GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 7 અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ InText Questions

પ્રયત્ન કરો: [પાન નંબર 137]

Question 1. \( \frac{3}{5} \) ને સંખ્યારેખા પર બતાવો.
Answer: આપણે સમજીએ છીએ કે \( \frac{3}{5} \) એ 0 થી મોટી છે, જ્યારે 1 થી નાની છે. આ રીતે નક્કી થાય કે \( \frac{3}{5} \) એ 0 અને 1 ની વચ્ચે આવેલી છે. હવે, \( \frac{3}{5} \) નો છેદ 5 છે, તેથી આપણે 0 થી 1 વચ્ચેના ભાગના 5 સરખા ભાગ પાડીશું. આ રીતે 0 થી 1 ની વચ્ચેનો દરેક ભાગ એ \( \frac{1}{5} \) છે. આથી, 3 ભાગ એ \( \frac{3}{5} \) દર્શાવે છે. અહીં, બિંદુ A એ \( \frac{3}{5} \) દર્શાવે છે.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકને સંખ્યા રેખા પર દર્શાવો, ત્યારે તેને શૂન્ય અને એક વચ્ચેના સરખા ભાગોમાં વહેંચો. છેદ ભાગોની સંખ્યા નક્કી કરે છે.

Question 2. \( \frac{1}{10}, \frac{0}{10}, \frac{5}{10} \) અને \( \frac{10}{10} \) ને સંખ્યારેખા પર બતાવો.
Answer: \( \frac{1}{10}, \frac{0}{10}, \frac{5}{10} \) અને \( \frac{10}{10} \) માં તમામના છેદમાં 10 છે. વળી, આ બધા જ અપૂર્ણાંકો 0 થી મોટા છે અને 1 થી નાના છે. તેથી સંખ્યારેખા ઉપર 0 થી 1 સુધીના આપણે 10 સરખા ભાગ પાડીશું. આ સ્પષ્ટ છે કે દરેક ભાગ \( \frac{1}{10} \) દર્શાવે છે. આ રીતે 1 ભાગ એ \( \frac{1}{10} \), 5 ભાગ એ \( \frac{5}{10} \) છે અને 10 ભાગ એ \( \frac{10}{10} \) દર્શાવે છે. \( \frac{0}{10} \) એટલે કે 0 છે. અહીં, બિંદુ A એ \( \frac{0}{10} \), બિંદુ B એ \( \frac{1}{10} \), બિંદુ C એ \( \frac{5}{10} \) છે અને બિંદુ D એ \( \frac{10}{10} \) દર્શાવે છે.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકોનો સમૂહ દર્શાવવાનો હોય, ત્યારે સામાન્ય છેદનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખાના ભાગોને એકસમાન રાખો.

Question 3. શું તમે 0 અને 1 ની વચ્ચે બીજો કોઈ અપૂર્ણાંક દર્શાવી શકો? તમે દર્શાવી શકો એવી પાંચ અપૂર્ણાંક સંખ્યા લખો અને તેને સંખ્યારેખા પર બતાવો.
Answer: હા, 0 અને 1 ની વચ્ચે અસંખ્ય અપૂર્ણાંકો આવેલા છે. જુઓ નીચે સંખ્યારેખા ઉપર આવા અપૂર્ણાંકો દર્શાવ્યા છે:
(a) બિંદુ A એ \( \frac{1}{2} \) દર્શાવે છે.
(b) બિંદુ B એ \( \frac{2}{3} \) દર્શાવે છે.
(c) બિંદુ C એ \( \frac{2}{4} \) દર્શાવે છે.
(d) બિંદુ D એ \( \frac{5}{6} \) દર્શાવે છે.
(e) બિંદુ E એ \( \frac{6}{8} \) દર્શાવે છે.

Exam Tip: બે પૂર્ણાંકો વચ્ચે અનંત અપૂર્ણાંકો અસ્તિત્વ ધરાવે છે; તેમને સંખ્યા રેખા પર મૂકવા માટે, સામાન્ય છેદનો ઉપયોગ કરીને સ્થાન નક્કી કરો.

Question 4. 0 અને 1 ની વચ્ચે કેટલા અપૂર્ણાંકો આવે છે? વિચારો, ચર્ચા અને તમારો જવાબ લખો.
Answer: 0 અને 1 ની વચ્ચે અસંખ્ય અપૂર્ણાંકો આવેલા છે. આ તમામનું સ્થાન સંખ્યારેખા ઉપર છે. દા. ત., \( \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{7}, \frac{3}{9}, \frac{4}{11}, \frac{5}{13} \), વગેરે અસંખ્ય અપૂર્ણાંકો 0 અને 1 ની વચ્ચે આવે છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે કોઈપણ બે અલગ-અલગ સંખ્યાઓ વચ્ચે અનંત અપૂર્ણાંકો હોય છે, ભલે તે કેટલી નજીક હોય.

પ્રયત્ન કરો: [પાન નંબર 138]

Question 1. શુદ્ધ અપૂર્ણાંક આપો:
(a) જેનો અંશ 5 હોય અને છેદ 7 હોય.
(b) જેનો છેદ 9 હોય અને અંશ 5 હોય.
(c) અંશ અને છેદમાં 10 સુધી ઉમેરી કેટલા આ પ્રકારના અપૂર્ણાંકો બનાવી શકો?
(d) જેનો છેદ એના અંશ કરતાં 4 ગણા જેટલો વધારે હોય. (કોઈ પણ પાંચ અપૂર્ણાંક આપો. તમે કેટલા બનાવી શકો છો?)
Answer:
(a) અંશ = 5 અને છેદ = 7: માગેલો અપૂર્ણાંક = \( \frac{5}{7} \).
(b) અંશ = 5 અને છેદ = 9: માગેલો અપૂર્ણાંક = \( \frac{5}{9} \).
(c) અંશ અને છેદનો સરવાળો 10 થાય તેવી અપૂર્ણાંકોની જોડ નીચે આપેલી છે:

આમ, જેના અંશ અને છેદનો સરવાળો 10 થતો હોય તેવા અપૂર્ણાંકો \( \frac{0}{10}, \frac{1}{9}, \frac{2}{8}, \frac{3}{7} \) અને \( \frac{4}{6} \) છે. ઘણા જવાબો મળે.
(d) જેનો છેદ એના અંશ કરતાં 4 ગણા જેટલો વધારે હોય તેવા અસંખ્ય અપૂર્ણાંકો છે. દા. ત., \( \frac{1}{4}, \frac{3}{12}, \frac{5}{20}, \frac{7}{28}, \frac{9}{36} \) (ઘણા જવાબો મળે.)

