GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 10 પ્રાયોગિક ભૂમિતિ InText Questions

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 195)

Question 1. પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલી રચનામાં, Aમાંથી તમે બીજી કોઈ રેખા દોરી શકો જે lને પણ સમાંતર હોય?
Answer: બિંદુ Aમાંથી પસાર થતી અને રેખા lને સમાંતર હોય તેવી બીજી કોઈ પણ રેખા આપણે દોરી નથી શકતા. આ એક અનોખી રેખા હોય છે.
In simple words: એક બિંદુમાંથી પસાર થતી અને બીજી રેખાને સમાંતર હોય તેવી ફક્ત એક જ રેખા દોરી શકાય છે.

Exam Tip: ભૂમિતિમાં, એક બિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલ રેખાને સમાંતર હોય તેવી અનન્ય રેખા હોય છે. આ અનન્યતા પ્રમેયને યાદ રાખો.

Question 2. સમાન યુગ્મકોણનો ઉપયોગ કરવાને બદલે સમાન અનુકોણોનો ઉપયોગ કરી શકાય તે માટે શું તમે આપેલી રચનામાં થોડો સુધારો-વધારો કરી શકો?
Answer: હા, અનુકોણોની રચના કરીને પણ આ રચના પૂરી કરી શકાય છે. એક રેખા l લો અને તેની બહાર એક બિંદુ A લો. રેખા l ઉપર કોઈ પણ બિંદુ B પસંદ કરો. Bને A સાથે જોડો અને \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) લંબાવો. Bને કેન્દ્ર તરીકે લઈ અનુકૂળ ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો. જે lને Cમાં અને \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)ને Dમાં છેદે છે. હવે Aને કેન્દ્ર ગણીને તેટલી જ ત્રિજ્યાનો ચાપ દોરો જે લંબાવેલ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\)ને Pમાં છેદે છે. હવે CD જેટલી ત્રિજ્યા અને P કેન્દ્ર લઈ અગાઉના ચાપને છેદતો એક ચાપ દોરો જે Qમાં છેદે છે. A અને Qને જોડી એક નવી રેખા રચો. આમ, યુગ્મકોણોનો ઉપયોગ કરવાને બદલે સમાન અનુકોણોનો ઉપયોગ કરીને પણ આપેલી રેખાને સમાંતર હોય તેવી રેખા બનાવી શકાય છે.
In simple words: હા, આપણે અનુકોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પણ સમાંતર રેખા દોરી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમાંતર રેખાઓ દોરવા માટે યુગ્મકોણ અને અનુકોણ બંનેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. બંને પદ્ધતિઓથી સમાન પરિણામ મળે છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 198)

Question 1. વિચારો શું આ બરાબર છે?
Answer: આવો ત્રિકોણ હોઈ ન શકે, કારણ કે ત્રિકોણની બાજુઓનાં માપ એવાં હોવાં જોઈએ કે જેથી ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં વધારે થાય. અહીં આપેલ ત્રિકોણનાં માપ 2 સેમી, 3 સેમી અને 6 સેમી છે. જુઓ \(2 \, \text{સેમી} + 3 \, \text{સેમી} = 5 \, \text{સેમી}\). આ \(5 \, \text{સેમી}\) એ \(6 \, \text{સેમી}\) કરતાં ઓછો છે. તેથી, આવાં માપ ધરાવતો ત્રિકોણ હોઈ શકતો નથી.
In simple words: જો ત્રિકોણની બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં નાનો હોય, તો તે ત્રિકોણ બનતો નથી.

Exam Tip: ત્રિકોણ રચના માટે હંમેશાં 'ત્રિકોણ અસમાનતા' ગુણધર્મ તપાસો: કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોવો જોઈએ.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 202)

