GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 1 પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ InText Questions

પ્રયત્ન કરો

Question 1. નીચે દર્શાવી છે. -3 અને -2ને ક્રમશઃ E અને F પર અંકિત કરવામાં આવેલ છે. કઈ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ B, D, H, J, J, M અને O વડે દર્શાવાશે?
Answer: આપણે સંખ્યા રેખા પૂર્ણ કરીએ, જેથી આપેલા અંગ્રેજી અક્ષરો સાથે સંગત પૂર્ણ સંખ્યાઓ સ્પષ્ટ થાય છે. સંખ્યા રેખા ઉપર મને સંગત -3 અને Fને સંગત -2 આપેલ છે.

Bને સંગત પૂર્ણાંક \( = -6 \)
Dને સંગત પૂર્ણાંક \( = -4 \)
Hને સંગત પૂર્ણાંક \( = 0 \)
Jને સંગત પૂર્ણાંક \( = 2 \)
Mને સંગત પૂર્ણાંક \( = 5 \)
Oને સંગત પૂર્ણાંક \( = 7 \)
In simple words: First, we complete the number line. Then, we find the integers that match the letters B, D, H, J, M, and O by looking at their positions on the line.

Exam Tip: For number line questions, make sure to accurately mark the given points and then correctly identify the values corresponding to other labeled points.

Question 2. 7, -5, 4, 6 અને -4ને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવી તેને સંખ્યારેખા પર દર્શાવીને તમારો જવાબ ચકાસો.
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક ધન પૂર્ણાંક 0 કરતાં મોટો હોય અને દરેક ઋણ પૂર્ણાંક 0 કરતાં નાનો હોય.
\( \therefore -5 < (-4) < 0 < 4 < 7 \)
આમ, માગ્યા મુજબ પૂર્ણાકો ચડતા ક્રમમાં: \( -5, -4, 0, 4, 7 \)
આ પૂર્ણાકો સંખ્યા રેખા ઉપર દર્શાવીએ.

આપેલા પૂર્ણાકો સંખ્યા રેખા ઉપર દર્શાવતાં ચડતો ક્રમ \( -5, -4, 0, 4, 7 \) છે. આ સંખ્યા રેખા ઉપરનો દરેક જમણી બાજુનો પૂર્ણાક તેની ડાબી બાજુના પૂર્ણાક કરતાં મોટો છે અને દરેક ડાબી બાજુનો પૂર્ણાક તેની જમણી બાજુના પૂર્ણાક કરતાં નાનો છે.
In simple words: We organize the numbers from smallest to largest. Then we show them on a number line to check our answer. On the number line, numbers get bigger as you move to the right.

Exam Tip: Always remember that negative numbers decrease in value as their absolute value increases (e.g., -5 is smaller than -4), and positive numbers increase in value as their magnitude increases.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 3)

Question 1. અગાઉના વર્ગમાં આપણે સંખ્યાઓ સાથે વિવિધ પૅટર્નના દાખલાઓ કર્યા છે. શું તમે નીચે આપેલ પ્રત્યેક માટે કઈ પૅટર્ન લાગુ પડે છે એ ઓળખી શકો છો? જો હા, તો નીચેની ખાલી જગ્યા પૂર્ણ કરો:
(a) \( 7, 3, -1, -5, \underline{-9, -13, -17} \)
(b) \( -2, -4, -6, -8, \underline{-10, -12, -14} \)
(c) \( 15, 10, 5, 0, \underline{-5, -10, -15} \)
(d) \( -11, -8, -5, -2, \underline{1, 4, 7} \)
Answer:
(a) અહીં બીજી સંખ્યા – પહેલી સંખ્યા \( = 3 – 7 = -4 \);
ત્રીજી સંખ્યા – બીજી સંખ્યા \( = -1 – 3 = -4 \);
ચોથી સંખ્યા – ત્રીજી સંખ્યા \( = -5 – (-1) = -5 + 1 = -4 \);
આ રીતે દરેક ક્રમિક બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત \( -4 \) છે.
So, \( 7 + (-4) = 7 – 4 = 3 \);
\( 3 + (-4) = 3 – 4 = -1 \);
\( -1 + (-4) = -5 \);
\( -5 + (-4) = -5 – 4 = -9 \);
\( -9 + (-4) = -9 – 4 = -13 \) અને
\( -13 + (-4) = -13 – 4 = -17 \)
આમ, આ પૅટર્ન \( 7, 3, -1, -5, -9, -13, -17, ... \).

(b) આપણને આપેલ પૅટર્ન:
\( -2, -4, -6, -8, \underline{-10, -12, -14} \)
દરેક ક્રમિક બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત \( -2 \) છે.
So, \( -2 + (-2) = -2 – 2 = -4 \);
\( -4 + (-2) = -4 – 2 = -6 \);
\( -6 + (-2) = -6 – 2 = -8 \);
\( -8 + (-2) = -8 – 2 = -10 \);
\( -10 + (-2) = -10 – 2 = -12 \) અને
\( -12 + (-2) = -12 – 2 = -14 \)
આમ, આ પૅટર્ન: \( -2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, ... \).

