GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 2 એકચલ સુરેખ સમીકરણ Exercise 2.2

Question 1. એક સંખ્યામાંથી \( \frac { 1 }{ 2 } \) બાદ કરીને મળતાં પરિણામને \( \frac { 1 }{ 2 } \) વડે ગુણતાં જો \( \frac { 1 }{ 8 } \) મળે, તો તે સંખ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે, તે સંખ્યા \(x\) છે.
આ સંખ્યામાંથી \( \frac { 1 }{ 2 } \) બાદ કરતા, આપણને \( x - \frac { 1 }{ 2 } \) મળે છે.
આ પરિણામને \( \frac { 1 }{ 2 } \) વડે ગુણતા, તે \( \frac { 1 }{ 2 } (x - \frac { 1 }{ 2 }) \) બને છે.
આ પરિણામ \( \frac { 1 }{ 8 } \) છે.
\( \implies \frac { 1 }{ 2 } (x - \frac { 1 }{ 2 }) = \frac { 1 }{ 8 } \)
બંને બાજુને 2 વડે ગુણતા:
\( \implies \frac { 1 }{ 2 } (x - \frac { 1 }{ 2 }) \times 2 = \frac { 1 }{ 8 } \times 2 \)
\( \implies x - \frac { 1 }{ 2 } = \frac { 1 }{ 4 } \)
\( \implies x = \frac { 1 }{ 4 } + \frac { 1 }{ 2 } \) (\( \frac { 1 }{ 2 } \) ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies x = \frac { 1+2 }{ 4 } \)
\( \implies x = \frac { 3 }{ 4 } \)
આમ, તે સંખ્યા \( \frac { 3 }{ 4 } \) છે.
In simple words: First, guess the number is 'x'. Subtract half from 'x', then multiply that result by half. If you get one-eighth, then 'x' must be three-fourths.

Exam Tip: For problems involving unknown numbers and operations, always set up an algebraic equation carefully. Ensure all fractions are added/subtracted with a common denominator.

Question 2. સ્વિમિંગ પુલની પરિમિતિ 154 મીટર છે. જો તેની લંબાઈ તેની પહોળાઈના બમણાથી બે વધારે હોય, તો સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.
Answer: ધારો કે, લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પહોળાઈ \(x\) મીટર છે.
લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ તેની પહોળાઈના બમણા કરતાં 2 મીટર વધારે છે.
\( \implies \) લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ \( 2x + 2 \) મીટર છે.
હવે, લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પરિમિતિ 154 મીટર છે.
\( \implies 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ) = પરિમિતિ
\( \implies 2 [(2x + 2) + x] = 154 \)
\( \implies 2 [2x + 2 + x] = 154 \)
\( \implies 2 (3x + 2) = 154 \)
બંને બાજુને 2 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 2(3x+2) }{ 2 } = \frac { 154 }{ 2 } \)
\( \implies 3x + 2 = 77 \)
\( \implies 3x = 77 - 2 \) (2 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 3x = 75 \)
બંને બાજુને 3 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 3x }{ 3 } = \frac { 75 }{ 3 } \)
\( \implies x = 25 \)
આમ, લંબચોરસ સ્વિમિંગ પુલની પહોળાઈ 25 મીટર છે.
\( \implies \) લંબાઈ \( = 2x + 2 = 2(25) + 2 = 50 + 2 = 52 \) મીટર.
આમ, સ્વિમિંગ પુલની લંબાઈ 52 મીટર અને પહોળાઈ 25 મીટર છે.
In simple words: Imagine the pool's width as 'x'. The length is two more than twice the width. If the total edge distance (perimeter) is 154 meters, then the width is 25 meters and the length is 52 meters.

Exam Tip: Clearly define your variables (e.g., width as \(x\)). Formulate the length in terms of \(x\) based on the given conditions before setting up the perimeter equation.

