GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 11 પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ InText Questions

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 205)

 

Question 1. નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ શોધવા માટે તમારે શું શોધવું પડે - પરિમિતિ કે ક્ષેત્રફળ?
(i) વર્ગમાંનું કાળું પાટિયું કેટલી જગ્યા રોકે છે?
(ii) ફૂલોના લંબચોરસ ક્યારાને ફરતેથી બંધ કરવા માટે કેટલી લંબાઈનો તાર જોઈશે?
(iii) એક ત્રિકોણાકાર બાગને ફરતે બે વાર આંટા મારવાથી તમે કેટલું અંતર કાપશો?
(iv) એક લંબચોરસ તરણકુંડને ઢાંકવા માટે તમારે કેટલી પ્લાસ્ટિકની શીટ જોઈશે?
Answer:
1. વર્ગમાંનું કાળું પાટિયું કેટલી જગ્યા રોકે છે તે જાણવા માટે વર્ગમાંના કાળા પાટિયાનું ક્ષેત્રફળ શોધવું પડે.
2. ફૂલોના લંબચોરસ ક્યારાને ફરતેથી તાર વડે બંધ કરવા માટે ફૂલોના લંબચોરસ ક્યારાની પરિમિતિ શોધવી પડે.
3. એક ત્રિકોણાકાર બાગને ફરતે બે વાર આંટો મારવાથી કપાયેલું અંતર જાણવા માટે ત્રિકોણાકાર બાગની પરિમિતિ શોધીને તેને 2 વડે ગુણવા પડે.
4. ચોરસ તરણકુંડને પ્લાસ્ટિકની શીટ વડે ઢાંકવા માટે જરૂરી શીટ શોધવા લંબચોરસ તરણકુંડનું ક્ષેત્રફળ શોધવું પડે.
In simple words: To find how much space something covers, you need its area. To find the length needed to go around something, you need its perimeter. For walking around a garden twice, you calculate the perimeter and multiply it by two.

Exam Tip: Remember that "space covered" implies area, while "distance around" implies perimeter. Understand the difference to choose the correct measurement.

 

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 206)

 

Question 1. આવા ઘણા આકારો અને કટિંગ્ઝ માટે આ પ્રયોગ કરો. તમે ચોરસ ખાનાવાળા કાગળ પર આ આકારો દોરી તેની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ ગણી શકો છો.
Answer: તમે જોયું છે કે પરિમિતિમાં વધારો થાય એનો અર્થ એ નથી કે ક્ષેત્રફળ પણ વધે.
નીચે એક ઉદાહરણ દ્વારા સમજીએ કે હંમેશાં પરિમિતિ વધે તો ક્ષેત્રફળ વધે જ તેવું નથી. અમુક સંજોગોમાં પરિમિતિ વધે તો ક્ષેત્રફળ ન પણ વધે.
D C

ABCDની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ) \( = 2 \) (8 + 8) \( = 2 \) (16) \( = 32 \) સેમી
ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) લંબાઈ \( = 8 \times 8 = 64 \) સેમી²
ABCDમાંથી 2 સેમીનો એક ચોરસ ટુકડો કાપી લઈએ. તો –
OPQRSનું ક્ષેત્રફળ \( = 64 \) સેમી² \( - 4 \) સેમી² \( = 60 \) સેમી²
પરિમિતિ \( = 32 \) સેમી \( + 4 \) સેમી \( = 36 \) સેમી
આથી, પરિમિતિ વધે તેમ ક્ષેત્રફળ વધે જ તેવું હંમેશાં હોતું નથી.
In simple words: This activity shows that increasing the perimeter of a shape doesn't always mean its area will also increase. We can see this when we cut a piece from a shape; the area might decrease, but the perimeter could actually get bigger.

Exam Tip: Always remember that perimeter is the distance around a shape, while area is the space it covers. They don't always change in the same way, especially when altering the shape's configuration.