Question 1. ∆ABC માટે જો \(AC = 7\) સેમી, \(m\angle A = 60^\circ\) અને \(m\angle B = 50^\circ\) આપેલા હોય, તો આ ત્રિકોણ રચી શકાય? (ત્રિકોણના ખૂણાઓનાં માપના સરવાળાનો ગુણધર્મ તમને આમાં ઉપયોગી થઈ શકે!)
Answer: હા, ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ આમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે. અહીં, પ્રશ્નમાં આપણને રેખાખંડ ACનું માપ તથા \(m\angle A\)નું અને \(m\angle B\)નું માપ આપ્યું છે. પરંતુ \(m\angle C\)નું માપ આપ્યું નથી. ત્રિકોણ રચવા માટે \(m\angle C\)નું માપ જાણવું જરૂરી છે. \(m\angle A\) અને \(m\angle B\)નું માપ આપ્યું છે. તેથી \(m\angle C\)નું માપ ત્રિકોણના ત્રણે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \(180^\circ\) થાય છે તે ગુણધર્મ પરથી મળે છે.
\(m\angle C = 180^\circ - (m\angle A + m\angle B)\)
\( = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ)\)
\( = 180^\circ - 110^\circ\)
\( = 70^\circ\)
હવે, \(AC = 7\) સેમી, \(m\angle A = 60^\circ\) અને \(m\angle C = 70^\circ\) માપ પરથી ∆ABC રચી શકાશે.
In simple words: હા, ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો \(180^\circ\) હોય છે. આ નિયમ વાપરીને ખૂણો C શોધી શકાય છે અને પછી ત્રિકોણ દોરી શકાય છે.

Exam Tip: જો તમને બે ખૂણા અને તેમની વચ્ચેની બાજુનું માપ આપેલું હોય (ASA શરત), તો તમે ત્રિકોણ રચી શકો છો. જો વચ્ચેની બાજુ ન આપી હોય, તો ત્રીજો ખૂણો શોધીને ASA શરત લગાવી શકાય છે.

અન્ય પ્રો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 204)

Question 1. નીચે ત્રિકોણોની બાજુઓ અને ખૂણાઓનાં માપ આપેલાં છે. જેમની રચના ન થઈ શકે તેવા ત્રિકોણો ઓળખો અને શા માટે રચના શક્ય નથી તે જણાવો. બાકીના ત્રિકોણોની રચના કરો:
Answer:
(1) ∆ABC માટે \(m\angle A = 85^\circ\), \(m\angle B = 115^\circ\) અને \(AB = 5\) સેમી. અહીં ∆ABCમાં \(m\angle A + m\angle B = 85^\circ + 115^\circ = 200^\circ\). હવે, ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \(180^\circ\) થાય છે. અહીં \(200^\circ > 180^\circ\) છે, એટલે કે ત્રિકોણના ખૂણાનાં માપ આવાં ન હોઈ શકે. આ માપનો ત્રિકોણ રચી શકાતો નથી. તેથી, ∆ABC રચી શકાય નહીં.
In simple words: ∆ABC માં બે ખૂણાનો સરવાળો \(180^\circ\) થી વધારે થાય છે, જે અશક્ય છે. તેથી આ ત્રિકોણ બની શકતો નથી.

Exam Tip: હંમેશાં તપાસો કે શું આપેલા બે ખૂણાનો સરવાળો \(180^\circ\) કરતાં ઓછો છે, જેથી ત્રીજો ખૂણો હકારાત્મક રહી શકે. જો બે ખૂણાનો સરવાળો \(180^\circ\) અથવા તેનાથી વધારે હોય, તો ત્રિકોણ બનતો નથી.

Question 2. ∆PQR માટે \(m\angle Q = 30^\circ\), \(m\angle R = 60^\circ\) અને \(QR = 4.7\) સેમી.
Answer: સૌ પ્રથમ, આપણે ∆PQR માં ખૂણા P નું માપ શોધીશું. ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,
\(m\angle P + m\angle Q + m\angle R = 180^\circ\)
\(m\angle P + 30^\circ + 60^\circ = 180^\circ\)
\(m\angle P + 90^\circ = 180^\circ\)
\(m\angle P = 180^\circ - 90^\circ\)
\(m\angle P = 90^\circ\)
હવે, આપણે \(QR = 4.7\) સેમી, \(m\angle Q = 30^\circ\) અને \(m\angle R = 60^\circ\) નો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની રચના કરીશું.
**રચનાના મુદ્દા:**
1. 4.7 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ QR દોરો.
2. Q કેન્દ્ર લઈ Q બિંદુએ કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને \(30^\circ\) માપનો ખૂણો બનાવતું કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) દોરો.
3. R કેન્દ્ર લઈ R બિંદુએ કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને \(60^\circ\) માપનો ખૂણો બનાવતું કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{RY}}\) દોરો.
4. કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{QX}}\) અને કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{RY}}\) જ્યાં છેદે તેને P કહો.
5. આમ, ∆PQR એ માગ્યા મુજબનો ત્રિકોણ છે.
In simple words: પહેલાં QR રેખા દોરો. પછી Q પર \(30^\circ\) અને R પર \(60^\circ\) નો ખૂણો બનાવો. જ્યાં બંને કિરણ મળે તે P બિંદુ છે.