Question 3. એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાનું માપ \( \frac { 4 }{ 3 } \) સેમી છે. જો ત્રિકોણની પરિમિતિ \( 4\frac { 2 }{ 15 } \) સેમી હોય, તો ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
Answer: સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના પાયાની લંબાઈ \( \frac { 4 }{ 3 } \) સેમી છે.
ધારો કે, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સરખી બાજુની લંબાઈ \(x\) સેમી છે.
હવે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ \( 4\frac { 2 }{ 15 } \) સેમી \( = \frac { 62 }{ 15 } \) સેમી છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની પરિમિતિ = ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓનાં માપનો સરવાળો.
\( \implies \frac { 4 }{ 3 } + x + x = 4\frac { 2 }{ 15 } \) સેમી
\( \implies \frac { 4 }{ 3 } + 2x = \frac { 62 }{ 15 } \)
\( \implies 2x = \frac { 62 }{ 15 } - \frac { 4 }{ 3 } \) (\( \frac { 4 }{ 3 } \) ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 2x = \frac { 62 - (4 \times 5) }{ 15 } \) (15 અને 3 નો લ.સા.અ. 15 છે.)
\( \implies 2x = \frac { 62 - 20 }{ 15 } \)
\( \implies 2x = \frac { 42 }{ 15 } \)
બંને બાજુને \( \frac { 1 }{ 2 } \) વડે ગુણતા:
\( \implies \frac { 2x }{ 2 } = \frac { 42 }{ 15 } \times \frac { 1 }{ 2 } \)
\( \implies x = \frac { 21 }{ 15 } \)
\( \implies x = \frac { 7 \times 3 }{ 5 \times 3 } \)
\( \implies x = \frac { 7 }{ 5 } \)
\( \implies x = 1\frac { 2 }{ 5 } \)
આમ, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની લંબાઈ \( 1\frac { 2 }{ 5 } \) સેમી છે.
In simple words: For an isosceles triangle, the base is 4/3 cm, and the total border (perimeter) is 4 and 2/15 cm. If you let the two equal sides be 'x', you can figure out that each of those sides is 1 and 2/5 cm long.

Exam Tip: Remember that an isosceles triangle has two equal sides. Convert mixed fractions to improper fractions for easier calculations, especially during subtraction and division.

Question 4. બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 95 છે. એક સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતાં 15 વધારે હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.
Answer: ધારો કે, બે સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યા \(x\) છે.
મોટી સંખ્યા એ નાની સંખ્યા કરતાં 15 વધારે છે.
\( \implies \) મોટી સંખ્યા \( x + 15 \) છે.
હવે, બે સંખ્યાઓનો સરવાળો 95 છે.
\( \implies x + (x + 15) = 95 \)
\( \implies x + x + 15 = 95 \)
\( \implies 2x + 15 = 95 \)
\( \implies 2x = 95 - 15 \) (15 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 2x = 80 \)
બંને બાજુને 2 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 2x }{ 2 } = \frac { 80 }{ 2 } \)
\( \implies x = 40 \)
નાની સંખ્યા 40 છે.
\( \implies \) મોટી સંખ્યા \( = x + 15 = 40 + 15 = 55 \)
આમ, તે બે સંખ્યાઓ 40 અને 55 છે.
In simple words: We have two numbers. One number is 15 bigger than the other, and together they add up to 95. The smaller number is 40 and the bigger number is 55.

Exam Tip: When dealing with relationships between two numbers (like 'one is more than the other'), assign the simpler variable (e.g., \(x\)) to the smaller or base quantity, then express the other in terms of \(x\).