(c) આપણને આપેલ પૅટર્ન:
\( 15, 10, 5, 0, \underline{-5, -10, -15} \)
દરેક ક્રમિક બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત \( -5 \) છે.
So, \( 15 + (-5) = 15 – 5 = 10 \);
\( 10 + (-5) = 10 – 5 = 5 \);
\( 5 + (-5) = 5 – 5 = 0 \);
\( 0 + (-5) = 0 – 5 = -5 \);
\( -5 + (-5) = -5 – 5 = -10 \) અને
\( -10 + (-5) = -10 – 5 = -15 \)
આમ, આ પૅટર્ન : \( 15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, .... \).

(d) આપણને આપેલ પૅટર્ન:
\( -11, -8, -5, -2, \underline{1, 4, 7} \)
દરેક ક્રમિક બે સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત \( 3 \) છે.
So, \( -11 + 3 = -8 \); \( -8 + 3 = -5 \);
\( -5 + 3 = -2 \); \( -2 + 3 = 1 \);
\( 1 + 3 = 4 \) અને \( 4 + 3 = 7 \)
આમ, આ પૅટર્ન : \( -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, ... \).

અન્ય પૅટર્નઃ (જવાબ મિત્ર મેળવશે.)
(1) \( 6, 3, 0, -3, -6, \underline{-9, -12, -15} \)
(2) \( 4, 0, -4, -8, -12, \underline{-16, -20, -24} \)
(3) \( 7, 2, -3, -8, -13, \underline{-18, -23, -28} \)
(4) \( -14, -10, -6, -2, 2, \underline{6, 10, 14} \)
In simple words: For each pattern, we find the difference between consecutive numbers. This helps us to figure out the rule, which is either adding a positive or negative number, and then we fill in the missing numbers.

Exam Tip: When identifying patterns, first look for common differences or ratios between consecutive terms. This is a crucial step to correctly extend the series.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 8)

Question 1. પૂર્ણાંક સંખ્યાની એવી જોડી બનાવો કે જેનો સરવાળો નીચે મુજબ થાયઃ
(a) ઋણ પૂર્ણાક હોય
(b) શૂન્ય હોય
(c) બંને પૂર્ણાંક સંખ્યા કરતાં નાનો પૂર્ણાક હોય
(d) માત્ર એક પૂર્ણાંક સંખ્યા કરતાં નાનો પૂર્ણાક હોય
(e) બંને પૂર્ણાંક સંખ્યા કરતાં મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય
Answer: (નોંધઃ અહીં અસંખ્ય જવાબો લખી શકાય.)
(a) \( (-10) \) અને \( 5 \)
સરવાળો: \( (-10) + 5 = (-5) \) (જુઓ સરવાળો ઋણ પૂર્ણાક છે.)

(b) \( (-15) \) અને \( 15 \)
સરવાળો: \( (-15) + 15 = 0 \) (જુઓ સરવાળો \( 0 \) છે.)

(c) \( (-8) \) અને \( (-6) \)
સરવાળો: \( (-8) + (-6) = (-14) \)
[જુઓ \( (-14) \) એ \( (-8) \) અને \( (-6) \) કરતાં નાનો પૂર્ણાક છે.]

(d) \( 7 \) અને \( (-9) \)
સરવાળો: \( 7 + (-9) = (-2) \)
[જુઓ \( (-2) \) એ ફક્ત \( 7 \) કરતાં નાનો પૂર્ણાક છે.]

(e) \( 10 \) અને \( 20 \)
સરવાળો: \( 10 + 20 = 30 \)
(જુઓ \( 30 \) એ \( 10 \) અને \( 20 \) બંનેથી મોટો પૂર્ણાક છે.)
In simple words: We need to find pairs of integers whose sum matches certain conditions. For a negative sum, one number must be larger and negative. For a zero sum, they must be opposites. For a sum smaller than both, both numbers must be negative. For a sum smaller than one, one number is negative, making the sum smaller than the positive number. For a sum larger than both, both numbers should be positive.

Exam Tip: Remember that when adding integers with different signs, the sum takes the sign of the number with the larger absolute value. When adding integers with the same sign, the sum keeps that sign.

Question 2. પૂર્ણાંક સંખ્યાની એવી જોડી લખો, જેનો તફાવત નીચે મુજબ થાય:
(a) ઋણ પૂર્ણાક હોય
(b) શૂન્ય હોય
(c) બંને પૂર્ણાંક સંખ્યા કરતાં નાનો પૂર્ણાક હોય
(d) માત્ર એક પૂર્ણાંક સંખ્યા કરતાં નાનો પૂર્ણાક હોય
(e) બંને પૂર્ણાંક સંખ્યા કરતાં મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય
Answer: (નોંધઃ અહીં અસંખ્ય જવાબો લખી શકાય.)
(a) \( -10 \) અને \( 2 \).
તફાવત : \( -10 – 2 = -12 \) (જુઓ તફાવત ઋણ પૂર્ણાક છે.)

(b) \( -8 \) અને \( -8 \)
તફાવત : \( (-8) – (-8) = -8 + 8 = 0 \) (જુઓ તફાવત \( 0 \) છે.)

(c) \( 15 \) અને \( 19 \)
તફાવત : \( 19 – 15 = 4 \)
(જુઓ \( 4 \) એ \( 15 \) અને \( 19 \) બંનેથી નાનો પૂર્ણાક છે.)

(d) \( 14 \) અને \( 4 \)
તફાવતઃ \( 14 – 4 = 10 \) (જુઓ \( 10 \) એ \( 4 \) કરતાં મોટો પૂર્ણાક છે.)