Exam Tip: શુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં, અંશ હંમેશા છેદ કરતાં નાનો હોય છે, અને તેનો સરવાળો અથવા ગુણોત્તર ચોક્કસ સંબંધો માટે ઘણી શક્યતાઓ આપે છે.

Question 2. એક અપૂર્ણાંક આપેલ છે. તેને જોઈને તમે કેવી રીતે કહી શકો કે, આ અપૂર્ણાંક –
Answer:
(a) જો અંશ < છેદ, તો અપૂર્ણાંક 1 થી નાનો હોય. દા. ત., \( \frac{2}{5} \).
(b) જો અંશ = છેદ, તો અપૂર્ણાંકની કિંમત 1 છે, જે 1 ને સમાન છે. દા. ત., \( \frac{5}{5} \).

Exam Tip: અપૂર્ણાંકનો પ્રકાર ઓળખવા માટે અંશ અને છેદ વચ્ચેના સંબંધ પર ધ્યાન આપો. જો અંશ નાનો હોય, તો શુદ્ધ; જો સમાન હોય, તો 1; જો મોટો હોય, તો અશુદ્ધ અપૂર્ણાંક છે.

Question 3. કોઈ પણ એકનો ઉપયોગ કરી ખાલી જગ્યા પૂરો: ('>', '<' અથવા '=')
(a) \( \frac{1}{2} \)
(b) \( \frac{3}{5} \)
(c) \( 1 \)
(d) \( \frac{4}{4} \)
(e) \( \frac{2005}{2005} \)
Answer:
નોંધ: જો અંશ કરતાં છેદ મોટો હોય, તો અપૂર્ણાંક 1 થી નાનો હોય. એટલે કે અપૂર્ણાંક < 1. જો અંશ કરતાં છેદ નાનો હોય, તો અપૂર્ણાંક 1 થી – મોટો હોય. એટલે કે અપૂર્ણાંક > 1
(a) \( \frac{1}{2} < 1 \)
(b) \( \frac{3}{5} < 1 \)
(c) \( 1 > \frac{7}{8} \)
(d) \( \frac{4}{4} = 1 \)
(e) \( \frac{2005}{2005} = 1 \)

Exam Tip: શુદ્ધ અપૂર્ણાંક હંમેશા 1 કરતા નાના હોય છે, જ્યારે અંશ અને છેદ સમાન હોય ત્યારે અપૂર્ણાંક 1 બરાબર હોય છે.

પ્રયત્ન કરો: [પાન નંબર 142]

Question 1. શું \( \frac{1}{3} \) અને \( \frac{2}{7} \); \( \frac{2}{5} \) અને \( \frac{2}{7} \); \( \frac{2}{9} \) અને \( \frac{6}{27} \) સમાન છે? કારણ આપો.
Answer:
(i) \( \frac{1}{3} \) અને \( \frac{2}{7} \)
1 \( \times \) 7 = 7 અને 3 \( \times \) 2 = 6 (ચોકડી ગુણાકાર)
હવે, 7 \( \neq \) 6
\( \implies \) \( \frac{1}{3} \) અને \( \frac{2}{7} \) એ સમાન અપૂર્ણાંકો નથી.

Exam Tip: બે અપૂર્ણાંકોની સમાનતા તપાસવા માટે, ચોકડી ગુણાકાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો: જો ચોકડી ગુણાકારના પરિણામો સમાન હોય, તો અપૂર્ણાંકો સમાન છે.

Question 1. (ii) \( \frac{2}{5} \) અને \( \frac{2}{7} \)
Answer:
2 \( \times \) 7 = 14 અને 5 \( \times \) 2 = 10 (ચોકડી ગુણાકાર)
હવે, 14 \( \neq \) 10
\( \implies \) \( \frac{2}{5} \) અને \( \frac{2}{7} \) એ સમાન અપૂર્ણાંકો નથી.

Exam Tip: યાદ રાખો કે સમાન અંશવાળા અપૂર્ણાંકોમાં, મોટો છેદ એટલે નાનો અપૂર્ણાંક, તેથી \( \frac{2}{5} \) અને \( \frac{2}{7} \) સમાન નથી.

Question 1. (iii) \( \frac{2}{9} \) અને \( \frac{6}{27} \)
Answer:
2 \( \times \) 27 = 54 અને 9 \( \times \) 6 = 54 (ચોકડી ગુણાકાર)
હવે, 54 = 54
\( \implies \) \( \frac{2}{9} \) અને \( \frac{6}{27} \) એ સમાન અપૂર્ણાંકો છે.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકોને સરળ સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે તે સમાન છે કે નહીં તે તપાસવું સરળ બને છે. \( \frac{6}{27} \) ને \( \frac{2}{9} \) માં સરળ બનાવી શકાય છે.

Question 2. ચાર સમાન અપૂર્ણાંકોનાં ઉદાહરણો આપો.
Answer: સમાન હોય તેવા ચાર અપૂર્ણાંકોની જોડ નીચે પ્રમાણે આપેલી છે:
1. \( \frac{2}{3}, \frac{4}{3} \)
2. \( \frac{2}{5}, \frac{6}{15} \)
3. \( \frac{2}{4}, \frac{4}{8} \)
4. \( \frac{4}{7}, \frac{8}{14} \)

Exam Tip: સમાન અપૂર્ણાંકો મેળવવા માટે, મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન, શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણો અથવા ભાગો.