 

Question 2. પરિમિતિ વધવાની સાથે ક્ષેત્રફળ પણ વધે તેવાં બે ઉદાહરણો આપો.
Answer:
(i) ધારો કે, એક લંબચોરસની લંબાઈ 5 સેમી અને પહોળાઈ 4 સેમી છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ)
\( = 2 \) (5 + 4) સેમી \( = 18 \) સેમી
અને લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) (લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ)
\( = \) (5 \( \times \) 4) સેમી² \( = 20 \) સેમી²
હવે લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈમાં 2 સેમીનો વધારો કરીએ.
લંબચોરસની લંબાઈ 7 સેમી અને પહોળાઈ 6 સેમી થશે.
લંબચોરસની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ)
\( = 2 \) (7 + 6) સેમી
\( = 26 \) સેમી
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) (લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ)
\( = \) (7 \( \times \) 6) સેમી² \( = 42 \) સેમી²
આમ, પરિમિતિ વધે છે તેમ ક્ષેત્રફળ પણ વધે છે.

(ii) ધારો કે, એક ચોરસની બાજુની લંબાઈ 4 સેમી છે.
ચોરસની પરિમિતિ \( = 4 \) (લંબાઈ) \( = 4 \) (4) \( = 16 \) સેમી
અને ચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) (લંબાઈ \( \times \) લંબાઈ)
\( = 4 \times 4 \) સેમી² \( = 16 \) સેમી²
હવે ચોરસની લંબાઈમાં 2 સેમીનો વધારો કરીએ.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ 6 સેમી છે.
ચોરસની પરિમિતિ \( = 4 \) (લંબાઈ) \( = 4 \) (6) સેમી \( = 24 \) સેમી
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) (લંબાઈ \( \times \) લંબાઈ) \( = 6 \times 6 \) સેમી² \( = 36 \) સેમી²
આમ, પરિમિતિ વધે છે તેમ ક્ષેત્રફળ પણ વધે છે.
In simple words: When you make a shape bigger by extending all its sides, both the distance around it (perimeter) and the space it covers (area) usually get larger. For example, if you make a rectangle longer and wider, or a square bigger on all sides, both measurements will go up.

Exam Tip: When increasing the dimensions of a regular polygon or rectangle proportionately, both perimeter and area will increase. Provide clear step-by-step calculations for both metrics.

 

Question 3. પરિમિતિ વધે પરંતુ ક્ષેત્રફળ ન વધે તેવાં બે ઉદાહરણો આપો.
Answer:
(i) ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ 4 સેમી અને પહોળાઈ 3 સેમી છે.
\( \therefore \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ
\( = 4 \times 3 \) સેમી² \( = 12 \) સેમી²
લંબચોરસની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ)
\( = 2 \) (4 + 3) સેમી \( = 14 \) સેમી
ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ 6 સેમી અને પહોળાઈ 2 સેમી છે.
\( \therefore \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ
\( = 6 \times 2 \) સેમી² \( = 12 \) સેમી²
લંબચોરસની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ)
\( = 2 \) (6 + 2) સેમી \( = 16 \) સેમી
આમ, લંબચોરસની પરિમિતિ વધે છે પણ ક્ષેત્રફળ તેનું તે જ રહે છે.

(ii) ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ 5 સેમી અને પહોળાઈ 4 સેમી છે.
\( \therefore \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ
\( = 5 \times 4 \) સેમી² \( = 20 \) સેમી²
લંબચોરસની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ)
\( = 2 \) (5 + 4) સેમી \( = 18 \) સેમી
ધારો કે, લંબચોરસની લંબાઈ 10 સેમી અને પહોળાઈ 2 સેમી છે.
\( \therefore \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = \) લંબાઈ \( \times \) પહોળાઈ
\( = 10 \times 2 \) સેમી² \( = 20 \) સેમી²
લંબચોરસની પરિમિતિ \( = 2 \) (લંબાઈ + પહોળાઈ)
\( = 2 \) (10 + 2) સેમી \( = 24 \) સેમી
આમ, લંબચોરસની પરિમિતિ વધે છે પણ ક્ષેત્રફળ તેનું તે જ રહે છે.
In simple words: You can change a rectangle's shape so that the distance around it (perimeter) increases, even while the space it covers (area) stays the same. This often happens if you make one side much longer and the other much shorter.