(e) \( 18 \) અને \( -8 \)
તફાવત : \( 18 – (-8) = 18 + 8 = 26 \)
(જુઓ \( 26 \) એ \( 18 \) અને \( -8 \) બંનેથી મોટો પૂર્ણાક છે.)
In simple words: We need to find pairs of integers whose difference meets specific requirements. For a negative difference, the first number must be much smaller or the second number much larger. For a zero difference, the numbers must be identical. For a difference smaller than both, the numbers must be close and negative. For a difference smaller than only one, ensure subtraction moves it in that direction. For a difference larger than both, usually involves subtracting a negative from a positive.

Exam Tip: When finding differences, be careful with signs. Subtracting a negative number is equivalent to adding its positive counterpart (e.g., \( a - (-b) = a + b \)).

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 10)

Question 1. મદદથી શોધોઃ
(i) \( 4 \times (-8) \)
Answer: \( 4 \times (-8) \)

સંખ્યા રેખા પરથી સ્પષ્ટ છે કે –
\( (-8) + (-8) + (-8) + (-8) = (-32) \)
\( \implies 4 \times (-8) = (-32) \)
In simple words: When you multiply a positive number by a negative number, the answer is always negative. Here, we add -8 four times to get -32.

Exam Tip: Remember the rule of signs for multiplication: positive times negative always equals negative. Visualizing it on a number line helps understand repeated subtraction.

Question 1. (ii) \( 8 \times (-2) \)
Answer: \( 8 \times (-2) \)

સંખ્યા રેખા પરથી સ્પષ્ટ છે કે –
\( (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) \)
\( = (-16) \)
\( \implies 8 \times (-2) = (-16) \)
In simple words: Multiplying 8 by -2 means we add -2 eight times. This gives a total of -16, as shown by repeated jumps of -2 on the number line.

Exam Tip: Always remember that multiplying a positive integer by a negative integer results in a negative product. The number line helps visualize this concept as repeated movements to the left.

Question 1. (iii) \( 3 \times (-7) \)
Answer: \( 3 \times (-7) \)

સંખ્યા રેખા પરથી સ્પષ્ટ છે કે –
\( (-7) + (-7) + (-7) = (-21) \)
\( \implies 3 \times (-7) = (-21) \)
In simple words: When we multiply 3 by -7, it means adding -7 three times. This results in -21, which we can see by making three steps of -7 on the number line.

Exam Tip: Multiplying a positive and a negative integer always results in a negative product. The number line provides a helpful visual for understanding repeated addition or subtraction.

Question 1. (iv) \( 10 \times (-1) \)
Answer: \( 10 \times (-1) \)

સંખ્યા રેખા પરથી સ્પષ્ટ છે કે –
\( (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = (-10) \)
\( \implies 10 \times (-1) = (-10) \)
In simple words: Multiplying 10 by -1 means taking ten steps of -1 each, starting from zero. This leads to the answer -10 on the number line.

Exam Tip: Any number multiplied by 1 remains the same, but if one of the numbers is negative, the product becomes negative. Think of it as scaling the negative value.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 10)

Question 2. શોધો:
(i) \( 6 \times (-19) \)
Answer: \( 6 \times (-19) \)
\( = -(6 \times 19) \)
\( = -(114) \)
\( = (-114) \)
In simple words: To multiply 6 by -19, first multiply the numbers without their signs, which is 6 times 19 equals 114. Then, because one number is positive and the other is negative, the final answer will be negative, so it's -114.

Exam Tip: When multiplying numbers with different signs (one positive, one negative), the product is always negative. When both numbers have the same sign (both positive or both negative), the product is always positive.

Question 2. (ii) \( 12 \times (-32) \)
Answer: \( 12 \times (-32) \)
\( = -(12 \times 32) \)
\( = -(384) \)
\( = (-384) \)
In simple words: To calculate 12 multiplied by -32, first multiply 12 by 32, which results in 384. Since one number is positive and the other is negative, the final product will be negative, making the answer -384.

Exam Tip: Always perform the multiplication of the absolute values first, then determine the sign of the product based on the signs of the original numbers. A positive times a negative always yields a negative.

Question 2. (iii) \( 7 \times (-22) \)
Answer: \( 7 \times (-22) \)
\( = -(7 \times 22) \)
\( = -(154) \)
\( = (-154) \)
In simple words: To multiply 7 by -22, we first multiply 7 by 22, which gives 154. Because we are multiplying a positive number by a negative number, the result will be negative, so the answer is -154.

Exam Tip: The product of an odd number of negative integers is negative, and the product of an even number of negative integers is positive. If only one integer is negative, the product is negative.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 10)

Question 3. શોધો:
(a) \( 15 \times (-16) \)
Answer: \( 15 \times (-16) \)
\( = -(15 \times 16) \)
\( = -(240) \)
\( = (-240) \)
In simple words: When multiplying 15 by -16, first calculate 15 multiplied by 16, which is 240. Since one number is positive and the other is negative, the final result will be negative, giving us -240.

Exam Tip: A simple rule to remember is "like signs, positive product; unlike signs, negative product." Here, you have unlike signs, so the product is negative.

Question 3. (b) \( 21 \times (-32) \)
Answer: \( 21 \times (-32) \)
\( = -(21 \times 32) \)
\( = -(672) \)
\( = (-672) \)
In simple words: To find the product of 21 and -32, first multiply 21 by 32, which gives 672. Since one number is positive and the other is negative, the answer will be -672.