Question 3. દરેક અપૂર્ણાંકને ઓળખો. શું આ અપૂર્ણાંકો સમાન છે?
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Answer:
(i) આકૃતિમાં કુલ 8 સરખા ભાગ છે. તેમાંથી 6 સરખા ભાગ છાયાંકિત છે. \( \implies \) આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ \( \frac{6}{8} \) દર્શાવે છે.
હવે, \( \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \)
(ii) આકૃતિમાં કુલ 12 સરખા ભાગ છે. તેમાંથી 9 સરખા ભાગ છાયાંકિત છે. \( \implies \) આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ \( \frac{9}{12} \) દર્શાવે છે.
હવે, \( \frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4} \)
(iii) આકૃતિમાં કુલ 16 સરખા ભાગ છે. તેમાંથી 12 સરખા ભાગ છાયાંકિત છે. \( \implies \) આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ \( \frac{12}{16} \) દર્શાવે છે.
હવે, \( \frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} \)
(iv) આકૃતિમાં કુલ 20 સરખા ભાગ છે. તેમાંથી 15 સરખા ભાગ છાયાંકિત છે. \( \implies \) આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ \( \frac{15}{20} \) દર્શાવે છે.
હવે, \( \frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4} \)
હવે, ઉપર (i) થી (iv) માં જોતાં દરેક અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{3}{4} \) થાય છે. તેથી બધા અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકો સમાન અપૂર્ણાંકો છે.

Exam Tip: જ્યારે આકૃતિઓ દ્વારા અપૂર્ણાંક દર્શાવવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ ભાગોની સંખ્યા અને છાયાંકિત ભાગોની સંખ્યાને ઓળખીને અપૂર્ણાંક લખો અને પછી તેને સરળ સ્વરૂપમાં લાવો.

પ્રયત્ન કરો: [પાન નંબર 143]

Question 1. નીચે આપેલામાંથી દરેકના પાંચ સમઅપૂર્ણાકો શોધો
(i) \( \frac{2}{3} \)
(ii) \( \frac{1}{5} \)
(iii) \( \frac{3}{5} \)
(iv) \( \frac{5}{9} \)
Answer: નોંધ: સમઅપૂર્ણાંકો બનાવવા માટે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સરખી સંખ્યા વડે ગુણીશું.
(i) \( \frac{2}{3} \)
\( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \); \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9} \); \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \); \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15} \); \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18} \)
\( \implies \frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \frac{8}{12}, \frac{10}{15} \) અને \( \frac{12}{18} \) એ સમઅપૂર્ણાંકો છે.
(ii) \( \frac{1}{5} \)
\( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10} \); \( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15} \); \( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20} \); \( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{5 \times 5} = \frac{5}{25} \); \( \frac{1}{5} = \frac{1 \times 6}{5 \times 6} = \frac{6}{30} \)
\( \implies \frac{1}{5}, \frac{2}{10}, \frac{3}{15}, \frac{4}{20}, \frac{5}{25} \) અને \( \frac{6}{30} \) એ સમઅપૂર્ણાંકો છે.
(iii) \( \frac{3}{5} \)
\( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} \); \( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15} \); \( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20} \); \( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 5}{5 \times 5} = \frac{15}{25} \); \( \frac{3}{5} = \frac{3 \times 6}{5 \times 6} = \frac{18}{30} \)
\( \implies \frac{3}{5}, \frac{6}{10}, \frac{9}{15}, \frac{12}{20}, \frac{15}{25} \) અને \( \frac{18}{30} \) એ સમઅપૂર્ણાંકો છે.
(iv) \( \frac{5}{9} \)
\( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 2}{9 \times 2} = \frac{10}{18} \); \( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 3}{9 \times 3} = \frac{15}{27} \); \( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 4}{9 \times 4} = \frac{20}{36} \); \( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 5}{9 \times 5} = \frac{25}{45} \); \( \frac{5}{9} = \frac{5 \times 6}{9 \times 6} = \frac{30}{54} \)
\( \implies \frac{5}{9}, \frac{10}{18}, \frac{15}{27}, \frac{20}{36}, \frac{25}{45} \) અને \( \frac{30}{54} \) એ સમઅપૂર્ણાંકો છે.

Exam Tip: સમઅપૂર્ણાંકો શોધવા માટે, આપેલા અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને ક્રમશઃ 2, 3, 4, 5, 6, વગેરે વડે ગુણતા રહો.

પ્રયત્ન કરો: [પાન નંબર 146]

Question 1. અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ લખો :
(i) \( \frac{15}{75} \)
(ii) \( \frac{16}{72} \)
(iii) \( \frac{17}{51} \)
(iv) \( \frac{42}{28} \)
Answer:
(i) \( \frac{15}{75} \)
15 ના અવિભાજ્ય અવયવો: 3, 5
75 ના અવિભાજ્ય અવયવો: 3, 5, 5
\( \implies \) 15 અને 75 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો 3, 5
\( \implies \) 15 અને 75 નો ગુ.સા.અ. = 3 \( \times \) 5 = 15
હવે, \( \frac{15}{75} = \frac{15 \div 15}{75 \div 15} = \frac{1}{5} \)
આમ, \( \frac{15}{75} \) નું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{1}{5} \) છે.
ટૂંકી રીત: \( \frac{15}{75} = \frac{1 \times 15}{5 \times 15} = \frac{1}{5} \)
(ii) \( \frac{16}{72} \)
16 ના અવિભાજ્ય અવયવો: 2, 2, 2, 2
72 ના અવિભાજ્ય અવયવો 2, 2, 2, 3, 3
\( \implies \) 16 અને 72 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો: 2, 2 અને 2
\( \implies \) 16 અને 72 નો ગુ.સા.અ. = 2 \( \times \) 2 \( \times \) 2 = 8
હવે, \( \frac{16}{72} = \frac{16 \div 8}{72 \div 8} = \frac{2}{9} \)
આમ, \( \frac{16}{72} \) નું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{2}{9} \) છે.
ટૂંકી રીત: \( \frac{16}{72} = \frac{2 \times 8}{9 \times 8} = \frac{2}{9} \)
(iii) \( \frac{17}{51} \)
17 નો અવિભાજ્ય અવયવ: 17
51 ના અવિભાજ્ય અવયવો: 3, 17
\( \implies \) 17 અને 51 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવ: 17
\( \implies \) 17 અને 51 નો ગુ.સા.અ. = 17
હવે, \( \frac{17}{51} = \frac{17 \div 17}{51 \div 17} = \frac{1}{3} \)
આમ, \( \frac{17}{51} \) નું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{1}{3} \) છે.
ટૂંકી રીત: \( \frac{17}{51} = \frac{1 \times 17}{3 \times 17} = \frac{1}{3} \)
(iv) \( \frac{42}{28} \)
42 ના અવિભાજ્ય અવયવો 2, 3, 7
28 ના અવિભાજ્ય અવયવો: 2, 2, 7
\( \implies \) 42 અને 28 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો 2, 7
\( \implies \) 42 અને 28 નો ગુ.સા.અ. = 2 \( \times \) 7 = 14
હવે, \( \frac{42}{28} = \frac{42 \div 14}{28 \div 14} = \frac{3}{2} \)
આમ, \( \frac{42}{28} \) નું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{3}{2} \) છે.
ટૂંકી રીત: \( \frac{42}{28} = \frac{3 \times 14}{2 \times 14} = \frac{3}{2} \)

