂર્ણઘન બને છે.
In simple words: પૂર્ણઘન સંખ્યા બનાવવા માટે, અવિભાજ્ય અવયવોને ત્રણના સમૂહમાં વિભાજીત કરો. જે અવયવો ત્રણના સમૂહમાં ન હોય, તેને ભાગીને દૂર કરો જેથી બાકીની સંખ્યા પૂર્ણઘન બને.

Exam Tip: ભાગાકાર દ્વારા પૂર્ણઘન બનાવતી વખતે, જે અવિભાજ્ય અવયવોની ઘાત 3 ના ગુણાકારમાં નથી, તે અવયવોને દૂર કરવા માટે તે અવયવો વડે ભાગવું.

 

Question 4. પરિક્ષિતે 5 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી માપ લઈ એક પ્લાસ્ટિકનો લંબઘન બનાવ્યો છે, તો આવા કેટલા લંબઘન સાથે રાખવાથી મળતો ધન એ પૂર્ણઘન હોય?
Answer: અહીં, લંબઘનની બાજુઓની લંબાઈ 5 સેમી, પહોળાઈ 2 સેમી અને ઊંચાઈ 5 સેમી છે.
લંબઘનનું ઘનફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ \( \times \) ઊંચાઈ \( = 5 \text{ સેમી} \times 2 \text{ સેમી} \times 5 \text{ સેમી} \).
આ લંબઘનોને ગોઠવીને એક મોટો સમઘન બનાવવો છે.
સમઘન બનાવવા માટે, બાજુઓનાં માપની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનવી જોઈએ.
અહીં, \( 5 \times 2 \times 5 = 5^2 \times 2^1 \).
પૂર્ણઘન બનાવવા માટે, દરેક અવિભાજ્ય અવયવની ઘાત 3 નો ગુણાકાર હોવી જોઈએ.
આપણી પાસે \( 2^1 \) અને \( 5^2 \) છે.
\( 2^1 \) ને \( 2^3 \) બનાવવા માટે, આપણને \( 2^2 \) (એટલે ​​કે \( 2 \times 2 \)) ની જરૂર છે.
\( 5^2 \) ને \( 5^3 \) બનાવવા માટે, આપણને \( 5^1 \) (એટલે ​​કે \( 5 \)) ની જરૂર છે.
તેથી, ગુણાકાર કરવાનો ગુણાકારક \( = 2 \times 2 \times 5 = 20 \).
આમ, પરિક્ષિતને બીજા 20 લંબઘનની જરૂર પડશે જેથી તે એક પૂર્ણઘન બનાવી શકે.
In simple words: એક લંબઘનને પૂર્ણ સમઘન બનાવવા માટે, તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈના માપના અવિભાજ્ય અવયવોને ત્રણ-ત્રણના જૂથમાં ગોઠવવા પડે છે. જે અવયવો ખૂટતા હોય, તેટલા લંબઘન વધુ જરૂર પડશે.

Exam Tip: સમઘન બનાવવા માટે જરૂરી લંબઘનોની સંખ્યા શોધવા માટે, આપેલ લંબઘનની બાજુઓના અવયવોની ઘાતને 3 ના ગુણાકારમાં લાવવા માટે કેટલા અવયવો ખૂટે છે તે ગણો.