Exam Tip: જ્યારે બે ખૂણા અને તેમની વચ્ચેની બાજુ આપેલી હોય ત્યારે (ASA શરત), ત્રિકોણ દોરવા માટે, પહેલા બાજુ દોરો, પછી બંને છેડે આપેલા ખૂણા બનાવો.

Question 3. ∆ABC માટે \(m\angle A = 70^\circ\), \(m\angle B = 50^\circ\) અને \(AC = 3\) સેમી.
Answer: સૌ પ્રથમ, આપણે ∆ABC માં ખૂણા C નું માપ શોધીશું. ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,
\(m\angle C = 180^\circ - (m\angle A + m\angle B)\)
\( = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ)\)
\( = 180^\circ - 120^\circ\)
\( = 60^\circ\)
હવે, આપણે \(AC = 3\) સેમી, \(m\angle A = 70^\circ\) અને \(m\angle C = 60^\circ\) નો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની રચના કરીશું.
**રચનાના મુદ્દા:**
1. 3 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AC દોરો.
2. A કેન્દ્ર લઈ A બિંદુએ કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને \(70^\circ\)નો ખૂણો બનાવતું કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) દોરો.
3. C કેન્દ્ર લઈ C બિંદુએ કોણમાપકનો ઉપયોગ કરીને \(60^\circ\)નો ખૂણો બનાવતું કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{CY}}\) દોરો.
4. કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{AX}}\) અને કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{CY}}\) જ્યાં છેદે તેને B કહો.
5. આમ, ∆ABC એ માગ્યા મુજબનો ત્રિકોણ છે.
In simple words: પહેલા ખૂણો C શોધો. પછી AC રેખા દોરો. A પર \(70^\circ\) અને C પર \(60^\circ\) નો ખૂણો બનાવો. જ્યાં બંને કિરણ મળે તે B બિંદુ છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને બે ખૂણા અને એક બિન-સમાવિષ્ટ બાજુ આપેલી હોય, ત્યારે પહેલાં ત્રીજો ખૂણો શોધો જેથી ASA શરત લાગુ પડી શકે.

Question 4. ∆LMN માટે \(m\angle L = 60^\circ\), \(m\angle N = 120^\circ\) અને \(LM = 5\) સેમી.
Answer: અહીં ∆LMNમાં \(m\angle L = 60^\circ\), \(m\angle N = 120^\circ\) અને \(LM = 5\) સેમી આપેલું છે. ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો \(180^\circ\) થાય છે. ∆LMN માં આપણે \(m\angle L + m\angle M + m\angle N = 180^\circ\). હવે, જો આપણે આપેલા ખૂણાઓનો સરવાળો કરીએ તો, \(m\angle L + m\angle N = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ\). આથી, \(180^\circ + m\angle M = 180^\circ\), જેનો અર્થ થાય કે \(m\angle M = 0^\circ\). ત્રિકોણનો એક ખૂણો \(0^\circ\) હોઈ શકે નહીં. તેથી, આવાં માપનો ત્રિકોણ હોઈ શકતો નથી. આથી ∆LMN રચી શકાય નહીં.
In simple words: જો બે ખૂણાનો સરવાળો \(180^\circ\) હોય, તો ત્રીજો ખૂણો \(0^\circ\) થાય છે, જે ત્રિકોણ માટે શક્ય નથી.

Exam Tip: હંમેશાં તપાસો કે આપેલા ખૂણાઓનો સરવાળો \(180^\circ\) કરતાં ઓછો છે કે નહીં. જો સરવાળો \(180^\circ\) અથવા તેનાથી વધારે હોય, તો ત્રિકોણ અસ્તિત્વમાં નથી.

Question 5. ∆ABC માટે \(BC = 2\) સેમી, \(AB = 4\) સેમી અને \(AC = 2\) સેમી.
Answer: અહીં, \(BC = 2\) સેમી, \(AB = 4\) સેમી અને \(AC = 2\) સેમી આપેલું છે. ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ, કોઈપણ બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધારે હોવો જોઈએ. અહીં, આપણે જોઈએ તો \(BC + AC = 2\) સેમી \(+ 2\) સેમી \( = 4\) સેમી. આ સરવાળો \(AB = 4\) સેમી જેટલો છે, વધારે નથી. તેથી, આવાં માપનો ત્રિકોણ હોઈ શકતો નથી. આથી ∆ABC રચી શકાય નહીં.
In simple words: બે બાજુનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ જેટલો જ હોય તો તે ત્રિકોણ નથી બનતો, કારણ કે ત્રિકોણ બનવા માટે તે સરવાળો મોટો હોવો જોઈએ.