Exam Tip: અપૂર્ણાંકને તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, તેના અંશ અને છેદનો ગુ.સા.અ. શોધીને બંનેને ગુ.સા.અ. વડે ભાગો.

Question 1. (v) \( \frac{80}{24} \)
Answer:
80 ના અવિભાજ્ય અવયવો 2, 2, 2, 2, 5
24 ના અવિભાજ્ય અવયવો 2, 2, 2, 3
\( \implies \) 80 અને 24 ના સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવો 2, 2 અને 2
\( \implies \) 80 અને 24 નો ગુ.સા.અ. = 2 \( \times \) 2 \( \times \) 2 = 8
હવે, \( \frac{80}{24} = \frac{80 \div 8}{24 \div 8} = \frac{10}{3} \)
આમ, \( \frac{80}{24} \) નું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{10}{3} \) છે.
ટૂંકી રીત: \( \frac{80}{24} = \frac{8 \times 10}{8 \times 3} = \frac{10}{3} \)

Exam Tip: અવિભાજ્ય અવયવીકરણ ગુ.સા.અ. શોધવામાં મદદ કરે છે, જે અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવા માટે નિર્ણાયક પગલું છે.

Question 2. શું \( \frac{49}{64} \) એ તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં છે?
Answer:
49 = 7 \( \times \) 7
64 = 2 \( \times \) 2 \( \times \) 2 \( \times \) 2 \( \times \) 2 \( \times \) 2
જુઓ 49 અને 64 ના અવયવોમાં કોઈ અવયવ સામાન્ય નથી.
\( \implies \) \( \frac{49}{64} \) એ અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં જ છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક તેના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ત્યારે હોય છે જ્યારે અંશ અને છેદનો ગુ.સા.અ. 1 હોય.

પ્રયત્ન કરો: (પાન નંબર 148)

Question 1. તમે એક બોટલ લો. એમાં \( \frac{1}{5} \) ભાગનું જ્યૂસ લો અને તમારી બહેનને પણ એક બોટલ આપો તથા તેમાં \( \frac{1}{3} \) ભાગનું જ્યૂસ લો. હવે, બંને બોટલ સમાન હોય તો તમારા બંનેમાં કોનું જ્યૂસ વધારે કહેવાય?
Answer: આ પ્રશ્નનો ઉકેલ શોધવા એકસરખા બે લંબચોરસ લઈએ. એક લંબચોરસના 5 સરખા ભાગ કરીએ અને બીજા લંબચોરસના ત્રણ સરખા ભાગ કરીએ. હવે આપણે પ્રશ્ન સમજીએ.
મેં બોટલમાં \( \frac{1}{5} \) ભાગ જ્યૂસ લીધું. \( \implies \) \( \frac{1}{5} \) ભાગ છાયાંકિત.
મારી બહેને બોટલમાં \( \frac{1}{3} \) ભાગ જ્યૂસ લીધું. \( \implies \) \( \frac{1}{3} \) ભાગ છાયાંકિત.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ જણાય છે કે મારી બહેનનો છાયાંકિત ભાગ મારા છાયાંકિત ભાગ કરતાં વધારે છે, તેથી મારી બહેન પાસે વધુ જ્યૂસ છે. \( \frac{1}{5} \) અને \( \frac{1}{3} \) બંને અપૂર્ણાંકોમાં અંશ સરખા છે. જે અપૂર્ણાંકનો છેદ મોટો હોય તે અપૂર્ણાંક બીજા અપૂર્ણાંક કરતાં નાનો હોય. એટલે કે \( \frac{1}{5} < \frac{1}{3} \) અને \( \frac{1}{3} > \frac{1}{5} \).

Exam Tip: સમાન અંશવાળા અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરતી વખતે, નાનો છેદ ધરાવતો અપૂર્ણાંક મોટો હોય છે. વિઝ્યુઅલ મોડલનો ઉપયોગ કરવાથી આ સમજણ સરળ બને છે.