Question 5. બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર 5 : 3 છે. અને તેમનો તફાવત 18 હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.
Answer: બે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર 5 : 3 છે.
ધારો કે, તે બે સંખ્યાઓ \(5x\) અને \(3x\) છે.
બે સંખ્યાઓનો તફાવત 18 છે.
\( \implies 5x - 3x = 18 \)
\( \implies 2x = 18 \)
બંને બાજુને 2 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 2x }{ 2 } = \frac { 18 }{ 2 } \)
\( \implies x = 9 \)
મોટી સંખ્યા \( = 5x = 5 \times 9 = 45 \)
નાની સંખ્યા \( = 3x = 3 \times 9 = 27 \)
આમ, તે બે સંખ્યાઓ 45 અને 27 છે.
In simple words: Two numbers are in the ratio 5:3, and when you subtract one from the other, you get 18. This means the numbers are 45 and 27.

Exam Tip: If numbers are given in a ratio, represent them as multiples of a variable (e.g., \(5x\), \(3x\)). This approach makes it easier to set up equations for their sum or difference.

Question 6. જો ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો 51 હોય, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.
Answer: ધારો કે, ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ \(x\), \(x + 1\) અને \(x + 2\) છે.
આ ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો 51 છે.
\( \implies x + (x + 1) + (x + 2) = 51 \)
\( \implies x + x + 1 + x + 2 = 51 \)
\( \implies 3x + 3 = 51 \)
\( \implies 3x = 51 - 3 \) (3 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 3x = 48 \)
બંને બાજુને 3 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 3x }{ 3 } = \frac { 48 }{ 3 } \)
\( \implies x = 16 \).
\( \implies \) પહેલી સંખ્યા \( x = 16 \)
\( \implies \) બીજી સંખ્યા \( x + 1 = 16 + 1 = 17 \)
\( \implies \) ત્રીજી સંખ્યા \( x + 2 = 16 + 2 = 18 \)
આમ, તે ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ 16, 17 અને 18 છે.
In simple words: We have three numbers that come one after another, and when you add them up, you get 51. The numbers are 16, 17, and 18.

Exam Tip: Consecutive integers always differ by 1. Representing them as \(x, x+1, x+2\) is crucial for correctly setting up the equation.

Question 7. 8ના ત્રણ ક્રમિક ગુણિતનો સરવાળો 888 છે, તો તે ગુણિત શોધો.
Answer: ધારો કે, 8ના ત્રણ ક્રમિક ગુણિત સંખ્યાઓ \(x\), \(x + 8\), અને \(x + 16\) છે.
આ ત્રણેય સંખ્યાઓનો સરવાળો 888 છે.
\( \implies (x) + (x + 8) + (x + 16) = 888 \)
\( \implies x + x + 8 + x + 16 = 888 \)
\( \implies 3x + 24 = 888 \)
\( \implies 3x = 888 - 24 \) (24 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 3x = 864 \)
બંને બાજુને 3 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 3x }{ 3 } = \frac { 864 }{ 3 } \)
\( \implies x = 288 \).
\( \implies \) પહેલી સંખ્યા \( x = 288 \)
\( \implies \) બીજી સંખ્યા \( x + 8 = 288 + 8 = 296 \)
\( \implies \) ત્રીજી સંખ્યા \( x + 16 = 288 + 16 = 304 \)
આમ, આ ત્રણ ક્રમિક ગુણિત સંખ્યાઓ 288, 296 અને 304 છે.
In simple words: We need to find three numbers that are multiples of 8 and follow each other, and when you add them up, you get 888. The numbers are 288, 296, and 304.

Exam Tip: Consecutive multiples of a number \(N\) are represented as \(x, x+N, x+2N\), and so on. Be careful with calculations and ensure all steps are shown clearly.

