GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 10 ઘનાકારોનું પ્રત્યક્ષીકરણ Exercise 10.3

 

Question 1. શું કોઈ બહુફલકને આટલા ફલક હોઈ શકે?
(i) ત્રણ ત્રિકોણ
(ii) ચાર ત્રિકોણ
(iii) એક ચોરસ અને ચાર ત્રિકોણ
Answer: બહુફલકને ચાર કે તેથી વધારે ફલક હોય છે.
(i) બહુફલકને ત્રણ ત્રિકોણ ફલક હોય તે શક્ય નથી.
(ii) બહુફલકને ચાર ત્રિકોણ ફલક હોઈ શકે. (ત્રિકોણીય પિરામિડ)
(iii) બહુફલકને એક ચોરસ અને ચાર ત્રિકોણ ફલક પણ હોઈ શકે. (ચોરસ પાયાવાળો પિરામિડ)
In simple words: કોઈ પણ બહુફલકને ઓછામાં ઓછા ચાર ફલક જોઈએ. ત્રણ ત્રિકોણ ફલક હોય તેવો બહુફલક બની શકતો નથી. ચાર ત્રિકોણ ફલકવાળો બહુફલક (ત્રિકોણીય પિરામિડ) બની શકે છે. એક ચોરસ અને ચાર ત્રિકોણ ફલકવાળો બહુફલક (ચોરસ પાયાવાળો પિરામિડ) પણ બની શકે છે.

Exam Tip: યુલરના સૂત્ર F + V - E = 2 ને હંમેશા યાદ રાખો. બહુફલકના ગુણધર્મો અને તેના પ્રકારોને સમજો.

 

Question 2. શું આપેલી કોઈ પણ સંખ્યાના ફલકથી બહુફલક બની શકે? (સૂચનઃ પિરામિડને ધ્યાનમાં રાખી વિચારો.)
Answer: હા, આપેલી ફલકની સંખ્યા 4 અથવા 4થી વધારે હોય, તો તેવા ફલકવાળો બહુલક બની શકે.
In simple words: હા, જો ફલકની સંખ્યા 4 કે તેથી વધારે હોય, તો તેવા ફલકવાળો બહુફલક બનાવવો શક્ય છે.

Exam Tip: બહુફલક બનાવવા માટે ઓછામાં ઓછા 4 ફલકની જરૂર પડે છે, જેમ કે પિરામિડ. આ મૂળભૂત નિયમ હંમેશા ધ્યાનમાં રાખો.

 

Question 3. નીચેનામાંથી કઈ વસ્તુ પ્રિઝમ છે?
(i) ખીલી
(ii) છોલ્યા વગરની પેન્સિલ
(iii) પેપર વેઇટ
(iv) ખોખું
Answer: પ્રિઝમ એ એક બહુફલક છે જેમાં પાયા તથા ઉપરના બે ફલક સમાંતર અને સરખા બહુકોણ હોય છે, જ્યારે બીજા ફલકો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
(i) ખીલી એ પ્રિઝમ નથી.
(ii) છોલ્યા વગરની પેન્સિલ એ પ્રિઝમ છે.
(iii) પેપર વેઇટ એ પ્રિઝમ નથી. (તે પિરામિડ છે.)
(iv) ખોખું એ પ્રિઝમ છે.
In simple words: પ્રિઝમ એ એક ખાસ આકાર છે જેમાં બે સરખા અને સમાંતર પાયા હોય છે અને બાકીના ફલક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે. આ નિયમ મુજબ, છોલ્યા વગરની પેન્સિલ અને ખોખું પ્રિઝમના ઉદાહરણ છે.

Exam Tip: પ્રિઝમની વ્યાખ્યા અને તેની લાક્ષણિકતાઓ સમજવી અગત્યની છે. તેના પાયા અને ટોચ સમાન બહુકોણ હોવા જોઈએ અને તેની બાજુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવી જોઈએ.