Exam Tip: To keep the area constant while increasing the perimeter of a rectangle, you need to make the shape "thinner" or more elongated. Always verify your calculations for both area and perimeter.

 

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 210)

 

Question 1. નીચે આપેલા દરેક લંબચોરસની લંબાઈ 6 સેમી અને પહોળાઈ 4 સેમી છે. તે દરેક એકરૂપ બહુકોણોથી બનેલા છે. દરેક બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં દરેક લંબચોરસની લંબાઈ \( l = 6 \) સેમી અને પહોળાઈ \( b = 4 \) સેમી
દરેક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( = l \times b = 6 \times 4 \) સેમી² \( = 24 \) સેમી²
(a) આ આકૃતિમાં લંબચોરસને છ એકરૂપ બહુકોણમાં વિભાજિત કરેલ છે.
\( \therefore \) દરેક બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac {1}{6} \times \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac {1}{6} \times 24 \) સેમી² \( = 4 \) સેમી²

(b) આ આકૃતિમાં લંબચોરસને ચાર એકરૂપ બહુકોણમાં વિભાજિત કરેલ છે.
\( \therefore \) દરેક બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac {1}{4} \times \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac {1}{4} \times 24 \) સેમી² \( = 6 \) સેમી²

(c) આ આકૃતિમાં લંબચોરસને બે એકરૂપ બહુકોણમાં વિભાજિત કરેલ છે.
\( \therefore \) દરેક બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac {1}{2} \times \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac {1}{2} \times 24 \) સેમી² \( = 12 \) સેમી²

(d) આ આકૃતિમાં લંબચોરસને બે એકરૂપ બહુકોણમાં વિભાજિત કરેલ છે.
\( \therefore \) દરેક બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac {1}{2} \times \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac {1}{2} \times 24 \) સેમી² \( = 12 \) સેમી²

(e) આ આકૃતિમાં લંબચોરસને આઠ એકરૂપ બહુકોણમાં વિભાજિત કરેલ છે.
\( \therefore \) દરેક બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ \( = \frac {1}{8} \times \) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac {1}{8} \times 24 \) સેમી² \( = 3 \) સેમી²
In simple words: First, find the total area of the large rectangle using its given length and width. Then, look at how many identical smaller shapes (polygons) are inside that rectangle. To find the area of one small shape, simply divide the total rectangle's area by the number of small shapes it contains.

Exam Tip: When a larger shape is divided into smaller congruent shapes, the area of each smaller shape can be found by dividing the total area by the number of smaller shapes. Ensure you count the smaller shapes accurately.

 

પાઠ્યપુસ્તકમાંથી: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 211)

 

Question 1. નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો જુઓ: આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનાં ક્ષેત્રફળ, આકૃતિની અંદરના ભાગમાં આવેલા ચોરસની ગણતરી કરીને શોધો અને બાજુઓને માપીને તેની પરિમિતિ પણ શોધો. આપેલ કોષ્ટક પૂર્ણ કરોઃ
Answer:

(a) આધાર \( = 5 \) એકમ, ઊંચાઈ \( = 3 \) એકમ
\( \therefore \) ક્ષેત્રફળ \( = \) આધાર \( \times \) ઊંચાઈ
\( = 5 \times 3 = 15 \) ચો એકમ
\( \text{AD} = \sqrt{\text{DM}^2 + \text{AM}^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \) એકમ
હવે, પરિમિતિ \( = 2 \) (AD + AB) \( = 2(\sqrt{10} + 5) \) એકમ
ઉપરની રીતે બધી આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ શોધી શકાય.
તમે જોશો કે આ બધા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનાં ક્ષેત્રફળ સમાન છે પરંતુ તેમની પરિમિતિ ભિન્ન છે.
In simple words: To complete the table, first calculate the area of each parallelogram by multiplying its base by its height. Then, to find the perimeter, you need to measure all its sides and add them up. Sometimes, you might need to use the Pythagorean theorem to find the length of a slanted side. Notice that parallelograms can have the same area but different perimeters.