Question 8. ચઢતા ક્રમમાં રહેલી ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને અનુક્રમે 2, 3 તથા 4 વડે ગુણાકાર કરી અને સરવાળો કરતાં જો સરવાળો 74 આવે, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.
Answer: ધારો કે, ચઢતા ક્રમમાં રહેલી ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ \(x\), \(x + 1\) અને \(x + 2\) છે.
રકમમાં આપ્યા પ્રમાણે પહેલી સંખ્યાને 2 વડે, બીજી સંખ્યાને 3 વડે અને ત્રીજી સંખ્યાને 4 વડે ગુણીને ગુણાકારોનો સરવાળો કરતાં 74 આવે છે.
\( \implies 2 (x) + 3 (x + 1) + 4 (x + 2) = 74 \)
\( \implies 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74 \)
\( \implies 9x + 11 = 74 \).
\( \implies 9x = 74 - 11 \) (11 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 9x = 63 \)
બંને બાજુને 9 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 9x }{ 9 } = \frac { 63 }{ 9 } \)
\( \implies x = 7 \).
\( \implies \) પહેલી સંખ્યા \( x = 7 \)
\( \implies \) બીજી સંખ્યા \( x + 1 = 7 + 1 = 8 \)
\( \implies \) ત્રીજી સંખ્યા \( x + 2 = 7 + 2 = 9 \)
આમ, ચઢતા ક્રમમાં રહેલી ત્રણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ 7, 8 અને 9 છે.
In simple words: We have three numbers in a row. If you multiply the first by 2, the second by 3, and the third by 4, and then add those results, you get 74. The numbers are 7, 8, and 9.

Exam Tip: When different multipliers are applied to consecutive numbers, expand and simplify the equation carefully. Double-check your algebraic manipulations to prevent errors.

Question 9. રાહુલ અને હારુનની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર 5 : 7 છે. 4 વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો 56 વર્ષ થાય, તો તેમની હાલની ઉંમર શોધો.
Answer: રાહુલ અને હારુનની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર 5 : 7 છે.
ધારો કે, રાહુલની હાલની ઉંમર \(5x\) વર્ષ અને હારુનની હાલની ઉંમર \(7x\) વર્ષ છે.
4 વર્ષ પછી રાહુલની ઉંમર \(5x + 4\) વર્ષ થશે.
4 વર્ષ પછી હારુનની ઉંમર \(7x + 4\) વર્ષ થશે.
4 વર્ષ પછી બંનેની ઉંમરનો સરવાળો 56 વર્ષ થશે.
\( \implies (5x + 4) + (7x + 4) = 56 \)
\( \implies 5x + 4 + 7x + 4 = 56 \)
\( \implies 12x + 8 = 56 \)
\( \implies 12x = 56 - 8 \) (8 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 12x = 48 \)
બંને બાજુને 12 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 12x }{ 12 } = \frac { 48 }{ 12 } \)
\( \implies x = 4 \).
\( \implies \) રાહુલની હાલની ઉંમર \( = 5x = 5 \times 4 = 20 \) વર્ષ,
\( \implies \) હારુનની હાલની ઉંમર \( = 7x = 7 \times 4 = 28 \) વર્ષ.
આમ, રાહુલની હાલની ઉંમર 20 વર્ષ અને હારુનની હાલની ઉંમર 28 વર્ષ છે.
In simple words: Rahul and Haroon's ages are in the ratio 5:7. In four years, their ages will add up to 56 years. This means Rahul is now 20 years old and Haroon is 28 years old.

Exam Tip: When dealing with age problems involving ratios and future conditions, express current ages using a common variable (e.g., \(5x\), \(7x\)) and then adjust them for future years before forming the equation.

Question 10. વર્ગખંડમાં છોકરા અને છોકરીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર 7 : 5 છે. જો છોકરાઓની સંખ્યા છોકરીઓની સંખ્યા કરતાં 8 વધારે હોય, તો વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા શોધો.
Answer: વર્ગખંડમાં છોકરાઓ અને છોકરીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર 7: 5 છે.
ધારો કે, છોકરાઓની સંખ્યા \(7x\) અને છોકરીઓની સંખ્યા \(5x\) છે.
હવે, છોકરાઓની સંખ્યા એ છોકરીઓની સંખ્યા કરતાં 8 વધારે છે.
\( \implies 7x = 5x + 8 \)
\( \implies 7x - 5x = 8 \) (5x ને ડાબી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 2x = 8 \)
બંને બાજુને 2 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 2x }{ 2 } = \frac { 8 }{ 2 } \)
\( \implies x = 4 \).
\( \implies \) છોકરાઓની સંખ્યા \( = 7x = 7 \times 4 = 28 \)
\( \implies \) છોકરીઓની સંખ્યા \( = 5x = 5 \times 4 = 20 \)
\( \implies \) વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા \( = 28 + 20 = 48 \)
આમ, વર્ગખંડમાં છોકરાઓની સંખ્યા 28, છોકરીઓની સંખ્યા 20 અને વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા 48 છે.
In simple words: In a classroom, for every 7 boys, there are 5 girls. If there are 8 more boys than girls, then there are 28 boys and 20 girls, making a total of 48 students in the class.