Exam Tip: Remember to carry over any tens or hundreds correctly when performing long multiplication, as mistakes in these steps can lead to an incorrect final product.

Question 3. (c) \( (-42) \times 12 \)
Answer: \( (-42) \times 12 \)
\( = -(42 \times 12) \)
\( = -(504) \)
\( = (-504) \)
In simple words: To multiply -42 by 12, first multiply their absolute values, 42 by 12, which equals 504. Since one number is negative and the other is positive, the final answer will be -504.

Exam Tip: The order of multiplication does not affect the product (commutative property), so \( (-a) \times b \) is the same as \( b \times (-a) \). The sign rule remains constant.

Question 3. (d) \( (-55) \times 15 \)
Answer: \( (-55) \times 15 \)
\( = -(55 \times 15) \)
\( = -(825) \)
\( = (-825) \)
In simple words: To multiply -55 by 15, we first multiply 55 by 15, which results in 825. Because one number is negative and the other is positive, the final answer will be -825.

Exam Tip: Estimating the answer before calculating can help catch errors. For example, \( -55 \times 15 \) is roughly \( -50 \times 15 = -750 \) or \( -60 \times 15 = -900 \), so \( -825 \) is in the correct range.

Question 4. ચકાસોઃ
(a) \( 25 \times (-21) = (-25) \times 21 \)
(b) \( (-23) \times 20 = 23 \times (-20) \)
આવાં અન્ય પાંચ ઉદાહરણો લખો.
Answer:
(a) \( 25 \times (-21) = (-25) \times 21 \)
ડા.બા. \( = 25 \times (-21) = -(25 \times 21) = -(525) = (-525) \)
જ.બા. \( = (-25) \times 21 = -(25 \times 21) = -(525) = (-525) \)
\( \therefore \) ડા.બા. \( = \) જ.બા.
\( \therefore 25 \times (-21) = (-25) \times 21 \) સાચું છે.

(b) \( (-23) \times 20 = 23 \times (-20) \)
ડા.બા. \( = (-23) \times 20 = -(23 \times 20) = -(460) = (-460) \)
જ.બા. \( = 23 \times (-20) = -(23 \times 20) = -(460) = (-460) \)
\( \therefore \) ડા.બા. \( = \) જ.બા.
\( \therefore (-23) \times 20 = 23 \times (-20) \) સાચું છે.

માગ્યા મુજબનાં ઉપરનાં જેવાં બીજાં પાંચ ઉદાહરણોઃ
(i) \( (-5) \times 6 = 5 \times (-6) \)
(ii) \( (-10) \times 15 = 10 \times (-15) \)
(iii) \( (-8) \times 7 = 8 \times (-7) \)
(iv) \( 9 \times (-4) = (-9) \times 4 \)
(v) \( 16 \times (-5) = (-16) \times 5 \)
In simple words: We check if the equations are true by calculating both sides. For products involving one positive and one negative integer, swapping the negative sign to the other integer keeps the result the same because the total product remains negative. We show examples of this rule.

Exam Tip: This property is a variation of the commutative property of multiplication. It shows that \( a \times (-b) = -(a \times b) = (-a) \times b \). Always work out both sides of the equation to prove equality.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 12)

Question 5. (i) \( (-5) \times 4 \)થી શરૂ કરીને \( (-5) \times (-6) \) શોધો.
Answer: નીચેની ગોઠવણ જુઓઃ
\( (-5) \times 4 = -(5 \times 4) = (-20) \)
\( (-5) \times 3 = -(5 \times 3) = (-15) = -20 + 5 \)
\( (-5) \times 2 = -(5 \times 2) = (-10) = -15 + 5 \)
\( (-5) \times 1 = -(5 \times 1) = (-5) = -10 + 5 \)
\( (-5) \times 0 = -(5 \times 0) = 0 = -5 + 5 \)
આ ગોઠવણ ઉપરથી,
\( (-5) \times (-1) = 0 + 5 = 5 \)
\( (-5) \times (-2) = 5 + 5 = 10 \)
\( (-5) \times (-3) = 10 + 5 = 15 \)
\( (-5) \times (-4) = 15 + 5 = 20 \)
\( (-5) \times (-5) = 20 + 5 = 25 \)
\( (-5) \times (-6) = 25 + 5 = 30 \)
આમ, \( (-5) \times (-6) = 30 \).
In simple words: We start multiplying -5 by positive numbers and see a pattern where the answer increases by 5 each time. We continue this pattern past zero and into negative numbers to find that -5 times -6 is 30.

Exam Tip: This method demonstrates why multiplying two negative numbers results in a positive number. Recognizing and extending patterns is a key skill in mathematics.

Question 5. (ii) \( (-6) \times 3 \)થી શરૂ કરીને \( (-6) \times (-7) \) શોધો.
Answer: નીચેની ગોઠવણ જુઓ:
\( (-6) \times 3 = -(6 \times 3) = (-18) \)
\( (-6) \times 2 = (-12) = -18 + 6 \)
\( (-6) \times 1 = (-6) = -12 + 6 \)
\( (-6) \times 0 = 0 = -6 + 6 \)
આ ગોઠવણ ઉપરથી,
\( (-6) \times (-1) = 0 + 6 = 6 \)
\( (-6) \times (-2) = 6 + 6 = 12 \)
\( (-6) \times (-3) = 12 + 6 = 18 \)
\( (-6) \times (-4) = 18 + 6 = 24 \)
\( (-6) \times (-5) = 24 + 6 = 30 \)
\( (-6) \times (-6) = 30 + 6 = 36 \)
\( (-6) \times (-7) = 36 + 6 = 42 \)
આમ, \( (-6) \times (-7) = 42 \).
In simple words: We begin by multiplying -6 by positive numbers, observing that each step adds 6 to the previous result. Continuing this pattern through zero and into negative multipliers shows that multiplying -6 by -7 gives a positive result of 42.