Exam Tip: The area of a parallelogram is always base times height. For the perimeter, remember to consider all four sides. If the slanted side length is not given, use the Pythagorean theorem with the height and the horizontal distance from the base to the vertex.

 

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 212)

 

Question 1. નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનાં ક્ષેત્રફળ શોધોઃ
(i)
Answer: અહીં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો પાયો \( b = 8 \) સેમી, ઊંચાઈ \( h = 3.5 \) સેમી
\( \therefore \) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ \( = b \times h \)
\( = 8 \times 3.5 \) સેમી² \( = 28 \) સેમી²

(ii)
Answer: અહીં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો પાયો \( b = 8 \) સેમી, ઊંચાઈ \( h = 2.5 \) સેમી
\( \therefore \) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ \( = b \times h \)
\( = 8 \times 2.5 \) સેમી² \( = 20 \) સેમી²

(iii) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDમાં AB \( = 7.2 \) સેમી અને AB પર Cમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈ 4.5 સેમી છે.
Answer: અહીં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનો પાયો AB \( = 7.2 \) સેમી અને ઊંચાઈ \( = 4.5 \) સેમી.
\( \therefore \) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનું ક્ષેત્રફળ \( = \) પાયો \( \times \) ઊંચાઈ
\( = 7.2 \) સેમી \( \times 4.5 \) સેમી
\( = 32.40 \) સેમી²
In simple words: To find the area of a parallelogram, you need two things: its base (the length of one of its parallel sides) and its perpendicular height (the distance straight up from that base to the opposite side). Simply multiply these two numbers together to get the area.

Exam Tip: Always identify the correct base and its corresponding perpendicular height. The height is the distance from the base to the opposite side, measured at a 90-degree angle to the base.

 

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 219)

 

Question 1. આકૃતિમાં –
(a) કયા ચોરસની પરિમિતિ વધુ છે?
(b) નાના ચોરસની પરિમિતિ અને વર્તુળનો પરિઘ એ બેમાંથી કયું માપ મોટું છે?
Answer:
(a) બંને ચોરસમાંથી અંદરના ચોરસ કરતાં બહારના ચોરસની પરિમિતિ વધારે છે.
(b) અંદરના નાના ચોરસની પરિમિતિ કરતાં વર્તુળનો પરિઘ વધારે છે.
In simple words: In the picture, the bigger square has a larger perimeter than the smaller inner square. Also, if you compare the perimeter of the smaller square with the circumference of the circle, the circle's circumference is bigger.

Exam Tip: The perimeter of a larger shape will always be greater than that of a smaller, similar shape. For comparisons between different shapes, calculate each value and then compare them directly.

 

આ કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 219)

 

Question 1. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે એક નાની અને એક મોટી પ્લેટ લો. બંનેને ટેબલની સપાટી પર એક વાર ગબડાવો. એક ચક્રમાં કઈ પ્લેટ વધુ અંતર કાપે છે? ટેબલની આખી સપાટી પર ફરવામાં કઈ પ્લેટને ઓછા ચક્કર ફરવા પડશે?
Answer: મોટી પ્લેટનો પરિઘ એ નાની પ્લેટના પરિઘ કરતાં વધારે હોય છે. તેથી એક ચક્ર પૂરું કરતાં નાની પ્લેટ કરતાં મોટી પ્લેટ વધુ અંતર કાપે છે. ટેબલની આખી સપાટી પર ફરવામાં મોટી પ્લેટને ઓછા ચક્કર ફરવા પડશે.
In simple words: The bigger plate has a larger circumference (the distance around its edge). This means that in one full spin, the bigger plate will travel a longer distance than the smaller plate. So, to cover the whole table, the bigger plate will need fewer spins.

Exam Tip: Remember that the circumference of a circle is directly proportional to its radius. A larger circumference means more distance covered per revolution and fewer revolutions to cover a fixed total distance.