Exam Tip: When given a ratio and a difference between two quantities, represent them using a variable (e.g., \(7x\), \(5x\)) and then set up an equation based on the given difference.

Question 11. ભારતના પિતાજી ભરતના દાદા કરતાં 26 વર્ષ નાના અને ભારત કરતાં 29 વર્ષ મોટા છે. જો ત્રણેયની ઉંમરનો સરવાળો 135 વર્ષ હોય, તો ત્રણેયની ઉંમર શોધો.
Answer: ધારો કે, ભારતની ઉંમર \(x\) વર્ષ છે.
ભરતના પિતાજી ભારત કરતાં 29 વર્ષ મોટા છે.
\( \implies \) ભરતના પિતાની ઉંમર \( = (x + 29) \) વર્ષ.
ભરતના પિતાજી ભરતના દાદા કરતાં 26 વર્ષ નાના છે. આનો અર્થ એ થાય કે ભરતના દાદા ભરતના પિતા કરતાં 26 વર્ષ મોટા છે.
\( \implies \) ભરતના દાદાની ઉંમર \( = (x + 29) + 26 \) વર્ષ \( = (x + 55) \) વર્ષ.
હવે, આ ત્રણેયની ઉંમરનો સરવાળો 135 વર્ષ છે.
\( \implies (x) + (x + 29) + (x + 55) = 135 \)
\( \implies x + x + 29 + x + 55 = 135 \)
\( \implies 3x + 84 = 135 \)
\( \implies 3x = 135 - 84 \) (84 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 3x = 51 \)
બંને બાજુને 3 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 3x }{ 3 } = \frac { 51 }{ 3 } \)
\( \implies x = 17 \).
\( \implies \) ભરતની ઉંમર \( = x = 17 \) વર્ષ,
\( \implies \) ભરતના પિતાની ઉંમર \( = x + 29 = 17 + 29 = 46 \) વર્ષ,
\( \implies \) ભરતના દાદાની ઉંમર \( = x + 55 = 17 + 55 = 72 \) વર્ષ.
આમ, ભરતની ઉંમર 17 વર્ષ, તેના પિતાની ઉંમર 46 વર્ષ અને તેના દાદાની ઉંમર 72 વર્ષ છે.
In simple words: Bharat's father is 26 years younger than his grandfather and 29 years older than Bharat. If their ages add up to 135 years, then Bharat is 17, his father is 46, and his grandfather is 72.

Exam Tip: For complex age relations, choose one person's age as the base variable (e.g., \(x\)), then express the ages of others in terms of \(x\) based on the given differences or sums. Be careful with "younger than" and "older than" phrasing.

Question 12. 15 વર્ષ પછી રવિની ઉંમર તેની હાલની ઉંમર કરતાં ચાર ગણી થાય, તો રવિની હાલની ઉંમર શોધો.
Answer: ધારો કે, રવિની હાલની ઉંમર \(x\) વર્ષ છે.
15 વર્ષ પછી રવિની ઉંમર \( (x + 15) \) વર્ષ થશે.
આ ઉંમર તેની હાલની ઉંમરના ચાર ગણી છે.
\( \implies x + 15 = 4x \)
\( \implies 4x = x + 15 \) (બંને બાજુ બદલતા)
\( \implies 4x - x = 15 \) (\(x\) ને ડાબી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 3x = 15 \)
બંને બાજુને 3 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 3x }{ 3 } = \frac { 15 }{ 3 } \)
\( \implies x = 5 \).
આમ, રવિની હાલની ઉંમર 5 વર્ષ છે.
In simple words: If Ravi's age in 15 years will be four times what it is now, then Ravi's current age is 5 years.