 

Question 4. (i) પ્રિઝમ અને નળાકારમાં શું સામ્ય છે?
Answer: પ્રિઝમ અને નળાકાર બંનેમાં પાયો અને મથાળું સમાન ફલકો હોય છે. વળી, આ બંને ફલકો એકબીજાને સમાંતર પણ હોય છે. જો પ્રિઝમના પાયાની બાજુઓની સંખ્યા જેમ જેમ વધારતા જઈશું તેમ તેમ તેનો આકાર નળાકાર જેવો બનતો જાય છે.
In simple words: પ્રિઝમ અને નળાકાર બંનેમાં પાયા અને ટોચ સરખા અને સમાંતર હોય છે. જો પ્રિઝમના પાયાની બાજુઓ વધતી જાય, તો તે નળાકાર જેવો દેખાવા લાગે છે.

Exam Tip: પ્રિઝમ અને નળાકાર વચ્ચેનો સંબંધ તેમની સમાંતર અને સમાન પાયાની રચનામાં રહેલો છે. બાજુઓની સંખ્યા વધારવાનો ખ્યાલ સમજાવો.

 

Question 4. (ii) પિરામિડ અને શંકુમાં શું સામ્ય છે?
Answer: પિરામિડ અને શંકુમાં સામ્યતા એ છે કે બંનેના બાજુના ફલકો ઉપરના ભાગમાં એક જ શિરોબિંદુમાં મળે છે. જો પિરામિડના પાયાની બાજુઓની સંખ્યા જેમ જેમ વધારતા જઈશું તેમ તેમ તેનો આકાર શંકુ જેવો બનતો જાય છે.
In simple words: પિરામિડ અને શંકુ બંનેમાં બાજુઓના ફલક ઉપર એક જ ટોચ પર ભેગા થાય છે. જો પિરામિડના પાયાની બાજુઓ વધતી જાય, તો તે શંકુ જેવો દેખાવા લાગે છે.

Exam Tip: પિરામિડ અને શંકુ બંનેમાં એક સામાન્ય ટોચ હોય છે. પાયાની બાજુઓની સંખ્યા વધારવાથી આકારમાં થતો ફેરફાર સમજાવવો મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 5. શું ચોરસ પ્રિઝમ એ સમધન જેવો જ હોય છે. સમજાવો.
Answer: ના, ચોરસ પ્રિઝમ એ હંમેશ સમધન જેવો જ ન હોય. તે લંબઘન જેવો પણ હોઈ શકે.
In simple words: ના, ચોરસ પ્રિઝમ હંમેશા સમઘન નથી હોતો. તે લંબઘન પણ હોઈ શકે છે. સમઘનમાં બધી બાજુઓ સરખી હોય, જ્યારે ચોરસ પ્રિઝમમાં લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અલગ હોઈ શકે છે.

Exam Tip: સમઘન અને લંબઘન વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ કરો. ચોરસ પ્રિઝમમાં પાયો ચોરસ હોય છે, પરંતુ ઊંચાઈ અલગ હોઈ શકે છે, જે તેને લંબઘન બનાવે છે.

 

Question 6. યુલર(Euler)નું સૂત્ર નીચેના ઘનાકાર માટે તપાસો:
(i)
(ii)
Answer:
(i) અહીં \( F = 7 \), \( V = 10 \) અને \( E = 15 \)
હવે, યુલરના સૂત્ર મુજબ \( F + V - E = 2 \)
\( \implies F + V = 7 + 10 = 17 \)
હવે, \( F + V - E = 17 - 15 = 2 \)
આમ, \( F + V - E = 2 \)
આમ, યુલરનું સૂત્ર સાચું ઠરે છે.

(ii) અહીં \( F = 9 \), \( V = 9 \) અને \( E = 16 \)
હવે, યુલરના સૂત્ર મુજબ \( F + V - E = 2 \)
\( \implies F + V = 9 + 9 = 18 \)
હવે, \( F + V - E = 18 - 16 = 2 \)
આમ, \( F + V - E = 2 \)
આમ, યુલરનું સૂત્ર સાચું ઠરે છે.
In simple words: યુલરનું સૂત્ર કહે છે કે કોઈ પણ ઘન આકાર માટે ફલક (F) વત્તા શિરોબિંદુ (V) ઓછા ધાર (E) હંમેશા 2 બરાબર હોય છે. આપણે આપેલા આકારો માટે આ ગણતરી કરીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે તે સૂત્રને અનુસરે છે, તેથી યુલરનું સૂત્ર સાચું સાબિત થાય છે.