 

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 222)

 

Question 1. આલેખપત્ર પર ભિન્ન ત્રિજ્યાવાળાં વર્તુળો દોરો. વર્તુળની અંદરના ચોરસની સંખ્યા ગણીને ક્ષેત્રફળ શોધો. સૂત્રના ઉપયોગથી પણ ક્ષેત્રફળ ગણો. તમારા બંને જવાબો સરખાવો.
Answer: 1 ચોરસ \( = 1 \) સેમી²
1 સેમી ત્રિજ્યાનું અને 2 સેમી ત્રિજ્યાનું એવાં બે વર્તુળો આલેખપત્ર ઉપર દોરો.
નાના વર્તુળ માટે:
ક્ષેત્રફળ \( = 4 \) પાનાં (અર્ધ કરતાં મોટાને આખું ખાનું ગણતાં)
\( = 4 \) સેમી²
મોટા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = 12 \) ખાનાં \( = 12 \) સેમી²
(અર્ધ કરતાં મોટાને આખું ખાનું ગણતાં અને અર્ધ કરતાં નાના ખાનાં અવગણતાં)
હવે, સૂત્ર વડે ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ.
(1) નાના વર્તુળ માટે ત્રિજ્યા \( r = 1 \) સેમી
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = \frac {22}{7} \times 1 \times 1 = \frac {22}{7} = 3.14 \) સેમી² (આશરે)
મોટા વર્તુળ માટે ત્રિજ્યા \( r = 2 \) સેમી
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ \( = \pi r^2 \)
\( = \frac {22}{7} \times 2 \times 2 = \frac {22}{7} \times 4 = \frac {88}{7} \)
\( = 12.57 \) સેમી² (આશરે)
In simple words: To find the area of a circle using a grid, count the full squares inside it. For partial squares, count those more than half as full and ignore those less than half. Then, calculate the area using the formula \( \pi r^2 \). Compare the two results; they should be similar, showing that counting squares gives an approximate area.

Exam Tip: When estimating area by counting squares, be consistent in how you handle partial squares (e.g., count more than half as full, ignore less than half). For precise calculations, always use the formula \( \pi r^2 \), making sure to use the correct radius and value of \( \pi \).

 

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર. 225)

 

Question 1. નીચે આપેલાં માપોનું રૂપાંતર કરોઃ
(i) 50 સેમી² ને મિમી²માં
Answer: 1 સેમી² \( = 100 \) મિમી²
\( \therefore 50 \) સેમી² \( = (50 \times 100) \) મિમી²
\( = 5000 \) મિમી²

(ii) 2 હેક્ટરને મી²માં
Answer: 1 હેક્ટર \( = 10,000 \) મી²
\( \therefore 2 \) હેક્ટર \( = (2 \times 10,000) \) મી²
\( = 20,000 \) મી²

(iii) 10મી²ને સેમી²માં
Answer: 1 મી² \( = 10,000 \) સેમી²
\( \therefore 10 \) મી² \( = (10 \times 10,000) \) સેમી²
\( = 1,00,000 \) સેમી²

(iv) 1000 સેમી²ને મી² માં
Answer: 10,000 સેમી² \( = 1 \) મી²
\( \therefore 1 \) સેમી² \( = \frac {1}{10,000} \) મી²
\( \therefore 1000 \) સેમી² \( = (\frac {1}{10,000} \times 1000) \) મી²
\( = \frac {1}{10} \) મી² \( = 0.1 \) મી²
In simple words: To convert square units, you need to know the conversion factor for the linear units and then square it. For instance, if 1 cm equals 10 mm, then 1 cm² equals 100 mm². Similarly, for hectares to square meters, or square meters to square centimeters, multiply or divide by the appropriate squared conversion factor.

Exam Tip: When converting square units, remember that the conversion factor is squared. For example, if 1 meter = 100 centimeters, then 1 square meter = \( 100^2 \) square centimeters, which is 10,000 square centimeters. Double-check your multiplication or division by the correct power of 10.