Exam Tip: Future age problems often require setting up an equation where one expression (future age) is a multiple of another (current age). Always verify your answer by plugging the value back into the original problem statement.

Question 13. એક સંમેય સંખ્યાને \( \frac { 5 }{ 2 } \) વડે ગુણી અને પરિણામમાં \( \frac { 2 }{ 3 } \) ઉમેરતાં આપણને \( \frac { -7 }{ 12 } \) મળે, તો તે સંખ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે, આ સંમેય સંખ્યા \(x\) છે.
આ સંમેય સંખ્યાને \( \frac { 5 }{ 2 } \) વડે ગુણતા, આપણને \( \frac { 5 }{ 2 } \times x \) મળે એટલે કે \( \frac { 5x }{ 2 } \) થાય.
આ પરિણામમાં \( \frac { 2 }{ 3 } \) ઉમેરતા, આપણને \( \frac { 5x }{ 2 } + \frac { 2 }{ 3 } \) મળે.
પરંતુ આ પરિણામ \( \frac { -7 }{ 12 } \) છે.
\( \implies \frac { 5x }{ 2 } + \frac { 2 }{ 3 } = \frac { -7 }{ 12 } \)
\( \implies \frac { 5x }{ 2 } = \frac { -7 }{ 12 } - \frac { 2 }{ 3 } \) (\( \frac { 2 }{ 3 } \) ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies \frac { 5x }{ 2 } = \frac { -7 - (2 \times 4) }{ 12 } \) (12 અને 3 નો લ.સા.અ. 12 છે.)
\( \implies \frac { 5x }{ 2 } = \frac { -7 - 8 }{ 12 } \)
\( \implies \frac { 5x }{ 2 } = \frac { -15 }{ 12 } \)
બંને બાજુને \( \frac { 2 }{ 5 } \) વડે ગુણતા:
\( \implies \frac { 5x }{ 2 } \times \frac { 2 }{ 5 } = \frac { -15 }{ 12 } \times \frac { 2 }{ 5 } \)
\( \implies x = \frac { -1 }{ 2 } \)
આમ, તે સંમેય સંખ્યા \( -\frac { 1 }{ 2 } \) છે.
In simple words: If you take a rational number, multiply it by 5/2, then add 2/3 to that, and the answer is -7/12, then the number you started with is -1/2.

Exam Tip: When solving equations with fractions, always find a common denominator for addition/subtraction. Multiplying by the reciprocal is an efficient way to isolate the variable when it's part of a fraction.