Exam Tip: This pattern reinforces the rule that the product of two negative integers is always a positive integer. Understanding this progression from positive to negative multipliers is important.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 12)

Question 6. શોધો:
(i) \( (-31) \times (-100) \)
Answer: બે ઋણ પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર કરતી વખતે બંનેને ધન પૂર્ણાક ગણી ગુણાકાર કરીને ગુણાકાર આગળ \( + \) નિશાની મુકાય છે.
\( (-31) \times (-100) \)
\( = +(31 \times 100) \)
\( = +(3100) \)
\( = 3100 \)
In simple words: To multiply two negative numbers, we first multiply their positive versions. Then, we put a plus sign in front of the answer because multiplying two negative numbers always gives a positive result. So, -31 times -100 is 3100.

Exam Tip: When multiplying, remember that two negative signs cancel each other out, resulting in a positive product. This is a fundamental rule for operations with integers.

Question 6. (ii) \( (-25) \times (-72) \)
Answer: \( (-25) \times (-72) \)
\( = +(25 \times 72) \)
\( = +(1800) \)
\( = 1800 \)
In simple words: When multiplying -25 by -72, we first multiply 25 by 72, which equals 1800. Since both numbers are negative, the final product will be positive, so the answer is 1800.

Exam Tip: Practice mental math or quick estimation for multiplication to speed up calculations. For example, \( 25 \times 72 = 25 \times (70 + 2) = 1750 + 50 = 1800 \).

Question 6. (iii) \( (-83) \times (-28) \)
Answer: \( (-83) \times (-28) \)
\( = +(83 \times 28) \)
\( = +(2324) \)
\( = 2324 \)
In simple words: To find the product of -83 and -28, we multiply 83 by 28, which results in 2324. Since both original numbers are negative, their product will be positive, making the answer 2324.

Exam Tip: Remember that two negatives multiplied together always make a positive. Break down larger multiplications (e.g., \( 83 \times 28 = 83 \times (20 + 8) \)) to simplify the process and avoid errors.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 14-15)

Question 7. (i) \( (-9) \times (-5) \times (-6) \times (-3) \)નો જવાબ ઘન છે જ્યારે \( (-9) \times (-5) \times 6 \times (-3) \)નો જવાબ ઋણ છે. શા માટે?
Answer: \( (-9) \times (-5) \times (-6) \times (-3) \)માં ચાર ઋણ પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર છે. અહીં, ઋણ પૂર્ણાકોની સંખ્યા બેકી છે તેથી ગુણાકાર ધન મળે.
\( (-9) \times (-5) \times 6 \times (-3) \)માં ત્રણ ઋણ પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર છે. અહીં, ઋણ પૂર્ણાકોની સંખ્યા એકી છે તેથી ગુણાકાર ઋણ મળે.
In simple words: The sign of a product depends on the count of negative numbers. If there's an even count of negative numbers, the product is positive. If there's an odd count of negative numbers, the product is negative.

Exam Tip: Always count the number of negative signs in a multiplication expression. An even count (0, 2, 4...) gives a positive product, while an odd count (1, 3, 5...) gives a negative product.

Question 7. (ii) આપેલી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતાં મળતા જવાબનું ચિહ્ન શું થશે?
(a) 8 ઋણ પૂર્ણાકો અને 3 ધન પૂર્ણાકો
(b) 5 ઋણ પૂર્ણાકો અને 4 ધન પૂર્ણાકો
(c) \( (-1) \), બાર વખત
(d) \( (-1) \), \( 2m \) વખત, જ્યાં \( m \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
Answer:
(a) 8 ઋણ પૂર્ણાકો અને 3 ધન પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર ધન મળે.
\( \therefore \) 8 ઋણ પૂર્ણાકો બેકી સંખ્યામાં છે.

(b) 5 ઋણ પૂર્ણાકો અને 4 ધન પૂર્ણાકોનો ગુણાકાર ઋણ મળે.
\( \therefore \) 5 ઋણ પૂર્ણાકો એકી સંખ્યામાં છે.

(c) \( (-1) \)નો બાર વખત ગુણાકાર ધન મળે.
\( \therefore (-1) \)નો બાર વખત ગુણાકાર એટલે કે બેકી સંખ્યામાં ગુણાકાર છે.

(d) \( (-1) \)નો \( 2m \) વખત ગુણાકાર ધન મળે. (\( m \) પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.)
\( \therefore (-1) \)નો \( 2m \) વખત ગુણાકાર એટલે કે બેકી વખત ગુણાકાર છે.
In simple words: When multiplying numbers, only the count of negative numbers affects the final sign. If there's an even number of negatives, the result is positive. If there's an odd number of negatives, the result is negative. Positive numbers don't change the sign.

Exam Tip: The number of positive factors does not influence the sign of the product; only the number of negative factors matters. An even count of negative factors yields a positive product, while an odd count yields a negative product.

