GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 7 ત્રિકોણની એકરૂપતા InText Questions

વિચારો, ચર્ચા કરો અને વખો

Question 1. જો બે ત્રિકોણ ABC અને PQR આપેલા હોય, તો છ સંગતતાઓની શક્યતાઓ છે. તેમાંની બે (i) ABC \( \leftrightarrow \) POR અને (ii) ABC \( \leftrightarrow \) QRP છે. આપેલા ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરીને બાકીની ચાર સંગતતાઓ મેળવો. શું આ બધી સંગતતાઓ માટે એકરૂપતા મળશે? વિચારો.
Answer: અન્ય ચાર સંગતતા નીચે પ્રમાણે છે:
(i) ABC \( \leftrightarrow \) PRQ
(ii) ABC \( \leftrightarrow \) QPR
(iii) ABC \( \leftrightarrow \) RPQ
(iv) ABC \( \leftrightarrow \) RQP
હા, જો એકરૂપતાની શરતો સંતોષાતી હોય, તો આ બધી સંગતતાથી ત્રિકોણો એકરૂપ બને પણ ખરા.
In simple words: If we have two triangles, ABC and PQR, there are six ways to match their points. Two ways are given. We need to find the other four ways to match the points. Then, we think about if the triangles will be exactly the same size and shape in all these different matchings.

Exam Tip: To find all possible congruences between two triangles, list all permutations of the vertices of the second triangle relative to the first. Remember that congruence requires specific conditions to be met beyond just matching vertices.

જાતે કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર 140-141)

Question 1. નીચેની આકૃતિઓમાં ત્રિકોણની બાજુઓનાં માપ બતાવેલાં છે. એકરૂપતાની બાબાબા શરત પ્રમાણે જોડ એકરૂપ છે તે કહો. ત્રિકોણો એકરૂપ હોય, તો પરિણામને સાંકેતિક સ્વરૂપમાં લખો.
Answer:
(નોંધઃ પાઠ્યપુસ્તકમાં આકૃતિ (i) ખોટી છે. અમે સુધારીને મૂકી છે.)
(i) ∆ABC અને ∆PQRમાં
\( \mathrm{AB} = \mathrm{PQ} = 1.5 \) સેમી, \( \mathrm{BC} = \mathrm{QR} = 2.5 \) સેમી અને
\( \mathrm{AC} = \mathrm{PR} = 2.2 \) સેમી

\( \implies \) ∆ABCની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ ∆PQRની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ જેવાં છે.

\( \implies \) બંને ત્રિકોણ બાબાબા શરતને આધિન એકરૂપ છે.
અહીં, \( \mathrm{A} \leftrightarrow \mathrm{P} \), \( \mathrm{B} \leftrightarrow \mathrm{Q} \) અને \( \mathrm{C} \leftrightarrow \mathrm{R} \) છે.
અહીં એકરૂપતા માટેની સંગતતા \( \mathrm{ABC} \leftrightarrow \mathrm{PQR} \) છે.
તેથી સંકેતમાં \( \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{PQR} \) લખાય.

(ii) ∆DEF અને ∆LMNમાં
\( \mathrm{DE} = \mathrm{MN} = 3.2 \) સેમી, \( \mathrm{DF} = \mathrm{LN} = 3.5 \) સેમી અને
\( \mathrm{EF} = \mathrm{LM} = 3 \) સેમી

\( \implies \) ∆DEFની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ ∆LMNની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ જેવાં છે.

\( \implies \) બંને ત્રિકોણ બાબાબા શરતને આધિન એકરૂપ છે.
અહીં, \( \mathrm{D} \leftrightarrow \mathrm{N} \), \( \mathrm{E} \leftrightarrow \mathrm{M} \) અને \( \mathrm{F} \leftrightarrow \mathrm{L} \) છે.
અહીં એકરૂપતા માટેની સંગતતા \( \mathrm{DEF} \leftrightarrow \mathrm{NML} \) છે.
તેથી સંકેતમાં \( \triangle \mathrm{DEF} \cong \triangle \mathrm{NML} \) લખાય.

(iii) ∆ABC અને ∆PQRમાં
\( \mathrm{AC} = \mathrm{PR} = 5 \) સેમી, \( \mathrm{BC} = \mathrm{PQ} = 4 \) સેમી પરંતુ
\( \mathrm{AB} \ne \mathrm{QR} \) (કારણ કે \( 2 \) સેમી \( \ne 2.5 \) સેમી)

\( \implies \) બે બાજુઓનાં માપ જેટલાં ∆PQRની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ નથી.

\( \implies \) બંને ત્રિકોણ બાબાબા શરતને આધિન એકરૂપ નથી.

\( \implies \triangle \mathrm{ABC} \) અને \( \triangle \mathrm{PQR} \) એકરૂપ ત્રિકોણો નથી.

(iv) ∆ABD અને ∆ACDમાં
\( \mathrm{AB} = \mathrm{AC} = 3.5 \) સેમી, \( \mathrm{BD} = \mathrm{DC} = 2.5 \) સેમી અને
\( \mathrm{AD} = \mathrm{AD} \) (સામાન્ય)

\( \implies \) ∆ABDની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ ∆ACDની ત્રણેય બાજુઓનાં માપ જેવાં છે.

\( \implies \) બંને ત્રિકોણ બાબાબા શરતને આધિન એકરૂપ છે.
અહીં, \( \mathrm{A} \leftrightarrow \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \leftrightarrow \mathrm{C} \) અને \( \mathrm{D} \leftrightarrow \mathrm{D} \) છે.
અહીં એકરૂપતા માટેની સંગતતા \( \mathrm{ABD} \leftrightarrow \mathrm{ACD} \) છે.
તેથી સંકેતમાં \( \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{ACD} \) લખાય.
In simple words: We compare the side lengths of each triangle pair. If all three corresponding sides are equal, the triangles are congruent by SSS (Side-Side-Side) rule. If they are congruent, we then write the symbolic form showing the matching vertices.

Exam Tip: When using the SSS criterion, make sure to verify that *all three* corresponding sides are equal in length. Even if two sides match, the triangles are not necessarily congruent if the third side is different.

Question 2. આકૃતિમાં \( \mathrm{AB} = \mathrm{AC} \) અને \( \mathrm{D} \) એ \( \overline{\mathrm{BC}} \) નું મધ્યબિંદુ છે:
(i) ∆ADB અને ∆ADCમાં સમાન અંગોની ત્રણ જોડી જણાવો.
(ii) ∆ADB \( \cong \) ∆ADC છે? કારણ આપો.
(iii) \( \angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{C} \) છે? શા માટે?