Question 14. લક્ષ્મી એક બૅન્કમાં ખજાનચી છે. તેની પાસે અનુક્રમે Rs. 100, Rs. 50 અને Rs. 10ના મૂલ્યની ચલણી નોટો છે. આ નોટોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર અનુક્રમે 2 : 3 : 5 છે. જો કુલ રકમ Rs. 4,00,000 હોય, તો લક્ષ્મી પાસે દરેક મૂલ્યની કેટલી ચલણી નોટો હશે?
Answer: લક્ષ્મી પાસે Rs. 100, Rs. 50 અને Rs. 10ની ચલણી નોટની સંખ્યાનું પ્રમાણ 2 : 3 : 5 છે.
ધારો કે, લક્ષ્મી પાસે Rs. 100, Rs. 50 અને Rs. 10ની નોટ અનુક્રમે \(2x\), \(3x\) અને \(5x\) છે.
\( \implies \) લક્ષ્મી પાસેની Rs. 100ની નોટની કિંમત \( = 2x \times 100 = \text{Rs. } 200x \)
\( \implies \) લક્ષ્મી પાસેની Rs. 50ની નોટની કિંમત \( = 3x \times 50 = \text{Rs. } 150x \)
\( \implies \) લક્ષ્મી પાસેની Rs. 10ની નોટની કિંમત \( = 5x \times 10 = \text{Rs. } 50x \)
હવે, લક્ષ્મી પાસે કુલ રકમ Rs. 4,00,000 છે.
\( \implies \) Rs. 100ની નોટની કિંમત + Rs. 50ની નોટની કિંમત + Rs. 10ની નોટની કિંમત \( = \text{Rs. } 4,00,000 \)
\( \implies 200x + 150x + 50x = 4,00,000 \)
\( \implies 400x = 4,00,000 \)
બંને બાજુને 400 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 400x }{ 400 } = \frac { 4,00,000 }{ 400 } \)
\( \implies x = 1000 \).
\( \implies \) લક્ષ્મી પાસે Rs. 100ની નોટની સંખ્યા \( = 2x = 2 \times 1000 = 2000 \)
\( \implies \) Rs. 50ની નોટની સંખ્યા \( = 3x = 3 \times 1000 = 3000 \)
\( \implies \) Rs. 10ની નોટની સંખ્યા \( = 5x = 5 \times 1000 = 5000 \)
આમ, લક્ષ્મી પાસે Rs. 100ની 2000 નોટ, Rs. 50ની 3000 નોટ અને Rs. 10ની 5000 નોટ છે.
In simple words: Lakshmi has notes of Rs. 100, Rs. 50, and Rs. 10. Their count is in the ratio 2:3:5. If the total money is Rs. 4,00,000, she has 2000 Rs. 100 notes, 3000 Rs. 50 notes, and 5000 Rs. 10 notes.

Exam Tip: For problems involving currency notes and ratios, first express the number of notes of each denomination using a variable. Then calculate the total value contributed by each denomination and sum them to form the equation for the total amount.

Question 15. મારી પાસે Rs. 1, Rs. 2 અને Rs. 5ના મૂલ્યવાળા કુલ Rs. 300ના સિક્કા છે. Rs. 2ના સિક્કાની સંખ્યા, Rs. 5ના સિક્કા કરતાં ત્રણ ગણી છે. જો સિક્કાની કુલ સંખ્યા 160 હોય, તો દરેક મૂલ્યના સિક્કાઓની સંખ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે, મારી પાસે Rs. 5ના સિક્કાની સંખ્યા \(x\) છે.
હવે, મારી પાસેના Rs. 2ના સિક્કા એ Rs. 5ના સિક્કા કરતાં ત્રણ ગણા છે.
\( \implies \) મારી પાસેના Rs. 2ના સિક્કાની સંખ્યા \( = 3x \)
હવે, મારી પાસે Rs. 5ના, Rs. 2ના અને Rs. 1ના કુલ સિક્કા 160 છે.
\( \implies \) મારી પાસેના Rs. 1ના સિક્કાની સંખ્યા \( = 160 - (x + 3x) = 160 - 4x \).
હવે, મારી પાસેના સિક્કાની કિંમત –
\( \implies \) Rs. 5ના સિક્કાની કિંમત \( = 5 \times x = 5x \)
\( \implies \) Rs. 2ના સિક્કાની કિંમત \( = 2 \times 3x = 6x \)
\( \implies \) Rs. 1ના સિક્કાની કિંમત \( = 1 \times (160 - 4x) = 160 - 4x \)
હવે, આ બધા જ સિક્કાઓની કુલ કિંમત Rs. 300 છે.
\( \implies (5x) + (6x) + (160 - 4x) = 300 \)
\( \implies 5x + 6x + 160 - 4x = 300 \)
\( \implies 11x - 4x + 160 = 300 \)
\( \implies 7x + 160 = 300 \)
\( \implies 7x = 300 - 160 \) (160 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 7x = 140 \)
બંને બાજુને 7 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 7x }{ 7 } = \frac { 140 }{ 7 } \)
\( \implies x = 20 \).
\( \implies \) Rs. 5ના સિક્કા \( = x = 20 \)
\( \implies \) Rs. 2ના સિક્કા \( = 3x = 3 \times 20 = 60 \)
\( \implies \) Rs. 1ના સિક્કા \( = 160 - 4x = 160 - (4 \times 20) = 160 - 80 = 80 \)
આમ, મારી પાસે Rs. 5ના 20 સિક્કા, Rs. 2ના 60 સિક્કા અને Rs. 1ના 80 સિક્કા છે.
In simple words: You have Rs. 300 in total with coins of Rs. 1, Rs. 2, and Rs. 5. The number of Rs. 2 coins is triple the number of Rs. 5 coins, and there are 160 coins in total. This means you have 20 Rs. 5 coins, 60 Rs. 2 coins, and 80 Rs. 1 coins.