પ્રયત્ન કરો: (પાન નંબર 149)

Question 1. નીચેનામાંથી કયો મોટો અપૂર્ણાંક છે?
(i) \( \frac{7}{10} \) કે \( \frac{8}{10} \)
(ii) \( \frac{11}{24} \) કે \( \frac{13}{24} \)
(iii) \( \frac{17}{102} \) કે \( \frac{12}{102} \)
શા માટે આ સરખામણી સરળ છે?
Answer:
(i) \( \frac{7}{10} \) કે \( \frac{8}{10} \)
અહીં, બંને અપૂર્ણાંકોના છેદ સરખા છે તથા અંશમાં 7 < 8 છે.
\( \implies \frac{7}{10} < \frac{8}{10} \) અથવા \( \frac{8}{10} > \frac{7}{10} \)
\( \implies \frac{8}{10} \) એ \( \frac{7}{10} \) કરતાં મોટો અપૂર્ણાંક છે.
(ii) \( \frac{11}{24} \) કે \( \frac{13}{24} \)
અહીં, બંને અપૂર્ણાંકોના છેદ સરખા છે તથા અંશમાં 11 < 13 છે.
\( \implies \frac{11}{24} < \frac{13}{24} \) અથવા \( \frac{13}{24} > \frac{11}{24} \).
\( \implies \frac{13}{24} \) એ \( \frac{11}{24} \) કરતાં મોટો અપૂર્ણાંક છે.
(iii) \( \frac{17}{102} \) કે \( \frac{12}{102} \)
અહીં, બંને અપૂર્ણાંકોના છેદ સરખા છે તથા અંશમાં 17 > 12 છે.
\( \implies \frac{17}{102} > \frac{12}{102} \) અથવા \( \frac{12}{102} < \frac{17}{102} \)
\( \implies \frac{17}{102} \) એ \( \frac{12}{102} \) કરતાં મોટો અપૂર્ણાંક છે.
અહીં, આપેલા અપૂર્ણાંકોની સરખામણી ખૂબ સહેલી છે, કારણ કે આપેલા અપૂર્ણાંકોની દરેક જોડમાં છેદ સરખા છે.

Exam Tip: સમાન છેદવાળા અપૂર્ણાંકોની સરખામણી કરવી સરળ છે: ફક્ત અંશની સરખામણી કરો; મોટો અંશ એટલે મોટો અપૂર્ણાંક.

Question 2. નીચેના અપૂર્ણાકોને ચડતા અને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવો:
(a) \( \frac{1}{8}, \frac{5}{8}, \frac{3}{8} \)
(b) \( \frac{1}{5}, \frac{11}{5}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{7}{5} \)
(c) \( \frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{13}{7}, \frac{11}{7}, \frac{7}{7} \)
Answer:
અહીં, આપેલા અપૂર્ણાંકોના છેદ સરખા છે.
1, 3, 5 એ ચડતા ક્રમમાં છે તથા 5, 3, 1 એ ઊતરતા ક્રમમાં છે.
\( \implies \) અપૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8} \)
અપૂર્ણાંકો ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{5}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8} \)
(b) \( \frac{1}{5}, \frac{11}{5}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{7}{5} \)
અહીં, આપેલા અપૂર્ણાંકોના છેદ સરખા છે.
1, 3, 4, 7, 11 એ ચડતા ક્રમમાં છે તથા 11, 7, 4, 3, 1 એ ઊતરતા ક્રમમાં છે.
\( \implies \) અપૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{1}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{7}{5}, \frac{11}{5} \)
અપૂર્ણાંકો ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{11}{5}, \frac{7}{5}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{1}{5} \)
(c) \( \frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{13}{7}, \frac{11}{7}, \frac{7}{7} \)
અહીં, આપેલા અપૂર્ણાંકોના છેદ સરખા છે. 1, 3, 7, 11, 13 એ ચડતા ક્રમમાં છે તથા 13, 11, 7, 3, 1 એ ઊતરતા ક્રમમાં છે.
\( \implies \) અપૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{1}{7}, \frac{3}{7}, \frac{7}{7}, \frac{11}{7}, \frac{13}{7} \)
અપૂર્ણાંકો ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{13}{7}, \frac{11}{7}, \frac{7}{7}, \frac{3}{7}, \frac{1}{7} \)

Exam Tip: સમાન છેદવાળા અપૂર્ણાંકોને ગોઠવવા માટે, ફક્ત તેમના અંશને સરખાવો અને તે જ ક્રમમાં અપૂર્ણાંકોને ગોઠવો.

પ્રયત્ન કરો [પાન નંબર 151]

Question 1. નીચેના અપૂર્ણાકોને ચડતા અને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવોઃ
(a) \( \frac{1}{12}, \frac{1}{23}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{50}, \frac{1}{9}, \frac{1}{17} \)
(b) \( \frac{3}{7}, \frac{3}{11}, \frac{3}{5}, \frac{3}{2}, \frac{3}{13}, \frac{3}{4}, \frac{3}{17} \)
(c) હવે, ત્રણ વધુ ઉદાહરણો લખો અને તેમને ચડતા અને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવો.
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે વિષમચ્છેદી અપૂર્ણાંકોમાં જ્યારે બધા અપૂર્ણાંકોનો અંશ સરખો હોય, તો જે અપૂર્ણાંકનો છેદ મોટો તે અપૂર્ણાંક નાનો હોય.
(a) \( \frac{1}{12}, \frac{1}{23}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{50}, \frac{1}{9}, \frac{1}{17} \)
જુઓ 50, 23, 17, 12, 9, 7 અને 5 એ ઊતરતા ક્રમમાં છે.
\( \implies \) અપૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં છે: \( \frac{1}{50}, \frac{1}{23}, \frac{1}{17}, \frac{1}{12}, \frac{1}{9}, \frac{1}{7}, \frac{1}{5} \)
અપૂર્ણાંકો ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12}, \frac{1}{17}, \frac{1}{23}, \frac{1}{50} \)
(b) \( \frac{3}{7}, \frac{3}{11}, \frac{3}{5}, \frac{3}{2}, \frac{3}{13}, \frac{3}{4}, \frac{3}{17} \)
જુઓ 17, 13, 11, 7, 5, 4 અને 2 એ ઊતરતા ક્રમમાં છે.
\( \implies \) અપૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{3}{17}, \frac{3}{13}, \frac{3}{11}, \frac{3}{7}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2} \)
અપૂર્ણાંકો ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{3}{7}, \frac{3}{11}, \frac{3}{13}, \frac{3}{17} \)

Exam Tip: સમાન અંશવાળા અપૂર્ણાંકોને ગોઠવતી વખતે, નાના છેદવાળો અપૂર્ણાંક મોટો હોય છે અને મોટા છેદવાળો અપૂર્ણાંક નાનો હોય છે.