Exam Tip: 'ત્રિકોણ અસમાનતા' ગુણધર્મ ચકાસવાનું ભૂલશો નહીં: કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો હંમેશાં ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોવો જોઈએ.

Question 6. ∆PQR માટે \(PQ = 3.5\) સેમી, \(QR = 4\) સેમી અને \(PR = 3.5\) સેમી.
Answer: આપણે \(PQ = 3.5\) સેમી, \(QR = 4\) સેમી અને \(PR = 3.5\) સેમી બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને ∆PQR ની રચના કરીશું.
**રચનાના મુદ્દા:**
1. 3.5 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ PQ દોરો.
2. P ને કેન્દ્ર ગણી 3.5 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો.
3. Q ને કેન્દ્ર ગણી 4 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો જે અગાઉના ચાપને છેદે.
4. બંને ચાપનાં છેદબિંદુને R કહો.
5. રેખાખંડ RP અને રેખાખંડ RQ દોરો.
6. આમ, ∆PQR એ માગ્યા મુજબનો ત્રિકોણ છે.
In simple words: પહેલાં PQ રેખા દોરો. પછી P અને Q ને કેન્દ્ર ગણી ચાપ દોરો. જ્યાં ચાપ મળે તે R બિંદુ છે.

Exam Tip: જ્યારે ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓના માપ આપેલા હોય (SSS શરત), ત્યારે સૌ પ્રથમ સૌથી લાંબી બાજુ દોરવી અને પછી ચાપ દોરવા વધુ સરળ બને છે.

Question 7. ∆XYZ માટે \(XY = 3\) સેમી, \(YZ = 4\) સેમી અને \(XZ = 5\) સેમી.
Answer: આપણે \(XY = 3\) સેમી, \(YZ = 4\) સેમી અને \(XZ = 5\) સેમી બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને ∆XYZ ની રચના કરીશું.
**રચનાના મુદ્દા:**
1. 4 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ YZ દોરો.
2. Y ને કેન્દ્ર ગણી 3 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો.
3. Z ને કેન્દ્ર ગણી 5 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો જે અગાઉના ચાપને છેદે.
4. બંને ચાપનાં છેદબિંદુને X કહો.
5. રેખાખંડ XY અને રેખાખંડ XZ દોરો.
6. આમ, ∆XYZ એ માગ્યા મુજબનો ત્રિકોણ છે.
In simple words: પહેલાં YZ રેખા દોરો. પછી Y અને Z ને કેન્દ્ર ગણી ચાપ દોરો. જ્યાં ચાપ મળે તે X બિંદુ છે.

Exam Tip: SSS રચનામાં, હંમેશાં સૌથી લાંબી બાજુને આધાર તરીકે દોરવાથી આકૃતિ વધુ સંતુલિત દેખાય છે અને ભૂલ થવાની સંભાવના ઘટે છે.

Question 8. ∆DEF માટે \(DE = 4.5\) સેમી, \(EF = 5.5\) સેમી અને \(DF = 4\) સેમી.
Answer: આપણે \(DE = 4.5\) સેમી, \(EF = 5.5\) સેમી અને \(DF = 4\) સેમી બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને ∆DEF ની રચના કરીશું.
**રચનાના મુદ્દા:**
1. 5.5 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ EF દોરો.
2. E ને કેન્દ્ર ગણી 4.5 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો.
3. F ને કેન્દ્ર ગણી 4 સેમી ત્રિજ્યાનો એક ચાપ દોરો જે અગાઉના ચાપને છેદે.
4. બંને ચાપનાં છેદબિંદુને D કહો.
5. રેખાખંડ \(\overline{\mathrm{DE}}\) અને રેખાખંડ \(\overline{\mathrm{DF}}\) દોરો.
6. આમ, ∆DEF એ માગ્યા મુજબનો ત્રિકોણ છે.
In simple words: પહેલાં EF રેખા દોરો. પછી E અને F ને કેન્દ્ર ગણી ચાપ દોરો. જ્યાં ચાપ મળે તે D બિંદુ છે.

Exam Tip: રચનાના દરેક પગલાંને સ્પષ્ટ રીતે લખો અને માપનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો. ચોકસાઈ માટે પરિકર અને સ્કેલનો કાળજીપૂર્વક ઉપયોગ કરો.