પાઠ્યપુસ્તકમાંથી (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 15)

Question 8. 1. નીચેનું કોષ્ટક ધ્યાનપૂર્વક જુઓ અને તેને પૂર્ણ કરોઃ

Exam Tip: Remember that the product of any two integers (positive, negative, or zero) is always an integer. Pay close attention to the signs when performing the multiplication.

Question 9. 2. નીચેનું કોષ્ટક ધ્યાનપૂર્વક જુઓ અને તેને પૂર્ણ કરો:

Exam Tip: This table demonstrates the commutative property of multiplication, which states that for any two integers \( a \) and \( b \), \( a \times b = b \times a \). This property holds true for positive, negative, and zero integers.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 18)

Question 10. (i) શું \( 10 \times [6 + (-2)] = 10 \times 6+ 10 \times (-2) \)?
Answer: જુઓઃ \( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \) (વિભાજનનો ગુણધર્મ)
ડા.બા. \( = 10 \times [6 + (-2)] \)
\( = 10 \times [6-2] \)
\( = 10 \times 4 = 40 \)
જ.બા. \( = 10 \times 6 + 10 \times (-2) \)
\( = 60 + (-20) \)
\( = 60 - 20 = 40 \)
\( \therefore \) ડા.બા. \( = \) જ.બા.
\( \therefore 10 \times [6 + (-2)] = 10 \times 6 + 10 \times (-2) \)
જે સાચું છે.
In simple words: We are checking if the distributive property holds true. We calculate both sides of the equation separately. Since both sides give the same answer, the equation is correct, confirming the property.

Exam Tip: The distributive property \( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \) is fundamental. Always perform operations inside brackets first on the left side, and individual multiplications before addition on the right side.

Question 10. (ii) શું \( (-15) \times [(-7) + (-1)] = (-15) \times (-7) + (-15) \times (-1) \)?
Answer: ડા.બા. \( = (-15) \times [(-7) + (-1)] = (-15) \times [-7-1] \)
\( = (-15) \times (-8) = +(120) = 120 \)
જ.બા. \( = (-15) \times (-7) + (-15) \times (-1) = +(105) + 15 \)
\( = 120 \)
\( \therefore \) ડા.બા. \( = \) જ.બા.
\( \therefore (-15) \times [(-7) + (-1)] = (-15) \times (-7) + (-15) \times (-1) \)
જે સાચું છે.
In simple words: We are verifying the distributive property for negative integers. We calculate the left side by adding inside the bracket first, then multiplying. For the right side, we multiply each term separately, then add the results. Since both sides are equal, the property is confirmed.

Exam Tip: Be careful with the signs when dealing with negative numbers. Remember that adding two negative numbers results in a larger negative number, and multiplying two negative numbers results in a positive number.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 18)

Question 11. (i) શું \( 10 \times [6 – (-2)] = 10 \times 6 – 10 \times (-2) \)?
Answer: જુઓઃ \( a \times (b – c) = a \times b – a \times c \) (વિભાજનનો ગુણધર્મ)
ડા.બા. \( = 10 \times [6 – (-2)] = 10 \times [6 + 2] = 10 \times 8 = 80 \)
જ.બા. \( = 10 \times 6 – 10 \times (-2) = 60 + (10 \times 2) \)
\( = 60 + 20 = 80 \)
\( \therefore \) ડા.બા. \( = \) જ.બા.
\( \therefore 10 \times [6 – (-2)] = 10 \times 6 – 10 \times (-2) \)
જે સાચું છે.
In simple words: We are checking the distributive property for subtraction. The left side involves subtracting a negative number, which becomes addition, then multiplying. The right side involves two multiplications and then subtraction. Both sides are equal, so the property is correct.

Exam Tip: The distributive property also applies to subtraction: \( a \times (b - c) = a \times b - a \times c \). Remember that subtracting a negative number is equivalent to adding its positive counterpart.

Question 11. (ii) શું \( (-15) \times [(-7) - (-1)] = (-15) \times (-7) - (-15) \times (-1) \)?
Answer: ડા.બા. \( = (-15) \times [(-7) - (-1)] = (-15) \times (-7 + 1) \)
\( = (-15) \times (-6) = +(15 \times 6) = 90 \)
જ.બા. \( = (-15) \times (-7) - (-15) \times (-1) \)
\( = +(105) - (15) \)
\( = 105 - 15 = 90 \)
\( \therefore \) ડા.બા. \( = \) જ.બા.
\( \therefore (-15) \times [(-7) - (-1)] = (-15) \times (-7) - (-15) \times (-1) \)
જે સાચું છે.
In simple words: We are checking another instance of the distributive property with negative numbers and subtraction. We simplify both sides of the equation. On the left, subtracting a negative number becomes addition inside the bracket. On the right, we multiply first, then subtract. Since both results are 90, the statement is true.