Question 1. (c) આવાં ત્રણ બીજાં ઉદાહરણો:
(1) \( \frac{2}{23}, \frac{2}{13}, \frac{2}{9}, \frac{2}{11}, \frac{2}{17}, \frac{2}{15}, \frac{2}{21} \)
(2) \( \frac{6}{17}, \frac{6}{11}, \frac{6}{19}, \frac{6}{13}, \frac{6}{25}, \frac{6}{23}, \frac{6}{29} \)
(3) \( \frac{8}{11}, \frac{8}{13}, \frac{8}{5}, \frac{8}{9}, \frac{8}{17}, \frac{8}{3}, \frac{8}{21} \)
Answer:
(1) ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{2}{23}, \frac{2}{21}, \frac{2}{17}, \frac{2}{15}, \frac{2}{13}, \frac{2}{11}, \frac{2}{9} \)
ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{2}{9}, \frac{2}{11}, \frac{2}{13}, \frac{2}{15}, \frac{2}{17}, \frac{2}{21}, \frac{2}{23} \)
(2) ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{6}{29}, \frac{6}{25}, \frac{6}{23}, \frac{6}{19}, \frac{6}{17}, \frac{6}{13}, \frac{6}{11} \)
ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{6}{11}, \frac{6}{13}, \frac{6}{17}, \frac{6}{19}, \frac{6}{23}, \frac{6}{25}, \frac{6}{29} \)
(3) ચડતા ક્રમમાં: \( \frac{8}{21}, \frac{8}{17}, \frac{8}{13}, \frac{8}{11}, \frac{8}{9}, \frac{8}{5}, \frac{8}{3} \)
ઊતરતા ક્રમમાં: \( \frac{8}{3}, \frac{8}{5}, \frac{8}{9}, \frac{8}{11}, \frac{8}{13}, \frac{8}{17}, \frac{8}{21} \)

Exam Tip: જુદા જુદા છેદ અને સમાન અંશવાળા અપૂર્ણાંકોને ગોઠવતી વખતે, છેદને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવીને ચડતો ક્રમ મળે છે, અને છેદને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીને ઊતરતો ક્રમ મળે છે.

પ્રયત્ન કરો: (પાન નંબર 155)

Question 1. મારી માતાએ સફરજનના 4 સરખા ભાગ કરી આપ્યા. એમાંથી મને બે ભાગ આપ્યા અને મારા ભાઈને 1 ભાગ આપ્યો, તો અમારી માતાએ અમને બંનેને કુલ કેટલા ભાગ આપ્યા?
Answer: માતાએ સફરજનના એક સરખા 4 ભાગ કર્યા છે. આથી, દરેક ભાગ એ \( \frac{1}{4} \) ભાગ છે.
માતાએ મને બે ભાગ સફરજન આપ્યા છે, એટલે કે \( \frac{2}{4} \) ભાગ આપ્યો છે.
માતાએ મારા ભાઈને એક ભાગ સફરજન આપ્યો છે એટલે કે \( \frac{1}{4} \) ભાગ આપ્યો છે.
હવે, મને અને મારા ભાઈને આપેલ સફરજનના ભાગ:
\( = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4} \)
અમને બંનેને કુલ \( \frac{3}{4} \) ભાગ સફરજન આપ્યો.

Exam Tip: સમાન છેદવાળા અપૂર્ણાંકોના સરવાળા માટે, ફક્ત અંશનો સરવાળો કરો અને છેદને તે જ રાખો.

Question 2. માતાએ નીલુ અને એના ભાઈને ઘઉંમાંથી કાંકરા વીણવા માટે કહ્યું. નીલુએ \( \frac{1}{4} \) કાંકરા શોધ્યા અને એના ભાઈએ પણ \( \frac{1}{4} \) કાંકરા શોધ્યા, તો તેમણે કુલ કેટલા કાંકરા (અપૂર્ણાંકમાં) શોધ્યા?
Answer: નીલુએ ઘઉંમાંથી કુલ \( \frac{1}{4} \) ભાગ કાંકરા શોધ્યા.
નીલુના ભાઈએ ઘઉંમાંથી કુલ \( \frac{1}{4} \) ભાગ કાંકરા શોધ્યા.
નીલુ અને તેના ભાઈએ શોધેલા કુલ કાંકરાનો ભાગ:
\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} \)
\( = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
નીલુ અને તેના ભાઈએ શોધેલા કાંકરાનો કુલ ભાગ \( \frac{1}{2} \) છે.

Exam Tip: જ્યારે બે વ્યક્તિઓ સમાન કાર્યનો અપૂર્ણાંક ભાગ કરે, ત્યારે કુલ ભાગ શોધવા માટે તેમના વ્યક્તિગત અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો.

Question 3. સોહન એની નોટબુકને કવર ચડાવે છે. તેણે \( \frac{1}{4} \) ભાગ જેટલાં કવર સોમવારે ચડાવ્યાં. બીજા \( \frac{1}{4} \) ભાગનાં કવર મંગળવારે અને બાકીનાં બુધવારે ચડાવ્યાં, તો કેટલાં કવર (અપૂર્ણાંકમાં) બુધવારે ચડાવ્યાં હશે?
Answer: સોહને સોમવારે ચડાવેલાં કવર = \( \frac{1}{4} \); સોહને મંગળવારે ચડાવેલાં કવર = \( \frac{1}{4} \).
સોહને સોમવારે અને મંગળવારે ચડાવેલાં કવર = \( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \)
\( = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \implies \) સોહને બુધવારે ચડાવેલાં કવર = \( 1 - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
સોહને બુધવારે \( \frac{1}{2} \) ભાગ કવર ચડાવ્યાં હોય.

Exam Tip: કુલ એક ભાગને ધ્યાનમાં રાખીને, બાકી રહેલા ભાગને શોધવા માટે પૂર્ણમાંથી કરવામાં આવેલા ભાગોનો સરવાળો બાદ કરો.