Exam Tip: Coin problems often involve setting up equations based on both the total number of coins and the total value of the coins. Carefully define variables for the number of each coin type, especially when relationships between them are given.

Question 16. એક નિબંધ સ્પર્ધાના આયોજકોએ પ્રત્યેક વિજેતાને Rs. 100 તથા વિજયી ન બનનારા દરેક સ્પર્ધકને Rs. 25નો પુરસ્કાર આપવાનું નક્કી કરેલ છે. જો પુરસ્કાર સ્વરૂપે આપવામાં આવેલ કુલ રકમ Rs. 3000 હોય, તો કુલ 63 સ્પર્ધકોમાંથી વિજેતા થનાર સ્પર્ધકની સંખ્યા શોધો.
Answer: ધારો કે, વિજેતા સ્પર્ધકોની સંખ્યા \(x\) છે.
હવે, સ્પર્ધકોની કુલ સંખ્યા 63 છે.
\( \implies \) વિજયી ન બનનાર સ્પર્ધકોની સંખ્યા \( = (63 - x) \) છે.
હવે, વિજેતા સ્પર્ધકને દરેકને Rs. 100 પુરસ્કાર મળે છે.
\( \implies \) વિજેતા સ્પર્ધકને વહેંચાતી કુલ રકમ \( = x \times 100 = \text{Rs. } 100x \).
હવે, વિજયી ન બનનાર સ્પર્ધક દરેકને Rs. 25 પુરસ્કાર અપાય છે.
\( \implies \) વિજયી ન બનનારને વહેંચાતી કુલ રકમ \( = 25 (63 - x) \).
\( \implies \) વિજયી ન બનનારને વહેંચાતી કુલ રકમ \( = 1575 - 25x \).
પણ વિજેતા સ્પર્ધકો અને વિજયી ન બનનાર સ્પર્ધકો બંનેના થઈને કુલ Rs. 3000 પુરસ્કાર અપાય છે.
\( \implies 100x + (1575 - 25x) = 3000 \)
\( \implies 100x + 1575 - 25x = 3000 \)
\( \implies 75x + 1575 = 3000 \)
\( \implies 75x = 3000 - 1575 \) (1575 ને જમણી બાજુ લઇ જતા)
\( \implies 75x = 1425 \)
બંને બાજુને 75 વડે ભાગતા:
\( \implies \frac { 75x }{ 75 } = \frac { 1425 }{ 75 } \)
\( \implies x = 19 \).
આમ, વિજેતા થનાર સ્પર્ધકોની સંખ્યા 19 છે.
In simple words: In an essay contest with 63 participants, winners get Rs. 100 and non-winners get Rs. 25. If Rs. 3000 was given out in total, then 19 people won the competition.

Exam Tip: When different rates apply to two groups making up a total, represent one group with \(x\) and the other with (Total - \(x\)). Calculate the value for each group and sum them to match the given total value.