Exam Tip: યુલરનું સૂત્ર F + V - E = 2 યાદ રાખો અને તેના ઉપયોગથી કોઈ પણ બહુફલક માટે ફલક, શિરોબિંદુ કે ધારમાંથી કોઈ એક ખૂટતી સંખ્યા શોધી શકો છો.

 

Question 7. યુલર(Euler's)ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી અજ્ઞાત સંખ્યા મેળવોઃ

Answer:
(i) અહીં \( F = ? \), \( V = 6 \) અને \( E = 12 \)
હવે, યુલરના સૂત્ર મુજબ \( F + V - E = 2 \)
\( \implies F + 6 - 12 = 2 \)
\( \implies F - 6 = 2 \)
\( \implies F = 2 + 6 \)
\( \implies F = 8 \)

(ii) અહીં \( F = 5 \), \( V = ? \) અને \( E = 9 \)
હવે, યુલરના સૂત્ર મુજબ \( F + V - E = 2 \)
\( \implies 5 + V - 9 = 2 \)
\( \implies V - 4 = 2 \)
\( \implies V = 2 + 4 \)
\( \implies V = 6 \)

(iii) અહીં \( F = 20 \), \( V = 12 \) અને \( E = ? \)
હવે, યુલરના સૂત્ર મુજબ \( F + V - E = 2 \)
\( \implies 20 + 12 - E = 2 \)
\( \implies 32 - E = 2 \)
\( \implies -E = 2 - 32 \)
\( \implies -E = -30 \)
\( \implies E = 30 \)
In simple words: આપણે યુલરના સૂત્ર \( F + V - E = 2 \) નો ઉપયોગ કરીને ખૂટતી સંખ્યાઓ શોધી શકીએ છીએ. આ સૂત્રમાં ફલક (F), શિરોબિંદુ (V) અને ધાર (E) વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવવામાં આવે છે.

Exam Tip: યુલરનું સૂત્ર ત્રિપરિમાણીય આકૃતિઓ માટે મૂળભૂત છે. ગણતરી કરતી વખતે હંમેશા સાચા ચિહ્નો (+/-) નો ઉપયોગ કરવો અને સમીકરણને યોગ્ય રીતે ઉકેલવું મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 8. શું કોઈ બહુફલકને 10 ફલક (Faces), 20 ધાર (Edges) અને 15 શિરોબિંદુ (Vertices) હોઈ શકે?
Answer: ઉપર આપેલ ફલક, ધાર અને શિરોબિંદુવાળો બહુલક ત્યારે જ હોઈ શકે જ્યારે આપેલ ફલક, ધાર અને શિરોબિંદુઓની સંખ્યા વડે યુલરનું સૂત્ર સાચું બનતું હોય.
અહીં \( F = 10 \), \( E = 20 \) અને \( V = 15 \)
યુલરનું સૂત્ર \( F + V - E = 2 \) સંતોષાવું જોઈએ.
\( \implies F + V - E = 10 + 15 - 20 \)
\( = 25 - 20 \)
\( = 5 \)
આમ, \( F + V - E \neq 2 \)
આમ, 10 ફલક, 20 ધાર અને 15 શિરોબિંદુવાળો બહુફલક ન હોઈ શકે.
In simple words: કોઈ પણ બહુફલક માટે યુલરનું સૂત્ર \( F + V - E = 2 \) સાચું હોવું જોઈએ. જો આપણને \( F = 10 \), \( V = 15 \) અને \( E = 20 \) મળે છે, તો \( F + V - E = 10 + 15 - 20 = 5 \). કારણ કે 5, 2 બરાબર નથી, તેથી આ સંખ્યાઓ સાથેનો બહુફલક બની શકે નહીં.

Exam Tip: યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તમે ચકાસી શકો છો કે આપેલ ફલક, શિરોબિંદુ અને ધારની સંખ્યા કોઈપણ બહુફલક માટે શક્ય છે કે નહીં. જો સૂત્રનો જવાબ 2 ન આવે, તો તે બહુફલક શક્ય નથી.