પ્રયત્ન કરો: (પાન નંબર 156)

Question 1. આકૃતિની મદદથી ઉમેરો
(i) \( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \)
(ii) \( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \)
(iii) \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \)
Answer:
(i) \( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \)
આપણે એક લંબચોરસ દોરીશું. બંને લંબચોરસના આઠ-આઠ સરખા ભાગ પાડીશું. આ લંબચોરસનો એક ભાગ \( \frac{1}{8} \) છે.
જ્યારે આપણે \( \frac{1}{8} \) અને \( \frac{1}{8} \) ઉમેરીએ છીએ, ત્યારે આપણને \( \frac{2}{8} \) મળે છે, જેને \( \frac{1}{4} \) તરીકે પણ ઓળખાય છે.
આમ, \( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
(ii) \( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \)
આપણે એક લંબચોરસ દોરીશું. આ લંબચોરસના પાંચ સરખા ભાગ પાડીશું.
પહેલાં \( \frac{2}{5} \) ભાગ છાયાંકિત કરો અને પછી બીજા \( \frac{3}{5} \) ભાગ છાયાંકિત કરો.
જ્યારે આપણે \( \frac{2}{5} \) અને \( \frac{3}{5} \) ઉમેરીએ છીએ, ત્યારે આપણને \( \frac{5}{5} \) મળે છે, જે સંપૂર્ણ ભાગ (1) છે.
આમ, \( \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)
(iii) \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \)
આપણે એક લંબચોરસ દોરીશું. આ લંબચોરસના છ સરખા ભાગ પાડીશું.
પહેલાં \( \frac{1}{6} \) ભાગ, પછી બીજો \( \frac{1}{6} \) ભાગ અને છેલ્લે ત્રીજો \( \frac{1}{6} \) ભાગ છાયાંકિત કરો.
જ્યારે આપણે \( \frac{1}{6}, \frac{1}{6} \) અને \( \frac{1}{6} \) ઉમેરીએ છીએ, ત્યારે આપણને કુલ \( \frac{3}{6} \) મળે છે, જે \( \frac{1}{2} \) તરીકે પણ ઓળખાય છે.
આમ, \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Exam Tip: અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતી વખતે, જો છેદ સમાન હોય, તો ફક્ત અંશનો સરવાળો કરો અને છેદને એ જ રાખો. આકૃતિઓનો ઉપયોગ વિઝ્યુઅલ સમજણમાં મદદ કરે છે.

Question 2. \( \frac{1}{12} + \frac{1}{12} \) ઉમેરો. પેપર ફોલ્ડિંગનો ઉપયોગ કરીને અને ચિત્ર દ્વારા આપણે કેવી રીતે બતાવીશું?
Answer:
\( \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1+1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \)
ચિત્ર દ્વારા આ સરવાળો નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:
એક લંબચોરસને 12 સરખા ભાગમાં વિભાજીત કરો.
પહેલાં 1 ભાગને છાયાંકિત કરો, પછી બીજો 1 ભાગ છાયાંકિત કરો.
કુલ 2 ભાગ છાયાંકિત થયા, જે \( \frac{2}{12} \) દર્શાવે છે.
આ \( \frac{2}{12} \) ને સરળ સ્વરૂપમાં \( \frac{1}{6} \) તરીકે દર્શાવી શકાય છે, એટલે કે લંબચોરસના 6 માંથી 1 ભાગ.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકોના સરવાળાને વિઝ્યુઅલ રીતે દર્શાવવા માટે, કુલ સંખ્યાના ભાગો દોરો અને પછી ઉમેરવા માટે દરેક અપૂર્ણાંકનો ભાગ રંગો. પછી કુલ રંગીન ભાગોને ગણો.

Question 1. Find the difference between \( \frac{7}{8} \) and \( \frac{3}{8} \).
Answer: To find the difference, we subtract the second fraction from the first. \[ \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Therefore, the difference between \( \frac{7}{8} \) and \( \frac{3}{8} \) is \( \frac{1}{2} \).
In simple words: When two fractions have the same bottom number, you can just subtract the top numbers and keep the bottom number the same. Then, simplify your answer if possible.

Exam Tip: Remember that fractions can only be directly added or subtracted if they share a common denominator.

Question 2. Mother made rotlis in a circular shape. She divided it into 5 parts. Seema ate one part. If I eat another part, how many parts of the rotli will be left?
Answer: The mother made rotli and divided it into 5 equal parts. This means each part represents \( \frac{1}{5} \) of the whole rotli.
Seema ate one part, which is \( \frac{1}{5} \) of the rotli.
If I also eat one part, that is another \( \frac{1}{5} \) of the rotli.
Together, Seema and I ate \( \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1+1}{5} = \frac{2}{5} \) of the rotli.
To find the remaining part, we subtract the eaten portion from the whole (which is 1 or \( \frac{5}{5} \)).
Remaining part = \( 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{5-2}{5} = \frac{3}{5} \).
So, \( \frac{3}{5} \) of the rotli is still left.
In simple words: Each piece of the rotli was \( \frac{1}{5} \). Seema ate one, and I ate one, so we ate \( \frac{2}{5} \) in total. Out of the whole rotli, \( \frac{3}{5} \) parts are still there.

Exam Tip: When dealing with parts of a whole, remember that the entire item can be represented as 1, or as a fraction where the numerator and denominator are the same (e.g., \( \frac{5}{5} \)).

Question 3. My elder sister divided a watermelon into 16 equal parts. I ate 7 parts of it and my friend ate 4 parts. So, how much watermelon did we both eat together? How much more watermelon did I eat than my friend? How much watermelon is left?
Answer: The watermelon was cut into 16 equal pieces.
So, each part represents \( \frac{1}{16} \) of the watermelon.
I ate 7 parts, so the fraction of watermelon I ate is \( \frac{7}{16} \).
My friend ate 4 parts, so the fraction of watermelon my friend ate is \( \frac{4}{16} \).
(i) Together, we both ate \( \frac{7}{16} + \frac{4}{16} = \frac{7+4}{16} = \frac{11}{16} \) of the watermelon.
(ii) The amount more I ate than my friend is \( \frac{7}{16} - \frac{4}{16} = \frac{7-4}{16} = \frac{3}{16} \).
(iii) To find the remaining watermelon, we subtract the total eaten portion from the whole watermelon (which is 1 or \( \frac{16}{16} \)).
Remaining part = \( 1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{16-11}{16} = \frac{5}{16} \).
In simple words: The watermelon had 16 pieces. I ate 7, and my friend ate 4. Together we ate 11 pieces (\( \frac{11}{16} \)). I ate 3 more pieces than my friend (\( \frac{3}{16} \)). There were 5 pieces left (\( \frac{5}{16} \)).