Exam Tip: Carefully handle the signs, especially when subtracting negative numbers. A common error is forgetting that \( -(-1) \) becomes \( +1 \), which can change the entire calculation.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 19)

વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શોધોઃ

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 14-15)

Question (i). \( (-9) \times (-5) \times (-6) \times (-3) \) નો જવાબ ધન છે જ્યારે \( (-9) \times (-5) \times 6 \times (-3) \) નો જવાબ ઋણ છે. શા માટે?
Answer: \( (-9) \times (-5) \times (-6) \times (-3) \) ના ગુણાકારમાં ચાર ઋણ પૂર્ણાંક છે. જ્યારે ઋણ પૂર્ણાંકની સંખ્યા જો બેકી હોય, તો ગુણાકાર ધન બને છે. \( (-9) \times (-5) \times 6 \times (-3) \) ના ગુણાકારમાં ત્રણ ઋણ પૂર્ણાંક છે. જ્યારે ઋણ પૂર્ણાંકની સંખ્યા જો એકી હોય, તો ગુણાકાર ઋણ બને છે.
In simple words: ગુણાકારમાં જેટલી ઋણ સંખ્યાઓ હોય, તેની ગણતરી કરો. જો તે સંખ્યા બેકી હોય (જેમ કે 2, 4, 6), તો જવાબ ધન આવશે. જો તે સંખ્યા એકી હોય (જેમ કે 1, 3, 5), તો જવાબ ઋણ આવશે.

Exam Tip: Always count the number of negative integers in a product. If it's an even count, the product is positive. If it's an odd count, the product is negative.

Question (ii). આપેલી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતાં મળતા જવાબનું ચિહ્ન શું થશે?
(a) 8 ઋણ પૂર્ણાકો અને 3 ધન પૂર્ણાકો
(b) 5 ઋણ પૂર્ણાકો અને 4 ધન પૂર્ણાકો
(c) \( (-1) \), બાર વખત
(d) \( (-1) \), \( 2m \) વખત, જ્યાં \( m \) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
Answer:
(a) 8 ઋણ પૂર્ણાંકો અને 3 ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર ધન મળે છે, કારણ કે 8 ઋણ પૂર્ણાંકો બેકી સંખ્યામાં છે.
(b) 5 ઋણ પૂર્ણાંકો અને 4 ધન પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર ઋણ મળે છે, કારણ કે 5 ઋણ પૂર્ણાંકો એકી સંખ્યામાં છે.
(c) \( (-1) \) નો બાર વખત ગુણાકાર ધન મળે છે, કારણ કે \( (-1) \) નો બાર વખત ગુણાકાર એટલે કે બેકી સંખ્યામાં ગુણાકાર થાય છે.
(d) \( (-1) \) નો \( 2m \) વખત ગુણાકાર ધન મળે છે (જ્યાં \( m \) પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે), કારણ કે \( (-1) \) નો \( 2m \) વખત ગુણાકાર એટલે કે બેકી વખત ગુણાકાર થાય છે.
In simple words: ગુણાકારમાં ઋણ સંખ્યાઓની સંખ્યા પર ધ્યાન આપો. જો ઋણ સંખ્યાઓની સંખ્યા બેકી હોય તો જવાબ ધન આવે, અને જો એકી હોય તો જવાબ ઋણ આવે. ધન સંખ્યાઓ ચિહ્નને અસર કરતી નથી.

Exam Tip: The sign of a product depends solely on the count of negative factors. An even count makes it positive, an odd count makes it negative.

પાઠ્યપુસ્તકમાંથી (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 15)

Question 1. નીચેનું કોષ્ટક ધ્યાનપૂર્વક જુઓ અને તેને પૂર્ણ કરોઃ
Answer:

Exam Tip: Remember the rules for multiplying integers: a negative times a positive is negative, a negative times a negative is positive, and a positive times a positive is positive.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 22)

Question. શોધો:
(a) \( (-100) \div 5 \)
(b) \( (-81) \div 9 \)
(c) \( (-75) \div 5 \)
(d) \( (-32) \div 2 \)
Answer: જ્યારે કોઈ ઋણ સંખ્યાને ધન સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે બંને સંખ્યાઓને ધન ગણીને ભાગાકાર કરાય છે. અને પછી મળેલા ભાગાકારની આગળ ઋણ ચિહ્ન \( (-) \) મૂકવામાં આવે છે.
(a) \( (-100) \div 5 \)
\( 100 \div 5 = 20 \)
\( \implies (-100) \div 5 = (-20) \)
(b) \( (-81) \div 9 \)
\( 81 \div 9 = 9 \)
\( \implies (-81) \div 9 = (-9) \)
(c) \( (-75) \div 5 \)
\( 75 \div 5 = 15 \)
\( \implies (-75) \div 5 = (-15) \)
(d) \( (-32) \div 2 \)
\( 32 \div 2 = 16 \)
\( \implies (-32) \div 2 = (-16) \)
In simple words: જ્યારે તમે એક ઋણ સંખ્યાને ધન સંખ્યા વડે ભાગો છો, ત્યારે પહેલાં બંને સંખ્યાઓને ધન ગણીને ભાગાકાર કરો. પછી, જવાબ હંમેશા ઋણ આવે છે.

Exam Tip: For division of negative by positive, the result is always negative. Remember to perform the division with the absolute values first.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 23)

Question. શોધો:
(a) \( 125 \div (-25) \)
(b) \( 80 \div (-5) \)
(c) \( 64 \div (-16) \)
Answer: જ્યારે કોઈ ધન સંખ્યાને ઋણ સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે બંને સંખ્યાઓને ધન ગણીને ભાગાકાર કરાય છે. અને પછી મળેલા ભાગાકારની આગળ ઋણ ચિહ્ન \( (-) \) મૂકવામાં આવે છે.
(a) \( 125 \div (-25) \)
\( 125 \div 25 = 5 \)
\( \implies 125 \div (-25) = (-5) \)
(b) \( 80 \div (-5) \)
\( 80 \div 5 = 16 \)
\( \implies 80 \div (-5) = (-16) \)
(c) \( 64 \div (-16) \)
\( 64 \div 16 = 4 \)
\( \implies 64 \div (-16) = (-4) \)
In simple words: જ્યારે તમે એક ધન સંખ્યાને ઋણ સંખ્યા વડે ભાગો છો, ત્યારે પહેલાં બંને સંખ્યાઓને ધન ગણીને ભાગાકાર કરો. પછી, જવાબ હંમેશા ઋણ આવે છે.