Exam Tip: For problems involving multiple questions, calculate each part separately and clearly label your answers (e.g., (i), (ii), (iii)) to ensure all aspects are addressed.

Prayatna Karo: [Paana Number 159]

Question 1. Add \( \frac{2}{5} \) and \( \frac{3}{7} \).
Answer: To add these fractions, we first need a common denominator. We find the Least Common Multiple (LCM) of the denominators, 5 and 7.
The LCM of 5 and 7 is \( 5 \times 7 = 35 \).
Now, we convert each fraction to have a denominator of 35:
For \( \frac{2}{5} \): Multiply the numerator and denominator by 7.
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35} \)
For \( \frac{3}{7} \): Multiply the numerator and denominator by 5.
\( \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} \)
Now that they have the same denominator, we can add them:
\( \frac{2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{14+15}{35} = \frac{29}{35} \)
Thus, the sum of \( \frac{2}{5} \) and \( \frac{3}{7} \) is \( \frac{29}{35} \).
In simple words: To add fractions with different bottom numbers, first find a common bottom number for both. Then change each fraction to use that new bottom number, and finally, add the top numbers together.

Exam Tip: Always find the LCM of the denominators when adding or subtracting fractions with different denominators. This ensures you find the smallest common denominator, simplifying calculations.

Question 2. Subtract \( \frac{2}{5} \) from \( \frac{5}{7} \).
Answer: To subtract these fractions, we must first find a common denominator. We find the Least Common Multiple (LCM) of the denominators, 5 and 7.
The LCM of 5 and 7 is \( 5 \times 7 = 35 \).
Now, we transform each fraction to have a denominator of 35:
For \( \frac{5}{7} \): Multiply the numerator and denominator by 5.
\( \frac{5}{7} = \frac{5 \times 5}{7 \times 5} = \frac{25}{35} \)
For \( \frac{2}{5} \): Multiply the numerator and denominator by 7.
\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35} \)
Now that they share the same denominator, we can subtract them:
\( \frac{5}{7} - \frac{2}{5} = \frac{25}{35} - \frac{14}{35} = \frac{25-14}{35} = \frac{11}{35} \)
Thus, subtracting \( \frac{2}{5} \) from \( \frac{5}{7} \) gives \( \frac{11}{35} \).
In simple words: When subtracting fractions with different bottom numbers, make sure both fractions have the same bottom number first. Then, subtract the top numbers and keep the bottom number the same.

Exam Tip: Pay close attention to the order of subtraction; "subtract A from B" means B - A. Always ensure you are subtracting the correct fraction.

Hots Prakarna Prashnottar

Question 1. \( \frac{4}{7} = \frac{...}{35} \)
(a) 28
(b) 21
(c) 35
(d) 20
Answer: (d) 20
In simple words: To make the bottom number 35, you multiply 7 by 5. So, you must also multiply the top number 4 by 5, which gives 20.

Exam Tip: When finding equivalent fractions, remember to multiply both the numerator and the denominator by the same non-zero number.

Question 2. \( 2\frac{3}{4} \) is a...
(a) Proper fraction
(b) Improper fraction
(c) Mixed fraction
(d) Whole number
Answer: (c) Mixed fraction
In simple words: A mixed fraction is a special number that combines a whole number (like 2) and a proper fraction (like \( \frac{3}{4} \)).

Exam Tip: Understand the definitions: a proper fraction has a numerator smaller than the denominator; an improper fraction has a numerator larger than or equal to the denominator; a mixed fraction combines a whole number and a proper fraction.

Question 3. \( \frac{6}{15} \) ... \( \frac{10}{25} \)
(a) >
(b) =
(c) <
(d) \( \geq \)
Answer: (b) =
In simple words: When you simplify both fractions, \( \frac{6}{15} \) becomes \( \frac{2}{5} \) (dividing by 3) and \( \frac{10}{25} \) also becomes \( \frac{2}{5} \) (dividing by 5). Since they both simplify to the same fraction, they are equal.

Exam Tip: The easiest way to compare fractions is often to simplify them to their lowest terms or find a common denominator.

Question 4. ... are like fractions.
(a) \( \frac{3}{13}, \frac{4}{13} \)
(b) \( \frac{5}{7}, \frac{7}{5} \)
(c) \( \frac{8}{9}, \frac{8}{15} \)
(d) \( \frac{3}{4}, \frac{2}{3} \)
Answer: (a) \( \frac{3}{13}, \frac{4}{13} \)
In simple words: Like fractions are special fractions that all share the very same number on the bottom (the denominator).

Exam Tip: Like fractions have identical denominators. This property makes them easy to add or subtract directly.

Question 5. The simplest form of \( \frac{28}{35} \) is...
(a) \( \frac{5}{4} \)
(b) \( \frac{3}{2} \)
(c) \( \frac{7}{5} \)
(d) \( \frac{4}{5} \)
Answer: (d) \( \frac{4}{5} \)
In simple words: To make a fraction simpler, divide both the top and bottom numbers by the largest number that divides into both evenly. For 28 and 35, that number is 7.

Exam Tip: To find the simplest form, divide the numerator and denominator by their greatest common divisor (GCD). If the GCD is 1, the fraction is already in its simplest form.

Question 6. \( \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \) ...
(a) 8
(b) 15
(c) 4
(d) 16
Answer: (c) 4
In simple words: Since both fractions already have the same bottom number, simply add the top numbers together and keep the bottom number. Then, divide the new top number by the bottom number to get the final answer.

Exam Tip: When adding fractions with common denominators, add only the numerators and keep the denominator the same. Simplify the resulting fraction if necessary.