Exam Tip: When a positive number is divided by a negative number, the resulting quotient is always negative.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 23)

Question. શોધો:
(a) \( (-36) \div (-4) \)
(b) \( (-201) \div (-3) \)
(c) \( (-325) \div (-13) \)
Answer: જ્યારે કોઈ ઋણ સંખ્યાને બીજી ઋણ સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે બંને સંખ્યાઓને ધન ગણીને ભાગાકાર કરાય છે. અને પછી મળેલા ભાગાકારની આગળ ધન ચિહ્ન \( (+) \) મૂકવામાં આવે છે.
(a) \( (-36) \div (-4) \)
\( 36 \div 4 = 9 \)
\( \implies (-36) \div (-4) = +9 = 9 \)
(b) \( (-201) \div (-3) \)
\( 201 \div 3 = 67 \)
\( \implies (-201) \div (-3) = +67 = 67 \)
(c) \( (-325) \div (-13) \)
\( 325 \div 13 = 25 \)
\( \implies (-325) \div (-13) = +25 = 25 \)
In simple words: જ્યારે તમે એક ઋણ સંખ્યાને બીજી ઋણ સંખ્યા વડે ભાગો છો, ત્યારે પહેલાં બંને સંખ્યાઓને ધન ગણીને ભાગાકાર કરો. પછી, જવાબ હંમેશા ધન આવે છે.

Exam Tip: Division of a negative integer by another negative integer always yields a positive result.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 24)

Question. શોધો:
(i) \( 1 \div a = 1 \)?
(ii) કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા \( a \) માટે, \( a \div (-1) = -a \)?
\( a \) ની જુદી જુદી કિંમત લઈ ચકાસણી કરો.
Answer:
(i) \( 1 \div a = 1 \)?
અહીં, આપણે \( a \) માટે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, \( a = -2, -1, 1, 2, \dots \)
જ્યારે \( a = -2 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = 1 \div a = 1 \div (-2) = -0.5 \)
જમણી બાજુ \( = 1 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( \neq \) જમણી બાજુ.
જ્યારે \( a = -1 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = 1 \div a = 1 \div (-1) = -1 \)
જમણી બાજુ \( = 1 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( \neq \) જમણી બાજુ.
જ્યારે \( a = 1 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = 1 \div a = 1 \div 1 = 1 \)
જમણી બાજુ \( = 1 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
જ્યારે \( a = 2 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = 1 \div a = 1 \div 2 = 0.5 \)
જમણી બાજુ \( = 1 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( \neq \) જમણી બાજુ.
આમ, \( a = 1 \) કિંમત માટે જ \( 1 \div a = 1 \) એ સાચું છે. અન્ય કોઈ પણ કિંમતો માટે આ વિધાન સાચું નથી.

(ii) કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા \( a \) માટે, \( a \div (-1) = -a \)?
અહીં, આપણે \( a \) માટે અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, \( a = 1, 2, 3, \dots \)
જ્યારે \( a = 1 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = a \div (-1) = 1 \div (-1) = -1 \)
જમણી બાજુ \( = (-a) = -(1) = -1 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
જ્યારે \( a = 2 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = a \div (-1) = 2 \div (-1) = -2 \)
જમણી બાજુ \( = (-a) = -(2) = -2 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
જ્યારે \( a = 3 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = a \div (-1) = 3 \div (-1) = -3 \)
જમણી બાજુ \( = (-a) = -(3) = -3 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
હવે, ઋણ પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે લઈએ, જેમ કે \( a = -1, -2, -3, \dots \).
જ્યારે \( a = -1 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = a \div (-1) = (-1) \div (-1) = 1 \)
જમણી બાજુ \( = (-a) = -(-1) = 1 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
જ્યારે \( a = -2 \) લઈએ,
ડાબી બાજુ \( = a \div (-1) = (-2) \div (-1) = 2 \)
જમણી બાજુ \( = (-a) = -(-2) = 2 \)
\( \implies \) ડાબી બાજુ \( = \) જમણી બાજુ.
આમ, દરેક પૂર્ણાંક સંખ્યા \( a \) માટે, \( a \div (-1) = -a \) વિધાન સાચું છે.
In simple words: પહેલા પ્રશ્ન માટે, \( 1 \div a = 1 \) ફક્ત ત્યારે જ સાચું છે જ્યારે \( a \) ની કિંમત 1 હોય. અન્ય કોઈ સંખ્યા માટે તે સાચું નથી. બીજા પ્રશ્ન માટે, કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા \( a \) ને \( -1 \) વડે ભાગો, તો જવાબ હંમેશા \( -a \) આવે છે. આ નિયમ હંમેશા લાગુ પડે છે.

Exam Tip: Remember that division by 1 always returns the number itself, and division by -1 changes the sign of the number. Test with positive and negative integers to verify statements.